Distanca nga pika e dhënë në rrafsh. Përcaktimi i distancës midis një pike dhe një rrafshi, një drejtëze dhe një rrafshi, midis rrafsheve dhe linjave anore. Distanca nga një pikë në një plan

Kushtet për paralelizëm dhe pingul

1°. Kushti i komplanaritetit për dy avionë

Le të jepen dy plane:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, n 1 = {A 1 ; B 1 ; C 1 } ≠ 0 ;(1)

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, n 2 = {A 2 ; B 2 ; C 2 } ≠ 0 .(2)

Kur janë ato koplanare (d.m.th., paralele apo të njëjta)? Natyrisht, kjo do të jetë nëse dhe vetëm nëse vektorët e tyre normalë janë kolinearë. Duke zbatuar kriterin e koplanaritetit, marrim

Sugjerimi 1. Dy rrafshe janë koplanare nëse dhe vetëm nëse prodhimi kryq i vektorëve të tyre normal është i barabartë me vektorin zero:

[n 1 , n 2 ] = 0 .

2°. Gjendja e koincidencës së dy planeve

Sugjerimi 2. Planet (1) dhe (2) përkojnë nëse dhe vetëm nëse të katër koeficientët e tyre janë proporcionalë, d.m.th., ekziston një numër λ i tillë që

A 2 = λ A 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 , D 2 = λ D 1 . (3)

Dëshmi. Le të plotësohen kushtet (3). Atëherë ekuacioni i planit të dytë mund të shkruhet si më poshtë:

λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.

λ ≠ 0, përndryshe do të ishte A 2 = B 2 = C 2 = D 2 = 0, që bie ndesh me kushtin n 2 ≠ 0 . Prandaj, ekuacioni i fundit është i barabartë me ekuacionin (1), që do të thotë se të dy rrafshet janë të njëjta.

Tani, përkundrazi, dihet se aeroplanët e dhënë përkojnë. Atëherë vektorët e tyre normalë janë kolinearë, d.m.th., ekziston një numër λ i tillë që

A 2 = λ A 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 .

Ekuacioni (2) tani mund të rishkruhet si:

λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + D 2 = 0.

Duke shumëzuar ekuacionin (1) me λ, marrim ekuacion ekuivalent rrafshi i parë (sepse λ ≠ 0):

λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.

Le të marrim një pikë x 0 , y 0 , z 0) nga rrafshi i parë (dhe rrjedhimisht i dyti) dhe zëvendësoni koordinatat e tij në dy ekuacionet e fundit; marrim barazitë e sakta:

λ A 1 x 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + D 2 = 0 ;

λ A 1 x 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + λ D 1 = 0.

Duke zbritur nga lart poshtë, marrim D 2 − λ D 1 = 0, d.m.th. D 2 = λ D 1, QED.

3°. Kushti i pingulitetit të dy rrafsheve

Natyrisht, për këtë është e nevojshme dhe e mjaftueshme që vektorët normalë të jenë pingul.

Sugjerimi 3. Dy plane janë pingul nëse dhe vetëm nëse produkti me pika i vektorëve normalë është zero:

(n 1 , n 2) = 0 .

Le të jepet ekuacioni i rrafshët

Sëpatë + Nga + cz + D = 0, n = {A; B; C} ≠ 0 ,

dhe pika M 0 = (x 0 , y 0 , z 0). Ne nxjerrim formulën për distancën nga një pikë në një plan:

Merrni një pikë arbitrare P = (x 1 , y 1 , z 1) shtrirë në rrafshin e dhënë. Koordinatat e tij plotësojnë ekuacionin e rrafshët:

Sëpatë 1 + Nga 1 + cz 1 + D = 0.

Vini re tani se distanca e dëshiruar dështë e barabartë me vlerën absolute të projeksionit vektorial në drejtim të vektorit n (këtu e marrim projeksionin si vlerë numerike, jo si vektor). Më pas, aplikoni formulën për të llogaritur projeksionin:

Një formulë e ngjashme vlen për distancën d nga pika M 0 = (x 0 , y 0) rrafshi në drejtëzën e dhënë nga ekuacioni i përgjithshëm Sëpatë + Nga + C = 0.

