Adnotare: În cadrul seriilor temporale înțelegeți valorile economice care depind de timp. În acest caz, timpul se presupune a fi discret; în caz contrar, se vorbește de procese aleatorii, și nu de serii de timp.

Modele de serii temporale staționare și nestaționare, identificarea lor

Să luăm în considerare seria temporală. Lăsați seria temporală să ia mai întâi valori numerice. Acesta poate fi, de exemplu, prețul unei pâini dintr-un magazin din apropiere sau cursul de schimb dolar-ruble la cel mai apropiat birou de schimb valutar. De obicei, în comportamentul unei serii de timp sunt identificate două tendințe principale - o tendință și fluctuațiile periodice.

În acest caz, tendința este înțeleasă ca dependența de timp a unui tip liniar, pătratic sau de alt tip, care este relevat de una sau alta metodă de netezire (de exemplu, netezire exponențială) sau prin calcul, în special, folosind metoda celor mai mici pătrate. Cu alte cuvinte, o tendință este tendința principală a unei serii de timp, curățată de aleatoriu.

Seria temporală oscilează de obicei în jurul unei tendințe, abaterile de la tendință fiind adesea corecte. Adesea, acest lucru se datorează unei frecvențe naturale sau desemnate, cum ar fi sezonieră sau săptămânală, lunară sau trimestrială (de exemplu, conform planurilor de plată a salariilor și impozitelor). Uneori, prezența periodicității, și cu atât mai mult cauzele acesteia, sunt neclare, iar sarcina econometricianului este să afle dacă există într-adevăr o periodicitate.

Metodele elementare de estimare a caracteristicilor seriilor de timp sunt de obicei considerate suficient de detaliat în cursurile „Teoriei generale a statisticii” (a se vedea, de exemplu, manuale), deci nu este nevoie să le analizăm în detaliu aici. (Cu toate acestea, unele metode moderne de estimare a duratei perioadei și a componentei periodice în sine vor fi discutate mai jos.)

Caracteristicile seriilor temporale. Pentru un studiu mai detaliat al seriilor temporale se folosesc modele probabilistic-statistice. În acest caz, seria temporală este considerată ca un proces aleatoriu (cu timp discret), principalele caracteristici sunt așteptarea matematică, i.e.

Dispersia, adică

și funcția de autocorelare serii de timp

acestea. funcţie a două variabile egale cu coeficient de corelațieîntre două valori ale seriei temporale și .

În cercetarea teoretică și aplicată, sunt luate în considerare o gamă largă de modele de serie de timp. Selectați mai întâi staționar modele. Au funcții comune de distribuție pentru orice număr de puncte de timp și, prin urmare, toate caracteristicile seriei de timp enumerate mai sus nu se schimba in timp. În special, așteptarea și varianța matematică sunt constante, funcția de autocorelare depinde doar de diferență. Se numesc serii temporale care nu sunt staţionare nestaționare.

Modele de regresie liniară cu reziduuri homocedastice și heteroscedastice, independente și autocorelate. După cum se poate observa din cele de mai sus, principalul lucru este „curățarea” seriilor temporale de abaterile aleatorii, adică. estimarea așteptărilor matematice. Spre deosebire de cele mai simple modele analiza regresiei luate în considerare în , aici apar în mod firesc modele mai complexe. De exemplu, variația poate depinde de timp. Se numesc astfel de modele heteroscedastic, iar cele în care nu există dependență de timp sunt homoscedastice. (Mai precis, acești termeni se pot referi nu numai la variabila „timp”, ci și la alte variabile.)

cometariu. După cum s-a menționat în „Analiza statistică multivariată”, cel mai simplu model metoda celor mai mici pătrate permite generalizări foarte departe, mai ales în domeniul sistemelor de ecuaţii econometrice simultane pentru serii de timp. Pentru a înțelege teoria și algoritmii relevanți, sunt necesare cunoștințe profesionale despre algebra matriceală. Prin urmare, îi trimitem pe cei interesați la literatura de specialitate privind sistemele de ecuații econometrice și direct asupra seriilor de timp, în care există mult interes pentru teoria spectrală, i.e. separând semnalul de zgomot şi descompunându-l în armonici. Subliniem încă o dată că în spatele fiecărui capitol această carte există o arie largă de cercetare științifică și aplicată, destul de demnă de a-i dedica mult efort. Cu toate acestea, din cauza volumului limitat al cărții, suntem nevoiți să facem prezentarea concisă.

