Konum özelliklerine ek olarak - rastgele bir değişkenin ortalama, tipik değerleri - her biri dağılımın bir veya başka özelliğini tanımlayan bir dizi özellik kullanılır. Sözde anlar genellikle bu tür özellikler olarak kullanılır.

Moment kavramı, mekanikte kütlelerin dağılımını (statik momentler, eylemsizlik momentleri vb.) tanımlamak için yaygın olarak kullanılmaktadır. Rastgele bir değişkenin dağılımının temel özelliklerini tanımlamak için olasılık teorisinde tamamen aynı yöntemler kullanılır. Çoğu zaman, pratikte iki tür an kullanılır: ilk ve merkezi.

Süreksiz bir rasgele değişkenin s. mertebesinin ilk momenti, formun toplamıdır:

. (5.7.1)

Açıktır ki, bu tanım, eğer kütleler x ekseni üzerindeki noktalarda yoğunlaşmışsa, mekanikteki s mertebesinin ilk momentinin tanımıyla örtüşür.

Sürekli bir rastgele değişken X için, s. mertebenin ilk momenti integraldir.

. (5.7.2)

Önceki n°'de tanıtılan ana konum karakteristiğinin doğrulanması kolaydır. beklenen değer- rastgele değişkenin ilk ilk anından başka bir şey değildir.

Beklenti işaretini kullanarak (5.7.1) ve (5.7.2) iki formülü tek bir formülde birleştirebiliriz. Aslında, (5.7.1) ve (5.7.2) formülleri, yapı olarak (5.6.1) ve (5.6.2) formüllerine tamamen benzerdir, aradaki fark sırasıyla yerine ve ve vardır. Bu nedenle, hem süreksiz hem de süreksiz için geçerli olan inci mertebenin ilk momentinin genel bir tanımını yazabiliriz. sürekli miktarlar:

, (5.7.3)

şunlar. bir rasgele değişkenin th derecesinin ilk anı, bu rasgele değişkenin th derecesinin matematiksel beklentisidir.

Merkezi momentin tanımını vermeden önce, yeni bir "merkezli rasgele değişken" kavramını tanıtıyoruz.

Olsun rastgele değer matematiksel beklenti ile. Değere karşılık gelen ortalanmış rastgele değişken, rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasıdır:

Aşağıda, verilen rastgele değişkene karşılık gelen ortalanmış rastgele değişkeni, üstteki simgeyle aynı harfle belirtmek için her yerde anlaşacağız.

Merkezlenmiş bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinin sıfıra eşit olduğunu doğrulamak kolaydır. Gerçekten de, süreksiz bir miktar için

sürekli bir miktar için benzer şekilde.

Rastgele bir değişkeni merkezlemek, açıkçası, orijini orta, apsisi matematiksel beklentiye eşit olan "merkezi" noktaya taşımakla eşdeğerdir.

Merkezlenmiş bir rastgele değişkenin anlarına merkezi anlar denir. Mekanikteki ağırlık merkezi ile ilgili anlara benzerler.

Böylece, bir rasgele değişkenin s derecesinin merkezi momenti, karşılık gelen merkezli rasgele değişkenin th gücünün matematiksel beklentisidir:

, (5.7.6)

ve sürekli - integral için

. (5.7.8)

Aşağıda, belirli bir anın hangi rasgele değişkene ait olduğu konusunda hiçbir şüphe olmadığı durumlarda, kısaca ve yerine basitçe ve yazacağız.

Açıkçası, herhangi bir rastgele değişken için, birinci derecenin merkezi momenti sıfıra eşittir:

, (5.7.9)

merkezli bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisi her zaman sıfırdır.

Farklı düzenlerin merkezi ve ilk momentlerini birbirine bağlayan ilişkiler türetelim. Türetmeyi yalnızca süreksiz miktarlar için gerçekleştireceğiz; Sonlu toplamları integrallerle ve olasılıkları olasılık öğeleriyle değiştirirsek, tam olarak aynı ilişkilerin sürekli nicelikler için geçerli olduğunu doğrulamak kolaydır.

İkinci merkezi noktayı düşünün:

Benzer şekilde, üçüncü merkezi an için şunu elde ederiz:

vb için ifadeler benzer şekilde elde edilebilir.

Böylece, herhangi bir rastgele değişkenin merkezi momentleri için formüller geçerlidir:

(5.7.10)

Genel olarak konuşursak, momentler yalnızca orijine (başlangıç ​​momentleri) veya matematiksel beklentiye (merkezi momentler) göre değil, aynı zamanda keyfi bir noktaya göre de düşünülebilir:

. (5.7.11)

Bununla birlikte, merkezi momentlerin diğerlerine göre bir avantajı vardır: Gördüğümüz gibi, ilk merkezi moment her zaman sıfıra eşittir ve onu takip eden ikinci merkezi moment, bu referans çerçevesi için minimum bir değere sahiptir. Hadi kanıtlayalım. 'de süreksiz bir rastgele değişken için formül (5.7.11) şu şekildedir:

. (5.7.12)

Bu ifadeyi dönüştürelim:

Açıkçası, bu değer minimuma ulaştığında, yani. an noktaya göre alındığında.

Tüm anlardan, ilk başlangıç ​​anı (beklenti) ve ikinci merkezi an, çoğunlukla rastgele bir değişkenin özellikleri olarak kullanılır.

