Să începem cu un exemplu. În urna din fața ta cu probabilitate egală pot fi (1) două bile albe, (2) una albă și una neagră, (3) două negre. Tragi mingea și se dovedește a fi albă. Cum apreciați acum? probabilitate aceste trei opțiuni (ipoteze)? Evident, probabilitatea ipotezei (3) cu două bile negre = 0. Dar cum se calculează probabilitățile celor două ipoteze rămase!? Acest lucru vă permite să faceți formula Bayes, care în cazul nostru are forma (numărul formulei corespunde numărului ipotezei testate):

Descărcați nota în format sau

X este o variabilă aleatoare (ipoteză) care ia următoarele valori: x 1- doi albi x 2- unul alb, unul negru; x 3- doua negre; la este o variabilă aleatoare (eveniment) care ia următoarele valori: 1- se extrage o bila alba si la 2- se extrage o bila neagra; P(x 1) este probabilitatea primei ipoteze înainte ca mingea să fie extrasă ( a priori probabilitate sau probabilitate inainte de experiență) = 1/3; P(x 2)– probabilitatea celei de-a doua ipoteze înainte de extragerea mingii = 1/3; P(x 3)– probabilitatea celei de-a treia ipoteze înainte de a scoate mingea = 1/3; P(y 1|x 1)– probabilitatea condiționată de a extrage o minge albă dacă prima ipoteză este adevărată (bilele sunt albe) = 1; P(y 1|x 2) – probabilitatea de a extrage o minge albă, dacă a doua ipoteză este adevărată (o minge este albă, a doua este neagră) = ½; P(y 1|x 3) – probabilitatea de a extrage o minge albă, dacă a treia ipoteză este adevărată (ambele negre) = 0; P(y 1)– probabilitatea extragerii unei bile albe = ½; P(y 2)– probabilitatea de a extrage o minge neagră = ½; și în sfârșit ceea ce căutăm - P(x 1|la 1) – probabilitatea ca prima ipoteză să fie adevărată (ambele bile sunt albe), cu condiția să extragem o bilă albă ( a posteriori probabilitate sau probabilitate după experienţă); P(x 2|la 1) – probabilitatea ca a doua ipoteză să fie adevărată (o bilă este albă, a doua este neagră), cu condiția să scoatem o bilă albă.

Probabilitatea ca prima ipoteză (două bile albe) să fie adevărată, având în vedere că am tras o bilă albă:

Probabilitatea ca a doua ipoteză să fie adevărată (una este albă, a doua este neagră), cu condiția să scoatem o bilă albă:

Probabilitatea ca a treia ipoteză (două negre) să fie adevărată, având în vedere că am desenat o minge albă:

Ce face formula Bayes? Face posibilă, pe baza probabilităților a priori de ipoteze - P(x 1), P(x 2), P(x 3)– și probabilitățile de apariție a evenimentelor – P(y 1), P(y 2)– calculați probabilitățile posterioare ale ipotezelor, de exemplu, probabilitatea primei ipoteze, cu condiția ca o minge albă să fie extrasă – P(x 1|la 1).

Să revenim la formula (1). Probabilitatea inițială a primei ipoteze a fost P(x 1) = 1/3. Cu probabilitate P(y 1) = 1/2 am putea trage o minge albă, și cu probabilitate P(y 2) = 1/2- negru. L-am scos pe cel alb. Probabilitatea de a desena alb, cu condiția ca prima ipoteză să fie adevărată P(y 1|x 1) = 1. Formula lui Bayes spune că, din moment ce albul este scos, probabilitatea primei ipoteze a crescut la 2/3, probabilitatea celei de-a doua ipoteze este încă 1/3, iar probabilitatea celei de-a treia ipoteze a devenit zero.

Este ușor de verificat că, dacă tragem o bilă neagră, probabilitățile posterioare s-ar schimba simetric: P(x 1|y 2) = 0, P(x 2|y 2) = 1/3, P(x 3|y 2) = 2/3.

Iată ce a scris Pierre Simon Laplace despre formula Bayes într-o lucrare publicată în 1814:

Acesta este principiul de bază al ramului analizei întâmplării care se ocupă de tranzițiile de la evenimente la cauze.

De ce este atât de greu de înțeles formula lui Bayes!? După părerea mea, pentru că abordarea noastră obișnuită este raționamentul de la cauze la efecte. De exemplu, dacă într-o urnă există 36 de bile, dintre care 6 sunt negre, iar restul sunt albe. Care este probabilitatea de a extrage o minge albă? Formula lui Bayes vă permite să treceți de la evenimente la cauze (ipoteze). Dacă am avut trei ipoteze și a avut loc un eveniment, atunci cum anume a afectat acest eveniment (și nu alternativa) probabilitățile inițiale ale ipotezelor? Cum s-au schimbat aceste probabilități?

Cred că formula lui Bayes nu este doar despre probabilități. Schimbă paradigma percepției. Care este trenul de gândire atunci când se folosește paradigma deterministă? Dacă are loc un eveniment, care este cauza lui? Dacă a fost un accident, o urgență, un conflict militar. Cine sau ce a fost vina lor? Cum crede un observator bayesian? Care este structura realității la care a condus dat caz la cutare sau cutare manifestare... Bayesian intelege ca in in caz contrar rezultatul poate fi diferit...

Să plasăm simbolurile în formulele (1) și (2) puțin diferit:

Să vorbim din nou despre ceea ce vedem. Cu o probabilitate inițială (a priori) egală, una dintre cele trei ipoteze ar putea fi adevărată. Cu aceeași probabilitate, am putea trage o bilă albă sau neagră. L-am scos pe cel alb. În lumina acestor noi informații suplimentare, evaluarea noastră a ipotezelor ar trebui revizuită. Formula lui Bayes vă permite să faceți acest lucru numeric. Probabilitatea a priori a primei ipoteze (formula 7) a fost P(x 1), se trage o bila alba, probabilitatea posterioara a primei ipoteze devine P(x 1|la 1). Aceste probabilități diferă printr-un factor.

