Probabilitățile P(H i) ale ipotezelor H i se numesc probabilități a priori - probabilitățile dinaintea experimentelor.
Probabilitățile P(A/H i) se numesc probabilități a posteriori - probabilitățile ipotezelor H i rafinate ca urmare a experimentului.

Exemplul #1. Aparatul poate fi asamblat din piese de înaltă calitate și din piese de calitate obișnuită. Aproximativ 40% dintre dispozitive sunt asamblate din piese de înaltă calitate. Dacă dispozitivul este asamblat din piese de înaltă calitate, fiabilitatea acestuia (probabilitate timpul de funcționare) în timp t este 0,95; dacă din părți de calitate obișnuită - fiabilitatea sa este de 0,7. Dispozitivul a fost testat pentru timpul t și a funcționat impecabil. Găsiți probabilitatea ca acesta să fie asamblat din piese de înaltă calitate.
Soluţie. Sunt posibile două ipoteze: H 1 - dispozitivul este asamblat din piese de înaltă calitate; H 2 - dispozitivul este asamblat din piese de calitate obișnuită. Probabilitățile acestor ipoteze înainte de experiment: P(H 1) = 0,4, P(H 2) = 0,6. Ca rezultat al experimentului, a fost observat evenimentul A - dispozitivul a funcționat impecabil pentru timpul t. Probabilitățile condiționate ale acestui eveniment conform ipotezelor H 1 și H 2 sunt: ​​P(A|H 1) = 0,95; P(A|H2) = 0,7. Folosind formula (12), găsim probabilitatea ipotezei H 1 după experiment:

Exemplul #2. Doi trăgători trag în mod independent în aceeași țintă, fiecare trăgând o lovitură. Probabilitatea de a lovi ținta pentru primul trăgător este de 0,8, pentru al doilea 0,4. După împușcare, a fost găsită o gaură în țintă. Presupunând că doi trăgători nu pot atinge același punct, găsiți probabilitatea ca primul trăgător să lovească ținta.
Soluţie. Fie evenimentul A o gaură găsită în țintă după împușcare. Înainte de începerea filmării, sunt posibile ipoteze:
H 1 - nici primul, nici al doilea trăgător nu va lovi, probabilitatea acestei ipoteze: P(H 1) = 0,2 0,6 = 0,12.
H 2 - ambii trăgători vor lovi, P(H 2) = 0,8 0,4 = 0,32.
H 3 - primul trăgător va lovi, iar al doilea nu va lovi, P(H 3) = 0,8 0,6 = 0,48.
H 4 - primul trăgător nu va lovi, dar al doilea va lovi, P (H 4) = 0,2 0,4 = 0,08.
Probabilitățile condiționate ale evenimentului A în aceste ipoteze sunt:

După experiență, ipotezele H 1 și H 2 devin imposibile, iar probabilitățile ipotezelor H 3 și H 4
va fi egal:

Exemplul #3. În atelierul de asamblare, un motor electric este conectat la dispozitiv. Motoarele electrice sunt furnizate de trei producători. În depozit sunt 19,6, respectiv 11 motoare electrice ale uzinelor numite, care pot funcționa fără defecțiuni până la sfârșitul perioadei de garanție, cu probabilități de 0,85, 0,76 și 0,71. Muncitorul ia la întâmplare un motor și îl montează pe dispozitiv. Găsiți probabilitatea ca motorul electric, montat și funcțional fără greșeli până la sfârșitul perioadei de garanție, să fi fost furnizat de primul, al doilea sau, respectiv, al treilea producător.
Soluţie. Primul test este alegerea motorului electric, al doilea este funcționarea motorului electric în perioada de garanție. Luați în considerare următoarele evenimente:
A - electromotorul functioneaza impecabil pana la sfarsitul perioadei de garantie;
H 1 - montatorul va prelua motorul din produsele primei fabrici;
H 2 - montatorul va prelua motorul din produsele celei de-a doua fabrici;
H 3 - montatorul va lua motorul din produsele celei de-a treia fabrici.
Probabilitatea evenimentului A se calculează prin formula probabilitate deplină:

Probabilitățile condiționate sunt specificate în enunțul problemei:

Să găsim probabilitățile

Exemplul #4. Probabilitățile ca în timpul funcționării sistemului, care constă din trei elemente, elementele cu numerele 1, 2 și 3 să cedeze, sunt legate ca 3: 2: 5. Probabilitățile de detectare a defecțiunilor acestor elemente sunt, respectiv, de 0,95; 0,9 și 0,6.

b) În condițiile acestei sarcini, a fost detectată o defecțiune în timpul funcționării sistemului. Care element este cel mai probabil să eșueze?

