(Atenție la secțiunea suplimentară din 06/04/2017 de la sfârșitul articolului.)

Contabilitate si control! Cei peste 40 de ani ar trebui să-și amintească bine acest slogan din epoca construirii socialismului și comunismului în țara noastră.

Dar fără o contabilitate bine stabilită este imposibilă funcționarea eficientă fie a țării, fie a regiunii, fie a întreprinderii, fie a gospodăriei în orice formațiune socio-economică a societății! Pentru întocmirea previziunilor și planurilor de activitate și dezvoltare sunt necesare date inițiale. Unde sa le duci? Unul singur de încredere sursa este ta datele contabile statistice ale perioadelor anterioare.

Pentru a ține cont de rezultatele activităților lor, de a colecta și de a înregistra informații, de a procesa și analiza date, de a aplica rezultatele analizei pentru a lua deciziile corecte în viitor, înțeleg, fiecare persoană sănătoasă ar trebui. Nu este altceva decât acumulare și utilizare rațională a lui experienta de viata. Dacă nu păstrați o evidență a datelor importante, atunci dvs anumită perioadă le vei uita în timp și, începând din nou să te ocupi de aceste probleme, vei face din nou aceleași greșeli pe care le-ai făcut când te-ai ocupat prima dată de asta.

„Îmi amintesc că acum 5 ani făceam până la 1000 de bucăți din astfel de produse pe lună, iar acum abia putem colecta chiar și 700!” Deschidem statisticile și vedem că acum 5 ani, nici 500 de piese nu s-au făcut...

„Cât costă un kilometru din mașina ta, ținând cont toate cheltuieli?" Deschidem statistici - 6 ruble / km. O călătorie la serviciu - 107 ruble. Mai ieftin decât un taxi (180 de ruble) de mai mult de o dată și jumătate. Și au fost momente când un taxi era mai ieftin...

„Cât timp durează fabricarea structurilor metalice pentru un turn de comunicații de colț înalt de 50 m?” Deschidem statisticile - și în 5 minute răspunsul este gata...

„Cât va costa renovarea unei camere într-un apartament?” Credem vechi recorduri, facem o ajustare pentru inflație din ultimii ani, luăm în considerare că ultima dată am cumpărat materiale cu 10% mai ieftin decât prețul pieței și - știm deja costul estimat...

Păstrarea înregistrărilor dvs activitate profesională, vei fi mereu gata să răspunzi la întrebarea șefului: „Când!!!???”. Păstrarea evidenței gospodăriei face mai ușor să planificați achiziții majore, vacanțe și alte cheltuieli în viitor, luând măsurile adecvate pentru a câștiga bani suplimentari sau pentru a reduce cheltuielile neesențiale astăzi.

În acest articol, voi folosi un exemplu simplu pentru a arăta cum datele statistice colectate pot fi procesate în Excel pentru a fi utilizate în continuare în prognoza perioadelor viitoare.

Aproximarea în Excel a datelor statistice printr-o funcție analitică.

Locul de producție produce structuri metalice de construcție din tablă și produse metalice profilate. Site-ul funcționează stabil, comenzile sunt de același tip, numărul de muncitori fluctuează ușor. Există date despre producția de produse din ultimele 12 luni și despre cantitatea de metal laminat prelucrat în aceste perioade de timp pe grupe: table, grinzi în I, canale, colțuri, țevi rotunde, secțiuni dreptunghiulare, produse laminate rotunde. După o analiză preliminară a datelor inițiale, a apărut o presupunere că producția totală lunară a structurilor metalice depinde în mod semnificativ de numărul de unghiuri din comenzi. Să verificăm această presupunere.

În primul rând, câteva cuvinte despre aproximare. Vom căuta o lege - o funcție analitică, adică o funcție dat de ecuaţie, care descrie mai bine decât altele dependența producției totale a structurilor metalice de numărul de bare unghiulare în ordinele finalizate. Aceasta este aproximarea, iar ecuația găsită se numește funcție de aproximare pentru funcția originală, dată sub forma unui tabel.

1. Pornim Excel și plasăm pe foaie un tabel cu date statistice.

2. Apoi, construim și formatăm un grafic de dispersie, în care setăm valorile argumentului de-a lungul axei X - numărul de colțuri procesate în tone. Pe axa Y, trasăm valorile funcției inițiale - producția totală de structuri metalice pe lună, dată de tabel.

3. „Pasați” mouse-ul peste oricare dintre punctele de pe diagramă și faceți clic dreapta pentru a apela meniul contextual (cum spune unul dintre bunii mei prieteni, când lucrați într-un program necunoscut, când nu știți ce să faceți, corect -click mai des...). În meniul derulant, selectați „Adăugați o linie de tendință...”.

4. În fereastra „Trend line” care apare, în fila „Type”, selectați „Liniar”.

6. O linie dreaptă a apărut pe grafic, aproximând dependența noastră tabelară.

Pe lângă linia în sine, vedem ecuația acestei linii și, cel mai important, vedem valoarea parametrului R 2 - mărimea fiabilității aproximării! Cu cât valoarea sa este mai aproape de 1, cu atât funcția selectată aproximează mai precis datele tabelare!

7. Construim linii de tendință folosind aproximări de putere, logaritmice, exponențiale și polinomiale în același mod în care am construit o linie de tendință liniară.