Eveniment 1 numită dovezi care confirmă sau infirmă mai mult sau mai puțin o ipoteză x 1. Acest raport este uneori denumit puterea dovezilor. Cu cât dovezile sunt mai puternice (cu cât coeficientul diferă mai mult de unitate), cu atât este mai mare faptul de observare 1 modifică probabilitatea anterioară, cu atât probabilitatea posterioară diferă de cea anterioară. Dacă dovezile sunt slabe (coeficient ~ 1), posteriorul este aproape egal cu precedentul.

Certificat 1în = 2 ori a schimbat probabilitatea anterioară a ipotezei x 1(formula 4). În același timp, dovezi 1 nu a modificat probabilitatea ipotezei x 2, din moment ce puterea sa = 1 (formula 5).

În general, formula Bayes are următoarea formă:

X este o variabilă aleatoare (un set de ipoteze care se exclud reciproc) care ia valorile: x 1, x 2, … , Xn. la este o variabilă aleatorie (un set de evenimente care se exclud reciproc) care ia următoarele valori: 1, la 2, … , lan. Formula lui Bayes vă permite să găsiți probabilitatea posterioară a unei ipoteze Xi atunci când are loc un eveniment y j. Numătorul este produsul probabilității a priori a ipotezei Xi – P(xi) probabilitatea producerii unui eveniment y j dacă ipoteza este adevărată Xi – R(y j|xi). La numitor - suma produselor la același ca și la numărător, dar pentru toate ipotezele. Dacă calculăm numitorul, obținem probabilitatea totală a producerii evenimentului laj(dacă oricare dintre ipoteze este adevărată) - R(y j) (ca în formulele 1–3).

Încă o dată despre dovezi. Eveniment y j oferă informații suplimentare care vă permit să revizuiți probabilitatea anterioară a ipotezei Xi. Puterea probei - - contine in numarator probabilitatea producerii evenimentului y j dacă ipoteza este adevărată Xi. Numitorul este probabilitatea totală a producerii evenimentului laj(sau probabilitatea ca un eveniment să se producă laj media pentru toate ipotezele). laj mai sus pentru ipoteză Xi decât media pentru toate ipotezele, atunci dovezile joacă în mâinile ipotezei Xi, crescându-i probabilitatea posterioară R(y j|xi). Dacă probabilitatea producerii unui eveniment laj mai jos pentru ipoteză Xi decât media pentru toate ipotezele, atunci dovezile scade probabilitatea posterioară R(y j|xi) pentru ipoteze Xi. Dacă probabilitatea producerii unui eveniment laj pentru ipoteză Xi este aceeași cu media pentru toate ipotezele, atunci dovezile nu modifică probabilitatea posterioară R(y j|xi) pentru ipoteze Xi.

Iată câteva exemple care sper că vă vor consolida înțelegerea formulei Bayes.

Problema 2. Doi trăgători trag în mod independent în aceeași țintă, fiecare trăgând o lovitură. Probabilitatea de a lovi ținta pentru primul trăgător este de 0,8, pentru al doilea - 0,4. După împușcare, a fost găsită o gaură în țintă. Găsiți probabilitatea ca această gaură să aparțină primului trăgător. .

Sarcina 3. Obiectul monitorizat poate fi în una din două stări: H 1 = (funcționează) și H 2 = (nu funcționează). Probabilități a priori ale acestor stări Р(Н 1) = 0,7, Р(Н 2) = 0,3. Există două surse de informații care oferă informații contradictorii despre starea unui obiect; prima sursă raportează că obiectul nu funcționează, a doua - că funcționează. Se știe că prima sursă oferă informații corecte cu o probabilitate de 0,9, iar cu o probabilitate de 0,1 - eronată. A doua sursă este mai puțin de încredere: oferă informații corecte cu o probabilitate de 0,7 și cu o probabilitate de 0,3 - eronată. Aflați probabilitățile posterioare ale ipotezelor. .

Sarcinile 1–3 sunt preluate din manualul lui E.S. Ventzel, L.A. Ovcharov. Teoria probabilității și aplicațiile sale de inginerie, secțiunea 2.6 Teorema ipotezei (formula Bayes).

Problema 4 este preluată din carte, secțiunea 4.3 Teorema lui Bayes.

Obiectiv: să formeze abilități de rezolvare a problemelor din teoria probabilităților folosind formula probabilității totale și formula Bayes.

Formula probabilității totale

Probabilitatea evenimentului ȘI, care poate apărea numai dacă are loc unul dintre evenimentele incompatibile B x, B 2 ,..., B n, formarea unui grup complet este egală cu suma produselor probabilităților fiecăruia dintre aceste evenimente și probabilitatea condiționată corespunzătoare a evenimentului A:

Această formulă se numește formula probabilității totale.

Probabilitatea ipotezelor. Formula Bayes

Lasă evenimentul ȘI poate apărea dacă are loc unul dintre evenimentele incompatibile B b B 2 ,...,B p, formând un grup complet. Deoarece nu se știe dinainte care dintre aceste evenimente se va întâmpla, ele se numesc ipoteze. Probabilitatea apariției unui eveniment ȘI este determinată de formula probabilității totale:

Să presupunem că a fost efectuat un test, în urma căruia a avut loc un eveniment ȘI. Este necesar să se determine modul în care s-au schimbat (datorită faptului că evenimentul ȘI deja sosit) probabilităţi de ipoteze. Probabilitățile condiționate ale ipotezelor se găsesc prin formula

În această formulă, indicele / = 1,2

Această formulă se numește formula Bayes (după matematicianul englez care a derivat-o; publicată în 1764). Formula Bayes vă permite să reestimați probabilitățile ipotezelor după ce rezultatul testului devine cunoscut, în urma căruia a apărut evenimentul ȘI.

