Dacă liniile sunt paralele, atunci proiecțiile lor cu același nume sunt paralele.

Dacă liniile drepte se intersectează, atunci proiecțiile lor cu același nume se intersectează unul cu altul în puncte care sunt proiecții ale punctului de intersecție al acestor drepte.

Traversarea liniilor drepte nu se intersecteazăși nu paralelîntre ele, deși proiecțiile lor se pot intersecta sau pot fi paralele.

Punctele de intersecție ale acestor proiecții nu se află pe aceeași linie de comunicație. un punct 1 v se potrivesc două puncte 1 nși 1" n. Aceste puncte se află pe aceeași perpendiculară pe plan V(Fig.2.9a, b, c).

Orez. 2.9. Poziția reciprocă a segmentelor pe teren:

A) paralel b) se intersectează; c) traversare

2.3.1. Puncte concurente

Se numesc puncte situate pe aceeași perpendiculară pe planul de proiecție concurând raportat la acest plan (Fig. 2.10a, b).

Punctele concurente determină vizibilitatea imaginilor geometrice pe diagramă. Vizibil pe o anumită proiecție va fi întotdeauna unul dintre punctele concurente care se află mai departe departe de acest plan de proiecție, deci mai aproape de privitor. puncte DARși LA sunt competitive frontal. Un punct va fi vizibil pe planul de proiecție frontală DAR, deoarece este mai departe de avion Vși mai aproape de observator. puncte DARși DIN sunt competitive pe orizontală. Un punct va fi vizibil și pe planul orizontal de proiecție DAR, deoarece este din avion H mai departe de punct DIN.

Orez. 2.10. Puncte concurente: a) în dimetrie; b) pe diagramă

2.4. Proiecții cu unghi plan

Două linii care se intersectează formează un unghi plat.

Dacă unghiul este situat într-un plan paralel cu planul proiecțiilor, atunci este proiectat pe el în dimensiune completă.

În general, un unghi plat ale cărui laturi nu sunt paralele cu planul de proiecție este proiectat pe acest plan cu distorsiune.

2.4.1. Teorema proiecției în unghi drept

Pentru ca un unghi drept să fie proiectat ortogonal în formă unghi drept, este necesar și suficient ca cel puțin una dintre laturile sale să fie paralel cu planul de proiecție, iar al doilea este nu perpendicular pe acest plan(Fig.2.11a, b).

Orez. 2.11. Proiecții ale unui unghi drept pe diagramă:

A) pe planul de proiecție frontală; b) pe planul orizontal de proiecţie

Dovada: Să avem un unghi drept în spațiu TU. Proiectați-l într-un avion H ortogonal. Să presupunem că partea AB unghiul dat este paralel cu planul H. Atunci avem:  TU= 90˚; AB || H; AA n H. Să demonstrăm că  LA n DAR n DIN n= 90º (Fig.2.12).  DAR n AB= 90°, deoarece figura AA n BB n- dreptunghi. Prin urmare, o linie dreaptă AB perpendicular pe planul proeminent Q ca perpendicular pe două drepte ale acestui plan ( ABAC; ABAA n). De aceea ABQ, dar DAR n LA n || AB de aici şi DAR n LA n Q, ceea ce înseamnă că  LA n DAR n DIN n= 90º.

Figura 2.12 Proiecție în unghi drept

O sarcină: Determinați distanța față de punct DARîn faţă (Fig.2.13).

Soluţie. Unghiul drept dintre perpendiculara dorită și față Soare proiectat la dimensiune maximă pe un plan V. Dimensiunea naturală a perpendicularei AK poate fi găsit folosind metoda triunghiului dreptunghic.

Orez. 2.13. Determinarea distanței de la punctul A la frontul BC

Dacă două drepte se află pe un plan, atunci sunt posibile trei cazuri diferite de aranjare reciprocă: 1) liniile se intersectează (adică au un punct comun), 2) liniile sunt paralele și nu coincid, 3) liniile coincid.

