Maqolaning mazmuni

KONIK QISMLAR, tekislik egri chiziqlari, ular to'g'ri dumaloq konusni uning tepasidan o'tmaydigan tekislik bilan kesib o'tish orqali olinadi (1-rasm). Analitik geometriya nuqtai nazaridan konus kesimi ikkinchi tartibli tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalarning joylashuvi hisoblanadi. Oxirgi bo'limda muhokama qilingan degeneratsiya holatlari bundan mustasno, konusning kesimlari ellips, giperbola yoki parabolalardir.

Tabiatda va texnologiyada konusning kesimlari ko'pincha uchraydi. Masalan, Quyosh atrofida aylanuvchi sayyoralarning orbitalari ellipsdir. Doira ellipsning alohida holati bo'lib, unda katta o'q kichik o'qga teng. Parabolik oyna o'z o'qiga parallel bo'lgan barcha tushayotgan nurlar bir nuqtada (fokus) yaqinlashish xususiyatiga ega. Bu parabolik nometall yordamida aks ettiruvchi teleskoplarning ko'pchiligida, shuningdek radar antennalarida va parabolik reflektorli maxsus mikrofonlarda qo'llaniladi. Parabolik reflektor fokusida joylashgan yorug'lik manbasidan parallel nurlar dastasi chiqadi. Shuning uchun, parabolik nometall kuchli yorug'lik chiroqlari va avtomobil faralarida qo'llaniladi. Giperbola ko'p muhimlarning grafigi jismoniy nisbatlar, masalan, Boyl qonuni (bosim va hajmni bog'lash ideal gaz) va Ohm qonuni, bu aniqlaydi elektr toki doimiy kuchlanishdagi qarshilik funktsiyasi sifatida.

ILK TARIX

Konus kesimlarining kashfiyotchisi Aflotun shogirdi va Iskandar Zulqarnaynning ustozi Menexm (miloddan avvalgi 4-asr) ekanligi taxmin qilinadi. Menekmus kubni ikki barobarga oshirish masalasini yechish uchun parabola va teng yonli giperboladan foydalangan.

IV asr oxirida Aristey va Evklid tomonidan yozilgan konus kesimlari haqidagi risolalar. Miloddan avvalgi, yo'qolgan, ammo ulardan olingan materiallar mashhur bo'lgan Konus bo'limlari Bizning davrimizgacha yetib kelgan Pergalik Apolloniy (miloddan avvalgi 260-170 yillar). Apolloniy konusning generatriksining sekant tekisligi perpendikulyar bo'lishi haqidagi talabdan voz kechdi va uning moyillik burchagini o'zgartirib, bitta aylana konusdan to'g'ri yoki qiya bo'lgan barcha konus kesimlarini oldi. Biz Apolloniydan qarzdormiz zamonaviy nomlar egri chiziqlar - ellips, parabola va giperbola.

Apolloniy o'z konstruktsiyalarida ikki varaqli dumaloq konusdan foydalangan (1-rasmdagi kabi), shuning uchun birinchi marta giperbola ikki shoxli egri chiziq ekanligi aniq bo'ldi. Apolloniy davridan beri konusning kesmalari kesuvchi tekislikning konusning generatrixiga moyilligiga qarab uch turga bo'lingan. Ellips (1-rasm, a) kesish tekisligi konusning barcha generatrixlarini uning bo'shlig'idan birining nuqtalarida kesib o'tganda hosil bo'ladi; parabola (1-rasm, b) - kesish tekisligi konusning teginish tekisliklaridan biriga parallel bo'lganda; giperbola (1-rasm, ichida) - kesish tekisligi konusning ikkala bo'shlig'ini kesib o'tganda.

