İki değişkenli fonksiyonların kısmi türevleri.
Çözüm kavramı ve örnekleri

Bu derste, iki değişkenin işleviyle tanışmaya devam edeceğiz ve belki de en yaygın tematik görevi ele alacağız - bulma fonksiyonun toplam diferansiyelinin yanı sıra birinci ve ikinci mertebeden kısmi türevler. Yarı zamanlı öğrenciler, kural olarak, 2. yarıyılda 1. yılda kısmi türevlerle karşı karşıya kalırlar. Ayrıca gözlemlerime göre kısmi türev bulma görevi sınavda hemen hemen her zaman bulunur.

Aşağıdaki materyali etkili bir şekilde incelemek için, gerekli Tek değişkenli bir fonksiyonun "olağan" türevlerini az çok güvenle bulabilir. Türevleri nasıl doğru bir şekilde ele alacağınızı derslerde öğrenebilirsiniz. Türev nasıl bulunur? ve Bileşik fonksiyonun türevi. Ayrıca, temel fonksiyonların türevleri tablosuna ve farklılaşma kurallarına da ihtiyacımız var, basılı biçimde el altındaysa en uygunudur. Referans materyalini sayfada bulabilirsiniz. Matematiksel formüller ve tablolar.

İki değişkenli bir fonksiyon kavramını çabucak tekrarlayalım, kendimi minimum düzeyde sınırlamaya çalışacağım. İki değişkenli bir fonksiyon genellikle olarak yazılır ve değişkenler çağrılır. bağımsız değişkenler veya argümanlar.

Örnek: - iki değişkenli bir fonksiyon.

Bazen notasyon kullanılır. Harf yerine harfin kullanıldığı görevler de vardır.

Geometrik bir bakış açısından, iki değişkenli bir fonksiyon çoğunlukla üç boyutlu uzayın bir yüzeyidir (düzlem, silindir, top, paraboloid, hiperboloid, vb.). Ama aslında, bu zaten daha analitik bir geometri ve gündemimizde üniversite hocamın asla yazmama izin vermediği matematiksel analiz var, benim “atım”.

Birinci ve ikinci derecelerin kısmi türevlerini bulma sorununa dönüyoruz. Birkaç fincan kahve içmiş ve hayal edilemeyecek kadar zor malzeme havasında olanlar için iyi haberlerim var: kısmi türevler, tek değişkenli bir fonksiyonun "adi" türevleri ile hemen hemen aynıdır..

Kısmi türevler için tüm türev kuralları ve temel fonksiyonların türevleri tablosu geçerlidir. Şu anda öğreneceğimiz sadece birkaç küçük fark var:

... evet, bu arada, bu konu için oluşturdum küçük pdf kitap, bu sadece birkaç saat içinde "elinizi doldurmanıza" izin verecek. Ancak, siteyi kullanarak elbette sonucu da alacaksınız - belki biraz daha yavaş:

örnek 1

Bir fonksiyonun birinci ve ikinci mertebesinin kısmi türevlerini bulun

İlk olarak, birinci dereceden kısmi türevleri buluyoruz. İki tane var.

gösterim:
veya - "x"e göre kısmi türev
veya - "y"ye göre kısmi türev

İle başlayalım . "x"e göre kısmi türevi bulduğumuzda, değişken sabit kabul edilir (sabit sayı).

Alınan önlemlere ilişkin yorumlar:

(1) Kısmi türevi bulduğumuzda yaptığımız ilk şey şu sonuca varmaktır: tüm tire altında parantez içinde işlev alt simge ile.

Dikkat önemli! Abonelikler çözüm sırasında KAYBETMEZ. Bu durumda, olmadan bir yere “vuruş” çizerseniz, öğretmen en azından onu görevin yanına koyabilir (dikkatsizlik için puanın bir kısmını hemen ısırır).

(2) Farklılaşma kurallarını kullanın , . Bunun gibi basit bir örnek için, her iki kural da aynı adımda uygulanabilir. İlk terime dikkat edin: çünkü sabit kabul edilir ve türevin işaretinden herhangi bir sabit alınabilir., sonra parantez içinden çıkarıyoruz. Yani, bu durumda, normal bir sayıdan daha iyi değildir. Şimdi üçüncü terime bakalım: burada tam tersine çıkarılacak bir şey yok. Sabit olduğu için aynı zamanda bir sabittir ve bu anlamda son terimden - “yedi” den daha iyi değildir.

(3) Tablo türevlerini kullanıyoruz ve .

(4) Cevabı basitleştiriyoruz veya söylemekten hoşlandığım gibi "birleştiriyoruz".

Şimdi . "y"ye göre kısmi türevi bulduğumuzda, değişkensabit olarak kabul edilir (sabit sayı).

(1) Aynı farklılaşma kurallarını kullanıyoruz , . İlk terimde türevin işaretinin ötesindeki sabiti alıyoruz, ikinci terimde zaten sabit olduğu için hiçbir şey alınamıyor.

(2) Temel fonksiyonların türev tablosunu kullanıyoruz. Zihinsel olarak tablodaki tüm "X"leri "Y" olarak değiştirin. Yani, bu tablo aynı derecede geçerlidir (ve aslında hemen hemen her harf için). Özellikle kullandığımız formüller şuna benzer: ve .