Să aflăm cum să aflăm care dintre aceste cazuri are loc dacă dreptele sunt date de ecuațiile lor

Dacă liniile se intersectează, adică au un punct comun, atunci coordonatele acestui punct trebuie să satisfacă ambele ecuații (15). Prin urmare, pentru a găsi coordonatele punctului de intersecție al dreptelor, este necesar să le rezolvăm împreună ecuațiile. În acest scop, eliminăm mai întâi necunoscutul x, pentru care înmulțim prima ecuație cu , iar a doua cu A și scădem prima din a doua. Vom avea:

Pentru a elimina necunoscutul y din ecuațiile (15), îl înmulțim pe primul cu și pe al doilea cu și îl scădem pe al doilea din prima. Primim:

Dacă din ecuațiile (15) și (15") obținem soluția sistemului (15):

Formulele (16) dau coordonatele x, y ale punctului de intersecție a două drepte.

Astfel, dacă atunci liniile se intersectează. Dacă atunci formulele (16) nu au sens. Cum sunt aranjate liniile în acest caz? Este ușor de observat că în acest caz liniile sunt paralele. Într-adevăr, rezultă din condiția că (dacă , atunci liniile sunt paralele cu axa Oy și, prin urmare, sunt paralele între ele).

Deci, dacă atunci liniile sunt paralele. Condiția luată în considerare poate fi scrisă sub forma în care putem spune că dacă în ecuațiile de drepte coeficienții corespunzători la coordonatele curente sunt proporționali, atunci liniile sunt paralele.

În special, liniile paralele pot coincide. Să aflăm care este criteriul analitic pentru coincidența liniilor. Pentru a face acest lucru, luați în considerare ecuațiile (15) și ). Dacă termenii liberi ai acestor ecuații sunt ambii egali cu zero, i.e.

adică, coeficienții necunoscutelor și termenii liberi ai ecuațiilor (15) sunt proporționali. În acest caz, una dintre ecuațiile sistemului se obține din cealaltă prin înmulțirea tuturor termenilor săi cu un factor comun, adică ecuațiile (15) sunt echivalente. Prin urmare, liniile paralele luate în considerare coincid.

Dacă cel puțin unul dintre termenii liberi ai ecuațiilor (15) și ) este diferit de zero (sau sau

atunci ecuațiile (15) și (15") și, prin urmare, ecuațiile (15), nu vor avea soluții (cel puțin una dintre egalitățile (15) sau (15") va fi imposibilă. În acest caz, liniile paralele nu vor coincide.

Deci, condiția (necesară și suficientă) pentru coincidența a două drepte este proporționalitatea coeficienților corespunzători ai ecuațiilor lor:

Exemplul 1. Aflați punctul de intersecție al dreptelor

Rezolvând ecuațiile împreună, înmulțiți a doua cu 3.

Linii drepte și organizarea spațiului

Linii drepte - simple, dar foarte
element expresiv:
o linie împarte planul în
individual
părți;
-line ajută la unire
compoziţie
într-un întreg;
linie, mai mult decât
dreptunghi
afectează ritmul
compozitii.

Compoziții frontale și profunde din linii
și dreptunghiuri

chiar şi prin cele mai simple mijloace
poate atinge emoțional
imagini

Linia nu este „slăbit
dreptunghi”, și un independent
linie de elemente picturale atașate
expresivitatea întregii compoziții. LA
funcționează acolo unde linia trece direct (de la margine la margine
foaie), ea pare să îndure
acţiunea picturală dincolo de sferă şi
face compoziția deschisă, deschisă
si mai interesant.
subțire, lung și
sunt tăiate linii drepte
prin domnitor

lucru
de mai sus
al lor
compozitii,
caută diferențe în dimensiunea planurilor,
deoarece creează un pictorial
polifonie, bogăție de intonație și,
în consecință, o mai mare expresivitate
compozitii.

SARCINI
Liniile drepte - un element de organizare plană
compozitii.
1. Locația și intersecția reciprocă a 3-4 linii drepte
grosimi diferite realizează o articulație armonioasă
spații (utilizați linii prin).
2. Creați o compoziție cu 2-3 dreptunghiuri și 3-4 linii drepte
linii care, prin aranjarea lor, leagă elemente în interior
un singur întreg compozițional. Creaţi: a) frontală
compoziţie; b) compoziţie profundă.
3. Dintr-un număr arbitrar de elemente, faceți un interesant
compoziţie.
Aranjarea ritmică a elementelor pe plan, realizați
impresie emoțional-figurativă (de exemplu, „zbor”, îngustare, „încetinire”, etc.).
Sarcinile pot fi finalizate pe un computer.

RELAȚIA DREPTURILOR.