Sarcina 1. Instalația produce un anumit tip de piesă, fiecare piesă are un defect cu o probabilitate de 0,05. Piesa este inspectată de un inspector; detectează un defect cu o probabilitate de 0,97, iar dacă nu se constată niciun defect, trece piesa în produsul finit. În plus, inspectorul poate respinge din greșeală o piesă care nu prezintă un defect; probabilitatea acestui lucru este de 0,01. Aflați probabilitățile următoarelor evenimente: A - partea va fi respinsă; B - piesa va fi respinsă, dar în mod eronat; C - piesa va fi sarita la produsul finit cu un defect.

Decizie

Să notăm ipotezele:

H= (o parte standard va fi trimisă pentru inspecție);

H= (o piesă nestandard va fi trimisă pentru inspecție).

Eveniment A =(partea va fi respinsă).

Din starea problemei găsim probabilitățile

PH (A) = 0,01; Pfi(A) = 0,97.

Conform formulei probabilității totale, obținem

Probabilitatea ca o piesă să fie respinsă din greșeală este

Să găsim probabilitatea ca piesa să fie sărită în produsul finit cu un defect:

Răspuns:

Sarcina 2. Standardul produsului este verificat de unul dintre cei trei specialiști în mărfuri. Probabilitatea ca produsul să ajungă la primul comerciant este de 0,25, la al doilea - 0,26 și la al treilea - 0,49. Probabilitatea ca produsul să fie recunoscut ca standard de către primul comerciant este de 0,95, de al doilea - 0,98, de al treilea - 0,97. Găsiți probabilitatea ca produsul standard să fie verificat de al doilea inspector.

Decizie

Să notăm evenimentele:

L. =(produsul pentru verificare va merge la /-lea manager de mărfuri); / = 1, 2, 3;

B =(produsul va fi recunoscut ca standard).

În funcție de starea problemei, probabilitățile sunt cunoscute:

Cunoaștem și probabilitățile condiționate

Folosind formula Bayes, găsim probabilitatea ca produsul standard să fie verificat de al doilea controler:

Răspuns:„0,263.

O sarcină 3. Două mașini produc piese care merg la un transportor comun. Probabilitatea de a obține o piesă non-standard pe prima mașină este de 0,06, iar pe a doua - 0,09. Performanța celei de-a doua mașini este de două ori mai mare decât a primei. O piesă nestandard a fost luată de pe transportor. Găsiți probabilitatea ca această piesă să fie produsă de a doua mașină.

Decizie

Să notăm evenimentele:

A. =(piesa luată de pe linia de asamblare este produsă de mașina i-a); / = 1,2;

LA= (partea luată va fi nestandard).

Cunoaștem și probabilitățile condiționate

Folosind formula probabilității totale, găsim

Folosind formula Bayes, găsim probabilitatea ca partea nestandard luată să fie produsă de al doilea automat:

Răspuns: 0,75.

Sarcina 4. Este testat un dispozitiv, format din două noduri, a căror fiabilitate este de 0,8, respectiv 0,9. Nodurile eșuează independent unul de celălalt. Dispozitivul a eșuat. Găsiți, ținând cont de aceasta, probabilitățile ipotezelor:

• a) doar primul nod este defect;
• b) doar al doilea nod este defect;
• c) ambele noduri sunt defecte.

Decizie

Să notăm evenimentele:

D = (al 7-lea nod nu va eșua); i = 1,2;

D - evenimente opuse corespunzătoare;

ȘI= (în timpul testului, dispozitivul va eșua).

Din condiția problemei obținem: P(D) = 0,8; P(L 2) = 0,9.

Prin proprietatea probabilităților evenimentelor opuse

Eveniment ȘI este egală cu suma produselor evenimentelor independente

Folosind teorema de adunare pentru probabilitățile evenimentelor incompatibile și teorema de înmulțire a probabilităților de evenimente independente, obținem

Acum găsim probabilitățile ipotezelor:

Răspuns:

Sarcina 5.În fabrică, șuruburile sunt realizate pe trei mașini, care produc 25%, 30% și respectiv 45% din numărul total de șuruburi. În producția de mașini-unelte, defectul este respectiv de 4%, 3% și 2%. Care este probabilitatea ca un șurub, luat la întâmplare dintr-un produs primit, să fie defect?

Decizie

Să notăm evenimentele:

4 = (un șurub luat la întâmplare a fost făcut la i-a mașină); i = 1, 2, 3;

LA= (un șurub luat la întâmplare va fi defect).

Din condiția problemei, folosind formula clasică de probabilitate, găsim probabilitățile ipotezelor:

De asemenea, folosind formula clasică de probabilitate, găsim probabilitățile condiționate:

Folosind formula probabilității totale, găsim

Răspuns: 0,028.

Sarcina 6. Circuitul electronic aparține unuia dintre cele trei loturi cu o probabilitate de 0,25; 0,5 și 0,25. Probabilitatea ca circuitul să funcționeze dincolo de perioada de garanție pentru fiecare dintre părți, respectiv, este de 0,1; 0,2 și 0,4. Găsiți probabilitatea ca un circuit ales aleatoriu să funcționeze dincolo de perioada de garanție.

Decizie

Să notăm evenimentele:

4 = (schemă luată aleatoriu din jocul i-lea); i = 1, 2, 3;

LA= (un circuit luat la întâmplare va funcționa dincolo de perioada de garanție).

În funcție de starea problemei, probabilitățile ipotezelor sunt cunoscute:

Cunoaștem și probabilitățile condiționate:

Folosind formula probabilității totale, găsim

Răspuns: 0,225.

Sarcina 7. Dispozitivul conține două blocuri, funcționalitatea fiecăruia fiind necesară pentru funcționarea dispozitivului. Probabilitățile de funcționare fără defecțiuni pentru aceste blocuri sunt 0,99 și, respectiv, 0,97. Dispozitivul este defect. Determinați probabilitatea ca ambele unități să eșueze.