Soluţie.
Fie A un eveniment de eșec. Sa introducem un sistem de ipoteze H1 - defectarea primului element, H2 - defectarea celui de-al doilea element, H3 - defectarea celui de-al treilea element.
Găsim probabilitățile ipotezelor:
P(H1) = 3/(3+2+5) = 0,3
P(H2) = 2/(3+2+5) = 0,2
P(H3) = 5/(3+2+5) = 0,5

În funcție de starea problemei, probabilitățile condiționate ale evenimentului A sunt:
P(A|H1) = 0,95, P(A|H2) = 0,9, P(A|H3) = 0,6

a) Găsiți probabilitatea detectării unei defecțiuni în sistem.
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0,3*0,95 + 0,2*0,9 + 0,5 *0,6 = 0,765

b) În condițiile acestei sarcini, a fost detectată o defecțiune în timpul funcționării sistemului. Care element este cel mai probabil să eșueze?
P1 = P(H1)*P(A|H1)/ P(A) = 0,3*0,95 / 0,765 = 0,373
P2 = P(H2)*P(A|H2)/ P(A) = 0,2*0,9 / 0,765 = 0,235
P3 = P(H3)*P(A|H3)/ P(A) = 0,5*0,6 / 0,765 = 0,392

Probabilitatea maximă a celui de-al treilea element.

Scurtă teorie

Dacă un eveniment are loc numai dacă are loc unul dintre evenimentele care formează un grup complet de evenimente incompatibile, atunci acesta este egal cu suma produselor probabilităților fiecăruia dintre evenimente și portofelul de probabilitate condiționată corespunzător.

În acest caz, evenimentele se numesc ipoteze, iar probabilitățile se numesc a priori. Această formulă se numește formula probabilității totale.

Formula Bayes este utilizată în rezolvarea problemelor practice, atunci când s-a produs un eveniment care apare împreună cu oricare dintre evenimentele care formează un grup complet de evenimente și este necesară efectuarea unei reevaluări cantitative a probabilităților ipotezelor. Sunt cunoscute probabilitățile a priori (înainte de experiență). Este necesar să se calculeze probabilități a posteriori (după experiență), adică. În esență, trebuie să găsiți probabilitățile condiționate. Formula Bayes arată astfel:

Pagina următoare tratează problema de pe .

Exemplu de rezolvare a problemei

Condiția sarcinii 1

În fabrică, mașinile 1, 2 și 3 produc 20%, 35% și, respectiv, 45% din toate piesele. În produsele lor, defectul este respectiv 6%, 4%, 2%. Care este probabilitatea ca un articol selectat aleatoriu să fie defect? Care este probabilitatea ca acesta să fi fost produs: a) de către mașina 1; b) mașina 2; c) mașina 3?

Rezolvarea problemei 1

Indicați prin evenimentul că produsul standard s-a dovedit a fi defect.

Un eveniment poate avea loc numai dacă are loc unul dintre cele trei evenimente:

Produsul este produs la mașina 1;

Produsul este produs la mașina 2;

Produsul este produs la mașina 3;

Să scriem probabilitățile condiționate:

Formula probabilității totale

Dacă un eveniment poate avea loc numai atunci când are loc unul dintre evenimentele care formează un grup complet de evenimente incompatibile, atunci probabilitatea evenimentului este calculată prin formula

Folosind formula probabilității totale, găsim probabilitatea unui eveniment:

Formula Bayes

Formula lui Bayes vă permite să „rearanjați cauza și efectul”: conform fapt cunoscut eveniment pentru a calcula probabilitatea ca acesta să fi fost cauzat de o cauză dată.

Probabilitatea ca un articol defect să fi fost produs la mașina 1:

Probabilitatea ca un articol defect să fi fost produs la mașina 2:

Probabilitatea ca un articol defect să fi fost produs la mașina 3:

Condiția sarcinii 2

Grupul este format din 1 elev excelent, 5 elevi buni și 14 elevi mediocri. Un elev excelent răspunde la 5 și 4 cu probabilitate egală, un elev bun răspunde la 5, 4 și 3 cu probabilitate egală, iar un elev mediocru răspunde la 4, 3 și 2 cu probabilitate egală. Un elev selectat aleatoriu a răspuns 4. Care este probabilitatea ca un elev mediocru să fie numit?

Rezolvarea problemei 2

Ipoteze și probabilități condiționate

Sunt posibile următoarele ipoteze:

Excelentul elev a răspuns;

A răspuns bine;

– a răspuns elev mediocru;

Permite evenimentului - student să obțină 4.

Răspuns:

Prețul este puternic influențat de urgența deciziei (de la zile la câteva ore). Ajutorul online la examen/test se efectuează pe bază de programare.

Aplicația poate fi lăsată direct în chat, după ce a aruncat în prealabil starea sarcinilor și informându-vă despre termenele limită pentru rezolvarea acesteia. Timpul de răspuns este de câteva minute.