Polinomul de gradul doi, cel mai bun dintre toate funcțiile selectate, aproximează datele noastre, are coeficientul maxim de fiabilitate R 2 .

Cu toate acestea, vreau să vă avertizez! Dacă luați polinoame de grade mai mari, probabil veți obține rezultate și mai bune, dar curbele vor părea complicate... Este important să înțelegem aici că căutăm o funcție care are sens fizic. Ce inseamna asta? Aceasta înseamnă că avem nevoie de o funcție de aproximare care să dea rezultate adecvate nu numai în intervalul considerat al valorilor X, ci și dincolo de acesta, adică va răspunde la întrebarea: „Care va fi rezultatul structurilor metalice dacă numărul de unghiurile procesate pe lună este mai mică de 45 și mai mult de 168 de tone! Prin urmare, nu recomand să vă lăsați dus de polinoame de grad înalt și să alegeți cu grijă o parabolă (polinom de gradul doi)!

Așadar, trebuie să alegem o funcție care nu numai că interpolează datele tabelare bine în intervalul de valori X = 45 ... 168, dar permite și extrapolarea adecvată în afara acestui interval. Eu aleg în acest caz o funcție logaritmică, deși puteți alege una liniară, ca fiind cea mai simplă. În exemplul luat în considerare, atunci când alegeți o aproximare liniară în excel, erorile vor fi mai mari decât atunci când alegeți una logaritmică, dar nu cu mult.

8. Eliminam toate liniile de tendință din câmpul grafic, cu excepția funcției logaritmice. Pentru a face acest lucru, faceți clic dreapta pe liniile inutile și selectați „Ștergeți” în meniul contextual derulant.

9. În cele din urmă, adăugăm bare de eroare la punctele de date tabelare. Pentru a face acest lucru, faceți clic dreapta pe oricare dintre punctele din diagramă și selectați „Format serie de date...” în meniul contextual și configurați datele în fila „Y-erori” așa cum se arată în figura de mai jos.

10. Apoi facem clic dreapta pe oricare dintre liniile de intervale de eroare, selectăm „Format de bare de eroare...” în meniul contextual și în fereastra „Format de bare de eroare” din fila „Vizualizare”, ajustați culoarea și grosimea a liniilor.

Orice alte obiecte diagramă sunt formatate în același mod.excela!

Rezultatul final al diagramei este prezentat în următoarea captură de ecran.

Rezultate.

Rezultatul tuturor acțiunilor anterioare a fost formula rezultată pentru funcția de aproximare y=-172,01*ln (x)+1188,2. Cunoscând acest lucru și numărul de colțuri din setul lunar de lucrări, este posibil cu un grad ridicat de probabilitate (± 4% - vezi barele de eroare) să preziceți producția totală de structuri metalice pentru luna! De exemplu, dacă există 140 de tone de unghiuri în planul lunar, atunci producția totală, toate celelalte lucruri fiind egale, va fi cel mai probabil 338 ± 14 tone.

Pentru a crește fiabilitatea aproximării, ar trebui să existe o mulțime de date statistice. Douăsprezece perechi de valori nu sunt suficiente.

Din practică voi spune că găsirea unei funcții de aproximare cu un coeficient de fiabilitate R 2 >0,87 ar trebui considerată un rezultat bun. Rezultat excelent - la R2 >0,94.

În practică, poate fi dificil să evidențiem un factor determinant cel mai important (în exemplul nostru, masa de colțuri reciclate într-o lună), dar dacă încerci, îl poți găsi întotdeauna în fiecare sarcină specifică! Desigur, producția totală pe lună depinde într-adevăr de sute de factori, care necesită costuri semnificative ale forței de muncă ale stabilitorilor de tarife și alți specialiști de luat în considerare. Doar rezultatul va fi în continuare aproximativ! Deci, merită să suportăm costul atunci când există modelare matematică mult mai ieftină!

În acest articol, am atins doar vârful aisbergului numit colectarea, prelucrarea și utilizarea practică a datelor statistice. Fie ca am reusit sau nu, iti trezesc interesul pentru acest subiect, sper sa invat din comentariile si ratingul articolului din motoarele de cautare.

Problema atinsă a aproximării funcției unei variabile are o largă aplicație practică în diferite sfere ale vieții. Dar rezolvarea problemei de aproximare a funcției are o aplicație mult mai mare mai multe independente variabile.... Citiți despre acest lucru și multe altele în următoarele articole de blog.

Abonati-va la anunţuri de articole în fereastra situată la sfârşitul fiecărui articol sau în fereastra din partea de sus a paginii.

Nu uita a confirma abonament făcând clic pe link într-o scrisoare care vă va veni la e-mailul specificat (poate veni într-un folder « Spam » )!!!

Voi citi cu interes comentariile voastre, dragi cititori! Scrie!

P.S. (06.04.2017)

Înlocuire frumoasă foarte precisă a datelor tabelare cu o ecuație simplă.

Nu sunteți mulțumit de precizia de aproximare obținută (R 2<0,95) или вид и набор функций, предлагаемые MS Excel?

Dimensiunile expresiei și forma liniei polinomului de grad înalt aproximativ nu sunt plăcute ochiului?

Consultați pagina " " pentru un rezultat mai precis și mai compact al potrivirii datelor dvs. tabelare și pentru a învăța o tehnică simplă de rezolvare a problemelor de aproximare de înaltă precizie printr-o funcție a unei variabile.