Decizie

Să notăm evenimentele:

D = (blocul z-lea va eșua); i = 1,2;

ȘI= (dispozitivul va eșua).

Din condiţia problemei, după proprietatea probabilităţilor de evenimente opuse, se obţine: DD) = 1-0,99 = 0,01; DD) = 1-0,97 = 0,03.

Eveniment ȘI apare numai atunci când cel puțin unul dintre evenimentele D sau A 2 . Prin urmare, acest eveniment este egal cu suma evenimentelor ȘI= D + ȘI 2 .

Prin teorema de adunare pentru probabilitățile evenimentelor comune, obținem

Folosind formula Bayes, găsim probabilitatea ca dispozitivul să se defecteze din cauza defecțiunii ambelor blocuri.

Răspuns:

Sarcini pentru soluție independentă Sarcina 1.În depozitul studioului de televiziune se află 70% din kinescoape fabricate de fabrica nr.1; Kinescoapele rămase au fost fabricate de fabrica nr. 2. Probabilitatea ca cinescopul să nu se defecteze în perioada de garanție este de 0,8 pentru kinescoapele din instalația nr. 1 și 0,7 pentru kinescoapele din instalația nr. 2. Kinescopul a rezistat perioadei de garanție. Aflați probabilitatea ca acesta să fi fost produs de planta numărul 2.

Sarcina 2. Piesele de la trei mașini automate vin la asamblare. Se știe că prima mașină dă 0,3% din defecte, a 2-a - 0,2%, a 3-a - 0,4%. Găsiți probabilitatea de primire a unei piese defecte pentru asamblare, dacă au fost primite 1000 de piese de la prima mașină, 2000 de la a 2-a și 2500 de piese de la a 3-a.

Sarcina 3. Două mașini produc piese identice. Probabilitatea ca o piesă produsă pe prima mașină să fie standard este de 0,8, iar pe a doua - 0,9. Performanța celei de-a doua mașini este de trei ori mai mare decât a primei. Găsiți probabilitatea ca piesa standard să fie luată la întâmplare de la transportor, care primește piese de la ambele mașini.

Sarcina 4.Șeful companiei a decis să apeleze la serviciile a două dintre cele trei companii de transport. Probabilitățile de livrare la timp a mărfurilor pentru prima, a doua și a treia firmă sunt de 0,05; 0,1 și 0,07. Comparând aceste date cu datele privind siguranța transportului de mărfuri, managerul a ajuns la concluzia că alegerea a fost echitabilă și a decis să o facă prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca marfa trimisă să fie livrată la timp.

Sarcina 5. Dispozitivul conține două blocuri, funcționalitatea fiecăruia fiind necesară pentru funcționarea dispozitivului. Probabilitățile de funcționare fără defecțiuni pentru aceste blocuri sunt 0,99 și, respectiv, 0,97. Dispozitivul este defect. Determinați probabilitatea ca a doua unitate să eșueze.

O sarcină 6. Atelierul de asamblare primește piese de la trei mașini. Prima mașină oferă 3% din căsătorie, a doua - 1% și a treia - 2%. Determinați probabilitatea ca o piesă nedefectă să intre în ansamblu dacă au fost primite 500, 200, 300 de piese de la fiecare mașină, respectiv.

Sarcina 7. Depozitul primește produsele a trei firme. În plus, producția primei firme este de 20%, a doua - 46% și a treia - 34%. De asemenea, se știe că procentul mediu de produse non-standard pentru prima firmă este de 5%, pentru a doua - 2% și pentru a treia - 1%. Găsiți probabilitatea ca un produs ales la întâmplare să fi fost produs de a doua companie dacă s-a dovedit a fi standard.

Sarcina 8. Căsătoria în producția plantei din cauza unui defect A este de 5%, iar dintre cele respinse pe baza de A produse în 10% din cazuri există un defect R.Și în produse fără defecte A, defect R apare în 1% din cazuri. Găsiți probabilitatea de a întâlni un defect Rîn toate produsele.

Sarcina 9. Compania are 10 mașini noi și 5 vechi care au fost anterior în reparație. Probabilitatea de funcționare corectă pentru o mașină nouă este de 0,94, pentru una veche - 0,91. Găsiți probabilitatea ca o mașină aleasă la întâmplare să funcționeze corect.

Sarcina 10. Doi senzori trimit semnale către un canal de comunicare comun, iar primul dintre ei trimite de două ori mai multe semnale decât al doilea. Probabilitatea de a primi un semnal distorsionat de la primul senzor este de 0,01, de la al doilea - 0,03. Care este probabilitatea de a primi un semnal distorsionat pe un canal de comunicare comun?

Sarcina 11. Există cinci loturi de produse: trei loturi de 8 bucăți, dintre care 6 standard și 2 non-standard, și două loturi de 10 bucăți, dintre care 7 standard și 3 non-standard. Unul dintre loturi este ales la întâmplare, iar din acest lot este luat un detaliu. Determinați probabilitatea ca piesa selectată să fie standard.

Sarcina 12. Asamblatorul primește, în medie, 50% din piese de la prima fabrică, 30% de la a doua fabrică și 20% de la a treia fabrică. Probabilitatea ca partea primei fabrici să fie de calitate excelentă este de 0,7; pentru părțile celei de-a doua și a treia plante, respectiv, 0,8 și, respectiv, 0,9. Participarea la întâmplare s-a dovedit a fi de o calitate excelentă. Aflați probabilitatea ca piesa să fie fabricată de prima fabrică.

Sarcina 13. Inspecția vamală a mașinilor este efectuată de doi inspectori. În medie, din 100 de mașini, 45 trec prin primul inspector. Probabilitatea ca în timpul inspecției un autoturism care respectă regulile vamale să nu fie reținut este de 0,95 pentru primul inspector și de 0,85 pentru al doilea. Găsiți probabilitatea ca o mașină care respectă regulile vamale să nu fie reținută.