DETYRAT C2 TE PROVIMIT TE UNIFIKUAR SHTETOR NE MATEMATIKE PER GJETIMIN E DISTANCES NGA NJE PIKE NE Aeroplan

Kulikova Anastasia Yurievna

Student i vitit të 5-të, Departamenti i Matematikës. Analiza, Algjebra dhe Gjeometria EI KFU, Federata Ruse, Republika e Tatarstanit, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

mbikëqyrës shkencor, Ph.D. ped. Shkenca, Profesor i Asociuar, EI KFU, Federata Ruse, Republika e Tatarstanit, Elabuga

AT PËRDORIMI i detyrave në matematikë në vitet e fundit ka probleme për të llogaritur distancën nga një pikë në një plan. Në këtë artikull, duke përdorur shembullin e një problemi, shqyrtohen metoda të ndryshme për gjetjen e distancës nga një pikë në një plan. Për të zgjidhur probleme të ndryshme, mund të përdorni metodën më të përshtatshme. Pasi të keni zgjidhur problemin me një metodë, një metodë tjetër mund të kontrollojë korrektësinë e rezultatit.

Përkufizimi. Distanca nga një pikë në një plan që nuk e përmban këtë pikë është gjatësia e segmentit të pingulit të rënë nga kjo pikë në rrafshin e dhënë.

Një detyrë. Dan kuboid PORBNGADA 1 B 1 C 1 D 1 me anë AB=2, para Krishtit=4, AA 1=6. Gjeni distancën nga një pikë D deri në aeroplan ACD 1 .

1 mënyrë. Duke përdorur përkufizim. Gjeni distancën r( D, ACD 1) nga pika D deri në aeroplan ACD 1 (Fig. 1).

Figura 1. Mënyra e parë

Le të shpenzojmë D.H.⊥AC, pra, nga teorema mbi tre pingule D 1 H⊥AC dhe (DD 1 H)⊥AC. Le të shpenzojmë e drejtpërdrejtë DT pingul D 1 H. Drejt DT shtrihet në aeroplan DD 1 H, Rrjedhimisht DT⊥AC. Rrjedhimisht, DT⊥ACD 1.

PORDC gjeni hipotenuzën AC dhe lartësia D.H.

Nga një trekëndësh kënddrejtë D 1 D.H. gjeni hipotenuzën D 1 H dhe lartësia DT

Përgjigje:.

2 mënyra.Metoda e volumit (përdorimi i një piramide ndihmëse). Një problem i këtij lloji mund të reduktohet në problemin e llogaritjes së lartësisë së një piramide, ku lartësia e piramidës është distanca e dëshiruar nga një pikë në një plan. Vërtetoni se kjo lartësi është distanca e dëshiruar; gjeni vëllimin e kësaj piramide në dy mënyra dhe shprehni këtë lartësi.

Vini re se kur këtë metodë nuk ka nevojë të ndërtohet një pingul nga një pikë e dhënë në një plan të caktuar.

Një kuboid është një kuboid, të gjitha fytyrat e të cilit janë drejtkëndësha.

AB=CD=2, para Krishtit=pas Krishtit=4, AA 1 =6.

Distanca e dëshiruar do të jetë lartësia h piramidat ACD 1 D, i rënë nga lart D në tokë ACD 1 (Fig. 2).

Llogaritni vëllimin e piramidës ACD 1 D dy mënyra.

Duke llogaritur, në mënyrën e parë, marrim si bazë ∆ ACD 1, atëherë

Duke llogaritur, në mënyrën e dytë, marrim si bazë ∆ ACD, pastaj

Barazoni anët e djathta të dy barazive të fundit, marrim

Figura 2. Mënyra e dytë

Nga trekëndëshat kënddrejtë ACD, SHTO 1 , CDD 1 gjeni hipotenuset duke përdorur teoremën e Pitagorës

ACD

Llogaritni sipërfaqen e një trekëndëshi ACD 1 duke përdorur formulën e Heronit

Përgjigje:.