İkinci merkezi moment, rastgele değişkenin varyansı olarak adlandırılır. Bu özelliğin aşırı önemi nedeniyle, diğer noktaların yanı sıra, onun için özel bir tanım sunuyoruz:

Merkezi moment tanımına göre

, (5.7.13)

şunlar. X rastgele değişkeninin varyansı, karşılık gelen ortalanmış değişkenin karesinin matematiksel beklentisidir.

(5.7.13) ifadesindeki ifadesinin değerini değiştirerek, şunu da elde ederiz:

. (5.7.14)

Varyansı doğrudan hesaplamak için aşağıdaki formüller kullanılır:

, (5.7.15)

(5.7.16)

Sırasıyla süreksiz ve sürekli miktarlar için.

Rastgele bir değişkenin dağılımı, dağılımın bir özelliğidir, rastgele bir değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi etrafında dağılmasıdır. "Dağılma" kelimesinin kendisi "saçılma" anlamına gelir.

Dağılımın mekanik yorumuna dönersek, dağılım, belirli bir kütle dağılımının ağırlık merkezine (matematiksel beklenti) göre atalet momentinden başka bir şey değildir.

Bir rastgele değişkenin varyansı, rastgele değişkenin karesinin boyutuna sahiptir; Saçılmanın görsel bir karakterizasyonu için, boyutu rastgele bir değişkeninkiyle çakışan bir nicelik kullanmak daha uygundur. Bunu yapmak için dağılımın karekökünü alın. Ortaya çıkan değer, rastgele bir değişkenin standart sapması (aksi takdirde - "standart") olarak adlandırılır. Ortalama kare sapma şu şekilde gösterilecektir:

, (5.7.17)

Kayıtları basitleştirmek için, standart sapma ve varyans için genellikle kısaltılmış gösterimi kullanacağız: ve . Bu özelliklerin hangi rasgele değişkene atıfta bulunduğuna dair bir şüphe olmadığında, bazen xy ve işaretini atlayacağız ve basitçe ve yazacağız. "Standart sapma" kelimeleri bazen s.c.o harfleriyle kısaltılır.

Uygulamada, genellikle bir rasgele değişkenin varyansını ikinci ilk momenti (formüllerin ikincisi (5.7.10)) cinsinden ifade eden bir formül kullanılır. Yeni gösterimde şöyle görünecek:

Matematiksel beklenti ve varyans (veya standart sapma), bir rastgele değişkenin en sık kullanılan özellikleridir. Dağıtımın en önemli özelliklerini karakterize ederler: konumu ve dağılım derecesi. Dağılımın daha ayrıntılı bir açıklaması için daha yüksek dereceli anlar kullanılır.

Üçüncü merkezi moment, dağılımın asimetrisini (veya "çarpıklığını") karakterize etmeye hizmet eder. Dağılım, matematiksel beklentiye göre simetrik ise (veya mekanik yorumda, kütle ağırlık merkezine göre simetrik olarak dağıtılır), o zaman tek sıralı tüm momentler (eğer varsa) sıfıra eşittir. Nitekim, toplamda

dağılım yasasına göre simetrik ve tek olan bir dağılımla, her pozitif terim mutlak değerde kendisine eşit bir negatif terime karşılık gelir, böylece toplam toplam sıfıra eşittir. Aynısı açıkça integral için de geçerlidir.

,

tek bir fonksiyonun simetrik limitlerinde integral olarak sıfıra eşittir.

Bu nedenle, dağılım asimetrisinin bir özelliği olarak tek anlardan herhangi birini seçmek doğaldır. Bunların en basiti üçüncü merkezi momenttir. Rastgele bir değişkenin küpünün boyutuna sahiptir: boyutsuz bir özellik elde etmek için üçüncü an standart sapmanın küpüne bölünür. Ortaya çıkan değere "asimetri katsayısı" veya basitçe "asimetri" denir; etiketleyeceğiz:

Şek. 5.7.1 iki çarpık dağılımı gösterir; bunlardan biri (I eğrisi) pozitif bir asimetriye () sahiptir; diğeri (eğri II) negatiftir ().

Dördüncü merkezi an, sözde "soğukluğu" karakterize etmeye hizmet eder, yani. tepeli veya düz tepeli dağılım. Bu dağılım özellikleri, sözde basıklık kullanılarak tanımlanır. Rastgele bir değişkenin basıklığı miktardır

3 sayısı orandan çıkarılır çünkü doğada çok önemli ve yaygın bir normal dağılım yasası için (ki bunu daha sonra ayrıntılı olarak öğreneceğiz). Böylece normal dağılım için basıklık sıfırdır; normal eğrilerden daha sivri olan eğriler pozitif basıklığa sahiptir; eğriler daha düzdür - negatif basıklık ile.

Şek. 5.7.2 şunu gösterir: normal dağılım (eğri I), pozitif basıklıklı dağılım (eğri II) ve negatif basıklıklı dağılım (eğri III).

Yukarıda tartışılan başlangıç ​​ve merkezi momentlere ek olarak, uygulamada bazen formüllerle tanımlanan mutlak momentler (ilk ve merkezi) olarak adlandırılanlar kullanılır.

