Butun sonlardagi tenglamalarni yechish.

Noaniq tenglamalar - bir nechta noma'lum bo'lgan tenglamalar. Noaniq tenglamaning yagona yechimi deganda berilgan tenglamani haqiqiy tenglikka aylantiradigan noma'lumlar qiymatlari to'plami tushuniladi.

Butun sonli shakldagi tenglamalarni yechish ah + tomonidan = c , qayerda a, b , c noldan boshqa butun sonlar, biz qaror qoidasini o'rnatishga imkon beradigan bir qator nazariy qoidalarni taqdim etamiz. Bu qoidalar ham asoslanadi ma'lum faktlar bo'linish nazariyasi.

Teorema 1.Agar GCD (a, b ) = d , unda bunday butun sonlar mavjud X va da, bu tenglik ah + b y= d . (Bu tenglik chiziqli birikma yoki ikkita sonning eng katta umumiy boʻluvchisini raqamlarning oʻzlari boʻyicha chiziqli koʻrinishi deb ataladi.)

Teoremaning isboti Evklid algoritmining tengligidan foydalanib, ikkita sonning eng katta umumiy boʻluvchisini topishga asoslangan (eng katta umumiy boʻluvchi Yevklid algoritmidagi oxirgi tenglikdan boshlab qisman boʻlaklar va qoldiqlar bilan ifodalanadi).

Misol.

1232 va 1672 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisining chiziqli koʻrinishini toping.

Yechim.

1. Evklid algoritmining tengliklarini tuzing:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, ya'ni. (1672.352) = 88.

2) Biz oxiridan boshlab yuqorida olingan tengliklardan foydalanib, 88 ni ketma-ket to'liq bo'lmagan qismlar va qoldiqlar bilan ifodalaymiz:

88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, ya'ni. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Teorema 2. Agar tenglama ah + b y = 1 agar gcd (a, b ) = 1 , raqamni ko'rsatish kifoya 1 a va sonlarining chiziqli birikmasi sifatida b.

Bu teoremaning haqiqiyligi 1-teoremadan kelib chiqadi. Shunday qilib, tenglamaning yagona butun yechimini topish uchun ah + b y = 1, agar gcd(a, c) = 1 bo'lsa, 1 raqamini raqamlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalash kifoya. a va ichida .

Misol.

15x + 37y = 1 tenglamaning butun yechimini toping.

Yechim.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

Teorema 3. Agar tenglamada bo'lsa ah + b y = gcd bilan (a, b ) = d >1 va Bilan ga bo'linmaydi d , u holda tenglamaning butun yechimlari yo'q.

Teoremani isbotlash uchun buning aksini taxmin qilish kifoya.

Misol.

16x - 34y = 7 tenglamaning butun yechimini toping.

Yechim.

(16,34)=2; 7 2 ga bo'linmaydi, butun yechimlar tenglamasi yo'q

Teorema 4. Agar tenglamada bo'lsa ah + b y = gcd bilan (a, b ) = d >1 va bilan d , keyin u

Teoremani isbotlashda birinchi tenglamaning ixtiyoriy butun sonli yechimi ham ikkinchi tenglamaning yechimi ekanligini va aksincha ekanligini ko'rsatish kerak.

Teorema 5. Agar tenglamada bo'lsa ah + b y = gcd bilan (a, b ) = 1, u holda ushbu tenglamaning barcha butun yechimlari formulalarda mavjud:

t har qanday butun sondir.

Teoremani isbotlashda, birinchidan, yuqoridagi formulalar berilgan tenglamaga haqiqatda yechimlar berishini, ikkinchidan, bu tenglamaning ixtiyoriy butun yechimi yuqoridagi formulalarda mavjudligini ko'rsatish kerak.

Yuqoridagi teoremalar butun sonlardagi tenglamani yechish uchun quyidagi qoidani o'rnatishga imkon beradi ah+ b y = gcd bilan (a, b ) = 1:

1) Tenglamaning butun yechimi topildi ah + b y = 1 1 ni raqamlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalash orqali a vab (bu tenglamaning butun son yechimlarini topishning boshqa usullari mavjud, masalan, davomli kasrlar yordamida);

Berilganlarning butun yechimlari uchun umumiy formula

Berib t ma'lum bir butun son qiymatlari bilan ushbu tenglamaning alohida echimlarini olish mumkin: eng kichik mutlaq qiymat, eng kichik musbat (agar iloji bo'lsa) va hokazo.

Misol.

Tenglamaning butun yechimlarini toping 407x - 2816y = 33.

Yechim.

1. Biz bu tenglamani soddalashtiramiz, uni 37x - 256y \u003d 3 ko'rinishiga keltiramiz.

2. 37x - 256y \u003d 1 tenglamani yechamiz.

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =

37∙(-83) - 256∙(-12),

3. Umumiy shakl berilgan tenglamaning barcha butun yechimlari:

x \u003d -83 ∙ 3 - 256 t \u003d -249 - 256 t,

y \u003d -12 ∙ 3 ​​- 37 t \u003d -36 - 37 t.

O'zgaruvchilarning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini to'liq sanab o'tish usuli,

tenglamaga kiritilgan.

49x + 51y = 602 tenglamaning yechimi boʻlgan barcha juft natural sonlar toʻplamini toping.

Yechim:

Tenglamadan x o'zgaruvchini y x = shaklida ifodalaymizX va y natural sonlar ekan, x =602 - 51y ≥ 49, 51y≤553, 1≤y≤10.

Variantlarni to‘liq sanab o‘tish shuni ko‘rsatadiki, tenglamaning natural yechimlari x=5, y=7 bo‘ladi.

Javob: (5;7).

Tenglamalarni faktorizatsiya usuli bilan yechish.

Diofant chiziqli tenglamalar bilan bir qatorda kvadrat va kub noaniq tenglamalarni ko'rib chiqdi. Ularni hal qilish odatda qiyin.

Keling, tenglamalarda kvadratlar farqi formulasi yoki faktorizatsiyaning boshqa usuli qo'llanilishi mumkin bo'lgan bunday holatni ko'rib chiqaylik.

Tenglamani butun sonlarda yeching: x 2 + 23 = y 2

Yechim:

Tenglamani quyidagi ko'rinishda qayta yozamiz: y 2 - x 2 \u003d 23, (y - x) (y + x) \u003d 23

X va y butun sonlar va 23 tub son bo'lgani uchun quyidagi holatlar mumkin:

Olingan tizimlarni yechib, biz quyidagilarni topamiz:

(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)

Bir o'zgaruvchini boshqasi bilan ifodalash va kasrning butun qismini tanlash.

Tenglamani butun sonlarda yeching: x 2 + xy - y - 2 = 0.

Yechim:

Bu tenglamadan y dan x ko‘rinishida ifodalaymiz:

y (x - 1) \u003d 2 - x 2,

1. Ikki noma'lumli birinchi darajali tenglamalar

1. Uchta noma'lumli ikkinchi darajali tenglamalarga misollar

1. Ikki noma'lumda ikkinchi darajali tenglamaning umumiy holati

DASTURIY TA'MINOTNI ISHLAB CHIQISH

1. Dastur №1 (bitta noma'lum tenglamalar)

KIRISH

Mening kurs loyiham sonlar nazariyasining eng qiziqarli bo'limlaridan biri - butun sonlarda tenglamalarni yechishga bag'ishlangan.

Butun sonli koeffitsientli algebraik tenglamalarni bir nechta noma’lumda butun sonlarda yechish sonlar nazariyasining eng qiyin masalalaridan biridir.

Butun sonlardagi tenglamalarni yechish masalasi faqat ikkita noma’lumli ikkinchi darajali tenglamalar uchun to‘liq yechilgan. E'tibor bering, bitta noma'lum bo'lgan har qanday darajadagi tenglamalar uchun bu muhim ahamiyatga ega emas, chunki bu muammoni cheklangan miqdordagi sinovlar yordamida hal qilish mumkin. Ikki yoki undan ortiq noma'lumli ikkinchi darajadan yuqori bo'lgan tenglamalar uchun nafaqat butun sonlardagi barcha yechimlarni topish masalasi, balki bunday echimlarning chekli yoki cheksiz to'plamining mavjudligini aniqlashning oddiyroq masalasi ham juda qiyin.

Loyihamda men nazariy jihatdan olingan ba'zi asosiy natijalarni taqdim etishga harakat qildim; butun sonlardagi tenglamalar yechimlari. Unda tuzilgan teoremalar bu isbotlar yetarlicha sodda bo'lgan hollarda isbotlar bilan ta'minlanadi.