Sarcina 14. Piesele necesare pentru asamblarea dispozitivului provin de la două mașini automate, a căror performanță este aceeași. Calculați probabilitatea ca o piesă standard să intre în ansamblu dacă unul dintre automate dă o medie de 3% încălcare a standardului, iar al doilea - 2%.

Sarcina 15. Antrenorul de haltere a calculat că pentru a primi credite de echipă în această categorie de greutate, un sportiv trebuie să împingă o mreană de 200 kg. Ivanov, Petrov și Sidorov își revendică un loc în echipă. Ivanov în timpul antrenamentului a încercat să ridice o astfel de greutate în 7 cazuri și a ridicat în 3 dintre ele. Petrov a ridicat de 6 ori din 13, iar Sidorov are 35% șanse de a manevra cu succes mreana. Antrenorul selectează aleatoriu un atlet pentru echipă.

• a) Aflați probabilitatea ca sportivul selectat să aducă puncte echipei.
• b) Echipa nu a primit niciun punct. Găsiți probabilitatea ca Sidorov să fi vorbit.

Sarcina 16.Într-o cutie albă sunt 12 bile roșii și 6 albastre. În negru - 15 bile roșii și 10 albastre. Aruncă un zar. Dacă numărul de puncte este un multiplu de 3, atunci o minge este luată aleatoriu din caseta albă. Dacă orice alt număr de puncte cade, atunci o minge este luată aleatoriu din caseta neagră. Care este probabilitatea ca o minge roșie să apară?

Sarcina 17. Două cutii conțin tuburi radio. Prima cutie conține 12 lămpi, dintre care 1 nu este standard; în a doua există 10 lămpi, dintre care 1 nu este standard. O lampă a fost luată la întâmplare din prima cutie și transferată în a doua. Găsiți probabilitatea ca o lampă extrasă la întâmplare din a doua casetă să nu fie standard.

Sarcina 18. O bilă albă este aruncată într-o urnă care conține două bile, după care o bilă este extrasă la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca bila extrasă să fie albă dacă toate ipotezele posibile despre compoziția inițială a bilelor (după culoare) sunt la fel de posibile.

Sarcina 19. O parte standard este aruncată într-o cutie care conține 3 părți identice, apoi o parte este extrasă la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca o piesă standard să fie desenată dacă toate presupunerile posibile despre numărul de piese standard din casetă sunt la fel de probabile.

Sarcina 20. Pentru a îmbunătăți calitatea comunicațiilor radio, sunt utilizate două receptoare radio. Probabilitatea de a primi un semnal de către fiecare receptor este de 0,8, iar aceste evenimente (recepția semnalului de către receptor) sunt independente. Determinați probabilitatea de a primi un semnal dacă probabilitatea de funcționare fără defecțiuni în timpul unei sesiuni de comunicații radio pentru fiecare receptor este de 0,9.

Universitatea de Stat din Siberia de Telecomunicații și Informatică

Catedra de Matematică Superioară

disciplina: „Teoria probabilității și statistica matematică”

„Formula probabilității totale și formula Bayes (Bayes) și aplicarea lor”

Efectuat:

Șef: profesorul B.P. Zelentsov

Novosibirsk, 2010

Introducere 3

1. Formula probabilității totale 4-5

2. Formula Bayes (Bayes) 5-6

3. Probleme cu soluțiile 7-11

4. Principalele domenii de aplicare ale formulei Bayes (Bayes) 11

Concluzia 12

Literatura 13

Introducere

Teoria probabilității este una dintre ramurile clasice ale matematicii. Are o istorie lungă. Bazele acestei ramuri a științei au fost puse de mari matematicieni. Voi numi, de exemplu, Fermat, Bernoulli, Pascal.
Mai târziu, dezvoltarea teoriei probabilităților a fost determinată în lucrările multor oameni de știință.
Oamenii de știință din țara noastră au adus o mare contribuție la teoria probabilității:
P.L. Cebyshev, A.M. Lyapunov, A.A. Markov, A.N. Kolmogorov. Metodele probabilistice și statistice sunt acum profund încorporate în aplicații. Sunt folosite în fizică, inginerie, economie, biologie și medicină. Rolul lor a crescut mai ales în legătură cu dezvoltarea tehnologiei informatice.

De exemplu, pentru a studia fenomene fizice, se fac observații sau experimente. Rezultatele lor sunt de obicei înregistrate ca valori ale unor cantități observate. La repetarea experimentelor, găsim o împrăștiere în rezultatele lor. De exemplu, repetând măsurătorile aceleiași cantități cu același dispozitiv în timp ce mențin anumite condiții (temperatură, umiditate etc.), obținem rezultate care diferă cel puțin ușor, dar totuși diferă unele de altele. Nici măcar măsurătorile multiple nu fac posibilă prezicerea cu precizie a rezultatului următoarei măsurători. În acest sens, se spune că rezultatul unei măsurători este o mărime aleatorie. Un exemplu și mai clar de variabilă aleatorie este numărul unui bilet de loterie câștigător. Pot fi date multe alte exemple de variabile aleatoare. Cu toate acestea, în lumea accidentelor se găsesc anumite tipare. Aparatul matematic pentru studierea unor astfel de regularități este asigurat de teoria probabilității.
Astfel, teoria probabilității se ocupă de analiza matematică a evenimentelor aleatoare și a variabilelor aleatoare asociate acestora.

1. Formula probabilității totale.

Să fie un grup de evenimente H 1 ,H 2 ,..., H n, care are următoarele proprietăți:

1) toate evenimentele sunt incompatibile perechi: Salut

2) unirea lor formează spațiul rezultatelor elementare W:

În acest caz, vom spune că H 1 , H 2 ,...,H n formă grup complet de evenimente. Astfel de evenimente sunt uneori numite ipoteze.