Sisteme de ecuații econometrice

Un exemplu de model autoregresiv. Ca exemplu inițial, luați în considerare un model econometric al unei serii de timp care descrie creșterea indicelui prețurilor de consum (indicele inflației). Să - să crească prețurile pe lună (pentru mai multe despre această problemă, vezi „Analiza econometrică a inflației”). Apoi, după unii economiști, este firesc să presupunem că

unde este creșterea prețului în luna anterioară (a este un anumit coeficient de amortizare, presupunând că în absența unor influențe externe creșterea prețului se va opri), este o constantă (corespunde unei modificări liniare a valorii în timp), este un termen corespunzător efectului emisiei de bani (adică creșterea sumei de bani din economia țării, efectuată de Banca Centrală) în mărime și proporțional cu emisiunea cu un coeficient, iar acest efect nu apare imediat, ci dupa 4 luni; În cele din urmă, aceasta este o eroare inevitabilă.

Modelul (1), în ciuda simplității sale, demonstrează multe trăsături de caracter modele econometrice mult mai complexe. În primul rând, să acordăm atenție faptului că unele variabile sunt definite (calculate) în interiorul modelului, cum ar fi . Ei sunt numiti, cunoscuti endogen (intern). Altele sunt date extern (adică exogene variabile). Uneori, ca în teoria controlului, printre variabile exogene, alocă gestionate variabile - cele cu care managerul poate aduce sistemul în starea dorită.

În al doilea rând, variabilele de noi tipuri apar în relația (1) - cu întârzieri, i.e. argumentele din variabile nu se referă la momentul actual în timp, ci la unele momente trecute.

În al treilea rând, compilarea unui model econometric de tip (1) nu este nicidecum o operație de rutină. De exemplu, întârzierea de exact 4 luni în termenul asociat emisiunii de bani este rezultatul unei prelucrări statistice preliminare destul de sofisticate. Mai mult, problema dependenței sau independenței cantităților și trebuie studiată. După cum sa menționat mai sus, implementarea specifică a procedurii depinde de soluționarea acestei probleme. metoda celor mai mici pătrate.

Pe de altă parte, în modelul (1) există doar 3 parametri necunoscuți și declarația metoda celor mai mici pătrate e usor de scris:

Problema identificării. Să ne imaginăm acum modelul tapa (6.1) cu un numar mare endogenă şi variabile exogene, cu decalaje și o structură internă complexă. În general, nu rezultă de nicăieri că există cel puțin o soluție pentru un astfel de sistem. Deci nu există una, ci două probleme. Există măcar o soluție (problema identificării)? Dacă da, cum să găsiți cea mai bună soluție posibilă? (Aceasta este o problemă de estimare a parametrilor statistici.)

Atât prima cât și a doua sarcină sunt destul de dificile. Pentru a rezolva ambele probleme au fost dezvoltate multe metode, de obicei destul de complexe, dintre care doar unele au rațiune științifică. În special, se folosesc adesea estimări statistice care nu sunt consecvente (strict vorbind, nici măcar nu pot fi numite estimări).

Să descriem pe scurt câteva tehnici comune atunci când lucrăm cu sisteme de ecuații econometrice liniare.

Sistem de ecuații econometrice liniare simultane. Pur formal, toate variabilele pot fi exprimate în termeni de variabile care depind doar de momentul curent în timp. De exemplu, în cazul ecuației (6.1), este suficient să setați

Atunci ecuația este un exemplu de formă

Remarcăm aici posibilitatea utilizării modelelor de regresie cu structura variabila prin introducerea de variabile fictive. Aceste variabile la un moment dat valorile (să zicem, cele inițiale) iau valori notabile, iar la altele ele dispar (devin de fapt egale cu 0). Ca rezultat, formal (matematic) unul și același model descrie dependențe complet diferite.

Cele mai mici pătrate indirecte, în doi pași și în trei etape. După cum sa menționat deja, au fost dezvoltate o mulțime de metode de analiză euristică a sistemelor de ecuații econometrice. Ele sunt concepute pentru a rezolva anumite probleme care apar atunci când se încearcă găsirea solutii numerice sisteme de ecuații.