Obiectiv: să formeze abilități de rezolvare a problemelor din teoria probabilităților folosind formula probabilității totale și formula Bayes.

Formula probabilității totale

Probabilitatea evenimentului DAR, care poate apărea numai dacă are loc unul dintre evenimentele incompatibile B x, B 2 ,..., B n, formarea unui grup complet este egală cu suma produselor probabilităților fiecăruia dintre aceste evenimente și probabilitatea condiționată corespunzătoare a evenimentului A:

Această formulă se numește formula probabilității totale.

Probabilitatea ipotezelor. Formula Bayes

Lasă evenimentul DAR poate apărea dacă are loc unul dintre evenimentele incompatibile B b B 2 ,...,B p, formând un grup complet. Deoarece nu se știe dinainte care dintre aceste evenimente se va întâmpla, ele se numesc ipoteze. Probabilitatea apariției unui eveniment DAR este determinată de formula probabilității totale:

Să presupunem că a fost efectuat un test, în urma căruia a avut loc un eveniment DAR. Este necesar să se determine modul în care s-au schimbat (datorită faptului că evenimentul DAR deja sosit) probabilităţi de ipoteze. Probabilitățile condiționate ale ipotezelor se găsesc prin formula

În această formulă, indicele / = 1,2

Această formulă se numește formula Bayes (după matematicianul englez care a derivat-o; publicată în 1764). Formula Bayes vă permite să reestimați probabilitățile ipotezelor după ce rezultatul testului devine cunoscut, în urma căruia a apărut evenimentul DAR.

Sarcina 1. Instalația produce un anumit tip de piesă, fiecare piesă are un defect cu o probabilitate de 0,05. Piesa este inspectată de un inspector; detectează un defect cu o probabilitate de 0,97, iar dacă nu se constată niciun defect, trece piesa în produsul finit. În plus, inspectorul poate respinge din greșeală o piesă care nu prezintă un defect; probabilitatea acestui lucru este de 0,01. Aflați probabilitățile următoarelor evenimente: A - partea va fi respinsă; B - piesa va fi respinsă, dar în mod eronat; C - piesa va fi sarita la produsul finit cu un defect.

Soluţie

Să notăm ipotezele:

H= (o parte standard va fi trimisă pentru inspecție);

H= (o piesă nestandard va fi trimisă pentru inspecție).

Eveniment A =(partea va fi respinsă).

Din starea problemei găsim probabilitățile

PH (A) = 0,01; Pfi(A) = 0,97.

Conform formulei probabilității totale, obținem

Probabilitatea ca o piesă să fie respinsă din greșeală este

Să găsim probabilitatea ca piesa să fie sărită în produsul finit cu un defect:

Răspuns:

Sarcina 2. Standardul produsului este verificat de unul dintre cei trei specialiști în mărfuri. Probabilitatea ca produsul să ajungă la primul comerciant este de 0,25, la al doilea - 0,26 și la al treilea - 0,49. Probabilitatea ca produsul să fie recunoscut ca standard de către primul comerciant este de 0,95, de al doilea - 0,98, de al treilea - 0,97. Găsiți probabilitatea ca produsul standard să fie verificat de al doilea inspector.

Soluţie

Să notăm evenimentele:

L. =(produsul pentru verificare va merge la /-lea manager de mărfuri); / = 1, 2, 3;

B =(produsul va fi recunoscut ca standard).

În funcție de starea problemei, probabilitățile sunt cunoscute:

Cunoaștem și probabilitățile condiționate

Folosind formula Bayes, găsim probabilitatea ca produsul standard să fie verificat de al doilea controler:

Răspuns:„0,263.

O sarcină 3. Două mașini produc piese care merg la un transportor comun. Probabilitatea de a obține o piesă non-standard pe prima mașină este de 0,06, iar pe a doua - 0,09. Performanța celei de-a doua mașini este de două ori mai mare decât a primei. O piesă nestandard a fost luată de pe transportor. Găsiți probabilitatea ca această piesă să fie produsă de a doua mașină.

Soluţie

Să notăm evenimentele:

A. =(piesa luată de pe linia de asamblare este produsă de mașina i-a); / = 1,2;

LA= (partea luată va fi nestandard).

Cunoaștem și probabilitățile condiționate

Folosind formula probabilității totale, găsim

Folosind formula Bayes, găsim probabilitatea ca partea nestandard luată să fie produsă de al doilea automat:

Răspuns: 0,75.

Sarcina 4. Este testat un dispozitiv, format din două noduri, a căror fiabilitate este de 0,8, respectiv 0,9. Nodurile eșuează independent unul de celălalt. Dispozitivul a eșuat. Găsiți, ținând cont de aceasta, probabilitățile ipotezelor:

• a) doar primul nod este defect;
• b) doar al doilea nod este defect;
• c) ambele noduri sunt defecte.

