Pentru un eșantion, puteți defini un număr de caracteristici numerice care sunt similare cu principalele caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare din teoria probabilității ( valorea estimata, varianță, abatere standard, mod, mediană) și sunt într-un anumit sens (ceea ce va fi clar mai târziu) valoarea lor aproximativă.

Să fie dată distribuția statistică a mărimii eșantionului n pentru frecvențe și frecvențe relative:

Dacă adăugăm un multiplicator sub semnul sumei, obținem formula pentru media eșantionului în termeni de frecvențe relative:

.

Rețineți că, în cazul unei serii de intervale, media eșantionului este calculată folosind aceleași formule dacă numerele X 1 , … , X k luați punctele de mijloc ale intervalelor: , … ,.

Varianta eșantionului se numește media aritmetică a abaterilor pătrate ale valorilor eșantionului de la media lor eșantionului:

Introducând din nou un factor sub semnul sumei, obținem o formulă pentru varianța eșantionului în termeni de frecvențe relative:

Transformările simple conduc la o formulă mai convenabilă pentru calcularea varianței eșantionului

,

unde este media eșantionului a pătratului variabilei aleatoare studiate, i.e.

Dacă eșantionul este reprezentat printr-o serie statistică de interval, atunci formulele pentru varianța eșantionului rămân aceleași, unde, ca de obicei, ca numere X 1 , … , X k se iau punctele medii ale intervalelor: , … ,.

Deviația standard a eșantionului numit Rădăcină pătrată din varianța eșantionului

.

Variație de măturare R este diferența dintre valorile maxime și minime din eșantion. Dacă opțiunile din eșantion sunt clasate (așezate în ordine crescătoare), atunci

.

Coeficientul de variație este determinat de formula

.

Modă M despre seria de variații se numește varianta care are cea mai mare frecvență (sau frecvență relativă).

Median M e seria de variații se numește numărul care este mijlocul său. Pentru o serie discretă cu un număr impar, varianta mediană este egală cu varianta sa din mijloc. Dacă numărul de opțiuni este par, atunci Medina este egală cu media (adică jumătate din suma) a celor două opțiuni de mijloc.

Principalele caracteristici statistice ale unei serii de măsurători (serie de variații) includ caracteristicile de poziție (caracteristicile medii, sau tendința centrală a eșantionului); caracteristicile de împrăștiere (variații sau fluctuații) și caracteristicile formei de distribuție.

La caracteristicile poziției includ media aritmetică (media), modul și mediana.

La caracteristicile de împrăștiere(variațiile sau fluctuațiile) includ: intervalul de variație, varianța, abaterea medie pătratică (standard), eroarea mediei aritmetice (eroarea mediei), coeficientul de variație etc.

La caracteristicile formei includ asimetrie, asimetrie și curtoză.

51. Estimarea parametrilor populaţiei generale. Estimare punct și interval. Interval de încredere. Nivel de semnificație

Estimarea parametrilor populatie

Există estimări punctuale și pe intervale ale parametrilor generali.

punctat un numar. Aceste estimări includ, de exemplu,

La estimări statistice au dat aproximări „bune” ale parametrilor estimați, aceștia ar trebui să fie:

imparțial;

efectiv;

bogat.

O estimare se numește nepărtinitoare dacă așteptarea matematică a distribuției sale eșantionului coincide cu valoarea parametrului general.

Estimarea punctului se numește efectiv dacă are cea mai mică varianță a distribuției eșantionului în comparație cu alte estimări similare, i.e. găsește cea mai mică variație aleatoare.

O estimare punctuală se numește consistentă dacă, odată cu creșterea dimensiunii eșantionului, tinde spre valoarea parametrului general.

De exemplu, media eșantionului este o estimare consecventă și imparțială a mediei populației. Pentru un eșantion dintr-o populație normală, această estimare este, de asemenea, eficientă.

