Absorbsiya teoremasi ikki shaklda yoziladi - ajratuvchi va

mos ravishda konyunktiv:

A + AB \u003d A (16)

A(A + B)=A (17)

Birinchi teoremani isbotlaylik. Qavs ichidan A harfini chiqaramiz:

LEKIN + AB \u003d A (1 + B)

(3) teoremaga muvofiq 1+ B = 1, shuning uchun

A(1 + B) = A 1 = A

Ikkinchi teoremani isbotlash uchun qavslarni kengaytiramiz:

A(A + B) = A A + AB = A + AB

Natija hozirgina isbotlangan ifodadir.

Yutish teoremasini qo'llashning bir nechta misollarini ko'rib chiqaylik

mantiqiy formulalarni soddalashtirish.

Yelimlash teoremasi shuningdek, ikkita shaklga ega - ajratuvchi va

kon'yunktiva:

Birinchi teoremani isbotlaymiz:

chunki (5) va (4) teoremalarga muvofiq

Ikkinchi teoremani isbotlash uchun qavslarni ochamiz:

(6) teoremaga muvofiq, shuning uchun:

Yutish teoremasiga ko'ra (16) A + AB \u003d A

Yelimlash teoremasi kabi yutilish teoremasi soddalashtirilganda qo'llaniladi

Boolean formulalar, masalan:

De Morgan teoremasi mantiqiy algebraning barcha uchta asosiy amallarini bog'laydi

Dizyunksiya, konyunksiya va inversiya:

Birinchi teorema quyidagicha o'qiladi: birikmaning inversiyasi - bu dis'yunksiya

inversiyalar. Ikkinchidan, dis'yunksiyaning inversiyasi inversiyalarning birikmasidir. Siz Morgan teoremalarini chap va o'ng tomonlar uchun haqiqat jadvallari yordamida isbotlashingiz mumkin.

De Morgan teoremasi uchun ham amal qiladi Ko'proq o'zgaruvchilar:

5-ma'ruza

Invert murakkab ifodalar

De Morgan teoremasi faqat bitta birikmalarga taalluqli emas

yoki ajralishlar, balki murakkabroq ifodalarga ham.

Keling, ifodaning teskarisini topamiz AB + CD , qo‘shma gaplarning diszyunksiyasi sifatida ifodalanadi. Agar salbiy belgilar faqat o'zgaruvchilardan yuqori bo'lsa, inversiya to'liq hisoblanadi. Keling, belgi bilan tanishamiz: AB = X;

CD=Y keyin

Toping va ifodani (22) almashtiring:

Shunday qilib:

Konyunktiv shaklda berilgan iborani ko'rib chiqing:

(A + B) (C + D)

Uning inversiyasini shaklda topamiz

Keling, belgi bilan tanishamiz: A + B = X; C + D \u003d Y, keyin

Ularni toping va ifodaga almashtiring

Shunday qilib:

Murakkab iboralarni invertatsiya qilishda siz quyidagi qoidadan foydalanishingiz mumkin. Inversiyani topish uchun birikma belgilarini ayirma belgilariga, ayirma belgilarini birikma belgilariga almashtirish va har bir o‘zgaruvchiga inversiyalarni qo‘yish kerak:

Mantiqiy funktsiya tushunchasi

DA umumiy holatda funksiya (lot. functio - ishlash, muvofiqlik,

xaritalash) ma'lum bir qoida (qonun) bo'lib, unga ko'ra to'plamning har bir elementi x, bu mustaqil o'zgaruvchining diapazoni X, to'plamning ma'lum bir elementi tayinlanadi F,

qaram o'zgaruvchining qiymatlari oralig'i sifatida tushuniladi f . Boolean funksiyalar holatida X=F = (0,1). Funktsiyani belgilash qoidasi har qanday mantiqiy formula bo'lishi mumkin, masalan:

Belgi f bu erda funksiya A ning argumentlari kabi, B, C, ikkilik o'zgaruvchi.

Argumentlar mustaqil o'zgaruvchilar bo'lib, ular har qanday qiymatni olishlari mumkin - 0 yoki 1. Funktsiya f - qaram o'zgaruvchi. Uning ma'nosi o'zgaruvchilarning qiymatlari va ular orasidagi mantiqiy aloqalar bilan to'liq aniqlanadi.

asosiy xususiyat funktsiya: uning qiymatini aniqlash uchun, umuman olganda, u bog'liq bo'lgan barcha argumentlarning qiymatlarini bilish kerak. Masalan, yuqoridagi funktsiya uchta A argumentiga bog'liq, V, S. Agar A = 1 ni olsak, biz olamiz

ya'ni nolga yoki ga teng bo'lmagan yangi ifoda olinadi

birlik. Keling DA= 1. Keyin

ya'ni, bu holda, funktsiya nolga yoki birga teng ekanligi ma'lum emas.

Nihoyat, olaylik FROM= 0. Keyin biz quyidagilarni olamiz: f = 0. Shunday qilib, agar dastlabki ifodada A = 1 ni olsak, DA= 1, FROM = 0 bo'lsa, funktsiya nol qiymatini oladi: f= 0.

O'ylab ko'ring o'zgaruvchan qiymatlar to'plami tushunchasi .

Agar funktsiya bog'liq bo'lgan barcha argumentlarga ma'lum qiymatlar berilgan bo'lsa, u holda argument qiymatlari to'plami haqida gapiriladi.

uni faqat to'plam deb atash mumkin. Argument qiymatlari to'plami nollar va birlar ketma-ketligidir, masalan, 110, bu erda birinchi raqam birinchi argumentga, ikkinchisi ikkinchisiga va uchinchisi uchinchisiga to'g'ri keladi. Shubhasiz, birinchi, ikkinchi yoki, aytaylik, beshinchi dalil nima ekanligini oldindan kelishib olish kerak. Buning uchun harflarning alfavit tartibidan foydalanish qulay.

Masalan, agar

keyin lotin alifbosiga ko'ra birinchi dalil R, ikkinchi -

Q, uchinchi - x, to'rtinchi - U. Keyin, argumentlar qiymatlari to'plamiga ko'ra, bu oson

funksiyaning qiymatini toping. Masalan, 1001 to'plami berilsin.Uning fikricha

yozuvlar, ya'ni 1001 to'plamda berilgan funktsiya bittaga teng.

Yana bir bor e'tibor bering, argument qiymatlari to'plami to'plamdir

nollar va birliklar. Ikkilik sonlar ham nollar va birliklar to'plamidir.

Bu savol tug'iladi - to'plamlarni ikkilik deb hisoblash mumkinmi?

raqamlar? Bu mumkin va ko'p hollarda bu juda qulay, ayniqsa ikkilik bo'lsa

sonni kasrga aylantiring. Masalan, agar

A = 0, B = 1, C = 1, D = 0,

0 * 2 3 +1 * 2 2 +1 * 2 1 +0 * 2 0 = 4+2 = 6

ya'ni berilgan to'plam o'nlik kasrda 6 raqamiga ega.

Agar siz argumentlarning qiymatlarini kasr soni bo'yicha topmoqchi bo'lsangiz, unda

biz teskari tartibda harakat qilamiz: avval biz o'nlik sonni ikkilik raqamga o'tkazamiz, so'ngra chap tomonga shunchalik ko'p nol qo'shamiz. umumiy soni bitlar argumentlar soniga teng edi, shundan so'ng biz argumentlarning qiymatlarini topamiz.

Masalan, A argumentlarining qiymatlarini topish talab qilinsin, B, C, D, E, F 23 sonli to'plam bo'yicha. Usul yordamida 23 sonini ikkilik tizimga aylantiramiz

ikkiga bo'lish:

Natijada, biz 23 10 = 10111 2 ni olamiz. Bu besh xonali raqam va jami

oltita argument bor, shuning uchun chap tomonda bitta nol yozilishi kerak:

23 10 = 010111 2 . Bu yerdan biz topamiz:

A = 0, B = 1, C = 0, D = 1, E = 1, F = 1.

Agar raqam ma'lum bo'lsa, nechta to'plam mavjud P argumentlar? Shubhasiz, qancha n-bitli ikkilik raqamlar mavjud bo'lsa, ya'ni 2 n

6-ma'ruza

Mantiqiy funktsiyani o'rnatish

Biz allaqachon bir yo'lni bilamiz. Bu analitik, ya'ni ikkilik o'zgaruvchilar va mantiqiy amallar yordamida matematik ifoda shaklida. Bunga qo'shimcha ravishda, boshqa usullar ham mavjud, ularning eng muhimi jadvaldir. Jadvalda argument qiymatlarining barcha mumkin bo'lgan to'plamlari keltirilgan va har bir to'plam uchun funktsiyaning qiymati ko'rsatilgan. Bunday jadval yozishma (haqiqat) jadvali deb ataladi.

Funktsiya misolida

Keling, buning uchun qidiruv jadvalini qanday yaratishni aniqlaylik.

Funktsiya uchta argumentga bog'liq A, B, C. Shuning uchun, jadvalda

uchun uchta ustunni taqdim eting A, B, C argumentlari va f funktsiyasi qiymatlari uchun bitta ustun. A ustunining chap tomonida boshqa ustunni qo'yish foydalidir. Unga to'plamlarga mos keladigan o'nlik sonlarni yozamiz, agar ularni uch xonali ikkilik sonlar deb hisoblasak. Bu kasr

ustun jadval bilan ishlash qulayligi uchun kiritilgan, shuning uchun printsipial ravishda,

uni e'tiborsiz qoldirish mumkin.

Jadvalni to'ldiramiz. MChJ raqami ko'rsatilgan qatorda:

A = B = C = 0.

Keling, ushbu to'plamdagi funktsiyaning qiymatini aniqlaymiz:

F ustunida 000 to'plamiga ega bo'lgan qatorga nol yozamiz.

Keyingi to'plam: 001, ya'ni. e. A = B = 0, C = 1. Funktsiyaning qiymatini toping

ushbu to'plamda:

001 to'plamida funktsiya 1 ga teng, shuning uchun f ustunida bilan qatorda

001 raqami biz birlikni yozamiz.

Xuddi shunday, biz boshqa barcha to'plamlardagi funktsiyalar qiymatlarini hisoblaymiz va

butun jadvalni to'ldiring.

Assotsiativlik

x 1 (x 2 x 3) \u003d (x 1 x 2) x 3;

x 1 Ú (x 2 Ú x 3) \u003d (x 1 Ú x 2) Ú x 3.

kommutativlik

x 1 x 2 = x 2 x 1

x 1 Ú x 2 = x 2 Ú x 1

Dizyunksiyaga nisbatan qo‘shma gapning taqsimlanishi

x 1 (x 2 Ú x 3) \u003d x 1 x 2 Ú x 1 x 3.

Dizyunksiyaning konjunksiyaga nisbatan taqsimlanishi

x 1 Ú(x 2 × x 3) = (x 1 Úx 2) × (x 1 Úx 3). *

Idempotentlik (tavtologiya)

Ikki marta yo'q

Doimiy xususiyatlar

x & 1 = x; (universal to'plam qonunlari)

x & 0 = 0; (nol o'rnatilgan qonunlar)

Morgan qoidalari (qonunlari).

Qarama-qarshilik qonuni (qo'shimchalik)

O'rtani istisno qilish qonuni (qo'shimcha)

Bu formulalarning barchasining dalillari ahamiyatsiz. Variantlardan biri chap va o'ng qismlarning haqiqat jadvallarini tuzish va ularni solishtirishdir.

Yelimlash qoidalari

Elementar birikmalarni yopishtirish qoidasi taqsimot qonuni, toʻldiruvchilik qonuni va universal toʻplam qonunidan kelib chiqadi: ikkita qo‘shni qo‘shma gapning diszyunksiyasi o‘rniga asli qo‘shma gaplarning umumiy qismi bo‘lgan bitta elementar bog‘lovchi qo‘shilishi mumkin. .

Elementar yig‘indilarni yopishtirish qoidasi ikkinchi turdagi taqsimot qonuni, to‘ldiruvchilik qonuni va nol to‘plam qonunidan kelib chiqadi: ikkita qo‘shni ayirmalarning birikmasi asl ayirmalarning umumiy qismi bo‘lgan bitta elementar ayirboshlash bilan almashtirilishi mumkin. .

Absorbsiya qoidasi

Ikki elementar mahsulot yig‘indisi uchun yutilish qoidasi birinchi turdagi taqsimot qonuni va universal to‘plam qonunlaridan kelib chiqadi: ikkita elementar birikmaning diszyunksiyasi, ulardan biri ajralmas qismi boshqasi kamroq operandli birikma bilan almashtirilishi mumkin .

Elementar summalar ko'paytmasi uchun yutilish qoidasi ikkinchi turdagi taqsimot qonuni va nol to'plam qonunlaridan kelib chiqadi: biri ikkinchisining tarkibiy qismi bo'lgan ikkita elementar dis'yunksiyaning birikmasi kamroq operandga ega elementar dis'yunksiya bilan almashtirilishi mumkin.

Joylashtirish qoidasi

Ushbu qoida yopishtirishning teskari harakatini belgilaydi.

Elementar mahsulotni yuqori darajali elementar mahsulotlarning mantiqiy yig'indisiga kengaytirish qoidasi (r = n gacha bo'lgan chegarada, ya'ni quyida muhokama qilinadigan birlik tarkibiy qismlarigacha) universal to'plam qonunlaridan kelib chiqadi. , birinchi turdagi taqsimot qonuni va uch bosqichda amalga oshiriladi:

Faktor sifatida ishlab chiqiladigan r darajali elementar mahsulot kiritiladi n-r birliklari, bu yerda n - birlik tarkibiy qismlarining darajasi;

Har bir birlik dastlabki elementar mahsulotda mavjud bo'lmagan ba'zi o'zgaruvchilarning mantiqiy yig'indisi va uning inkori bilan almashtiriladi: x i v `x i = 1;

Barcha qavslar birinchi turdagi taqsimot qonuni asosida kengaytiriladi, bu esa r-darajali boshlang'ich elementar mahsulotning 2 n-r birlik tarkibiy qismlarining mantiqiy yig'indisiga kengayishiga olib keladi.

Elementar mahsulotni kengaytirish qoidasi mantiqiy algebra (FAL) funktsiyalarini minimallashtirish uchun ishlatiladi.

r-darajali elementar yig'indini n-darajali elementar yig'indilarning ko'paytmasiga (nol tashkil etuvchi) kengaytirish qoidasi ularning nol to'plam qonunlariga (6) va ikkinchi turdagi taqsimot qonuniga (14) amal qiladi va quyidagicha amalga oshiriladi. uch bosqich:

R darajasining kengaytiriladigan yig'indisida biz yig'indi sifatida kiritamiz n-r nollar;

Har bir nol boshlang'ich yig'indida va uning inkorida mavjud bo'lmagan ba'zi o'zgaruvchilarning mantiqiy mahsuloti sifatida ifodalanadi: x i·` x i = 0;

Hosil boʻlgan ifoda ikkinchi turdagi taqsimot qonuni (14) asosida shunday oʻzgartiriladiki, r darajaning boshlangʻich yigʻindisi 2 n-r nol tashkil etuvchining mantiqiy koʻpaytmasiga aylanadi.

16. To'liq tizim tushunchasi. To'liq tizimlarga misollar (dalil bilan)

Ta'rif. A mantiq algebrasining funksiyalar to'plami deyiladi to'liq tizim(P2 da), agar mantiq algebrasining biron bir funktsiyasi A dan yuqori formula bilan ifodalanishi mumkin bo'lsa.

Funktsiya tizimi A=( f 1 , f 1 ,…, f m) tugallangan deb ataladi asos.

Minimal asos - bu kamida bitta funktsiyani olib tashlash uchun asosdir f1, bu asosni tashkil etuvchi, funktsiyalar tizimini o'zgartiradi (f 1 , f 1 ,…, f m) to'liqsiz.

Teorema. A = (∨, &, ) tizimi tugallandi.

Isbot. Agar f mantiqiy algebra funktsiyasi bir xil nolga teng bo'lmasa, f faqat dis'yunksiya, konyunksiya va inkorni o'z ichiga oluvchi mukammal dis'yunktiv normal shakl sifatida ifodalanadi. Agar f ≡ 0 bo'lsa, f = x & x . Teorema isbotlangan.

Lemma. Agar A tizimi to'liq bo'lsa va A tizimning har qanday funktsiyasi boshqa B tizimiga nisbatan formula bilan ifodalanishi mumkin bo'lsa, u holda B ham to'liq tizimdir.

Isbot. Mantiq algebrasining f (x 1 , …, x n) ixtiyoriy funktsiyasini va ikkita funksiyalar tizimini ko'rib chiqaylik: A = (g 1, g 2, …) va B = (h 1, h 2, …). A tizimi to'liq bo'lganligi sababli, f funksiyani uning ustida formula sifatida ifodalash mumkin:

f (x 1 , …, x n) = ℑ

bu erda g i = ℜ i

ya’ni f funksiya sifatida ifodalanadi

f (x 1 , …, x n)=ℑ[ℜ1,ℜ2,...]

boshqa so'z bilan aytganda, uni B ustidan formula bilan ifodalash mumkin. Mantiq algebrasining barcha funktsiyalarini shu tarzda sanab o'tamiz, biz B tizimi ham to'liq ekanligini bilib olamiz. Lemma isbotlangan.

Teorema. Quyidagi tizimlar P 2 da tugallangan:

4) (&, ⊕ , 1) Jegalkin asosi.

Isbot.

1) A = (&, V, ) sistema to’liq ekanligi ma’lum (3-teorema). B = ( V, . sistemasini ko'rsatamiz. Darhaqiqat, de Morgan qonunidan (x& y) = (x ∨ y) biz x & y = (x ∨ y) ni olamiz, ya'ni bog'lovchi orqali ifodalanadi. diszyunksiya va inkor, hamda A sistemaning barcha funksiyalari B sistema ustidagi formulalar bilan ifodalanadi. Lemmaga ko‘ra, B sistema tugallangan.

2) 1-bandga o'xshash: (x ∨ y) = x & y ⇔ x ∨ y =(x & y) va Lemma 2 2-bandning haqiqatini bildiradi.

3) x | y=(x&y), x | x = x; x & y = (x | y) = (x | y) | (x | y) va Lemma 2 tomonidan tizim tugallangan.

4) x = x ⊕1 va Lemma 2 ga ko'ra tizim tugallangan.

Teorema isbotlangan.

17. Jegalkin algebrasi. Operatsion xususiyatlari va to'liqligi

S4=(⊕,&,1) Jegalkin asosida aniqlangan mantiqiy funksiyalar toʻplami deyiladi. Zhegalkin algebra.

Asosiy xususiyatlar.

1. kommutativlik

h1⊕h2=h2⊕h1 h1&h2=h2&h1

2. assotsiativlik

h1⊕(h2⊕h3)=(h1⊕h2)⊕h3 h1&(h2&h3)=(h1&h2)&h3

3. distributivlik

h1&(h2⊕h3)=(h1&h2)⊕(h1&h3)

4. doimiy xususiyatlar

5. h⊕h=0 h&h=h
Bayonot. Jegalkin algebrasi operatsiyalari orqali boshqa barcha mantiqiy funktsiyalarni ifodalash mumkin:

x→y=1⊕x⊕xy

x↓y=1⊕x⊕y⊕xy

18. Jegalkin ko'phad. Qurilish usullari. Misol.

Zhegalkin polinomi (polinom moduli 2) dan n o'zgaruvchilar x 1 ,x 2 ... x n shaklning ifodasi deyiladi:

c 0 ⊕c 1 x 1 ⊕c 2 x 2 ⊕ ... ⊕c n x n ⊕c 12 x 1 x 2 ⊕ ... ⊕c 12 ... n x 1 x 2 ... x n,

Bu erda C k konstantalari 0 yoki 1 qiymatlarini qabul qilishi mumkin.

Agar Jegalkin ko'phadida alohida o'zgaruvchilarning mahsuloti bo'lmasa, u chiziqli (chiziqli funktsiya) deb ataladi.

Masalan, f=x⊕yz⊕xyz va f 1 =1⊕x⊕y⊕z polinomlar, ikkinchisi chiziqli funktsiyadir.

Teorema. Har bir mantiqiy funktsiya o'ziga xos tarzda Jegalkin polinomi sifatida ifodalanadi.

Keling, berilgan funktsiyaning Jegalkin ko'phadlarini qurishning asosiy usullarini keltiramiz.

1. Noaniq koeffitsientlar usuli. P(x 1 ,x 2 ... x n) uchun zarur boʻlgan Jegalkin koʻphadli boʻlsin. bu funksiya f(x 1 ,x 2 ... x n). Biz uni shaklda yozamiz

P=c 0 ⊕c 1 x 1 ⊕c 2 x 2 ⊕ ... ⊕c n x n ⊕c 12 x 1 x 2 ⊕ ... ⊕c 12 ... n x 1 x 2 ... x n

C k koeffitsientlarini topamiz. Buning uchun biz ketma-ket o'zgaruvchilarga haqiqat jadvalining har bir qatoridan x 1 ,x 2 ... x n qiymatlarini beramiz. Natijada 2 n ta noma’lumli 2 n ta tenglamalar sistemasiga ega bo‘lamiz yagona qaror. Uni yechish orqali P(X 1 ,X 2 ... X n) ko‘phadning koeffitsientlarini topamiz.

2. Bog‘lovchilar to‘plami (,&) bo‘yicha formulalarni o‘zgartirishga asoslangan usul. Biror formula tuzing F berilgan f(X 1 ,X 2 ... X n) funksiyani amalga oshiruvchi (,&) bog‘lanishlar to‘plami ustida. Keyin hamma joyda A ko'rinishdagi kichik formulalarni A⊕1 bilan almashtiramiz, distributiv qonun yordamida qavslarni ochamiz (3-xususiyatga qarang), so'ngra 4 va 5 xossalarni qo'llaymiz.

Misol. f(X,Y)=X→Y funksiyaning Jegalkin ko‘phadini tuzing

Yechim.
1. (noaniq koeffitsientlar usuli). Kerakli ko'phadni quyidagi shaklda yozamiz:

P=c 0 ⊕c 1 x⊕c 2 y⊕c 12 xy

Imlining haqiqat jadvalidan foydalanib, biz buni olamiz

f(0,0)=P(0,0)=C 0 =1

f(0,1)=P(0,1)=C 0 ⊕C 2 =1

f(1,0)=P(1,0)=C 0 ⊕C 1 =0

f(1,1)=P(1,1)=C 0 ⊕C 1 ⊕C 2 ⊕C 12 =1

Biz ketma-ket topadigan joydan C 0 =1, C 1 =1, C 2 =0, C 12 =1

Shuning uchun: x→y=1⊕X⊕XY.

2. (Formulalarni aylantirish usuli.). Bizda: x→y=xvy=(xy)=(x(y⊕1)) ⊕1=1⊕x⊕xy
E'tibor bering, Jegalkin algebrasining afzalligi (boshqa algebralarga nisbatan) mantiqning arifmetizatsiyasi bo'lib, bu mantiqiy funktsiyalarni o'zgartirishni juda oddiy bajarishga imkon beradi. Boolean algebrasi bilan solishtirganda uning kamchiliklari formulalarning noqulayligidir.

Shunga o'xshash ma'lumotlar.

De Morgan qonunlari shotland matematigi Avgust de Morgan tomonidan o'rnatilgan mantiqiy qoidalar bo'lib, mantiqiy inkor yordamida mantiqiy amallar juftlarini bog'laydi.

Avgust de Morgan klassik mantiqda quyidagi munosabatlar to'g'ri ekanligini ta'kidladi:

emas (A va B) = (A emas) yoki (B emas)

emas (A yoki B) = (A emas) va (B emas)

Biz uchun ko'proq tanish shaklda bu nisbatlarni quyidagi shaklda yozish mumkin:

De Morgan qonunlarini quyidagicha shakllantirish mumkin:

I de Morgan qonuni: Ikki oddiy gapning diszyunksiyasining inkori bu gaplarning inkorlarining birikmasiga tengdir.

II de Morgan qonuni: Ikki oddiy gapning birikmasining inkori bu gaplarning inkorlarining diszyunksiyasiga tengdir.

Muayyan misollarda de Morgan qonunlarini qo'llashni ko'rib chiqing.

1-misol Formulani shunday o'zgartiringki, murakkab gaplarning inkorlari bo'lmaydi.

Birinchi de Morgan qonunidan foydalanamiz, biz quyidagilarni olamiz:

B va C oddiy gaplar birikmasini inkor qilish uchun ikkinchi de Morgan qonunini qo‘llaymiz, biz quyidagilarni olamiz:

,

Shunday qilib:

.

Natijada, biz ekvivalent bayonot oldik, unda qo'shma gaplarning inkorlari mavjud emas va barcha inkorlar faqat oddiy gaplarga tegishli.

Haqiqat jadvallari yordamida yechimning haqiqiyligini tekshirishingiz mumkin. Buning uchun biz asl bayonot uchun haqiqat jadvallarini tuzamiz:

va de Morgan qonunlari yordamida amalga oshirilgan transformatsiyalar natijasida olingan bayonot uchun:

.

1-jadval.

Jadvallardan ko'rinib turibdiki, de Morgan qonunlari yordamida olingan dastlabki mantiqiy bayonot va mantiqiy bayonot ekvivalentdir. Bu haqiqat jadvallarida biz bir xil qiymatlar to'plamini olganimizdan dalolat beradi.

Mantiq formulalari va qonunlari

Kirish darsida matematik mantiq asoslari, biz matematikaning ushbu bo'limining asosiy tushunchalari bilan tanishdik va endi mavzu tabiiy davomini oladi. Yangi nazariy, aniqrog'i nazariy emas, balki umumiy o'quv materialiga qo'shimcha ravishda biz amaliy vazifalar, va shuning uchun agar siz ushbu sahifaga qidiruv tizimidan kelgan bo'lsangiz va / yoki materialga yomon yo'naltirilgan bo'lsangiz, iltimos, yuqoridagi havolaga o'ting va oldingi maqoladan boshlang. Bundan tashqari, amaliyot uchun bizga 5 ta kerak haqiqat jadvallari mantiqiy operatsiyalar qaysi men juda tavsiya eting qo'lda qayta yozing.

Esingizda bo'lmasa, chop qilmang, ya'ni o'z qo'lingiz bilan yana bir bor tushunib oling va qog'ozga qayta yozing - ular sizning ko'zingiz oldida:

- jadval YO'Q;
- jadval I;
– OR jadvali;
- implikatsiyalar jadvali;
- Ekvivalentlik jadvali.

Bu juda muhim. Aslida, ularni raqamlash qulay bo'ladi "1-jadval", "2-jadval" va boshqalar., lekin men bu yondashuvdagi nuqsonni bir necha bor ta'kidladim - ular aytganidek, bir manbada jadval birinchi bo'ladi, ikkinchisida esa - yuz va birinchi. Shuning uchun biz "tabiiy" nomlardan foydalanamiz. Davom etamiz:

Aslida, siz mantiqiy formula tushunchasi bilan allaqachon tanishsiz. Men standartni beraman, lekin juda aqlli ta'rifi: formulalar taklif algebralari deyiladi:

1) har qanday elementar (oddiy) bayonotlar;

2) agar va formulalar bo'lsa, formulalar ham shaklning ifodasidir
.

Boshqa formulalar yo'q.

Xususan, formula har qanday mantiqiy operatsiya, masalan, mantiqiy ko'paytirish. Ikkinchi nuqtaga e'tibor bering - bu imkon beradi rekursiv o'zboshimchalik bilan uzun formulani "yaratish" usuli. Chunki formulalar bo'lsa, u ham formuladir; chunki va formulalar, keyin - shuningdek, formula va boshqalar. Har qanday elementar bayonot (yana ta'rif bo'yicha) formulani bir necha marta kiritishi mumkin.

Formula emas bu, masalan, rekorddir - va bu erda "algebraik axlat" bilan aniq o'xshashlik bor, undan raqamlarni qo'shish yoki ko'paytirish kerakmi, aniq emas.

Mantiqiy formulani shunday tasavvur qilish mumkin mantiqiy funktsiya. Xuddi shu birikmani funksional shaklda yozamiz:

Bu holda elementar bayonotlar klassik mantiqda 2 ta qiymatni qabul qilishi mumkin bo'lgan argumentlar (mustaqil o'zgaruvchilar) rolini ham o'ynaydi: rost yoki Yolg'on. Qulaylik uchun men ba'zan oddiy iboralarni chaqiraman o'zgaruvchilar.

Mantiqiy formulani (funktsiyani) tavsiflovchi jadval, yuqorida aytib o'tilganidek, deyiladi: haqiqat jadvali. Iltimos - tanish rasm:

Haqiqat jadvalini shakllantirish printsipi quyidagicha: "kirishda" siz ro'yxatlashingiz kerak barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalar elementar takliflar (argumentlar) qabul qilishi mumkin bo'lgan haqiqat va yolg'on. Bunday holda, formula ikkita bayonotni o'z ichiga oladi va to'rtta bunday kombinatsiya mavjudligini aniqlash oson. "Chiqishda" biz butun formulaning (funktsiyaning) mos keladigan mantiqiy qiymatlarini olamiz.

Aytishim kerakki, bu erda "chiqish" "bir qadamda" bo'lib chiqdi, ammo umumiy holatda mantiqiy formula murakkabroq. Va bunday "qiyin holatlarda" kuzatish kerak mantiqiy amallarni bajarish tartibi:

- birinchi navbatda inkor qilish amalga oshiriladi;
- ikkinchidan - birikma;
- keyin - disjunktsiya;
- keyin ma'no;
- va nihoyat, eng past ustuvorlik ekvivalentiga ega.

Shunday qilib, masalan, kirish siz avval mantiqiy ko'paytirishni amalga oshirishingiz kerakligini, keyin esa - mantiqiy qo'shishni anglatadi:. Xuddi "oddiy" algebrada bo'lgani kabi - "avval biz ko'paytiramiz, keyin esa qo'shamiz".

Harakatlar tartibi odatiy tarzda o'zgartirilishi mumkin - qavslar:
- bu erda, birinchi navbatda, dis'yunktsiya amalga oshiriladi va shundan keyingina yanada "kuchli" operatsiya qilinadi.

Ehtimol, hamma tushunadi, lekin faqat o't o'chiruvchi bo'lsa: va bu ikki xil formulalar! (rasmiy va mazmunan)

Formula uchun haqiqat jadvalini tuzamiz. Ushbu formula ikkita elementar iborani o'z ichiga oladi va "kirishda" biz birlar va nollarning barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalarini sanab o'tishimiz kerak. Chalkashlik va nomuvofiqliklarga yo'l qo'ymaslik uchun biz kombinatsiyalarni ro'yxatga olishga rozimiz qat'iy ravishda shu tartibda (aslida men boshidanoq de-fakto ishlataman):

Formula ikkita mantiqiy operatsiyani o'z ichiga oladi va ularning ustuvorligiga ko'ra, birinchi navbatda, siz bajarishingiz kerak inkor qilish bayonotlar. Xo'sh, biz "pe" ustunini inkor qilamiz - biz birliklarni nolga, nollarni esa birliklarga aylantiramiz:

Ikkinchi bosqichda biz ustunlarni ko'rib chiqamiz va ularga amal qilamiz YOKI operatsiya. Biroz oldinga qarab, men ayrilish o'zgaruvchan ekanligini aytaman (va bir xil narsa), va shuning uchun ustunlar odatdagi tartibda tahlil qilinishi mumkin - chapdan o'ngga. Mantiqiy qo'shishni amalga oshirishda quyidagi amaliy fikrlashdan foydalanish qulay: "Agar ikkita nol bo'lsa, biz nol qo'yamiz, agar kamida bitta birlik bo'lsa, bittasini qo'yamiz":

Haqiqat jadvali tuzilgan. Va endi eski yaxshi ma'noni eslaylik:

…diqqat bilan-diqqat bilan… yakuniy ustunlarga qarang…. Takliflar algebrasida bunday formulalar deyiladi ekvivalent yoki bir xil:

(uchta gorizontal chiziq identifikatsiya belgisidir)

Darsning 1-qismida men asosiy mantiqiy amallar orqali ma'noni ifodalashga va'da berdim va va'daning bajarilishi uzoq kutilmadi! Xohlaganlar ma'noga mazmunli ma'no qo'yishlari mumkin (masalan, "Yomg'ir yog'ayotgan bo'lsa, tashqarida nam") va ekvivalent bayonotni mustaqil tahlil qilish.

Keling, shakllantiramiz umumiy ta'rif: ikkita formula deyiladi ekvivalent (bir xil), agar ular ushbu o'zgaruvchan formulalarga kiritilgan qiymatlar to'plami uchun bir xil qiymatlarni olsalar (boshlang'ich bayonotlar). Ular ham shunday deyishadi "Agar ularning haqiqat jadvallari bir xil bo'lsa, formulalar ekvivalentdir", lekin menga bu ibora juda yoqmaydi.

1-mashq

Formula uchun haqiqat jadvalini tuzing va o'zingiz bilgan shaxsning haqiqat ekanligiga ishonch hosil qiling.

Muammoni hal qilish tartibini takrorlaymiz:

1) Formula ikkita o'zgaruvchini o'z ichiga olganligi sababli, jami 4 ta nol va birlik to'plami bo'lishi mumkin. Biz ularni yuqorida ko'rsatilgan tartibda yozamiz.

2) Ma’nolar qo‘shma gaplarga qaraganda “zaifroq”, lekin ular qavs ichida joylashgan. Biz ustunni to'ldiramiz, shu bilan birga quyidagi amaliy fikrlashdan foydalanish qulay: "agar bittadan nol kelib chiqsa, biz nolni qo'yamiz, qolgan barcha holatlarda - bitta". Keyin, imo-ishora uchun ustunni to'ldiring va shu bilan birga, Diqqat!- ustunlar va "o'ngdan chapga" tahlil qilinishi kerak!

3) Va yakuniy bosqichda oxirgi ustunni to'ldiring. Va bu erda shunday bahslashish qulay: "Agar ustunlarda ikkitasi bo'lsa, biz bittasini qo'yamiz, qolgan barcha holatlarda - nol".

Va nihoyat, biz haqiqat jadvalini tekshiramiz ekvivalentlar .

Takliflar algebrasining asosiy ekvivalentlari

Biz ulardan ikkitasi bilan yaqinda tanishdik, lekin masala, albatta, ular bilan cheklanmaydi. Bir nechta identifikatsiyalar mavjud va men ulardan eng muhimi va eng mashhurlarini sanab o'taman:

Konyunksiyaning kommutativligi va diszyunksiyaning kommutativligi

kommutativlik almashtirish hisoblanadi:

1-sinf qoidalaridan tanish: "Omillarni (shartlarni) qayta joylashtirishdan mahsulot (sum) o'zgarmaydi". Ammo bu xususiyatning barcha ko'rinadigan elementarligiga qaramay, u har doim ham to'g'ri emas, xususan, u o'zgarmasdir. matritsalarni ko'paytirish (umuman olganda, ularni qayta tartibga solish mumkin emas), a vektorlarning oʻzaro koʻpaytmasi- antikommutativ (vektorlarni almashtirish belgining o'zgarishiga olib keladi).

Bundan tashqari, men bu erda yana matematik mantiqning rasmiyatchiligini ta'kidlamoqchiman. Masalan, iboralar "Talaba imtihondan o'tdi va ichdi" va "Talaba ichdi va imtihondan o'tdi" mazmun nuqtai nazaridan farq qiladi, lekin rasmiy haqiqat nuqtai nazaridan farq qilmaydi. ... Har birimiz bunday talabalarni bilamiz va axloqiy sabablarga ko'ra aniq nomlarni aytmaymiz =)

Mantiqiy ko'paytirish va qo'shishning assotsiativligi

Yoki, agar "maktab uslubi" assotsiativ xususiyat bo'lsa:

Tarqatish xususiyatlari

E'tibor bering, ikkinchi holatda "qavslarni ochish" haqida gapirish noto'g'ri bo'ladi, ma'lum ma'noda bu erda "fantastika" - axir, ularni butunlay olib tashlash mumkin: ko'paytirish kuchliroq operatsiya hisoblanadi.

Va yana, bu "banal" ko'rinadigan xususiyatlar barcha algebraik tizimlarda qoniqishdan uzoqdir va bundan tashqari, isbot talab qiladi. (bu haqda biz tez orada gaplashamiz). Aytgancha, ikkinchi distributiv qonun hatto bizning "oddiy" algebramizda ham amal qilmaydi. Va haqiqatan ham:

Idepotentlik qonuni

Nima qilish kerak, lotin....

Faqat sog'lom psixikaning qandaydir printsipi: "Men va men menman", "men yoki men ham menman" =)

Va bu erda bir nechta o'xshash identifikatsiyalar mavjud:

... yaxshi, men hatto go'shakni qo'yib qo'ydim ... shuning uchun ertaga siz PhD bilan uyg'onishingiz mumkin =)

Ikkilamchi inkor qonuni

Xo'sh, bu erda rus tilidagi misol allaqachon o'zini ko'rsatmoqda - hamma "yo'q" ikkita zarracha "ha" degan ma'noni anglatishini juda yaxshi biladi. Va rad etishning hissiy rangini kuchaytirish uchun ko'pincha uchta "yo'q" ishlatiladi:
- ozgina isbot bilan ham ishlagan!

Absorbsiya qonunlari

- O'g'il bolamidi? =)

To'g'ri identifikatsiyada qavslar qoldirilishi mumkin.

De Morgan qonunlari

Aytaylik, qattiqqo'l o'qituvchi (kimning ismini ham bilasiz :)) imtihon topshiradi, agar - Talaba 1-savolga javob berdi va – Talaba 2-savolga javob berdi. Keyin bu haqda bayonot Talaba emas imtihondan o'tdi, bayonotga teng bo'ladi - Talaba emas 1-savolga javob berdi yoki 2-savolga.

Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, ekvivalentlik isbotlanishi kerak, bu odatda haqiqat jadvallari yordamida amalga oshiriladi. Darhaqiqat, biz allaqachon ma'no va ekvivalentlikni ifodalovchi ekvivalentlarni isbotladik va endi bu muammoni hal qilish texnikasini tuzatish vaqti keldi.

Keling, shaxsni isbotlaylik. U bitta bayonotni o'z ichiga olganligi sababli, "kirishda" faqat ikkita variant mavjud: bitta yoki nol. Keyinchalik, biz bitta ustunni tayinlaymiz va ularga amal qilamiz qoida VA:

Natijada, "chiqishda" formula olinadi, uning haqiqati bayonotning haqiqatiga to'g'ri keladi. Ekvivalentligi isbotlangan.

Ha, bu dalil ibtidoiy (va kimdir buni "ahmoqlik" deb aytadi), lekin odatiy matematik mantiq o'qituvchisi uning uchun ruhini silkitadi. Shuning uchun, hatto bunday oddiy narsalarga ham mensimaslik kerak.

Endi, masalan, de Morgan qonunining haqiqiyligiga ishonch hosil qilaylik.

Birinchidan, chap tomon uchun haqiqat jadvalini tuzamiz. Ajratish qavs ichida bo'lgani uchun biz birinchi navbatda uni bajaramiz, shundan so'ng ustunni rad etamiz:

Keyinchalik, o'ng tomon uchun haqiqat jadvalini tuzamiz. Bu erda ham hamma narsa shaffof - birinchi navbatda, biz ko'proq "kuchli" negativlarni bajaramiz, keyin ustunlarga qo'llaymiz. qoida VA:

Natijalar mos keldi, shuning uchun shaxs isbotlandi.

Har qanday ekvivalentlik sifatida ifodalanishi mumkin bir xil to'g'ri formula. Bu shuni anglatadiki HAR QANDAY boshlang'ich nol va birliklar to'plami UCHUN"chiqishda" qat'iy birlik olinadi. Va buning juda oddiy izohi bor: haqiqat jadvallari va bir-biriga to'g'ri kelganligi sababli, albatta, ular ekvivalentdir.Masalan, de Morgan shaxsining chap va o'ng qismlarini ekvivalentlik yo'li bilan birlashtiramiz:

Yoki ixchamroq:

Vazifa 2

Quyidagi ekvivalentlarni isbotlang:

b)

Dars oxirida qisqacha yechim. Keling, dangasa bo'lmaylik! Faqat haqiqat jadvallarini tuzishga harakat qiling, balki aniq xulosalarni shakllantirish. Yaqinda ta'kidlaganimdek, oddiy narsalarni e'tiborsiz qoldirish juda qimmatga tushishi mumkin!

Biz mantiq qonunlari bilan tanishishda davom etamiz!

Ha, mutlaqo to'g'ri - biz ular bilan allaqachon kuchli va asosiy bilan ishlamoqdamiz:

To'g'ri da , deyiladi bir xil to'g'ri formula yoki mantiq qonuni.

Ekvivalentlikdan bir xil haqiqiy formulaga ilgari oqlangan o'tish tufayli yuqorida sanab o'tilgan barcha o'ziga xosliklar mantiq qonunlari hisoblanadi.

Qiymat oladigan formula Yolg'on da unga kiritilgan o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari to'plami, deyiladi xuddi shunday noto'g'ri formula yoki qarama-qarshilik.

Qadimgi yunonlardan qarama-qarshilikning ajoyib namunasi:
Hech qanday bayonot bir vaqtning o'zida to'g'ri va yolg'on bo'lishi mumkin emas.

Dalil ahamiyatsiz:

"Chiqish" faqat nollarni oldi, shuning uchun formula haqiqatan ham bir xil yolg'on.

Biroq, har qanday qarama-qarshilik ham mantiq qonunidir, xususan:

Bitta maqolada bunday keng mavzuni yoritib bo'lmaydi, shuning uchun men yana bir nechta qonunlar bilan cheklanaman:

Cheklangan o'rta qonuni

- klassik mantiqda har qanday bayonot to'g'ri yoki noto'g'ri bo'lib, uchinchi yo'l yo'q. "Bo'lish yoki bo'lmaslik" - bu savol.

O'zingizning haqiqat jadvalingizni tuzing va shundayligiga ishonch hosil qiling xuddi shunday haqiqat formula.

Qarama-qarshilik qonuni

Ushbu qonunning mohiyatini muhokama qilganimizda faol ravishda bo'rttirildi zarur shart, esda tuting: "Agar yomg'ir paytida tashqarida nam bo'lsa, demak, agar tashqarida quruq bo'lsa, demak yomg'ir yog'magan".

Bundan tashqari, agar adolatli bo'lsa, bu qonundan kelib chiqadi To'g'riga teorema, keyin ba'zan deyiladi bayonot qarama-qarshi teorema.

Agar rost bo'lsa teskari teorema bo'lsa, qarama-qarshilik qonuni tufayli teorema ham haqiqiydir, qarama-qarshi teskari:

Va keling, mazmunli misollarimizga qaytaylik: bayonotlar uchun - son 4 ga bo'linadi, - son 2 ga bo'linadi adolatli To'g'riga va qarama-qarshi teoremalar, lekin noto'g'ri teskari va qarama-qarshi teskari teoremalar. Pifagor teoremasining "kattalar" formulasi uchun barcha 4 "yo'nalish" to'g'ri.

Sillogizm qonuni

Shuningdek, janrning klassikasi: "Barcha emanlar daraxtlardir, barcha daraxtlar o'simliklardir, shuning uchun barcha emanlar o'simliklardir".

Xo'sh, bu erda yana bir bor matematik mantiqning formalizmini ta'kidlamoqchiman: agar bizning qattiqqo'l O'qituvchimiz ma'lum bir Talabani eman deb hisoblasa, rasmiy nuqtai nazardan, bu Talaba, albatta, o'simlikdir =) ... garchi, agar Siz bu haqda o'ylaysiz, bu norasmiy bo'lishi mumkin = )

Formula uchun haqiqat jadvalini tuzamiz. Mantiqiy operatsiyalarning ustuvorligiga muvofiq biz quyidagi algoritmga amal qilamiz:

1) ta'sirlarni bajarish va . Umuman olganda, siz darhol uchinchi implikatsiyani bajarishingiz mumkin, ammo u bilan qulayroqdir (va ruxsat berilgan!) buni birozdan keyin aniqlang

2) ustunlar uchun amal qiladi qoida VA;

3) endi biz bajaramiz;

4) va oxirgi bosqichda ustunlarga implikatsiyani qo'llang va .

Jarayonni ko'rsatkich va o'rta barmoqlaringiz bilan boshqarishingiz mumkin :))


Oxirgi ustundan menimcha, sharhlarsiz hamma narsa aniq:
, bu isbotlanishi kerak edi.

Vazifa 3

Quyidagi formula mantiq qonuni ekanligini aniqlang:

Dars oxirida qisqacha yechim. Ha, va men deyarli unutib qo'ydim - keling, nol va birliklarning dastlabki to'plamlarini sillogizm qonunining isbotida bo'lgani kabi bir xil tartibda sanab o'tishga rozi bo'laylik. Albatta, chiziqlarni qayta tartibga solish mumkin, ammo bu mening yechimim bilan yarashishni juda qiyinlashtiradi.

Mantiqiy formulalarni konvertatsiya qilish

"Mantiqiy" maqsadiga qo'shimcha ravishda, ekvivalentlar formulalarni o'zgartirish va soddalashtirish uchun keng qo'llaniladi. Taxminan aytganda, identifikatsiyaning bir qismini boshqasiga almashtirish mumkin. Shunday qilib, masalan, agar siz mantiqiy formulada bo'lakka duch kelsangiz, unda idempotentlik qonuniga ko'ra, uning o'rniga oddiygina yozishingiz mumkin (va kerak). Agar siz ni ko'rsangiz, yutilish qonuniga ko'ra, yozuvni soddalashtiring. Va hokazo.

Bundan tashqari, yana bittasi bor muhim narsa: identifikatsiyalar faqat elementar takliflar uchun emas, balki ixtiyoriy formulalar uchun ham amal qiladi. Masalan:

, qayerda (siz xohlaganingizcha murakkab) formulalar.

Keling, masalan, murakkab ta'sirni o'zgartiraylik (1-identifikatsiya):

Bundan tashqari, biz "murakkab" de Morgan qonunini qavsga qo'llaymiz, shu bilan birga, operatsiyalar ustuvorligi sababli, bu qonun , bu erda :

Qavslarni olib tashlash mumkin, chunki ichida ko'proq "kuchli" birikma mavjud:

Xo'sh, kommutativlik bilan, umuman olganda, hamma narsa oddiy - siz hech narsani belgilashingiz shart emas ... nimadir mening qalbimga sillogizm qonunini singdirdi :))

Shunday qilib, qonun yanada murakkab shaklda qayta yozilishi mumkin:

"Eman, daraxt, o'simlik bilan" mantiqiy zanjirni baland ovozda gapiring va siz qonunning mazmunli ma'nosi oqibatlarni qayta tashkil etishdan umuman o'zgarmaganligini tushunasiz. Bu so'zlar yanada original bo'lib qoldi.

Trening sifatida biz formulani soddalashtiramiz.

Qayerdan boshlash kerak? Avvalo, harakatlar tartibini tushunish uchun: bu erda inkor butun qavsga nisbatan qo'llaniladi, u gap bilan "biroz kuchsizroq" birikma bilan "bog'lanadi". Aslini olganda, oldimizda ikkita omilning mantiqiy mahsuloti turibdi: . Qolgan ikkita amaldan implikatsiya eng past ustuvorlikka ega va shuning uchun butun formula quyidagi tuzilishga ega: .

Qoidaga ko'ra, birinchi qadamda (qadamlarda) ekvivalentlik va imo-ishoradan xalos bo'ling (agar ular bo'lsa) va formulani uchta asosiy mantiqiy amalga qisqartiring. Nima deyishim mumkin.... Mantiqan.

(1) Biz identifikatsiyadan foydalanamiz . Va bizning holatlarimizda.

Bu, odatda, qavslar bilan "demontaj" bilan ta'minlanadi. Avval butun yechim, keyin sharhlar. "Sariq moy" ni olmaslik uchun men "odatiy" tenglik belgilaridan foydalanaman:

(2) Biz de Morgan qonunini tashqi qavslarga qo'llaymiz, bu erda.

To'plamlar ustida ko'rib chiqilayotgan amallar ma'lum qonunlarga bo'ysunadi, ular sonlar algebrasining taniqli elementar qonunlarini eslatadi. Bu nomni belgilaydi algebra to'plami, bu ko'pincha mantiqiy tadqiqotlarni algebra va mantiq o'rtasidagi o'xshashlik g'oyasiga asoslagan ingliz matematigi Jon Bul nomi bilan bog'liq bo'lgan mantiqiy to'plam algebrasi deb ataladi.

Ixtiyoriy A, B va C to‘plamlar uchun quyidagi identifikatsiyalar to‘g‘ri bo‘ladi (3.1-jadval):

3.1-jadval

To'plamlar algebrasining kesishish () va birlashma () amallariga nisbatan qonunlari ikkilik tamoyiliga bo'ysunadi: agar biron bir qonunda barcha kesishish belgilari birlashma belgilari bilan almashtirilsa va barcha birlashma belgilari kesishish belgilaridir. , koinotning belgisi (U) bo'sh to'plamning belgisi (Ø) bilan almashtiriladi va bo'sh belgisi - koinot belgisi, keyin biz yana to'g'ri o'ziga xoslikni olamiz. Masalan (ushbu printsipga ko'ra), u dan va hokazolardan kelib chiqadi.

3.1. Eyler-Venn diagrammasi yordamida identifikatsiyalarning haqiqatini tekshirish

To'plamlar algebrasining barcha qonunlarini Eyler-Venn diagrammasi yordamida vizual tarzda ifodalash va isbotlash mumkin. Buning uchun sizga kerak:

Tegishli diagrammani chizing va tenglamaning chap tomonidagi barcha to'plamlarni soya qiling.

Boshqa diagramma chizing va tenglamaning o'ng tomoni uchun ham xuddi shunday qiling.

Agar ikkala diagrammada bir xil maydon soyalangan bo'lsa, bu o'ziga xoslik to'g'ri bo'ladi.

Izoh 3.1. Ikkita kesishuvchi doira butun universal to'plamni to'rtta hududga ajratadi (3.1-rasmga qarang).

Izoh 3.2. Uchta kesishuvchi doira butun universal to'plamni sakkizta hududga ajratadi (3.2-rasmga qarang):

Izoh 3.2. Turli misollarning shartlarini yozishda ko'pincha belgi qo'llaniladi:

 - ...dan kelib chiqadi ...;

 - agar va faqat agar ...

Vazifa 3.1 . To'plam algebra ifodalarini soddalashtiring:

Yechim.

Vazifa 3 .2 . Shaxslarni isbotlang:

(AB)\B = A\B;

A(BC) = A\(A\B)(A\C).

Yechim.

3.3-topshiriq . Quyidagi munosabatlarni ikki usulda isbotlang: diagrammalardan foydalanish va to‘plamlar tengligi ta’rifidan foydalanish.

Yechim.

2. To`plamlar tengligini aniqlash orqali isbotlash.

Ta'rifga ko'ra, X va Y to'plamlar, agar quyidagi munosabatlar bir vaqtning o'zida bajarilsa, tengdir: XY va YX.

Keling, avvalo shuni ko'rsatamiz
. Mayli X to‘plamning ixtiyoriy elementi hisoblanadi
, ya'ni X
. Bu shuni anglatadiki XU va X
. Demak, bundan kelib chiqadi XA yoki XB. Agar a XAh, unda XĀ, bu degani
. Agar XB, keyin
, bu degani
. Shunday qilib, to'plamning har bir elementi.
. ham to‘plamning elementi hisoblanadi
Ya'ni

Endi qarama-qarshilikni, ya'ni buni isbotlaymiz
. Mayli
. Agar a XĀ, keyin XU va XA, bu degani XAB. Demak, bundan kelib chiqadi
. Agar
, keyin XU va XB. Ma'nosi, XAB, ya’ni
. Bundan kelib chiqadiki, to'plamning har bir elementi
ham to‘plamning elementi hisoblanadi
, ya'ni
.

Ma'nosi,
, bu isbotlanishi kerak edi.

A(BC) = (AB)(AC);

1. Diagramma bilan isbotlash:

Mayli XA(BC). Keyin XA va XBC. Agar a XB, keyin XAB, bu aytilganlarga zid kelmaydi, demak X(AB)(AC). Agar XC, keyin XAC. Binobarin, X(AB)(AC). Demak, A(BC)  (AB)(AC) ekanligini isbotladik.

Keling X (AB)(AC). Agar a XAB, keyin XA va XB. Demak, bundan kelib chiqadi XA va XVS, ya'ni XA(BC). Agar XAC, keyin XA va XC. Demak, bundan kelib chiqadi XA va XVS, ya'ni XA(BC). Shunday qilib, (AB)(AC) A(BC). Demak, A(BC) = (AB)(AC). Q.E.D.

Etarliligini isbotlaganda AV= ekanligini oldik. Ko'rinib turibdiki, S, shuning uchun munosabat isbotlangan. Dalilda eng umumiy holat ko'rib chiqildi. Biroq, diagrammalarni qurishda hali ham ba'zi variantlar mavjud. Masalan, AB \u003d C tenglik holati yoki
, bo'sh to'plamlar holati va boshqalar. Barcha mumkin bo'lgan variantlarni hisobga olish qiyinligi aniq. Shuning uchun, diagrammalar yordamida munosabatlarni isbotlash har doim ham to'g'ri emas, deb ishoniladi.

2. To`plamlar tengligini aniqlash orqali isbotlash.

Kerak. ABC va element bo‘lsin XA. Bu holda A to'plamning elementi ham to'plam elementi bo'lishini ko'rsatamiz
.

Ikki holatni ko'rib chiqing: XIn yoki
.

Agar a XB, keyin XABC, ya’ni XC va natijada,
.

Agar
, keyin va
. Ehtiyoj isbotlangan.

Keling
va XAB. Keling, elementni ko'rsataylik X ham C to‘plamning elementi bo‘ladi.

Agar a XAB, keyin XA va XB. Chunki
, degan ma'noni anglatadi XC. Etarliligi isbotlangan.

1. Diagramma bilan isbotlash:

2. To`plamlar tengligini aniqlash orqali isbotlash.

AB bo‘lsin. Elementni ko'rib chiqing XB (yoki
). Xuddi shunday: XA (yoki XĀ). Ya'ni, to'plamning har bir elementi ham Ā to‘plamning elementi hisoblanadi. Va agar shunday bo'lishi mumkin
. Q.E.D.

3.4-topshiriq. Belgilangan maydonlarni ramziy ravishda ifodalang va olingan iboralarni soddalashtiring.

Yechim.

Qidirilayotgan hudud ikkita ajratilgan qismdan iborat. Keling, ularni yuqori va pastki deb ataymiz. Ular tasvirlangan to'plamni quyidagicha ta'riflash mumkin:

M = ( x xA va XIn va XC yoki XC va XA va XB).

To'plamlardagi amallarning ta'rifidan biz quyidagilarni olamiz:

M = ((AB)\C)(C\A\B).

Keling, ushbu ifodani asosiy amallar - qo'shish, birlashma va kesishish yordamida yozamiz:

Bu iborani soddalashtirishning iloji yo'q, chunki bizda har bir belgining bitta hodisasi bor. Bu formulaning eng oddiy shakli.

Bu maydonni A\B\C va ABC to‘plamlarning birlashmasi deb hisoblash mumkin. Ta'rifga ko'ra, M = ( x xA va xIn va XC yoki XA va XIn va XC). Keling, soddalashtiramiz:

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar.

1. Soddalashtiring:

2. Diagrammalar, toʻplamlar algebrasi qonunlari va toʻplamlar tengligi taʼrifidan foydalanib isbotlang:

(AB)\B = A\B;

A(BC) = A\(A\B)(A\C);

AB \u003d AB  A \u003d B;

A \ B \u003d   AB \u003d A.

3. Har qanday A uchun tenglikni qanoatlantiradigan X to'plami bor yoki yo'qligini aniqlang:

AX \u003d A; (javob );