Açıktır ki, düzenlerin bile mutlak anları sıradan anlarla örtüşür.

Mutlak anlardan ilk mutlak merkezi an en sık kullanılır.

, (5.7.21)

aritmetik ortalama sapma denir. Dağılım ve standart sapma ile birlikte, aritmetik ortalama sapma bazen dağılım özelliği olarak kullanılır.

Matematiksel beklenti, mod, medyan, başlangıç ​​ve merkezi momentler ve özellikle varyans, standart sapma, çarpıklık ve basıklık, rastgele değişkenlerin en sık kullanılan sayısal özellikleridir. Pek çok pratik problemde, bir rasgele değişkenin - dağıtım yasasının - tam bir karakterizasyonu ya gerekli değildir ya da elde edilemez. Bu durumlarda, yardım ile rastgele bir değişkenin yaklaşık bir açıklaması ile sınırlıdırlar. Her biri dağılımın bazı karakteristik özelliklerini ifade eden sayısal özellikler.

Çok sık olarak, sayısal özellikler bir dağılımın diğeriyle değiştirilmesini yaklaşık olarak tahmin etmek için kullanılır ve genellikle bu değiştirmeyi birkaç önemli noktanın değişmeden kalması için yapmaya çalışırlar.

Örnek 1. Bir olayın ortaya çıkabileceği veya çıkmayabileceği, olasılığı 'e eşit olan bir deney gerçekleştirilir. Rastgele bir değişken kabul edilir - bir olayın meydana gelme sayısı (bir olayın karakteristik rastgele değişkeni). Özelliklerini belirleyin: matematiksel beklenti, varyans, standart sapma.

Çözüm. Miktar dağılım serisi şu şekildedir:

olayın gerçekleşmeme olasılığı nerededir.

(5.6.1) formülüne göre değerin matematiksel beklentisini buluruz:

Değerin dağılımı formül (5.7.15) ile belirlenir:

(Okuyucuyu, varyansı ikinci başlangıç ​​momenti cinsinden ifade ederek aynı sonucu elde etmeye davet ediyoruz).

Örnek 2. Hedefe üç bağımsız atış yapılıyor; her atışta isabet olasılığı 0,4'tür. rastgele değişken, isabet sayısıdır. Miktarın özelliklerini belirleyin - matematiksel beklenti, dağılım, s.c.o., asimetri.

Çözüm. Miktar dağılım serisi şu şekildedir:

Miktarın sayısal özelliklerini hesaplıyoruz:

Aynı özelliklerin teoremler kullanılarak çok daha basit bir şekilde hesaplanabileceğini unutmayın. sayısal özellikler fonksiyonlar (bkz. bölüm 10).

Tanım.Dispersiyon (saçılma) Kesikli rasgele değişken, rasgele değişkenin matematiksel beklentisinden karesi alınmış sapmanın matematiksel beklentisi olarak adlandırılır:

Örnek. Yukarıdaki örnek için bulduğumuz

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi:

Kare sapmanın olası değerleri:

; ;

Dağılım:

Ancak pratikte varyansı hesaplamak için bu yöntem elverişsizdir, çünkü rastgele bir değişkenin çok sayıda değeri için hantal hesaplamalara yol açar. Bu nedenle, başka bir yöntem kullanılır.

Varyans Hesaplaması

Teorem. Varyans, X rastgele değişkeninin karesinin matematiksel beklentisi ile matematiksel beklentisinin karesi arasındaki farka eşittir.:

Kanıt. Matematiksel beklentinin ve matematiksel beklentinin karesinin sabit değerler olduğu gerçeğini dikkate alarak şunu yazabiliriz:

Bu formülü yukarıdaki örneğe uygulayalım:

Dağılım Özellikleri

1) Dağılım sabit değer sıfıra eşittir:

2) Sabit faktör, karesini alarak dağılım işaretinden çıkarılabilir:

.

3) İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının varyansı, bu değişkenlerin varyanslarının toplamına eşittir:

4) İki bağımsız rastgele değişkenin farkının varyansı, bu değişkenlerin varyanslarının toplamına eşittir:

Bu eşitliğin geçerliliği, özellik 2'den kaynaklanmaktadır.

Teorem. Her birinde olayın meydana gelme olasılığının sabit olduğu n bağımsız denemede A olayının meydana gelme sayısının varyansı, deneme sayısının meydana gelme olasılığı ve olayın olasılığı ile çarpımına eşittir. her denemede olmuyor:

Örnek. Fabrika birinci sınıf ürünlerin %96'sını ve ikinci sınıf ürünlerin %4'ünü üretmektedir. 1000 ürün rastgele seçilir. İzin vermek X- bu örnekteki birinci sınıf ürün sayısı. Rastgele bir değişkenin dağılım yasasını, matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.

Bu nedenle, dağıtım yasası iki terimli olarak kabul edilebilir.

Örnek. Ayrık bir rastgele değişkenin varyansını bulun X- olayın meydana gelme sayısı ANCAK iki bağımsız denemede, bu olayın her denemede meydana gelme olasılıkları eşitse ve biliniyorsa,

Çünkü rastgele değer X binom yasasına göre dağıtılır, daha sonra

Örnek. Olayın meydana gelme olasılığı aynı olan bağımsız testler yapılır. ANCAK her testte. Bir olayın olma olasılığını bulun ANCAKüç bağımsız denemede olayın meydana gelme sayısının varyansı 0.63 ise.