KONIK KESIMALARNI QURISH

Qadimgi yunon matematiklari konus kesimlarini tekislik va konusning kesishuvi sifatida o‘rganar ekan, ularni tekislikdagi nuqtalarning traektoriyasi sifatida ham ko‘rib chiqdilar. Aniqlanishicha, ellipsni nuqtalarning joylashuvi, berilgan ikkita nuqtagacha bo'lgan masofalar yig'indisi doimiy bo'lgan joy sifatida belgilash mumkin; parabola - berilgan nuqtadan va berilgan chiziqdan teng masofada joylashgan nuqtalar joylashuvi sifatida; giperbola - nuqtalarning joylashuvi sifatida, berilgan ikkita nuqtagacha bo'lgan masofalar farqi doimiy.

Konus kesimlarining tekis egri chiziqlar sifatidagi bu ta'riflari ularni cho'zilgan ip yordamida qurish usulini ham taklif qiladi.

Ellips.

Agar berilgan uzunlikdagi ipning uchlari nuqtalarda mahkamlangan bo'lsa F 1 va F 2 (2-rasm), keyin qattiq cho'zilgan ip bo'ylab siljiydigan qalam uchi bilan tasvirlangan egri ellips shakliga ega. ball F 1 va F 2 ellips fokuslari va segmentlar deyiladi V 1 V 2 va v 1 v 2 ellipsning koordinata o'qlari bilan kesishgan nuqtalari orasida - katta va kichik o'qlar. Agar nuqtalar bo'lsa F 1 va F 2 mos keladi, keyin ellips aylanaga aylanadi.

Giperbola.

Giperbolani qurishda nuqta P, qalamning uchi nuqtalarda o'rnatilgan qoziqlar bo'ylab erkin siljiydigan ipga o'rnatiladi. F 1 va F 2-rasmda ko'rsatilganidek. 3, a. Masofalar segmenti shunday tanlanadi PF 2 segmentdan uzunroq PF 1 masofadan kamroq belgilangan miqdorda F 1 F 2. Bunday holda, ipning bir uchi qoziq ostidan o'tadi F 1 va ipning ikkala uchi qoziqdan o'tadi F 2. (Qalamning uchi ip bo'ylab sirg'alib ketmasligi kerak, shuning uchun uni ipga kichik halqa yasash va uchini unga bog'lash orqali tuzatish kerak.) Giperbolaning bir novdasi ( PV 1 Q) biz chizamiz, ipning doimo tarang bo'lishiga ishonch hosil qilamiz va ipning ikkala uchini nuqtadan pastga tortamiz F 2 , va qachon nuqta P chiziq ostida bo'ladi F 1 F 2, ipni ikkala uchidan ushlab, ehtiyotkorlik bilan yumshatish (ya'ni, bo'shatish). Giperbolaning ikkinchi tarmog'i ( Pў V 2 Q o) biz ilgari qoziqlarning rollarini o'zgartirib, chizamiz F 1 va F 2 .

Giperbolaning shoxlari shoxlar orasidagi kesishgan ikkita to'g'ri chiziqqa yaqinlashadi. Giperbolaning asimptotalari deb ataladigan bu chiziqlar rasmda ko'rsatilganidek tuzilgan. 3, b. Nishablar bu chiziqlar ± ga teng ( v 1 v 2)/(V 1 V 2), qayerda v 1 v 2 - segmentga perpendikulyar bo'lgan asimptotlar orasidagi burchak bissektrisasining segmenti F 1 F 2; chiziq segmenti v 1 v 2 giperbolaning konjugat o'qi va segment deb ataladi V 1 V 2 - uning ko'ndalang o'qi. Demak, asimptotalar tomonlari to‘rtta nuqtadan o‘tuvchi to‘rtburchakning diagonallaridir v 1 , v 2 , V 1 , V 2 o'qlarga parallel. Ushbu to'rtburchakni qurish uchun siz nuqtalarning joylashishini belgilashingiz kerak v 1 va v 2. Ular bir xil masofada, teng

o'qlarning kesishgan nuqtasidan O. Ushbu formula oyoqlari bilan to'g'ri burchakli uchburchak qurishni o'z ichiga oladi Ov 1 va V 2 O va gipotenuza F 2 O.