La eșantionarea unui volum mic, estimarea punctuală poate diferi semnificativ de parametrul estimat, adică duce la erori grave. Din acest motiv, cu o dimensiune mică a eșantionului, ar trebui să se folosească scoruri de interval.

Interval numită estimare, care este determinată doua numere– intervalul se termină– interval de încredere.

Estimările pe intervale fac posibilă stabilirea acurateței și fiabilității estimărilor.

Pentru a estima parametrul general folosind un interval de încredere, sunt necesare trei mărimi:

De exemplu, intervalul de încredere pentru media generală se găsește prin formula: la un nivel de semnificație .

Interval de încredere- un termen folosit în statistica matematică pentru estimarea pe intervale a parametrilor statistici, care este mai de preferat cu o dimensiune mică a eșantionului decât estimarea punctuală.

Nivel de semnificație - este probabilitatea ca diferențele să fie considerate semnificative, dar acestea sunt de fapt aleatoare.

Când indicăm că diferențele sunt semnificative la nivelul de semnificație de 5%, sau la R< 0,05 , atunci ne referim la probabilitatea ca acestea să fie încă nesigure este 0,05.

Când indicăm că diferențele sunt semnificative la nivelul de semnificație de 1%, sau la R< 0,01 , atunci ne referim la probabilitatea ca acestea să fie încă nesigure este 0,01.

Dacă traducem toate acestea într-un limbaj mai formalizat, atunci nivelul de semnificație este probabilitatea de a respinge ipoteza nulă, în timp ce aceasta este adevărată.

Eroarea prin care respingem ipoteza nulă atunci când este adevărată se numește eroare de tip 1. (Vezi tabelul 1)

Tab. 1. Ipoteze nule și alternative și posibile stări de testare.

Probabilitatea unei astfel de erori este de obicei notată ca α. De fapt, ar trebui să punem între paranteze nu p < 0,05 sau p < 0,01 și α < 0,05 sau α < 0,01.

Dacă probabilitatea de eroare este α , atunci probabilitatea unei decizii corecte: 1-α. Cu cât α este mai mic, cu atât probabilitatea unei soluții corecte este mai mare.

Din punct de vedere istoric, în psihologie, se obișnuiește să se considere nivelul de 5% (p≤0,05) drept cel mai scăzut nivel de semnificație statistică: nivelul de 1% este suficient (p≤0,01) și cel mai mare nivel de 0,1% (p≤0,001), prin urmare, în tabelele de valori critice sunt date de obicei valorile criteriilor, corespunzătoare nivelurilor de semnificație statistică p≤0,05 și p≤0,01, uneori - p≤0,001. Pentru unele criterii, tabelele indică nivelul exact de semnificație al diferitelor lor valori empirice. De exemplu, pentru φ*=1,56 p=0,06.

Până când însă nivelul de semnificație statistică nu ajunge la p=0,05, nu suntem încă îndreptățiți să respingem ipoteza nulă. Vom respecta următoarea regulă de respingere a ipotezei fără diferențe (HO) și de acceptare a ipotezei semnificației statistice a diferențelor (H 1).

Pentru analiza matematico-statistică a rezultatelor eșantionului nu este suficient să se cunoască doar caracteristicile postului. Aceeași valoare medie poate caracteriza eșantioane complet diferite.

Prin urmare, pe lângă ele, statisticile iau în considerare și caracteristici de împrăștiere (variatii, sau volatilitate ) rezultate.

1. Gama de variație

Definiție. în mare măsură variația este diferența dintre rezultatele eșantionului cel mai mare și cel mai mic, notate Rși hotărâtă

R=X max- X min.

Conținutul de informații al acestui indicator nu este ridicat, deși cu dimensiuni reduse ale eșantionului este ușor de estimat diferența dintre cele mai bune și cele mai proaste rezultate ale sportivilor.

2. Dispersia

Definiție. dispersie se numește pătratul mediu al abaterii valorilor atributelor de la media aritmetică.