Soluţie

Să notăm evenimentele:

D = (al 7-lea nod nu va eșua); i = 1,2;

D - evenimente opuse corespunzătoare;

DAR= (în timpul testului, dispozitivul va eșua).

Din condiția problemei obținem: P(D) = 0,8; P(L 2) = 0,9.

Prin proprietatea probabilităților evenimentelor opuse

Eveniment DAR este egală cu suma produselor evenimente independente

Folosind teorema de adunare pentru probabilitățile evenimentelor incompatibile și teorema de înmulțire a probabilităților de evenimente independente, obținem

Acum găsim probabilitățile ipotezelor:

Răspuns:

Sarcina 5.În fabrică, șuruburile sunt realizate pe trei mașini, care produc 25%, 30% și respectiv 45% din numărul total de șuruburi. În producția de mașini-unelte, defectul este respectiv de 4%, 3% și 2%. Care este probabilitatea ca un șurub, luat la întâmplare dintr-un produs primit, să fie defect?

Soluţie

Să notăm evenimentele:

4 = (un șurub luat la întâmplare a fost făcut la i-a mașină); i = 1, 2, 3;

LA= (un șurub luat la întâmplare va fi defect).

Din condiția problemei, folosind formula clasică de probabilitate, găsim probabilitățile ipotezelor:

De asemenea, folosind formula clasică de probabilitate, găsim probabilitățile condiționate:

Folosind formula probabilității totale, găsim

Răspuns: 0,028.

Sarcina 6. Circuitul electronic aparține unuia dintre cele trei loturi cu o probabilitate de 0,25; 0,5 și 0,25. Probabilitatea ca circuitul să funcționeze dincolo de perioada de garanție pentru fiecare dintre părți, respectiv, este de 0,1; 0,2 și 0,4. Găsiți probabilitatea ca un circuit ales aleatoriu să funcționeze dincolo de perioada de garanție.

Soluţie

Să notăm evenimentele:

4 \u003d (schemă luată aleatoriu din petrecerea a r-a); i = 1, 2, 3;

LA= (un circuit luat la întâmplare va funcționa dincolo de perioada de garanție).

În funcție de starea problemei, probabilitățile ipotezelor sunt cunoscute:

Cunoaștem și probabilitățile condiționate:

Folosind formula probabilității totale, găsim

Răspuns: 0,225.

Sarcina 7. Dispozitivul conține două blocuri, funcționalitatea fiecăruia fiind necesară pentru funcționarea dispozitivului. Probabilitățile de funcționare fără defecțiuni pentru aceste blocuri sunt 0,99 și, respectiv, 0,97. Dispozitivul este defect. Determinați probabilitatea ca ambele unități să eșueze.

Soluţie

Să notăm evenimentele:

D = ( blocul z va eșua); i = 1,2;

DAR= (dispozitivul va eșua).

Din condiţia problemei, după proprietatea probabilităţilor de evenimente opuse, se obţine: DD) = 1-0,99 = 0,01; DD) = 1-0,97 = 0,03.

Eveniment DAR apare numai atunci când cel puțin unul dintre evenimentele D sau A 2 . Prin urmare, acest eveniment este egal cu suma evenimentelor DAR= D + DAR 2 .

Prin teorema de adunare pentru probabilitățile evenimentelor comune, obținem

Folosind formula Bayes, găsim probabilitatea ca dispozitivul să se defecteze din cauza defecțiunii ambelor blocuri.

Răspuns:

Sarcini pentru soluție independentă Sarcina 1.În depozitul studioului de televiziune se află 70% din kinescoape fabricate de fabrica nr.1; Kinescoapele rămase au fost fabricate de fabrica nr. 2. Probabilitatea ca cinescopul să nu se defecteze în perioada de garanție este de 0,8 pentru kinescoapele din instalația nr. 1 și 0,7 pentru kinescoapele din instalația nr. 2. Kinescopul a rezistat perioadei de garanție. Aflați probabilitatea ca acesta să fi fost produs de planta numărul 2.

Sarcina 2. Piesele de la trei mașini automate vin la asamblare. Se știe că prima mașină dă 0,3% din defecte, a 2-a - 0,2%, a 3-a - 0,4%. Găsiți probabilitatea de primire a unei piese defecte pentru asamblare, dacă au fost primite 1000 de piese de la prima mașină, 2000 de la a 2-a și 2500 de piese de la a 3-a.

Sarcina 3. Două mașini produc piese identice. Probabilitatea ca o piesă produsă pe prima mașină să fie standard este de 0,8, iar pe a doua - 0,9. Performanța celei de-a doua mașini este de trei ori mai mare decât a primei. Găsiți probabilitatea ca piesa standard să fie luată la întâmplare de la transportor, care primește piese de la ambele mașini.