3 mënyra. metodë koordinative.

Le të jepet një pikë M(x 0 ,y 0 ,z 0) dhe aeroplan α , dhënë nga ekuacioni sëpatë+nga+cz+d=0 në koordinatat karteziane drejtkëndëshe. Largësia nga pika M në rrafshin α mund të llogaritet me formulën:

Le të prezantojmë një sistem koordinativ (Fig. 3). Origjina në pikë AT;

Drejt AB- boshti X, drejt dielli- boshti y, drejt BB 1 - boshti z.

Figura 3. Mënyra e tretë

B(0,0,0), POR(2,0,0), NGA(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Le ax+nga+ cz+ d=0 – ekuacioni i rrafshët ACD një. Duke zëvendësuar në të koordinatat e pikave A, C, D 1 marrim:

Ekuacioni i planit ACD 1 do të marrë formën

Përgjigje:.

4 mënyra. metoda vektoriale.

Prezantojmë bazën (Fig. 4) , .

Figura 4. Mënyra e katërt

Ky artikull flet për përcaktimin e distancës nga një pikë në një aeroplan. le të analizojmë metodën e koordinatave, e cila do të na lejojë të gjejmë distancën nga një pikë e caktuar në hapësirën tredimensionale. Për ta konsoliduar, merrni parasysh shembuj të disa detyrave.

Distanca nga një pikë në një rrafsh gjendet me anë të një largësie të njohur nga një pikë në një pikë, ku njëra prej tyre është dhënë dhe tjetra është një projeksion në një plan të caktuar.

Kur një pikë M 1 me një rrafsh χ jepet në hapësirë, atëherë përmes pikës mund të vizatohet një drejtëz pingul me rrafshin. H 1 është një pikë e përbashkët e kryqëzimit të tyre. Nga këtu marrim se segmenti M 1 H 1 është pingul, i cili është tërhequr nga pika M 1 në rrafshin χ, ku pika H 1 është baza e pingules.

Përkufizimi 1

Ata e quajnë distancën nga një pikë e caktuar në bazën e pingules, e cila është tërhequr nga një pikë e caktuar në një plan të caktuar.

Përkufizimi mund të shkruhet në formulime të ndryshme.

Përkufizimi 2

Largësia nga pika në aeroplan quhet gjatësia e pingules, e cila është tërhequr nga një pikë e caktuar në një plan të caktuar.

Distanca nga pika M 1 në rrafshin χ përcaktohet si më poshtë: distanca nga pika M 1 në rrafshin χ do të jetë më e vogla nga një pikë e dhënë në çdo pikë të rrafshit. Nëse pika H 2 ndodhet në rrafshin χ dhe nuk është e barabartë me pikën H 2, atëherë marrim një trekëndësh kënddrejtë të formës M 2 H 1 H 2. , e cila është drejtkëndëshe, ku ka një këmbë M 2 H 1, M 2 H 2 - hipotenuzë. Prandaj, kjo nënkupton që M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 konsiderohet i pjerrët, i cili është tërhequr nga pika M 1 në rrafshin χ. Kemi që pingulja e tërhequr nga një pikë e dhënë në një rrafsh është më e vogël se ajo e pjerrët e tërhequr nga një pikë në një plan të caktuar. Konsideroni këtë rast në figurën më poshtë.

Distanca nga një pikë në një plan - teori, shembuj, zgjidhje

Ekzistojnë një numër problemesh gjeometrike, zgjidhjet e të cilave duhet të përmbajnë distancën nga një pikë në një plan. Mënyrat për ta zbuluar këtë mund të jenë të ndryshme. Për të zgjidhur, përdorni teoremën e Pitagorës ose ngjashmërinë e trekëndëshave. Kur, sipas kushtit, është e nevojshme të llogaritet distanca nga një pikë në një plan, të dhënë në një sistem koordinativ drejtkëndor të hapësirës tredimensionale, ato zgjidhen duke përdorur metodën e koordinatave. Ky seksion trajton këtë metodë.