Pentru datele negrupate, varianța este determinată de formulă

Unde X i- valoarea caracteristicii, - in medie.

Pentru datele grupate în intervale, varianța este determinată de formulă

,

Unde X i- Rău i interval de grupare, n i– frecvențe de interval.

Pentru a simplifica calculele și pentru a evita erorile de calcul la rotunjirea rezultatelor (mai ales la creșterea dimensiunii eșantionului), se folosesc și alte formule pentru a determina varianța. Dacă media aritmetică a fost deja calculată, atunci se utilizează următoarea formulă pentru datele negrupate:

 2 =
,

pentru date grupate:

.

Aceste formule se obțin din cele anterioare prin extinderea pătratului diferenței sub semnul sumei.

În cazurile în care media aritmetică și varianța sunt calculate simultan, se folosesc următoarele formule:

pentru date negrupate:

 2 =
,

pentru date grupate:

.

3. Pătrat mediu(standard)deviere

Definiție. rădăcină medie pătrată (standard ) deviere caracterizează gradul de abatere a rezultatelor de la valoarea medie în unități absolute, întrucât, spre deosebire de dispersie, are aceleași unități de măsură ca și rezultatele măsurării. Cu alte cuvinte, abaterea standard indică densitatea distribuției rezultatelor într-un grup în jurul mediei sau omogenitatea grupului.

Pentru datele negrupate, abaterea standard poate fi determinată prin formule

 =
,

 =
sau =
.

Pentru datele grupate pe intervale, abaterea standard este determinată de formulele:

,

sau
.

4. Eroarea mediei aritmetice (eroarea mediei)

Eroare medie aritmetică caracterizează fluctuația mediei și se calculează prin formula:

.

După cum se poate observa din formulă, odată cu creșterea dimensiunii eșantionului, eroarea mediei scade proporțional cu rădăcina pătrată a dimensiunii eșantionului.

5. Coeficientul de variație

Coeficientul de variație este definită ca raportul dintre abaterea standard și media aritmetică, exprimat ca procent:

.

Se crede că dacă coeficientul de variație nu depășește 10%, atunci eșantionul poate fi considerat omogen, adică obținut dintr-o populație generală.

Statistici matematice este o ramură a matematicii care studiază metode aproximative pentru găsirea legilor de distribuție și a caracteristicilor numerice pe baza rezultatelor unui experiment.

Populația este ansamblul tuturor valorilor imaginabile ale observațiilor (obiectelor), omogene în raport cu o trăsătură, care ar putea fi făcute.

Probă – aceasta este o colecție de observații (obiecte) selectate aleatoriu pentru studiu direct din populația generală.

Distribuția statistică este o combinație de opțiuni x i și frecvențele lor corespunzătoare n i .

Histograma de frecventa este o figură în trepte formată din dreptunghiuri adiacente construite de această linie dreaptă, ale căror baze sunt aceleași și egale cu lățimea clasei, iar înălțimea este egală fie cu frecvența de cădere în intervalul n i, fie cu frecvența relativă n i /n. Lățimea intervalului i poate fi determinată conform formulei Sturges:

I=(x max -x min)/(1+3,32lgn),

Unde x max este maximul; x min este valoarea minimă a opțiunii, iar diferența lor este numită interval de variație; n este dimensiunea eșantionului.

Poligon de frecvență – o linie întreruptă, ale cărei segmente leagă puncte cu coordonatele x i , n i .

5. Caracteristicile poziției (mod, mediană, medie eșantionului) și împrăștiere (varianța eșantionului și abaterea standard a eșantionului).

Moda (M despre ) – este o valoare variantă, astfel încât valorile precedente și următoare au frecvențe mai mici de apariție.

Pentru distribuțiile unimodale, modul este varianta cea mai frecventă într-o anumită populație.