Kısmi türevlerin anlamı nedir?

Özünde, 1. dereceden kısmi türevler benzer "sıradan" türev:

- bu fonksiyonlar karakterize eden değişim oranı eksenler yönünde ve sırasıyla çalışır. Yani, örneğin, fonksiyon "tırmanışların" ve "yokuşların" dikliğini karakterize eder yüzeyler apsis ekseni yönünde ve fonksiyon bize ordinat ekseni yönünde aynı yüzeyin "kabartmasını" anlatır.

! Not : burada paralel koordinat eksenleri.

Daha iyi anlamak için, düzlemin belirli bir noktasını ele alalım ve içindeki fonksiyonun ("yükseklik") değerini hesaplayalım:
- ve şimdi burada olduğunuzu hayal edin (ÇOK yüzeyde).

Belirli bir noktada "x" e göre kısmi türevi hesaplıyoruz:

"X" türevinin negatif işareti bize şunu söyler: Azalan x ekseni yönünde bir noktada işlev görür. Başka bir deyişle, küçük-küçük yaparsak (sonsuz küçük) eksenin ucuna doğru adım (bu eksene paralel), sonra yüzeyin eğiminden aşağı inin.

Şimdi "arazinin" doğasını y ekseni yönünde öğreniyoruz:

"y"ye göre türev pozitiftir, bu nedenle eksen boyunca bir noktada fonksiyon artışlar. Oldukça basitse, o zaman burada yokuş yukarı bir tırmanış bekliyoruz.

Ek olarak, bir noktada kısmi türev karakterize eder değişim oranı ilgili yönde çalışır. Ortaya çıkan değer ne kadar büyükse modül- yüzey ne kadar dik olursa ve tam tersi, sıfıra ne kadar yakınsa, yüzey o kadar düz olur. Yani örneğimizde, apsis ekseni yönündeki "eğim", ordinat ekseni yönündeki "dağ"dan daha diktir.

Ama bunlar iki özel yoldu. Bulunduğumuz noktadan çok açık ki, (ve genel olarak verilen yüzeyin herhangi bir noktasından) başka bir yöne hareket edebiliriz. Bu nedenle, bize yüzeyin "manzarası" hakkında bilgi verecek genel bir "navigasyon şeması" derlemeye ilgi vardır. Eğer mümkünse her noktada bu işlevin kapsamı mevcut tüm yollarla. Bundan ve diğer ilginç şeylerden sonraki derslerden birinde bahsedeceğim ama şimdilik konunun teknik yönüne dönelim.

Temel uygulamalı kuralları sistematize ediyoruz:

1) ile türev aldığımızda, değişken sabit olarak kabul edilir.

2) Farklılaştırmaya göre yapıldığında, o zaman bir sabit olarak kabul edilir.

3) Temel fonksiyonların kuralları ve türevleri tablosu, türevin gerçekleştirildiği herhangi bir değişken (veya herhangi bir başka) için geçerlidir ve uygulanabilir.

İkinci adım. İkinci dereceden kısmi türevleri buluyoruz. Dört tane var.

gösterim:
veya - "x"e göre ikinci türev
veya - "y"ye göre ikinci türev
veya - karışık"x'ten y'ye" türevi
veya - karışık"X ile Y" türevi

İkinci türevde sorun yok. konuşmak sade dil, ikinci türev, birinci türevin türevidir.

Kolaylık olması için, halihazırda bulunan birinci mertebeden kısmi türevleri yeniden yazacağım:

İlk önce karışık türevleri buluyoruz:

Gördüğünüz gibi, her şey basit: kısmi türevi alıp tekrar türevini alıyoruz, ancak bu durumda zaten “y” ile.

Benzer şekilde:

Pratik örneklerde aşağıdaki eşitliklere odaklanabilirsiniz.:

Böylece, ikinci mertebeden karışık türevler aracılığıyla, birinci mertebeden kısmi türevleri doğru bulup bulmadığımızı kontrol etmek çok uygundur.

İkinci türevi "x"e göre buluyoruz.
Buluş yok, alıyoruz ve onu tekrar "X" ile ayırt edin:

Benzer şekilde:

Bulunurken göstermeniz gerektiğine dikkat edilmelidir. artan dikkat, çünkü onları test edecek mucizevi eşitlikler yoktur.

İkinci türevler de geniş pratik uygulama bulurlar, özellikle bulma probleminde kullanılırlar. iki değişkenli bir fonksiyonun ekstremi. Ama her şeyin bir zamanı var:

Örnek 2

Noktadaki fonksiyonun birinci mertebeden kısmi türevlerini hesaplayın. İkinci dereceden türevleri bulun.

Bu, kendi kendine çözmeye bir örnektir (cevaplar dersin sonundadır). Kökleri ayırt etmekte zorlanıyorsanız, derse geri dönün Türev nasıl bulunur? Genel olarak, çok yakında benzer türevleri anında nasıl bulacağınızı öğreneceksiniz.

Elimizi daha karmaşık örneklerle dolduruyoruz:

Örnek 3

Şunu kontrol et . yakmak toplam diferansiyel birinci derece.