Sipas kushtit të problemit kemi që është dhënë një pikë në hapësirën tredimensionale me koordinata M 1 (x 1, y 1, z 1) me rrafshin χ, është e nevojshme të përcaktohet distanca nga M 1 në avioni χ. Për zgjidhjen përdoren disa zgjidhje.

Mënyra e parë

Kjo metodë bazohet në gjetjen e distancës nga një pikë në një plan duke përdorur koordinatat e pikës H 1, të cilat janë baza e pingules nga pika M 1 në rrafshin χ. Tjetra, duhet të llogaritni distancën midis M 1 dhe H 1.

Për të zgjidhur problemin në mënyrën e dytë, përdoret ekuacioni normal i një rrafshi të caktuar.

Mënyra e dytë

Me kusht, kemi që H 1 të jetë baza e pingules, e cila u ul nga pika M 1 në rrafshin χ. Pastaj përcaktojmë koordinatat (x 2, y 2, z 2) të pikës H 1. Distanca e dëshiruar nga M 1 në rrafshin χ gjendet me formulën M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, ku M 1 (x 1, y 1, z 1) dhe H 1 (x 2, y 2, z 2) . Për të zgjidhur, duhet të dini koordinatat e pikës H 1.

Kemi se H 1 është pika e prerjes së rrafshit χ me drejtëzën a, e cila kalon në pikën M 1 që ndodhet pingul me rrafshin χ. Nga kjo rrjedh se është e nevojshme të formulohet ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një plan të caktuar. Pikërisht atëherë mund të përcaktojmë koordinatat e pikës H 1 . Është e nevojshme të llogariten koordinatat e pikës së kryqëzimit të vijës dhe planit.

Algoritmi për gjetjen e distancës nga një pikë me koordinata M 1 (x 1, y 1, z 1) në rrafshin χ:

Përkufizimi 3

shkruani ekuacionin e drejtëzës a që kalon në pikën M 1 dhe në të njëjtën kohë
pingul me rrafshin χ;
gjeni dhe njehsoni koordinatat (x 2, y 2, z 2) të pikës H 1, të cilat janë pika
prerja e drejtëzës a me rrafshin χ ;
llogaritni distancën nga M 1 në χ duke përdorur formulën M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

Mënyra e tretë

Në një sistem të caktuar koordinativ drejtkëndor O x y z ekziston një rrafsh χ , atëherë marrim një ekuacion normal të rrafshit të formës cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Nga këtu marrim se distanca M 1 H 1 me pikën M 1 (x 1 , y 1 , z 1) të tërhequr në rrafshin χ, e llogaritur me formulën M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z-p. Kjo formulë është e vlefshme, pasi vendoset falë teoremës.

Teorema

Nëse një pikë M 1 (x 1 , y 1 , z 1) është dhënë në hapësirën tredimensionale, që ka një ekuacion normal të rrafshit χ të formës cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0, atëherë llogaritja e distancës nga pika në rrafshin M 1 H 1 rrjedh nga formula M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, pasi x = x 1 , y = y 1 , z = z 1 .

Dëshmi

Vërtetimi i teoremës reduktohet në gjetjen e distancës nga një pikë në një vijë. Nga këtu marrim se distanca nga M 1 në rrafshin χ është moduli i ndryshimit midis projeksionit numerik të vektorit të rrezes M 1 me distancën nga origjina në rrafshin χ. Pastaj marrim shprehjen M 1 H 1 = n p n → O M → - p . Vektori normal i planit χ ka formën n → = cos α , cos β , cos γ , dhe gjatësia e tij është e barabartë me një, n p n → O M → është projeksioni numerik i vektorit O M → = (x 1 , y 1 , z 1) në drejtimin e përcaktuar nga vektori n → .