Binom yasasının dağılım formülüne göre şunları elde ederiz:

;

Örnek. Dört bağımsız çalışan cihazdan oluşan bir cihaz test ediliyor. Cihazların her birinin arızalanma olasılıkları sırasıyla eşittir ; ; . Başarısız cihazların sayısının matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.

Arızalı cihaz sayısını rastgele değişken olarak aldığımızda bu rastgele değişkenin 0, 1, 2, 3 veya 4 değerlerini alabildiğini görüyoruz.

Bu rastgele değişken için bir dağılım kanunu hazırlamak için karşılık gelen olasılıkları belirlemek gerekir. kabul edelim.

1) Tek bir cihaz başarısız olmadı:

2) Cihazlardan biri arızalandı.

Matematiksel beklenti, rastgele bir değişkenin değerlerinin hangi nokta etrafında gruplandığını gösterir. Matematiksel beklentiye göre rastgele bir değişkenin değişkenliğini ölçebilmek de gereklidir. Yukarıdakiler gösteriyor ki M[(X- a) 2 ] minimuma ulaşır a de a = M(X). Bu nedenle, rastgele bir değişkenin değişkenliğinin bir göstergesi olarak kesin olarak alınması doğaldır. M[(X-M(X)) 2].

Tanım 5. Rastgele bir değişkenin varyansı X bir numara aradı

Olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde sürekli olarak kullanılan bir rasgele değişken dağılımının bir takım özelliklerini belirleyelim.

Açıklama 8.İzin vermek X- rastgele değer, a ve b- bazı sayılar Y = aX + b. O zamanlar D(Y) = a 2 D(X).

3 ve 5 numaralı ifadelerden aşağıdaki gibi, M(Y) = aM(X) + b. Sonuç olarak , D(Y) = M[(Y - M(Y)) 2 ] = M[(aX + b - aM(X) - b) 2 ] = M[ a 2 (X - M(X)) 2 ]. Sabit faktör toplamın işaretinden çıkarılabildiğinden, o zaman M[ a 2 (X - M(X)) 2 ] = a 2 M[(X - M(X)) 2 ] = a 2 D(X).

İfade 8, özellikle, referans noktası ve ölçüm birimindeki bir değişiklikle gözlem sonuçlarının varyansının nasıl değiştiğini gösterir. Kaydırma ve ölçek parametrelerinin diğer değerlerine geçişte hesaplama formüllerinin dönüştürülmesi için bir kural verir.

Açıklama 9. Eğer rastgele değişkenler X ve saat bağımsızdır, sonra toplamlarının varyansı X+Y varyansların toplamına eşittir: D(X+ Y) = D(X) + D(Y).

Bunu kanıtlamak için kimliği kullanıyoruz

(X + Y - (M (X) + M (Y)) 2 \u003d (X - M (X)) 2

+ 2(X–M(X))(U–M(U)) + (U–M(U)) 2 ,

iyi bilinen temel cebir formülünden çıkan (a+ b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 değiştirirken a = X- M(X) ve b = Y- M(Y). 3 ve 5 numaralı ifadelerden ve varyansın tanımı aşağıdaki gibidir:

D(X+ Y) = D(X) + D(Y) + 2 M((X-M(X))(Y-M(Y))).

Önerme 6'ya göre, X ve Y'nin bağımsızlığı, bağımsızlığı ifade eder. X-M(X) ve saat-M(saat). İddia 7 şunu ima eder:

M((X–M(X))(Y–M(Y)))=M(X–M(X))M(U–M(U)).

Çünkü M(X–M(X))= 0 (bkz. İfade 3), o zaman son eşitliğin sağ tarafı 0'a eşittir, bu nedenle önceki iki eşitlik dikkate alındığında, Bildirim 9'un sonucu ortaya çıkar.

Açıklama 10.İzin vermek X 1 , X 2 ,…, xk ikili bağımsız rastgele değişkenlerdir (örn. X ben ve Xj ise bağımsızdır). İzin vermek yk- onların toplamı, yk = X 1 + X 2 +…+ xk. O zaman toplamın matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir, M(yk) = M(X 1 )+ M(X 2 )+…+M(xk), toplamın varyansı, terimlerin varyanslarının toplamına eşittir, D(yk) = D(X 1 )+ D(X 2 )+…+ D(xk).

Bir örneğe dahil edilen gözlemlerin veya ölçümlerin sonuçları genellikle matematiksel istatistiklerde, karar teorisinde ve ekonometride bağımsız rastgele değişkenlerin gerçekleşmeleri olarak kabul edildiğinden, Açıklama 10'da formüle edilen ilişkiler, numune özellikleri çalışmasında ana olanlardır.

Herhangi bir sayısal rastgele değişken seti için (yalnızca bağımsız olanlar değil), toplamlarının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir. Bu iddia, Önerme 5'in bir genellemesidir. Kesin bir ispat, matematiksel tümevarım yöntemiyle kolaylıkla gerçekleştirilebilir.