Sarcina 4.Șeful companiei a decis să apeleze la serviciile a două dintre cele trei companii de transport. Probabilitățile de livrare la timp a mărfurilor pentru prima, a doua și a treia firmă sunt de 0,05; 0,1 și 0,07. Comparând aceste date cu datele privind siguranța transportului de mărfuri, managerul a ajuns la concluzia că alegerea a fost echitabilă și a decis să o facă prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca marfa trimisă să fie livrată la timp.

Sarcina 5. Dispozitivul conține două blocuri, funcționalitatea fiecăruia fiind necesară pentru funcționarea dispozitivului. Probabilitățile de funcționare fără defecțiuni pentru aceste blocuri sunt 0,99 și, respectiv, 0,97. Dispozitivul este defect. Determinați probabilitatea ca a doua unitate să eșueze.

O sarcină 6. Atelierul de asamblare primește piese de la trei mașini. Prima mașină oferă 3% din căsătorie, a doua - 1% și a treia - 2%. Determinați probabilitatea ca o piesă nedefectă să intre în ansamblu dacă au fost primite 500, 200, 300 de piese de la fiecare mașină, respectiv.

Sarcina 7. Depozitul primește produsele a trei firme. În plus, producția primei firme este de 20%, a doua - 46% și a treia - 34%. De asemenea, se știe că procentul mediu de produse non-standard pentru prima firmă este de 5%, pentru a doua - 2% și pentru a treia - 1%. Găsiți probabilitatea ca un produs ales la întâmplare să fi fost produs de a doua companie dacă s-a dovedit a fi standard.

Sarcina 8. Căsătoria în producția plantei din cauza unui defect A este de 5%, iar dintre cele respinse pe baza de A produse în 10% din cazuri există un defect R.Și în produse fără defecte A, defect R apare în 1% din cazuri. Găsiți probabilitatea de a întâlni un defect Rîn toate produsele.

Sarcina 9. Compania are 10 mașini noi și 5 vechi care au fost anterior în reparație. Probabilitatea de funcționare corectă pentru o mașină nouă este de 0,94, pentru una veche - 0,91. Găsiți probabilitatea ca o mașină aleasă la întâmplare să funcționeze corect.

Sarcina 10. Doi senzori trimit semnale către un canal de comunicare comun, iar primul dintre ei trimite de două ori mai multe semnale decât al doilea. Probabilitatea de a primi un semnal distorsionat de la primul senzor este de 0,01, de la al doilea - 0,03. Care este probabilitatea de a primi un semnal distorsionat pe un canal de comunicare comun?

Sarcina 11. Există cinci loturi de produse: trei loturi de 8 bucăți, dintre care 6 standard și 2 non-standard, și două loturi de 10 bucăți, dintre care 7 standard și 3 non-standard. Unul dintre loturi este ales la întâmplare, iar din acest lot este luat un detaliu. Determinați probabilitatea ca piesa selectată să fie standard.

Sarcina 12. Asamblatorul primește, în medie, 50% din piese de la prima fabrică, 30% de la a doua fabrică și 20% de la a treia fabrică. Probabilitatea ca partea primei fabrici să fie de calitate excelentă este de 0,7; pentru părțile celei de-a doua și a treia plante, respectiv, 0,8 și, respectiv, 0,9. Participarea la întâmplare s-a dovedit a fi de o calitate excelentă. Aflați probabilitatea ca piesa să fie fabricată de prima fabrică.

Sarcina 13. Inspecția vamală a mașinilor este efectuată de doi inspectori. În medie, din 100 de mașini, 45 trec prin primul inspector. Probabilitatea ca în timpul inspecției un autoturism care respectă regulile vamale să nu fie reținut este de 0,95 pentru primul inspector și de 0,85 pentru al doilea. Găsiți probabilitatea ca o mașină care respectă regulile vamale să nu fie reținută.

Sarcina 14. Piesele necesare pentru asamblarea dispozitivului provin de la două mașini automate, a căror performanță este aceeași. Calculați probabilitatea ca o piesă standard să intre în ansamblu dacă unul dintre automate dă o medie de 3% încălcare a standardului, iar al doilea - 2%.

Sarcina 15. Antrenorul de haltere a calculat că pentru a primi credite de echipă în această categorie de greutate, un sportiv trebuie să împingă o mreană de 200 kg. Ivanov, Petrov și Sidorov își revendică un loc în echipă. Ivanov în timpul antrenamentului a încercat să ridice o astfel de greutate în 7 cazuri și a ridicat în 3 dintre ele. Petrov a ridicat de 6 ori din 13, iar Sidorov are 35% șanse de a manevra cu succes mreana. Antrenorul selectează aleatoriu un atlet pentru echipă.