Pentru a determina modul de serie de intervale, formula este:

M 0 =x inferior +i*((n 2 -n 1 )/(2n 2 -n 1 +n 3 )),

unde х inferior este limita inferioară a clasei modale, i.e. clasa cu cea mai mare frecvenţă de apariţie n 2 ; n 2 – frecvența clasei modale; n 1 - frecvenţa clasei premergătoare modului; n 3 este frecvenţa clasei după modal; i este lățimea intervalului de clasă.

Median (M e )- este valoarea caracteristicii. Față de care seria de distribuție este împărțită în 2 părți egale ca volum.

Eșantion mediu - aceasta este media aritmetică a variantei seriei statistice

Varianta eșantionului- media aritmetică a pătratelor abaterii variantei de la valoarea lor medie:

Deviație standard – este rădăcina pătrată a varianței eșantionului:

S în =√(S în 2 )

6. Estimarea parametrilor populației generale pe baza eșantionului acesteia (punct și interval). Intervalul de încredere și probabilitatea de încredere.

Se numesc valorile numerice care caracterizează populația generală parametrii.

Evaluarea statistică se poate face în două moduri:

1)estimare punctuală- o estimare care este dată pentru un anumit punct;

2)estimarea intervalului– conform datelor eșantionului se estimează intervalul în care se află valoarea adevărată cu probabilitate dată.

Estimarea punctului este o estimare care este determinată de un singur număr. Și acest număr este determinat de eșantion.

Estimarea punctuala se numeste bogat, dacă, odată cu creșterea dimensiunii eșantionului, caracteristica eșantionului tinde spre caracteristica corespunzătoare a populației generale.

Estimarea punctuala se numeste efectiv dacă are cea mai mică varianță de distribuție a eșantionului în comparație cu alte estimări similare.

Se numește o estimare punctuală imparțial, dacă așteptarea sa matematică este egală cu parametrul de estimare pentru orice dimensiune a eșantionului.

Estimator imparțial al mediei generale(așteptări matematice) este media eșantionului în:

în = i n i ,

unde x i – opțiuni de eșantionare; n i – frecvenţa de apariţie varianta x i ; n este dimensiunea eșantionului.

Estimarea intervalului- acesta este un interval numeric, care este determinat de două numere - limitele intervalului care conțin un parametru necunoscut al populației generale.

Interval de încredere- acesta este intervalul în care, cu una sau alta probabilitate predeterminată, există un parametru necunoscut al populației generale.

Probabilitatea de încrederep – este o astfel de probabilitate încât evenimentul de probabilitate (1-p) poate fi considerat imposibil. α=1-p este nivelul de semnificație. De obicei, probabilitățile apropiate de 1 sunt folosite ca probabilități de încredere. Atunci evenimentul că intervalul acoperă caracteristica va fi practic de încredere. Acestea sunt p≥0,95, p≥0,99, p≥0,999.

Pentru o dimensiune mică a eșantionului (n<30) нормально распределенного количественного признака х доверительный интервал может иметь вид:

în - mt≤≤ în + mt (p≥0,95),

unde este media generală; c – media eșantionului; t este indicele de distribuție Student normalizat cu (n-1) grade de libertate, care este determinat de probabilitatea ca parametrul general să se încadreze în acest interval; m este eroarea mediei eșantionului.

Indiferent cât de importante ar fi caracteristicile medii, dar nu mai puțin importantă caracteristică a matricei de date numerice este comportamentul membrilor rămași ai matricei în raport cu media, cât de mult diferă de medie, cât de mulți membri ai matricei diferă semnificativ de la medie. În antrenamentul de tragere, ei vorbesc despre acuratețea rezultatelor, în statistici studiază caracteristicile împrăștierii (împrăștierea).