Varyans için formül türetilirken D(yk) toplama sembolünün aşağıdaki özelliğini kullanırız:

koyalım bir ben = X ben – M(X ben), alırız

Şimdi toplamın matematiksel beklentisinin matematiksel beklentilerin toplamına eşit olduğu gerçeğini kullanalım:

İfade 9'un ispatında gösterildiği gibi, dikkate alınan rastgele değişkenlerin ikili bağımsızlığından şu sonuç çıkar. Sonuç olarak, sadece terimlerle i= j, ve onlar eşittir D(X ben).

8-10 ifadelerinde elde edilen matematiksel beklenti ve varyans gibi rastgele değişkenlerin bu tür özelliklerinin temel özellikleri, gerçek fenomen ve süreçlerin neredeyse tüm olasılıksal-istatistiksel modellerinde sürekli olarak kullanılmaktadır.

Örnek 9 Bir olay düşünün ANCAK ve rastgele bir değişken Xöyle ki , if , ve aksi takdirde, yani. eğer . bunu gösterelim M(X) = P(A),D(X) = P(A)( 1 – P(A)).

Matematiksel beklenti için (5) formülünü kullanalım. rastgele değer X iki değer alır - 0 ve 1, olasılıkla 1 değeri P(A) ve olasılık 1 ile 0 değeri - P(A), ve bu nedenle M(X) = 1x P(A) + 0X ( 1- P(A)) = P(A). benzer şekilde (X – M(X)) 2 = (1 – P(A)) 2 olasılıkla P(A) ve (X – M(X)) 2 = (0 – P(A)) 2 olasılıkla 1 - P(A), ve bu nedenle D(A) = ( 1 – P(A)) 2 P(A) + (P(A)) 2 ( 1 – P(A)) . Ortak çarpanı çıkarırsak şunu anlarız. D(A) = P(A)( 1 – P(A)).

Örnek 10 Düşünmek k her birinde bazı olayların olduğu bağımsız testler ANCAK gelebilir veya gelmeyebilir. Rastgele değişkenleri tanıtıyoruz X 1 , X 2 ,…, xk aşağıdaki gibi: = 1 ise i inci test etkinliği ANCAK meydana geldi ve aksi takdirde = 0. Daha sonra rastgele değişkenler X 1 , X 2 ,…, xk ikili bağımsızdır (bkz. Örnek 7). Örnek 9'da gösterildiği gibi, M(X ben) = p, D(X ben) = p( 1 – p) , nerede p = P(A). Ara sıra R"başarı olasılığı" olarak adlandırılır - bir olayın meydana gelmesi durumunda ANCAK"başarı" olarak kabul edilir.

dağılım (saçılım) bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapma karesinin matematiksel beklentisidir:

Varyansı hesaplamak için biraz değiştirilmiş bir formül kullanabilirsiniz.

çünkü M(X), 2 ve
sabit değerlerdir. Böylece,

4.2.2. Dağılım Özellikleri

Mülkiyet 1. Sabit bir değerin dağılımı sıfırdır. Nitekim tanım gereği

Mülkiyet 2. Sabit faktör, karesi alınarak dağılım işaretinden çıkarılabilir.

Kanıt

ortalanmış bir rastgele değişken, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasıdır:

Ortalanmış değer, dönüşüm için uygun olan iki özelliğe sahiptir:

Mülk 3. Eğer rastgele değişkenler X ve Y bağımsız, daha sonra

Kanıt. belirtmek
. O zamanlar.

İkinci dönemde rasgele değişkenlerin bağımsızlığı ve merkezli rasgele değişkenlerin özelliklerinden dolayı

Örnek 4.5. Eğer bir a ve b sabittir, o zaman D (aX+b)= D(aX)+D(b)=
.

4.2.3. Standart sapma

Rastgele bir değişkenin yayılmasının bir özelliği olarak dağılım, bir dezavantaja sahiptir. Örneğin, X– ölçüm hatasının boyutu var AA, o zaman varyans boyuta sahiptir
. Bu nedenle, genellikle başka bir dağılım özelliğinin kullanılması tercih edilir - standart sapma varyansın kareköküne eşit olan

Standart sapma, rastgele değişkenin kendisiyle aynı boyuta sahiptir.

Örnek 4.6. Bağımsız denemeler şemasında bir olayın meydana gelme sayısının varyansı

Üretilmiş n bağımsız denemeler ve her denemede bir olayın meydana gelme olasılığı R. Daha önce olduğu gibi olayın meydana gelme sayısını ifade ediyoruz. X bireysel deneylerde olayın meydana gelme sayısı aracılığıyla:

Deneyler bağımsız olduğundan, deneylerle ilişkili rastgele değişkenler bağımsız. Ve bağımsızlık sayesinde sahibiz

Ancak rastgele değişkenlerin her birinin bir dağılım yasası vardır (örnek 3.2).

ve
(örnek 4.4). Bu nedenle, varyans tanımı gereği:

nerede q=1- p.

Sonuç olarak, elimizde
,

Bir olayın meydana gelme sayısının standart sapması n bağımsız deneyler
.

4.3. Rastgele değişkenlerin anları

Halihazırda ele alınanlara ek olarak, rastgele değişkenlerin başka birçok sayısal özelliği vardır.

Başlangıç ​​anı k X (
) matematiksel beklenti denir k bu rastgele değişkenin gücü.

Merkezi an k-. sıradaki rastgele değişken X beklenti denir k karşılık gelen ortalanmış miktarın gücü.