Le të zbatojmë formulën për llogaritjen e vektorëve skalorë. Pastaj marrim një shprehje për gjetjen e një vektori të formës n → , O M → = n → n p n → O M → = 1 n p n → O M → = n p n → O M → , pasi n → = cos α , cos β , cos γ z dhe O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Forma koordinative e shënimit do të marrë formën n →, O M → = cos α x 1 + cos β y 1 + cos γ z 1, pastaj M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Teorema është vërtetuar.

Nga këtu marrim se distanca nga pika M 1 (x 1, y 1, z 1) në rrafshin χ llogaritet duke zëvendësuar në anën e majtë të ekuacionit normal të rrafshit cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 në vend të koordinatave x, y, z x 1 , y 1 dhe z1 që ka të bëjë me pikën M 1 , duke marrë vlerën absolute të vlerës së fituar.

Shqyrtoni shembuj të gjetjes së distancës nga një pikë me koordinata në një plan të caktuar.

Shembulli 1

Njehsoni distancën nga pika me koordinata M 1 (5 , - 3 , 10) në rrafshin 2 x - y + 5 z - 3 = 0 .

Zgjidhje

Le ta zgjidhim problemin në dy mënyra.

Metoda e parë do të fillojë duke llogaritur vektorin e drejtimit të drejtëzës a. Me kusht, kemi që ekuacioni i dhënë 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 është një ekuacion i një plani të përgjithshëm, dhe n → \u003d (2, - 1, 5) është një vektor normal i një rrafshi të caktuar . Përdoret si vektor drejtues i drejtëzës a, e cila është pingul me rrafshin e dhënë. Duhet të shkruhet ekuacioni kanonik një vijë e drejtë në hapësirë që kalon nëpër M 1 (5 , - 3 , 10) me një vektor drejtimi me koordinatat 2 , - 1 , 5 .

Ekuacioni do të duket si x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 .

Duhet të përcaktohen pikat e kryqëzimit. Për ta bërë këtë, kombinoni butësisht ekuacionet në një sistem për kalimin nga kanoniku në ekuacionet e dy linjave kryqëzuese. Le ta marrim këtë pikë si H 1 . Ne e kuptojmë atë

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Atëherë duhet të aktivizoni sistemin

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Le t'i drejtohemi rregullit për zgjidhjen e sistemit sipas Gausit:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

Marrim se H 1 (1, - 1, 0) .

Ne llogarisim distancën nga një pikë e caktuar në një plan. Marrim pikat M 1 (5, - 3, 10) dhe H 1 (1, - 1, 0) dhe marrim

M 1 H 1 \u003d (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 \u003d 2 30

Zgjidhja e dytë është që fillimisht të sillni ekuacionin e dhënë 2 x - y + 5 z - 3 = 0 në formën normale. Përcaktojmë faktorin normalizues dhe marrim 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 . Nga këtu nxjerrim ekuacionin e rrafshit 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 . Ana e majtë e ekuacionit llogaritet duke zëvendësuar x \u003d 5, y \u003d - 3, z \u003d 10, dhe ju duhet të merrni distancën nga M 1 (5, - 3, 10) në 2 x - y + 5 z - 3 = 0 modul. Marrim shprehjen:

M 1 H 1 \u003d 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 \u003d 60 30 \u003d 2 30

Përgjigje: 2 30 .

Kur rrafshi χ specifikohet me një nga metodat e metodave të seksionit për specifikimin e planit, atëherë së pari duhet të merrni ekuacionin e planit χ dhe të llogarisni distancën e dëshiruar duke përdorur çdo metodë.

Shembulli 2

Pikat me koordinatat M 1 (5 , - 3 , 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C (4 , 0 , - 1) vendosen në hapësirën tredimensionale. Llogaritni distancën nga M 1 në rrafshin A B C.

Zgjidhje

Së pari ju duhet të shkruani ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër tre pikat e dhëna me koordinatat M 1 (5, - 3, 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C ( 4, 0, - një).

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8x + 4y - 20z + 12 = 0 ⇔ 2x - y + 5z - 3 = 0

Nga kjo rrjedh se problemi ka një zgjidhje të ngjashme me atë të mëparshme. Prandaj, distanca nga pika M 1 në rrafshin A B C është 2 30 .

Përgjigje: 2 30 .

Gjetja e distancës nga një pikë e caktuar në një plan ose në një plan me të cilin ato janë paralele është më i përshtatshëm duke zbatuar formulën M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Nga këtu marrim se ekuacionet normale të planeve fitohen në disa hapa.

Shembulli 3

Gjeni distancën nga një pikë e dhënë me koordinata M 1 (- 3 , 2 , - 7) deri te plani koordinativ O x y z dhe rrafshi, dhënë nga ekuacioni 2v - 5 = 0 .

Zgjidhje

Plani koordinativ O y z korrespondon me një ekuacion të formës x = 0. Për rrafshin O y z, është normale. Prandaj, është e nevojshme të zëvendësohen vlerat x \u003d - 3 në anën e majtë të shprehjes dhe të merret vlera absolute e distancës nga pika me koordinatat M 1 (- 3, 2, - 7) në aeroplan . Marrim vlerën e barabartë me - 3 = 3 .

Pas transformimit, ekuacioni normal i rrafshit 2 y - 5 = 0 do të marrë formën y - 5 2 = 0 . Pastaj mund të gjeni distancën e kërkuar nga pika me koordinata M 1 (- 3 , 2 , - 7) deri në rrafshin 2 y - 5 = 0 . Duke zëvendësuar dhe llogaritur, marrim 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

Përgjigje: Distanca e dëshiruar nga M 1 (- 3 , 2 , - 7) në O y z ka një vlerë 3 , dhe në 2 y - 5 = 0 ka një vlerë 5 2 - 2 .

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Plani në hapësirë jepet me barazimin 3x-4y+2z+5=0, gjeni distancën prej tij deri në pikën M(3;-2;6).
E dhënë:
$$ x_0 = 3, \katër y_0 = -2, \katër z_0 = 6 $$

$$ A = 3, \quad B = -4, \quad C = 2, \quad D = 5 $$
Zgjidhja:
Për të zgjidhur problemin, ne përdorim formulën për gjetjen e distancës nga një pikë në një plan, e cila është e barabartë me gjatësinë e pingulit të rënë nga kjo pikë në plan:

$$ p = (| A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D|) \mbi \sqrt((A^2 + B^2 + C^2)) $$

ku A, B, C, D janë koeficientët e ekuacionit të rrafshët, dhe x0, y0, z0 janë koordinatat e pikës.

Le të bëjmë një zëvendësim:

$$ \frac(|3 \cdot 3 + (-4) \cdot (-2)+2 \cdot 6 + 5 |)( \sqrt((3^2 + (-4)^2 + 2^2) ) ) = \frac(|9+8+12+5|)(\sqrt((9+16+4))) =6,314$$ (njësi lineare)
Përgjigje:
Jepet një kub ABCDA1B1C1D1 me buzë të barabartë me 1 cm Njehsoni distancën nga pika A1 në rrafshin e përcaktuar nga pikat B, D dhe C1.
Zgjidhja:
Për të zgjidhur problemin, ne aplikojmë metodën e koordinatave. Origjina e sistemit të koordinatave ndodhet në pikën A. Boshti x është i pajtueshëm me skajin AD, boshti y është i pajtueshëm me skajin AB, boshti z është i pajtueshëm me skajin AA1.

Pastaj koordinatat e pikës A1 (0;0;1), pikat B (0; 1; 0), D (1; 0; 0), C1(1; 1; 1). Duke vendosur koordinatat e secilës prej pikave në ekuacionin e përgjithshëm për rrafshin A·x+B·y+C·z+D=0, fitojmë një sistem prej tre ekuacionesh, duke i zgjidhur të cilat gjejmë koeficientët dhe ekuacionin e plani x+y-z-1=0.

$$ p = \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( \sqrt((A^2 + B^2 + C^2)) ) $$, zëvendësim :

$$ p = \frac( |1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 - 1| )( \sqrt((1+1+1)) ) = 1,155 cm$$
Përgjigje:
$$ R = 1,155 cm $$
Gjeni distancën më pas të pikës M (2; 4; -7) me rrafshin XOY.
Zgjidhja:
Ekuacioni i planit XOY është rast i veçantë, ekuacioni i tij është z=0. Le të zbatojmë formulën:

$$ p = \frac( | A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( (A^2 + B^2 + C^2) ) $$ , ku A=0, B =0, С=1, D=0, x0=2, y0=4, z0=-7.

Le të bëjmë një zëvendësim:

$$ p = \frac( |0 \cdot 2 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot (-7)) + 0| )( \sqrt((0^2 + 0^2 + 1^2)) = 7$$
Përgjigje:
Plani përcaktohet nga një kornizë prej tre pikash me koordinata në sistemin drejtkëndor A1 (0;2;1), B1(2;6;1), C1(4;0;-1). Përcaktoni në çfarë largësie prej saj ndodhet një pikë me koordinata M (5; -3; 10).
Zgjidhja:
Për të përcaktuar distancën nga një pikë në një plan, ne përdorim formulën

$$ p= \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) ) $$

Për ta përdorur atë, është e nevojshme të nxirret ekuacioni i rrafshit të përcaktuar nga pikat A1, B1 dhe C1. Forma e përgjithshme të këtij ekuacioni A·x+B·y+C·z+D=0. Duke përdorur një nga metodat për nxjerrjen e ekuacionit të rrafshit (një sistem ekuacionesh me koordinata pikash ose një përcaktor), gjejmë ekuacionin e rrafshit, marrim $2x-y+5z-3=0$$.

Ne i zëvendësojmë koeficientët e marrë të ekuacionit dhe koordinatat e pikës në formulën:

$$ p = \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( \sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) = \frac( | 2 \cdot 5 - (-3) + 5 \cdot 10 - 3|)( \sqrt( (2^2 + (-1)^2 + 5^2) ) = 10,95 $
Përgjigje:
Gjeni distancën nga rrafshi 4x-6y-4z+7=0 deri në origjinën e sistemit të koordinatave O.
E dhënë:
$$ x_0 = 0, \katër y_0 = 0, \katër z_0 = 0 $$

$$ A = 4, \quad B = -6, \quad C = -4, \quad D = 7 $$
Zgjidhja:
Koordinatat e origjinës së sistemit koordinativ O(0;0;0). Le të përdorim formulën:

$$ p= \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) ) $$ Për aeroplanin $$4 x-6y-4z+7=0$$,

$$ A=4, $$
$$ B=-6, $$
$$ C=-4, $$
$$ D=7. $$

Zëvendësoni vlerat:

$$ p = \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( \sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) = \frac( | 4 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 7|)( \sqrt( (4^2 + (-6)^2 + (-4)^2) ) = 0,85 $$
Përgjigje:

Le të ketë një aeroplan . Le të vizatojmë një normale
përmes origjinës O. Le
janë këndet e formuara nga normalja me boshte koordinative.
. Le është gjatësia e segmentit normal
para se të kaloni aeroplanin. Duke supozuar se kosinuset e drejtimit të normales janë të njohura , nxjerrim ekuacionin e rrafshit .

Le
) është një pikë arbitrare e rrafshit. Vektori normal i njësisë ka koordinata. Le të gjejmë projeksionin e vektorit
në normale.

Që nga pika M i takon aeroplanit, pra

Ky është ekuacioni për një plan të caktuar, i quajtur normale .

Largësia nga pika në aeroplan

Le të jepet një aeroplan ,M*
- një pikë në hapësirë d është distanca e tij nga avioni.

Përkufizimi. devijimi pikë M* nga avioni quhet numri ( + d), nëse M* shtrihet në anën tjetër të rrafshit ku tregon drejtimi pozitiv i normales , dhe numri (- d) nëse pika ndodhet në anën tjetër të planit:

Teorema. Lëreni aeroplanin me njësi normale dhënë nga ekuacioni normal:

Le M*
– pika e hapësirës Devijimi t. M* nga rrafshi jepet me shprehjen

Dëshmi. projeksion t.
* tregojnë normalen P. Devijimi i pikës M* nga avioni është

Rregulli. Per te gjetur devijimi t. M* nga rrafshi, ju duhet të zëvendësoni koordinatat t në ekuacionin normal të aeroplanit. M* . Distanca nga një pikë në një aeroplan është .

Reduktimi i ekuacionit të përgjithshëm të rrafshit në formë normale

Le të jepet i njëjti plan me dy ekuacione:

Ekuacioni i përgjithshëm,

ekuacioni normal.

Meqenëse të dy ekuacionet përcaktojnë të njëjtin plan, koeficientët e tyre janë proporcional:

I vendosim në katror tre barazitë e para dhe shtojmë:

Nga këtu gjejmë është faktori normalizues:

. (10)

Duke shumëzuar ekuacionin e përgjithshëm të rrafshit me faktorin normalizues, marrim ekuacionin normal të planit:

Shembuj detyrash në temën "Aeroplan".

Shembulli 1 Hartoni ekuacionin e rrafshit duke kaluar nëpër një pikë të caktuar
(2,1,-1) dhe paralel me rrafshin.

Zgjidhje. Normal për aeroplan :
. Meqenëse aeroplanët janë paralelë, normale është gjithashtu normale në planin e dëshiruar . Duke përdorur ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër një pikë të caktuar (3), marrim për rrafshin ekuacioni:

Përgjigje:

Shembulli 2 Baza e pingulit ra nga origjina në rrafsh , është një pikë
. Gjeni ekuacionin e rrafshit .

Zgjidhje. Vektor
është normale për aeroplanin . Pika M 0 i përket aeroplanit. Ju mund të përdorni ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër një pikë të caktuar (3):

Përgjigje:

Shembulli 3 Ndërtoni aeroplan duke kaluar nëpër pika

dhe pingul me rrafshin :.

Prandaj, për një moment M (x, y, z) i përkiste aeroplanit , është e nevojshme që tre vektorë
ishin të njëtrajtshme:

=0.

Mbetet për të hapur përcaktorin dhe për ta sjellë shprehjen që rezulton në formën e ekuacionit të përgjithshëm (1).

Shembulli 4 Aeroplan dhënë nga ekuacioni i përgjithshëm:

Gjeni devijimin e pikës
nga një aeroplan i caktuar.

Zgjidhje. E sjellim ekuacionin e rrafshit në formën normale.

Zëvendësoni në ekuacionin normal që rezulton koordinatat e pikës M*.

Përgjigje:
.

Shembulli 5 Nëse segmenti e pret rrafshin.

Zgjidhje. Te presesh AB kaloi aeroplanin, devijimet dhe nga avioni duhet të ketë shenja të ndryshme:

Shembulli 6 Kryqëzimi i tre planeve në një pikë.

Sistemi ka vetëm vendim, pra, tre plane kanë një pikë të përbashkët.

Shembulli 7 Gjetja e përgjysmuesve të një këndi dykëndor të formuar nga dy rrafshe të dhëna.

Le dhe - devijimi i një pike
nga rrafshi i parë dhe i dytë.

Në njërin prej rrafsheve dysektoriale (që korrespondon me këndin në të cilin shtrihet origjina e koordinatave), këto devijime janë të barabarta në madhësi dhe shenjë, dhe nga ana tjetër, ato janë të barabarta në madhësi dhe të kundërta në shenjë.

Ky është ekuacioni i rrafshit të parë dysektorial.

Ky është ekuacioni i rrafshit të dytë dysektorial.

Shembulli 8 Gjetja e vendndodhjes së dy pikave të të dhënave dhe në raport me këndet dihedrale të formuara nga këto rrafshe.