Çözüm: Birinci dereceden kısmi türevleri buluyoruz:

Alt simgeye dikkat edin: "x" in yanında sabit olduğunu parantez içinde yazmak yasaktır. Bu işaret, yeni başlayanlar için çözümde gezinmeyi kolaylaştırmak için çok yararlı olabilir.

Diğer yorumlar:

(1) Türevin işaretinin dışındaki tüm sabitleri çıkarıyoruz. Bu durumda, ve ve dolayısıyla ürünleri sabit bir sayı olarak kabul edilir.

(2) Kökleri nasıl düzgün bir şekilde ayırt edeceğinizi unutmayın.

(1) Türevin işaretinden tüm sabitleri alıyoruz, bu durumda sabit .

(2) Asal altında, iki fonksiyonun çarpımına sahibiz, bu nedenle çarpım farklılaştırma kuralını kullanmamız gerekiyor. .

(3) Bunun karmaşık bir fonksiyon olduğunu unutmayın (karmaşık olanların en basiti olmasına rağmen). İlgili kuralı kullanıyoruz: .

Şimdi ikinci dereceden karışık türevleri buluyoruz:

Bu, tüm hesaplamaların doğru olduğu anlamına gelir.

Toplam diferansiyeli yazalım. İncelenen görev bağlamında, iki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelinin ne olduğunu söylemek anlamsızdır. Bu çok farklılığın pratik problemlerde sıklıkla yazılmasının gerekli olması önemlidir.

Toplam Birinci Derece Diferansiyel iki değişkenli fonksiyonlar şu şekildedir:

Bu durumda:

Yani, formülde sadece birinci dereceden zaten bulunan kısmi türevleri aptalca yerine koymanız gerekir. Diferansiyel simgeler ve bu ve benzeri durumlarda, mümkünse, paylara yazmak daha iyidir:

Ve okuyucuların tekrarlanan talebi üzerine, ikinci dereceden tam diferansiyel.

Şuna benziyor:

2. mertebenin "tek harfli" türevlerini DİKKATLİCE bulun:

ve "canavar" ı, kareleri, ürünü dikkatlice "ekleyerek" ve karışık türevi ikiye katlamayı unutmadan yazın:

Bir şey zor görünüyorsa sorun değil, türevlere daha sonra, türev alma tekniğini aldıktan sonra geri dönebilirsiniz:

Örnek 4

Bir fonksiyonun birinci dereceden kısmi türevlerini bulun . Şunu kontrol et . Birinci mertebenin toplam diferansiyelini yazın.

Karmaşık işlevlere sahip bir dizi örnek düşünün:

Örnek 5

Fonksiyonun birinci mertebesinin kısmi türevlerini bulun.

Çözüm:

Örnek 6

Bir fonksiyonun birinci dereceden kısmi türevlerini bulun .
Toplam farkı yazın.

Bu, kendi kendine çözme için bir örnektir (cevap dersin sonunda). Tam çözümü yayınlamayacağım çünkü oldukça basit.

Oldukça sık, yukarıdaki kuralların tümü kombinasyon halinde uygulanır.

Örnek 7

Bir fonksiyonun birinci dereceden kısmi türevlerini bulun .

(1) Toplamın türevini alma kuralını kullanıyoruz

(2) Bu durumda ilk terim sabit olarak kabul edilir, çünkü ifadede "x"e bağlı hiçbir şey yoktur - sadece "y". Bilirsiniz, bir kesrin sıfıra çevrilebilmesi her zaman güzeldir). İkinci dönem için ürün farklılaştırma kuralını uyguluyoruz. Bu arada, bu anlamda, yerine bir işlev verilseydi hiçbir şey değişmezdi - burada önemli olan iki fonksiyonun ürünü, HER BİRİ bağlıdır "X", ve bu nedenle, ürünün farklılaşma kuralını kullanmanız gerekir. Üçüncü terim için farklılaşma kuralını uygularız. karmaşık fonksiyon.

(1) Hem pay hem de paydadaki ilk terim bir "y" içerir, bu nedenle bölümün türevini almak için kuralı kullanmanız gerekir: . İkinci terim YALNIZCA "x"e bağlıdır, yani bir sabit olarak kabul edilir ve sıfıra dönüşür. Üçüncü terim için karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralını kullanıyoruz.

Cesaretle dersin neredeyse sonuna gelen okuyucular için, size eski bir Mekhmatov anekdotunu yumuşatmak için anlatacağım:

Bir zamanlar işlevler alanında kötü bir türev ortaya çıktı ve herkesi nasıl farklılaştırdı. Tüm fonksiyonlar her yöne dağılır, kimse dönmek istemez! Ve sadece bir fonksiyon hiçbir yere kaçmaz. Türev ona yaklaşır ve sorar:

"Neden benden kaçmıyorsun?"

- Ha. Ama umurumda değil, çünkü ben "e üzeri x'im" ve sen bana hiçbir şey yapamazsın!

Kötü türevinin sinsi bir gülümsemeyle cevap verdiği:

- İşte burada yanılıyorsunuz, sizi “y” ile ayıracağım, bu yüzden sizin için sıfır olun.

