Grafik usul. Koordinata tekisligi (x;y)

Parametrli tenglamalar jiddiy mantiqiy qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi. Har bir bunday tenglama mohiyatan tenglamalar oilasining qisqartmasi hisoblanadi. Ko'rinib turibdiki, cheksiz oiladan har bir tenglamani yozib bo'lmaydi, lekin shunga qaramay, ularning har biri echilishi kerak. Buning eng oson yo'li o'zgaruvchining parametrga bog'liqligini grafik ko'rsatishdir.

Tekislikda funktsiya parametrga qarab egri chiziqlar oilasini belgilaydi. Bizni tekislikning qanday o'zgarishi oilaning boshqa egri chiziqlariga o'tish uchun ishlatilishi mumkinligi bilan qiziqamiz (qarang, , , , , , ).

Parallel uzatish

Misol. Har bir parametr qiymati uchun tenglamaning yechimlari sonini aniqlang.

Yechim. Funktsiyaning grafigini tuzamiz.

O'ylab ko'ring. Bu chiziq x o'qiga parallel.

Javob. Agar, unda hech qanday yechim yo'q;

agar, u holda 3 ta yechim;

agar, u holda 2 ta yechim;

agar, 4 ta yechim.

Buriling

Darhol shuni ta'kidlash kerakki, egri chiziqlar oilasini tanlash bir xil emas (muammolarning o'zidan farqli o'laroq), aniqrog'i, bu bir xil: barcha muammolarda - to'g'ri chiziqlar. Bundan tashqari, aylanish markazi chiziqqa tegishli.

Misol. Parametrning qaysi qiymatlari uchun tenglama yagona yechimga ega?

Yechim. Funktsiyani ko'rib chiqaylik va. Ikkinchi funktsiyaning grafigi koordinatalari va radiusi =1 bo'lgan nuqtada markazlashtirilgan yarim doiradir (2-rasm).

AB yoyi.

OA va OB oʻrtasida oʻtuvchi barcha nurlar bir nuqtada, OB va OM esa bir nuqtada (tangens) kesishadi. OA va OB burchak koeffitsientlari mos ravishda teng. Nishab tangens teng. Tizimdan osongina topiladi

Shunday qilib, to'g'ridan-to'g'ri oilalar yoy bilan faqat bitta umumiy nuqtaga ega.

Javob. .

Misol. Qaysi tenglamaning yechimi bor?

Yechim. Keling, funktsiyani ko'rib chiqaylik. Uni monotonlik uchun tekshirib ko'ramiz, u intervalda ortib boradi va pasayadi. Nuqta - bu maksimal nuqta.

Funktsiya nuqtadan o'tuvchi chiziqlar turkumidir. 2-rasmga murojaat qilamiz.Funksiya grafigi AB yoyi. OA va OB chiziqlari orasida bo'ladigan chiziqlar muammoning shartini qondiradi. OA to'g'ri chiziqning qiyalik koeffitsienti son, OB esa .

Javob. Tenglama 1 ta yechimga ega bo'lganda;

parametrning boshqa qiymatlari uchun hech qanday yechim yo'q.

Gomotetika. To'g'ri chiziqqa siqish

Misol. Parametrning barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun tenglama aniq 8 ta echimga ega.

Yechim. Bizda ... bor. Keling, funktsiyani ko'rib chiqaylik. Ulardan birinchisi koordinatalari bo'lgan nuqtada markazlashgan yarim doiralar turkumini, ikkinchisi x o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlar turkumini belgilaydi.

Yarim doira radiusi kattaroq va kichikroq bo'lsa, ildizlar soni 8 raqamiga to'g'ri keladi, ya'ni. borligiga e'tibor bering.

Javob. yoki.

Grafik usul. Koordinata tekisligi (x;a)

Umuman olganda, tenglamalar, parametrni o'z ichiga olgan, hech qanday aniq, uslubiy mo'ljallangan yechim tizimi bilan ta'minlanmagan. Parametrning ushbu yoki boshqa qiymatlarini teginish, sanash, ko'p sonli oraliq tenglamalarni echish orqali izlash kerak. Bunday yondashuv har doim ham tenglama yechimlari bo'lmagan, bir, ikki yoki undan ortiq yechimga ega bo'lgan parametrning barcha qiymatlarini topishda muvaffaqiyatni ta'minlamaydi. Ko'pincha, ba'zi parametr qiymatlari yo'qoladi yoki qo'shimcha qiymatlar paydo bo'ladi. Ularning ikkinchisi uchun maxsus tadqiqot o'tkazish kerak, bu juda qiyin bo'lishi mumkin.