Birinci mertebenin merkez momentinin her zaman sıfıra eşit olduğunu, ikinci mertebenin merkez momentinin dağılıma eşit olduğunu görmek kolaydır, çünkü .

Üçüncü mertebenin merkezi momenti, rastgele bir değişkenin dağılımının asimetrisi hakkında bir fikir verir. İkinciden daha yüksek dereceli anlar nispeten nadiren kullanılır, bu yüzden kendimizi sadece onların kavramlarıyla sınırlayacağız.

4.4. Dağıtım yasalarını bulma örnekleri

Rastgele değişkenlerin dağılım yasalarını ve sayısal özelliklerini bulma örneklerini düşünün.

Örnek 4.7.

Her atışta isabet olasılığı 0,4 ise, hedefe üç atışla hedefteki isabet sayısı için dağıtım yasasını derleyin. İntegral fonksiyonunu bulun F(X) ayrık bir rastgele değişkenin sonuçtaki dağılımı için X ve grafiğini çiziniz. Matematiksel beklentiyi bulun M(X) , dağılım D(X) ve standart sapma
(X) rastgele değişken X.

Çözüm

1) Ayrık rastgele değişken X- üç atışla hedefe isabet sayısı - dört değer alabilir: 0, 1, 2, 3 . Her birini kabul etme olasılığını Bernoulli formülüyle buluruz: n=3,p=0,4,q=1- p=0.6 ve m=0, 1, 2, 3:

Olası değerlerin olasılıklarını alın X:;

Rastgele bir değişkenin istenen dağılım yasasını oluşturalım X:

Kontrol: 0.216+0.432+0.288+0.064=1.

Elde edilen rastgele değişkenin bir dağılım poligonu oluşturalım X. Bunu yapmak için, dikdörtgen bir koordinat sisteminde (0; 0.216), (1; 0.432), (2; 0.288), (3; 0.064) noktalarını işaretleyin. Bu noktaları doğru parçalarıyla birleştirelim, ortaya çıkan kesikli çizgi istenen dağılım poligonudur (Şekil 4.1).

2) Eğer x 0, o zaman F(X)=0. Gerçekten de, sıfırdan küçük değerler için değer X kabul etmez. Bu nedenle, herkes için X0 , tanımı kullanarak F(X), alırız F(X)=P(X< x) =0 (imkansız bir olayın olasılığı olarak).

0 ise , sonra F(X) =0.216. Nitekim bu durumda F(X)=P(X< x) = =P(- < X 0)+ P(0< X< x) =0,216+0=0,216.

Örneğin alırsak, X=0.2, o zaman F(0,2)=P(X<0,2) . Ama bir olayın olasılığı X<0,2 равна 0,216, так как случайная величинаX sadece bir durumda 0,2'den küçük bir değer alır, yani 0 0.216 olasılıkla.

1 ise , sonra

Yok canım, X 0,216 olasılıkla 0 değerini ve 0,432 olasılıkla 1 değerini alabilir; bu nedenle, bu değerlerden biri, hangisi olursa olsun, X 0.648 olasılıkla (uyumsuz olayların olasılıklarının eklenmesi teoremine göre) kabul edebilir.

2 ise , o zaman, benzer şekilde tartışarak, elde ederiz F(X)=0.216+0.432 + + 0.288=0.936. Nitekim, örneğin, X=3. O zamanlar F(3)=P(X<3) bir olayın olasılığını ifade eder X<3 – стрелок сделает меньше трех попаданий, т.е. ноль, один или два. Применяя теорему сложения вероятностей, получим указанное значение функцииF(X).

Eğer bir x>3, o zaman F(X)=0.216+0.432+0.288+0.064=1. Nitekim olay X
güvenilirdir ve olasılığı bire eşittir ve X>3 - imkansız. Verilen

F(X)=P(X< x) =P(X 3) + P(3< X< x) , belirtilen sonucu elde ederiz.

Böylece, X rastgele değişkeninin istenen integral dağılım fonksiyonu elde edilir:

F(x) =

kimin grafiği Şekil 1'de gösterilmiştir. 4.2.

3) Kesikli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, tüm olası değerlerin çarpımlarının toplamına eşittir. X olasılıklarına göre:

M(X)=0=1,2.

Yani ortalama olarak hedefe üç atışla bir vuruş yapılır.

Varyans, varyans tanımından hesaplanabilir D(X)= M(X- M(X)) veya formülü kullanın D(X)= M(X
, bu da hedefe daha hızlı yol açar.

Rastgele bir değişkenin dağılım yasasını yazalım X :

için matematiksel beklentiyi bulun X:

M(X ) = 04
= 2,16.

İstenen varyansı hesaplayalım:

D(X) = M(X ) – (M(X)) = 2,16 – (1,2)= 0,72.

Ortalama kare sapma formülle bulunur

(X) =
= 0,848.

Aralık ( M- ; M+ ) = (1.2-0.85; 1.2+0.85) = (0.35; 2.05) - rastgele değişkenin en olası değerlerinin aralığı X, 1 ve 2 değerleri içine düşer.

Örnek 4.8.

Sürekli bir rastgele değişkenin diferansiyel dağılım fonksiyonu (yoğunluk fonksiyonu) verilir X:

f(x) =

1) Sabit bir parametre tanımlayın a.