Şakayı anlayan, türevlerde ustalaştı, en azından "troyka" için).

Örnek 8

Bir fonksiyonun birinci dereceden kısmi türevlerini bulun .

Bu kendin yap örneğidir. Tam bir çözüm ve problemin örnek tasarımı dersin sonundadır.

Neredeyse hepsi bu. Son olarak, matematikçileri bir örnekle daha lütfen yardım edemem. Amatörlerle bile ilgili değil, herkesin farklı bir matematik eğitimi seviyesi var - daha zor görevlerle rekabet etmeyi seven insanlar var (ve çok nadir değil). Her ne kadar bu dersteki son örnek, hesaplamalar açısından hantal olduğu kadar karmaşık değildir.

Bir fonksiyon verilsin. x ve y bağımsız değişkenler olduğundan biri değişebilirken diğeri değişmeden kalabilir. y'nin değerini değiştirmeden bağımsız değişken x'i artıralım. Daha sonra z, z'nin x'e göre kısmi artışı olarak adlandırılan ve ile gösterilen bir artış alacaktır. Yani, .

Benzer şekilde, y'ye göre z'de kısmi bir artış elde ederiz: .

z fonksiyonunun toplam artışı eşitlik tarafından belirlenir.

Bir limit varsa, fonksiyonun x değişkenine göre noktadaki kısmi türevi olarak adlandırılır ve sembollerden biri ile gösterilir:

.

Bir noktada x'e göre kısmi türevler genellikle sembollerle gösterilir. .

'nin y değişkenine göre kısmi türevi benzer şekilde tanımlanır ve gösterilir:

Böylece, birkaç (iki, üç veya daha fazla) değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevi, kalan bağımsız değişkenlerin değerlerinin sabitliğine tabi olarak, bu değişkenlerden birinin bir fonksiyonunun türevi olarak tanımlanır. Bu nedenle, bir fonksiyonun kısmi türevleri, bir değişkenli bir fonksiyonun türevlerini hesaplamak için formüllere ve kurallara göre bulunur (bu durumda, sırasıyla x veya y, sabit bir değer olarak kabul edilir).

Kısmi türevlere birinci dereceden kısmi türevler de denir. fonksiyonları olarak kabul edilebilirler. Bu fonksiyonlar, ikinci dereceden kısmi türevler olarak adlandırılan kısmi türevlere sahip olabilir. Bunlar aşağıdaki gibi tanımlanır ve gösterilir:

; ;

; .

İki değişkenli bir fonksiyonun 1. ve 2. mertebesinin diferansiyelleri.

Bir fonksiyonun (formül 2.5) toplam diferansiyeline birinci dereceden diferansiyel denir.

Toplam diferansiyelin hesaplanması için formül aşağıdaki gibidir:

(2.5) veya , nerede ,

fonksiyonun kısmi diferansiyelleri .

Fonksiyonun ikinci mertebeden sürekli kısmi türevleri olsun. İkinci mertebeden diferansiyel formül tarafından belirlenir. Bulalım:

Buradan: . Sembolik olarak şöyle yazılır:

.

BELİRSİZ ENTEGRAL.

Bir fonksiyonun ters türevi, belirsiz integral, özellikler.

F(x) işlevi çağrılır ilkel belirli bir f(x) fonksiyonu için, eğer F"(x)=f(x) ise veya aynısı, eğer dF(x)=f(x)dx ise.

Teorem. Sonlu veya sonsuz uzunluktaki bir (X) aralığında tanımlanan bir f(x) fonksiyonunun bir ters türevi, F(x) varsa, o zaman aynı zamanda sonsuz sayıda ters türevi vardır; hepsi F(x)+C ifadesinde bulunur, burada C isteğe bağlı bir sabittir.

Belirli bir f(x) fonksiyonu için belirli bir aralıkta veya sonlu veya sonsuz uzunluktaki bir segmentte tanımlanan tüm ters türevlerin kümesine denir. belirsiz integral f(x) fonksiyonundan [veya f(x)dx ] ifadesinden ve sembolü ile gösterilir.

F(x), f(x'in ters türevlerinden biriyse, o zaman ters türev teoremi ile

, burada C keyfi bir sabittir.

Ters türev F "(x)=f(x) ve dolayısıyla dF(x)=f(x) dx tanımına göre. Formül (7.1), f(x) integral olarak adlandırılır ve f( x) dx, integral ifadesi olarak adlandırılır.

Her kısmi türev (üzerinde x ve tarafından y) iki değişkenli bir fonksiyonun, bir değişkenin fonksiyonunun diğer değişkenin sabit değerine sahip adi türevidir:

(nerede y= sabit),

(nerede x= sabit).

Bu nedenle, kısmi türevler şu şekilde hesaplanır: tek değişkenli fonksiyonların türevlerini hesaplamak için formüller ve kurallar, diğer değişkeni sabit (sabit) olarak kabul ederken.

Örneklerin analizine ve bunun için gerekli olan minimum teoriye ihtiyacınız yoksa, sadece probleminize bir çözüme ihtiyacınız varsa, o zaman devam edin. çevrimiçi kısmi türev hesaplayıcı .