Una dintre probleme este legată de prezența unor restricții a priori asupra parametrilor estimați. De exemplu, venitul gospodăriei poate fi cheltuit fie pentru consum, fie pentru economii. Aceasta înseamnă că suma cotelor acestor două tipuri de cheltuieli este a priori egală cu 1. Și în sistemul de ecuații econometrice, aceste cote pot participa independent. Există o idee de a le evalua cele mai mici pătrate, ignorând constrângerea a priori și apoi ajustați. Această abordare se numește indirectă. cele mai mici pătrate.

doi pasi metoda celor mai mici pătrate constă în estimarea parametrilor unei ecuații individuale a sistemului, mai degrabă decât în ​​considerarea sistemului ca întreg. În același timp, în trei pași metoda celor mai mici pătrate este utilizat pentru estimarea parametrilor sistemului de ecuații simultane în ansamblu. În primul rând, fiecărei ecuații se aplică o metodă în două etape pentru a estima coeficienții și erorile fiecărei ecuații, apoi pentru a construi o estimare pentru matricea de covarianță a erorii, după care se aplică o metodă generalizată pentru a estima coeficienții întregul sistem. metoda celor mai mici pătrate.

Un manager și un economist nu ar trebui să devină un specialist în compilarea și rezolvarea sistemelor de ecuații econometrice, chiar și cu ajutorul anumitor sisteme software, dar ar trebui să fie conștienți de posibilitățile acestui domeniu de econometrie pentru a formula o sarcină pentru specialişti econometrici într-o manieră calificată dacă este necesar.

De la estimarea tendinței (tendința principală), să trecem la a doua sarcină principală a econometriei seriilor temporale - estimarea perioadei (ciclului).

De mare importanță în analiza seriilor de timp sunt seriile de timp staționare, ale căror proprietăți probabilistice nu se modifică în timp. Serii de timp staționare sunt utilizate, în special, în descrierea componentelor aleatoare ale seriei analizate.

O serie temporală y t (t= 1,2,…,n) se numește strict staționară (sau staționară în sens restrâns) dacă distribuția de probabilitate comună a n observații y 1 ,y 2 ,…..,y n este aceeași cu n observații y 1+ t ,y 2+ t ,....y n + t pentru orice n, t și t. Cu alte cuvinte, proprietățile seriei strict staționare y t nu depind de momentul t, i.e. legea distribuţiei şi caracteristici numerice nu depind de t. Prin urmare, așteptarea matematică a y (t) = a, abaterea standard s y (t) = s poate fi estimată din observațiile y t (t= 1,2,…,n) folosind formulele:

(6.3)

Cel mai simplu exemplu serii temporale staţionare, a căror așteptare matematică este egală cu zero, iar erorile e t sunt necorelate, este „zgomot alb”. Prin urmare, putem spune că perturbațiile (erorile) e t in modelul clasic de regresie liniară din zgomot alb, iar în cazul acestora distributie normala – normal (gauss) Zgomot alb.

Gradul de strângere al conexiunii dintre secvențele de observații ale seriei de timp y 1 ,y 2 ,…..,y n și y 1+ t ,y 2+ t ,....y n + t (deplasat față de fiecare altele cu e unități, sau, cum spunem cu decalajul t) pot fi determinate folosind coeficientul de corelație

(6.4)

pentru

Deoarece coeficientul r(t) măsoară corelația dintre membrii aceleiași serii, se numește coeficient de autocorelare, și dependența r(t) funcția de autocorelare. Datorită staționării serii de timp y t (t= 1,2,…,n), funcția de autocorelare r(t) depinde doar de lag t, iar funcția de corelare r(- t) = r(t) , adică când studiem r(t), ne putem limita să luăm în considerare numai valorile pozitive ale lui t.

Evaluare statistică r(t) este coeficientul de autocorelație al eșantionului r(t), determinat de formula coeficientului de corelație (3.20), în care x i = y t , y i = y t + t , iar n se înlocuiește cu n - t:

Se numește funcția r(t). funcția de autocorelare a eșantionului, iar graficul său este corelogramă.