Lăsa ȘI-un eveniment: ȘIÌW (diagrama Venn prezentată în Figura 8). Apoi există formula probabilitatii totale:

P(A) = P(A/H 1)P(H 1) + P(A/H 2)P(H 2) + ...+P(A/H n)P(H n) =

Dovada. Evident: A=

P(A) = P(

Avand in vedere ca prin teorema inmultirii P(

Exemplu. Magazinul vinde lămpi electrice produse de trei fabrici, cu ponderea primei fabrici - 30%, a doua - 50%, a treia - 20%. Căsătoria în produsele lor este de 5%, 3% și respectiv 2%. Care este probabilitatea ca o lampă aleasă aleatoriu într-un magazin să fie defectă?

Lasă evenimentul H 1 este că lampa selectată este produsă în prima fabrică, H 2 pe al doilea H 3 - la a treia plantă. Evident:

P(H 1) = 3/10, P(H 2) = 5/10, P(H 3) = 2/10.

Lasă evenimentul ȘI constă în faptul că lampa selectată s-a dovedit a fi defectă; A/H iînseamnă un eveniment constând în faptul că o lampă defectă este selectată dintre lămpile fabricate la i a-a fabrică. Din starea problemei rezultă:

P (A/ H 1) = 5/10; P(A/ H 2) = 3/10; P(A/ H 3) = 2/10

Conform formulei probabilității totale, obținem

2. Formula Bayes (Bayes)

Lăsa H 1 ,H 2 ,...,H n- grup complet de evenimente și ȘIÌ W este un eveniment. Apoi conform formulei probabilității condiționate

Aici P(H k/A) este probabilitatea condiționată a evenimentului (ipoteză) H k sau probabilitatea ca H k este implementat cu condiția ca evenimentul ȘI a avut loc.

Conform teoremei înmulțirii probabilităților, numărătorul cu formula (1) poate fi reprezentat ca

P = P = P(A/H k)P(H k)

Pentru a reprezenta numitorul formulei (1), se poate folosi formula probabilității totale

P(A)

Acum din (1) se poate obține o formulă numită Formula Bayes:

Prin formula Bayes se calculează probabilitatea de realizare a ipotezei H k cu condiția ca evenimentul ȘI a avut loc. Se mai numește și formula Bayes formula probabilității ipotezei. Probabilitate P(H k) se numește probabilitatea anterioară a ipotezei H k, și probabilitatea P(H k/A) este probabilitatea posterioară.

Teorema. Probabilitatea unei ipoteze după testare este egală cu produsul probabilității ipotezei înainte de testare la probabilitatea condiționată corespunzătoare a evenimentului care a avut loc în timpul testului, împărțit la probabilitatea totală a acestui eveniment.

Exemplu. Luați în considerare problema de mai sus despre lămpile electrice, schimbați doar întrebarea problemei. Lăsați cumpărătorul să cumpere o lampă electrică în acest magazin și s-a dovedit a fi defectă. Găsiți probabilitatea ca această lampă să fie fabricată la a doua fabrică. Valoare P(H 2) = 0,5 în acest caz, aceasta este probabilitatea a priori a evenimentului ca lampa achiziționată să fie fabricată la a doua fabrică. După ce am primit informații că lampa achiziționată este defectă, ne putem corecta estimarea posibilității de a produce această lampă la a doua fabrică prin calculul probabilității posterioare a acestui eveniment.

Să scriem formula Bayes pentru acest caz

Din această formulă obținem: P(H 2 /A) = 15/34. După cum se poate observa, informațiile obținute au condus la faptul că probabilitatea evenimentului care ne interesează este mai mică decât probabilitatea a priori.

3. Probleme cu soluții.

Sarcina 1. Magazinul a primit produse noi de la trei întreprinderi. Compoziția procentuală a acestor produse este următoarea: 20% - produse ale primei întreprinderi, 30% - produse ale celei de-a doua întreprinderi, 50% - produse ale celei de-a treia întreprinderi; în continuare, 10% din produsele primei întreprinderi de cel mai înalt grad, la a doua întreprindere - 5% și la a treia - 20% din produsele de cel mai înalt grad. Găsiți probabilitatea ca un produs nou achiziționat aleatoriu să fie de cea mai bună calitate.

Decizie. Notează prin LAîn cazul în care un produs premium va fi achiziționat, prin

Putem aplica formula probabilității totale și în notația noastră:

Înlocuind aceste valori în formula probabilității totale, obținem probabilitatea necesară:

Sarcina 2. Unul dintre cei trei trăgători este chemat pe linia de foc și trage două focuri. Probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură pentru primul trăgător este de 0,3, pentru al doilea - 0,5; pentru al treilea - 0,8. Ținta nu este lovită. Găsiți probabilitatea ca focurile să fi fost trase de primul trăgător.

semnal și zgomot. De ce unele predicții se adeveresc și altele nu Silver Nate

Matematica simplă a teoremei lui Bayes

Dacă bazele filozofice ale teoremei lui Bayes sunt surprinzător de profunde, atunci matematica ei este uimitor de simplă. În forma sa de bază, aceasta este doar o expresie algebrică cu trei variabile cunoscute și una necunoscută. Cu toate acestea, această formulă simplă poate duce la perspective în predicții.

Teorema lui Bayes este direct legată de probabilitatea condiționată. Cu alte cuvinte, vă permite să calculați probabilitatea unei teorii sau ipoteze, dacă se va întâmpla vreun eveniment. Imaginează-ți că locuiești cu un partener și, după ce te întorci acasă dintr-o călătorie de afaceri, găsești o pereche de lenjerie necunoscută în garderoba ta. Poate te întrebi: care este probabilitatea ca partenerul tău să te înșele? Condiție este că vei găsi lenjerie intimă; ipoteză este că sunteți interesat să evaluați probabilitatea de a fi înșelat. Credeți sau nu, teorema lui Bayes vă poate oferi răspunsul la acest tip de întrebare, cu condiția să cunoașteți (sau să fiți dispus să apreciați) trei calități.