Parametrli tenglamalarni yechish ishini soddalashtiradigan usulni ko'rib chiqing. Usul quyidagicha

1. O‘zgaruvchili tenglamadan x va parametr a parametrni funksiyasi sifatida ifodalang x: .

2. Koordinata tekisligida x O a funksiya grafigini tuzing.

3. Chiziqlarni ko'rib chiqing va O o'qining ushbu intervallarini tanlang a, bu chiziqlar quyidagi shartlarni qanoatlantiradi: a) funksiya grafigini kesmaydi, b) funksiya grafigini bir nuqtada, v) ikki nuqtada, d) uch nuqtada va hokazo.

4. Agar vazifa qiymatlarni topish bo'lsa x, keyin ifodalaymiz x orqali a qiymatning har bir topilgan intervallari uchun a alohida.

Parametrning teng o'zgaruvchi sifatida ko'rinishi aks ettirilgan grafik usullar. Shunday qilib, koordinata tekisligi mavjud. Koordinata tekisligining harflar bilan an'anaviy belgilanishini rad etish kabi ahamiyatsiz tafsilot ko'rinadi. x va y birini belgilaydi eng yaxshi amaliyotlar parametrlar bilan bog'liq muammolarni hal qilish.

Ta'riflangan usul juda aniq. Bundan tashqari, algebra kursining deyarli barcha asosiy tushunchalari va tahlilning boshlanishi unda qo'llaniladi. Funktsiyani o'rganish bilan bog'liq bilimlarning butun majmuasi ishtirok etadi: ekstremum nuqtalarni aniqlash uchun hosilani qo'llash, funktsiya chegarasini topish, asimptotalar va boshqalar.. va boshqalar (qarang, , ).

Misol. Parametrning qaysi qiymatlarida tenglamaning ikkita ildizi bormi?

Yechim. Biz ekvivalent tizimga o'tamiz

Grafik shuni ko'rsatadiki, agar tenglama 2 ta ildizga ega bo'lsa.

Javob. Tenglama ikkita ildizga ega bo'lganda.

Misol. Har biri uchun tenglama faqat ikkita turli ildizga ega bo'lgan barcha raqamlar to'plamini toping.

Yechim. Ushbu tenglamani quyidagi ko'rinishda qayta yozamiz:

Endi buni o'tkazib yubormaslik muhim va - faqat dastlabki tenglamaning ildizlari berilgan. Grafikni koordinata tekisligida qurish qulayroq ekanligiga e'tibor qarataylik. 5-rasmda kerakli grafik qattiq chiziqlarning birlashuvidir. Bu erda javob vertikal chiziqlar bilan "o'qiladi".

Javob. At, yoki, yoki.

Koordinatalarga nisbatan birinchi darajali har qanday tenglama x, y, z

Ax + By + Cz + D = 0 (3.1)

tekislikni belgilaydi va aksincha: har qanday tekislikni (3.1) tenglama bilan ifodalash mumkin, bu deyiladi. tekislik tenglamasi.

Vektor n(A, B, C) tekislikka ortogonal deyiladi normal vektor samolyotlar. (3.1) tenglamada A, B, C koeffitsientlari bir vaqtning o'zida 0 ga teng emas.

Maxsus holatlar tenglamalar (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - tekislik koordinatadan o'tadi.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - tekislik Oz o'qiga parallel.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - tekislik Oz o'qi orqali o'tadi.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - tekislik Oyz tekisligiga parallel.

Koordinatali tekislik tenglamalari: x = 0, y = 0, z = 0.