Când se calculează r(t), trebuie amintit că pe măsură ce t crește, numărul n - t de perechi de observații y t ,y t + t scade, astfel încât lag t trebuie să fie astfel încât numărul n - t să fie suficient pentru a determina r (t). De obicei ele sunt ghidate de relaţia t £ n/4.

Pentru o serie de timp staționară, pe măsură ce decalajul t crește, relația dintre termenii seriei de timp y t și y t + t slăbește, iar funcția de autocorelare r(t) ar trebui să scadă (în valoare absolută). În același timp, pentru eșantionul său (empiric) analog r(t), în special cu un număr mic de perechi de observații n - t, proprietatea de scădere monotonă (în valoare absolută) cu creșterea t poate fi încălcată.

Alături de funcția de autocorelare, atunci când studiem serii de timp staționare, avem în vedere funcția de autocorelare parțială r parte (t), unde r parte (t) este coeficientul de corelație parțială dintre membrii seriei temporale y t și y t + t la eliminarea (eliminarea) influenței elementelor intermediare (între y t și y t + t).

Estimarea statistică a r part(t) este coeficient de probă autocorelație r coeficient (t) Unde partea r (t)- coeficientul de corelație parțială eșantion determinat prin formula (5.21) sau (5.22) De exemplu, coeficientul parțial de autocorelare eșantion de ordinul I între membrii seriei de timp y t și y t + t atunci când influența lui y t +1 este eliminată poate fi calculat prin formula (5.22):

unde r(1), r(1,2),r(2) – eșantion de coeficienți de autocorelare între y t și y t +1 , y t +1 și y t +2 , y t și y t +2 , t = 1,….,n.

Exemplul 6.1. Conform Tabelului. 6.1 pentru seria temporală y t găsiți valoarea medie, abaterea standard, coeficienții de autocorelație de ordinul I.

Soluţie. Valoarea medie a seriei de timp se găsește prin formula (6.2):

Varianta și abaterea standard pot fi calculate folosind formula (6.3), dar în acest caz este mai ușor să se folosească relația

Unde

Să găsim coeficientul de autocorelație r(t) al seriei de timp (pentru decalajul t = 1), adică. coeficient de corelație între secvențe de șapte perechi de observații y t și y t + t (t = 1,2….,7).

Obiectivele analizei statistice a unei serii temporale pot fi formulate după cum urmează:

conform traiectoriei existente x(1), x(2), …x(N) a seriei temporale analizate x(t), este necesar:

1) determinați care dintre funcțiile non-aleatoare (corespunzând componentelor de tendință, sezoniere și ciclice) sunt prezente în expansiune, adică determinați valorile indicatorilor  i în expansiune

2) construiți estimări „bune” pentru acele funcții non-aleatoare care sunt prezente în descompunere;

3) alegeți un model care descrie în mod adecvat comportamentul „reziduurilor aleatoare u(t) și evaluați statistic parametrii acestui model.

Rezolvarea cu succes a sarcinilor enumerate stă la baza atingerii obiectivelor finale de cercetare aplicată și, în primul rând, pentru rezolvarea problemei prognozării pe termen scurt și mediu a valorilor seriilor temporale.

Funcții de autocovarianță și autocorelare

Pentru a identifica seriile temporale, este convenabil să folosiți funcții speciale: autocovarianță și autocorelație.

Funcția de autocovarianță

Din ipoteza staționarității stricte a seriei de timp x(t), covarianța dintre valorile x(t) și x(t  ) va depinde doar de cantitatea de „deplasare în timp”  (și nu va depinde pe t). Această covarianță se numește autocovarianță (deoarece măsoară covarianța pentru diferite valori ale aceleiași serii temporale x(t) și este definită de:

Când se analizează valoarea lui () în funcție de valoarea lui , se obișnuiește să vorbim despre funcția de autocovarianță (). Valorile funcției de autocovarianță pot fi estimate statistic din observațiile disponibile din seria temporală folosind formula

, unde =1,2, … N-1. Evident

(0)=  2 =M;

()=cov(x(t+), x(t)) = cov(x(t), x(t+)) = cov(x(t), x(t-));

()= cov(x(t), x(t-))= (-).

