1. To'g'ri chiziqning parametrik tenglamasi

M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) nuqta toʻgʻri chiziqda va s = (l ,m ,n ) vektor yotqizilgan boʻlsin.

bu chiziq (yoki unga parallel). s vektori ham deyiladi to'g'ri yo'naltiruvchi vektor.

Bu shartlar kosmosdagi to'g'ri chiziqni o'ziga xos tarzda belgilaydi. Keling, uni topamiz

tenglama. Chiziqning ixtiyoriy M (x, y, z) nuqtasini oling. Vektorlar ekanligi aniq

M 0 M (x - x 0, y - y 0, z - z 0) va s kolineardir.

Demak, M 0 M = t s - to'g'ri chiziqning vektor tenglamasi.

Koordinata yozuvida oxirgi tenglama quyidagi parametrik tasvirga ega

ikkita to'g'ri chiziqdan hosil bo'lgan ikkita burchak, mos ravishda berilganga parallel va bitta nuqtadan o'tuvchi (bu to'g'ri chiziqlardan birining parallel tarjimasini talab qilishi mumkin).

Ta'rifdan kelib chiqadiki, burchaklardan biri orasidagi s burchakka teng

Chiziqlar s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 ga perpendikulyar.

4. Chiziq va tekislik orasidagi burchak. Shartlar « » va « » to'g'ridan-to'g'ri va

samolyot

L chiziq uning kanonik tenglamasi x - l x 0 = y - m y 0 = z - n z 0 bo'lsin,

va P tekislik tenglama bo'yicha

Ax + By + Cz + D = 0.

Ta'rif. L chiziq orasidagi burchak

va p tekislik deyiladi o'tkir burchak L chizig'i va uning tekislikka proyeksiyasi o'rtasida.

Ta'rifdan (va rasmdan) kelib chiqadiki, kerakli burchak s qo'shimcha (yuqoriga qadar). to'g'ri burchak) normal vektor n (A , B ,C ) va orasidagi burchakka

yo'nalish vektori s (l , m , n ).

(. o'tkir burchakni olish uchun olinadi).

Agar L R bo'lsa, s n (s, n) = 0 bo'ladi

Endi topilgan "t" ni to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalariga almashtirsak, u holda biz kerakli kesishish nuqtasini topamiz.

Matematik analizning asosiy operatsiyalaridan biri kursda turli shakllarda yuzaga keladigan chegaraga o'tish operatsiyasi hisoblanadi. Biz sonlar ketma-ketligi deb ataladigan chegara tushunchasiga asoslanib, chegara operatsiyasiga o'tishning eng oddiy shakli bilan boshlaymiz. Bu chegara operatsiyasiga o'tishning yana bir juda muhim shaklini, funktsiyaning chegarasini joriy qilishni osonlashtiradi. Keyinchalik, differensial va integral hisoblarni qurishda chegaraga o'tishlarning konstruktsiyalari qo'llaniladi.



 Cheksiz kichik va cheksiz katta ketma-ketliklar

 Cheksiz katta va cheksiz kichik ketma-ketliklar orasidagi munosabat.

 Cheksiz kichik ketma-ketliklarning eng oddiy xossalari

 Ketma-ketlik chegarasi.

 Konvergent ketma-ketliklarning xossalari

 Konvergent ketma-ketliklar ustidagi arifmetik amallar

 Monotonik ketma-ketliklar

 Koshining yaqinlashuv mezoni

 E soni va uning iqtisodiy tasviri.

 Limitlarni iqtisodiy hisob-kitoblarda qo'llash

§ 1. Sonli ketma-ketliklar va oddiy xossalar

1. Raqamli ketma-ketlik tushunchasi. Ketma-ketliklar ustidagi arifmetik amallar

Raqamlar ketma-ketligi cheksiz sonlar to'plamidir. Misol ketma-ketliklari maktabdan ma'lum:

1) cheksiz arifmetik va geometrik progressiyaning barcha a'zolarining ketma-ketligi;

2) muntazam perimetrlar ketma-ketligi berilgan aylanaga yozilgan n-gonlar;

sonlar ketma-ketligi deb ataladi (yoki shunchaki ketma-ketlik).

Alohida x 3 , x 5 , x n sonlar (1) ketma-ketlikning elementlari yoki aʼzolari deb ataladi. X n belgisi bu ketma-ketlikning umumiy yoki n-a’zosi deyiladi. Umumiy x n terminida n = 1, 2, … qiymatini berib, mos ravishda birinchi x 1 , ikkinchi x 2 va hokazolarni olamiz. a'zolari.

Ketma-ketlik berilgan deb hisoblanadi (Qarang: Ta'rif). Ko'pincha ketma-ketlik ketma-ketlikning umumiy atamasi uchun formula bilan beriladi.

Belgilanishni qisqartirish uchun ketma-ketlik (1) ba'zan shunday yoziladi

Umumiy atamaning tuzilishi (uning formulasi) murakkab bo'lishi mumkin. Masalan,

Ba'zan ketma-ketlik deb atalmish tomonidan beriladi takrorlanuvchi formulalar, ya'ni. ma'lum oldingilaridan ketma-ketlikning keyingi a'zolarini topishga imkon beruvchi formulalar.

Misol (Fibonachchi raqamlari). x 1 = x 2 = 1 bo'lsin va n = 3, 4, … uchun x n = x n - 1 + x n - 2 takrorlanuvchi formulasi berilgan. Keyin bizda 1, 1 ketma-ketligi bor,

2, 3, 5, 8, ... (Fibonachchi laqabli Pizalik Leonardoning raqamlari). Geometrik jihatdan, raqamli ketma-ketlikni raqamli ketma-ketlikda tasvirlash mumkin

koordinatalari mos keladigan nuqtalar ketma-ketligi ko'rinishidagi o'q

ketma-ketlikning tegishli a'zolari. Masalan, ( x n ) = 1 n .

№ 8-9 ma'ruza Matematik analiz asoslari prof. Dymkov M.P. 66

Ketma-ketlik ( x n ) bilan birga boshqa ketma-ketlikni ( y n ) ko'rib chiqing: y 1 , y 2 , y ,n (2).

Ta'rif. Ketma-ketlikning yig'indisi (farq, mahsulot, qism).

qiymatlari ( xn ) va ( yn ) a'zolari bo'lgan ketma-ketlik (zn) deyiladi.

Ketma-ket (xn) va c R sonining mahsuloti ketma-ketlikdir (c xn).

Ta'rif. Ketma-ketlik ( xn ) chegaralangan deb ataladi

yuqoridan (pastdan), agar bu ketma-ketlikning har bir elementi xn tengsizni qanoatlantiradigan haqiqiy son M (m) bo'lsa.

xn ≤ M (xn ≥ m) . Agar ketma-ketlik m ≤ xn ≤ M dan yuqorida ham, pastda ham chegaralangan bo'lsa, chegaralangan deb ataladi. xn ketma-ketligi deyiladi

agar musbat A soni uchun (o'zboshimchalik bilan katta) cheklanmagan bo'lsa hech bo'lmaganda bor ketma-ketlikning bir elementi xn , qanoatlantiradi

bu xn > A tengsizlikni beradi.