Agar giperbolaning asimptotalari o'zaro perpendikulyar bo'lsa, giperbola izoskellar deyiladi. Umumiy asimptotalarga ega bo'lgan, lekin ko'ndalang va konjugat o'qlari qayta tartibga solingan ikkita giperbolalar o'zaro konjugat deyiladi.

Parabola.

Ellips va giperbolaning o'choqlari Apolloniyga ma'lum bo'lgan, ammo parabolaning fokusini birinchi bo'lib Pappus (3-asrning 2-yarmi) o'rnatgan, u bu egri chiziqni ma'lum bir nuqtadan teng masofada joylashgan nuqtalarning joylashuvi sifatida aniqlagan ( fokus) va rejissyor deb ataladigan berilgan to'g'ri chiziq. Pappus ta'rifiga asoslanib, cho'zilgan ip yordamida parabola qurishni Miletlik Isidor (6-asr) taklif qilgan. O'lchagichni uning cheti direktrisa bilan mos keladigan tarzda joylashtiring LL o (4-rasm) va oyog'ini bu chetga mahkamlang AC chizilgan uchburchak ABC. Biz ipning bir uchini uzunlik bilan mahkamlaymiz AB yuqorida B uchburchak va ikkinchisi parabolaning markazida F. Ipni qalam uchi bilan tortib, uchini o'zgaruvchan nuqtada bosing P bepul konkida uchish uchun AB chizilgan uchburchak. Uchburchak o'lchagich bo'ylab harakatlanayotganda, nuqta P fokusli parabola yoyi tasvirlanadi F va direktor LL o, chunki ipning umumiy uzunligi teng AB, ipning segmenti uchburchakning erkin oyog'iga ulashgan va shuning uchun ipning qolgan qismi PF oyoqning qolgan qismiga teng bo'lishi kerak AB, ya'ni. PA. Kesishish nuqtasi V o'qi bo'lgan parabola parabolaning cho'qqisi deb ataladi, u orqali o'tadigan to'g'ri chiziq F va V, parabolaning o'qi. Agar fokus orqali o'qga perpendikulyar to'g'ri chiziq o'tkazilsa, bu to'g'ri chiziqning parabola bilan kesilgan segmenti fokus parametri deyiladi. Ellips va giperbola uchun fokus parametri xuddi shunday aniqlanadi.

KONIK KESIMALARNING XUSUSIYATLARI

Pappus ta'riflari.

Parabolaning diqqat markazini belgilash Pappusni umuman konus kesimlarining muqobil ta'rifini berish g'oyasiga olib keldi. Mayli F – berilgan nuqta(fokus) va L orqali oʻtmaydigan berilgan toʻgʻri chiziq (direktrix). F, va D F va D L- harakatlanuvchi nuqtadan masofa P diqqat qilish F va direktorlar L mos ravishda. Keyin, Papp ko'rsatganidek, konus kesimlari nuqtalarning joylashuvi sifatida aniqlanadi P, buning uchun nisbat D F/D L manfiy bo'lmagan doimiydir. Bu nisbat eksantriklik deb ataladi e konusning kesimi. Da e e > 1 - giperbola; da e= 1 - parabola. Agar a F yotadi L, keyin lokus chiziqlar shakliga ega (haqiqiy yoki xayoliy), ular degeneratsiyalangan konusning bo'limlari.

Ellips va giperbolaning ko'zga ko'rinadigan simmetriyasi bu egri chiziqlarning har biri ikkita direktrisa va ikkita fokusga ega ekanligini ko'rsatadi va bu holat 1604 yilda Keplerni parabolaning ikkinchi fokusi va ikkinchi direktrisasi - cheksizlik nuqtasi va boshqa nuqtaga ega degan fikrga olib keldi. To'g'riga. Xuddi shunday, doirani ellips deb hisoblash mumkin, uning o'choqlari markazga to'g'ri keladi va direktrikslar cheksizdir. Eksantriklik e bu holda nolga teng.

Dandelin dizayni.