• a) Aflați probabilitatea ca sportivul selectat să aducă puncte echipei.
• b) Echipa nu a primit niciun punct. Găsiți probabilitatea ca Sidorov să fi vorbit.

Sarcina 16.Într-o cutie albă sunt 12 bile roșii și 6 albastre. În negru - 15 bile roșii și 10 albastre. Aruncă un zar. Dacă numărul de puncte este un multiplu de 3, atunci o minge este luată aleatoriu din caseta albă. Dacă orice alt număr de puncte cade, atunci o minge este luată aleatoriu din caseta neagră. Care este probabilitatea ca o minge roșie să apară?

Sarcina 17. Două cutii conțin tuburi radio. Prima cutie conține 12 lămpi, dintre care 1 nu este standard; în a doua există 10 lămpi, dintre care 1 nu este standard. O lampă a fost luată la întâmplare din prima cutie și transferată în a doua. Găsiți probabilitatea ca o lampă extrasă la întâmplare din a doua casetă să nu fie standard.

Sarcina 18. O bilă albă este aruncată într-o urnă care conține două bile, după care o bilă este extrasă la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca bila extrasă să fie albă dacă toate ipotezele posibile despre compoziția inițială a bilelor (după culoare) sunt la fel de posibile.

Sarcina 19. O parte standard este aruncată într-o cutie care conține 3 părți identice, apoi o parte este extrasă la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca o piesă standard să fie desenată dacă toate presupunerile posibile despre numărul de piese standard din casetă sunt la fel de probabile.

Sarcina 20. Pentru a îmbunătăți calitatea comunicațiilor radio, sunt utilizate două receptoare radio. Probabilitatea de a primi un semnal de către fiecare receptor este de 0,8, iar aceste evenimente (recepția semnalului de către receptor) sunt independente. Determinați probabilitatea de a primi un semnal dacă probabilitatea de funcționare fără defecțiuni în timpul unei sesiuni de comunicații radio pentru fiecare receptor este de 0,9.

La derivarea formulei probabilității totale, s-a presupus că evenimentul DAR, a cărei probabilitate urma să fie determinată, s-ar putea întâmpla cu unul dintre evenimente H 1 , N 2 , ... , H n, formând un grup complet de evenimente incompatibile în perechi. Probabilitățile acestor evenimente (ipoteze) erau cunoscute dinainte. Să presupunem că a fost efectuat un experiment, în urma căruia evenimentul DAR a venit. Acest Informații suplimentare vă permite să reevaluaţi probabilităţile ipotezelor Bună , având calculat P(Hi/A).

sau, folosind formula probabilității totale, obținem

Această formulă se numește formula Bayes sau teorema ipotezei. Formula Bayes vă permite să „revizuiți” probabilitățile ipotezelor după ce rezultatul experimentului devine cunoscut, în urma căruia a apărut evenimentul DAR.

Probabilități Р(Н i) sunt probabilitățile a priori ale ipotezelor (au fost calculate înainte de experiment). Probabilitățile P(H i /A) sunt probabilitățile a posteriori ale ipotezelor (se calculează după experiment). Formula Bayes vă permite să calculați probabilitățile posterioare din probabilitățile lor anterioare și din probabilitățile condiționate ale evenimentului DAR.

Exemplu. Se știe că 5% din toți bărbații și 0,25% dintre toate femeile sunt daltonici. O persoană aleasă aleatoriu după numărul cardului medical suferă de daltonism. Care este probabilitatea ca acesta să fie bărbat?

Soluţie. Eveniment DAR Persoana este daltonică. Spațiul evenimentelor elementare pentru experiment - o persoană este selectată după numărul cardului medical - Ω = ( H 1 , N 2 ) constă din 2 evenimente:

H 1 - este selectat un bărbat,

H 2 - este selectată o femeie.

Aceste evenimente pot fi alese ca ipoteze.

În funcție de starea problemei (alegere aleatorie), probabilitățile acestor evenimente sunt aceleași și egale cu P(H 1 ) = 0.5; P(H 2 ) = 0.5.

În acest caz, probabilitățile condiționate ca o persoană să sufere de daltonism sunt egale, respectiv:

TIGAIE 1 ) = 0.05 = 1/20; TIGAIE 2 ) = 0.0025 = 1/400.

Deoarece se știe că persoana selectată este daltonică, adică evenimentul a avut loc, folosim formula Bayes pentru a reevalua prima ipoteză:

Exemplu. Sunt trei cutii identice. Prima cutie conține 20 de bile albe, a doua cutie conține 10 bile albe și 10 negre, iar a treia cutie conține 20 de bile negre. Dintr-o cutie aleasa la intamplare se extrage o bila alba. Calculați probabilitatea ca mingea să fie extrasă din prima casetă.