Sabitin fonksiyonda nerede olduğunu takip etmeye odaklanmak zorsa, örneğin taslak çözümünde sabit bir değere sahip bir değişken yerine herhangi bir sayıyı değiştirebilirsiniz - o zaman kısmi türevi normal olarak hızlı bir şekilde hesaplayabilirsiniz. tek değişkenli bir fonksiyonun türevi. Bitirirken sadece sabiti (sabit değerli bir değişken) yerine döndürmeyi unutmamak gerekir.

Yukarıda açıklanan kısmi türevlerin özelliği, sınav sorularında bulunabilen kısmi türev tanımından kaynaklanmaktadır. Bu nedenle, aşağıdaki tanımla tanışmak için teorik referansı açabilirsiniz.

Bir fonksiyonun sürekliliği kavramı z= f(x, y) bir noktada bu kavrama benzer şekilde tek değişkenli bir fonksiyon için tanımlanır.

İşlev z = f(x, y) ise bir noktada sürekli olarak adlandırılır.

Fark (2), fonksiyonun toplam artışı olarak adlandırılır. z(her iki argüman da artırılarak elde edilir).

fonksiyon olsun z= f(x, y) ve nokta

fonksiyon değişirse z bağımsız değişkenlerden yalnızca biri değiştiğinde oluşur, örneğin, x, diğer argümanın sabit bir değeri ile y, sonra fonksiyon artırılacaktır

fonksiyonun kısmi artışı denir f(x, y) üzerinde x.

Fonksiyon değişikliği göz önüne alındığında z argümanlardan sadece birinin değişmesine bağlı olarak, aslında tek değişkenli bir fonksiyona geçiyoruz.

Sonlu bir sınır varsa

o zaman fonksiyonun kısmi türevi denir f(x, y) argümanla x ve sembollerden biri ile gösterilir

(4)

Kısmi artış benzer şekilde tanımlanır züzerinde y:

ve kısmi türev f(x, y) üzerinde y:

(6)

örnek 1

Çözüm. "x" değişkenine göre kısmi türevi buluyoruz:

(y sabit);

"y" değişkenine göre kısmi türevi buluyoruz:

(x sabit).

Gördüğünüz gibi, değişkenin ne ölçüde sabit olduğu önemli değil: bu durumda, kısmisini bulduğumuz değişkenle birlikte bir faktör olan (olağan türev durumunda olduğu gibi) sadece bir sayıdır. türev. Sabit değişken, kendisine göre kısmi türevi bulduğumuz değişkenle çarpılmazsa, bu yalnız sabit, adi türev durumunda olduğu gibi, ne dereceye kadar olursa olsun yok olur.

Örnek 2 Verilen bir fonksiyon

Kısmi Türevleri Bul

(x ile) ve (y ile) ve noktadaki değerlerini hesaplayın ANCAK (1; 2).

Çözüm. sabit y birinci terimin türevi, güç fonksiyonunun türevi olarak bulunur ( bir değişkenin türev fonksiyonları tablosu):

.

sabit x birinci terimin türevi, üstel fonksiyonun türevi ve ikincisi - sabitin türevi olarak bulunur:

Şimdi noktada bu kısmi türevlerin değerlerini hesaplıyoruz. ANCAK (1; 2):

Kısmi türevlerle ilgili problemlerin çözümünü şuradan kontrol edebilirsiniz: çevrimiçi kısmi türev hesaplayıcı .

Örnek 3 Fonksiyonların Kısmi Türevlerini Bulun

Çözüm. Bir adımda buluyoruz

(y x, sinüs argümanı 5'miş gibi x: aynı şekilde, fonksiyonun işaretinden önce 5 görünür);

(x sabittir ve bu durumda bir faktördür y).

Kısmi türevlerle ilgili problemlerin çözümünü şuradan kontrol edebilirsiniz: çevrimiçi kısmi türev hesaplayıcı .

Üç veya daha fazla değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevleri benzer şekilde tanımlanır.

Her bir değer kümesi ise ( x; y; ...; t) kümeden bağımsız değişkenler D belirli bir değere karşılık gelir sen birçoktan E, sonra sen değişkenlerin bir fonksiyonu denir x, y, ..., t ve belirtmek sen= f(x, y, ..., t).

Üç veya daha fazla değişkenli fonksiyonlar için geometrik yorum yoktur.

Birkaç değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevleri de bağımsız değişkenlerden sadece birinin değiştiği, diğerlerinin sabit olduğu varsayımı altında tanımlanır ve hesaplanır.

Örnek 4 Fonksiyonların Kısmi Türevlerini Bulun

.

Çözüm. y ve z sabit:

x ve z sabit:

x ve y sabit:

Kısmi türevleri kendi başınıza bulun ve ardından çözümlere bakın

Örnek 5

Örnek 6 Bir fonksiyonun kısmi türevlerini bulun.

Birkaç değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevi aynı tek değişkenli bir fonksiyonun türevi olarak mekanik anlam, işlevin bağımsız değişkenlerden birindeki değişikliğe göre değişme hızıdır.

Örnek 8 akış miktarı P yolcular demiryolları bir fonksiyon olarak ifade edilebilir

nerede P- yolcu sayısı, N- ilgili noktaların sakinlerinin sayısı, R– noktalar arasındaki mesafe.