La utilizarea algoritmului de acțiuni propus, s-a găsit o funcție foarte compactă care oferă cea mai mare acuratețe de aproximare: R 2 =0,9963!!!

Aproximarea funcției neliniare

x 0 /12 /6 /4 /3 5/12 /2

y 0,5 0,483 0,433 0,354 0,25 0,129 0

Deoarece intervalul de împărțire a funcției este egal, calculăm următorii coeficienți de pantă ai secțiunilor corespunzătoare ale funcției care se aproximează:

1. Blocuri de construcție pentru formarea segmentelor funcției de aproximare

Formarea funcției timp

Interval de schimbare:

Timp de repornire ciclic: T = 1s

Acum să modelăm funcția:

Apropiere

Figura 3.1 - Schema de rezolvare a ecuației

Figura 3.2 - Diagrama bloc a formării unei funcții neliniare

Astfel, partea stângă a ecuației se formează automat. În acest caz, se consideră convențional că cea mai mare derivată x// este cunoscută, deoarece membrii părții drepte a ecuației sunt cunoscuți și pot fi conectați la intrările Y1 (Figura 3.1). Amplificatorul operațional U3 acționează ca un invertor de semnal +x. Pentru a simula x//, este necesar să se introducă încă un amplificator subsumator în circuit, la ale cărui intrări este necesar să se aplice semnale care simulează partea dreaptă a ecuației (3.2).

Scalele tuturor variabilelor sunt calculate, ținând cont de faptul că valoarea maximă a variabilei mașinii din spatele valorii absolute este de 10 V:

Mx = 10 / xmax; Mx/ = 10 / x/max; Mx// = 10 / x //max;

My = 10 / ymax. (3,3)

Scala de timp este Mt = T / tmax = 1, deoarece simularea problemei se realizează în timp real.

Coeficienții de transmisie sunt calculați pentru fiecare intrare a amplificatoarelor integratoare.

Pentru amplificatorul U1, coeficienții de transfer sunt în spatele formulelor:

K11 = Mx/b/(MyMt); K12 = Mx/ a2 / (MxMt);

K13 = Mx/ a1 / (MxMt). (3,4)

Pentru amplificatorul U2:

K21 = Mx/ / (Mx/ Mt), (3,5)

și pentru amplificatorul U3:

K31 = 1. (3,6)

Tensiunile condițiilor inițiale se calculează folosind formulele:

ux/ (0) = Mx/ x/ (0) (-1); ux(0)= Mxx(0) (+1). (3,7)

Partea dreaptă a ecuației (3.2) este reprezentată de o funcție neliniară, care este dată prin aproximare liniară. În acest caz, este necesar să se verifice dacă eroarea de aproximare nu depășește valoarea specificată. Diagrama bloc a formării unei funcții neliniare este prezentată în Figura 3.2.

Descrierea schemei de circuit

Unitatea de generare a funcției de timp (F) este realizată sub forma unuia (pentru a forma t) sau a două amplificatoare integratoare conectate în serie (pentru forma t2) cu condiții inițiale zero.

În acest caz, când semnalul U este aplicat la intrarea primului integrator, la ieșirea acestuia obținem:

u1(t)= - K11 = - K11Et. (3,8)

Fixând K11E=1, avem u1(t)= t.

La ieșirea celui de-al doilea integrator obținem:

u2(t)= K21 = K11K21Et2 / 2 (3,9)

Setând K11K21E/2 = 1, avem u2(t)= t2.

Blocurile pentru formarea segmentelor funcției de aproximare sunt implementate sub formă de blocuri de diode de funcții neliniare (DBNF), a căror valoare de intrare este o funcție a timpului t sau t2. Procedura pentru calcularea și construirea DBNF este dată în.

Sumatorul (SAD) de segmente ale funcției de aproximare este implementat ca un amplificator final diferenţial.

Condițiile inițiale pentru integratorii circuitului de modelare sunt introduse folosind un nod cu structură variabilă (Figura 3.3). Această schemă poate funcționa în două moduri:

a) integrare - cu poziţia cheii K în poziţia 1. În acest caz, semnalul iniţial al circuitului este descris cu suficientă acurateţe prin ecuaţia unui integrator ideal:

u1(t)= - (1 / RC) . (3,10)

Acest mod este utilizat la modelarea unei sarcini. Pentru a verifica corectitudinea alegerii parametrilor R și C ai integratorului, se verifică valoarea tensiunii inițiale a integratorului în funcție de timp și timpul de integrare util în cadrul erorii admisibile?

Valoarea tensiunii inițiale a integratorului

U(t)= - KYE (1 - e - T / [(Ky+1)RC) (3.11)

în timpul de simulare T la integrarea semnalului de intrare E folosind un amplificator operațional cu câștig Ky fără buclă de feedback, nu trebuie să depășească valoarea variabilei mașinii (10 V).

Timp de integrare

Esti \u003d 2RC (Ku + 1)? Uadd (3.12)

pentru parametrii circuitului selectat nu trebuie să fie mai mici decât timpul de simulare T.

b) setarea condițiilor inițiale este implementată atunci când cheia K este pusă în poziția 2. Acest mod este utilizat la pregătirea circuitului de modelare pentru procesul de soluție. În acest caz, semnalul inițial al circuitului este descris de ecuația:

u0(t)= - (R2 /R1) E (3.13)

unde u0(t) este valoarea condițiilor inițiale.