2) İntegral fonksiyonunu bulun F(x) .

3) Fonksiyon grafiklerini çizin f(x) ve F(x) .

4) Olasılıkların iki yolunu bulun P(0.5< X 1,5) ve P(1,5< X<3,5) .

5). Matematiksel beklentiyi bulun M(X), dağılım D(X) ve standart sapma
rastgele değişken X.

Çözüm

1) Özelliğe göre diferansiyel fonksiyon f(x) koşulu karşılaması gerekir
.

Verilen fonksiyon için bu uygunsuz integrali hesaplayalım f(x) :

Bu sonucu eşitliğin sol tarafına koyarsak, şunu elde ederiz. a=1. Şu durumda f(x) parametreyi değiştir a 1'de:

2) bulmak F(x) formülü kullan

.

x ise
, sonra
, Sonuç olarak,

1 ise
sonra

x>2 ise

Böylece, istenen integral fonksiyonu F(x) şuna benziyor:

3) Fonksiyonların grafiklerini oluşturalım f(x) ve F(x) (şekil 4.3 ve 4.4).

4) Belirli bir aralıkta rastgele bir değişkene çarpma olasılığı (a,b) formülle hesaplanır
, eğer fonksiyon biliniyorsa f(x), ve formüle göre P(a < X < b) = F(b) – F(a), fonksiyon biliniyorsa F(x).

Bulalım
iki formül kullanarak sonuçları karşılaştırın. koşula göre a=0.5;b=1,5; işlev f(X) 1. paragrafta belirtilmiştir. Bu nedenle, formüle göre istenen olasılık:

Aynı olasılık, formül b) ile 2. paragrafta elde edilen artış yoluyla hesaplanabilir. integral fonksiyonu F(x) bu aralıkta:

Çünkü F(0,5)=0.

Benzer şekilde, bulduğumuz

çünkü F(3,5)=1.

5) Matematiksel beklentiyi bulmak için M(X) formülü kullan
İşlev f(x) paragraf 1) kararında verilen, (1,2] aralığı dışında sıfıra eşittir:

Sürekli bir rastgele değişkenin dağılımı D(X) eşitlik ile tanımlanır

veya eşdeğer eşitlik

.

İçin bulma D(X) son formülü kullanırız ve tüm olası değerleri dikkate alırız. f(x) (1,2] aralığına aittir:

Standart sapma
=
=0,276.

Rastgele bir değişkenin en olası değerlerinin aralığı X eşittir

(M-
,M+
) = (1,58-0,28; 1,58+0,28) = (1,3; 1,86).

Matematiksel beklenti, rastgele değişkenin değerlerinin hangi sayısal ölçü etrafında gruplandığını gösterir. Bununla birlikte, matematiksel beklentiye göre rastgele bir değişkenin değişkenliğini (değişkenliğini) ölçebilmek de gereklidir. Bu tür bir değişkenlik göstergesi, rastgele değişken ile matematiksel beklentisi arasındaki farkın karesinin matematiksel beklentisidir, yani M [(X - M [X]) 2].

Tanım. rastgele değişken x'in varyansı 14 sayısıdır DX] = M [(XM [X]) 2], (3.30)

veya DX] = ±f(x t) o(*,-M[X]) 2.

Şekil 3.26, dağılımın hesaplanması için formülleri gösterir - istatistiksel olasılık fx;) - ve ayrıca göstergeler: matematiksel beklenti M [X](hücre E9) ve varyans D [X] (hücre G9).

14 Bu tanımı örnek varyans tanımıyla karşılaştırmayı öneriyoruz.

Pirinç. 3.26. m [x] hesaplama formülleri ve 0 [X]Şekil 3.27'deki tablo matematiksel beklentiyi hesaplamanın sonuçlarını göstermektedir. m [x] ve dağılım 0 [X]örnek 3.14'e göre ve dağıtım histogramına göre m [x]= 4.00 (hücre E9) ve varyans 0 [X] = 1.00 (hücre B9).

Matematiksel beklenti, rastgele değişkenin değerinin x toplamın %50'si olan 4.00 değeri etrafında gruplandırılmıştır. Ancak, diğer veriler aynı değer etrafında gruplandırılabilir.

Pirinç. 3.27. A / [X] = 4.00 ve £> [X] = 1.00 ile dağılım tablosu ve histogramı

Şekil 3.28'den, [x] = 4.00 matematiksel beklentisi için £> [X] = 2.32 dağılımının Şekil 3.28'deki verilere göre iki kat daha büyük olduğu görülebilir. 3.27. Karşılık gelen histogram da önemli değişkenliği gösterir.

Pirinç. 3.28. M[X]=4.00 ve £>[X]=2.32 ile dağılım tablosu ve histogramı

Şekil 2'deki tabloları ve grafikleri karşılaştırmayı öneriyoruz. 3.27 ve 3.28 ve sonuç çıkarma. Özellikleri dağılım olasılıksal istatistiksel yöntemlerde sürekli olarak kullanılan rastgele değişken:

o eğer x- rastgele değişken, a ve b - bazı sayılar, B = ax + b, sonra

D= a 2 D[X] (3.31)

(bu, bir ölçek parametresi olarak a sayısının varyansı önemli ölçüde etkilediği, b sayısının ise varyansın değerini etkilemediği anlamına gelir);

o X 1, X 2, X n ikili bağımsız rastgele değişkenlerse (yani, X t ve X i Ф j için bağımsızsa), toplamın varyansı varyansların toplamına eşittir

D = D + D + ... + D . (3.32)

Beklenti (3.25) ve varyans (3.32) arasındaki ilişki, örneklem özelliklerinin incelenmesinde önemlidir, çünkü örnek gözlemlerinin veya ölçümlerinin sonuçları matematiksel istatistik, bağımsız rastgele değişkenlerin gerçekleşmeleri olarak.