Kosmosda to'g'ri chiziq berilishi mumkin:

1) ikkita tekislikning kesishish chizig'i sifatida, ya'ni. tenglamalar tizimi:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) uning ikkita nuqtasi M 1 (x 1, y 1, z 1) va M 2 (x 2, y 2, z 2), u holda ular orqali o'tadigan to'g'ri chiziq tenglamalar bilan beriladi:

= ; (3.3)

3) unga tegishli M 1 (x 1, y 1, z 1) nuqta va vektor. a(m, n, p), s kollinear. Keyin to'g'ri chiziq tenglamalar bilan aniqlanadi:

. (3.4)

(3.4) tenglamalar chaqiriladi chiziqning kanonik tenglamalari.

Vektor a chaqirdi to'g'ri yo'naltiruvchi vektor.

(3.4) munosabatlarning har birini t parametri bilan tenglashtirib, parametriklarni olamiz:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + pt. (3.5)

Yechish tizimi (3.2) tizim sifatida chiziqli tenglamalar nisbatan noma'lum x va y, biz to'g'ri chiziq tenglamalariga kelamiz prognozlar yoki uchun qisqartirilgan to'g'ri chiziq tenglamalari:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

(3.6) tenglamalardan kanonik tenglamalarga o'tish, topish mumkin z Har bir tenglamadan va olingan qiymatlarni tenglashtirish:

Umumiy tenglamalardan (3.2) kanonik tenglamalarga boshqa yo'l bilan o'tish mumkin, agar bu chiziqning biron bir nuqtasi va uning yo'nalishi topilsa. n= [n 1 , n 2], qaerda n 1 (A 1, B 1, C 1) va n 2 (A 2, B 2, C 2) - berilgan tekisliklarning normal vektorlari. Agar maxrajlardan biri bo'lsa m, n yoki R(3.4) tenglamalarda nolga teng bo'lib chiqadi, keyin mos keladigan kasrning numeratori nolga teng bo'lishi kerak, ya'ni. tizimi

tizimga tengdir ; bunday chiziq x o'qiga perpendikulyar.

Tizim x = x 1, y = y 1 tizimiga ekvivalentdir; to'g'ri chiziq Oz o'qiga parallel.

1.15-misol. A (1, -1,3) nuqta koordinata boshidan shu tekislikka chizilgan perpendikulyar asos bo‘lib xizmat qilishini bilib, tekislik tenglamasini yozing.

Yechim. Muammoning sharti bo'yicha vektor O.A(1,-1,3) tekislikning normal vektori, u holda uning tenglamasini quyidagicha yozish mumkin
x-y+3z+D=0. Tekislikka tegishli A(1,-1,3) nuqtaning koordinatalarini almashtirib, D ni topamiz: 1-(-1)+3×3+D = 0 , D = -11. Demak, x-y+3z-11=0.

1.16-misol. Oz oqi orqali otgan va 2x+y-z-7=0 tekislik bilan 60 gradus burchak hosil qiluvchi tekislik tenglamasini yozing.

Yechim. Oz o'qi orqali o'tuvchi tekislik Ax+By=0 tenglama bilan berilgan, bunda A va B bir vaqtning o'zida yo'qolmaydi. B bo'lmasin
0, A/Bx+y=0 bo‘ladi. Ikki tekislik orasidagi burchakning kosinus formulasi bo'yicha

Qaror qabul qilish kvadrat tenglama 3m 2 + 8m - 3 = 0, uning ildizlarini toping
m 1 = 1/3, m 2 = -3, undan ikkita 1/3x+y = 0 va -3x+y = 0 tekisliklarni olamiz.

1.17-misol. Grim surmoq, pardoz qilmoq; yasamoq, tuzmoq kanonik tenglamalar To'g'riga:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Yechim. To'g'ri chiziqning kanonik tenglamalari quyidagi ko'rinishga ega:

qayerda m, n, p- to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalari, x1, y1, z1- chiziqqa tegishli har qanday nuqtaning koordinatalari. To'g'ri chiziq ikki tekislikning kesishish chizig'i sifatida aniqlanadi. To'g'ri chiziqqa tegishli nuqtani topish uchun koordinatalardan biri o'rnatiladi (eng oson yo'li, masalan, x=0 qo'yish) va hosil bo'lgan tizim ikkita noma'lum chiziqli tenglamalar tizimi sifatida echiladi. Demak, x=0, u holda y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, bundan y=-1, z=1. Bu chiziqqa tegishli M (x 1, y 1, z 1) nuqtaning koordinatalarini topdik: M (0,-1,1). Asl tekisliklarning normal vektorlarini bilgan holda, to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorini topish oson n 1 (5,1,1) va n 2(2,3,-2). Keyin

Chiziqning kanonik tenglamalari: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

1.18-misol. 2x-y+5z-3=0 va x+y+2z+1=0 tekisliklar bilan aniqlangan nurda ikkita perpendikulyar tekislikni toping, ulardan biri M(1,0,1) nuqtadan o'tadi.