Pentru a reduce timpul de formare a condițiilor inițiale și pentru a asigura funcționarea fiabilă, parametrii circuitului trebuie să satisfacă condiția: R1C1 = R2C.

Construiți o schemă completă de calcul. În acest caz, trebuie utilizate convențiile prezentate în subsecțiunea 3.1.

Folosind capacitatea datelor de intrare și sursă, construiți diagramele schematice ale blocurilor B1 și B2 și conectați-le la blocul PC.

Fie, ca rezultat al măsurătorilor în cursul experimentului, se obține o atribuire tabelară a unei anumite funcții f(x), exprimând relația dintre doi parametri geografici:

Desigur, este posibil să găsim o formulă care să exprime această dependență analitic prin aplicarea metodei interpolării. Cu toate acestea, coincidența valorilor specificației analitice obținute a funcției la nodurile de interpolare cu datele empirice disponibile adesea poate să nu însemne deloc coincidența comportamentului funcțiilor originale și de interpolare pe întregul interval de observare. În plus, dependența tabelară a indicatorilor geografici se obține întotdeauna ca urmare a măsurătorilor efectuate de diverse instrumente care au o eroare de măsurare certă și nu întotdeauna suficient de mică. Cerința ca valorile funcțiilor de aproximare și de aproximare la noduri să coincidă exact este cu atât mai nejustificată dacă valorile funcției f(x), obţinute în urma măsurătorilor sunt ele însele aproximative.

Sarcina de a aproxima de la bun început o funcție a unei variabile ia în considerare în mod necesar natura comportamentului funcției originale pe întreg intervalul de observație. Formularea sarcinii este următoarea. Funcţie y= f(x) dat de tabelul (1). Este necesar să găsiți o funcție de un anumit tip:

care este la puncte x 1 , x 2 , …, x n ia valori cât mai apropiate de tabel y 1 , y 2 , …, y n .

În practică, tipul funcției de aproximare este cel mai adesea determinat prin compararea tipului de diagramă aproximativă a funcției y= f(x) cu grafice ale funcțiilor cunoscute de cercetător, date analitic (cel mai adesea funcții elementare simple ca formă). Și anume, conform tabelului (1), se construiește un grafic de dispersie f(x), apoi se trasează o curbă netedă, reflectând cât mai bine posibil natura locației punctelor. După curba astfel obţinută, forma funcţiei de aproximare se stabileşte la nivel calitativ.

Luați în considerare figura 6.

Figura 6 prezintă trei situații:

• Pe graficul (a) relația Xși la aproape de liniar; linia dreaptă aici este aproape de punctele de observație, iar acestea din urmă se abat de la ea doar ca urmare a unor influențe aleatoare relativ mici.
• Pe graficul (b) relația reală dintre valori Xși la este descrisă de o funcție neliniară și indiferent de ce linie dreaptă tragem, abaterea punctelor de observație de la aceasta va fi semnificativă și nealeatorie. În același timp, ramura desenată a parabolei reflectă destul de bine natura relației dintre cantități.
• În graficul (c), există o relație clară între variabile Xși la dispărut; indiferent de alegerea formulei relației, rezultatele parametrizării acesteia nu vor avea succes aici. În special, ambele linii alese sunt la fel de proaste pentru a trage concluzii despre valorile așteptate ale variabilei la prin valori variabile X.

Trebuie remarcat faptul că o dependență funcțională strictă pentru tabelul de date inițiale este rar observată, deoarece fiecare dintre cantitățile care participă la acesta poate depinde de mulți factori aleatori. Cu toate acestea, formula (2) (se numește formula empirică sau ecuația de regresie la pe X) este interesant deoarece vă permite să găsiți valorile funcției f pentru valori non-tabel X, „netezind” rezultatele măsurătorilor cantității la, adică pe tot parcursul intervalului de schimbare X. Justificarea unei astfel de abordări este determinată în cele din urmă de utilitatea practică a formulei rezultate.

Prin „norul” de puncte existent, puteți încerca oricând să trasați o linie de tipul stabilit, care este cea mai bună, într-un anumit sens, dintre toate liniile de acest tip, adică cea mai „apropiată” de punctele de observare din acestea. totalitate. Pentru a face acest lucru, definim mai întâi conceptul de apropiere a unei linii de un anumit set de puncte din plan. Măsurile unei astfel de apropiere pot fi diferite. Cu toate acestea, orice măsură rezonabilă trebuie să fie legată în mod evident de distanța de la punctele de observare la linia în cauză (data de ecuație y=F(x)).

Să presupunem că funcția de aproximare F(x) la puncte x 1, x 2, ..., x n materie y 1 , y 2 , ..., y n. Adesea, minimul sumei diferențelor pătrate ale observațiilor variabilei dependente este utilizat ca criteriu de apropiere. y euși valori teoretice calculate prin ecuația de regresie y i. Aici se consideră că y euși x i sunt date observaționale cunoscute și F- ecuația dreptei de regresie cu parametri necunoscuți (formulele pentru calculul acestora vor fi date mai jos). Metoda de estimare a parametrilor funcției de aproximare, care minimizează suma abaterilor pătrate a observațiilor variabilei dependente de la valorile funcției dorite, se numește cel mai puţin pătrate (LSM) sau Metoda celor mai mici pătrate (LS).

Deci, problema aproximării funcției f poate fi formulat acum astfel: pentru funcţia f dat de tabelul (1), găsiți funcția F de o anumită formă astfel încât suma pătratelor Ф să fie cea mai mică.