Se numește diferența oricărei valori a lui x față de valoarea medie a lui x deviere și calculată ca diferență x, - x. În acest caz, abaterea poate lua atât valori pozitive dacă numărul este mai mare decât media, cât și valori negative dacă numărul este mai mic decât media. Cu toate acestea, în statistică este adesea important să poți opera cu un singur număr care caracterizează „acuratețea” tuturor elementelor numerice ale matricei de date. Orice însumare a tuturor abaterilor membrilor matricei va avea ca rezultat zero, deoarece abaterile pozitive și negative se anulează reciproc. Pentru a evita anularea, diferențele pătrate sunt folosite pentru a caracteriza împrăștierea, mai precis, media aritmetică a abaterilor pătrate. Această caracteristică de împrăștiere se numește varianța eșantionului.

Cu cât varianța este mai mare, cu atât dispersia valorilor variabilei aleatoare este mai mare. Pentru a calcula varianța, se utilizează o valoare aproximativă a mediei eșantionului x cu o marjă de o cifră în raport cu toți membrii matricei de date. În caz contrar, la însumarea unui număr mare de valori aproximative, se va acumula o eroare semnificativă. În legătură cu dimensiunea valorilor numerice, trebuie remarcat un dezavantaj al unui astfel de indice de împrăștiere ca varianța eșantionului: unitatea de măsură a varianței D este pătratul unității de valori X, a căror caracteristică este dispersia. Pentru a scăpa de acest neajuns, statisticile au introdus o astfel de caracteristică de împrăștiere precum abaterea standard a probei , care este notat cu simbolul A (a se citi „sigma”) și se calculează prin formula

În mod normal, mai mult de jumătate dintre membrii matricei de date diferă de medie cu mai puțin decât valoarea abaterii standard, adică. aparțin segmentului [X - A; x + a]. Altfel se spune: indicatorul mediu, ținând cont de răspândirea datelor, este x ± a.

Introducerea unei alte caracteristici de împrăștiere este legată de dimensiunea membrilor matricei de date. Toate caracteristicile numerice din statistică sunt introduse pentru a compara rezultatele studiului diferitelor matrice numerice care caracterizează diferite variabile aleatoare. Cu toate acestea, nu este semnificativă compararea abaterilor standard de la diferite valori medii ale diferitelor matrice de date, mai ales dacă și dimensiunile acestor valori diferă. De exemplu, dacă lungimea și greutatea oricăror obiecte sau împrăștiere sunt comparate în fabricarea de micro și macroproduse. În legătură cu considerentele de mai sus, se introduce o caracteristică a împrăștierii relative, care se numește coeficient de variațieși se calculează prin formula

Pentru a calcula caracteristicile numerice ale dispersiei valorilor unei variabile aleatoare, este convenabil să folosiți tabelul (Tabelul 6.9).

Tabelul 6.9

Calculul caracteristicilor numerice ale împrăștierii valorilor unei variabile aleatoare

În procesul de completare a acestui tabel este media eșantionului X, care va fi folosit ulterior sub două forme. Ca caracteristică medie finală (de exemplu, în a treia coloană a tabelului) media eșantionului X trebuie rotunjit la cea mai apropiată cifră corespunzătoare celei mai mici cifre a oricărui membru al matricei de date numerice x r Cu toate acestea, acest indicator este utilizat în tabel pentru calcule ulterioare, iar în această situație, și anume, la calcularea în coloana a patra a tabelului, media eșantionului X trebuie rotunjit cu o cifră în sus de la cea mai mică cifră a oricărui membru al matricei de date numerice X ( .

Rezultatul calculelor folosind un tabel ca tab. 6.9 va primi valoarea varianței eșantionului, iar pentru a înregistra răspunsul, este necesar să se calculeze valoarea abaterii standard a pe baza valorii varianței eșantionului.

Răspunsul indică: a) rezultatul mediu, ținând cont de împrăștierea datelor din formular x±o; b) caracteristica de stabilitate a datelor v. Răspunsul ar trebui să evalueze calitatea coeficientului de variație: bun sau rău.