1. BIR noma'lum TENGLAMALAR

Bir noma'lum bo'lgan birinchi darajali tenglamani ko'rib chiqing

Tenglamaning koeffitsientlari bo'lsin

va butun sonlardir. Bu tenglamaning yechimi aniq

faqat agar butun son bo'ladi

ga to'liq bo'linadi. Shunday qilib, (1) tenglama har doim ham butun sonlarda yechilmaydi; shuning uchun, masalan, ikkita tenglamaning birinchisi butun sonli yechimga ega, ikkinchisi esa butun sonlarda yechilmaydi.

Xuddi shu holatga darajasi birinchisidan yuqori bo'lgan tenglamalarda ham duch kelamiz: kvadrat tenglama

to'liq echimlarga ega; butun sonlardagi tenglama yechilmaydi, chunki uning ildizlari irratsionaldir.

Butun sonli koeffitsientli n-darajali tenglamaning butun ildizlarini topish masalasi

(2)

oson hal qilinadi. Haqiqatan ham, ruxsat bering

bu tenglamaning ildizidir. Keyin

, .

Buni oxirgi tenglikdan ko'rish mumkin

qoldiqsiz bo'linadi; shuning uchun (2) tenglamaning har bir butun ildizi tenglamaning erkin hadining bo‘luvchisidir. Tenglamaning butun son yechimlarini topish uchun tenglamaga almashtirilganda uni o'ziga xoslikka aylantiradigan bo'luvchilarni tanlash kerak. Shunday qilib, masalan, tenglamaning erkin hadining barcha bo'luvchilari bo'lgan 1, -1, 2 va -2 raqamlaridan

,

faqat -1 - ildiz. Shuning uchun bu tenglama bitta butun ildizga ega

. Xuddi shu usul bilan tenglamani ko'rsatish oson

butun sonlarda hal qilib bo'lmaydi.

Ko'p noma'lumli tenglamaning butun sonlardagi yechimi ko'proq qiziqish uyg'otadi.

2. BIRINCHI KUCH TENGLAMALARI IKKI NOMA'lum

Ikki noma'lumli birinchi darajali tenglamani ko'rib chiqing

,

(3)

va noldan boshqa butun sonlar va ixtiyoriy butun sondir. Biz koeffitsientlar va birlikdan boshqa umumiy bo'luvchilarga ega emas deb taxmin qilamiz. Haqiqatan ham, agar bu koeffitsientlarning umumiy eng katta bo'luvchisi birlikdan farq qilsa, tengliklar , ; (3) tenglama shaklni oladi

va faqat agar butun yechimlarga ega bo'lishi mumkin

ga bo'linadi. Shunday qilib, holatda - (3) tenglamaning barcha koeffitsientlari ga bo'linishi kerak va (3) ni ga kamaytirsak, biz tenglamaga erishamiz.

,

kimning koeffitsientlari

va o'zaro asosiy.

Birinchidan, qachon bo'lganini ko'rib chiqing

Munitsipal ta'lim muassasasi

Savrush o'rtacha umumta'lim maktabi

Samara viloyati Poxvistnevskiy tumani

Mavzu bo'yicha matematika bo'yicha insho:

"Ikki bilan tenglamalar

noma'lum

butun sonlarda »

To'ldiruvchi: Kolesova Tatyana

Staroverova Nina

da 10-sinf o'quvchilari

MOU Savrushskaya o'rta maktabi

Poxvistnevskiy tumani

Samara viloyati.

Nazoratchi: Yatmankina Galina Mixaylovna

matematika o'qituvchisi.

Savruha 2011 yil

Kirish.____________________________________________________________3

1. Tarixiy ma’lumotlar ______________________________________________________5

1.1 Chiziqli Diofant tenglamalarining yechimlari soniga oid teoremalar___6

1.2 Butun sonlardagi tenglamani yechish algoritmi _________________ 6

1.3 Tenglamalarni yechish usullari_________________________________ 7

2-bob. Tenglamalarni yechish usullarini qo'llash.

1. Muammoni yechish ______________________________________________ 8

2.1 Evklid algoritmi yordamida masalalarni yechish ________________ 8

2.2 Variantlarni sanab o'tish usuli________________________________ 9

2.3 Faktoring usuli ___________________________ 9

2.4 Qoldiq usuli __________________________________________ 12

2. Imtihon darajasining vazifalari ___________________ 13

Xulosa________________________________________________ 16

Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati ____________________________ 17

"Raqamlarni kim boshqaradi,

U dunyoni boshqaradi"

Pifagorlar.

Kirish.

Vaziyatni tahlil qilish: Diofant tenglamalari bizning davrimizda dolzarb mavzudir, chunki tenglamalar, tengsizliklar, o'zgaruvchilar uchun hisob-kitoblardan foydalangan holda butun sonlardagi tenglamalarni echishga qisqartiradigan muammolarni hal qilish Yagona davlat imtihonining turli matematik to'plamlarida va to'plamlarida topilgan.

Darslarda bir o‘zgaruvchili kvadrat tenglamani yechishning turli usullarini o‘rganib chiqqanimizdan so‘ng, ikkita o‘zgaruvchili tenglamalar qanday yechilishini aniqlash biz uchun qiziq bo‘ldi. Bunday topshiriqlar olimpiadalarda va imtihon materiallarida mavjud.

Unda o'quv yili O'n birinchi sinf o'quvchilari matematika bo'yicha Yagona davlat imtihonini topshirishlari kerak, bu erda KIMlar yangi tuzilma bo'yicha tuzilgan. "A" bo'limi yo'q, lekin "B" va "C" qismlariga vazifalar qo'shildi. Kompilyatorlar C6 qo'shilishini kirish uchun ekanligi bilan izohlashadi texnika universiteti muammolarni hal qila olishi kerak yuqori daraja qiyinchiliklar.

Muammo: USE vazifalarining taxminiy variantlarini yechishda biz C6 da eng keng tarqalgan vazifalar butun sonlarda birinchi va ikkinchi darajali tenglamalarni yechish ekanligini payqadik. Ammo biz bunday tenglamalarni qanday yechish kerakligini bilmaymiz. Shu munosabat bilan bunday tenglamalar nazariyasini va ularni yechish algoritmini o‘rganish zarurati tug‘ildi.

Maqsad: Birinchi va ikkinchi darajali ikkita noma’lumli tenglamalarni butun sonlarda yechish usullarini o‘rganing.

Vazifalar: 1) o'quv va ma'lumotnoma adabiyotlarini o'rganish;

2) Tenglamalarni yechish usullari bo‘yicha nazariy material to‘plash;

3) Ushbu turdagi tenglamalarni yechish algoritmini tahlil qilish;

4) Yechimni tavsiflang.

5) Ushbu texnikadan foydalangan holda bir nechta misollarni ko'rib chiqing.

6) dan butun sonlarda ikki o‘zgaruvchili tenglamalarni yeching

materiallar USE-2010 C6.

O'rganish ob'ekti : Tenglamalarni yechish

O'rganish mavzusi : Ikki o‘zgaruvchili butun sonli tenglamalar.

Gipoteza: Bu mavzu katta amaliy ahamiyatga ega. DA maktab kursi Matematiklar bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamalarni va ularni echishning turli usullarini batafsil o'rganadilar. Ehtiyojlar ta'lim jarayoni o‘quvchilardan ikkita o‘zgaruvchili oddiy tenglamalarni bilish va yecha bilishni talab qiladi. Shu sababli, ushbu mavzuga e'tiborni kuchaytirish nafaqat asosli, balki maktab matematika kursida ham dolzarbdir.

bu ish talabalar tomonidan fakultativ darslarda ushbu mavzuni o'rganish uchun, bitiruvga tayyorgarlik ko'rish va kirish imtihonlari. Umid qilamizki, bizning materialimiz o'rta maktab o'quvchilariga ushbu turdagi tenglamalarni echishni o'rganishga yordam beradi.

1-bob. Ikki o‘zgaruvchili butun sonli tenglamalar nazariyasi.

1. Tarixiy ma'lumotnoma.

Diofant va diofant tenglamalari tarixi .

Butun sonlardagi tenglamalarni yechish eng qadimgi matematik masalalardan biridir. Matematikaning ushbu sohasi o'zining eng yuqori gullab-yashnashiga erishdi Qadimgi Gretsiya. Bizning davrimizga yetib kelgan asosiy manba Diofantning “Arifmetika” asaridir. Diofant butun sonlardagi noaniq tenglamalarni yechishda o‘zidan oldin to‘plangan tajribani umumlashtirib, kengaytirdi.