Funcția de autocorelare

Una dintre principalele diferențe dintre succesiunea de observații care formează o serie de timp și un eșantion aleatoriu este aceea că membrii seriei de timp sunt, în general, interdependenți statistic. Gradul de apropiere a relației statistice dintre două variabile aleatoare poate fi măsurat prin coeficientul de corelație pereche. Deci gradul de legătură statistică dintre două observații ale seriei temporale, „separate” (în timp) de  unități, va fi determinat de valoarea coeficientului de corelație

Coeficientul de corelație r() măsoară corelația care există între membrii aceleiași serii temporale, deci este numit în mod obișnuit coeficientul de autocorelație. Când se analizează modificarea valorii lui r() în funcție de valoarea lui , se obișnuiește să vorbim despre funcția de autocorelare r(). Graficul unei funcții de autocorelare se numește corelogramă. Funcția de autocorelare, spre deosebire de funcția de autocovarianță, este adimensională. Valorile sale pot varia de la -1 la +1. Evident, r() =r(-), a(0) =1.

Căutarea unui model care să descrie în mod adecvat comportamentul reziduurilor aleatoare u(t) ale seriei temporale analizate x(t) se desfășoară de obicei în cadrul unei anumite clase speciale de secvențe de timp aleatoare - clasa serii de timp staționare. La nivel intuitiv staționaritatea seriilor temporaleși ne asociem cu cerința pe care o are medie constantă și a fluctuat în jurul acelei medii cu variație constantă. În unele cazuri, secvențele de timp ale acestei clase pot reproduce și comportamentul seriei temporale analizate x(t).

Se numește seria x(t). strict staționar(sau staționar în sens restrâns) dacă distribuția comună de probabilitate a m observații x(t 1), x(t 2), …, x(t m) este aceeași ca pentru m observații x(t 1 +), x ( t 2 +), …x(t m +), pentru orice m, t 1 , t 2 , …, t m ​​​​și .

Cu alte cuvinte, proprietățile unei serii temporale strict staționare nu se schimbă atunci când originea timpului este schimbată. În special, când m = 1, din ipoteza staționarității stricte a seriei temporale x(t) rezultă că legea distribuției probabilităților variabilei aleatoare x(t) nu depinde de t și, prin urmare, toate valorile numerice principale ale acesteia. caracteristicile nu depind de t, în incluzând: valoarea medie М(x(t)) =  și varianța D(x(t))= М(x(t) –) 2 =  2 .

În mod evident, valoarea lui μ determină nivelul constant, în raport cu care sunt împrăștiate valorile seriei temporale analizate x(t), iar valoarea constantă  2 caracterizează intervalul acestei răspândiri. Deoarece legea distribuției de probabilitate a variabilei aleatoare x(t) este aceeași pentru tot t, atunci ea și principalele sale caracteristici numerice pot fi estimate din observațiile x(1), x(2), …x(N). În special:

-estimarea valorii medii,

- estimarea varianţei.

Sub metode de netezire seria temporală este înțeleasă selectarea unei componente non-aleatoare. Să presupunem că este cunoscută forma generală a componentei nealeatoare F(t) pentru seria x(t)=F(t,)+ u(t). Poate fi un polinom, o serie Fourier etc. Atunci se pune problema estimării parametrilor . În această formulare a problemei sunt utilizate metode analitice.

Dacă forma componentei non-aleatoare este necunoscută F(t), atunci se folosesc metode algoritmice. Aceste metode includ metoda mediei mobile, care stă la baza procedurilor de netezire mai complexe.

Algoritm pentru construirea unui model de serie temporală pe exemplul modelelor aditive și multiplicative

Algoritmul pentru construirea unui model de serie temporală care include fluctuații ciclice constă din principalele etape, al căror conținut este oarecum diferit pentru modelele aditive și multiplicative.

Să simplificăm modelul introducând o singură denumire pentru componenta ciclică a seriei, indiferent de durata ciclului, sau de natura sa sezonieră sau oportunistă. Să notăm că este t . Atunci modelul aditiv va lua forma y t = u t + s t + e t , iar unul multiplicativ - y t = u t * s t * e t .

Deci, principalele etape ale construirii unui model:

1) Netezirea seriei originale pe baza unor medii, care sunt calculate pe o perioadă de timp corespunzătoare duratei ciclului.