( x n ) = ( 1n ) 0 ≤ x n ≤ 1.

( x n ) = ( n ) - pastdan 1 bilan chegaralangan, lekin chegaralanmagan.

( x n ) = ( - n ) - yuqoridan chegaralangan (-1), lekin chegaralanmagan.

Ta'rif. Ketma-ketlik ( x n ) deyiladi cheksiz kichik,

agar har qanday musbat haqiqiy son e uchun (qanchalik kichik bo‘lishidan qat’iy nazar) umumiy aytganda e ga bog‘liq bo‘lgan N soni mavjud bo‘lsa, (N = N (e )) shundayki, hamma n ≥ N uchun x n tengsizlik bo‘ladi.< ε .

Misol. ( x n ) = 1 n .

Ta'rif. Ketma-ketlik ( xn ) deyiladi cheksiz og'riq -

shoy agar A musbat haqiqiy son uchun (qanchalik katta bo'lishidan qat'iy nazar) N (N = N(A)) soni mavjud bo'lsa, barcha n ≥ N uchun

xn > A tengsizlik olinadi.

Ushbu paragrafni o'qishni unutmang! Parametrik tenglamalar, albatta, fazoviy geometriyaning alfa va omega emas, balki ko'p vazifalarning ishchi chumoli. Bundan tashqari, bu turdagi tenglamalar ko'pincha kutilmaganda qo'llaniladi va men nafis ravishda aytaman.

Agar chiziqqa tegishli nuqta va bu chiziqning yo'nalishi vektori ma'lum bo'lsa, u holda ushbu chiziqning parametrik tenglamalari tizim tomonidan beriladi:

Men darslarda parametrik tenglamalar tushunchasi haqida gapirdim Tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi va Parametrli aniqlangan funksiyaning hosilasi.

Bug'da pishirilgan sholg'omga qaraganda hamma narsa sodda, shuning uchun siz vazifani ziravor qilishingiz kerak:

7-misol

Yechim: Chiziqlar kanonik tenglamalar bilan berilgan va birinchi bosqichda chiziq va uning yo'nalishi vektoriga tegishli biron bir nuqtani topish kerak.

a) Tenglamalardan nuqta va yo'nalish vektorini olib tashlang: . Siz boshqa nuqtani tanlashingiz mumkin (buni qanday qilish yuqorida tavsiflangan), lekin eng aniqini olish yaxshiroqdir. Aytgancha, xatolikka yo'l qo'ymaslik uchun har doim uning koordinatalarini tenglamalarga almashtiring.

Ushbu to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini tuzamiz:

Parametrik tenglamalarning qulayligi shundaki, ularning yordami bilan chiziqning boshqa nuqtalarini topish juda oson. Masalan, koordinatalari parametr qiymatiga mos keladigan nuqtani topamiz:

Shunday qilib:

b) kanonik tenglamalarni ko'rib chiqing. Bu erda nuqta tanlash oddiy, ammo hiyla: (koordinatalarni aralashtirib yubormaslik uchun ehtiyot bo'ling!!!). Qo'llanma vektorini qanday chiqarish mumkin? Siz bu to'g'ri chiziq nimaga parallel ekanligini bahslasha olasiz yoki oddiy rasmiy hiyla ishlatishingiz mumkin: nisbat "y" va "z" dir, shuning uchun biz yo'nalish vektorini yozamiz va qolgan bo'shliqqa nol qo'yamiz: .

To'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini tuzamiz:

c) Tenglamalarni ko'rinishda qayta yozamiz, ya'ni "Z" har qanday bo'lishi mumkin. Va agar mavjud bo'lsa, unda, masalan, . Shunday qilib, nuqta ushbu chiziqqa tegishli. Yo'nalish vektorini topish uchun biz quyidagi rasmiy texnikadan foydalanamiz: boshlang'ich tenglamalarda "x" va "y" mavjud va bu joylarda yo'nalish vektorini yozamiz. nollar: . Qolgan joyga qo'yamiz birlik: . Bitta o'rniga, noldan tashqari har qanday raqam bajariladi.

To'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini yozamiz:

Trening uchun:

8-misol

Quyidagi qatorlar uchun parametrik tenglamalarni yozing:

Dars oxiridagi yechimlar va javoblar. Sizning javoblaringiz mening javoblarimdan biroz farq qilishi mumkin, haqiqat shundaki parametrik tenglamalar bir necha usulda yozilishi mumkin. Sizning va mening yo'nalish vektorlaringiz bir-biriga to'g'ri kelishi va sizning fikringiz mening tenglamalarimga "mos kelishi" muhim (yaxshi yoki aksincha, mening fikrim sizning tenglamalaringiz bilan).

Kosmosdagi to'g'ri chiziqni yana qanday aniqlash mumkin? Men oddiy vektor bilan biror narsa o'ylab topmoqchiman. Biroq, raqam ishlamaydi, fazoviy chiziq uchun oddiy vektorlar butunlay turli yo'nalishlarda ko'rinishi mumkin.

Yana bir usul allaqachon darsda aytib o'tilgan Tekislik tenglamasi va ushbu maqolaning boshida.

Samolyotlar orasidagi burchak

Tenglamalar bilan berilgan ikkita a 1 va a 2 tekisliklarni ko'rib chiqamiz:

ostida burchak ikki tekislik orasidagi bu tekisliklar hosil qilgan ikki burchakli burchaklardan birini nazarda tutamiz. Ko'rinib turibdiki, normal vektorlar bilan a 1 va a 2 tekisliklar orasidagi burchak ko'rsatilgan qo'shni ikki burchakli burchaklardan biriga teng yoki . Shunung uchun . Chunki va , keyin

.

Misol. Samolyotlar orasidagi burchakni aniqlang x+2y-3z+4=0 va 2 x+3y+z+8=0.

Ikki tekislikning parallellik sharti.

Ikki tekislik a 1 va a 2 parallel bo'ladi, agar ularning normal vektorlari parallel bo'lsa va shuning uchun. .

Shunday qilib, ikkita tekislik bir-biriga parallel bo'ladi, agar tegishli koordinatalardagi koeffitsientlar proportsional bo'lsa:

yoki

Tekisliklarning perpendikulyarligi sharti.

Ikki tekislik perpendikulyar bo'lishi aniq, agar ularning normal vektorlari perpendikulyar bo'lsa va demak, yoki .

Shunday qilib, .

Misollar.

To'g'ridan-to'g'ri kosmosda.

VEKTOR TENGLASHISHI TO'G'RI.

PARAMETRIK TENGLAMALAR TO'G'RI

To'g'ri chiziqning fazodagi o'rni uning har qanday qo'zg'almas nuqtasini ko'rsatish orqali to'liq aniqlanadi M 1 va bu chiziqqa parallel vektor.

To'g'ri chiziqqa parallel vektor deyiladi rahbarlik qilish bu chiziqning vektori.

Shunday qilib, to'g'ri bo'lsin l nuqtadan o'tadi M 1 (x 1 , y 1 , z 1) vektorga parallel to'g'ri chiziqda yotish.

Ixtiyoriy nuqtani ko'rib chiqing M(x,y,z) to'g'ri chiziqda. Buni rasmdan ko'rish mumkin .