Yechim. Bu tekisliklar bilan aniqlangan nurning tenglamasi u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0 bo'lib, u va v bir vaqtning o'zida yo'qolmaydi. Nur tenglamasini quyidagicha qayta yozamiz:

(2u + v)x + (- u + v)y + (5u + 2v)z - 3u + v = 0.

Nurdan M nuqtadan o'tuvchi tekislikni tanlash uchun M nuqtaning koordinatalarini nur tenglamasiga almashtiramiz. Biz olamiz:

(2u+v)×1 + (-u + v) ×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, yoki v = - u.

Keyin nur tenglamasiga v = - u ni qo'yib, M ni o'z ichiga olgan tekislik tenglamasini topamiz:

u(2x-y +5z - 3) - u(x + y +2z +1) = 0.

Chunki u ¹0 (aks holda v=0 va bu nurning taʼrifiga zid), u holda bizda x-2y+3z-4=0 tekislik tenglamasi mavjud. Nurga tegishli ikkinchi tekislik unga perpendikulyar bo'lishi kerak. Tekisliklarning ortogonalligi shartini yozamiz:

(2u + v) ×1 + (v - u) ×(-2) + (5u +2v)×3 = 0 yoki v = - 19/5u.

Demak, ikkinchi tekislikning tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 yoki 9x +24y + 13z + 34 = 0.

Fazodagi toʻgʻri chiziqning kanonik tenglamalari berilgan nuqtadan yoʻnalish vektoriga kollinear oʻtuvchi toʻgʻri chiziqni aniqlovchi tenglamalardir.

Nuqta va yo'nalish vektori berilgan bo'lsin. Ixtiyoriy nuqta chiziq ustida yotadi l faqat va vektorlari kollinear bo'lsa, ya'ni ular shartni qondirsa:

Yuqoridagi tenglamalar chiziqning kanonik tenglamalaridir.

Raqamlar m , n va p yo'nalish vektorining koordinata o'qlariga proyeksiyalaridir. Vektor nolga teng bo'lmaganligi sababli, barcha raqamlar m , n va p bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lishi mumkin emas. Ammo ulardan bir yoki ikkitasi nolga teng bo'lishi mumkin. Masalan, analitik geometriyada quyidagi belgilarga ruxsat beriladi:

demak, vektorning o'qlarga proyeksiyalari Oy va Oz nolga teng. Demak, kanonik tenglamalar orqali berilgan vektor ham, to‘g‘ri chiziq ham o‘qlarga perpendikulyar Oy va Oz, ya'ni samolyotlar yOz .

1-misol Tekislikka perpendikulyar bo'lgan fazodagi to'g'ri chiziq tenglamalarini tuzing va bu tekislikning o'q bilan kesishish nuqtasidan o'tish Oz .

Yechim. Berilgan tekislikning o‘q bilan kesishish nuqtasini toping Oz. O'qning istalgan nuqtasidan boshlab Oz, koordinatalariga ega, keyin esa o'rnatiladi berilgan tenglama samolyot x=y= 0, biz 4 ni olamiz z- 8 = 0 yoki z= 2 . Shuning uchun, berilgan tekislikning o'q bilan kesishish nuqtasi Oz koordinatalariga ega (0; 0; 2) . Kerakli chiziq tekislikka perpendikulyar bo'lgani uchun u normal vektoriga parallel. Shuning uchun normal vektor to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori bo'lib xizmat qilishi mumkin berilgan samolyot.