2) Determinarea valorilor componentei ciclice sau sezoniere (pentru mai multe detalii, a se vedea Eliseeva I.I., Kurysheva S.V., Kosteeva T.V. et al. Econometrics: Textbook. - M .: Finance and Statistics, 2001. - P. 242-251. ). Pentru un model aditiv, suma valorilor acestei componente pentru toate perioadele unui ciclu trebuie să fie egală cu zero, iar într-un model multiplicativ, numărul de perioade dintr-un ciclu. Aceasta asigură răscumpărarea reciprocă a componentei ciclice.

3) Îndepărtarea componentelor ciclice din model. În modelul aditiv, se realizează prin scădere, după care modelul va lua forma y t = u t + e t . În modelul multiplicativ, se realizează prin împărțire, după care modelul va lua forma y t = u t * e t .

4) Alinierea analitică a seriei obţinute y t = u t + e t sau y t = u t * e t pe baza construcţiei ecuaţiei de tendinţă y t = f(t).

5) Componenta ciclică se adaugă la nivelurile obținute ale seriei (în cazul unui model aditiv) sau se înmulțește cu aceasta (în cazul unui model multiplicativ): y t = f(t) + s t sau y t = f( t) * s t .

6) Compararea valorilor calculate ale nivelurilor seriei, obținute cu ajutorul modelului construit, cu valorile reale. Evaluarea modelului rezultat, calculul erorilor.

Seriile temporale sunt de natură stocastică și, în consecință, pot fi calculate diferite caracteristici probabilistice pentru ele.

O serie de timp staționară este o serie de timp pentru care toate caracteristicile probabilistice sunt constante.

Aceasta înseamnă că indiferent de fragmentul seriei temporale pe care îl luăm, caracteristicile probabilistice ale valorilor indicatorului vor fi aceleași ca pentru orice alt interval de timp al acestei serii. Nu există o componentă de tendință în seria staționară.

O serie temporală nestaționară nu are această proprietate.

Serii temporale vizuale staționare și nestaționare sunt prezentate în Figura 5.1.

Distinge concepte slabși staționaritate strictă. Pentru a considera o serie ca slab staționară sau staționară în sensul larg al cuvântului, este suficient ca aceasta să aibă așteptări matematice, varianță și coeficienți de autocorelare constanti. Pentru o definire mai riguroasă a staționarității este necesară și constanța altor caracteristici probabilistice (funcția de distribuție trebuie să fie aceeași), care sunt studiate în detaliu în cursul teoriei probabilităților.

Trebuie amintit că orice serie strict staționară este, de asemenea, slab staționară, dar nu invers. Astfel, intersecția (partea comună) a mulțimii de serii slab staționare și mulțimea de serii strict staționare este mulțimea de serii strict staționare. Unirea setului de serii slab staționare și setul de serii strict staționare este setul de serii slab staționare (deoarece seriile strict staționare sunt incluse în seriile slab staționare).

Un exemplu de serie temporală staționară ar fi „zgomotul alb” în modelele de regresie (adică valorile ordonate în timp ale componentei aleatoare pentru care media și varianța sunt constante (caz în care valoarea așteptată a reziduului este zero) și aceste valori sunt necorelate între ele).

Seria ergodica. O proprietate importantă a unor serii staţionare este proprietatea ergodicitatea. Esența acestei proprietăți este că, pentru o serie ergodică, așteptarea matematică a nivelurilor sale în spațiu coincide cu așteptarea matematică a nivelurilor sale în timp.

Fie pentru un proces slab staționar în orice moment t așteptarea valorii M(y t) = µ (aceasta este așteptarea în spațiu). Valorea estimataîn timp este media n valori ale seriei temporale la n ® ¥. Dacă , atunci o astfel de serie este ergodică.

Cu alte cuvinte, pentru o serie de timp staționară, valoarea medie pe setul de realizări pentru anumite momente de timp este egală cu media în timp calculată pentru o realizare.