Tarix biz uchun ajoyib iskandariyalik algebraist Diofantning tarjimai holining bir nechta xususiyatlarini saqlab qoldi. Ba'zi manbalarga ko'ra, Diofant miloddan avvalgi 364 yilgacha yashagan. Faqat Diofantning o'ziga xos tarjimai holi ma'lum, bu afsonaga ko'ra, uning qabri toshiga o'yilgan va jumboqni ifodalagan:

«Xudo unga umrining oltidan bir qismini o'g'il qilib yubordi. Bunga o'n ikkinchisini qo'shib, yonoqlarini paxmoq bilan qopladi; ettinchi qismdan so'ng, U unga nikoh nurini yoqdi va nikohdan besh yil o'tgach, unga o'g'il tug'di. Voy! Baxtsiz marhum bola, otasining to'liq hayotining yarmiga yetib, shafqatsiz taqdir uni olib ketdi. To'rt yil o'tgach, qayg'usini raqamlar ilmi bilan yupatib, u [Diophantus] hayotini tugatdi "(taxminan 84 yosh).

Bu boshqotirma Diofant hal qilgan muammolarga misoldir. U butun sonlardagi masalalarni echishga ixtisoslashgan. Bunday muammolar endi diofantiya muammolari deb nomlanadi.

Diophantus tomonidan hal qilingan eng mashhur "ikki kvadratga parchalanish" muammosi. Uning ekvivalenti taniqli Pifagor teoremasidir. Bu teorema Bobilda ma'lum bo'lgan, ehtimol u ham ma'lum bo'lgan Qadimgi Misr, lekin birinchi marta Pifagor maktabida isbotlangan. Bu maktab asoschisi Pifagor (miloddan avvalgi 580-500 yillar) nomi bilan atalgan matematikaga qiziquvchi bir guruh faylasuflarning nomi shu edi.

Diofantning hayoti va faoliyati Iskandariyada davom etdi, u ma'lum bo'lgan muammolarni to'pladi va hal qildi va yangi muammolarni ixtiro qildi. Keyinchalik u ularni "Arifmetika" deb nomlangan katta asarida birlashtirdi. Arifmetikani tashkil etgan o‘n uchta kitobdan faqat oltitasi o‘rta asrlargacha saqlanib qolgan va Uyg‘onish davri matematiklari uchun ilhom manbai bo‘lgan.

1.1 Chiziqli Diofant tenglamasining yechimlar soniga oid teoremalar.

Bu erda biz teoremalarning formulalarini keltiramiz, ular asosida ikkita o'zgaruvchida birinchi darajali noaniq tenglamalarni butun sonlarda yechish algoritmini tuzish mumkin.

Teorema 1. Agar tenglamada , bo'lsa, tenglama kamida bitta yechimga ega.

Teorema 2. Agar tenglamada bo'lsa, va Bilan ga bo'linmaydi, u holda tenglamaning butun yechimlari yo'q.

Teorema 3. Agar tenglamada va bo'lsa, u qaysi tenglamaga ekvivalent bo'ladi.

Teorema 4. Agar tenglamada , bo'lsa, bu tenglamaning barcha butun yechimlari formulalarda mavjud:

qayerda x 0, y 0

1.2. Butun sonlardagi tenglamani yechish algoritmi.

Tuzilgan teoremalar bizga quyidagilarni tuzishga imkon beradi algoritm shakldagi tenglamaning butun sonlardagi yechimlari.

1. Sonlarning eng katta umumiy bo‘luvchisini toping a va b ,

agar va Bilan ga bo'linmaydi, u holda tenglamaning butun yechimlari yo'q;

agar va keyin

2. Tenglamani hadga ajrating, shu bilan tenglamani oling.

3. Butun sonli yechimni toping ( x 0, y 0) 1 ni raqamlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalash orqali tenglamalar va ;

4. Yaratish umumiy formula bu tenglamaning butun yechimlari

qayerda x 0, y 0 tenglamaning butun yechimidir , - har qanday butun son.

1.3 Tenglamalarni yechish usullari

Butun va natural sonlardagi tenglamalarni yechishda shartli ravishda farqlashimiz mumkin quyidagi usullar:

1. Variantlarni sanash usuli.

2. Evklid algoritmi.

3. Davomli kasrlar.

4. Faktorlarga ajratish usuli.

5. Ayrim o‘zgaruvchiga nisbatan butun sonlardagi tenglamalarni kvadrat shaklida yechish.

6. Qoldiqlar usuli.

7. Cheksiz tushish usuli.

2-bob

1. Tenglamalarni yechishga misollar.

2.1 Evklid algoritmi.

Vazifa 1 . 407 butun sonlardagi tenglamani yeching X – 2816y = 33.

Keling, kompilyatsiya qilingan algoritmdan foydalanamiz.

1. Evklid algoritmidan foydalanib, 407 va 2816 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisini topamiz:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Shuning uchun (407.2816) = 11, 33 11 ga bo'linadi

2. 37- tenglamani olish uchun dastlabki tenglamaning ikkala tomonini 11 ga bo‘ling X – 256y= 3 va (37, 256) = 1

3. Evklid algoritmidan foydalanib, 37 va 256 raqamlari orqali 1 raqamining chiziqli tasvirini topamiz.

256 = 37 6 + 34;

Oxirgi tenglikdan 1 ni ifodalaymiz, keyin tengliklarni ketma-ket ortib 3 ni ifodalaymiz; 34 va olingan ifodalarni 1 ning ifodasiga almashtiring.

1 = 34 – 3 11 = 34 – (37 – 34 1) 11 = 34 12 – 37 11 = (256 – 37 6) 12 – 37 11 =

– 83 37 – 256 (–12)

Shunday qilib, 37 (- 83) - 256 (-12) = 1, shuning uchun raqamlar juftligi x 0= – 83 va 0 da= – 12 37- tenglamaning yechimi X – 256y = 3.

4. Asl tenglama yechimlarining umumiy formulasini yozing

qayerda t- har qanday butun son.

2.2 Variantlarni sanash usuli.

Vazifa 2. Quyonlar va qirg'ovullar qafasda o'tirishadi, ularning jami 18 oyog'i bor. Hujayrada ularning qanchasi va boshqalar borligini aniqlang?

Yechim: Ikki noma'lum o'zgaruvchi bilan tenglama tuziladi, bunda x - quyonlar soni, y - qirg'ovullar soni:

4x + 2y = 18 yoki 2x + y = 9.

Ekspress da orqali X : y \u003d 9 - 2x.

Shunday qilib, muammoning to'rtta echimi bor.

Javob: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 Faktoring usuli.

Ikki o'zgaruvchili tenglamaning tabiiy yechimlarini topishda variantlarni sanab o'tish juda mashaqqatli bo'lib chiqadi. Bundan tashqari, agar tenglama mavjud bo'lsa butun yechimlar, ularni sanab bo'lmaydi, chunki bunday echimlar cheksiz ko'p. Shuning uchun biz yana bir hiyla ko'rsatamiz - faktorizatsiya usuli.

Vazifa 3. Butun sonlardagi tenglamani yeching y 3 - x 3 = 91.

Yechim. 1) Qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanib, biz tenglamaning o'ng tomonini omillarga ajratamiz:

(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91……………………….(1)

2) 91 sonining barcha bo'luvchilarini yozing: ± 1; ± 7; ± 13; ±91

3) Biz tadqiqot olib boramiz. E'tibor bering, har qanday butun son uchun x va y raqam

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y ||x | + x 2 = (|y | - |x |) 2 ≥ 0,

shuning uchun tenglamaning chap tomonidagi ikkala omil ham ijobiy bo'lishi kerak. U holda (1) tenglama tenglamalar tizimlari to'plamiga ekvivalent bo'ladi:

; ; ;

4) Tizimlarni yechgandan so'ng, biz quyidagilarni olamiz: birinchi tizimning echimlari (5; 6), (-6; -5); uchinchi (-3; 4),(-4; 3); butun sonlardagi ikkinchi va toʻrtinchi yechimlar yoʻq.

Javob:(1) tenglama to'rtta yechimga ega (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

Vazifa 4. Tenglamani qanoatlantiradigan barcha natural son juftlarini toping

Yechim. Tenglamaning chap tomonini faktorlarga ajratamiz va tenglamani quyidagicha yozamiz

.

Chunki 69 sonining bo'luvchilari 1, 3, 23 va 69 raqamlari bo'lsa, 69 ni ikki yo'l bilan olish mumkin: 69=1 69 va 69=3 23. Shuni hisobga olib, biz ikkita tenglamalar tizimini olamiz, ularni yechish orqali biz kerakli raqamlarni topishimiz mumkin:

Birinchi tizimning yechimi, ikkinchisi esa yechimga ega.

Javob: .

Vazifa 5.

Yechim. Tenglamani shaklda yozamiz

.