Bir fonksiyonun kısmi türevi Püzerinde R eşittir

yolcu akışındaki azalmanın, noktalarda aynı sayıda sakin için karşılık gelen noktalar arasındaki mesafenin karesiyle ters orantılı olduğunu göstermektedir.

Kısmi türev Püzerinde N eşittir

yolcu akışındaki artışın, nüfus sayısının iki katı ile orantılı olduğunu göstermektedir. Yerleşmeler noktalar arasında aynı mesafe ile.

Kısmi türevlerle ilgili problemlerin çözümünü şuradan kontrol edebilirsiniz: çevrimiçi kısmi türev hesaplayıcı .

Tam diferansiyel

Kısmi türevin ürününe ve karşılık gelen bağımsız değişkenin artışına kısmi diferansiyel denir. Kısmi diferansiyeller aşağıdaki gibi gösterilir:

Tüm bağımsız değişkenler üzerindeki kısmi diferansiyellerin toplamı, toplam diferansiyeli verir. İki bağımsız değişkenli bir fonksiyon için toplam diferansiyel eşitlik ile ifade edilir.

(7)

Örnek 9 Bir fonksiyonun tam diferansiyelini bulun

Çözüm. Formül (7) kullanmanın sonucu:

Bir tanım kümesinin her noktasında toplam diferansiyeli olan bir fonksiyona o tanım kümesinde türevlenebilir denir.

Toplam farkı kendi başınıza bulun ve ardından çözümü görün

Tıpkı tek değişkenli bir fonksiyon durumunda olduğu gibi, belirli bir bölgedeki bir fonksiyonun türevlenebilirliği, bu bölgede sürekliliğini ima eder, ancak bunun tersi olmaz.

Bir fonksiyonun türevlenebilirliği için yeterli bir koşulu ispatsız formüle edelim.

Teorem. eğer fonksiyon z= f(x, y) sürekli kısmi türevleri vardır

belirli bir bölgede, o zaman bu bölgede türevlenebilir ve diferansiyeli formül (7) ile ifade edilir.

Bir değişkenli bir fonksiyon durumunda olduğu gibi, fonksiyonun diferansiyeli, fonksiyonun artışının ana lineer kısmıdır, bu nedenle, birkaç değişkenli bir fonksiyon durumunda, toplam diferansiyelin şu şekilde olduğu gösterilebilir. ana, bağımsız değişkenlerin artışlarına göre doğrusal, fonksiyonun toplam artışının bir parçası.

İki değişkenli bir fonksiyon için, fonksiyonun toplam artışı şu şekildedir:

(8)

burada α ve β ve için sonsuz küçüktür.

Daha yüksek siparişlerin kısmi türevleri

Kısmi türevler ve fonksiyonlar f(x, y) kendileri aynı değişkenlerin bazı fonksiyonlarıdır ve sırayla, daha yüksek dereceli kısmi türevler olarak adlandırılan farklı değişkenlere göre türevleri olabilir.

Özetlemek gerekirse, tek değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevlerini bulmak ile “adi” türevlerini bulmak arasındaki fark nedir:

1) Kısmi türevi bulduğumuzda, sonra değişken sabit olarak kabul edilir.

2) Kısmi türevi bulduğumuzda, sonra değişken sabit olarak kabul edilir.

3) Türev temel fonksiyonların kuralları ve tablosu her değişken için geçerlidir ve uygulanabilir ( , veya başka bir şey) hangi farklılaştırmanın gerçekleştirildiğine göre.

İkinci adım. İkinci dereceden kısmi türevleri buluyoruz. Dört tane var.

Tanımlar:

Veya - "x"e göre ikinci türev

Veya - "y"ye göre ikinci türev

Veya - karışık"x y'ye göre" türevi

Veya - karışık"x'e göre" türevi

İkinci türev kavramı hakkında karmaşık bir şey yoktur. Basit bir ifadeyle, İkinci türev, birinci türevin türevidir.

Açıklık sağlamak için, halihazırda bulunan birinci mertebeden kısmi türevleri yeniden yazacağım:

İlk önce karışık türevleri buluyoruz:

Gördüğünüz gibi, her şey basit: kısmi türevi alıp tekrar türevini alıyoruz, ancak bu durumda zaten “y” ile.

Benzer şekilde:

Pratik örnekler için, tüm kısmi türevler sürekli olduğunda aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

Böylece, ikinci mertebeden karışık türevler aracılığıyla, birinci mertebeden kısmi türevleri doğru bulup bulmadığımızı kontrol etmek çok uygundur.

İkinci türevi "x"e göre buluyoruz.

Buluş yok, alıyoruz ve onu tekrar "X" ile ayırt edin:

Benzer şekilde:

Bulunurken göstermeniz gerektiğine dikkat edilmelidir. artan dikkat, çünkü kontrol edilecek mucizevi eşitlikler yoktur.

Örnek 2

Bir fonksiyonun birinci ve ikinci mertebesinin kısmi türevlerini bulun

Bu, kendi kendine çözme için bir örnektir (cevap dersin sonunda).

Biraz deneyimle, 1, 2 numaralı örneklerden kısmi türevler sizin tarafınızdan sözlü olarak çözülecektir.