Soluţie. Notează prin DAR eveniment - apariția unei mingi albe. Se pot face trei ipoteze (ipoteze) cu privire la alegerea casetei: H 1 ,H 2 , H 3 - selectarea primei, a doua și, respectiv, a treia casetă.

Deoarece alegerea oricăreia dintre casete este la fel de posibilă, probabilitățile ipotezelor sunt aceleași:

P(H 1 )=P(H 2 )=P(H 3 )= 1/3.

În funcție de starea problemei, probabilitatea de a extrage o minge albă din prima casetă

Probabilitatea de a extrage o minge albă din a doua casetă

Probabilitatea de a extrage o minge albă din a treia casetă

Găsim probabilitatea dorită folosind formula Bayes:

Repetarea testelor. formula Bernoulli.

Există n încercări, în fiecare dintre ele evenimentul A poate să apară sau nu, iar probabilitatea evenimentului A în fiecare încercare individuală este constantă, de exemplu. nu se schimba de la experienta la experienta. Știm deja cum să găsim probabilitatea unui eveniment A într-un experiment.

De interes deosebit este probabilitatea de apariție a unui anumit număr de ori (m ori) a evenimentului A în n experimente. astfel de probleme sunt ușor de rezolvat dacă testele sunt independente.

Def. Sunt numite mai multe teste independent față de evenimentul A dacă probabilitatea evenimentului A în fiecare dintre ele nu depinde de rezultatele altor experimente.

Probabilitatea P n (m) de apariție a evenimentului A de exact de m ori (neapariție de n-m ori, eveniment ) în aceste n încercări. Evenimentul A apare într-o varietate de secvențe de m ori).

formula Bernoulli.

Următoarele formule sunt evidente:

P n (m Mai puțin k ori în n încercări.

P n (m>k) = P n (k+1) + P n (k+2) +…+ P n (n) - probabilitatea de apariție a evenimentului A Mai mult k ori în n încercări.1) n = 8, m = 4, p = q = ½,

Formula Bayes

teorema lui Bayes- una dintre principalele teoreme ale teoriei probabilităților elementare, care determină probabilitatea ca un eveniment să se producă în condițiile în care pe baza observațiilor se cunosc doar unele informații parțiale despre evenimente. Conform formulei Bayes, este posibil să se recalculeze mai precis probabilitatea, luând în considerare atât informațiile cunoscute anterior, cât și datele din observații noi.

„Sens fizic” și terminologie

Formula lui Bayes vă permite să „rearanjați cauza și efectul”: având în vedere faptul cunoscut al unui eveniment, calculați probabilitatea ca acesta să fi fost cauzat de o cauză dată.

Evenimentele care reflectă acțiunea „cauzelor” în acest caz sunt de obicei numite ipoteze, pentru ca sunt pretins evenimentele care au condus la aceasta. Se numește probabilitatea necondiționată a validității unei ipoteze a priori(Cât de probabilă este cauza? în general), și condiționat - ținând cont de faptul evenimentului - a posteriori(Cât de probabilă este cauza? s-a dovedit a lua în considerare datele evenimentului).

Consecinţă

O consecință importantă a formulei Bayes este formula pentru probabilitatea totală a unui eveniment în funcție de mai multe ipoteze inconsistente ( si numai de la ei!).

Derivarea formulei

Dacă un eveniment depinde numai de cauze A i, atunci dacă s-a întâmplat, înseamnă că unele dintre motive s-au întâmplat în mod necesar, i.e.

Prin formula Bayes

transfer P(B) în dreapta, obținem expresia dorită.

Metoda de filtrare a spamului

O metodă bazată pe teorema lui Bayes a fost aplicată cu succes în filtrarea spam-ului.

Descriere

La antrenamentul filtrului, pentru fiecare cuvânt întâlnit în litere, „greutatea” acestuia este calculată și stocată - probabilitatea ca o literă cu acest cuvânt să fie spam (în cel mai simplu caz, conform definiției clasice a probabilității: „apariții în spam / aparițiile tuturor”).

La verificarea unei scrisori nou sosite, probabilitatea ca aceasta să fie spam este calculată conform formulei de mai sus pentru un set de ipoteze. În acest caz, „ipotezele” sunt cuvinte, iar pentru fiecare cuvânt „fiabilitatea ipotezei” -% din acest cuvânt din scrisoare și „dependența evenimentului de ipoteză” P(B | A i) - „greutatea” cuvântului calculată anterior. Adică, „greutatea” literei în acest caz nu este altceva decât „greutatea” medie a tuturor cuvintelor sale.

O scrisoare este clasificată ca „spam” sau „non-spam” în funcție de dacă „greutatea” ei depășește o anumită bară stabilită de utilizator (de obicei, acestea iau 60-80%). După ce se ia o decizie cu privire la o scrisoare, „greutățile” pentru cuvintele incluse în aceasta sunt actualizate în baza de date.