În primul rând, trebuie să evaluați probabilitatea apariției lenjeriei. ca o condiție pentru corectitudinea ipotezei - adică cu condiţia să te schimbi.

Pentru a rezolva această problemă, să presupunem că ești femeie și partenerul tău este bărbat, iar subiectul disputei este o pereche de chiloți. Dacă te înșală, este ușor să-ți imaginezi cum ar putea intra chiloții altora în garderoba ta. Dar, chiar dacă (sau chiar mai ales dacă) te înșală, te poți aștepta să fie destul de atent. Să presupunem că există 50% șanse ca chiloții să apară dacă te înșală.

În al doilea rând, trebuie să evaluați probabilitatea apariției lenjeriei cu condiția ca ipoteza să fie falsă.

Dacă soțul tău nu te înșală, trebuie să existe și alte explicații mai inocente pentru apariția chiloților în garderoba ta. Unele dintre ele pot fi destul de neplăcute (de exemplu, ar putea fi proprii lui chiloți). Este posibil ca bagajul lui să fi fost confundat din greșeală cu al altcuiva. Este posibil ca, dintr-un motiv oarecare, unele dintre prietenele tale, în care ai încredere, să fi petrecut destul de inocent noaptea în casa lui. Chiloții ar fi putut fi un cadou pentru tine pe care a uitat să-l împacheteze. Niciuna dintre aceste teorii nu este lipsită de defecte, deși uneori explicațiile „câinele mi-a mâncat temele” se dovedesc a fi adevărate. Estimați probabilitatea lor combinată la 5%.

Al treilea și cel mai important lucru de care aveți nevoie este ceea ce numesc bayesienii probabilitate anterioară(sau pur și simplu a priori). Cum ai evaluat probabilitatea trădării lui inainte de asta Cum ai găsit lenjeria intimă? Bineînțeles, îți este greu să menții acum o evaluare obiectivă, după ce acești chiloți au apărut în câmpul tău vizual (ideal este să estimi această probabilitate înainte de a începe să studiezi dovezile). Dar uneori este posibil să se estimeze probabilitatea unor astfel de evenimente în mod empiric. De exemplu, o serie de studii au arătat că, în orice an aleatoriu, aproximativ 4% dintre partenerii căsătoriți își înșală soții (570), așa că vom lua această cifră ca probabilitate a priori.

Dacă ați estimat toate aceste valori, atunci puteți aplica teorema lui Bayes pentru a estima probabilitate posterioară. În această cifră ne interesează cel mai mult - cât de probabil este să fim înșelați, cu condiția să găsim lenjeria altcuiva?

Calculul și o formulă algebrică simplă care permite efectuarea acestuia sunt date în tabel. 8.2.

Tabelul 8.2. Un exemplu de calcul al probabilității de trădare conform teoremei lui Bayes

Se pare că probabilitatea de trădare este încă destul de mică - 29%. Acest lucru poate părea contraintuitiv: chiloții nu sunt dovezi suficient de puternice? Poate că acest rezultat se datorează faptului că ai folosit o valoare a priori prea mică a probabilității trădării lui.

Deși o persoană nevinovată poate avea mult mai puține explicații rezonabile pentru apariția chiloților decât o persoană vinovată, ați presupus inițial că sunt nevinovate, iar acest lucru a avut un impact mare asupra rezultatului ecuației.

Când suntem a priori siguri de ceva, putem fi remarcabil de flexibili chiar dacă apar noi dovezi. Unul dintre exemplele clasice de astfel de situații este depistarea cancerului de sân la femeile de peste 40 de ani. Din fericire, șansa ca o femeie de peste 40 de ani să dezvolte cancer de sân este destul de scăzută, la aproximativ 1,4% (571). Cu toate acestea, care este probabilitatea unui rezultat pozitiv la mamografia ei?

Cercetările arată că, chiar dacă o femeie are Nu cancer, mamografia își va arăta în mod eronat prezența în 10% din cazuri (572). Pe de altă parte, dacă are cancer, o mamografie îl va detecta în aproximativ 75% din timp (573). După ce ați văzut aceste statistici, puteți decide că un rezultat pozitiv al mamografiei înseamnă că lucrurile stau foarte rău. Cu toate acestea, calculul bayesian folosind aceste cifre duce la o concluzie diferită: probabilitatea de a avea cancer de sân la o femeie de peste 40 de ani. cu condiția să aibă o mamografie pozitivă, este încă în jur de 10%. În acest caz, acest rezultat al calculului ecuației se datorează faptului că destul de multe femei tinere au cancer de sân. Acesta este motivul pentru care mulți clinicieni recomandă femeilor să nu înceapă mamografii regulate până la vârsta de 50 de ani, după care probabilitatea a priori de cancer de sân crește semnificativ (574).

Problemele de acest fel sunt, fără îndoială, complexe. În timpul unui sondaj recent privind alfabetizarea statistică americană, li s-a dat acest exemplu de cancer de sân. Și s-a dovedit că doar 3% dintre ei au putut să calculeze corect valorile probabilității (575). Uneori, încetinind puțin și încercând să vizualizăm problema (așa cum se arată în Figura 8.2), putem verifica cu ușurință realitatea aproximărilor noastre imprecise. Vizualizarea ne ajută să vedem mai ușor imaginea de ansamblu – întrucât cancerul de sân este extrem de rar la femeile tinere, simplul fapt al unui rezultat pozitiv al mamografiei nu înseamnă nimic.