Tenglamaning chap tomonini faktorlarga ajratamiz. Oling

.

Ikkita butun sonning ko'paytmasi faqat ikkita holatda 1 ga teng bo'lishi mumkin: agar ularning ikkalasi ham 1 yoki -1 ga teng bo'lsa. Biz ikkita tizimni olamiz:

Birinchi sistemaning yechimi x=2, y=2, ikkinchi sistemaning yechimi x=0, y=0.

Javob: .

Vazifa 6. Butun sonlardagi tenglamani yeching

.

Yechim. Ushbu tenglamani shaklda yozamiz

Tenglamaning chap tomonini guruhlash usuli bilan omillarga ajratamiz, olamiz

.

Ikki butun sonning ko'paytmasi quyidagi hollarda 7 ga teng bo'lishi mumkin:

7=1 7=7 1=-1 (-7)=-7 (-1) Shunday qilib, biz toʻrtta tizimga ega boʻlamiz:

Yoki , yoki , yoki .

Birinchi sistemaning yechimi sonlar juftligi x = - 5, y = - 6. Ikkinchi sistemani yechib, x = 13, y = 6 ni olamiz. Uchinchi sistema uchun yechim x = 5 sonlar, y = 6. To‘rtinchi sistemaning yechimi x = - 13, y = - 6.

Vazifa 7. Tenglama ekanligini isbotlang ( x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 emas

butun sonli yechimlarga ega.

Yechim. 1) Biz tenglamaning chap tomonini faktorlarga ajratamiz va tenglamaning ikkala tomonini 3 ga bo'lamiz, natijada biz tenglamani olamiz:

(x - y)(y - z)(z - x) = 10…………………………(2)

2) 10 ning bo‘luvchilari ±1, ±2, ±5, ±10 sonlardir. Shuni ham yodda tutingki, (2) tenglamaning chap tomonidagi omillar yig'indisi 0 ga teng. 10 sonining bo'luvchilari to'plamidan har qanday uchta raqamning yig'indisi 10 ko'paytmasini berishini tekshirish oson, 0 ga teng bo'lmaydi. Demak, asl tenglama butun sonlarda yechimga ega emas.

Vazifa 8. Tenglamani yeching: x 2 - y 2 \u003d 3 butun sonlarda.

Yechim:

1. qisqartirilgan ko'paytirish formulasini qo'llang x 2 - y 2 \u003d (x-y) (x + y) \u003d 3

2. 3 = -1;-3;1;3 sonining bo‘luvchilarini toping

3. Bu tenglama 4 ta sistema to‘plamiga ekvivalentdir:

x-y=1 2x=4 x=2, y=1

X-y=3 x=2, y=-1

X-y=-3 x=-2, y=1

X-y=-1 x=-2, y=-1

Javob: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2,-1)

2.4 Qoldiqlar usuli.

Vazifa 9 .Tenglamani yeching: x 2 + xy \u003d 10

Yechim:

1. y o‘zgaruvchini x ko‘rinishida ifodalang: y= 10 lar 2

Y = - X

2. Kasr butun son bo'ladi, agar x Ê ±1;±2; ±5;±10

3. 8 ta qiymatni toping y.

Agar x=-1 bo'lsa, y=-9 x=-5 bo'lsa, y=3 bo'ladi

x=1 keyin y=9 x=5 keyin y=-3

x=-2 keyin y=-3 x=-10 keyin y=9

x=2 keyin y=3 x=10 keyin y=-9

Vazifa 10. Butun sonlardagi tenglamani yeching:

2x 2 -2xy + 9x + y \u003d 2

Yechim:

biz tenglamadan unga faqat birinchi darajaga kiradigan noma'lumni ifodalaymiz - bu holda da:

2x 2 + 9x-2=2xy-y

Y =

biz ko'phadni ko'phadga "burchak" ga bo'lish qoidasidan foydalanib, kasrning butun qismini tanlaymiz. Biz olamiz:

Shuning uchun 2x-1 farqi faqat -3, -1,1,3 qiymatlarini olishi mumkin.

Bu to'rtta holatni sanab o'tish qoladi.

Javob : (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

2. Imtihon darajasining vazifalari

Butun sonlarda ikkita o'zgaruvchili birinchi darajali tenglamalarni yechishning bir necha usullarini ko'rib chiqqach, ko'pincha faktorizatsiya usuli va qoldiq usuli qo'llanilishini payqadik.

Yagona davlat imtihoni -2011 variantlarida keltirilgan tenglamalar asosan qoldiq usuli bilan yechilgan.

1. Tenglamani natural sonlarda yeching: , bu yerda m>n

Yechim:

O'zgaruvchini ifodalaylik P o'zgaruvchi orqali t

(y+10) 2< 6 -2 ≤ у+10 ≤ 2 -12 ≤ у ≤ -8

(y+6) 2< 5 -2 ≤ у+6 ≤ 2 -8 ≤ у ≤ -4 у=-8

Javob: (12; -8)

Xulosa.

Yechim turli xil tenglamalar maktab matematika kursining mazmun yo'nalishlaridan biridir, lekin shu bilan birga, bir nechta noma'lumli tenglamalarni echish usullari amalda ko'rib chiqilmaydi. Shu bilan birga, bir nechta noma’lumli tenglamalarni butun sonlarda yechish eng qadimgi matematik masalalardan biridir. Bunday tenglamalarni echish usullarining aksariyati butun sonlarning bo'linuvchanligi nazariyasiga asoslanadi, unga qiziqish hozirgi vaqtda tez rivojlanishi bilan belgilanadi. axborot texnologiyalari. Shu munosabat bilan, o'rta maktab o'quvchilari uchun butun sonlardagi ba'zi tenglamalarni echish usullari bilan tanishish qiziqarli bo'ladi, ayniqsa, turli darajadagi olimpiadalarda ko'pincha butun sonlardagi tenglamani echishni o'z ichiga olgan topshiriqlar taklif etiladi va bu yil bunday tenglamalar kiritilgan. ko'proq va imtihon materiallarida.

Bizning ishimizda biz faqat birinchi va ikkinchi darajali noaniq tenglamalarni ko'rib chiqdik. Birinchi darajali tenglamalar, biz ko'rganimizdek, juda sodda tarzda echiladi. Biz bunday tenglamalarning turlarini va ularni yechish algoritmlarini aniqladik. Bunday tenglamalarning umumiy yechimi ham topildi.

Ikkinchi darajali tenglamalar qiyinroq, shuning uchun biz faqat maxsus holatlarni ko'rib chiqdik: Pifagor teoremasi va tenglamaning bir qismi mahsulot shakliga ega bo'lgan holatlar, ikkinchisi esa faktorizatsiyalangan.

Buyuk matematiklar uchinchi va undan yuqori darajali tenglamalar bilan shug'ullanadilar, chunki ularning echimlari juda murakkab va mashaqqatli.

Kelajakda biz bir nechta o'zgaruvchili tenglamalarni o'rganish bo'yicha tadqiqotlarimizni chuqurlashtirishni rejalashtirmoqdamiz, ular muammolarni hal qilishda qo'llaniladi.

Adabiyot.

1. Berezin V.N. Matematikadan fakultativ va sinfdan tashqari ishlar uchun topshiriqlar to'plami. Moskva "Ma'rifat" 1985 yil

2. Galkin E.G. Matematikadan nostandart vazifalar. Chelyabinsk "Vzglyad" 2004 yil

3. Galkin E.G. Butun sonlar bilan bog'liq muammolar. Chelyabinsk "Vzglyad" 2004 yil

4. Gleyzer E.I. Maktabda matematika tarixi. Moskva "Ma'rifat" 1983 yil

5. Mordkovich A.G. Algebra va tahlil boshlanishi 10-11 sinf. Moskva 2003 yil

6. Matematika. USE 2010. Federal institut

pedagogik o'lchovlar.

7. Sharygin I. F. Matematikadan fakultativ kurs. Yechim

vazifalar. Moskva 1986 yil

Ish matni rasm va formulalarsiz joylashtirilgan.
To'liq versiya ish PDF formatidagi "Ish fayllari" yorlig'ida mavjud

Kirish.

O'rganish ob'ekti.

Tadqiqot sonlar nazariyasining eng qiziqarli sohalaridan biri - butun sonlarda tenglamalarni echish bilan bog'liq.

O'rganish mavzusi.

Butun sonli koeffitsientli algebraik tenglamalarni butun sonlarda bir nechta noma’lumlarda yechish eng qiyin va qadimiy matematik masalalardan biri bo‘lib, maktab matematika kursida yetarlicha chuqur ifodalanmagan. Men o'z ishimda butun sonlardagi tenglamalarning to'liq tahlilini, ularni echish usullari bo'yicha ushbu tenglamalarning tasnifini, ularni echish algoritmlarining tavsifini, shuningdek, har bir usulni qo'llashning amaliy misollarini taqdim etaman. butun sonlardagi tenglamalarni yechish.