Luați în considerare o metodă pentru a găsi o funcție de aproximare în vedere generala pe exemplul unei funcții de aproximare cu trei parametri:

(3)

Lăsa F(x i , a, b, c) = y i , i=1, 2, ..., n. Suma diferențelor pătrate ale valorilor corespunzătoare fși F va arata ca:

Această sumă este o funcție a lui F (a, b, c) trei variabile (parametri a, bși c). Problema este să-i găsești minimul. Folosim condiția extremum necesară:

Obținem un sistem pentru determinarea parametrilor necunoscuți a, b, c.

(5)

După ce am rezolvat acest sistem de trei ecuații cu trei necunoscute în raport cu parametrii a, b, c, obținem forma specifică a funcției dorite F(x, a, b, c). După cum se poate observa din exemplul luat în considerare, o modificare a numărului de parametri nu va duce la o denaturare a esenței abordării în sine, ci va fi exprimată doar printr-o modificare a numărului de ecuații din sistemul (5).

Este firesc să ne așteptăm ca valorile găsite să funcționeze F(x, a, b, c) la puncte x 1, x 2, ..., x n, va diferi de valorile din tabel y 1 , y 2 , ..., y n. Valori de diferență y i -F(x i ,a, b, c)=e i (i=1, 2, ..., n) se numesc abateri ale valorii măsurate y din cele calculate prin formula (3). Pentru formula empirică găsită (2), în conformitate cu tabelul original (1), se poate găsi, așadar

suma abaterilor pătrate, care, în conformitate cu metoda celor mai mici pătrate, pentru un anumit tip de funcție de aproximare (și valorile parametrilor găsite) ar trebui să fie cea mai mică. Dintre două aproximări diferite ale aceleiași funcții de tabel, urmând metoda celor mai mici pătrate, cea mai bună trebuie considerată cea pentru care suma (4) are cea mai mică valoare.

În practica experimentală, ca funcții de aproximare, în funcție de natura graficului de dispersie f funcțiile de aproximare cu doi parametri sunt adesea folosite:

Evident, atunci când se stabilește forma funcției de aproximare, problema se reduce doar la găsirea valorilor parametrilor.

Să luăm în considerare cele mai comune dependențe empirice în cercetarea practică.

3.3.1. Funcție liniară (regresie liniară). Punctul de plecare pentru analiza dependenței este de obicei evaluarea dependenței liniare a variabilelor. Trebuie avut în vedere însă că „cea mai bună” linie dreaptă după metoda celor mai mici pătrate există întotdeauna, dar nici cea mai bună nu este întotdeauna suficient de bună. Daca in realitate dependenta y=f(x) este pătratică, atunci nicio funcție liniară nu o poate descrie în mod adecvat, deși printre toate astfel de funcții există neapărat cea „mai bună”. Dacă cantitățile Xși la neînrudit deloc, putem găsi întotdeauna cea mai bună funcție liniară y=ax+b pentru un set dat de observații, dar în acest caz, valori specifice Ași b sunt determinate numai de abateri aleatorii ale variabilelor și vor varia foarte mult pentru diferite eșantioane din aceeași populație generală.

Să considerăm acum problema estimării coeficienților de regresie liniară mai formal. Să presupunem că relația dintre Xși y este liniară și funcția de aproximare dorită va fi căutată sub forma:

Să găsim derivatele parțiale în raport cu parametrii:

Să substituim relațiile obținute în sistemul de forma (5):

sau, împărțind fiecare ecuație la n:

Să introducem notația:

(7)

Apoi sistemul final va arăta astfel:

(8)

Coeficienții acestui sistem Mx, My, Mxy, Mx2 sunt numere care în fiecare problemă specifică de aproximare pot fi calculate cu ușurință folosind formulele (7), unde x i, y i- valorile din tabelul (1). Rezolvând sistemul (8), obținem valorile parametrilor Ași b, și, în consecință, forma specifică a funcției liniare (6).

O condiție necesară pentru alegerea unei funcții liniare ca formulă empirică dorită este raportul:

3.3.2. Funcția pătratică (regresie pătratică). Vom căuta o funcție de aproximare sub forma unui trinom pătrat:

Găsim derivate parțiale:

Să compunem un sistem de forma (5):

După transformări simple, se obține un sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute a, b, c. Coeficienții sistemului, ca și în cazul unei funcții liniare, sunt exprimați numai prin datele cunoscute din tabelul (1):

(10)

Aici se folosește notația (7), precum și

Soluția sistemului (10) dă valoarea parametrilor a, bși Cu pentru funcţia de aproximare (9).

Regresia pătratică se aplică dacă toate expresiile formei y 2 -2y 1 + y 0 , y 3 -2 y 2 + y 1 , y 4 -2 y 3 + y 2 etc. putin diferiti unul de altul.

3.3.3. Funcția de putere (regresie geometrică). Acum să găsim funcția de aproximare sub forma:

(11)

Presupunând că în tabelul original (1) valorile argumentului și valoarea funcției sunt pozitive, luăm logaritmul egalității (11) cu condiția a>0:

Din moment ce funcţia F este o aproximare a funcției f, funcție lnF va fi aproximativ pentru funcție lnf. Să introducem o nouă variabilă u=lnx; apoi, după cum urmează din (12), lnF va fi o funcție a u: Ф(u).