Endi nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqning kerakli tenglamalarini yozamiz A= (0; 0; 2) vektor yo'nalishi bo'yicha:

Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamalari

To'g'ri chiziqni uning ustida joylashgan ikkita nuqta bilan aniqlash mumkin va Bunday holda, to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori vektor bo'lishi mumkin. Keyin chiziqning kanonik tenglamalari shaklni oladi

Yuqoridagi tenglamalar ikkitadan o'tuvchi to'g'ri chiziqni aniqlaydi berilgan ballar.

2-misol va nuqtalardan o'tuvchi fazodagi to'g'ri chiziq tenglamasini yozing.

Yechim. To'g'ri chiziqning kerakli tenglamalarini nazariy ma'lumotnomada yuqorida keltirilgan shaklda yozamiz:

Chunki , u holda kerakli chiziq o'qga perpendikulyar Oy .

To'g'ri tekisliklarning kesishish chizig'i sifatida

Kosmosdagi to'g'ri chiziqni ikkita parallel bo'lmagan tekislikning kesishish chizig'i va, ya'ni ikkita chiziqli tenglamalar tizimini qanoatlantiradigan nuqtalar to'plami sifatida aniqlash mumkin.

Tizim tenglamalari fazodagi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamalari deb ham ataladi.

3-misol Umumiy tenglamalar bilan berilgan fazoda to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamalarini tuzing

Yechim. To'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini yoki ikkita berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini yozish uchun to'g'ri chiziqdagi istalgan ikkita nuqtaning koordinatalarini topish kerak. Ular, masalan, har qanday ikkita koordinata tekisligi bilan to'g'ri chiziqning kesishish nuqtalari bo'lishi mumkin yOz va xOz .

Chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasi yOz abtsissaga ega x= 0. Shuning uchun, bu tenglamalar tizimida faraz qilish x= 0, biz ikkita o'zgaruvchiga ega tizimni olamiz:

Uning qarori y = 2 , z= 6 bilan birga x= 0 nuqtani belgilaydi A(0; 2; 6) kerakli chiziq. U holda berilgan tenglamalar tizimida faraz qilsak y= 0, biz tizimni olamiz

Uning qarori x = -2 , z= 0 bilan birga y= 0 nuqtani belgilaydi B(-2; 0; 0) chiziqning tekislik bilan kesishishi xOz .

Endi nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamalarini yozamiz A(0; 2; 6) va B (-2; 0; 0) :

yoki maxrajlarni -2 ga bo'lgandan keyin:

Kosmosdagi Oxyz to'rtburchaklar koordinata tizimini ko'rib chiqaylik.

sirt tenglamasi shunday F(x,y,z)=0 tenglama bo'lib, u sirtda yotgan har bir nuqtaning koordinatalari bilan qanoatlantiriladi, sirtda yotmaydigan nuqtalar koordinatalari bilan qanoatlanmaydi.

Masalan, shar qandaydir nuqtadan teng masofada joylashgan nuqtalarning joylashuvi bo'lib, sharning markazi deb ataladi. Shunday qilib, tenglamani qanoatlantiradigan barcha nuqtalar
markazi O(0,0,0) nuqtada va R radiusda joylashgan shar ustida yotadi (1-rasm).

Berilgan sharda yotmagan har qanday nuqtaning koordinatalari bu tenglamani qanoatlantirmaydi.

Kosmosdagi chiziq ikki sirtning kesishish chizig'i sifatida qarash mumkin. Shunday qilib, 1-rasmda sharning Oksi tekisligi bilan kesishishi markazi O nuqtada va R radiusda joylashgan doiradir.

Eng oddiy sirt samolyot, fazodagi eng oddiy chiziq To'g'riga.

2. Kosmosdagi tekislik.

2.1. Tekislikning nuqtaga va normal vektorga nisbatan tenglamasi.

Oxyz koordinata tizimida tekislikni ko'rib chiqing (2-rasm). Uning pozitsiyasi vektorni o'rnatish orqali aniqlanadi bu tekislikka perpendikulyar va qo'zg'almas nuqta
bu samolyotda yotish. Vektor
tekislikka perpendikulyar
chaqirdi normal vektor(normal vektor). Tekislikning ixtiyoriy M(x,y,z) nuqtasini ko'rib chiqaylik . Vektor
tekis
normal vektorga perpendikulyar bo'ladi Vektor ortogonallik shartidan foydalanish
tenglamani olamiz: qaerda

tenglama ( 2.2.1 )

nuqtaga va normal vektorga nisbatan tekislikning tenglamasi deyiladi.