Maqsad.

Butun sonlardagi tenglamalarni yechish usullarini o‘rganing.

Vazifalar:

O'quv va ma'lumotnoma adabiyotlarini o'rganish;

Tenglamalarni yechish bo‘yicha nazariy material to‘plash;

Ushbu turdagi tenglamalarni yechish algoritmlarini tahlil qilish;

Yechimlarni tavsiflash;

Ushbu usullar yordamida tenglamalarni yechish misollarini ko'rib chiqing.

Gipoteza:

Olimpiada topshiriqlarida butun sonlardagi tenglamalar bilan duch kelganimda, men ularni yechishdagi qiyinchiliklar ularni yechishning barcha usullari menga ma'lum emasligi bilan bog'liq deb taxmin qildim.

Muvofiqligi:

USE vazifalarining taxminiy variantlarini echishda men ko'pincha birinchi va ikkinchi darajali tenglamalarni butun sonlarda echish uchun topshiriqlar mavjudligini payqadim. Bundan tashqari, olimpiada vazifalari turli darajalar Shuningdek, butun sonlardagi tenglamalar yoki butun sonlardagi tenglamalarni yechish ko‘nikmalari yordamida yechiladigan masalalar mavjud. Butun sonlardagi tenglamalarni yechish usullarini bilishning ahamiyati tadqiqotimning dolzarbligini belgilaydi.

Tadqiqot usullari

Axborotni nazariy tahlil qilish va umumlashtirish ilmiy adabiyotlar butun sonlardagi tenglamalar haqida.

Butun sonlardagi tenglamalarni yechish usullariga ko‘ra tasniflash.

Butun sonlardagi tenglamalarni yechish usullarini tahlil qilish va umumlashtirish.

Tadqiqot natijalari

Maqolada tenglamalarni yechish usullari tasvirlangan, Ferma teoremasining nazariy materiali, Pifagor teoremasi, Evklid algoritmi ko‘rib chiqiladi, turli darajadagi murakkablikdagi masalalar va tenglamalarni yechish misollari keltirilgan.

2. Butun sonlardagi tenglamalar tarixi

Diofant - Qadimgi Yunonistonning olimi - algebraisti, ba'zi manbalarga ko'ra, u miloddan avvalgi 364 yilgacha yashagan. e. U butun sonlardagi masalalarni echishga ixtisoslashgan. Diofant tenglamalari shundan kelib chiqqan. Diophantus tomonidan hal qilingan eng mashhur "ikki kvadratga parchalanish" muammosi. Uning ekvivalenti taniqli Pifagor teoremasidir. Diofantning hayoti va faoliyati Iskandariyada davom etdi, u ma'lum bo'lgan muammolarni to'pladi va hal qildi va yangi muammolarni ixtiro qildi. Keyinchalik u ularni "Arifmetika" deb nomlangan katta asarida birlashtirdi. Arifmetikani tashkil etgan o‘n uchta kitobdan faqat oltitasi o‘rta asrlargacha saqlanib qolgan va Uyg‘onish davri matematiklari uchun ilhom manbai bo‘lgan.Diofantning “Arifmetika”si muammolar to‘plami bo‘lib, ularning har biri yechimi va zarur tushuntirishlarini o‘z ichiga oladi. To'plam turli xil muammolarni o'z ichiga oladi va ularning echimi ko'pincha juda aqlli. Diofantni faqat musbat butun son va ratsional yechimlar qiziqtiradi. U irratsional yechimlarni “mumkin emas” deb ataydi va kerakli ijobiy, ratsional yechimlar olinishi uchun koeffitsientlarni sinchiklab tanlaydi.

Butun sonlardagi tenglamalarni yechish uchun Ferma teoremasidan foydalaniladi. Buni isbotlash tarixi juda qiziq. Ko'pgina taniqli matematiklar Buyuk teoremaning to'liq isboti ustida ishladilar va bu harakatlar zamonaviy sonlar nazariyasida ko'plab natijalarga olib keldi. Noto'g'ri isbotlar soni bo'yicha teorema birinchi o'rinda ekanligiga ishoniladi.

Ajoyib frantsuz matematigi Per Ferma n ≥ 3 butun son uchun tenglamaning x, y, z musbat sonlarida yechim yo‘qligini ta’kidladi (xyz = 0 x, y, z ning musbatligi bilan chiqarib tashlanadi. n = 3 holat uchun, bu teorema X asrda o'rta osiyolik matematik al-Xo'jandiy tomonidan isbotlangan, ammo uning isboti saqlanib qolmagan.Biroz vaqt o'tgach, Fermatning o'zi n = 4 uchun ma'lum bir holatning isbotini e'lon qildi.

1770 yilda Eyler n = 3 teoremasini, 1825 yilda n = 5 uchun Dirixlet va Legendre va n = 7 uchun Lame teoremasini isbotladilar. Kummer teorema 100 dan kichik bo'lgan barcha tub n uchun to'g'ri ekanligini ko'rsatdi, 37 dan istisno, 59, 67.

1980-yillarda bor edi yangi yondashuv muammoni hal qilish uchun. 1983 yilda Faltings tomonidan isbotlangan Mordell taxminidan kelib chiqadiki, tenglama

n > 3 uchun faqat chekli sonli koʻp tub yechimlar boʻlishi mumkin.

Teoremani isbotlashda oxirgi, lekin eng muhim qadam 1994-yil sentabr oyida Uils tomonidan qo'yilgan. Uning 130 sahifalik isboti Annals of Mathematics jurnalida chop etilgan. Isbot nemis matematigi Gerxard Freyning Fermaning oxirgi teoremasi Taniyama-Shimura gipotezasi natijasidir, degan faraziga asoslanadi (bu faraz Ken Ribet tomonidan J.-P. Serra ishtirokida isbotlangan). uning isboti versiyasi 1993 yilda (7 yillik mashaqqatli mehnatdan so'ng), lekin tez orada jiddiy bo'shliq aniqlandi; Richard Lourens Teylorning yordami bilan bo'shliq tezda yopildi. Yakuniy versiya 1995 yilda nashr etilgan. 2016 yil 15 mart Endryu Uayls Abel mukofotini oldi. Hozirda mukofot 6 million Norvegiya kronasini, ya'ni taxminan 50 million rublni tashkil qiladi. Uaylsning so‘zlariga ko‘ra, mukofot uning uchun “to‘liq kutilmagan” bo‘lgan.

3. Butun sonlardagi chiziqli tenglamalar

Chiziqli tenglamalar barcha diofant tenglamalarining eng oddiyidir.

a va b ba'zi sonlar, x esa noma'lum o'zgaruvchi bo'lgan ax=b ko'rinishdagi tenglama deyiladi. chiziqli tenglama noma'lum biri bilan. Bu erda tenglamaning faqat butun yechimlarini topish talab qilinadi. Ko'rinib turibdiki, agar a ≠ 0 bo'lsa, u holda b ni a ga to'liq bo'linadigan va bu yechim x = b / f bo'lsa, tenglama butun sonli yechimga ega bo'ladi. Agar a=0 bo'lsa, b=0 bo'lganda tenglama butun sonli yechimga ega bo'ladi va bu holda x ixtiyoriy sondir.

chunki 12 4 ga teng bo'linadi

Chunki a=o va b=0, u holda x har qanday son

Chunki 7 hatto 10 ga bo'linmaydi, u holda echimlar yo'q.

4. Variantlarni sanab o'tish usuli.

Variantlarni sanab o'tish usulida sonlarning bo'linuvchanlik belgilarini hisobga olish, barchasini hisobga olish kerak. mumkin bo'lgan variantlar chekli sanab tengligi. Ushbu usul quyidagi muammolarni hal qilish uchun ishlatilishi mumkin:

№1 49x+69y=602 tenglamaning yechimi bo‘lgan barcha juft natural sonlar to‘plamini toping.

x = tenglamadan ifodalaymiz,

Chunki x va y natural sonlar, keyin x = ≥ 1, maxrajdan qutulish uchun butun tenglamani 49 ga ko'paytiring:

602 ni chap tomonga siljiting:

51y ≤ 553, y, y= 10 ni ifodalang

Variantlarni to‘liq sanab o‘tish shuni ko‘rsatadiki, tenglamaning natural yechimlari x=5, y=7 bo‘ladi.

Javob: (5,7).-

№2 Muammoni hal qiling

2, 4, 7 raqamlaridan bitta raqamni ikki martadan ortiq takrorlash mumkin bo'lmagan uch xonali raqamni yaratish kerak.