Denota

Acum egalitatea (12) ia forma:

acestea. problema s-a redus la găsirea unei funcții de aproximare sub forma uneia liniare. În practică, pentru a găsi funcția de aproximare dorită sub forma unei funcții de putere (în ipotezele făcute mai sus), este necesar să faceți următoarele:

1. conform acestui tabel (1), creați un nou tabel luând logaritmul valorilor Xși yîn tabelul original;

2. conform noului tabel, găsiți parametrii DARși LA funcția de aproximare a formei (14);

3. Folosind notația (13), găsiți valorile parametrilor Ași mși înlocuiți-le în expresia (11).

O condiție necesară pentru a alege o funcție de putere ca formulă empirică dorită este raportul:

3.3.4. Functie exponentiala . Fie ca tabelul inițial (1) să fie astfel încât este recomandabil să se caute funcția de aproximare sub forma unei funcții exponențiale:

Să luăm logaritmul egalității (15):

(16)

După ce am adoptat notația (13), rescriem (16) sub forma:

(17)

Astfel, pentru a găsi funcția de aproximare în forma (15), este necesar să luăm logaritmul valorilor funcției din tabelul original (1) și, considerându-le împreună cu valorile inițiale ale argumentului, să construiți o funcție de aproximare a formei (17) pentru noul tabel. În continuare, în conformitate cu notația (13), rămâne să obțineți valorile parametrilor doriti Ași bși înlocuiți-le în formula (15).

O condiție necesară pentru alegerea unei funcții exponențiale ca formulă empirică dorită este raportul:

.

3.3.5. Funcție liniară fracțională. Vom căuta o funcție de aproximare sub forma:

(18)

Egalitatea (18) poate fi rescrisă după cum urmează:

Din ultima egalitate rezultă că pentru a găsi valorile parametrilor Ași b conform tabelului dat (1), este necesar să se creeze un nou tabel, în care valorile argumentului rămân aceleași, iar valorile funcției sunt înlocuite cu reciproce, după care, pentru tabelul rezultat, găsiți un funcţia de aproximare a formei topor+b. S-au găsit valori ale parametrilor Ași bînlocuiți în formula (18).

O condiție necesară pentru alegerea unei funcții liniar-fracționale ca formulă empirică dorită este relația:

.

3.3.6. Funcția logaritmică. Fie ca funcția de aproximare să arate astfel:

Este ușor de observat că pentru a trece la o funcție liniară este suficient să facem înlocuirea lnx=u. De aici rezultă că pentru a găsi valorile Ași b este necesar să se ia logaritmul valorilor argumentului din tabelul original (1) și, luând în considerare valorile obținute împreună cu valorile inițiale ale funcției, să se găsească o funcție de aproximare sub formă de una liniară pentru noul tabel astfel obţinut. Cote Ași b a funcției găsite, înlocuiți-o în formula (19).

O condiție necesară pentru alegerea unei funcții logaritmice ca formulă empirică dorită este raportul:

.

3.3.7. Hiperbolă. Dacă diagrama de dispersie, construită conform tabelului (1), dă o ramură a hiperbolei, funcția de aproximare poate fi căutată sub formă.

Dintre diferitele metode de prognoză, este imposibil să nu evidențiem aproximarea. Cu ajutorul acestuia, puteți face calcule aproximative și calcula indicatorii planificați prin înlocuirea obiectelor originale cu altele mai simple. În Excel, există și posibilitatea utilizării acestei metode pentru prognoză și analiză. Să ne uităm la modul în care această metodă poate fi aplicată în programul specificat cu instrumente încorporate.

Denumirea acestei metode provine de la cuvânt latin proxima - „cel mai apropiat” Este aproximarea prin simplificarea și netezirea indicatorilor cunoscuți, aliniindu-i într-o tendință care stă la baza acesteia. Dar aceasta metoda poate fi folosit nu numai pentru prognoză, ci și pentru studiul rezultatelor existente. La urma urmei, aproximarea este, de fapt, o simplificare a datelor inițiale, iar versiunea simplificată este mai ușor de studiat.

Instrumentul principal cu care se realizează netezirea în Excel este construirea unei linii de tendințe. Concluzia este că, pe baza indicatorilor existenți, se completează graficul funcției pentru perioadele viitoare. Scopul principal al liniei de tendință, după cum ați putea ghici, este realizarea de prognoze sau identificarea unei tendințe generale.

Dar poate fi construit folosind unul dintre cele cinci tipuri de aproximare:

• Liniar;
• exponențial;
• logaritmică;
• polinom;
• Putere.

Să luăm în considerare fiecare dintre opțiuni mai detaliat separat.

Metoda 1: Netezirea liniară

În primul rând, să luăm în considerare cea mai simplă versiune de aproximare, și anume utilizarea unei funcții liniare. Ne vom opri mai detaliat asupra ei, deoarece vom enunța punctele generale caracteristice altor metode, și anume, trasarea și alte câteva nuanțe, asupra cărora nu ne vom opri atunci când luăm în considerare opțiunile ulterioare.

În primul rând, să construim un grafic, pe baza căruia vom efectua procedura de netezire. Pentru a construi un grafic, să luăm un tabel în care costul unei unități de producție produsă de întreprindere și profitul corespunzător într-o anumită perioadă sunt indicate lunar. Funcția grafică, pe care o vom construi, va afișa dependența unei creșteri a profitului de o scădere a costului de producție.