Introducere………………………………………………………………….2

1. Principalele sarcini ale analizei seriilor temporale…………….4

2. Analiza serii cronologice…………………………………………….9

11

2.3 Modele de serii temporale staționare și identificarea lor…13

2.3.2. Modele de ordine medie mobile q (modele MA(q))….17

Concluzie…………………………………………………………………21

Literatură………………………………………………………..23

Introducere

LA anul trecutîn literatura econometrică se acordă multă atenție studiului seriei de dinamică a indicatorilor temporali. O varietate de sarcini de fond ale analizei economice necesită utilizarea datelor statistice care caracterizează procesele economice studiate și desfășurate în timp sub formă de serii temporale. În același timp, aceleași serii cronologice sunt adesea folosite pentru a rezolva diferite probleme de fond.

Nu întotdeauna valorile seriei temporale se formează numai sub influența oricăror factori. Se întâmplă adesea ca dezvoltarea unui anumit proces să se datoreze legilor sale interne, iar abaterile de la un proces determinist sunt cauzate de erori de măsurare sau fluctuații aleatorii. De un interes deosebit sunt procesele care sunt în modul „tranzițional”, adică. procese care sunt în esență „staționare” dar prezintă proprietățile unei serii temporale nestaționare pe intervalul de timp studiat, ceea ce se explică prin condițiile inițiale departe de regimul staționar. În situațiile în care seria temporală se formează sub influența unui anumit set de factori aleatori și nealeatori, analiza serii temporale individuale, atât rezultante, cât și factori, este de mare importanță. Acest lucru este necesar pentru identificarea corectă a modelelor care sunt construite pe baza informațiilor despre procesele studiate (autoregresii vectoriale, modele de corectare a erorilor, modele dinamice cu întârzieri distribuite etc.).

La analiza seriilor temporale, atenția principală este acordată studiului, descrierii și/sau modelării structurii acestora. Scopul unor astfel de studii, de regulă, este mai larg decât simpla modelare a studiului proceselor relevante. Modelul construit este de obicei folosit pentru a extrapola sau prezice o serie de timp, iar apoi calitatea prognozei poate servi ca un criteriu util atunci când alegeți dintre mai multe modele alternative. Construirea unor modele de serie bune este necesară și pentru alte aplicații, cum ar fi ajustarea sezonieră și netezirea. În final, modelele construite pot fi utilizate pentru modelarea statistică a unor serii lungi de observații în studiul sistemelor mari, pentru care seria temporală este considerată ca informație de intrare.

Datorită prezenței erorilor în măsurarea indicatorilor economici, a prezenței fluctuațiilor aleatorii inerente sistemelor observate, abordarea probabilistic-statistică este utilizată pe scară largă în studiul seriilor temporale. În cadrul acestei abordări, seria temporală observată este înțeleasă ca realizarea unui proces aleatoriu. În acest caz, se presupune implicit că seria temporală are o structură care o deosebește de o secvență de variabile aleatoare, deci observațiile nu sunt un set de valori numerice complet independente. (Unele elemente ale structurii seriei pot fi uneori identificate deja pe baza unei analize vizuale simple a graficului seriei. Acest lucru se aplică, de exemplu, unor componente ale seriei cum ar fi tendința și ciclurile.) De obicei, se presupune că structura seria poate fi descrisă de un model care conține un număr mic de parametri în comparație cu numărul de observații, acest lucru este practic important atunci când se utilizează modelul pentru prognoză. Exemple de astfel de modele sunt modele de autoregresie, medie mobilă și combinațiile acestora - modelele AR(p), MA(q), ARMA(p, q), ARIMA(p, k, q).

La construirea modelelor de relaţii pe termen lung este necesar să se ţină cont de faptul că seria macroeconomică analizată are sau nu o tendinţă stocastică (nedeterministă). Cu alte cuvinte, este necesar să se decidă dacă fiecare dintre seriile luate în considerare aparține clasei de serii care sunt staționare în raport cu o serie de tendință deterministă (sau pur și simplu staționară) - serie TS (tendință staționară), sau clasei de serie care au o tendință stocastică (poate împreună cu o tendință deterministă) și care conduc la o serie staționară (sau staționară în raport cu o tendință deterministă) numai printr-o diferențiere unică sau de k-ori a seriei - seria DS (diferență staționară). Diferența fundamentală dintre aceste două clase de serii este că, în cazul seriei TS, scăderea tendinței deterministe corespunzătoare din serie duce la o serie staționară, în timp ce în cazul seriei DS, scăderea componentei deterministe a frunzelor seriei. seria nestaționară datorită prezenței unui trend stocastic în ea.

Capitolul 1. Principalele sarcini ale analizei seriilor temporale.

Diferențele fundamentale dintre o serie de timp și o secvență de observații care formează un eșantion aleatoriu sunt următoarele:

în primul rând, spre deosebire de elementele unui eșantion aleatoriu, membrii seriei temporale nu sunt independenți;

în al doilea rând, membrii seriei temporale nu sunt neapărat distribuiți în mod egal, deci P(xt< x} P{xt < x} при t t.

Aceasta înseamnă că proprietăți și reguli analize statistice eșantionarea aleatorie nu poate fi extinsă la serii de timp. Pe de altă parte, interdependența membrilor seriei de timp își creează propria bază specifică pentru construirea valorilor predictive ale indicatorului analizat pe baza valorilor observate.

Geneza observațiilor care formează o serie temporală (mecanism de generare a datelor). Este despre despre structura și clasificarea principalilor factori sub influența cărora se formează valorile seriei de timp. De regulă, se disting 4 tipuri de astfel de factori.

Pe termen lung, formând o tendință generală (pe termen lung) în schimbarea caracteristicii analizate xt. De obicei, această tendință este descrisă folosind una sau alta funcție non-aleatorie ftr(t) (al cărei argument este timpul), de obicei monotonă. Această funcție se numește funcție de tendință sau pur și simplu tendință.

Sezoniere, formându-se periodic repetate în anumit timp ani de fluctuație a trăsăturii analizate. Deoarece această funcție (e) trebuie să fie periodică (cu perioade care sunt multiple de „anotimpuri”), expresia ei analitică implică armonici ( funcții trigonometrice), a cărei frecvență, de regulă, este determinată de esența conținutului sarcinii.

Ciclice (oportuniste), care formează modificări în trăsătura analizată, datorită acțiunii unor cicluri de lungă durată de natură economică sau demografică (valuri Kondratiev, „gropi” demografice etc.) Se va nota rezultatul acțiunii factorilor ciclici. folosind o funcție non-aleatorie (t).

Aleatoriu (neregulat), nu este supus contabilității și înregistrării. Influența lor asupra formării valorilor seriei temporale determină doar natura stocastică a elementelor xt și, în consecință, necesitatea interpretării x1,…, xT ca observații făcute asupra variabilelor aleatoare 1,…, T. va desemna rezultatul impactului factorilor aleatori folosind cantități aleatorii („reziduuri”, „erori”) t.

Desigur, nu este deloc necesar ca factorii din toate cele patru tipuri să participe simultan la procesul de formare a valorilor oricărei serii cronologice. Concluziile despre faptul dacă factorii de acest tip sunt implicați sau nu în formarea valorilor unei anumite serii se pot baza atât pe analiza conținutului esenței problemei, cât și pe o analiză statistică specială a seriei temporale studiate. . Cu toate acestea, în toate cazurile, se presupune participarea indispensabilă a factorilor aleatori. Astfel, în vedere generala modelul de generare a datelor (cu o diagramă bloc aditivă a influenței factorilor) arată astfel:

xt = 1f(t) + 2(t) +3(t) + t. (unu)

unde i = 1 dacă factorii de tip i sunt implicați în formarea valorilor seriei și i = 0 în caz contrar.

Principalele sarcini ale analizei seriilor temporale. Scopul de bază al analizei statistice a unei serii de timp este de a urmări traiectoria existentă a acestei serii:

determinați care dintre funcțiile non-aleatoare sunt prezente în expansiune (1), i.e. determinați valorile indicatorilor i;

construiți estimări „bune” pentru acele funcții non-aleatoare care sunt prezente în expansiune (1);

alegeți un model care descrie în mod adecvat comportamentul reziduurilor aleatoare t și evaluați statistic parametrii acestui model.

Rezolvarea cu succes a sarcinilor enumerate, datorită scopului de bază al analizei statistice a seriei de timp, stă la baza atingerii obiectivelor finale de cercetare aplicată și, în primul rând, pentru rezolvarea problemei prognozei pe termen scurt și mediu. a valorilor seriei de timp. Să prezentăm pe scurt principalele elemente ale analizei econometrice a seriilor de timp.