2 raqami bilan boshlangan barcha uch xonali sonlar sonini topamiz: (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) - ulardan 8 tasi bor.

Xuddi shunday, biz 4 va 7 raqamlari bilan boshlangan barcha uch xonali raqamlarni topamiz: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477).

(772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742) - ularning har biri 8 ta raqamdan iborat. Faqat 24 ta raqam mavjud.

Javob: 24.

5. Davomli kasr va Evklid algoritmi

Davomli kasr oddiy kasrning shakldagi ifodasidir

bu yerda q 1 butun son, q 2 , … ,qn esa natural sonlardir. Bunday ifoda davomli (cheklangan davomli) kasr deyiladi. Chekli va cheksiz davomli kasrlar mavjud.

Uchun ratsional sonlar davomli kasrga ega yakuniy ko'rinish. Bundan tashqari, a i ketma-ketligi aynan kasrning pay va maxrajiga Evklid algoritmini qo‘llash orqali olinadigan bo‘laklar ketma-ketligidir.

Davomli kasrlar bilan tenglamalarni yechish, men butun sonlarda tenglamalarni echishning ushbu usuli uchun umumiy harakatlar algoritmini tuzdim.

Algoritm

1) Noma'lumlar uchun koeffitsientlar nisbatini kasr shaklida tuzing

2) Ifodani noto'g'ri kasrga aylantiring

3) Noto'g'ri kasrning butun son qismini tanlang

4) To‘g‘ri kasrni teng kasr bilan almashtiring

5) maxrajda olingan noto'g'ri kasr bilan 3.4 ni bajaring

6) Yakuniy natijaga qadar 5-ni takrorlang

7) Hosil boʻlgan ifodada davomli kasrning oxirgi boʻgʻinini olib tashlang, hosil boʻlgan yangi davomli kasrni oddiy kasrga aylantiring va uni asl kasrdan ayiring.

Misol№1 127x- 52y+ 1 = 0 tenglamani butun sonlarda yeching

Noma'lumlarda koeffitsientlar nisbatini o'zgartiramiz.

Avvalo, noto'g'ri kasrning butun qismini tanlaymiz; = 2 +

To'g'ri kasrni teng kasr bilan almashtiring.

Bu erda = 2+

Keling, maxrajda olingan noto'g'ri kasr bilan bir xil o'zgarishlarni bajaramiz.

Endi asl kasr shaklni oladi: Kasr uchun bir xil fikrni takrorlab, biz hosil qilamiz

Biz yakuniy davomli yoki davomli kasr deb ataladigan iborani oldik. Ushbu davomli kasrning oxirgi bo'g'inini - beshdan birini tashlab, biz hosil bo'lgan yangi davomli kasrni oddiy kasrga aylantiramiz va uni asl kasrdan ayiramiz:

Keling, hosil bo'lgan ifodani umumiy maxrajga keltiramiz va uni olib tashlaymiz.

Negaki 127∙9-52∙22+1=0. Olingan tenglikni 127x- 52y + 1 = 0 tenglama bilan taqqoslashdan kelib chiqadiki, u holda x= 9, y= 22 asl tenglamaning yechimi bo'ladi va teoremaga ko'ra, uning barcha yechimlari ichida joylashgan bo'ladi. progressiyalar x= 9+ 52t, y= 22+ 127t , bu yerda t=(0; ±1; ±2....). , uning oxirgi havolasini olib tashlang va yuqorida keltirilganlarga o'xshash hisoblarni bajaring.

Ushbu taxminni isbotlash uchun bizga davomli kasrlarning ba'zi xususiyatlari kerak bo'ladi.

Qaytib bo'lmaydigan kasrni ko'rib chiqing. a ni b ga bo'lishda q 1 bo'lakni va r 2 bilan qoldiqni belgilang. Keyin biz olamiz:

U holda b=q 2 r 2 +r 3 ,

Xuddi shunday

r 2 \u003d q 3 r 3 + r 4, ;

r 3 \u003d q 4 r 4 + r 5,;

………………………………..

q 1 , q 2 ,… miqdorlar toʻliq boʻlmagan boʻlaklar deyiladi. Yuqoridagi to'liq bo'lmagan qismlarni shakllantirish jarayoni deyiladi Evklid algoritmi. r 2 , r 3 ,... boʻlinishning qoldiqlari tengsizliklarni qanoatlantiradi

bular. kamayuvchi manfiy bo'lmagan sonlar qatorini hosil qiling.

2-misol 170x+190y=3000 tenglamani butun sonlarda yeching.

10 ga kamaytirilgandan so'ng, tenglama quyidagicha ko'rinadi:

Muayyan yechimni topish uchun biz kasrni davomli kasrga kengaytirishdan foydalanamiz

Unga mos keladigan oxirgi kasrni oddiy kasrga aylantirib

Ushbu tenglamaning ma'lum bir yechimi shaklga ega

X 0 \u003d (-1) 4300 ∙ 9 \u003d 2700, y 0 \u003d (-1) 5300 ∙ 8 \u003d -2400,

va umumiy formula bilan beriladi

x=2700-19k, y=-2400+17k.

bu yerdan k parametridagi shartni olamiz

Bular. k=142, x=2, y=14. .

6. Faktoring usuli

Variantlarni sanab o'tish usuli noqulay usuldir, chunki sanab o'tish orqali to'liq echimlarni topish mumkin bo'lmagan holatlar mavjud, chunki bunday echimlarning cheksiz soni mavjud. Faktorizatsiya usuli juda qiziqarli texnika bo'lib, u ham boshlang'ich matematikada, ham oliy matematikada uchraydi.

Mohiyat bir xil transformatsiyadan iborat. Har qanday bir xil o'zgartirishning ma'nosi ifodani uning mohiyatini saqlab qolgan holda boshqa shaklda yozishdir. Ushbu usulni qo'llash misollarini ko'rib chiqing.

№1 y butun sonlardagi tenglamani yeching 3 -x 3 = 91.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanib, biz tenglamaning o'ng tomonini omillarga ajratamiz:

(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91

Biz 91 raqamining barcha bo'luvchilarini yozamiz: ± 1; ± 7; ± 13; ±91

E'tibor bering, har qanday butun x va y uchun raqam

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,

shuning uchun tenglamaning chap tomonidagi ikkala omil ham ijobiy bo'lishi kerak. Keyin asl tenglama tenglamalar tizimlari to'plamiga ekvivalent bo'ladi:

Tizimlarni hal qilib, biz butun son bo'lgan ildizlarni tanlaymiz.

Asl tenglamaning yechimlarini olamiz: (5; 6), (-6; -5); (-3; 4),(-4; 3).

Javob: (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

№2 x tenglamani qanoatlantiradigan barcha natural son juftlarini toping 2 -y 2 = 69

Tenglamaning chap tomonini faktorlarga ajratamiz va tenglamani quyidagicha yozamiz

Chunki 69 sonining bo'luvchilari 1, 3, 23 va 69 raqamlari bo'lsa, 69 ni ikki yo'l bilan olish mumkin: 69=1 69 va 69=3 23. X-y > 0 ekanligini hisobga olsak, biz ikkita tenglamalar tizimini olamiz, ularni yechish orqali biz kerakli raqamlarni topishimiz mumkin:

Bitta o‘zgaruvchini ifodalab, ikkinchi tenglamaga almashtirib, tenglamalarning ildizlarini topamiz.Birinchi sistemaning yechimi x=35;y=34 , ikkinchi sistemaning yechimi x=13, y=10.

Javob: (35; 34), (13; 10).

№3 x + y \u003d xy tenglamasini butun sonlarda yeching:

Tenglamani shaklda yozamiz

Tenglamaning chap tomonini faktorlarga ajratamiz. Oling

Ikkita butun sonning ko'paytmasi faqat ikkita holatda 1 ga teng bo'lishi mumkin: agar ularning ikkalasi ham 1 yoki -1 ga teng bo'lsa. Biz ikkita tizimni olamiz:

Birinchi sistemaning yechimi x=2, y=2, ikkinchi sistemaning yechimi x=0, y=0.Javob: (2; 2), (0; 0).

№4 (x - y) tenglama ekanligini isbotlang. 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 butun sonlarda yechimga ega emas.

Biz tenglamaning chap tomonini faktorlarga ajratamiz va tenglamaning ikkala tomonini 3 ga bo'lamiz, natijada biz tenglamani olamiz:

(x - y)(y - z)(z - x) = 10

10 ning bo'luvchilari ±1, ±2, ±5, ±10 raqamlaridir. Shuni ham yodda tutingki, tenglamaning chap tomonidagi omillar yig'indisi 0 ga teng. Ko'paytmada 10 ni beradigan 10 sonining bo'luvchilari to'plamidan har qanday uchta raqamning yig'indisi 0 ga teng emasligini tekshirish oson. teng 0. Demak, asl tenglama butun sonlarda yechimga ega emas.