Vektorlar va kollinear, shuning uchun bunday raqam mavjud t, nima , ko'paytuvchi qayerda t nuqtaning joylashuviga qarab har qanday raqamli qiymatni qabul qilishi mumkin M to'g'ri chiziqda. Faktor t parametr deyiladi. Nuqtalarning radius vektorlarini belgilash M 1 va M mos ravishda, va orqali, biz . Bu tenglama deyiladi vektor to'g'ri chiziq tenglamasi. Bu har bir parametr qiymatini ko'rsatadi t qaysidir nuqtaning radius vektoriga mos keladi M to'g'ri chiziqda yotish.

Bu tenglamani koordinata shaklida yozamiz. E'tibor bering, va bu yerdan

Olingan tenglamalar deyiladi parametrik to'g'ri chiziqli tenglamalar.

Parametrni o'zgartirganda t koordinatalari o'zgaradi x, y va z va nuqta M to'g'ri chiziqda harakat qiladi.

KANONIK TENGLAMALAR TO'g'ridan-to'g'ri

Mayli M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - to'g'ri chiziqda yotgan nuqta l, va uning yo'nalishi vektoridir. Shunga qaramay, to'g'ri chiziqda ixtiyoriy nuqtani oling M(x,y,z) va vektorni ko'rib chiqing.

Ko'rinib turibdiki, va vektorlar kollineardir, shuning uchun ularning tegishli koordinatalari proportsional bo'lishi kerak, shuning uchun

– kanonik to'g'ri chiziqli tenglamalar.

Izoh 1. E'tibor bering, chiziqning kanonik tenglamalari parametrni yo'q qilish orqali parametrik tenglamalardan olinishi mumkin. t. Haqiqatan ham, biz parametrik tenglamalardan olamiz yoki .

Misol. To'g'ri chiziq tenglamasini yozing parametrik usulda.

Belgilamoq , shuning uchun x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Izoh 2. Chiziq koordinata o'qlaridan biriga perpendikulyar bo'lsin, masalan, o'q ho'kiz. Keyin chiziqning yo'nalishi vektori perpendikulyar bo'ladi ho'kiz, Binobarin, m=0. Binobarin, to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari shaklni oladi

Parametrni tenglamalardan chiqarib tashlash t, shakldagi to'g'ri chiziq tenglamalarini olamiz

Biroq, bu holatda ham to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini shaklda yozishga rozi bo'lamiz . Shunday qilib, agar kasrlardan birining maxraji nolga teng bo'lsa, bu chiziq mos keladigan koordinata o'qiga perpendikulyar ekanligini anglatadi.

Xuddi shunday, kanonik tenglamalar o'qlarga perpendikulyar to'g'ri chiziq mos keladi ho'kiz va Oy yoki parallel o'q Oz.

Misollar.

UMUMIY TENGLAMALAR TO'G'RISIYAT IKKI TASIZLIKNI KESIB KESISH CHIZIQ SIKIDA.

Kosmosdagi har bir to'g'ri chiziq orqali cheksiz sonli tekisliklar o'tadi. Ularning istalgan ikkitasi kesishib, uni kosmosda aniqlaydi. Demak, har qanday ikkita bunday tekislikning birgalikda ko'rib chiqiladigan tenglamalari bu chiziqning tenglamalari hisoblanadi.

Umuman olganda, umumiy tenglamalar bilan berilgan har qanday ikkita parallel bo'lmagan tekislik

ularning kesishish chizig'ini aniqlang. Bu tenglamalar deyiladi umumiy tenglamalar To'g'riga.

Misollar.

Tenglamalar bilan berilgan to‘g‘ri chiziqni tuzing

Chiziqni qurish uchun uning istalgan ikkita nuqtasini topish kifoya. Eng oson yo'li - chiziqning koordinata tekisliklari bilan kesishish nuqtalarini tanlash. Masalan, tekislik bilan kesishish nuqtasi xOy faraz qilib, to'g'ri chiziq tenglamalaridan olamiz z= 0:

Ushbu tizimni hal qilib, biz nuqta topamiz M 1 (1;2;0).

Xuddi shunday, taxmin qilish y= 0, biz chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasini olamiz xOz:

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamalaridan uning kanonik yoki parametrik tenglamalariga o'tish mumkin. Buning uchun siz biron bir nuqtani topishingiz kerak M Chiziqda 1 va chiziqning yo'nalishi vektori.

Nuqta koordinatalari M 1 koordinatalardan biriga ixtiyoriy qiymat berib, ushbu tenglamalar tizimidan olamiz. Yo'nalish vektorini topish uchun bu vektor ikkala normal vektorga perpendikulyar bo'lishi kerakligini unutmang va . Shuning uchun, to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori uchun l olishingiz mumkin vektor mahsuloti Oddiy vektorlar:

.

Misol. Qo'rg'oshin umumiy tenglamalar To'g'riga kanonik shaklga.

To'g'ri chiziqdagi nuqtani toping. Buning uchun biz o'zboshimchalik bilan koordinatalardan birini tanlaymiz, masalan, y= 0 va tenglamalar tizimini yeching:

Chiziqni aniqlaydigan tekisliklarning normal vektorlari koordinatalarga ega Shuning uchun yo'nalish vektori to'g'ri bo'ladi

. Binobarin, l: .

HUQUQLAR ORASIDAGI BURChAK

burchak kosmosdagi satrlar orasida biz istalgan birini chaqiramiz qo'shni burchaklar, ma'lumotlarga parallel ravishda ixtiyoriy nuqta orqali o'tkazilgan ikkita to'g'ri chiziqdan hosil bo'lgan.

Fazoda ikkita to'g'ri chiziq berilgan bo'lsin:

Shubhasiz, chiziqlar orasidagi burchak ph ni ularning yo'nalish vektorlari va orasidagi burchak sifatida olish mumkin. dan beri, keyin vektorlar orasidagi burchakning kosinus formulasiga ko'ra, biz olamiz

Chiziq nuqta bilan birgalikda geometriyaning muhim elementlari bo'lib, ular yordamida kosmosda va tekislikda ko'plab figuralar qurilgan. Ushbu maqolada parametrik va uning ushbu geometrik element uchun boshqa turdagi tenglamalar bilan aloqasi batafsil ko'rib chiqiladi.

To'g'ri chiziq va uni tasvirlash uchun tenglamalar

Geometriyada toʻgʻri chiziq fazodagi ixtiyoriy ikkita nuqtani eng kichik uzunlikdagi segment bilan bogʻlaydigan nuqtalar yigʻindisidir. Ushbu segment to'g'ri chiziqning bir qismidir. Kosmosdagi ikkita sobit nuqtani bog'laydigan har qanday boshqa egri chiziqlar katta uzunlikka ega bo'ladi, shuning uchun ular to'g'ri chiziqlar emas.

Yuqoridagi rasmda ikkita qora nuqta ko'rsatilgan. Ularni bog'laydigan ko'k chiziq to'g'ri, qizil chiziq esa kavisli. Shubhasiz, qora nuqta orasidagi qizil chiziq ko'kdan uzunroq.

To'g'ri chiziqni uch o'lchovli yoki ikki o'lchovli fazoda tasvirlash uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan bir necha turdagi to'g'ri chiziq tenglamalari mavjud. Quyida ushbu tenglamalarning nomlari keltirilgan:

• vektor;
• parametrik;
• segmentlarda;
• nosimmetrik yoki kanonik;
• umumiy turi.

Ushbu maqolada biz to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasini ko'rib chiqamiz, lekin biz uni vektor tenglamasidan olamiz. Parametrik va simmetrik yoki kanonik tenglamalar o'rtasidagi munosabatni ham ko'rsatamiz.

vektor tenglamasi

Ko'rib chiqilayotgan geometrik element uchun yuqoridagi barcha turdagi tenglamalar o'zaro bog'liqligi aniq. Shunga qaramay, vektor tenglama ularning barchasi uchun asosiy hisoblanadi, chunki u to'g'ridan-to'g'ri to'g'ri chiziq ta'rifidan kelib chiqadi. Keling, geometriyaga qanday kiritilganligini ko'rib chiqaylik.

Faraz qilaylik, bizga P(x 0 ; y 0 ; z 0) fazoda nuqta berilgan. Ma'lumki, bu nuqta chiziqqa tegishli. U orqali nechta chiziq chizish mumkin? Cheksiz to'plam. Shuning uchun bitta to'g'ri chiziq chizish imkoniyatiga ega bo'lish uchun ikkinchisining yo'nalishini belgilash kerak. Yo'nalish, siz bilganingizdek, vektor tomonidan belgilanadi. Uni v¯(a; b; c) bilan belgilaymiz, bu erda qavs ichidagi belgilar uning koordinatalaridir. Ko'rib chiqilayotgan chiziqda joylashgan har bir Q(x; y; z) nuqta uchun tenglikni yozishimiz mumkin:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + a × (a; b; c)

Bu erda a belgisi mutlaqo har qanday haqiqiy qiymatni qabul qiluvchi parametrdir (vektorni raqamga ko'paytirish uning modulini yoki yo'nalishini faqat teskari tomonga o'zgartirishi mumkin). Bu tenglik uch o‘lchamli fazodagi to‘g‘ri chiziq uchun vektor tenglamasi deyiladi. a parametrini o'zgartirib, biz ushbu chiziqni tashkil etuvchi barcha nuqtalarni (x; y; z) olamiz.

Tenglamadagi v¯(a; b; c) vektor yo'nalish vektori deyiladi. To'g'ri chiziqning alohida yo'nalishi yo'q va uning uzunligi cheksizdir. Bu faktlar shuni anglatadiki, v¯ dan ko'paytirish yo'li bilan olingan har qanday vektor haqiqiy raqam, shuningdek, to'g'ri chiziq uchun qo'llanma bo'ladi.

P(x 0; y 0; z 0) nuqtaga kelsak, uning o'rniga to'g'ri chiziqda yotgan tenglamaga ixtiyoriy nuqta qo'yilishi mumkin va ikkinchisi o'zgarmaydi.

Yuqoridagi rasmda yo'nalish vektori (qizil chiziq segmenti) orqali fazoda aniqlangan to'g'ri chiziq (ko'k chiziq) ko'rsatilgan.

Ikki o'lchovli holat uchun shunga o'xshash tenglikni olish qiyin emas. Shunga o'xshash fikrlashdan foydalanib, biz quyidagi iboraga erishamiz:

(x; y) = (x 0 ; y 0) + a × (a; b)

Ko'ramizki, u avvalgisi bilan butunlay bir xil, nuqta va vektorlarni ko'rsatish uchun uchta o'rniga faqat ikkita koordinatadan foydalaniladi.

Parametrik tenglama

Birinchidan, fazodagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasini olamiz. Yuqorida, vektor tengligi yozilganda, unda mavjud bo'lgan parametr haqida allaqachon aytib o'tilgan edi. Parametrik tenglamani olish uchun vektorni kengaytirish kifoya. Biz olamiz:

x = x 0 + a × a;

y = y0 + a × b;

z = z 0 + a × c

Har birida bitta oʻzgaruvchan koordinata va a parametrga ega boʻlgan ushbu uchta chiziqli tenglik toʻplami odatda fazodagi toʻgʻri chiziqning parametrik tenglamasi deb ataladi. Aslida, biz hech qanday yangi ish qilmadik, lekin shunchaki mos keladigan vektor ifodasining ma'nosini aniq qayd etdik. Biz faqat bir nuqtaga e'tibor qaratamiz: a soni, garchi u ixtiyoriy bo'lsa ham, barcha uchta tenglik uchun bir xil. Masalan, agar 1-tenglik uchun a \u003d -1,5 bo'lsa, nuqta koordinatalarini aniqlashda uning bir xil qiymati ikkinchi va uchinchi tengliklarga almashtirilishi kerak.

Tekislikdagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasi fazoviy holatga o'xshaydi. U quyidagicha yoziladi:

x = x 0 + a × a;

y = y0 + a × b

Shunday qilib, to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasini tuzish uchun uning vektor tenglamasini aniq ko'rinishda yozish kerak.

Kanonik tenglamani olish

Yuqorida ta'kidlanganidek, fazoda va tekislikda to'g'ri chiziqni belgilovchi barcha tenglamalar bir-biridan olinadi. Parametrik tenglamadan kanonik to'g'ri chiziqni qanday olish mumkinligini ko'rsatamiz. Fazoviy holat uchun bizda:

x = x 0 + a × a;

y = y0 + a × b;

z = z 0 + a × c

Har bir tenglikdagi parametrni ifodalaymiz:

a \u003d (x - x 0) / a;

a \u003d (y - y 0) / b;

a \u003d (z - z 0) / c

Chap tomonlari bir xil bo'lganligi sababli, tenglikning o'ng tomonlari ham bir-biriga teng:

(x - x 0) / a = (y - y 0) / b = (z - z 0) / c

Bu kosmosdagi to'g'ri chiziq uchun kanonik tenglama. Har bir ifodadagi maxrajning qiymati mos keladigan koordinatadir.Har bir oʻzgaruvchidan ayiriladigan paydagi qiymatlar shu chiziqdagi nuqtaning koordinatalaridir.

Samolyotdagi holat uchun mos keladigan tenglama quyidagi shaklni oladi:

(x - x 0) / a = (y - y 0) / b

2 nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi

Ma'lumki, tekislikda ham, fazoda ham ikkita qo'zg'almas nuqta to'g'ri chiziqni o'ziga xos tarzda belgilaydi. Samolyotda quyidagi ikkita nuqta berilgan deb faraz qilaylik:

Ulardan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi qanday yoziladi? Birinchi qadam yo'nalish vektorini aniqlashdir. Uning koordinatalari quyidagicha:

PQ¯(x 2 - x 1 ; y 2 ​​- y 1)

Endi siz tenglamani yuqoridagi paragraflarda muhokama qilingan uchta shakldan birida yozishingiz mumkin. Masalan, to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasi quyidagi shaklni oladi:

x \u003d x 1 + a × (x 2 - x 1);

y \u003d y 1 + a × (y 2 - y 1)

Kanonik shaklda siz uni quyidagicha qayta yozishingiz mumkin:

(x - x 1) / (x 2 - x 1) = (y - y 1) / (y 2 - y 1)

Ko'rinib turibdiki, kanonik tenglama ikkala nuqtaning koordinatalarini o'z ichiga oladi va bu nuqtalarni hisoblagichda o'zgartirish mumkin. Shunday qilib, oxirgi tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin:

(x - x 2) / (x 2 - x 1) = (y - y 2) / (y 2 - y 1)

Barcha yozma ifodalar 2 nuqtadan o'tgan to'g'ri chiziq tenglamalari deyiladi.

Uch nuqta muammosi

Quyidagi uchta nuqtaning koordinatalari berilgan:

Bu nuqtalar bir to'g'rida yotadi yoki yo'qligini aniqlash kerak.

Bu masalani quyidagicha yechish kerak: birinchi navbatda istalgan ikkita nuqta uchun to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing, so‘ngra unga uchinchisining koordinatalarini qo‘ying va ular hosil bo‘lgan tenglikni qanoatlantirayotganligini tekshiring.

Parametrik shaklda M va N ko'rinishida tenglama tuzamiz. Buning uchun biz yuqoridagi paragrafda olingan formulani qo'llaymiz, biz uni uch o'lchovli holatga umumlashtiramiz. Bizda ... bor:

x = 5 + a × (-3);

y = 3 + a × (-1);

z = -1 + a × 1

Endi bu ifodalarga K nuqtaning koordinatalarini qo‘yamiz va ularga mos keluvchi alfa parametr qiymatini topamiz. Biz olamiz:

1 = 5 + a × (-3) => a = 4/3;

1 = 3 + a × (-1) => a = 4;

5 = -1 + a × 1 => a = -4

Agar ularning har biri a parametrining har xil qiymatini oladigan bo'lsa, uchta tenglik ham haqiqiy bo'lishini aniqladik. Oxirgi fakt barcha tenglamalar uchun a teng bo'lishi kerak bo'lgan to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasining shartiga ziddir. Demak, K nuqta MN to‘g‘riga tegishli emas, ya’ni uch nuqta ham bir to‘g‘rida yotmaydi.

Parallel chiziqlar muammosi

Chiziqlarning ikkita tenglamasi parametrik shaklda berilgan. Ular quyida keltirilgan:

x = -1 + 5 × a;

x = 2 - 6 × l;

y = 4 - 3,6 × l

Chiziqlar parallel yoki yo'qligini aniqlash kerak. Ikki chiziqning parallelligini aniqlashning eng oson usuli bu yo'nalish vektorlarining koordinatalaridan foydalanishdir. ga aylanadi umumiy formula Ikki o'lchovli fazoda parametrik tenglama, biz har bir to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorlari koordinatalariga ega bo'lishini olamiz:

Ikki vektor parallel, agar ulardan birini ikkinchisini qandaydir songa ko'paytirish orqali olish mumkin bo'lsa. Biz vektorlarning koordinatalarini juftlarga ajratamiz, biz quyidagilarni olamiz:

Bu shuni anglatadiki:

v 2 ¯ = -1,2 × v 1 ¯

Yo‘nalish vektorlari v 2 ¯ va v 1 ¯ parallel, ya’ni masala bayonidagi chiziqlar ham parallel.

Keling, ular bir xil chiziq emasligini tekshirib ko'raylik. Buning uchun tenglamadagi istalgan nuqtaning koordinatalarini boshqasiga almashtirish kerak. (-1; 3) nuqtani oling, uni ikkinchi to'g'ri chiziq uchun tenglamaga almashtiring:

1 = 2 - 6 × l => l = 1/2;

3 \u003d 4 - 3,6 × l => l ≈ 0,28

Ya'ni, chiziqlar boshqacha.

Chiziqlarning perpendikulyarligi muammosi

Ikki to'g'ri chiziq tenglamalari berilgan:

x = 2 + 6 × l;

y = -2 - 4 × l

Bu chiziqlar perpendikulyarmi?

Agar ularning yo'nalish vektorlarining nuqta mahsuloti nolga teng bo'lsa, ikkita chiziq perpendikulyar bo'ladi. Keling, ushbu vektorlarni yozamiz:

Keling, ularning skalyar mahsulotini topamiz:

(v 1 ¯ × v 2 ¯) = 2 × 6 + 3 × (-4) = 12 - 12 = 0

Shunday qilib, biz ko'rib chiqilgan chiziqlar perpendikulyar ekanligini aniqladik. Ular yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan.

Bundan tashqari, tenglama noma'lum qiymat ma'lum bir sohadan turli qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo'lgan boshqa qo'shimcha qiymat ham deyiladi parametrik. Tenglamadagi bu qo'shimcha miqdor deyiladi parametr. Aslida, har bir parametrik tenglama bilan ko'plab tenglamalar yozilishi mumkin. Parametrik tenglamaning moduli va oddiy parametrik tenglamalar yechimini ko‘rib chiqamiz.

Vazifa 1$x$ ga nisbatan tenglamalarni yeching
A) $x + a = 7$
B) $2x + 8a = 4$
C) $x + a = 2a – x$
D) $ax = 5$
E) $a – x ​​= x + b$
F) $ax = 3a$

Yechim:

A) $x + a = 7 \Chap o'q x = 7 – a$, ya'ni bu tenglamaning yechimi topildi.
Har xil parametr qiymatlari uchun yechimlar $x = 7 – a$

B) $2x + 8a = 4 \Chapga strelka 2x = 4 - 8a \Chapga strelka x = 2 – 4a$

C) $x + a = 2a – x ​​\ Chap o'q x + x = 2a - a \ Chap o'q 2x = a \ Chap o'q x = \ frac(a)(2)$

D) $ax = 5$, a 0 dan farq qilganda ikkala qismni ham a ga bo'la olamiz va $x = 5$ olamiz.
Agar $a = 0$ bo'lsa, biz $0.x = 5$ kabi yechimga ega bo'lmagan tenglamani olamiz;

E) $a – x  = x + b \Chap o'ng strelka a – b = x + x \Chap o'ng strelka 2x = a – b \Chap o'q x = \frac(a-b)(2)$

F) a = 0 bo'lganda ax = 3a tenglama 0.x = 0 bo'ladi
Shuning uchun har qanday x yechimdir. Agar a 0 dan farq qilsa
$ax = 3a \chap o'q x = \frac(3a)(a) \chap o'q x = 3$

Vazifa 2 Agar a parametr bo'lsa, tenglamani yeching:
A) $(a + 1)x = 2a + 3$
B) $2a + x = bolta + 4$
C) $a^2x – x = a$
D) $a^2x + x = a$

Yechim:

A) Agar $a + 1$ 0 dan farq qilsa, ya'ni $a \neq -1$,
keyin $x = \frac(2a+3)(a+1)$;
agar $a + 1 = 0$ bo'lsa, ya'ni. $a = - 1$
tenglama $0\cdot x = (2)\cdot(-1) + 3 \chap o'ngga $ ga aylanadi
$0\cdot x = 1$, buning yechimi yo'q;

B) $2a + x = bolta + 4 \Chap o'q $
$x – bolta = 4 - 2a \Chapga o'q $
$(1 – a)\cdot x = 2(2 – a)$
Agar $(1 – a) \neq 0$, u holda $\neq 1$; qaror qabul qiladi
$x = \frac(2(2 - a))((1 - a))$;
Agar $a = 1$ bo'lsa, tenglama $0\cdot x = 2(2 - 1) \chap o'ngga $ ga aylanadi.
$0\cdot x = 2$, buning yechimi yo'q

C) $a^2x – x = a \Chap o‘q $
$x(a^2 -1) = a \Chapga o'q $
$(a - 1)(a + 1)x = a$
Agar $a - 1 \neq 0$ va $a + 1 \neq 0$, ya'ni $a \neq 1, -1$,
yechim $x = \frac(a)((a - 1)(a + 1))$
Agar $a = 1$ yoki $a = -1$ boʻlsa, tenglama $0\cdot x = \pm 1$ boʻladi, uning yechimi yoʻq.

D) $a^2x + x = a \Chapga o'q$
$(a^2 + 1)x = a$
Bu holda har qanday $a$ uchun $a^2 + 1 \neq 0$, chunki u musbat son (1) va bitta manfiy sonning yigʻindisidir.
$(a^2 \geq 0)$ shuning uchun $x = \frac(a)(a^2 + 1)$

Vazifa 3 Agar a va b parametrlar bo'lsa, tenglamalarni yeching:
A) $ax + b = 0$
B) $ax + 2b = x$
C) $(b - 1)y = 1 - a$
D) $(b^2 + 1)y = a + 2$

Yechim:

A) $ax + b = 0 \Chapga o'q bolta = -b$
Agar $a \neq 0$ bo'lsa, yechim $x = -\frac(b)(a)$ bo'ladi.
Agar $a = 0, b \neq 0$ bo'lsa, tenglama $0\cdot x = -b$ bo'ladi va yechimi yo'q.
Agar $a = 0$ va $b = 0$ boʻlsa, tenglama $0\cdot x = 0$ boʻladi va har qanday $x$ yechim hisoblanadi;

B) $ax + 2b = x \Chap o'q bolta – x ​​= -2b \Chap o'q (a - 1)x = -2b$
Agar $a - 1 \neq 0$, ya'ni. $a \neq 1$, yechim $x = -\frac(2b)(a-1)$
Agar $a - 1 = 0$, ya'ni $a = 1$ va $b \neq 0$ bo'lsa, tenglama $0\cdot x = - 2b$ bo'ladi va yechimi yo'q.

C) Agar $b - 1 \neq 0$, ya'ni $b \neq 1$,
yechim $y = \frac(1-a)(b-1)$
Agar $b - 1 = 0$, ya'ni $b = 1$, lekin $1 \neq 0$ bo'lsa,
ya'ni $a \neq 1$ bo'lsa, tenglama $0\cdot y = 1 - a$ bo'ladi va hech qanday yechimga ega emas.
Agar $b = 1$ va $a = 1$ boʻlsa, tenglama $0\cdot y = 0$ boʻladi va har qanday $y$ yechim hisoblanadi.

D) har qanday $b$ uchun $b^2 + 1 \neq 0$ (nima uchun?), shuning uchun
$y = \frac(a+2)(b^2)$ tenglamaning yechimi.

Muammo $4$$x$ ning qaysi qiymatlari uchun quyidagi iboralar teng ma'noga ega:
A) $5x + a$ va $3ax + 4$
B) $2x - 2$ va $4x + 5a$

Yechim:

Xuddi shu qiymatlarni olish uchun biz tenglamalarning yechimlarini topishimiz kerak
$5x + a = 3ax + 4$ va $2x - 2 = 4x + 5a$

A) $5x + a = 3ax + 4 \Chap o'q $
$5x - 3ax = 4 - a \Chap o'q $
$(5 - 3a)x = 4 - a$
Agar $5 - 3a \neq 0$, ya'ni. $a \neq \frac(5)(3)$, yechimlar $x = \frac(4-a)(5-3a)$
Agar $5 - 3a = 0$ bo'lsa, ya'ni. $a = \frac(5)(3)$, tenglama $0\cdot x = 4 – \frac(5)(3) \Leftrightarrow$ boʻladi.
$0\cdot x = \frac(7)(3)$, buning yechimi yo'q

B) $2x - 2 = 4x + 5a \Chap o'ngga $
$-2 - 5a = 4x - 2x \Chapga o'q $
$2x = - 2 - 5a \Chapga o'q $
$x = -\frac(2+5a)(2)$

Vazifa 5
A) $|ax + 2| = 4$
B) $|2x + 1| = 3a$
C) $|ax + 2a| = 3$

Yechim:

A) $|ax + 2| = 4 \Chapga o'q bolta + 2 = 4$ yoki $ax + 2 = -4 \Chapga o'q$
$ax = 2$ yoki $ax = - 6$
Agar $a \neq 0$ bo'lsa, tenglamalar $x = \frac(2)(a)$ yoki $x = -\frac(6)(a)$ bo'ladi.
Agar $a = 0$ bo'lsa, tenglamaning yechimi yo'q

B) Agar $a Agar $a > 0$ boʻlsa, bu $2x + 1 = 3a$ ga teng.
yoki $2x + 1 = -3a \Chap o'q 2x = 3a - 1 \Chap o'q x = \frac(3a-1)(2)$ yoki
$2x = -3a - 1 \Chap o'q x = \frac(3a-1)(2) = -\frac(3a-1)(2)$

C) $|ax + 2a| = 3 \Chapga o'q bolta + 2a = 3$ yoki $ax + 2a = - 3$,
va $ax = 3 - 2a $ yoki $ax = -3 - 2a $ ni topamiz
Agar a = 0 bo'lsa, $a \neq 0$ bo'lsa, hech qanday yechim yo'q
yechimlari: $x = \frac(3-2a)(a)$ va $x = -\frac(3+2a)(a)$

Vazifa 6$2 - x = 2b - 2ax$ tenglamasini yeching, bunda a va b haqiqiy parametrlar. Agar $b = 7$ bo'lsa, tenglamaning qaysi qiymatlari uchun yechim sifatida natural son borligini toping

Yechim:

Bu tenglamani quyidagi shaklda ifodalaymiz: $(2a - 1)x = 2(b - 1)$
Quyidagi variantlar mumkin:
Agar $2a - 1 \neq 0$, ya'ni. $a \neq \frac(1)(2)$, tenglama yagona yechimga ega
$x = \frac(2(b-1))(2a-1)$
Agar $a = \frac(1)(2)$ va $b = 1$ boʻlsa, tenglama $0\cdot x = 0$ boʻladi va har qanday $x$ yechim boʻladi.
Agar $a = \frac(1)(2)$ va $b \neq 1$ bo'lsa, biz $0\cdot x = 2(b - 1)$ olamiz, bu erda $2(b - 1) \neq 0$
Bunday holda, tenglamaning yechimi yo'q.
Agar $b = 7$ va $a \neq \frac(1)(2)$ bo'lsa yagona yechim
$x = \frac(2(7-1))(2a-1) = \frac(12)(2a-1)$
Agar a butun son bo'lsa, u holda $2a - 1$ ham butun son bo'ladi va yechim
$x = \frac(12)(2a-1)$ - bu natural son
$2a - 1$ $12$ uchun musbat boʻluvchidir.
a butun son bo'lishi uchun $12$ ning bo'luvchisi toq bo'lishi kerak. Lekin faqat $1$ va $3$ 12 ga boʻlinadigan musbat toq sonlardir
Shuning uchun $2a - 1 = 3 \Chap o'q a = 2$ yoki $2a - 1 = 1 \Chap o'q$
$a = 1 a = 2$ yoki $2a - 1 = 1 \Chapga oʻq a = 1$

Vazifa 7$|ax - 2 – a| tenglamasini yeching = 4$, bu erda a - parametr. Tenglama ildizlari a ning qaysi qiymatlari manfiy butun sonlar ekanligini toping.