Unghiul dintre două drepte, condițiile de paralelism și perpendicularitate a două drepte, intersecția dreptelor, distanța de la un punct dat la o dreaptă dată.

Unghiul dintre liniile drepte dintr-un plan este înțeles ca fiind cel mai mic (ascuțit) dintre cele două colțurile adiacente format din aceste linii.

Dacă dreptele l 1 şi l 2 sunt date prin ecuaţii cu factori de pantă y \u003d k 1 x + b 1 și y \u003d k 2 x + b 2, atunci unghiul φ dintre ele este calculat prin formula

Condiția de paralelism pentru dreptele l 1 și l 2 are forma

şi starea perpendicularităţii lor

k 1 = - (sau k 1 k 2 = - 1)

Dacă sunt date liniile l 1 și l 2 ecuații generale A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 și A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0,

atunci valoarea φ a unghiului dintre ele se calculează prin formula

tg φ=

paralelismele lor unghiulare

(sau A 1 B 2 -A 2 B 1 \u003d 0)

Condiția pentru perpendicularitatea lor

A 1 A 2 + B 1 B 2 \u003d 0

Pentru a găsi puncte comune ale dreptelor l 1 și l 2, este necesar să se rezolve sistemul

ecuații

A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, y \u003d k 1 x + b 1

sau

A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0, y \u003d k 2 x + b 2

în care:

În cazul în care un
, atunci există un singur punct de intersecție al dreptelor;

În cazul în care un
- liniile l 1 și l 2 nu au un punct comun, adică paralele;

În cazul în care un
- liniile au un număr infinit de puncte, adică coincid

Distanța d de la punctul M 0 (x 0; y 0) la linia dreaptă Ax + Vy + C \u003d 0 este lungimea perpendicularei coborâte din acest punct la linia dreaptă.

Distanța d este determinată de formula

d=

Distanța de la punctul M 0 (x 0; y 0) la dreapta x cos + y păcat - p=0 se calculează prin formula

d=

EXEMPLU: găsiți unghiul dintre linii:

1) y=2x-3 și y=
;

2) 2x-3y+10=0 și 5x – y+4=0;

3) y=
și 8x+6y+5=0;

4) y=5x+1 şi y=5x-2;

=arctg
);

Sarcini pentru exerciții practice:

1. Găsiți unghiul dintre linii:

1) y=0,5x-3 și y=2x-2;

2) 2x-3y-7=0 şi 2x-y+5=0;

3) y=x+6 şi 3x-2y-8=0;

4) y= 7x -1 și y=7x+1;

1) 3x+5y-9=0 și 10x-6y+4=0

2) 2x+5y-2=0 şi x+y+4=0;

3) 2y=x-1 şi 4y-2x+2=0;

4) x+8=0 şi 2x-3=0;

5)
=1 și y=x+2;

6) x+y=0 și x-y=0

7) y+3=0 şi 2x+y-1=0;

8) y=3-6x și 12x+2y-5=0;

9) 2x+3y=8 și x-y-3=0

10) x-y-1=0 și x+y+2=0

3. La ce valori următoarele perechi de drepte sunt: ​​a) paralele; b) sunt perpendiculare.

1) 2x-3y+4=0 și x-6y+7=0;

2) x-4y+1=0 și -2x+y+2=0;

3) 4x+y-6=0 și 3x+ y-2=0;

4) x- y+5=0 și 2x+3y+3=0;

4. Prin punctul de intersecție al liniilor 3x-2y + 5 \u003d 0; x+2y-9=0 se trasează o dreaptă paralelă cu dreapta 2x+y+6=0. Scrieți ecuația acesteia.

5. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctul A (-1; 2):

a) paralel cu linia dreaptă y \u003d 2x-7;

b) perpendicular pe dreapta x+3y-2=0.

6. Aflați lungimea înălțimii VD într-un triunghi cu vârfurile A (4; -3); B (-2; 6) și C (5; 4).

7. Ecuațiile laturilor triunghiului sunt date: x+3y-3=0, 3x-11y-29=0 și 3x-y+11=0.

Găsiți vârfurile acestui triunghi.