Caracteristică

Această metodă este simplă (algoritmii sunt elementari), convenabilă (vă permite să faceți fără „liste negre” și trucuri artificiale similare), eficientă (după antrenamentul pe un eșantion suficient de mare, reduce până la 95-97% din spam, iar în cazul oricăror erori poate fi recalificat). În general, există toate indicațiile pentru utilizarea sa pe scară largă, ceea ce se întâmplă în practică - aproape toate filtrele moderne de spam sunt construite pe baza ei.

Cu toate acestea, metoda are și un dezavantaj fundamental: acesta pe baza presupunerii, ce unele cuvinte sunt mai frecvente în spam, în timp ce altele sunt mai frecvente în e-mailurile obișnuite, și este ineficientă dacă această ipoteză este falsă. Cu toate acestea, așa cum arată practica, nici măcar o persoană nu este capabilă să determine un astfel de spam „prin ochi” - numai după ce a citit scrisoarea și a înțeles sensul acesteia.

Un alt dezavantaj, nu fundamental, asociat implementării - metoda funcționează numai cu text. Știind despre această limitare, spammerii au început să pună informații publicitare în imagine, în timp ce textul din scrisoare fie este absent, fie nu are sens. Față de aceasta, trebuie să folosiți fie instrumente de recunoaștere a textului (o procedură „costisitoare”, este folosită numai atunci când de urgență), sau metode vechi de filtrare - „liste negre” și expresii regulate (deoarece astfel de litere au adesea o formă stereotipată).

Vezi si

Note

Legături

Literatură

• Byrd Kiwi. Teorema lui Bayes. // Revista Computerra, 24 august 2001
• Paul Graham. Un plan pentru spam. // Site-ul web personal al lui Paul Graham.

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți care este „formula Bayes” în alte dicționare:

O formulă care arată astfel: unde a1, A2, ..., An sunt evenimente incompatibile, Schema generală de aplicare a lui F. în. ex.: dacă evenimentul B poate apărea în decomp. condiţiile în care se fac n ipoteze A1, A2, ..., An cu probabilităţi P (A1), ... cunoscute înainte de experiment, ... ... Enciclopedia Geologică

Vă permite să calculați probabilitatea unui eveniment de interes prin probabilitățile condiționate ale acestui eveniment, presupunând anumite ipoteze, precum și probabilitățile acestor ipoteze. Formulare Să fie dat un spațiu de probabilitate și un grup complet în perechi ... ... Wikipedia

Vă permite să calculați probabilitatea unui eveniment de interes prin probabilitățile condiționate ale acestui eveniment, presupunând anumite ipoteze, precum și probabilitățile acestor ipoteze. Formulare Să fie dat un spațiu de probabilitate și un grup complet de evenimente, cum ar fi ... ... Wikipedia

- (sau formula lui Bayes) una dintre principalele teoreme ale teoriei probabilităților, care vă permite să determinați probabilitatea ca un eveniment (ipoteză) să fi avut loc în prezența doar a unor dovezi indirecte (date) care pot fi inexacte... Wikipedia

Teorema lui Bayes este una dintre principalele teoreme ale teoriei probabilităților elementare, care determină probabilitatea ca un eveniment să se producă în condițiile în care doar unele informații parțiale despre evenimente sunt cunoscute pe baza observațiilor. Conform formulei Bayes, puteți ... ... Wikipedia

Bayes, Thomas Thomas Bayes Reverendul Thomas Bayes Data nașterii: 1702 (1702) Locul nașterii ... Wikipedia

Thomas Bayes Reverendul Thomas Bayes Data nașterii: 1702 (1702) Locul nașterii: Londra ... Wikipedia

Inferența bayesiană este una dintre metodele de inferență statistică, în care formula Bayes este utilizată pentru a rafina estimările probabilistice ale adevărului ipotezelor atunci când apar dovezi. Utilizarea actualizării bayesiene este deosebit de importantă în ... ... Wikipedia

Doriți să îmbunătățiți acest articol?: găsiți și furnizați note de subsol pentru referințe la surse autorizate care confirmă ceea ce a fost scris. Punând note de subsol, faceți indicații mai precise ale surselor. Pere ... Wikipedia

Se vor trăda deținuții unul pe altul, urmând propriile interese egoiste, sau vor rămâne tăcuți, reducând astfel la minimum durata totală a termenului? Dilema prizonierului (ing. Dilema prizonierului, denumirea de „dilema” este mai puțin folosită... Wikipedia

Cărți

• Teoria probabilității și statistică matematică în probleme. Peste 360 ​​de sarcini și exerciții, Borzykh D.A. Manualul propus conține sarcini diferite niveluri dificultăți. Cu toate acestea, accentul principal este pus pe sarcini de complexitate medie. Acest lucru este făcut în mod intenționat pentru a încuraja elevii să...