Konusga chizilgan va quyidagi qurilishni taklif qilgan belgiyalik matematik va muhandis J. Dandelin (1794–1847) sharafiga Dandelin sharlari (to'plari) deb nomlangan sharlar yordamida konus kesimining o'choqlari va direktrisalarini aniq ko'rsatish mumkin. Konus kesimi qandaydir tekislikning kesishmasidan hosil bo'lsin p bir nuqtada tepasi bo'lgan ikki bo'shliqli o'ng dumaloq konus bilan O. Keling, bu konusga ikkita sharni yozamiz S 1 va S 2 samolyotga tegib turgan p nuqtalarda F 1 va F mos ravishda 2. Agar konus kesimi ellips bo'lsa (5-rasm, a), u holda ikkala shar ham bir xil bo'shliq ichida bo'ladi: bitta shar tekislikdan yuqorida joylashgan p va ikkinchisi uning ostida. Konusning har bir avlodi ikkala sferaga tegib turadi va aloqa nuqtalari ikkita doira shaklida bo'ladi. C 1 va C 2 parallel tekisliklarda joylashgan p 1 va p 2. Mayli P konus kesimidagi ixtiyoriy nuqtadir. Keling, to'g'ri chizamiz PF 1 , PF 2 va chiziqni kengaytiring PO. Bu chiziqlar nuqtalarda sharlarga tegib turadi F 1 , F 2 va R 1 , R 2. Sferaga bir nuqtadan chizilgan barcha tangenslar teng bo'lgani uchun PF 1 = PR 1 va PF 2 = PR 2. Binobarin, PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2. Samolyotlardan beri p 1 va p 2 parallel, segment R 1 R 2 doimiy uzunlikda. Shunday qilib, qiymat PR 1 + PR 2 barcha nuqta pozitsiyalari uchun bir xil P, va nuqta P dan masofalar yig'indisi bo'lgan nuqtalarning joylashuviga tegishli P oldin F 1 va F 2 doimiy. Shuning uchun, nuqtalar F 1 va F 2 - elliptik kesimning o'choqlari. Bundan tashqari, samolyot bo'ylab chiziqlar ekanligini ko'rsatish mumkin p samolyotni kesib o'tadi p 1 va p 2 , tuzilgan ellipsning direktrixlari. Agar a p konusning ikkala bo'shlig'ini kesib o'tadi (5-rasm, b), keyin ikkita Dandelin sharlari tekislikning bir tomonida yotadi p, konusning har bir bo'shlig'ida bitta shar. Bu holda, o'rtasidagi farq PF 1 va PF 2 doimiy va nuqtalarning joylashuvi P fokusli giperbola shakliga ega F 1 va F 2 va to'g'ri chiziqlar - kesishish chiziqlari p Bilan p 1 va p 2 - direktor sifatida. Agar konus kesimi parabola bo'lsa, rasmda ko'rsatilganidek. 5, ichida, keyin konusga faqat bitta Dandelin sharini yozish mumkin.

Boshqa xususiyatlar.

Konus kesimlarining xossalari haqiqatan ham bitmas-tuganmas va ularning har qandayini hal qiluvchi sifatida qabul qilish mumkin. ichida muhim o‘rin tutadi Matematik uchrashuv Papa (taxminan 300), geometriyalar Dekart (1637) va Boshlanishlar Nyuton (1687) to'rtta chiziqqa nisbatan nuqtalarning joylashuvi muammosi bilan shug'ullanadi. Agar tekislikda to'rtta to'g'ri chiziq berilgan bo'lsa L 1 , L 2 , L 3 va L 4 (ikkitasi mos kelishi mumkin) va nuqta P dan masofalarning mahsuloti shunday bo'ladi P oldin L 1 va L 2 masofalar mahsulotiga proportsionaldir P oldin L 3 va L 4 , keyin nuqtalarning joylashuvi P konus kesimidir. Apolloniy va Papp to’rtta chiziqqa nisbatan nuqtalar joylashuvi masalasini yecha olmadi, deb noto’g’ri ishongan Dekart yechim olish va uni umumlashtirish maqsadida analitik geometriyani yaratdi.