Daha karmaşık örneklere geçelim.

Örnek 3

Şunu kontrol et . Birinci mertebenin toplam diferansiyelini yazın.

Çözüm: Birinci dereceden kısmi türevleri buluyoruz:

Alt simgeye dikkat edin: "x" in yanında sabit olduğunu parantez içinde yazmak yasaktır. Bu işaret, yeni başlayanlar için çözümde gezinmeyi kolaylaştırmak için çok yararlı olabilir.

Diğer yorumlar:

(1) Türevin işaretinin dışındaki tüm sabitleri çıkarıyoruz. Bu durumda, ve ve dolayısıyla ürünleri sabit bir sayı olarak kabul edilir.

(2) Kökleri nasıl düzgün bir şekilde ayırt edeceğinizi unutmayın.

(1) Türevin işaretinden tüm sabitleri alıyoruz, bu durumda sabit .

(2) Asal altında, iki fonksiyonun çarpımına sahibiz, bu nedenle çarpım farklılaştırma kuralını kullanmamız gerekiyor. .

(3) Bunun karmaşık bir fonksiyon olduğunu unutmayın (karmaşık olanların en basiti olmasına rağmen). İlgili kuralı kullanıyoruz: .

Şimdi ikinci dereceden karışık türevleri buluyoruz:

Bu, tüm hesaplamaların doğru olduğu anlamına gelir.

Toplam diferansiyeli yazalım. İncelenen görev bağlamında, iki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelinin ne olduğunu söylemek anlamsızdır. Bu çok farklılığın pratik problemlerde sıklıkla yazılmasının gerekli olması önemlidir.

İki değişkenli bir fonksiyonun toplam birinci mertebeden diferansiyeli şu şekildedir:

.

Bu durumda:

Yani, formülde sadece birinci dereceden zaten bulunan kısmi türevleri değiştirmeniz gerekir. Diferansiyel simgeler ve bu ve benzeri durumlarda, mümkünse, paylara yazmak daha iyidir:

Örnek 4

Bir fonksiyonun birinci dereceden kısmi türevlerini bulun . Şunu kontrol et . Birinci mertebenin toplam diferansiyelini yazın.

Bu kendin yap örneğidir. Tam bir çözüm ve problemin örnek tasarımı dersin sonundadır.

Karmaşık işlevleri içeren bir dizi örnek düşünün.

Örnek 5

(1) Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralını uygularız . dersten Bileşik fonksiyonun türeviçok önemli bir noktayı unutmamak gerekir: sinüsü (dış fonksiyon) tabloya göre kosinüs haline getirdiğimizde, o zaman sahip olduğumuz yatırım (iç fonksiyon) değişmez.

(2) Burada köklerin özelliğini kullanıyoruz: , türevin işaretinden sabiti alın ve kökü türev için gerekli biçimde temsil edin.

Benzer şekilde:

Birinci mertebenin toplam diferansiyelini yazıyoruz:

Örnek 6

Bir fonksiyonun birinci dereceden kısmi türevlerini bulun .

Toplam farkı yazın.

Bu, kendi kendine çözme için bir örnektir (cevap dersin sonunda). Tam çözümü yayınlamayacağım çünkü oldukça basit.

Oldukça sık, yukarıdaki kuralların tümü kombinasyon halinde uygulanır.

Örnek 7

Fonksiyonun birinci mertebesinin kısmi türevlerini bulun.

(1) Toplamın türevini alma kuralını kullanıyoruz.

(2) Bu durumda ilk terim sabit olarak kabul edilir, çünkü ifadede "x"e bağlı hiçbir şey yoktur - sadece "y".

(Bilirsiniz, bir kesri sıfıra çevirebilmek her zaman güzeldir.)

İkinci dönem için ürün farklılaştırma kuralını uyguluyoruz. Bu arada, bunun yerine bir fonksiyon verilseydi algoritmada hiçbir şey değişmezdi - burada sahip olduğumuz önemli HER BİRİ "x"e bağlı olan iki fonksiyonun çarpımı, bu nedenle ürün farklılaştırma kuralını kullanmanız gerekir. Üçüncü terim için karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralını uyguluyoruz.

Açık fonksiyonların yüksek mertebeden türevlerinin hesaplanmasına ilişkin örnekler ele alınmaktadır. n'inci dereceden türevleri hesaplamak için faydalı formüller verilmiştir.

Daha yüksek dereceli türevlerin tanımı

Burada y değişkeninin x değişkenine açıkça bağlı olduğu durumu ele alıyoruz:
.
Fonksiyonu x değişkenine göre farklılaştırarak, birinci dereceden türevi veya sadece türevi elde ederiz:
.
Sonuç olarak, fonksiyonun türevi olan yeni bir fonksiyon elde ederiz. Bu yeni fonksiyonu x değişkenine göre farklılaştırarak, ikinci dereceden türevi elde ederiz:
.
Fonksiyonun türevini alarak, üçüncü dereceden bir türev elde ederiz:
.
Ve benzeri. Orijinal fonksiyonu n kez farklılaştırarak, n'inci dereceden türevi veya n'inci türevi elde ederiz:
.

