Un paralelipiped este o figură geometrică, toate cele 6 fețe ale căreia sunt paralelograme.

În funcție de tipul acestor paralelograme, se disting următoarele tipuri de paralelipiped:

• Drept;
• înclinat;
• dreptunghiular.

Un paralelipiped drept este o prismă patruunghiulară ale cărei margini formează un unghi de 90 ° cu planul de bază.

Un paralelipiped dreptunghiular este o prismă patruunghiulară, ale cărei fețe sunt dreptunghiuri. Un cub este un fel de prismă patruunghiulară în care toate fețele și muchiile sunt egale.

Caracteristicile unei figuri predetermina proprietățile acesteia. Acestea includ următoarele 4 afirmații:

Amintirea tuturor proprietăților de mai sus este simplă, sunt ușor de înțeles și sunt derivate logic pe baza tipului și caracteristicilor corp geometric. Cu toate acestea, declarațiile simple pot fi incredibil de utile atunci când rezolvați sarcini tipice USE și vor economisi timpul necesar pentru a trece testul.

Formule paralelepipedice

Pentru a găsi răspunsuri la problemă, nu este suficient să cunoaștem doar proprietățile figurii. Este posibil să aveți nevoie și de câteva formule pentru a găsi aria și volumul unui corp geometric.

Aria bazelor se găsește și ca indicator corespunzător al unui paralelogram sau dreptunghi. Puteți alege singur baza paralelogramului. De regulă, atunci când rezolvați probleme, este mai ușor să lucrați cu o prismă, care se bazează pe un dreptunghi.

Formula pentru găsirea suprafeței laterale a unui paralelipiped poate fi necesară și în sarcinile de testare.

Exemple de rezolvare a sarcinilor tipice USE

Exercitiul 1.

Dat: un cuboid cu dimensiunile de 3, 4 și 12 cm.
Necesar Aflați lungimea uneia dintre diagonalele principale ale figurii.
Soluţie: Orice soluție la o problemă geometrică trebuie să înceapă cu construirea unui desen corect și clar, pe care se va indica „dată” și valoarea dorită. Figura de mai jos prezintă un exemplu de formatare corectă a condițiilor sarcinii.

Luând în considerare desenul realizat și amintindu-ne toate proprietățile unui corp geometric, ajungem la singurul mod corect de a-l rezolva. Aplicând proprietatea 4 a paralelipipedului, obținem următoarea expresie:

După calcule simple, obținem expresia b2=169, deci b=13. Răspunsul la sarcină a fost găsit, nu ar trebui să dureze mai mult de 5 minute pentru a-l căuta și a-l desena.

Sarcina 2.

Dat: o cutie oblică cu o margine laterală de 10 cm, un dreptunghi KLNM cu dimensiunile de 5 și 7 cm, care este o secțiune a figurii paralelă cu marginea specificată.
Necesar Găsiți aria suprafeței laterale a prismei patrulatere.
Soluţie: Mai întâi trebuie să schițați datele.

Pentru solutii sarcina dată se cere ingeniozitate. Din figură se poate observa că laturile KL și AD sunt inegale, precum și perechea ML și DC. Cu toate acestea, perimetrele acestor paralelograme sunt în mod evident egale.

Prin urmare, aria laterală a figurii va fi egală cu aria secțiunii transversale înmulțită cu nervura AA1, deoarece, în funcție de condiție, coasta este perpendiculară pe secțiune. Raspuns: 240 cm2.

Teorema. În orice paralelipiped, fețele opuse sunt egale și paralele.

Deci, fețele (Fig.) BB 1 C 1 C și AA 1 D 1 D sunt paralele, deoarece două drepte care se intersectează BB 1 și B 1 C 1 ale unei fețe sunt paralele cu două drepte care se intersectează AA 1 și A 1 D 1 ale celălalt. Aceste fețe sunt egale, deoarece B 1 C 1 =A 1 D 1 , B 1 B=A 1 A (ca laturi opuse ale paralelogramelor) și ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1 .

Teorema. În orice paralelipiped, toate cele patru diagonale se intersectează într-un punct și sunt împărțite în jumătate în el.

Luați (fig.) într-un paralelipiped oricare două diagonale, de exemplu, AC 1 și DB 1, și trasați linii drepte AB 1 și DC 1.

Deoarece muchiile AD și B 1 C 1 sunt egale și, respectiv, paralele cu muchia BC, ele sunt egale și paralele între ele.

Ca urmare, figura ADC 1 B 1 este un paralelogram în care C 1 A și DB 1 sunt diagonale, iar în paralelogram diagonalele se intersectează pe jumătate.

Această demonstrație poate fi repetată la fiecare două diagonale.

Prin urmare, diagonala AC 1 se intersectează cu BD 1 în jumătate, diagonala BD 1 cu A 1 C în jumătate.

Astfel, toate diagonalele se intersectează în jumătate și, prin urmare, într-un punct.

Teorema. Într-un cuboid, pătratul oricărei diagonale este egală cu suma pătrate din cele trei dimensiuni ale sale.

Fie (fig.) AC 1 o diagonală a unui paralelipiped dreptunghic.

După desenarea AC, obținem două triunghiuri: AC 1 C și ACB. Ambele sunt dreptunghiulare.

prima pentru că cutia este dreaptă și, prin urmare, muchia CC 1 este perpendiculară pe bază,

a doua este pentru că paralelipipedul este dreptunghiular, ceea ce înseamnă că are un dreptunghi la bază.

Din aceste triunghiuri găsim:

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 și AC 2 = AB 2 + BC 2

Prin urmare, AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + СС 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Consecinţă. Într-un cuboid, toate diagonalele sunt egale.

Adesea, studenții întreabă indignați: „Cum îmi va fi de folos în viață?”. Pe orice subiect al fiecărui subiect. Subiectul despre volumul unui paralelipiped nu face excepție. Și aici este doar posibil să spui: „Va veni la îndemână”.

Cum, de exemplu, să afli dacă un pachet va încăpea într-o cutie poștală? Desigur, îl puteți alege pe cel potrivit prin încercare și eroare. Dacă nu există o astfel de posibilitate? Apoi calculele vor veni în ajutor. Cunoscând capacitatea cutiei, puteți calcula volumul coletului (cel puțin aproximativ) și puteți răspunde la întrebare.

Paralelepiped și tipurile sale

Dacă traducem literal numele său din greaca veche, se dovedește că aceasta este o figură formată din planuri paralele. Există astfel de definiții echivalente ale unui paralelipiped:

• o prismă cu o bază sub formă de paralelogram;
• poliedru, fiecare față fiind un paralelogram.

Tipurile sale se disting în funcție de figura care se află la baza sa și de modul în care sunt direcționate coastele laterale. În general, se vorbește despre paralelipiped oblic a căror bază și toate fețele sunt paralelograme. Dacă fețele laterale ale vederii anterioare devin dreptunghiuri, atunci va trebui să fie apelată deja direct. Și la dreptunghiular iar baza are și unghiuri de 90º.

Mai mult, în geometrie ei încearcă să-l înfățișeze pe acesta din urmă în așa fel încât să se observe că toate marginile sunt paralele. Aici, de altfel, se observă principala diferență dintre matematicieni și artiști. Este important ca acesta din urmă să transmită corpul în conformitate cu legea perspectivei. Și în acest caz, paralelismul marginilor este complet invizibil.

Despre notația introdusă

În formulele de mai jos sunt valabile denumirile indicate în tabel.

Formule pentru o cutie oblică

Prima și a doua pentru zone:

Al treilea este pentru calcularea volumului cutiei:

Deoarece baza este un paralelogram, pentru a-și calcula aria, va trebui să utilizați expresiile corespunzătoare.

Formule pentru un cuboid

Similar cu primul paragraf - două formule pentru zone:

Și încă unul pentru volum:

Prima sarcină

Condiție. Având în vedere un paralelipiped dreptunghiular al cărui volum este de găsit. Se cunoaște diagonala - 18 cm - și faptul că formează unghiuri de 30 și 45 de grade cu planul feței laterale și respectiv al marginii laterale.

Soluţie. Pentru a răspunde la întrebarea problemei, trebuie să aflați toate laturile în trei triunghiuri dreptunghiulare. Ele vor da valorile de margine necesare pentru care trebuie să calculați volumul.

Mai întâi trebuie să vă dați seama unde este unghiul de 30 de grade. Pentru a face acest lucru, trebuie să desenați o diagonală a feței laterale din același vârf din care a fost desenată diagonala principală a paralelogramului. Unghiul dintre ele va fi ceea ce aveți nevoie.

Primul triunghi, care va da una dintre laturile bazei, va fi următorul. Conține latura dorită și două diagonale desenate. Este dreptunghiular. Acum trebuie să utilizați raportul dintre piciorul opus (partea de bază) și ipotenuza (diagonală). Este egal cu sinusul de 30º. Adică, latura necunoscută a bazei va fi determinată ca diagonală înmulțită cu sinusul de 30º sau ½. Să fie marcat cu litera „a”.

Al doilea va fi un triunghi care conține o diagonală cunoscută și o muchie cu care formează 45º. De asemenea, este dreptunghiulară și puteți utiliza din nou raportul catetei la ipotenuză. Cu alte cuvinte, marginea laterală spre diagonală. Este egal cu cosinusul de 45º. Adică, „c” se calculează ca produsul dintre diagonală și cosinusul de 45º.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).

În același triunghi, trebuie să găsiți un alt picior. Acest lucru este necesar pentru a calcula apoi a treia necunoscută - „în”. Să fie marcat cu litera „x”. Este ușor de calculat folosind teorema lui Pitagora:

x \u003d √ (18 2 - (9 √ 2) 2) \u003d 9 √ 2 (cm).

Acum trebuie să luăm în considerare un alt triunghi dreptunghic. Conține laturile deja cunoscute „c”, „x” și cea care trebuie numărată, „c”:

c \u003d √ ((9 √ 2) 2 - 9 2 \u003d 9 (cm).

Toate cele trei cantități sunt cunoscute. Puteți utiliza formula pentru volum și o puteți calcula:

V \u003d 9 * 9 * 9√2 \u003d 729√2 (cm 3).

Răspuns: volumul paralelipipedului este de 729√2 cm 3 .

A doua sarcină

Condiție. Aflați volumul paralelipipedului. Cunoaște laturile paralelogramului care se află la bază, 3 și 6 cm, precum și unghiul său ascuțit - 45º. Coasta laterală are o înclinare până la bază de 30º și este egală cu 4 cm.

Soluţie. Pentru a răspunde la întrebarea problemei, trebuie să luați formula care a fost scrisă pentru volumul unui paralelipiped înclinat. Dar ambele cantități sunt necunoscute în el.

Aria bazei, adică paralelogramul, va fi determinată de formula în care trebuie să înmulțiți laturile cunoscute și sinusul unghiului acut dintre ele.

So \u003d 3 * 6 sin 45º \u003d 18 * (√2) / 2 \u003d 9 √2 (cm 2).

Al doilea cantitate necunoscută este inaltimea. Poate fi desenat din oricare dintre cele patru vârfuri de deasupra bazei. Poate fi găsit dintr-un triunghi dreptunghic, în care înălțimea este catetul, iar marginea laterală este ipotenuza. În acest caz, un unghi de 30º se află opus înălțimii necunoscute. Deci, puteți utiliza raportul dintre catete și ipotenuză.

n \u003d 4 * sin 30º \u003d 4 * 1/2 \u003d 2.

Acum toate valorile sunt cunoscute și puteți calcula volumul:

V \u003d 9 √2 * 2 \u003d 18 √2 (cm 3).

Răspuns: volumul este de 18 √2 cm 3 .

A treia sarcină

Condiție. Aflați volumul paralelipipedului dacă se știe că este o linie dreaptă. Laturile bazei sale formează un paralelogram și sunt egale cu 2 și 3 cm. Colt ascutitîntre ele 60º. Diagonala mai mică a paralelipipedului este egală cu diagonala mai mare a bazei.

Soluţie. Pentru a afla volumul unui paralelipiped folosim formula cu aria bazei și înălțimea. Ambele cantități sunt necunoscute, dar sunt ușor de calculat. Prima este înălțimea.

Deoarece diagonala mai mică a paralelipipedului are aceeași dimensiune ca și baza mai mare, acestea pot fi notate cu aceeași literă d. Cel mai mare unghi al unui paralelogram este de 120º, deoarece formează 180º cu unul acut. Fie ca a doua diagonală a bazei să fie notată cu litera „x”. Acum, pentru cele două diagonale ale bazei, se pot scrie teoreme cosinus:

d 2 \u003d a 2 + în 2 - 2av cos 120º,

x 2 \u003d a 2 + în 2 - 2ab cos 60º.

Găsirea valorilor fără pătrate nu are sens, deoarece atunci acestea vor fi ridicate din nou la a doua putere. După înlocuirea datelor, rezultă:

d 2 \u003d 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ \u003d 19,

x 2 \u003d a 2 + în 2 - 2ab cos 60º \u003d 4 + 9 - 12 * ½ \u003d 7.

Acum, înălțimea, care este și marginea laterală a paralelipipedului, va fi piciorul din triunghi. Ipotenuza va fi diagonala cunoscută a corpului, iar al doilea catet va fi „x”. Puteți scrie teorema lui Pitagora:

n 2 \u003d d 2 - x 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.

Prin urmare: n = √12 = 2√3 (cm).

Acum, a doua cantitate necunoscută este aria bazei. Poate fi calculat folosind formula menționată în a doua problemă.

Deci \u003d 2 * 3 sin 60º \u003d 6 * √3/2 \u003d 3 √3 (cm 2).

Combinând totul într-o formulă de volum, obținem:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

Răspuns: V \u003d 18 cm 3.

A patra sarcină

Condiție. Este necesar să se afle volumul unui paralelipiped care îndeplinește următoarele condiții: baza este un pătrat cu latura de 5 cm; fețele laterale sunt romburi; unul dintre vârfurile de deasupra bazei este echidistant de toate vârfurile aflate la bază.

Soluţie. Mai întâi trebuie să te ocupi de afecțiune. Nu există întrebări cu primul paragraf despre pătrat. Al doilea, despre romburi, arată clar că paralelipipedul este înclinat. În plus, toate marginile sale sunt egale cu 5 cm, deoarece laturile rombului sunt aceleași. Și din a treia devine clar că cele trei diagonale trase din ea sunt egale. Acestea sunt două care se află pe fețele laterale, iar ultima este în interiorul paralelipipedului. Și aceste diagonale sunt egale cu marginea, adică au și o lungime de 5 cm.

Pentru a determina volumul, veți avea nevoie de o formulă scrisă pentru un paralelipiped înclinat. Din nou, nu există cantități cunoscute în el. Cu toate acestea, aria bazei este ușor de calculat, deoarece este un pătrat.

So \u003d 5 2 \u003d 25 (cm 2).

Puțin mai dificil este cazul înălțimii. Acesta va fi astfel în trei figuri: un paralelipiped, piramida patruunghiularași un triunghi isoscel. Ar trebui folosită ultima împrejurare.

Deoarece este o înălțime, este un picior într-un triunghi dreptunghic. Ipotenuza din ea va fi o muchie cunoscută, iar al doilea catet este egal cu jumătate din diagonala pătratului (înălțimea este și mediana). Și diagonala bazei este ușor de găsit:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).

Înălțimea va trebui calculată ca diferența dintre gradul doi al muchiei și pătratul jumătății diagonalei și nu uitați să extrageți rădăcina pătrată:

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).

V \u003d 25 * 2,5 √2 \u003d 62,5 √2 (cm 3).

Răspuns: 62,5 √2 (cm 3).

Un paralelipiped dreptunghiular (PP) nu este altceva decât o prismă, a cărei bază este un dreptunghi. În PP, toate diagonalele sunt egale, ceea ce înseamnă că oricare dintre diagonalele sale este calculată prin formula:

• a, spre baza PP;

  cu înălțimea lui.

O altă definiție poate fi dată, având în vedere sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian:

Diagonala PP este vectorul rază al oricărui punct din spațiu dat de coordonatele x, y și z în sistemul de coordonate carteziene. Acest vector rază până la punct este desenat de la origine. Și coordonatele punctului vor fi proiecțiile vectorului rază (diagonala PP) pe axele de coordonate. Proiecțiile coincid cu vârfurile paralelipipedului dat.



Un cuboid este un fel de poliedru format din 6 fețe, la baza cărora se află un dreptunghi. O diagonală este un segment de dreaptă care leagă vârfuri opuse ale unui paralelogram.

Formula pentru găsirea lungimii unei diagonale este aceea că pătratul diagonalei este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale paralelogramului.



Am găsit un tabel de schemă bun pe Internet, cu o listă completă a tot ceea ce este în paralelipiped. Există o formulă pentru a găsi diagonala care se notează cu d.

Există o imagine a unei fețe, un vârf și alte lucruri importante pentru cutie.



Dacă se cunosc lungimea, înălțimea și lățimea (a,b,c) unui cuboid, atunci formula de calcul a diagonalei va arăta astfel:



De obicei, profesorii nu oferă elevilor lor naked formula, dar depune eforturi astfel încât să o poată deriva în mod independent punând întrebări principale:

• ce trebuie să știm, ce date avem?
• Care sunt proprietățile unui paralelipiped dreptunghiular?
• Teorema lui Pitagora se aplică aici? Cum?
• Există suficiente date pentru a aplica teorema lui Pitagora sau avem nevoie de mai multe calcule?

De obicei, după ce răspund la întrebările puse, elevii obțin ușor această formulă singuri.

Diagonalele unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale. La fel și diagonalele fețelor sale opuse. Lungimea diagonalei poate fi calculată cunoscând lungimea muchiilor paralelogramului care emană dintr-un vârf. Această lungime este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor lungimilor nervurilor sale.



Un cuboid este unul dintre așa-numitele poliedre, care constă din 6 fețe, fiecare fiind dreptunghi. O diagonală este un segment de dreaptă care leagă vârfuri opuse ale unui paralelogram. Dacă lungimea, lățimea și înălțimea unei casete dreptunghiulare sunt luate ca a, b, respectiv c, atunci formula diagonalei sale (D) va arăta astfel: D^2=a^2+b^2+c^2 .



Diagonala unui cuboid este un segment care leagă vârfurile opuse. Deci avem cuboid cu diagonala d și laturile a, b, c. Una dintre proprietățile unui paralelipiped este că un pătrat lungimea diagonalei d este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni a, b, c. De aici concluzia că lungimea diagonalei poate fi calculat cu ușurință folosind următoarea formulă:



De asemenea:

Cum se află înălțimea unui paralelipiped?

• Pătrat în diagonală, a unui cuboid pătrat (vezi proprietățile unui cuboid pătrat) este egală cu suma pătratelor celor trei laturi ale sale diferite (lățime, înălțime, grosime) și, în consecință, diagonala unui cuboid pătrat este egală cu rădăcina din această sumă.

  Îmi amintesc de programa școlară în geometrie, puteți spune așa: diagonala unui paralelipiped este egală cu rădăcina pătrată obținută din suma celor trei laturi ale sale (se notează cu litere mici a, b, c).

  Lungimea diagonalei unei prisme dreptunghiulare este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor laturilor sale.

  Din câte știu eu curiculumul scolar, clasa 9 dacă nu mă înșel și dacă memoria servește, atunci diagonala unui paralelipiped dreptunghiular este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor celor trei laturi ale sale.

  pătratul diagonalei este egal cu suma pătratelor lățimii, înălțimii și lungimii, pe baza acestei formule obținem răspunsul, diagonala este egală cu rădăcina pătrată a sumei celor trei dimensiuni diferite ale sale, ele denotă cu litere nсz abc

Deoarece toate fețele unui paralelipiped sunt paralelograme, linia AD este paralelă cu dreapta BC, iar linia este paralelă cu dreapta. De aici rezultă că planele fețelor considerate sunt paralele.

Din faptul că fețele unui paralelipiped sunt paralelograme, rezultă că AB, , CD și sunt paralele și egale. De aici concluzionăm că fața este combinată prin translație paralelă de-a lungul muchiei AB cu fața . Prin urmare, aceste margini sunt egale.

2 ) Luați două diagonale ale paralelipipedului (Fig. 5), de exemplu, și , și trageți linii suplimentare și . AB și respectiv sunt egale și paralele cu muchia DC, deci sunt egale și paralele între ele; ca urmare, figura este un paralelogram, în care liniile drepte și sunt diagonale, iar într-un paralelogram, diagonalele sunt împărțite în jumătate în punctul de intersecție. În mod similar, putem demonstra că celelalte două diagonale se intersectează într-un punct și bisectează acel punct. Punctul de intersecție al fiecărei perechi de diagonale se află la mijlocul diagonalei. Astfel, toate cele patru diagonale ale paralelipipedului se intersectează într-un punct O și bisectează acest punct. Astfel, punctul de intersecție al diagonalelor paralelipipedului este centrul său de simetrie.

Teorema:

Pătratul diagonalei unui cuboid este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale.

Dovada:

Acest lucru reiese din teorema spațială a lui Pitagora. Dacă este diagonala unui paralelipiped dreptunghic , apoi sunt proiecțiile sale pe trei linii perpendiculare perechi (Fig. 6). Prin urmare, .