Sarcini pentru soluție independentă

1. Găsiți colt ascutit intre linii:

1) y \u003d 3x și y \u003d - x

2) 2x-3y+6=0 și 3x-y-3=0

4) 3x+4y-12=0 și 15x-8y-45=0

2. Explorați poziția relativă a următoarelor perechi de linii:

1) 2x-3y+4=0 și 10x+3y-6=0

2) 3x-4y+12=0 și 4x+3y-6=0

3) 25x+20y-8=0 și 5x+4y+4=0

4) 4x+5y-8=0 și 3x-2y+4=0

5) y=3x+4 și y=-3x+2

3. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctul B (2;-3)

a) paralelă cu dreapta care leagă punctele M 1 (-4; 0) şi M 2 (2; 2);

b) perpendicular pe dreapta x-y=0.

4. Scrieți o ecuație a unei drepte care conține înălțimea VD într-un triunghi cu vârfuri

A (-3; 2), B (5; -2), C (0; 4)

5. Aflați aria triunghiului format din dreptele 2x+y+4=0, x+7y-11=0 și 3x-5y-7=0.

6. Prin punctul de intersecție al liniilor 3x + 2y-4 \u003d 0 și x-5y + 8 \u003d 0, se trasează linii, dintre care una trece prin originea coordonatelor, iar cealaltă este paralelă cu Ox axă. Scrieți ecuațiile lor.

7. Având în vedere un patrulater ABCD cu vârfurile A (3; 5); În (6;6); C (5; 3); D (1; 1). Găsi:

a) coordonatele punctului de intersecție al diagonalelor;

b) unghiul dintre diagonale .

8. Având în vedere vârfurile triunghiului A (2; -2), B (3; 5), C (6; 1). Găsi:

1) lungimile laturilor AC și BC;

2) ecuații ale dreptelor pe care se află laturile BC și AC;

3) ecuația dreptei pe care se află înălțimea trasă din B;

4) lungimea acestei înălțimi;

5) ecuația unei drepte pe care se află mediana trasă din punctul A;

6) lungimea acestei mediane;

7) ecuația unei drepte pe care se află bisectoarea unghiului C;

8) centrul de greutate al triunghiului;

9) aria unui triunghi;

10) unghiul C;

Răspunsuri la sarcini pentru soluții independente:

1. 1) 63 0 ; 2) 37,9 0 ; 3) 31,3 0 ; 4) 81,2 0 . 2. 1) Paralel;

2) Perpendiculară; 3) Paralel; 4) Se intersectează; 5) Se intersectează;

3. a) x-3y-11=0; b) x + y + 1 = 0; 4. 3x+2y-11=0; 5. 13; 6. 7x-y=0 şi 17y-28=0; 7. a)(4;4);

b); 8. 1) -5;5 2) 4x+3y-27=0,3x-4y-14=0; 3) 4x+3y-27=0; 4) 5; 5) 2x-y-6=0; 6) ; 7) x+7y-13=0; 8) (;); 9); 10)

Dacă trasăm drepte paralele AB și C prin date D plane perpendiculare pe planul orizontal al proiecțiilor, atunci aceste două plane vor fi paralele, iar la intersecția lor cu planul H se vor obține două drepte reciproc paralele A"B" și C"D", care sunt proiecții ortogonale ale datelor dreptelor AB și CD pe planul orizontal al proiecţiilor (Fig. 25).

În mod similar, se pot obține proiecții ortogonale ale liniilor date pe planul frontal V.

În desenul complex, proiecțiile cu același nume de linii paralele sunt paralele: A"B"C"D" și A""B""C""D"" (Fig. 25).

linii de intersectare

Liniile care se intersectează reciproc au un punct comun, de exemplu, segmentele de linie ABși CD se intersectează într-un punct La. Proiecțiile liniilor care se intersectează se intersectează și punctele lor de intersecție ( K" și K"") se află pe aceeași linie de comunicare - perpendiculară pe axă X(Fig. 26).

Liniile încrucișate

Acestea sunt linii care nu sunt paralele și nu se intersectează. Pe desenul complex, proiecțiile liniilor care se intersectează (linii drepte ABși CD) se pot intersecta, dar punctele de intersecție ( 1 ,2 și 3 ,4 ) se află pe diferite linii de comunicație (Fig. 27). Punctele de intersecție ale proiecțiilor cu același nume ale liniilor oblice corespund în spațiu la două puncte: într-un caz - 1 și 2 , iar în celălalt 3 și 4 situate pe linii drepte. În desen, punctul de intersecție al proiecțiilor orizontale ale liniilor corespunde la două proiecții frontale de puncte 1 "" și 2 „”. În mod similar - cu puncte 3 și 4 .