Agar (2.1.1) tenglamada biz qavslarni ochsak va shartlarni qayta tartibga solsak, u holda tenglama yoki Ax + By + Cz + D = 0 ni olamiz, bu erda

D=
.

2.2. Samolyotning umumiy tenglamasi.

Tenglama Ax + By + Cz + D = 0 ( 2.2.1 )

tekislikning umumiy tenglamasi deyiladi, bu erda
normal vektor hisoblanadi.

Keling, ushbu tenglamaning alohida holatlarini ko'rib chiqaylik.

1).D = 0. Tenglama quyidagi ko'rinishga ega: Ax + By + Cz = 0. Bunday tekislik koordinatadan o'tadi. Uning normal vektori

2). C \u003d 0: Axe + By + D \u003d 0
tekislik oz o'qiga parallel (3-rasm).

3). B = 0: Ax + Cz + D = 0
tekislik oy o'qiga parallel (4-rasm).

to'rtta). A = 0: By + Cz + D = 0

tekislik ho'kiz o'qiga parallel (5-rasm).

5). C=D=0: Ax+By=0
samolyot oz o'qi orqali o'tadi (6-rasm).

6).B = D = 0: Ax + Cz = 0
tekislik oy o'qi orqali o'tadi (7-rasm).

7). A = D = 0: By + Cz = 0
tekislik ho'kiz o'qi orqali o'tadi (8-rasm).

8).A = B = 0: Cz + D = 0

||oz
tekislik Oksi tekisligiga parallel (9-rasm).

9). B=C=0: Ax+D=0

||ox
samolyot

P Oyz tekisligiga parallel (10-rasm).

10).A = C = 0: By + D = 0

||oy
tekislik Oxz tekisligiga parallel (11-rasm).

1-misol Nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasini yozing
vektorga perpendikulyar
Ushbu tekislikning koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini toping.

Yechim. Formula (2.1.1) bo'yicha bizda mavjud

2x - y + 3z + 3 = 0.

Bu tekislikning ho'kiz o'qi bilan kesishishini topish uchun hosil bo'lgan tenglamaga y = 0, z = 0 ni qo'yamiz.Bizda 2x + 3 = 0; x \u003d - 1,5.

Kerakli tekislikning ho'kiz o'qi bilan kesishish nuqtasi koordinatalarga ega:

Tekislikning y o'qi bilan kesishgan joyini toping. Buning uchun biz x = 0 ni olamiz; z = 0. Bizda bor

– y + 3 = 0 y = 3. Demak,

Oz o'qi bilan kesishish nuqtasini topish uchun x = 0 ni olamiz; y=0
3z + 3 = 0
z = – 1. Demak,

Javob: 2x – y + 3z + 3 = 0,
,
,
.

2-misol Tenglamalar bilan berilgan tekisliklarni o'rganing:

a). 3x – y + 2z = 0

b). 2x + z - 1 = 0

ichida). – y + 5 = 0

Yechim. a). Berilgan samolyot kelib chiqishi (D = 0) orqali o'tadi va normal vektorga ega

b). Tenglamada
koeffitsienti B = 0. Shuning uchun,
Tekislik y o'qiga parallel.

ichida). Tenglamada - y + 5 = 0, koeffitsientlar A = 0, C = 0. Demak.

Tekislik oxz tekisligiga parallel.

G). x = 0 tenglamasi oyz tekisligini aniqlaydi, chunki B = 0, C = 0 da tekislik oyz tekisligiga parallel bo'ladi va D = 0 shartdan tekislik koordinata nuqtasi orqali o'tadi.

3-misol A(2,3,1) nuqtadan o‘tuvchi va vektorga perpendikulyar tekislik tenglamasini yozing.
Bunda B(1.0, –1), C(–2.2.0).

Yechim. Keling, vektorni topamiz

Vektor
- A(2,3,1) nuqtadan o'tuvchi kerakli tekislikning normal vektori. Formula (2.1.1) bo'yicha bizda:

– 3x + 2y + z + 6 – 6 – 1 = 0
– 3x + 2y + z – 1 = 0 3x - 2y - z + 1 = 0.