Orez. 8.2. Reprezentarea grafică a datelor de intrare pentru teorema lui Bayes pe exemplul unei mamografii

Cu toate acestea, de obicei avem tendința de a ne concentra pe cele mai recente sau pe cele mai disponibile informații, iar imaginea de ansamblu începe să se piardă. Jucători inteligenți precum Bob Voulgaris au învățat să exploateze cu pricepere aceste defecte în gândirea noastră. Voulgaris a făcut un pariu bun pe Lakers, în parte, deoarece casele de pariuri au exagerat primele jocuri cu Lakers și au schimbat cotele pentru echipa care a câștigat titlul de la 4-1 la 65-1.Totuși, echipa a jucat de fapt la fel de bine ca un echipa bună ar putea.în cazul unei accidentări a unuia dintre jucătorii săi vedete. Teorema lui Bayes ne cere să ne gândim mai atent la acest tip de probleme. Poate fi extrem de util pentru identificarea cazurilor în care aproximările noastre instinctive sunt prea aspre.

Dar nu vreau să spun că așteptările noastre a priori domină întotdeauna noi dovezi sau că teorema lui Bayes duce întotdeauna la rezultate aparent ilogice. Uneori, noi dovezi sunt atât de semnificative pentru noi încât depășesc orice altceva și putem aproape instantaneu să ne răzgândim și să devenim complet încrezători într-un eveniment despre care credeam că este aproape zero.

Să luăm un exemplu mai întunecat, atacurile din 11 septembrie. Cei mai mulți dintre noi, trezindu-ne în acea zi dimineața, am atribuit practic zero probabilitate ca teroriștii să prăbușească avioanele în zgârie-nori din Manhattan. Cu toate acestea, am recunoscut posibilitatea clară a unui atac terorist după ce primul avion s-a prăbușit în World Trade Center. Și nu mai avem nicio îndoială că am fost atacați după ce avionul s-a prăbușit în al doilea turn. Teorema lui Bayes este capabilă să afișeze acest rezultat.

Să spunem că înainte ca primul avion să lovească turnul, calculele noastre privind probabilitatea unui atac terorist asupra clădirilor înalte din Manhattan erau doar 1 șansă la 20 de mii, sau 0,005%. Totuși, a trebuit să luăm în considerare și probabilitatea unei situații în care avionul s-ar fi ciocnit din greșeală de turnul World Trade Center ca fiind destul de scăzută. Această cifră poate fi calculată empiric. În cele 25.000 de zile dinaintea evenimentelor din 11 septembrie, în care s-au efectuat zboruri peste Manhattan, au existat doar două astfel de cazuri (576): o coliziune cu Empire State Building în 1945 și cu un turn la 40 Wall Street, în 1946. Prin urmare, posibilitatea unui astfel de incident era de aproximativ 1 șansă la 12.500 în orice zi întâmplătoare. Dacă aceste cifre sunt calculate folosind teorema lui Bayes (Tabelul 8.3a), atunci probabilitatea unui atac terorist a crescut de la 0,005 la 38% în momentul în care primul avion a lovit clădirea.

Tabelul 8.3a.

Cu toate acestea, ideea din spatele teoremei lui Bayes este că nu ne ajustăm calculele de probabilitate doar o singură dată. Facem asta tot timpul pe măsură ce apar noi dovezi. Astfel, probabilitatea noastră ulterioară a unui atac terorist după ciocnirea primului avion, egală cu 38%, devine a priori posibilitatea unei coliziuni cu al doilea.

Și dacă recalculezi după ce al doilea avion a lovit turnul World Trade Center, vei vedea că probabilitatea de 99,99% a unui atac terorist este înlocuită de o aproape certitudine a acestui eveniment. Un accident într-o zi strălucitoare însorită din New York a fost extrem de puțin probabil, dar al doilea era aproape imposibil să nu se întâmple (Tabelul 8.3b), așa cum ne-am dat seama brusc și cu mare groază.

Tabelul 8.3b. Un exemplu de calcul al probabilității unui atac terorist folosind teorema lui Bayes

Am ales în mod deliberat cazuri destul de dificile ca exemple - atacuri teroriste, cancer, adulter - pentru că vreau să demonstrez amploarea problemelor la care se poate aplica gândirea bayesiană. Teorema lui Bayes nu este o formulă magică. Cea mai simplă formulă, pe care o prezentăm în această carte, utilizează operații aritmetice simple pentru adunare, scădere, împărțire și înmulțire. Dar pentru ca acesta să ne dea un rezultat util, trebuie să îi furnizăm informații, în special calculele noastre ale probabilităților anterioare.

Totuși, teorema lui Bayes ne obligă să ne gândim la probabilitatea ca evenimentele să aibă loc în lume, chiar și atunci când este vorba de chestiuni pe care nu am dori să le considerăm ca o manifestare a întâmplării. Nu ne cere să percepem lumea ca în interior, metafizic nedeterminat: Laplace credea că totul, de la orbitele planetelor până la mișcarea celor mai mici molecule, era guvernat de reguli newtoniene ordonate. Cu toate acestea, el a jucat un rol important în dezvoltarea teoremei lui Bayes. Mai degrabă, se poate spune că această teoremă este legată de epistemologică incertitudinea - limitele cunoștințelor noastre.

Aritmetică simplă (Rusia și CSI) Y. Byaly 18 noiembrie - O scindare în Consiliul Suprem al Belarusului: 75 de deputați au semnat o cerere de demitere a lui Lukașenka, iar 80 de deputați și-au declarat loialitatea față de cursul președintelui. - În semn de dezacord cu cursul, Lukașenka și-a dat demisia

MATEMATICĂ INFERIOR Denis Tukmakov Am stat la stația de autobuz așteptând autobuzul și am încercat în zadar să înțeleg paragraful din manualul de matematică superioară pe care ni s-a cerut astăzi. Citeam ceva despre valorile sinusului când am auzit întrebarea: „Scuzați-mă, cine este autorul acestui tutorial?” EU SUNT