Yechim:

Modul ta'rifidan biz olamiz
$|ax - 2 – x| = 4 \Chapga o'q bolta - 2 - x = 4$ yoki $ax - 2 - x = - 4$
Birinchi tenglikdan biz $x(a - 1) - 2 = 4 \chap o'ngga $ ni olamiz.
$(a - 1)x = 4 + 2 \Chapga o'q (a - 1)x = 6$
Ikkinchi tenglikdan $(a - 1)x = -2$ ni olamiz
Agar $a - 1 = 0$ bo'lsa, ya'ni. $a = 1$, oxirgi tenglama yechimga ega emas.
Agar $a \neq 1$ bo'lsa, biz $x = \frac(6)(a-1)$ yoki $x = -\frac(2)(a-1)$ ekanligini topamiz.
Ushbu ildizlar butun manfiy sonlar bo'lishi uchun quyidagilar bo'lishi kerak:
Birinchisi uchun $a - 1$ 6 ​​ning manfiy bo'luvchisi, ikkinchisi uchun esa 2 ning musbat bo'luvchisi bo'lishi kerak.
Keyin $a - 1 = -1; -2; -3; - 6$ yoki $a - 1 = 1; 2$
Biz $a ni olamiz - 1 = -1 \Leftrightarrow a = 0; a - 1 = -2 \Chapga o'q $
$a = -1; a - 1 = -3 \Chapga o'q a = -2; a - 1 = -6 \Chapga o'q a = -5$
yoki $a - 1 = 1 \Chapga o'q a = 2; a - 1 = 2 \Chapga o'q a = 3$
Keyin $a = -5; -2; - bitta; 0; 2; 3$ - bu muammoning echimi.

Vazifa 8 Tenglamani yeching:
A) $3ax - a = 1 - x$, bu yerda a parametr;
B) $2ax + b = 2 + x$ bu yerda a va b parametrlar

Yechim:

A) $3ax + x = 1 + a \Chap o'q (3a + 1)x = 1 + a$.
Agar $3a + 1 \neq 0$ bo'lsa, ya'ni. $a \neq -11 /3 /3$ , yechim bor
$x = \frac(1+a)(3a+1)$
Agar $a = -\frac(1)(3)$ bo'lsa, tenglama $0\cdot x = \frac(1.1)(3)$ bo'ladi, uning yechimi yo'q.

B) $2ax – x = 2 – b \Chap o‘q (2a - 1)x = 2 – b$
Agar $2a - 1 \neq 0$, ya'ni. $a \neq \frac(1)(2), x = \frac(2-b)(2a-1)$ yechimdir.
Agar $a = \frac(1)(2)$ boʻlsa, tenglama $0.x = 2 – b$ boʻladi.
Agar $b = 2$ bo'lsa, har qanday x yechimdir, agar $b \neq 2$ bo'lsa, tenglamaning yechimi yo'q.

Vazifa 9$6(kx - 6) + 24 = 5kx$ tenglama berilgan, bu erda k - butun son. K ning qaysi qiymatlari uchun tenglamani toping:
A) $-\frac(4)(3)$ ildizga ega
B) yechimi yo‘q;
C) natural son sifatida ildizga ega.

Yechim:

Tenglamani $6kx - 36 + 24 = 5kx \Chapga o'q kx = 12$ shaklida qayta yozing.

A) Agar $x = -\frac(4)(3)$ bo‘lsa, k uchun $-\frac(4)(3k) = 12 \Chap o‘q k = - 9$ tenglamani olamiz.

B) $kx = 12$ tenglama $k = 0$ bo‘lganda yechimga ega emas

C) $k \neq 0$ ildiz $x = \frac(12)(k)$ bo'lsa va u natural son bo'lsa, k musbat butun son 12 ga bo'linadigan bo'lsa, ya'ni. $k = 1, 2, 3, 4, 6, 12$

10-topshiriq Tenglamani yeching:
A) $2ax + 1 = x + a$, bu yerda a - parametr;
B) $2ax + 1 = x + b$, bu erda a va b parametrlar.

Yechim:

A) $2ax + 1 = x + a \Chap o'q 2ax – x = a - 1 \Chap o'q$
$(2a - 1)x = a - 1$
Agar $2a - 1 \neq 0$, ya'ni. $a \neq \frac(1)(2)$, tenglamaning yagona yechimi
$x = \frac(a-1)(2a-1)$
Agar $2a - 1 = 0$ bo'lsa, ya'ni. $a = \frac(1)(2)$, tenglama bo'ladi
$0.x = \frac(1)(2)- 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(2)$, buning yechimi yoʻq

B) $2ax + 1 = x + b \Chap o'q $
$2ax – x = b - 1 \Chapga o'q$
$(2a - 1)x = b - 1$
Agar $2a - 1 \neq 0$, ya'ni. $a \neq \frac(1)(2)$, yechim shunday
$x = \frac(b-1)(2a-1)$
Agar $a = \frac(1)(2)$ bo'lsa, tenglama $0.x = b - 1$ ga ekvivalent bo'ladi.
Agar b = 1 har qanday x yechim bo'lsa, $b \neq 1$ bo'lsa, u holda yechim yo'q.

11-topshiriq$3(ax - 4) + 4 = 2ax$ tenglamasi berilgan, bunda parametr butun sondir. Tenglamaning qaysi qiymatlari ildiz bo‘lishini toping:
A) $\left(-\frac(2)(3)\right)$
B) butun son
C) natural son

Yechim:

A) Agar $x = -\frac(2)(3)$ tenglamaning yechimi bo‘lsa, u to‘g‘ri bo‘lishi kerak.
$3\chap + 4 = 2a\chap(-\frac(2)(3)\o'ng) \chap o'ngga$
$-2a - 12 + 4 = -\frac(4a)(3) \chap oʻngga$
$\frac(4a)(3) - 2a = 8 \chap o'ng \frac(4a-6a)(3) = 8 \chap o'q$
$-\frac(2a)(3) = 8 \Chapga o'q a = -12$

B) $3(bolta - 4) + 4 = 2ax \Chap o'q 3ax - 2ax = 12 - 4 \Chap o'q bolta = 8$
Agar $a \neq 0$ yechim $x = \frac(8)(a)$ bo'lsa, a $8$ ga bo'linadigan bo'lsa, u butun son bo'ladi.
Shunung uchun; $±2; ±4; ±8$
Agar $a=0$ boʻlsa, tenglamaning yechimi yoʻq

C) Ushbu yechim uchun natural (musbat butun) sonni olish uchun $x=\frac(8)(a)$ boʻlishi kerak: $a=1, 2, 4, 8$

12-topshiriq$2 – x = 2b – 2ax$ tenglamasi berilgan, bu yerda $a$ va $b$ parametrlardir. Agar $b = 7$ boʻlsa, tenglamaning qaysi qiymatlari uchun natural son koʻrinishidagi yechimlari borligini toping.