Netezirea utilizată în acest caz este descrisă de următoarea formulă:

În cazul nostru particular, formula ia următoarea formă:

y=-0,1156x+72,255

Valoarea fiabilității aproximării este egală cu 0,9418 , care este un rezultat destul de acceptabil care caracterizează netezirea ca fiind fiabilă.

Metoda 2: Aproximarea exponențială

Acum să ne uităm la tipul exponențial de aproximare în Excel.

Forma generală a funcției de netezire este următoarea:

Unde e este baza logaritmul natural.

În cazul nostru particular, formula a luat următoarea formă:

y=6282,7*e^(-0,012*x)

Metoda 3: netezire logaritmică

Acum este rândul să luăm în considerare metoda de aproximare logaritmică.

În general, formula de netezire arată astfel:

Unde ln este logaritmul natural. De aici și numele metodei.

În cazul nostru, formula are următoarea formă:

y=-62,81 ln(x)+404,96

Metoda 4: Netezirea polinomului

A sosit momentul să luăm în considerare metoda de netezire polinomială.

Formula care descrie acest tip de netezire a luat următoarea formă:

y=8E-08x^6-0,0003x^5+0,3725x^4-269,33x^3+109525x^2-2E+07x+2E+09

Metoda 5: netezirea puterii

În concluzie, luați în considerare metoda de aproximare a puterii în Excel.

Această metodă este utilizată în mod eficient în cazurile de modificare intensă a datelor funcției. Este important de reținut că această opțiune este aplicabilă numai dacă funcția și argumentul nu iau valori negative sau zero.

Formula generală care descrie această metodă este următoarea:

În cazul nostru particular, arată astfel:

y = 6E+18x^(-6,512)

După cum puteți vedea, atunci când folosim datele specifice pe care le-am folosit pentru exemplu, metoda de aproximare polinomială cu un polinom de gradul șase a arătat cel mai înalt nivel de fiabilitate ( 0,9844 ), cel mai scăzut nivel de încredere în metoda liniara (0,9418 ). Dar asta nu înseamnă deloc că aceeași tendință va fi atunci când se folosesc alte exemple. Nu, nivelul de eficiență al metodelor de mai sus poate varia semnificativ, în funcție de tipul specific de funcție pentru care va fi construită linia de tendință. Prin urmare, dacă metoda selectată este cea mai eficientă pentru această funcție, asta nu înseamnă deloc că va fi optimă și în altă situație.

Dacă nu puteți determina imediat, pe baza recomandărilor de mai sus, ce tip de aproximare este potrivit special pentru cazul dvs., atunci este logic să încercați toate metodele. După ce ai trasat linia de tendință și ai vizualizat nivelul de încredere, poți alege cea mai bună opțiune.

Este adesea necesar să existe expresii analitice pentru caracteristicile curent-tensiune ale elementelor neliniare. Aceste expresii pot reprezenta doar aproximativ CVC, deoarece legile fizice care guvernează relația dintre tensiuni și curenți în dispozitivele neliniare nu sunt exprimate analitic.

Sarcina unei reprezentări analitice aproximative a unei funcții, dată grafic sau printr-un tabel de valori, în limitele date de modificare a argumentului acesteia (variabilă independentă) se numește aproximare. În acest caz, în primul rând, se alege funcția de aproximare, adică funcția cu care este reprezentată aproximativ dependența dată și, în al doilea rând, alegerea criteriului de apreciere a „proximității” acestei dependențe și a funcției de aproximare. aceasta.

Ca funcții de aproximare, de cele mai multe ori se folosesc polinoame algebrice, unele funcții raționale fracționale, exponențiale și transcendentale sau un set de funcții liniare (segmente drepte).

Presupunem că CVC-ul unui element neliniar i= distracție (tu) dat grafic, adică definit în fiecare punct al intervalului Umin≤și≤U max,și este o funcție continuă cu o singură valoare a variabilei și. Atunci problema reprezentării analitice a caracteristicii curent-tensiune poate fi considerată ca o problemă de aproximare funcţie datăξ(х) prin funcția de aproximare aleasă f(X).

Pe proximitatea aproximării f(X) și aproximativ ξ( X) sau, cu alte cuvinte, eroarea de aproximare, este de obicei judecată după cea mai mare valoare absolută a diferenței dintre aceste funcții în intervalul de aproximare A≤ X≤ b, adică în mărime

∆=max‌‌│ f(X)- ξ( X)│

Adesea, criteriul de proximitate este ales ca valoare pătrată medie a diferenței dintre funcțiile indicate în intervalul de aproximare.

Uneori, în apropierea a două funcții f( X) și ξ( X) înțelegeți coincidența în punct dat

x= Ho funcţiile în sine şi P+ 1 dintre derivatele lor.

Cea mai obișnuită modalitate de a aproxima o funcție analitică la una dată este interpolare(metoda punctelor alese) când funcțiile f( X) și ξ( X) în punctele selectate (la relele interpolării) X k , k= 0, 1, 2, ..., P.

Eroarea de aproximare poate fi realizată cu cât este mai mică, cu atât este mai mare numărul de parametri variabili incluși în funcția de aproximare, adică, de exemplu, cu atât este mai mare gradul polinomului de aproximare sau cu atât este mai mare numărul de segmente de linie care conține funcția de aproximare liniar întreruptă. . În același timp, firesc, volumul calculelor crește, atât în ​​rezolvarea problemei de aproximare, cât și în analiza ulterioară a circuitului neliniar. Simplitatea acestei analize, împreună cu caracteristicile funcției aproximate în intervalul de aproximare, este unul dintre cele mai importante criterii în alegerea tipului funcției de aproximare.