Un coeficient de variație acceptabil ca indicator al omogenității sau stabilității rezultatelor în cercetarea sportivă este de 10-15%. Coeficientul de variație V= 20% în orice studiu este considerat un indicator foarte mare. Dacă dimensiunea eșantionului P> 25, atunci V> 32% este un indicator foarte prost.

De exemplu, pentru o serie variațională discretă 1; 5; patru; patru; 5; 3; 3; unu; unu; unu; unu; unu; unu; 3; 3; 5; 3; 5; patru; patru; 3; 3; 3; 3; 3 filă. 6.9 va fi completat după cum urmează (Tabelul 6.10).

Tabelul 6.10

Un exemplu de calcul al caracteristicilor numerice ale dispersiei valorilor

Răspuns: a) caracteristica medie, ţinând cont de împrăştierea datelor, este X± a = = 3 ± 1,4; b) stabilitatea măsurătorilor obţinute este la un nivel scăzut, din moment ce coeficientul de variaţie V = 48% > 32%.

Analog de masă. 6.9 poate fi folosit și pentru a calcula caracteristicile de împrăștiere ale unei serii de variații de interval. În același timp, opțiunile x r vor fi înlocuite cu reprezentanți ai lacunelor x v ja opțiunea de frecvențe absolute f(- la frecvenţele absolute ale golurilor fv

Pe baza celor de mai sus, se pot face următoarele concluzii.

Concluziile statisticii matematice sunt plauzibile dacă sunt procesate informații despre fenomenele de masă.

De obicei, un eșantion este studiat din populația generală de obiecte, care ar trebui să fie reprezentativă.

Datele experimentale obținute ca urmare a studierii oricărei proprietăți a obiectelor eșantionului sunt valoarea unei variabile aleatorii, deoarece cercetătorul nu poate prezice dinainte ce număr va corespunde unui anumit obiect.

Pentru a alege unul sau altul algoritm pentru descrierea și prelucrarea primară a datelor experimentale, este important să se poată determina tipul de variabilă aleatoare: discretă, continuă sau mixtă.

Variabilele aleatoare discrete sunt descrise printr-o serie variațională discretă și forma sa grafică - un poligon de frecvență.

Variabilele aleatoare mixte și continue sunt descrise printr-o serie de variații de interval și forma sa grafică - o histogramă.

La compararea mai multor eșantioane în funcție de nivelul ™ format al unei anumite proprietăți, se utilizează caracteristicile numerice medii și caracteristicile numerice ale dispersiei unei variabile aleatoare în raport cu media.

Când se calculează caracteristica medie, este important să se aleagă corect tipul de caracteristică medie care este adecvat zonei de aplicare a acesteia. Modul valorilor medii structurale și mediana caracterizează structura locației variantei într-o matrice ordonată de date experimentale. Media cantitativă face posibilă aprecierea mărimii medii a unei variante (media eșantionului).

Pentru a calcula caracteristicile numerice ale împrăștierii - varianța eșantionului, abaterea standard și coeficientul de variație - metoda tabelară este eficientă.

Seria de variații

În populația generală, o anumită trăsătură cantitativă este investigată. Din el se extrage aleatoriu o mostră de volum n, adică numărul de elemente din eșantion este n. În prima etapă a procesării statistice, variind mostre, adică ordonarea numerelor x1, x2, …, xn Ascendent. Fiecare valoare observată xi numit opțiune. Frecvență mi este numărul de observații ale valorii xiîn probă. Frecvența relativă (frecvența) wi este raportul de frecvență mi la dimensiunea eșantionului n: wi=mi/n.

La studierea seriei de variații se folosesc și conceptele de frecvență cumulativă și frecvență cumulativă. Lăsa X oarecare număr. Apoi numărul de opțiuni , ale căror valori sunt mai mici X, se numește frecvență cumulativă: minak=mi pentru xi se numeste frecventa cumulata: winak=miak/n.