Yechim:

Tenglamada $b = 7$ o'rniga qo'yamiz va $2 – x = 2,7 - 2ax \Chapga o'q $ ni olamiz.
$2ax – x = 14 – 2 \Chapga oʻq (2a - 1)x = 12$
Agar $2a -1 \neq 0$ bo'lsa, ya'ni. $a \neq \frac(1)(2)$, tenglama bo'ladi
$x = \frac(12)(2a-1)$ va u natural son bo'ladi, agar $2a - 1$ maxraji $12$ musbat bo'linadigan bo'lsa va butun son bo'lishidan tashqari, $2a - 1$ toq raqam edi.
Shunday qilib, $2a - 1$ $1$ yoki $3$ boʻlishi mumkin
$2a dan - 1 = 1 \Chapga o'q 2a = 2 \Chapga a = 1$ va $2a - 1 = 3$
$\Chapga o'q 2a = 4 \Chapga o'q a = 2$

13-topshiriq$f(x) = (3a - 1)x - 2a + 1$ funksiya berilgan, bu yerda a parametrdir. Funktsiya grafigining qaysi qiymatlari uchun toping:
A) x o'qini kesib o'tadi;
B) x o'qini kesib o'tadi

Yechim:

Funktsiya grafigi x o'qini kesib o'tishi uchun bu kerak
$(3a - 1)\cdot x -2a + 1 = 0$ yechimga ega va x o'qini kesib o'tmaslik uchun hech qanday yechimga ega emas edi.
Tenglamadan $(3a - 1)x = 2a - 1$ ni olamiz
Agar $3a - 1 \neq 0$, ya'ni. $a \neq \frac(1)(3)$, tenglamaning yechimlari bor
$x = \frac(2a-1)(3a-1)$, shuning uchun funksiya grafigi x o'qini kesib o'tadi.
Agar $a = \frac(1)(3)$ bo'lsa, biz $0.x = \frac(2)(3) - 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(3)$ ni olamiz, bu emas yechimlari bor.
Demak, agar $a = \frac(1)(3)$ bo'lsa, funktsiya grafigi x o'qini kesib o'tmaydi.

14-topshiriq Parametrik tenglamani yeching:
A) $|x -2| = a$
B) $|ax -1| = 3$
C) $|ax - 1| = a - $2

Yechim:

A) Agar $a 0$ bo‘lsa, biz:
$|x - 2| = a \Chapga o'q x - 2 = a$ yoki $x - 2 = -a$
$x dan - 2 = a \Rightarrow x = a + 2$, va dan
$x - 2 = -a \O'ng strelka x = 2 – a$
Agar $a = 0$ boʻlsa, $x - 2 = 0$ yoki $x = 2$ boʻladi

B) $|ax - 1| = 3 \Chapga o'q bolta - 1 = 3$ yoki $ax - 1 = -3$
qaerdan $ax = 4$ yoki $ax = - 2$
Agar $a \neq 0$ bo'lsa, echimlar: $x = \frac(4)(a)$ yoki $x = -\frac(2)(a)$
Agar $a = 0$ bo'lsa, bu erda hech qanday yechim yo'q

C) Agar $a - 2 bo'lsa, $a - 2 > 0$ bo'lsa, ya'ni. $a > 2$ olamiz
$|ax - 1| = a - 2 \Chapga o'q bolta - 1 = a - 2$ yoki $ax - 1 = 2 – a$
Shunday qilib, biz $ax = a - 1$ yoki $ax = 3 – a$ ni olamiz
Chunki $a > 2, a \neq 0$, shuning uchun
$ x = \ frac (a-1) (a) $ yoki $ x = \ frac (3-a) (a) $.
Agar $a = 2$ bo'lsa, tenglamalar ekvivalentdir
$2x - 1 = 0 \Chapga 2x = 1 \Chapga o'q x = \frac(1)(2)$

15-topshiriq m (a) parametrining qaysi qiymatlari uchun ikkita tenglama ekvivalentligini toping:
A) $\frac(x+m)(2) = 1 – m$ va $(-x - 1) ^2 - 1 = x^2$
B) $\frac(x+m)(2) = 1 - m$ va $\frac(x-m)(3) = 1 - 2m$
C) $|3 – x| + x^2 -5x + 3 = 0$ va $ax + 2a = 1 + x$, agar $x > 3$ boʻlsa

Yechim:

A) Ikkinchi tenglamani yechamiz. Keling, uni quyidagi shaklda yozamiz:
$(-x - 1)^2 - 1 = x^2 \Chapga o'q $
$[(-1)(x + 1) ]^2 - 1 = x^2 \chap o'ngga $
$x^2 ​​+ 2x + 1 - 1 = x^2 \Chapga o'q $
$2x = 0 \Chapga o'q x = 0$
Birinchisi uchun biz olamiz
$\frac(x+m)(2) = 1 – m \Chap oʻq x + m = 2 - 2m \Chap oʻq x = 2 - 3m$
Bu ikki tenglama, agar ular bir xil ildizlarga ega bo'lsa, ekvivalentdir, ya'ni.
$2 - 3m = 0 \Chap o'q$ $m = \frac(2)(3)$

B) Birinchi tenglama uchun yechim $x = 2 - 3m$, ikkinchisi uchun esa olamiz.
$x – m = 3 - 6m \Chap o‘ng o‘q$ $x = 3 – 5m$
Ular qachon bir xil ildizlarga ega
$2 - 3m = 3 - 5m \Chap o'ng 5m - 3m = 3 - 2 \Chap o'ng 2m = 1 \Chap o'q m = \frac(1)(2)$

C) $x > 3 bo‘lgani uchun 3 – x $|3 – x| = -(3 - x) = x - $3
Birinchi tenglama quyidagicha ko'rinadi: $x - 3 + x^2 – 5x + 3 = 0 \Chap o'q$
$x^2 ​​- 4x – 0 \Chapga o'q x(x - 4) = 0 \Chap o'q$
$x = 0$ yoki $x = 4$
$x > 3$ bo'lishi sharti bilan faqat $x = 4$ yechim hisoblanadi. Ikkinchi tenglama uchun biz olamiz
$ax – x = 1 - 2a \Chapga o'q (a - 1)x = 1 - 2a$
Agar $a - 1 = 0$ bo'lsa, yechim yo'q (Nima uchun?), agar $a - 1 \neq 0$, ya'ni. $a \neq 1$, yechim bor
$x = \frac(1-2a)(a-1)$ Agar $4 = \frac(1-2a)(a-1) \Leftrightarrow$ $4(a - 1) = 1 - 2a \ boʻlsa, bu ikki tenglama teng boʻladi. Chap o'ng strelka 4a + 2a = 1 + 4 \Chapga o'q 6a = 5 \Chapga o'q a = \frac(5)(6)$