7. Qoldiqlar usuli

Usulning asosiy vazifasi - olingan natijalar asosida tenglamaning ikkala qismining butun songa bo'linishining qolgan qismini topishdir. Ko'pincha olingan ma'lumotlar tenglamaning echimlar to'plamining imkoniyatlarini kamaytiradi. Misollarni ko'rib chiqing:

№1 x tenglama ekanligini isbotlang 2 = 3y + 2 butun sonlarda yechimga ega emas.

Isbot.

X, y ∈ N bo'lgan holatni ko'rib chiqaylik. Ikkala tomonning qoldiqlarini 3 ga bo'lingan holda ko'rib chiqing. Tenglamaning o'ng tomoni y ning istalgan qiymati uchun 3 ga bo'linganda 2 qoldig'ini beradi. Natural sonning kvadrati bo'lgan chap tomoni 3 ga bo'linganda har doim 0 yoki 1 qoldiqni beradi. Shunga asoslanib, natural sonlarda bu tenglamaning yechimi yo'q degan xulosaga kelamiz.

Raqamlardan biri 0 ga teng bo'lgan holatni ko'rib chiqaylik. Shunda, aniqki, butun sonlarda yechim yo'q.

y manfiy butun son bo'lgan holatda yechim yo'q, chunki o'ng tomoni salbiy, chap tomoni esa ijobiy bo'ladi.

X manfiy butun son bo'lgan holatda ham yechim yo'q, chunki (-x) 2 = (x) 2 bo'lganligi sababli avval ko'rib chiqilgan holatlardan biriga kiradi.

Ma'lum bo'lishicha, ko'rsatilgan tenglamaning butun sonlarda yechimlari yo'q, buni isbotlash kerak edi.

№2 Butun sonlarda yechish 3 X = 1 + y 2 .

(0; 0) bu tenglamaning yechimi ekanligini ko'rish qiyin emas. Bu tenglamaning boshqa butun son ildizlariga ega emasligini isbotlash uchun qoladi.

Vaziyatlarni ko'rib chiqing:

1) Agar x∈N, y∈N bo‘lsa, Z uchga qoldiqsiz bo‘linadi va 3 ga bo‘linganda 1 + y 2 hosil bo‘ladi.

qolgan 1 yoki 2. Shuning uchun musbat sonlar uchun tenglik

x, y qiymatlari mumkin emas.

2) Agar x manfiy butun son bo'lsa, y∈Z , u holda 0 bo'ladi< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и

tenglik ham mumkin emas. Shuning uchun (0; 0) yagona

Javob: (0; 0).

№3 2x tenglamani yeching 2 -2xy+9x+y=2 butun sonlarda:

Tenglamadan unga faqat birinchi darajaga kiradigan noma'lumni, ya'ni y o'zgaruvchisini ifodalaymiz:

2x 2 + 9x-2 = 2xy-y, qaerdan

Ko'phadni ko'phadga "burchak" ga bo'lish qoidasidan foydalanib, kasrning butun qismini tanlaymiz. Biz olamiz:

Shubhasiz, 2x-1 farq faqat -3, -1, 1 va 3 qiymatlarini olishi mumkin.

Ushbu to'rtta holatni sanab o'tish kerak, buning natijasida biz echimlarni olamiz: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

Javob: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

8. Ikki o‘zgaruvchili tenglamalarni o‘zgaruvchilardan biriga nisbatan kvadrat shaklida butun sonlarda yechish misoli.

№1 5x tenglamani butun sonlarda yeching 2 +5y 2 + 8xy+2y-2x +2=0

Ushbu tenglamani faktorizatsiya usuli bilan echish mumkin, ammo bu tenglamaga nisbatan qo'llaniladigan bu usul juda mashaqqatli. Keling, yanada oqilona yo'lni ko'rib chiqaylik.

Tenglamani x o'zgaruvchiga nisbatan kvadrat shaklida yozamiz:

5x 2 +(8y-2)x+5y 2 +2y+2=0

Biz uning ildizlarini topamiz.

Bu tenglama faqat diskriminant bo'lgan taqdirdagina yechimga ega

bu tenglamaning nolga teng, ya'ni. - 9(y+1) 2 =0, demak, y= - 1.

Agar y=-1 bo'lsa, x=1 bo'ladi.

Javob: (1; - 1).

9. Butun sonlarda tenglamalar yordamida masalalar yechishga misol.

№ 1. Natural sonlardagi tenglamani yeching : bu yerda n>m

n o‘zgaruvchini m o‘zgaruvchisi bilan ifodalaymiz:

625 sonining bo‘luvchilarini topamiz: bu 1; 5; 25; 125; 625

1) agar m-25 =1, u holda m=26, n=25+625=650

2) m-25 =5, keyin m=30, n=150

3) m-25 =25, keyin m=50, n=50

4) m-25 =125, keyin m=150, n=30

5) m-25 =625, keyin m=650, n=26

Javob: m=150, n=30

№ 2. Natural sonlardagi tenglamani yeching: mn +25 = 4m

Yechish: mn +25 = 4m

1) 4m o‘zgaruvchisini n bilan ifodalang:

2) 25 sonining tabiiy bo‘luvchilarini toping: bu 1; 5; 25

agar 4-n=1 bo‘lsa, n=3, m=25

4-n=5, keyin n=-1, m=5; 4-n =25, keyin n=-21, m=1 (chet ildizlar)

Javob: (25;3)

Butun sonlardagi tenglamani yechish topshiriqlaridan tashqari tenglamaning butun son ildizlari yo‘qligini isbotlash vazifalari ham mavjud.

Bunday muammolarni hal qilishda bo'linishning quyidagi xususiyatlarini esga olish kerak:

1) Agar n Z bo'lsa; n 2 ga bo'linadi, u holda n = 2k, k ∈ Z.

2) Agar n ∈ Z bo'lsa; n 2 ga bo'linmaydi, u holda n = 2k+1, k ∈ Z.

3) Agar n ∈ Z bo'lsa; n 3 ga bo'linadi, u holda n = 3k, k ∈ Z.

4) Agar n ∈ Z bo‘lsa; n 3 ga bo'linmaydi, u holda n = 3k±1, k ∈ Z.

5) Agar n ∈ Z bo'lsa; n 4 ga bo'linmaydi, u holda n = 4k+1; n = 4k+2; n = 4k+3. k ∈ Z.

6) Agar n ∈ Z bo'lsa; n(n+1) 2 ga bo'linadi, keyin n (n+1)(n+2) 2 ga bo'linadi;3;6.

7) n; n+1 oʻzaro tubdir.

№3 x tenglama ekanligini isbotlang 2 - 3y = 17 ning butun yechimlari yo'q.

Isbot:

X bo'lsin; y - tenglamaning yechimlari

x 2 \u003d 3 (y + 6) -1 y ∈ Z keyin y+6 ∈ Z, demak, 3(y+6) 3 ga bo'linadi, demak, 3(y+6)-1 3 ga bo'linmaydi, demak, x 2 3 ga bo'linmaydi, demak, x emas. 3 ga bo'linadi, shuning uchun x = 3k±1, k ∈ Z.

Buni asl tenglamaga almashtiring.

Bizda qarama-qarshilik bor. Bu shuni anglatadiki, tenglamada isbotlanishi kerak bo'lgan to'liq echimlar yo'q.

10.Peak formulasi

Pik formulasi 1899 yilda avstriyalik matematik Georg Pik tomonidan kashf etilgan. Formula butun sonlardagi tenglamalar bilan bog'liq, chunki ko'pburchaklardan faqat butun sonlar, shuningdek, tenglamalardagi butun sonlar olinadi.

Ushbu formuladan foydalanib, siz hujayradagi varaqda qurilgan raqamning maydonini topishingiz mumkin (uchburchak, kvadrat, trapezoid, to'rtburchak, ko'pburchak).

Ushbu formulada biz ko'pburchak ichida va uning chegarasida butun son nuqtalarni topamiz.

Imtihonda bo'ladigan vazifalarda hujayradagi varaqda qurilgan ko'pburchak berilgan va maydonni topish haqida savol berilgan vazifalarning butun guruhi mavjud. Hujayra shkalasi bir kvadrat santimetrga teng.

№1 misol

M - uchburchak chegarasidagi tugunlar soni (tomonlar va cho'qqilarda)

N - uchburchak ichidagi tugunlar soni.