Javob: 3x - 2y - z + 1 = 0.

2.3. Uch nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi.

Bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta bitta tekislikni belgilaydi (12-rasmga qarang). Nuqtalar bitta to'g'ri chiziqda yotmasin. Tekislik tenglamasini yozish uchun tekislikning bir nuqtasini va normal vektorni bilish kerak. Samolyotda yotgan nuqtalar ma'lum:
Siz har qanday narsani olishingiz mumkin. Normal vektorni topish uchun vektorlarning vektor mahsuloti ta'rifidan foydalanamiz. Mayli
Shu bois,
Nuqtaning koordinatalarini bilish
va normal vektor (2.1.1) formuladan foydalanib, tekislikning tenglamasini topamiz.

Boshqacha qilib aytganda, berilgan uchta nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini uchta vektorning mutanosiblik sharti yordamida olish mumkin. Darhaqiqat, vektorlar
Bu erda M(x,y,z) kerakli tekislikning ixtiyoriy nuqtasi bo'lib, koplanardir (13-rasmga qarang). Shuning uchun, ularning aralash mahsulot 0:

Aralash mahsulot formulasini koordinata shaklida qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:

(2.3.1)

1-misol Nuqtalardan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing

Yechim. Formula (2.3.1) bo'yicha bizda mavjud

Determinantni kengaytirib, biz quyidagilarni olamiz:

Olingan tekislik oy o'qiga parallel. Uning normal vektori

Javob: x + z - 4 = 0.

2.4. Ikki chiziq orasidagi burchak.

Kesishgan ikkita tekislik juftlikda teng to'rtta dihedral burchak hosil qiladi (14-rasmga qarang). Ikki burchakli burchaklardan biri bu tekisliklarning normal vektorlari orasidagi burchakka teng.

Samolyotlar berilsin:

Ularning normal vektorlari koordinatalariga ega:

Vektor algebrasidan ma'lumki
yoki

(2.4.1)

Misol: Samolyotlar orasidagi burchakni toping:

Yechim: Normal vektorlarning koordinatalarini toping: (2.4.1) formula bo'yicha bizda:

Bu tekisliklarning kesishmasida olingan dihedral burchaklardan biri ga teng
Ikkinchi burchakni ham topishingiz mumkin:

Javob:

2.5. Ikki tekislikning parallellik sharti.

Ikkita samolyot berilsin:

Agar bu tekisliklar parallel bo'lsa, ularning normal vektorlari

kollinear (15-rasmga qarang).

Agar vektorlar kollinear bo'lsa, ularning tegishli koordinatalari proportsional bo'ladi:

(2.5.1 )

Buning aksi ham to'g'ri: agar tekisliklarning normal vektorlari kollinear bo'lsa, u holda tekisliklar parallel bo'ladi.

1-misol Quyidagi tekisliklardan qaysi biri parallel:

Yechim: a). Oddiy vektorlarning koordinatalarini yozamiz.

Keling, ularning muvofiqligini tekshiramiz:

Demak, bundan kelib chiqadi

b). Keling, koordinatalarni yozamiz

Kollinearlikni tekshiramiz:

Vektorlar
kollinear emas, samolyotlar
parallel emas.

2-misol Nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasini yozing

M(2, 3, –2) tekislikka parallel

Yechim: Kerakli tekislik berilgan tekislikka parallel. Demak, tekislikning normal vektori kerakli tekislikning normal vektori sifatida qabul qilinishi mumkin.
(2.1.1) tenglamani qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:

Javob:
.

3-misol Qaysi a va b tekisliklar parallel ekanligini aniqlang:

Yechim: Oddiy vektorlarning koordinatalarini yozamiz:

Samolyotlar parallel bo'lgani uchun vektorlar
kollinear (2.5.1) sharti bo'yicha
Demak, b = – 2; a = 3.

Javob: a = 3; b = -2.

2.6. Ikki tekislikning perpendikulyarlik sharti.

Agar samolyot
perpendikulyar, keyin ularning normal vektorlari
ham perpendikulyar (16-rasmga qarang).Bundan kelib chiqadiki, ularning skalyar ko'paytmasi nolga teng, ya'ni.
yoki koordinatalarda: