Atenție solicitanți! Mai multe sarcini ale examenului sunt analizate aici. Restul, mai interesante, sunt în materialul nostru video gratuit. Privește și acționează!

Vom începe cu probleme simple și concepte de bază ale teoriei probabilităților.
Aleatoriu Un eveniment se numește un eveniment care nu poate fi prezis cu exactitate în avans. Se poate întâmpla sau nu.
Ai câștigat la loterie - un eveniment aleatoriu. Ai invitat prieteni să sărbătorească câștigul, iar în drum spre tine au rămas blocați în lift - tot un eveniment întâmplător. Adevărat, stăpânul era în apropiere și a eliberat întreaga companie în zece minute - și acest lucru poate fi considerat și un accident fericit ...

Viața noastră este plină evenimente aleatorii. Se poate spune că fiecare dintre ele se întâmplă cu unii probabilitate. Cel mai probabil, sunteți intuitiv familiarizat cu acest concept. Acum vom da o definiție matematică a probabilității.

Să începem cu cel mai simplu exemplu. Arunci o monedă. Cap sau pajură?

O astfel de acțiune, care poate duce la unul dintre mai multe rezultate, este numită în teoria probabilității Test.

Capete și cozi - două posibile exod teste.

Vulturul va cădea într-un caz din două posibile. Ei spun asta probabilitate că moneda aterizează capete este egal cu .

Să aruncăm un zar. zarul are șase fețe, deci există șase rezultate posibile.

De exemplu, ați ghicit că trei puncte vor cădea. Acesta este unul din șase posibile rezultate. În teoria probabilității, se va numi rezultat favorabil.

Probabilitatea de a obține un triplu este (un rezultat favorabil din șase posibile).

Probabilitatea unui patru este de asemenea

Dar probabilitatea apariției celor șapte este zero. La urma urmei, nu există nicio față cu șapte puncte pe cub.

Probabilitatea unui eveniment este egală cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile și numărul total de rezultate.

Evident, probabilitatea nu poate fi mai mare de unu.

Iată un alt exemplu. Într-o pungă de mere, dintre care sunt roșii, restul sunt verzi. Merele nu diferă ca formă sau dimensiune. Bagi mana in geanta si scoti un mar la intamplare. Probabilitatea de a trage un măr roșu este , iar unul verde este .

Probabilitatea de a obține un măr roșu sau verde este de .

Să analizăm problemele din teoria probabilității incluse în colecțiile de pregătire pentru examen.

. La compania de taxiuri acest moment mașini gratuite: roșu, galben și verde. La un apel, una dintre mașini a plecat, care s-a întâmplat să fie cel mai aproape de client. Găsiți probabilitatea ca un taxi galben să sosească.

Sunt mașini în total, adică unul din cincisprezece va veni la client. Sunt nouă galbene, ceea ce înseamnă că probabilitatea de sosire a unei mașini galbene este , adică .

. (Versiune demo) În colecția de bilete privind biologia tuturor biletelor, în două dintre ele există o întrebare despre ciuperci. La examen, studentul primește un bilet selectat aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca acest bilet să nu includă întrebarea despre ciuperci.

Evident, probabilitatea de a trage un bilet fără a întreba despre ciuperci este , adică .

. Comitetul parental a cumpărat puzzle-uri pentru cadouri pentru copii la final an scolar, dintre care cu poze artiști celebriși poze cu animale. Cadourile sunt distribuite aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca Vovochka să obțină puzzle-ul animalului.

Sarcina este rezolvată într-un mod similar.

Răspuns: .

. La campionatul de gimnastică participă sportivii: din Rusia, din SUA, restul - din China. Ordinea în care performanțele gimnastelor se stabilește prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca ultimul sportiv care a concurat să fie din China.

Să ne imaginăm că toți sportivii s-au apropiat în același timp de pălărie și au scos din ea bucăți de hârtie cu numere. Unii dintre ei vor primi al douăzecilea număr. Probabilitatea ca un atlet chinez să-l retragă este egală (deoarece sportivii sunt din China). Răspuns: .

. Elevul a fost rugat să numească un număr de la până la . Care este probabilitatea ca el să numească un număr care este multiplu de cinci?

La fiecare cincilea un număr din mulțimea dată este divizibil cu . Deci probabilitatea este .

Se aruncă un zar. Aflați probabilitatea de a obține un număr impar de puncte.

Numere impare; - chiar. Probabilitatea unui număr impar de puncte este .

Răspuns: .

. Moneda este aruncată de trei ori. Care este probabilitatea ca două capete și o coadă?

Rețineți că problema poate fi formulată diferit: trei monede sunt aruncate în același timp. Nu va afecta decizia.

Câte rezultate posibile crezi că există?

Aruncăm o monedă. Această acțiune are două rezultate posibile: cap și coadă

Două monede - deja patru rezultate:

Trei monede? Așa este, rezultate, din moment ce .

Două capete și o coadă apar de trei ori din opt.

Răspuns: .

. Într-un experiment aleatoriu, se aruncă două zaruri. Găsiți probabilitatea ca suma să scadă puncte. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sutime.

Aruncă primul zar - șase rezultate. Și pentru fiecare dintre ele, încă șase sunt posibile - când aruncăm al doilea zar.

Înțelegem asta această acțiune- aruncarea a două zaruri - numărul total de rezultate posibile, de la .

Și acum pentru veștile bune:

Probabilitatea de a obține opt puncte este .

>. Trăgătorul lovește ținta cu probabilitate. Găsiți probabilitatea ca el să lovească ținta de patru ori la rând.

Dacă probabilitatea de a lovi este egală, atunci probabilitatea de a lipsi este . Argumentăm în același mod ca în problema anterioară. Probabilitatea de două lovituri la rând este . Și probabilitatea de patru lovituri la rând este egală cu .

Probabilitate: logica forței brute.

Iată o sarcină din munca de diagnosticare, care părea dificilă pentru mulți.

Petya avea monede de ruble și monede de ruble în buzunar. Petya, fără să se uite, a pus niște monede în alt buzunar. Găsiți probabilitatea ca monedele de cinci ruble să fie acum în buzunare diferite.

Știm că probabilitatea unui eveniment este egală cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile și numărul total de rezultate. Dar cum să calculăm toate aceste rezultate?

Puteți, desigur, să indicați monede de cinci ruble prin numere și monede de zece ruble cu cifre - și apoi să calculați în câte moduri puteți alege trei elemente din set.

Cu toate acestea, există o soluție mai ușoară:

Codificăm monedele cu numere:, (acestea sunt de cinci ruble), (acestea sunt de zece ruble). Condiția problemei poate fi formulată acum după cum urmează:

Există șase jetoane numerotate de la la . În câte moduri pot fi împărțite în mod egal între două buzunare, astfel încât jetoanele cu numere și să nu ajungă împreună?

Să scriem ce avem în primul buzunar.

Pentru a face acest lucru, vom compune toate combinațiile posibile din setul . Un set de trei jetoane va fi un număr de trei cifre. Este evident că în condițiile noastre și sunt același set de jetoane. Pentru a nu rata nimic și a nu repeta, aranjam numerele corespunzătoare din trei cifre în ordine crescătoare:

Toate! Am încercat toate combinațiile posibile începând cu . Noi continuăm:

totalul rezultatelor posibile.

Avem o condiție - jetoane cu numere și nu ar trebui să fie împreună. Asta înseamnă, de exemplu, că combinația nu ne convine - înseamnă că jetoanele și ambele au ajuns nu în primul, ci în al doilea buzunar. Rezultatele favorabile pentru noi sunt cele în care există fie numai, fie numai. Aici sunt ei:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 - total rezultate favorabile.

Atunci probabilitatea necesară este .

Ce sarcini te așteaptă la examenul de matematică?

Să analizăm una dintre cele mai dificile probleme din teoria probabilităților.

Pentru a intra în institutul pentru specialitatea „Lingvistică”, solicitantul Z. trebuie să obțină cel puțin 70 de puncte la Examenul Unificat de Stat la fiecare dintre cele trei discipline - matematică, rusă și o limbă străină. Pentru a vă înscrie la specialitatea „Comerț”, trebuie să obțineți cel puțin 70 de puncte la fiecare dintre cele trei materii - matematică, limba rusă și studii sociale.

Probabilitatea ca solicitantul Z. să primească cel puțin 70 de puncte la matematică este de 0,6, în limba rusă - 0,8, în limbă străină- 0,7 și în studii sociale - 0,5.
Aflați probabilitatea ca Z. să poată intra în cel puțin una dintre cele două specialități menționate.

Rețineți că problema nu se întreabă dacă un solicitant pe nume Z. va studia atât lingvistică, cât și comerț în același timp și va primi două diplome. Aici trebuie să găsim probabilitatea ca Z. să poată intra în cel puțin una dintre aceste două specialități - adică va obține numărul necesar de puncte.
Pentru a intra în cel puțin una dintre cele două specialități, Z. trebuie să obțină cel puțin 70 de puncte la matematică. Și în rusă. Și totuși - științe sociale sau străine.
Probabilitatea de a nota 70 de puncte la matematică pentru el este de 0,6.
Probabilitatea de a obține puncte la matematică și rusă este de 0,6 0,8.

Să ne ocupăm de studii străine și sociale. Opțiunile sunt potrivite pentru noi atunci când solicitantul a obținut puncte la studii sociale, într-o limbă străină sau în ambele. Opțiunea nu este potrivită atunci când nu a obținut puncte nici în limbă, nici în „societate”. Aceasta înseamnă că probabilitatea de a promova studiile sociale sau una străină cu cel puțin 70 de puncte este egală cu
1 – 0,5 0,3.
Ca urmare, probabilitatea de a promova matematica, rusă și studii sociale sau una străină este egală cu
0,6 0,8 (1 - 0,5 0,3) = 0,408. Acesta este răspunsul.

Planificarea unui atelier pentru profesorii de matematică ai instituției de învățământ din orașul Tula pe tema „Rezolvarea sarcinilor USE la matematică de la secțiunile: combinatorică, teoria probabilităților. Metode de predare"

Cheltuirea timpului: 12 00 ; 15 00

Locație: MBOU „Liceul Nr. 1”, sala. nr. 8

eu. Rezolvarea problemelor pentru probabilitate

1. Rezolvarea problemelor pe definiția clasică a probabilității

Noi, ca profesori, știm deja că principalele tipuri de sarcini din USE în teoria probabilității se bazează pe definiția clasică a probabilității. Vă amintiți ce se numește probabilitatea unui eveniment?

Probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul de rezultate care favorizează un anumit eveniment și numărul total de rezultate.

În asociația noastră științifică și metodologică a profesorilor de matematică a fost elaborată o schemă generală de rezolvare a problemelor de probabilitate. Aș dori să vi-l prezint atenției. Apropo, am împărtășit experiența noastră de lucru, iar în materialele pe care le-am acordat atenției dumneavoastră pentru o discuție comună de rezolvare a problemelor am oferit această schemă. Cu toate acestea, vreau să-l exprim.

În opinia noastră, această schemă ajută la a pune rapid totul pe rafturi, iar după aceea sarcina poate fi rezolvată mult mai ușor atât pentru profesor, cât și pentru elevi.

Așadar, vreau să analizez în detaliu problema următorului conținut.

Am vrut să vorbesc cu tine pentru a le explica metodologia despre cum să le transmită băieților o astfel de soluție, timp în care băieții ar înțelege această sarcină tipică, iar mai târziu ei înșiși vor înțelege aceste sarcini.

Ce este un experiment aleatoriu în această problemă? Acum trebuie să izolăm evenimentul elementar din acest experiment. Ce este acest eveniment elementar? Să le enumerăm.

Ai întrebări?

Dragi colegi, și dumneavoastră v-ați gândit, evident, la problemele de probabilitate cu zarurile. Cred că trebuie să-l dezasamblam, pentru că sunt câteva nuanțe. Să analizăm această problemă după schema pe care v-am propus-o. Deoarece există un număr de la 1 la 6 pe fiecare față a cubului, evenimentele elementare sunt numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6. Am constatat că numărul total de evenimente elementare este 6. Să determinăm care evenimentele elementare favorizează evenimentul. Doar două evenimente favorizează acest eveniment - 5 și 6 (deoarece rezultă din condiția ca 5 și 6 puncte să cadă).

Explicați că toate evenimentele elementare sunt la fel de posibile. Care vor fi întrebările legate de sarcină?

Cum înțelegi că moneda este simetrică? Să înțelegem bine, uneori anumite fraze provoacă neînțelegeri. Să înțelegem conceptual această problemă. Să ne ocupăm de tine în acel experiment, care este descris, ce rezultate elementare pot fi. Vă puteți imagina unde este capul, unde este coada? Care sunt opțiunile de impact? Există și alte evenimente? Care este numărul total de evenimente? Conform problemei, se știe că capetele au căzut exact o dată. Deci acest evenimentevenimentele elementare din aceste patru OR și RO favorizează, acest lucru nu se poate întâmpla deja de două ori. Folosim formula prin care se află probabilitatea unui eveniment. Amintiți-vă că răspunsurile din partea B trebuie să fie fie un număr întreg, fie o zecimală.

Afișați pe tabla interactivă. Citim sarcina. Care este rezultatul elementar din această experiență? Clarificați că perechea este ordonată - adică numărul a căzut pe primul zar și pe al doilea zar. În orice sarcină există momente când trebuie să alegi metode raționale, formează și prezintă soluția sub formă de tabele, diagrame etc. În această problemă, este convenabil să folosiți o astfel de masă. Vă dau o soluție gata făcută, dar în timpul soluției se dovedește că în această problemă este rațional să folosiți soluția sub forma unui tabel. Explicați ce înseamnă tabelul. Înțelegi de ce coloanele spun 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Să desenăm un pătrat. Liniile corespund rezultatelor primei aruncări - sunt șase, deoarece zarul are șase fețe. La fel și coloanele. În fiecare celulă scriem suma punctelor aruncate. Arată tabelul completat. Să colorăm celulele în care suma este egală cu opt (cum este necesar în condiție).

Eu cred că următoarea problemă, după analizarea celor anterioare, poate fi dată băieților să o rezolve singuri.

În următoarele probleme, nu este nevoie să scrieți toate rezultatele elementare. Este suficient doar să le numărăm numărul.

(Fără soluție) Le-am dat băieților să rezolve singuri această problemă. Algoritm pentru rezolvarea problemei

1. Stabiliți ce este un experiment aleatoriu și ce este un eveniment aleatoriu.

2. Aflați numărul total de evenimente elementare.

3. Găsim numărul de evenimente care favorizează evenimentul specificat în starea problemei.

4. Găsiți probabilitatea unui eveniment folosind formula.

Elevilor li se poate pune o întrebare, dacă 1000 de baterii au fost puse în vânzare, iar dintre ele 6 sunt defecte, atunci bateria selectată este determinată ca? Ce este în sarcina noastră? În continuare, pun o întrebare despre găsirea a ceea ce este folosit aici ca numărși îmi propun să-l găsescnumăr. Apoi întreb, care este evenimentul aici? Câți acumulatori favorizează finalizarea evenimentului? Apoi, folosind formula, calculăm această probabilitate.

Aici copiilor li se poate oferi o a doua soluție. Să discutăm despre ce poate fi această metodă?

1. Ce eveniment poate fi luat în considerare acum?

2. Cum se află probabilitatea unui eveniment dat?

Copiilor trebuie să li se spună despre aceste formule. Ei sunt următorii

A opta sarcină poate fi oferită copiilor pe cont propriu, deoarece este similară cu cea de-a șasea sarcină. Le poate fi oferit ca muncă independentă, sau pe o carte la tablă.

Această problemă poate fi rezolvată în legătură cu olimpiada, care are loc în prezent. În ciuda faptului că diferite evenimente participă la sarcini, însă, sarcinile sunt tipice.

2. Cele mai simple reguli și formule pentru calcularea probabilităților (evenimente opuse, suma evenimentelor, produsul evenimentelor)

Aceasta este o sarcină de la USE colecția. Punem soluția pe tablă. Ce întrebări ar trebui să le punem elevilor pentru a analiza această problemă.

1. Câte mitraliere erau? Odată două automate, atunci există deja două evenimente. Îi întreb pe copii care va fi evenimentul? Care va fi al doilea eveniment?

2. este probabilitatea evenimentului. Nu trebuie să-l calculăm, deoarece este dat în condiție. În funcție de starea problemei, probabilitatea ca „cafea să se epuizeze în ambele aparate” este de 0,12. A fost un eveniment A, a fost un eveniment B. Și apare un eveniment nou? Le pun copiilor întrebarea - ce? Acesta este un eveniment când ambele automate rămân fără cafea. În acest caz, în teoria probabilității, acesta este un eveniment nou, care se numește intersecția a două evenimente A și B și este notat în acest fel.

Să folosim formula de adunare a probabilității. Formula este următoarea

Ți-l dăm în materialul de referință și băieții pot da această formulă. Vă permite să găsiți probabilitatea sumei evenimentelor. Ni s-a întrebat probabilitatea evenimentului opus, a cărui probabilitate se află prin formula.

Problema 13 folosește conceptul de produs al evenimentelor, a cărui formulă pentru găsirea probabilității este dată în Anexă.

3. Sarcini pentru utilizarea arborelui Opțiuni

În funcție de starea problemei, este ușor să întocmești o diagramă și să găsești probabilitățile indicate.

Cu ajutorul ce material teoretic ați analizat rezolvarea unor probleme de acest gen cu elevii? Ați folosit un arbore al posibilităților sau ați folosit alte metode pentru rezolvarea unor astfel de probleme? Ai dat conceptul de grafice? În clasa a cincea sau a șasea, băieții au astfel de probleme, a căror analiză dă conceptul de grafice.

Aș dori să vă întreb dacă dvs. și elevii dvs. v-ați gândit să utilizați un arbore de posibilități atunci când rezolvați probleme de probabilitate? Cert este că nu doar USE-ul are astfel de sarcini, ci mai degrabă au apărut sarcini complexe, pe care acum le vom rezolva.

Să discutăm cu tine metodologia de rezolvare a unor astfel de probleme - dacă coincide cu metodologia mea, așa cum le explic băieților, atunci îmi va fi mai ușor să lucrez cu tine, dacă nu, atunci te voi ajuta să rezolvi această problemă.

Să discutăm despre evenimente. Ce evenimente din problema 17 pot fi identificate?

Când construiți un copac pe un plan, este desemnat un punct, care se numește rădăcina copacului. În continuare, începem să luăm în considerare evenimenteleși. Vom construi un segment (în teoria probabilității se numește ramură). Conform condiției, scrie că prima fabrică produce 30% din telefoanele mobile ale acestui brand (ce? Cel pe care îl produc ei), așa că momentan îi întreb pe elevi care este probabilitatea ca prima fabrică să producă telefoane de acest tip. marca, cele pe care le produc? Deoarece evenimentul este lansarea telefonului la prima fabrică, probabilitatea acestui eveniment este de 30% sau 0,3. Telefoanele rămase sunt produse la a doua fabrică - construim al doilea segment, iar probabilitatea acestui eveniment este de 0,7.

Studenților li se pune întrebarea - ce tip de telefon poate fi produs de prima fabrică? Cu sau fara defect. Care este probabilitatea ca telefonul produs de prima fabrica sa aiba un defect? Conform condiției, se spune că este egal cu 0,01. Întrebare: Care este probabilitatea ca telefonul produs de prima fabrică să nu aibă un defect? Deoarece acest eveniment este opus celui dat, probabilitatea lui este egală.

Este necesar să se găsească probabilitatea ca telefonul să fie defect. Poate fi din prima fabrică sau poate fi din a doua. Apoi folosim formula de adunare a probabilităților și obținem că întreaga probabilitate este suma probabilităților ca telefonul să fie defect din prima fabrică și ca telefonul să fie defect din a doua fabrică. Probabilitatea ca telefonul să aibă un defect și să fi fost produs la prima fabrică se găsește prin formula pentru produsul probabilităților, care este dată în anexă.

4. Una dintre cele mai dificile sarcini de la banca USE pentru probabilitate

Să analizăm, de exemplu, Nr. 320199 de la FIPI Task Bank. Aceasta este una dintre cele mai dificile sarcini din B6.

Pentru a intra în institutul pentru specialitatea „Lingvistică”, solicitantul Z. trebuie să obțină cel puțin 70 de puncte la Examenul Unificat de Stat la fiecare dintre cele trei discipline - matematică, rusă și o limbă străină. Pentru a intra la specialitatea „Comerț”, trebuie să obțineți cel puțin 70 de puncte la fiecare dintre cele trei materii - matematică, limba rusă și studii sociale.

Probabilitatea ca solicitantul Z. să primească cel puțin 70 de puncte la matematică este de 0,6, în rusă - 0,8, într-o limbă străină - 0,7 și la studii sociale - 0,5.

Aflați probabilitatea ca Z. să poată intra în cel puțin una dintre cele două specialități menționate.

Rețineți că problema nu se întreabă dacă un solicitant pe nume Z. va studia atât lingvistică, cât și comerț în același timp și va primi două diplome. Aici trebuie să găsim probabilitatea ca Z. să poată intra în cel puțin una dintre aceste două specialități - adică va obține numărul necesar de puncte.

Pentru a intra în cel puțin una dintre cele două specialități, Z. trebuie să obțină cel puțin 70 de puncte la matematică. Și în rusă. Și totuși - științe sociale sau străine.

Probabilitatea de a nota 70 de puncte la matematică pentru el este de 0,6.

Probabilitatea de a obține puncte la matematică și rusă este egală.

Să ne ocupăm de studii străine și sociale. Opțiunile sunt potrivite pentru noi atunci când solicitantul a obținut puncte la studii sociale, într-o limbă străină sau în ambele. Opțiunea nu este potrivită atunci când nu a obținut puncte nici în limbă, nici în „societate”. Aceasta înseamnă că probabilitatea de a promova studii sociale sau una străină este egală cu cel puțin 70 de puncte. Ca urmare, probabilitatea de a promova matematica, rusă și studii sociale sau una străină este egală cu

Acesta este răspunsul.

II . Rezolvarea problemelor combinatorii

1. Numărul de combinații și factoriali

Să analizăm pe scurt materialul teoretic.

Expresien ! se citește ca „en-factorial” și denotă produsul tuturor numerelor naturale de la 1 lan inclusiv:n ! = 1 2 3 ...n .

În plus, la matematică, prin definiție, se consideră că 0! = 1. O astfel de expresie este rară, dar apare totuși în problemele de teoria probabilităților.

Definiție

Să fie obiecte (creioane, dulciuri, orice) din care se cere să se aleagă exact diferite obiecte. Apoi se numește numărul de opțiuni pentru o astfel de alegerenumăr de combinații din elemente. Acest număr este indicat și calculat după o formulă specială.

Desemnare

Ce ne oferă această formulă? De fapt, aproape nicio sarcină serioasă nu poate fi rezolvată fără ea.

Pentru o mai bună înțelegere, să analizăm câteva probleme simple combinatorii:

O sarcină

Barmanul are 6 sortimente de ceai verde. Pentru ceremonia ceaiului sunt necesare exact 3 soiuri diferite de ceai verde. În câte moduri poate un barman să finalizeze o comandă?

Soluţie

Totul este simplu aici: existăn = 6 soiuri din care să alegețik = 3 soiuri. Numărul de combinații poate fi găsit prin formula:

Răspuns

Înlocuiți în formulă. Nu putem rezolva toate sarcinile, dar am scris sarcini tipice, acestea sunt prezentate atenției dumneavoastră.

O sarcină

Într-un grup de 20 de studenți, trebuie selectați 2 reprezentanți care vor lua cuvântul la conferință. În câte moduri se poate face acest lucru?

Soluţie

Din nou, tot ce avemn = 20 de elevi, dar trebuie să alegik = 2 elevi. Aflarea numărului de combinații:

Vă rugăm să rețineți că factorii incluși în factoriali diferiți sunt marcați cu roșu. Acești multiplicatori pot fi redusi fără durere și, prin urmare, pot reduce semnificativ cantitatea totală de calcule.

Răspuns

190

O sarcină

În depozit au fost aduse 17 servere cu diverse defecte, care au costat de 2 ori mai ieftin decât serverele normale. Directorul a cumpărat 14 astfel de servere pentru școală și a cheltuit banii economisiți în valoare de 200.000 de ruble pentru achiziționarea altor echipamente. În câte moduri poate un director să aleagă servere defecte?

Soluţie

Există destul de multe date suplimentare în sarcină, ceea ce poate fi confuz. Cele mai importante fapte: totul esten = 17 servere, iar directorul are nevoiek = 14 servere. Numărăm numărul de combinații:

Culoarea roșie indică din nou multiplicatorii care se reduc. În total, au rezultat 680 de combinații. În general, regizorul are multe din care să aleagă.

Răspuns

680

Această sarcină este capricioasă, deoarece există date suplimentare în această sarcină. Ei duc în rătăcire mulți studenți. Au fost 17 servere în total, iar directorul trebuia să aleagă 14. Înlocuind în formulă, obținem 680 de combinații.

2. Legea înmulțirii

Definiție

legea înmulțirii în combinatorică: se înmulţeşte numărul de combinaţii (căi, combinaţii) în mulţimi independente.

Cu alte cuvinte, să fieA modalităţi de a efectua o acţiune şiB modalități de a efectua o altă acțiune. Calea și aceste acțiuni sunt independente, adică. nu are legătură în niciun fel. Apoi puteți găsi numărul de moduri de a efectua prima și a doua acțiune prin formula:C = A · B .

O sarcină

Petya are 4 monede a câte 1 rublă fiecare și 2 monede a câte 10 ruble fiecare. Petya, fără să se uite, a scos din buzunar 1 monedă cu o valoare nominală de 1 rublă și încă o monedă cu o valoare nominală de 10 ruble pentru a cumpăra un stilou pentru 11 ruble. În câte moduri poate alege aceste monede?

Soluţie

Deci, prima primește Petyak = 1 monedă dinn = 4 monede disponibile cu o valoare nominală de 1 rublă. Numărul de moduri de a face acest lucru esteC 4 1 = ... = 4.