Değişkenliğin başka bir göstergesi, rastgele bir değişkenin varyansı ile yakından ilişkilidir - standart sapma.

Tanım. Bir rastgele değişken x'in standart sapması bir tam sayıdır

SD [X]= +VD[X]. (3.33)

Yani, standart sapma dağılma ile ilgili olduğu açıktır.

İstatistiksel araştırma teorisi ve pratiğinde, özel işlevler de önemli bir rol oynar - rastgele değişkenlerin özellikleri olan sözde anlar (ilk ve merkezi).

Tanım. Rastgele değişkenin k'inci mertebesinin ilk momenti x bu miktarın k'inci gücünün matematiksel beklentisine şu ad verilir:

~ K= M. 15 (3.34)

Tanım. Rastgele değişkenin k. mertebesinin merkezi momenti x bu x değerinin matematiksel beklentisinden k'inci sapma derecesinin matematiksel beklentisi olarak adlandırılır:

m = m k, burada a = M[X].

Rastgele değişkenlerin anını belirtmek için, varyasyon serisinin anıyla aynı harfleri kullanırız, ancak ek bir ~ ("tilde") işareti ile.

Ayrık momentleri hesaplamak için formüller (değerleri alan) X ve olasılıkla p) ve sürekli (olasılık yoğunluğu / x) ile) rastgele

değerler tabloda verilmiştir. 3.4.

Tablo 3.4

Rastgele değişkenlerin momentlerini hesaplamak için formüller

Varyasyon dizilerine gelince, kesikli rastgele değişkenlerin momentleri benzer bir anlama sahiptir:

İlk başlangıç ​​anı(¿= 1) rastgele değişken heh o matematiksel beklenti:

~ 1 = M [X] = s. (3.36)

İkinci merkezi an(¿= 2) x rastgele değişkeninin 0 [X] varyansını belirler:

G d(chi - a) 2 gr u \u003d TsH] \u003d (T 2. (3.37)

Üçüncü merkezi an(¿= 3), x rastgele değişkeninin dağılımının asimetrisini karakterize eder:

P

asimetri katsayısı ve rastgele değişken x'in dağılımı şu şekildedir:

G \u003d ~ X (chi "a) 3 R ve =(3.38)

Dördüncü merkezi an(¿= 4) rastgele değişkenin dağılımının dikliğini karakterize eder.

Teorik ve örnek momentlerin değerlerinin karşılaştırılmasına dayanarak, rastgele değişkenlerin dağılım parametreleri tahmin edilir (örneğin, Bölüm 4 ve 5'e bakınız).

Yukarıda belirtildiği gibi, matematiksel istatistiklerde iki paralel gösterge satırı kullanılır: ilki uygulama ile ilgilidir (bunlar örnek göstergelerdir), ikincisi teoriye dayanır (bunlar olasılıklı bir modelin göstergeleridir). Bu göstergelerin oranı tabloda sunulmuştur. 3.5.

Tablo 3.5

Ampirik örneklemin göstergeleri ile olasılıksal model arasındaki korelasyon

Tablo 3.5 devamı

Dolayısıyla, tanımlayıcı istatistiklerin amacı, bir dizi örnek ampirik veriyi, gerçek hayattaki nesnelerle ilgili sözde istatistikler olan bir gösterge sistemine dönüştürmektir. Bu nedenle, psikologlar, öğretmenler ve diğer uzmanlar, nesneleri bireyler, birey grupları, takımlar olan, özellikleri ampirik göstergeler olan gerçek alanda çalışırlar. Bununla birlikte, çalışmanın temel amacı yeni bilgi elde etmektir ve bilgi, teorik modellerin özellikleri şeklinde ideal bir biçimde var olur. Bu, gerçek nesnelerin ampirik göstergelerinden teorik bir modelin göstergelerine doğru bir geçiş sorununu ortaya çıkarmaktadır. Bu geçiş, hem genel metodolojik yaklaşımların hem de titiz matematiksel temellerin bir analizini gerektirir. Buradaki temel olasılık, teorik doğrulaması Jacob Bernoulli (1654-1705), Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821-1894) ve 19. yüzyılın diğer matematikçileri tarafından sağlanan büyük sayılar yasasıyla açılır.

Soru. Bir görev.

1. Rastgele değişken kavramını genişletin.

2. Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler arasındaki fark nedir?

3. Olasılık uzayı hangi unsurlardan oluşur?

4. Kesikli bir rastgele değişkenin dağılımı nasıl oluşturulur?

5. Yoğunluk fonksiyonu A (x) ve dağılım fonksiyonu B (x) nasıl ilişkilidir?

6. İntegralin Geometrik Yorumunu Sağlayın B(co) = | L(x) cx = 1.