Türevler belirtilebilir konturlar, Romen rakamları, parantez içindeki Arap rakamları veya diferansiyellerden kesirler. Örneğin, üçüncü ve dördüncü derecelerin türevleri aşağıdaki gibi gösterilebilir:
;
.

Aşağıda, yüksek dereceli türevlerin hesaplanmasında faydalı olabilecek formüller bulunmaktadır.

n'inci dereceden türevler için faydalı formüller

Bazı temel fonksiyonların türevleri:
;
;
;
;
.

Fonksiyonların toplamının türevi:
,
sabitler nerede.

Leibniz formülü iki fonksiyonun çarpımının türevi:
,
nerede
binom katsayılarıdır.

örnek 1

Aşağıdaki fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerini bulun:
.

Birinci derecenin türevini buluyoruz. Sabiti türev işaretinden çıkarırız ve formülü türev tablosundan uygularız:
.
Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralını uygularız:
.
Burada .
Karmaşık bir fonksiyonun türev kuralını uygularız ve bulunan türevleri kullanırız:
.
Burada .

.
İkinci mertebeden türevi bulmak için, birinci mertebeden türevinin, yani fonksiyonun türevini bulmamız gerekir:
.
Notasyonla karıştırılmaması için bu işlevi harfle belirtiriz:
(P1.1) .
O zamanlar ikinci dereceden türev orijinal fonksiyondan fonksiyonun türevidir:
.

Fonksiyonun türevini buluyoruz. Bunu logaritmik türev ile yapmak daha kolaydır. Logaritma (A1.1):
.
Şimdi ayırt ediyoruz:
(S1.2) .
Ama bu bir sabittir. Türevi sıfırdır. türevini zaten bulduk. Türevlerin geri kalanını karmaşık bir fonksiyonun türev kuralına göre buluruz.
;
;
.
(A1.2)'de değiştirin:

.
Buradan
.

;
.

Örnek 2

Üçüncü dereceden türevi bulun:
.

Birinci derecenin türevini buluyoruz. Bunu yapmak için türevin işaretinden sabiti alıyoruz, türev tablosu ve uygula karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma kuralı .

.
Burada .
Böylece, birinci dereceden türevi bulduk:
.

İkinci mertebenin türevini buluyoruz. Bunu yapmak için türevini buluruz. Bir kesrin türevi için formülü uygularız.
.
İkinci dereceden türev:
.

Şimdi aradığımızı buluyoruz üçüncü dereceden türev. Bunu yapmak için farklılaştırıyoruz.
;
;

.

Üçüncü dereceden türev ise
.

Örnek 3

Aşağıdaki fonksiyonun altıncı türevini bulun:
.

Parantezleri açarsanız, orijinal fonksiyonun bir derece polinomu olduğu açıkça görülecektir. Polinom olarak yazıyoruz:
,
nerede - sabit katsayılar.

Sonraki başvuru n. formül bir güç fonksiyonunun türevi:
.
Altıncı dereceden türev için (n = 6 ) sahibiz:
.
Buradan anlaşılıyor ki adresinde. Sahip olduğumuzda:
.

Fonksiyonların toplamının türevi için formülü kullanırız:

.
Bu nedenle, orijinal fonksiyonun altıncı türevini bulmak için sadece polinomun katsayısını en yüksek derecede bulmamız gerekir. Orijinal fonksiyonun toplamlarının ürünlerindeki en yüksek güçleri çarparak buluruz:

.
Buradan. O zamanlar
.

Örnek 4

Bir fonksiyonun n'inci türevini bulun
.

Örnek 5

Aşağıdaki fonksiyonun n'inci türevini bulun:
,
nerede ve sabitlerdir.

Bu örnekte, karmaşık sayılar kullanılarak hesaplamalar uygun şekilde gerçekleştirilir. Biraz karmaşık bir fonksiyonumuz olsun
(P5.1) ,
burada ve bir gerçek değişken x'in fonksiyonlarıdır;
- hayali birim, .
(A.1) n kez farklılaştırarak, elimizde:
(P5.2) .
Bazen bir fonksiyonun n'inci türevini bulmak daha kolaydır. Daha sonra fonksiyonların n'inci türevleri ve n'inci türevin reel ve sanal kısımları olarak tanımlanır:
;
.

Örneğimizi çözmek için bu tekniği kullanalım. işlevi düşünün
.
İşte başvurduk Euler formülü
,
ve notasyonu tanıttı
.
Daha sonra orijinal fonksiyonun n'inci türevi aşağıdaki formülle belirlenir:
.

Fonksiyonun n'inci türevini bulun
.
Bunu yapmak için formülü uygulayın:
.
bizim durumumuzda
.
O zamanlar
.

Böylece, karmaşık fonksiyonun n'inci türevini bulduk:
,
nerede .
Fonksiyonun gerçek kısmını bulalım.
Bunu yapmak için, üstel biçimde karmaşık bir sayıyı temsil ediyoruz:
,
nerede ;
; .
O zamanlar
;

.

Örnek Çözüm
.

İzin vermek , .
O zamanlar ;
.
,
,
,
.
Ve kosinüsün n'inci türevinin formülünü elde ederiz:
.

,
nerede
; .