Apoi Petya băgă din nou mâna în buzunar și scoatek = 1 monedă dinn = 2 monede disponibile cu o valoare nominală de 10 ruble. Aici este numărul de combinațiiC 2 1 = ... = 2.

Deoarece aceste acțiuni sunt independente, numărul total de opțiuni esteC = 4 2 = 8.

Răspuns

O sarcină

Într-un coș sunt 8 bile albe și 12 negre. În câte moduri puteți obține 2 bile albe și 2 bile negre din acest coș?

Soluţie

Total în coșn = 8 bile albe din care să alegețik = 2 bile. Poate fi realizatC 8 2 = ... = 28 de moduri diferite.

În plus, căruciorul conținen = 12 bile negre din care să alegeți din nouk = 2 bile. Numărul de moduri de a face acest lucru esteC 12 2 = ... = 66.

Deoarece alegerea bilei albe și alegerea celei negre sunt evenimente independente, numărul total de combinații se calculează conform legii înmulțirii:C = 28 66 = 1848. După cum puteți vedea, pot exista destul de multe opțiuni.

Răspuns

1848

Legea înmulțirii arată câte moduri puteți efectua o acțiune complexă care constă din două sau mai multe simple - cu condiția ca toate să fie independente.

3. Legea adunării

Dacă legea înmulțirii operează pe evenimente „izolate” care nu depind unele de altele, atunci în legea adunării este adevărat opusul. Se ocupă de evenimente care se exclud reciproc, care nu se întâmplă niciodată în același timp.

De exemplu, „Petru a scos o monedă din buzunar” și „Petru nu a scos nicio monedă din buzunar” sunt evenimente care se exclud reciproc, deoarece este imposibil să scoți o monedă fără să scoți una.

În mod similar, evenimentele „Minge aleasă aleatoriu - albă” și „Minge aleasă aleatoriu - neagră” se exclud, de asemenea, reciproc.

Definiție

Legea adaosului în combinatorică: dacă se pot executa două acţiuni care se exclud reciprocA șiB moduri, respectiv, aceste evenimente pot fi combinate. Acest lucru va genera un nou eveniment care poate fi executatX = A + B moduri.

Cu alte cuvinte, atunci când se combină acțiuni care se exclud reciproc (evenimente, opțiuni), se adună numărul combinațiilor lor.

Putem spune că legea adunării este un „SAU” logic în combinatorică, atunci când oricare dintre opțiunile care se exclud reciproc ni se potrivește. În schimb, legea înmulțirii este un „ȘI” logic, în care ne interesează executarea simultană atât a primei acțiuni, cât și a celei de-a doua.

O sarcină

Într-un coș sunt 9 bile negre și 7 roșii. Băiatul scoate 2 bile de aceeași culoare. În câte moduri poate face asta?

Soluţie

Dacă bilele sunt de aceeași culoare, atunci există puține opțiuni: ambele sunt fie negre, fie roșii. Evident, aceste opțiuni se exclud reciproc.

În primul caz, băiatul trebuie să aleagăk = 2 bile negre dinn = 9 disponibile. Numărul de moduri de a face acest lucru esteC 9 2 = ... = 36.

La fel, în al doilea caz alegemk = 2 bile roșii dinn = 7 posibil. Numărul de moduri esteC 7 2 = ... = 21.

Rămâne de găsit numărul total de căi. Deoarece variantele cu bile negre și roșii se exclud reciproc, conform legii adunării avem:X = 36 + 21 = 57.

Răspuns57

O sarcină

Taraba vinde 15 trandafiri și 18 lalele. Un elev de clasa a IX-a vrea să cumpere 3 flori pentru colegul său de clasă, iar toate florile trebuie să fie la fel. În câte feluri poate face un astfel de buchet?

Soluţie

În funcție de condiție, toate florile trebuie să fie la fel. Deci, vom cumpăra fie 3 trandafiri, fie 3 lalele. Oricum,k = 3.

În cazul trandafirilor, va trebui să alegețin = 15 opțiuni, deci numărul de combinații esteC 15 3 = ... = 455. Pentru lalelen = 18, iar numărul de combinații -C 18 3 = ... = 816.

Deoarece trandafirii și lalelele sunt opțiuni care se exclud reciproc, lucrăm conform legii adunării. Obțineți numărul total de opțiuniX = 455 + 816 = 1271. Acesta este răspunsul.

Răspuns

1271

Termeni și restricții suplimentare

Foarte des în textul problemei există condiții suplimentare care impun restricții semnificative asupra combinațiilor de interes pentru noi. Comparați două propoziții:

Există un set de 5 pixuri în diferite culori. În câte moduri pot fi selectate mânerele cu 3 curse?

Există un set de 5 pixuri în diferite culori. În câte moduri pot fi alese mânere cu 3 curse dacă unul dintre ele trebuie să fie roșu?

În primul caz, avem dreptul să luăm orice culori care ne plac - nu există restricții suplimentare. În al doilea caz, totul este mai complicat, deoarece trebuie să alegem un mâner roșu (se presupune că este în setul original).

Evident, orice restricții reduc drastic numărul total de opțiuni. Deci, cum găsiți numărul de combinații în acest caz? Nu uitați decât următoarea regulă:

Să fie un set den elemente din care să alegețik elemente. Odată cu introducerea unor restricții suplimentare privind număruln șik scade cu aceeasi suma.

Cu alte cuvinte, dacă trebuie să alegeți 3 pixuri din 5, iar unul dintre ele trebuie să fie roșu, atunci va trebui să alegeți dintren = 5 − 1 = 4 elemente prink = 3 − 1 = 2 elemente. Astfel, în loc deC 5 3 trebuie luate în considerareC 4 2 .

Acum să vedem cum funcționează această regulă pe exemple specifice:

O sarcină

Într-un grup de 20 de studenți, inclusiv 2 studenți excelenți, trebuie să alegeți 4 persoane pentru a participa la conferință. În câte moduri pot fi aleși aceste patru dacă studenții excelenți trebuie să ajungă la conferință?

Soluţie

Deci există un grup den = 20 de elevi. Dar trebuie doar să alegik = 4 dintre ele. Dacă nu existau restricții suplimentare, atunci numărul de opțiuni era egal cu numărul de combinațiiC 20 4 .

Ni s-a pus însă o condiție suplimentară: printre acești patru trebuie să fie 2 studenți excelenți. Astfel, conform regulii de mai sus, reducem cifrelen șik de 2. Avem:

Răspuns

153

O sarcină

Petya are 8 monede în buzunar, dintre care 6 sunt monede ruble și 2 sunt monede de 10 ruble. Petya schimbă vreo trei monede într-un alt buzunar. În câte moduri poate face Petya asta dacă se știe că ambele monede de 10 ruble au ajuns în alt buzunar?

Soluţie

Deci existăn = 8 monede. Petya se schimbăk = 3 monede, dintre care 2 sunt zece ruble. Se pare că din 3 monede care vor fi transferate, 2 sunt deja fixe, deci numerelen șik trebuie redus cu 2. Avem:

Răspuns

III . Rezolvarea problemelor combinate privind utilizarea formulelor de combinatorie și teoria probabilităților

O sarcină

Petya avea în buzunar 4 monede de ruble și 2 monede de 2 ruble. Petya, fără să se uite, a pus vreo trei monede într-un alt buzunar. Găsiți probabilitatea ca ambele monede de două ruble să fie în același buzunar.

Soluţie

Să presupunem că ambele monede de două ruble au ajuns într-adevăr în același buzunar, atunci sunt posibile 2 opțiuni: fie Petya nu le-a schimbat deloc, fie le-a mutat pe ambele deodată.

În primul caz, când nu au fost transferate monede de două ruble, ar trebui să fie transferate 3 monede de ruble. Deoarece există 4 astfel de monede în total, numărul de moduri de a face acest lucru este egal cu numărul de combinații de 4 cu 3:C 4 3 .

În al doilea caz, când ambele monede de două ruble au fost transferate, va trebui să fie transferată încă o monedă de ruble. Trebuie ales dintre cele 4 existente, iar numărul de moduri de a face acest lucru este egal cu numărul de combinații de la 4 la 1:C 4 1 .

Acum să găsim numărul total de moduri de a muta monedele. Deoarece există 4 + 2 = 6 monede în total și trebuie alese doar 3 dintre ele, numărul total de opțiuni este egal cu numărul de combinații de la 6 la 3:C 6 3 .

Rămâne de găsit probabilitatea:

Răspuns

0,4

Afișați pe tabla interactivă. Acordați atenție faptului că, în funcție de starea problemei, Petya, fără să se uite, a mutat trei monede într-un singur buzunar. Răspunzând la această întrebare, putem presupune că două monede de două ruble au rămas într-adevăr într-un buzunar. Consultați formula pentru adăugarea probabilităților. Afișați din nou formula.

O sarcină

Petya avea în buzunar 2 monede de 5 ruble și 4 monede de 10 ruble. Petya, fără să se uite, a mutat vreo 3 monede într-un alt buzunar. Găsiți probabilitatea ca monedele de cinci ruble să fie acum în buzunare diferite.

Soluţie

Pentru ca monedele de cinci ruble să stea în buzunare diferite, trebuie să mutați doar unul dintre ele. Numărul de moduri de a face acest lucru este egal cu numărul de combinații de 2 cu 1:C 2 1 .

Deoarece Petya a transferat 3 monede în total, va trebui să transfere încă 2 monede a câte 10 ruble fiecare. Petya are 4 astfel de monede, deci numărul de moduri este egal cu numărul de combinații de la 4 la 2:C 4 2 .

Rămâne de găsit câte opțiuni există pentru a muta 3 monede din 6 disponibile. Acest număr, ca și în problema anterioară, este egal cu numărul de combinații de la 6 la 3:C 6 3 .

Găsirea probabilității:

În ultimul pas, am înmulțit numărul de moduri de a alege monede de două ruble și numărul de moduri de a alege monede de zece ruble, deoarece aceste evenimente sunt independente.

Răspuns

0,6

Deci, problemele cu monedele au propria lor formulă de probabilitate. Este atât de simplu și important încât poate fi formulat ca o teoremă.

Teorema

Lasă moneda să fie aruncatăn o singura data. Apoi probabilitatea ca capete să aterizeze exactk timpii pot fi gasiti folosind formula:

UndeC n k - numărul de combinații den elemente prink , care se calculează prin formula:

Astfel, pentru a rezolva problema cu monedele, sunt necesare două numere: numărul de aruncări și numărul de capete. Cel mai adesea, aceste numere sunt date direct în textul problemei. Mai mult, nu contează ce anume să numere: cozi sau vulturi. Răspunsul va fi același.

La prima vedere, teorema pare prea greoaie. Dar merită puțină practică - și nu mai doriți să reveniți la algoritmul standard descris mai sus.

Moneda este aruncată de patru ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să apară exact de trei ori.

Soluţie

În funcție de starea problemei, numărul total de aruncări a fostn = 4. Numărul necesar de capete:k = 3. Înlocuitorn șik în formula:

Cu același succes, puteți număra numărul de cozi:k = 4 − 3 = 1. Răspunsul va fi același.

Răspuns

0,25

O sarcină [ Caiet de lucru„USE 2012 în matematică. Sarcini B6»]

Moneda este aruncată de trei ori. Găsiți probabilitatea ca să nu apară niciodată cozi.

Soluţie

Scriind din nou numerelen șik . Deoarece moneda este aruncată de 3 ori,n = 3. Și din moment ce nu ar trebui să existe cozi,k = 0. Rămâne să înlocuim numerelen șik în formula:

Să-ți amintesc că 0! = 1 prin definiție. De aceeaC 3 0 = 1.

Răspuns

0,125

Sarcină [Examen de probă la matematică 2012. Irkutsk]

Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de 4 ori. Găsiți probabilitatea ca capul să apară de mai multe ori decât cozile.

Soluţie

Pentru ca să fie mai multe capete decât cozi, acestea trebuie să cadă fie de 3 ori (atunci va fi 1 cozi), fie de 4 (atunci nu vor fi cozi deloc). Să aflăm probabilitatea fiecăruia dintre aceste evenimente.

Lăsap 1 - probabilitatea ca capetele să cadă de 3 ori. Apoin = 4, k = 3. Avem:

Acum să găsimp 2 - probabilitatea ca capetele să cadă toate de 4 ori. În acest cazn = 4, k = 4. Avem:

Pentru a obține răspunsul, rămâne să adăugați probabilitățilep 1 șip 2 . Amintiți-vă: puteți adăuga probabilități doar pentru evenimente care se exclud reciproc. Avem:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Răspuns

0,3125

Pentru a economisi timp atunci când vă pregătiți cu băieții pentru Examenul de stat unificat și GIA, am prezentat soluții pentru multe alte sarcini pe care le puteți alege și rezolva cu băieții.

Materiale ale GIA, Examenul de stat unificat de diverși ani, manuale și site-uri.

IV. Material de referinta

Prezentat până în prezent în banca deschisă a problemelor USE în matematică (mathege.ru), a căror soluție se bazează pe o singură formulă, care este o definiție clasică a probabilității.

Cel mai simplu mod de a înțelege formula este cu exemple.
Exemplul 1În coș sunt 9 bile roșii și 3 albastre. Bilele diferă doar prin culoare. La întâmplare (fără să ne uităm) primim unul dintre ele. Care este probabilitatea ca mingea aleasă în acest fel să fie albastră?

Cometariu.În problemele din teoria probabilității, se întâmplă ceva (în acest caz, acțiunea noastră de a trage mingea) care poate avea un rezultat diferit - un rezultat. Trebuie remarcat faptul că rezultatul poate fi vizualizat în moduri diferite. „Am scos o minge” este, de asemenea, un rezultat. „Am scos mingea albastră” este rezultatul. „Am extras această minge specială din toate mingile posibile” - această vedere cel mai puțin generalizată a rezultatului se numește rezultatul elementar. Rezultatele elementare sunt menite în formula de calcul a probabilității.

Soluţie. Acum calculăm probabilitatea de a alege o minge albastră.
Evenimentul A: „Mingea aleasă s-a dovedit a fi albastră”
Numărul total toate rezultatele posibile: 9+3=12 (numărul de bile pe care le-am putea extrage)
Numărul de rezultate favorabile pentru evenimentul A: 3 (numărul de astfel de rezultate în care a avut loc evenimentul A - adică numărul de bile albastre)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Răspuns: 0,25

Să calculăm pentru aceeași problemă probabilitatea de a alege o minge roșie.
Numărul total de rezultate posibile va rămâne același, 12. Numărul de rezultate favorabile: 9. Probabilitatea dorită: 9/12=3/4=0,75

Probabilitatea oricărui eveniment este întotdeauna între 0 și 1.
Uneori, în vorbirea de zi cu zi (dar nu în teoria probabilității!) Probabilitatea evenimentelor este estimată ca procent. Tranziția între evaluarea matematică și cea conversațională se face prin înmulțirea (sau împărțirea) cu 100%.
Asa de,
În acest caz, probabilitatea este zero pentru evenimente care nu se pot întâmpla - improbabile. De exemplu, în exemplul nostru, aceasta ar fi probabilitatea de a extrage o minge verde din coș. (Numărul de rezultate favorabile este 0, P(A)=0/12=0 dacă sunt numărate conform formulei)
Probabilitatea 1 are evenimente care se vor întâmpla cu siguranță, fără opțiuni. De exemplu, probabilitatea ca „bila aleasă să fie fie roșie, fie albastră” este pentru problema noastră. (Număr de rezultate favorabile: 12, P(A)=12/12=1)

Ne-am uitat la un exemplu clasic care ilustrează definiția probabilității. Toate problemele de USE similare din teoria probabilităților sunt rezolvate folosind această formulă.
În loc de bile roșii și albastre, pot fi mere și pere, băieți și fete, bilete învățate și neînvățate, bilete care conțin sau nu o întrebare pe un subiect (prototipuri , ), genți defecte și de înaltă calitate sau pompe de grădină (prototipuri , ) - principiul rămâne același.

Ele diferă ușor în formularea problemei teoriei probabilității USE, în care trebuie să calculați probabilitatea ca un eveniment să aibă loc într-o anumită zi. ( , ) Ca și în sarcinile anterioare, trebuie să determinați care este un rezultat elementar și apoi să aplicați aceeași formulă.

Exemplul 2 Conferința durează trei zile. În prima și a doua zi, câte 15 vorbitori, în a treia zi - 20. Care este probabilitatea ca raportul profesorului M. să cadă în a treia zi, dacă ordinea rapoartelor se stabilește prin tragere la sorți?

Care este rezultatul elementar aici? - Atribuirea unui raport al profesorului unuia dintre toate numerele de serie posibile pentru un discurs. La extragere participă 15+15+20=50 de persoane. Astfel, raportul profesorului M. poate primi unul din 50 de numere. Aceasta înseamnă că există doar 50 de rezultate elementare.
Care sunt rezultatele favorabile? - Cele în care se dovedește că profesorul va vorbi a treia zi. Adică ultimele 20 de numere.
Conform formulei, probabilitatea P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Răspuns: 0,4

Tragerea la sorți aici este stabilirea unei corespondențe aleatorii între oameni și locuri ordonate. În Exemplul 2, potrivirea a fost luată în considerare în ceea ce privește locurile pe care le-ar putea ocupa o anumită persoană. Poți aborda aceeași situație din cealaltă parte: care dintre persoanele cu ce probabilitate ar putea ajunge într-un anumit loc (prototipuri , , , ):

Exemplul 3 La tragere la sorți participă 5 germani, 8 francezi și 3 estonieni. Care este probabilitatea ca primul (/al doilea/al șaptelea/ultimul - nu contează) să fie un francez.

Numărul de rezultate elementare este numărul tuturor persoanelor posibile care ar putea ajunge la un anumit loc prin tragere la sorți. 5+8+3=16 persoane.
Rezultate favorabile - francezi. 8 persoane.
Probabilitate dorită: 8/16=1/2=0,5
Răspuns: 0,5

Prototipul este puțin diferit. Există sarcini despre monede () și zaruri () care sunt ceva mai creative. Soluțiile la aceste probleme pot fi găsite pe paginile prototip.

Iată câteva exemple de aruncare a monedelor sau a zarurilor.

Exemplul 4 Când aruncăm o monedă, care este probabilitatea de a obține cozi?
Rezultatele 2 - capete sau cozi. (se crede că moneda nu cade niciodată pe margine) Rezultat favorabil - cozi, 1.
Probabilitate 1/2=0,5
Răspuns: 0,5.

Exemplul 5 Dacă aruncăm o monedă de două ori? Care este probabilitatea ca acesta să iasă în cap de ambele ori?
Principalul lucru este să stabilim ce rezultate elementare vom lua în considerare atunci când aruncăm două monede. După aruncarea a două monede, poate apărea unul dintre următoarele rezultate:
1) PP - de ambele ori a venit cozi
2) PO - prima dată cozi, a doua oară capete
3) OP - prima dată cap, a doua oară cozi
4) OO - heads up de ambele ori
Nu există alte opțiuni. Aceasta înseamnă că există 4 rezultate elementare. Doar primul este favorabil, 1.
Probabilitate: 1/4=0,25
Răspuns: 0,25

Care este probabilitatea ca două aruncări ale unei monede să cadă pe cozi?
Numărul de rezultate elementare este același, 4. Rezultatele favorabile sunt al doilea și al treilea, 2.
Probabilitatea de a obține o coadă: 2/4=0,5

În astfel de probleme, o altă formulă poate fi utilă.
Dacă la o aruncare a unei monede avem 2 rezultate posibile, atunci pentru două aruncări de rezultate vor fi 2 2=2 2 =4 (ca în exemplul 5), pentru trei aruncări 2 2 2=2 3 =8, pentru patru : 2·2·2·2=2 4 =16, … pentru N aruncări de rezultate posibile vor fi 2·2·...·2=2 N .

Deci, puteți găsi probabilitatea de a obține 5 cozi din 5 aruncări de monede.
Numărul total de rezultate elementare: 2 5 =32.
Rezultate favorabile: 1. (RRRRRR - toate cele 5 ori cozi)
Probabilitate: 1/32=0,03125

Același lucru este valabil și pentru zaruri. Cu o singură aruncare sunt posibile 6 rezultate.Deci, pentru două aruncări: 6 6=36, pentru trei 6 6 6=216 etc.

Exemplul 6 Aruncăm un zar. Care este probabilitatea de a obține un număr par?

Rezultate totale: 6, în funcție de numărul de fețe.
Favorabil: 3 rezultate. (2, 4, 6)
Probabilitate: 3/6=0,5

Exemplul 7 Aruncă două zaruri. Care este probabilitatea ca totalul să fie 10? (rotunjit la sutimi)

Există 6 rezultate posibile pentru un zar. Prin urmare, pentru doi, conform regulii de mai sus, 6·6=36.
Ce rezultate vor fi favorabile ca un total de 10 să cadă?
10 trebuie descompus în suma a două numere de la 1 la 6. Acest lucru se poate face în două moduri: 10=6+4 și 10=5+5. Deci, pentru cuburi, sunt posibile opțiuni:
(6 pe primul și 4 pe al doilea)
(4 pe primul și 6 pe al doilea)
(5 pe primul și 5 pe al doilea)
În total, 3 opțiuni. Probabilitate dorită: 3/36=1/12=0,08
Răspuns: 0,08

Alte tipuri de probleme B6 vor fi discutate în unul dintre următoarele articole „Cum se rezolvă”.

Probabilitatea unui eveniment $A$ este raportul dintre numărul de rezultate favorabile pentru $A$ și numărul tuturor rezultatelor la fel de posibile

$P(A)=(m)/(n)$, unde $n$ este numărul total de rezultate posibile și $m$ este numărul de rezultate care favorizează $A$.

Probabilitatea unui eveniment este un număr din segmentul $$

Compania de taxi are 50$ de mașini disponibile. $35$ dintre ele sunt negre, restul sunt galbene. Găsiți probabilitatea ca o mașină galbenă să ajungă la un apel aleatoriu.

Aflați numărul de mașini galbene:

În total, sunt mașini de 50$, adică una din cincizeci va veni la apel. Există $15$ de mașini galbene, prin urmare, probabilitatea de sosire a unei mașini galbene este $(15)/(50)=(3)/(10)=0,3$

Răspuns: 0,3 USD

Evenimente opuse

Se spune că două evenimente sunt opuse dacă într-un proces dat sunt incompatibile și unul dintre ele are loc în mod necesar. Probabilitățile de evenimente opuse se adună la 1. Un eveniment opus evenimentului $A$ se scrie $((A))↖(-)$.

$P(A)+P((A))↖(-)=1$

Evenimente independente

Două evenimente $A$ și $B$ sunt numite independente dacă probabilitatea de apariție a fiecăruia dintre ele nu depinde de dacă celălalt eveniment a avut loc sau nu. În caz contrar, evenimentele se numesc dependente.

Probabilitatea produsului a două evenimente independente $A$ și $B$ este egală cu produsul acestor probabilități:

$P(A B)=P(A) P(B)$

Ivan Ivanovici a cumpărat două bilete de loterie diferite. Probabilitatea ca primul bilet de loterie să câștige este de 0,15 USD. Probabilitatea ca al doilea bilet de loterie să câștige este de 0,12 USD. Ivan Ivanovici participă la ambele extrageri. Presupunând că extragerile au loc independent una de cealaltă, găsiți probabilitatea ca Ivan Ivanovici să câștige în ambele extrageri.

Probabilitate $P(A)$ - câștigă primul bilet.

Probabilitate $P(B)$ - câștigă al doilea bilet.

Evenimentele $A$ și $B$ sunt evenimente independente. Adică, pentru a găsi probabilitatea ca ambele evenimente să se producă, trebuie să găsiți produsul probabilităților

$P(A B)=P(A) P(B)$

$P=0,15 0,12=0,018$

Răspuns: 0,018 USD

Evenimente incompatibile

Se spune că două evenimente $A$ și $B$ sunt incompatibile dacă nu există rezultate care favorizează atât evenimentul $A$, cât și evenimentul $B$. (Evenimente care nu pot avea loc în același timp)

Probabilitatea sumei a două evenimente incompatibile $A$ și $B$ este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

La examenul de algebră, studentul primește o întrebare din toate examenele. Probabilitatea ca aceasta să fie o întrebare pe tema " Ecuații cuadratice", este egal cu $0,3$. Probabilitatea ca aceasta să fie o întrebare de ecuații iraționale este de 0,18 USD. Nu există întrebări legate de aceste două subiecte în același timp. Găsiți probabilitatea ca studentul să primească o întrebare pe unul dintre aceste două subiecte la examen.

Aceste evenimente sunt numite incompatibile, deoarece elevul va primi o întrebare FIE pe tema „Ecuații cuadriculare”, SAU pe tema „Ecuații iraționale”. Subiectele nu pot fi surprinse în același timp. Probabilitatea sumei a două evenimente incompatibile $A$ și $B$ este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

$P \u003d 0,3 + 0,18 \u003d 0,48 $

Răspuns: 0,48 USD

Evenimente comune

Se spune că două evenimente sunt comune dacă apariția unuia dintre ele nu exclude apariția celuilalt în același proces. În caz contrar, evenimentele sunt numite incompatibile.

Probabilitatea sumei a două evenimente comune $A$ și $B$ este egală cu suma probabilităților acestor evenimente minus probabilitatea produsului lor:

$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B)$

Există două aparate de cafea identice în holul cinematografului. Probabilitatea ca aparatul să rămână fără cafea până la sfârșitul zilei este de 0,6 USD. Probabilitatea ca ambele aparate să rămână fără cafea este de 0,32 USD. Găsiți probabilitatea ca cel puțin unul dintre automatele să rămână fără cafea până la sfârșitul zilei.

Să notăm evenimentele, să:

$A$ = cafeaua se va termina în prima mașină,

$B$ = cafeaua se va termina în a doua mașină.

$A B =$ cafeaua se va epuiza în ambele automate,

$A + B =$ cafeaua se va epuiza în cel puțin un automat.

Prin convenție, $P(A) = P(B) = 0,6; P(A B) = 0,32 USD.

Evenimentele $A$ și $B$ sunt comune, probabilitatea sumei a două evenimente comune este egală cu suma probabilităților acestor evenimente, redusă cu probabilitatea produsului lor:

$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$