*"Tuzaklar" ostida biz chiziqlarning kesishishini nazarda tutamiz. Uchburchakning maydonini toping:

Tugunlarga e'tibor bering:

M = 15 (qizil rang bilan ko'rsatilgan)

N = 34 (ko'k rang bilan belgilangan)

№2 misol

Ko'pburchakning maydonini toping: tugunlarga e'tibor bering:

M = 14 (qizil rang bilan ko'rsatilgan)

N = 43 (ko'k rang bilan belgilangan)

12. Tushilish usuli

Butun sonlardagi tenglamalarni yechish usullaridan biri – tushish usuli Ferma teoremasiga asoslanadi.

Tushilish usuli cheksiz kamayuvchi musbat z bilan yechimlar ketma-ketligiga bitta yechim qurishdan iborat bo'lgan usuldir.

Biz ushbu usulning algoritmini aniq tenglamani yechish misolida ko'rib chiqamiz.

1-misol. 5x + 8y = 39 butun sonlardagi tenglamani yeching.

1) Keling, eng kichik koeffitsientga ega bo'lgan noma'lumni tanlaymiz (bizning holatimizda bu x) va uni boshqa noma'lum bilan ifodalaymiz:

2) Butun son qismini tanlang: Shubhasiz, agar ifoda butun son bo'lib chiqsa, x butun son bo'ladi, bu esa, o'z navbatida, 4 - 3y soni 5 ga qoldiqsiz bo'linganda sodir bo'ladi.

3) Qo'shimcha z butun o'zgaruvchini quyidagicha kiritamiz: 4 -3y = 5z. Natijada, biz original bilan bir xil turdagi, lekin kichikroq koeffitsientli tenglamani olamiz.

4) Biz uni y o'zgaruvchisiga nisbatan hal qilamiz, xuddi 1, 2-bandlardagi kabi bahslashamiz: Butun qismni tanlab, biz quyidagilarni olamiz:

5) Avvalgisiga o'xshab bahs yuritib, yangi u o'zgaruvchisini kiritamiz: 3u = 1 - 2z.

6) Noma'lumni eng kichik koeffitsient bilan ifodalang, bu holda z o'zgaruvchisi: . Uning butun son bo'lishini talab qilib, biz quyidagilarni olamiz: 1 - u = 2v, u erdan u = 1 - 2v. Endi kasrlar yo'q, tushish tugadi (keyingi o'zgaruvchining ifodasida kasrlar qolmaguncha jarayonni davom ettiramiz).

7) Endi siz "yuqoriga ko'tarilishingiz" kerak. v o‘zgaruvchisi orqali avval z, keyin y va keyin x ni ifodalang:

8) x = 3+8v va y = 3 - 5v formulalari, bu erda v ixtiyoriy butun son bo'lib, asl tenglamaning butun sonlarda umumiy yechimini ifodalaydi.

Shunday qilib, tushish usuli birinchi navbatda bir o'zgaruvchining ikkinchisi orqali ketma-ket ifodalanishini, o'zgaruvchining ko'rinishida kasrlar qolmaguncha, so'ngra tenglamaning umumiy yechimini olish uchun tengliklar zanjiri bo'ylab ketma-ket "ko'tarilish" ni o'z ichiga oladi.

12. Xulosa

Tadqiqot natijasida butun sonlardagi tenglamalarni yechishdagi qiyinchiliklar ularni yechishning barcha usullari menga ma'lum emasligi bilan bog'liq degan gipoteza tasdiqlandi. Tadqiqot jarayonida men butun sonlardagi tenglamalarni echishning kam ma'lum bo'lgan usullarini topishga va tasvirlashga, ularni misollar bilan ko'rsatishga muvaffaq bo'ldim. Mening tadqiqotim natijalari matematikaga qiziqqan barcha talabalar uchun foydali bo'lishi mumkin.

13. Bibliografiya

Kitob manbalari:

1. N. Ya.Vilenkin va boshqalar, Algebra va matematik tahlil / 10-sinf, 11-sinf / / M., “Prosveshchenie”, 1998;

2. A. F. Ivanov va boshqalar, Matematika. Imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun o'quv va o'quv materiallari // Voronej, GOUVPO VSTU, 2007 yil

3. A. O. Gel’fond, Matematika, sonlar nazariyasi// Butun sonlarda tenglamalarni yechish// LIBROCOM kitoblar uyi

Internet manbalari:

4. Namoyish imkoniyatlari boshqaruv o'lchov materiallari Matematika bo'yicha yagona davlat imtihoni http://fipi.ru/

5. Butun sonlardagi tenglamalar yechimiga misollar http://reshuege.ru

6. Butun sonlardagi tenglamalarni yechishga misollar http://mat-ege.ru

7.Diofantin tenglamalari tarixi http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html

8. Diophantus tarixi http://nenuda.ru/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F- % D1%81-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5 % D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8-%D0%B2-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85 - %D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%D1%85.htm

9.Diofantin tenglamalari tarixihttp://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html

10. Diophantus tarixi http://www.studfiles.ru/preview/4518769/

Ikki noma'lumda chiziqli bo'lmagan tenglamalar

Ta'rif 1. A bir oz bo'lsin juft raqamlar to'plami (x; y). Aytishlaricha, A to'plam berilgan raqamli funktsiya z ikkita o'zgaruvchidan x va y , agar qoida ko'rsatilgan bo'lsa, uning yordamida A to'plamidan har bir son juftiga ma'lum bir raqam beriladi.

Mashq qilish raqamli funktsiya z ikkita o'zgaruvchidan ko'pincha x va y tayinlash Shunday qilib:

qayerda f (x , y) - funksiyadan boshqa har qanday funksiya

f (x , y) = ax+by+c ,

bu yerda a, b, c raqamlari berilgan.

Ta'rif 3. (2) tenglama yechimi bir juft raqamlarni nomlang x; y), buning uchun formula (2) haqiqiy tenglikdir.

1-misol. tenglamani yeching

Har qanday sonning kvadrati manfiy bo'lmagani uchun (4) formuladan kelib chiqadiki, x va y noma'lumlar tenglamalar tizimini qanoatlantiradi.

yechimi sonlar juftligi (6 ; 3) .

Javob: (6; 3)

2-misol. tenglamani yeching

Demak, (6) tenglamaning yechimi cheksiz sonli juft sonlar mehribon

(1 + y ; y) ,

bu yerda y istalgan raqam.

chiziqli

Ta'rif 4. Tenglamalar sistemasini yechish

bir juft raqamlarni nomlang x; y), ularni ushbu tizimning har bir tenglamasiga almashtirib, biz to'g'ri tenglikni olamiz.

Ikki tenglamalar sistemalari, ulardan biri chiziqli, shaklga ega

g(x , y)

4-misol. Tenglamalar sistemasini yeching

Yechim. (7) sistemaning birinchi tenglamasidan noma’lum y ni noma’lum x bilan ifodalaymiz va natijada olingan ifodani sistemaning ikkinchi tenglamasiga almashtiramiz:

Tenglamani yechish

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Binobarin,

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Ikki tenglama sistemasi, ulardan biri bir jinsli

Bittasi bir jinsli bo'lgan ikkita tenglamalar tizimi shaklga ega

bu yerda a , b , c raqamlari berilgan va g(x , y) ikki o'zgaruvchining funksiyasi x va y .

6-misol. Tenglamalar sistemasini yeching

Yechim. Keling, bir jinsli tenglamani yechamiz

3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

noma'lum x ga nisbatan kvadrat tenglama sifatida qaralsa:

.

Qachon bo'lsa x = - 5y, (11) sistemaning ikkinchi tenglamasidan tenglamani olamiz

5y 2 = - 20 ,

hech qanday ildizi yo'q.

Qachon bo'lsa

(11) sistemaning ikkinchi tenglamasidan tenglamani olamiz

,

ularning ildizlari raqamlardir y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Ushbu qiymatlarning har biri uchun y mos keladigan qiymatni topib, tizimning ikkita yechimini olamiz: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Javob: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Boshqa turdagi tenglamalar tizimini yechishga misollar

8-misol. Tenglamalar tizimini yechish (MIPT)

Yechim. Biz yangi noma'lum u va v kiritamiz, ular x va y formulalari bilan ifodalanadi:

(12) sistemani yangi noma'lumlar ko'rinishida qayta yozish uchun birinchi navbatda x va y noma'lumlarni u va v ko'rinishida ifodalaymiz. (13) tizimdan kelib chiqadiki

Chiziqli sistemani (14) bu sistemaning ikkinchi tenglamasidan x o'zgaruvchisini chiqarib echamiz. Shu maqsadda (14) tizimda quyidagi o'zgarishlarni amalga oshiramiz.