În problemele de aproximare a caracteristicilor curent-tensiune ale dispozitivelor electronice și semiconductoare, de obicei nu este necesar să se depună eforturi pentru o acuratețe ridicată a reproducerii lor, de regulă, datorită unei răspândiri semnificative a caracteristicilor dispozitivelor de la probă la probă și o influența semnificativă a factorilor destabilizatori asupra acestora, de exemplu, temperatura în dispozitivele semiconductoare. În cele mai multe cazuri, este suficient să reproduci „corect” caracterul mediu general al dependenței i= f(u) în intervalul său de lucru. Pentru a putea calcula analitic circuite cu elemente neliniare este necesar să existe expresii matematice pentru caracteristicile elementelor. Aceste caracteristici în sine sunt de obicei experimentale, de exemplu. obținute ca urmare a măsurătorilor elementelor corespunzătoare, iar apoi datele de referință (tipice) sunt formate pe această bază. Procedura pentru descrierea matematică a unei anumite funcții în matematică se numește o aproximare a acestei funcții. Există o serie de tipuri de aproximări: prin puncte selectate, de Taylor, de Cebyshev etc. În cele din urmă, este necesar să se obțină o expresie matematică care, cu anumite cerințe date, să satisfacă funcția de aproximare inițială.

Considera cel mai simplu mod: metoda punctelor sau nodurilor selectate de interpolare polinomială de putere.

Este necesar să se determine coeficienții polinomului. Pentru aceasta, selectați (n+1) puncte pe o funcție dată și un sistem de ecuații este compilat:

Din acest sistem se găsesc coeficienții a 0 , a 1 , a 2 , …, a n.

La punctele selectate, funcția de aproximare va coincide cu cea originală, în alte puncte va diferi (puternic sau nu - depinde de polinomul de putere).

Puteți folosi un polinom exponențial:

A doua metoda: Metoda de aproximare Taylor . În acest caz, este selectat un punct în care funcția inițială va coincide cu cea de aproximare, dar este setată o condiție suplimentară, astfel încât și derivatele să coincidă în acest punct.

Aproximația Butterworth: se alege cel mai simplu polinom:

În acest caz, puteți determina abaterea maximă ε la capetele intervalului.

Aproximare după Cebyshev: este o lege de putere, stabilește o potrivire în mai multe puncte și minimizează abaterea maximă a funcției de aproximare față de cea inițială. În teoria aproximării funcțiilor, se demonstrează că cea mai mare abatere absolută a polinomului f(X) grad P din functie continua ξ( X) va fi minim posibil dacă în intervalul de aproximare A≤ X≤ b diferență

f( X) - ξ( X) nu mai puțin decât n + 2 ori își ia maximul limită alternantă succesiv f(X) - ξ( X) = L > 0 și cel mai mic f(X) - ξ( X) = -L valori (criteriul lui Cebyshev).

În multe probleme aplicate, se utilizează aproximarea polinomială prin criteriul de proximitate rădăcină-media pătrată, când parametrii funcției de aproximare f(X) se aleg din condiţia minimizării în intervalul de aproximare A≤ X≤ b abaterea funcției la pătrat f(X) unei funcții continue date ξ( X), adică din condiția:

Λ= 1/b-a∫ a [ f(X)- ξ( X)] 2 dx= min. (7)

În conformitate cu regulile de găsire a extremelor, soluția problemei se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare, care se formează ca urmare a echivalării la zero a primelor derivate parțiale ale funcției. Λ pentru fiecare dintre coeficienții solicitați un k polinom de aproximare f(X), adică ecuații

dΛ ∕da 0=0; dΛ ∕da 1=0; dΛ ∕da 2=0, . . . , dΛ ∕da n=0. (8)

Se dovedește că acest sistem de ecuații are și o soluție unică. În cele mai simple cazuri, se găsește analitic, iar în cazul general, numeric.

Cebyshev a stabilit că următoarea egalitate ar trebui să fie valabilă pentru abaterile maxime:

În practica inginerească, așa-numita aproximare liniară pe bucăți este o descriere a unei curbe date prin segmente de linii drepte.

În fiecare dintre secțiunile liniarizate ale caracteristicii curent-tensiune, toate metodele de analiză a oscilațiilor în liniară circuite electrice. Este clar că decât Mai mult secțiuni liniarizate, caracteristica curent-tensiune dată este împărțită, cu atât poate fi aproximată mai precis și cu atât este mai mare cantitatea de calcule în timpul analizei oscilațiilor din circuit.

În multe probleme aplicate de analiză a oscilațiilor în circuite rezistive neliniare, caracteristica aproximativă volt-amper în intervalul de aproximare este reprezentată cu suficientă precizie prin două sau trei segmente de linie dreaptă.

O astfel de aproximare a caracteristicilor curent-tensiune oferă în majoritatea cazurilor rezultate destul de satisfăcătoare ale analizei oscilațiilor într-un circuit rezistiv neliniar cu efecte de magnitudine „mică” asupra elementului neliniar, adică atunci când valorile instantanee ale curenţii din elementul neliniar se modifică în limitele maxime admisibile de la eu= 0 la eu = eu max