ANALITIK YONDOSSHUV

Algebraik tasnifi.

Algebraik nuqtai nazardan, konus kesimlarini Dekart koordinatalari ikkinchi darajali tenglamani qanoatlantiradigan tekis egri chiziqlar sifatida aniqlash mumkin. Boshqacha qilib aytganda, barcha konus kesimlarining tenglamasini yozish mumkin umumiy ko'rinish Qanday

bu erda hamma koeffitsientlar emas A, B va C nolga teng. O'qlarni parallel ko'chirish va aylantirish yordamida (1) tenglamani shaklga keltirish mumkin

bolta 2 + tomonidan 2 + c = 0

px 2 + qy = 0.

Birinchi tenglama (1) bilan tenglamadan olinadi B 2 № AC, ikkinchisi - da B 2 = AC. Tenglamalari birinchi ko'rinishga keltiriladigan konus kesimlari markaziy deyiladi. Ikkinchi turdagi tenglamalar bilan berilgan konus kesimlari q No 0, markaziy bo'lmagan deb ataladi. Ushbu ikki toifada koeffitsientlarning belgilariga qarab, to'qqiz xil turdagi konus kesimlari mavjud.

2831) i a, b va c bir xil belgiga ega bo'lsa, u holda koordinatalari tenglamani qanoatlantiradigan haqiqiy nuqtalar yo'q. Bunday konus kesimi xayoliy ellips (yoki agar bo'lsa, xayoliy aylana) deb ataladi a = b).

2) Agar a va b bitta belgi bor va c- qarama-qarshi, keyin konus kesimi ellipsdir (1-rasm, a); da a = b- doira (6-rasm, b).

3) Agar a va b turli belgilarga ega bo'lsa, u holda konus kesimi giperbola bo'ladi (1-rasm, ichida).

4) Agar a va b turli belgilarga ega va c= 0, u holda konus kesimi ikkita kesishuvchi to'g'ri chiziqdan iborat (6-rasm, a).

5) Agar a va b bitta belgi bor va c= 0, u holda tenglamani qanoatlantiradigan egri chiziqda faqat bitta haqiqiy nuqta mavjud va konus kesimi ikkita tasavvur kesishuvchi chiziqdir. Bunda nuqtaga qisqargan ellips haqida ham gapiriladi yoki agar a = b, aylana nuqtasiga qisqargan (6-rasm, b).

6) Agar bo'lsa a, yoki b nolga teng va qolgan koeffitsientlar turli belgilarga ega bo'lsa, konusning kesimi ikkita parallel chiziqdan iborat.

7) Agar shunday bo'lsa a, yoki b nolga teng va qolgan koeffitsientlar bir xil belgiga ega bo'lsa, tenglamani qanoatlantiradigan haqiqiy nuqta yo'q. Bunda konus kesimi ikkita xayoliy parallel chiziqdan iborat deyiladi.

8) Agar c= 0 va ikkalasi ham a, yoki b ham nolga teng bo'lsa, u holda konus kesimi ikkita haqiqiy mos keladigan chiziqdan iborat. (Tenglama hech qanday konus kesimini aniqlamaydi a = b= 0, chunki bu holda dastlabki tenglama (1) ikkinchi darajali emas.)

9) Ikkinchi turdagi tenglamalar agar parabolalarni aniqlaydi p va q noldan farq qiladi. Agar a p№ 0 va q= 0, egri chiziqni 8-banddan olamiz. Agar boshqa tomondan, p= 0, u holda tenglama hech qanday konus kesimini aniqlamaydi, chunki dastlabki tenglama (1) ikkinchi darajali emas.

Konus kesimlar tenglamalarini chiqarish.

Har qanday konus kesimini tekislik kvadratik sirt bilan kesishadigan egri chiziq sifatida ham aniqlash mumkin, ya'ni. ikkinchi darajali tenglama bilan berilgan sirt bilan f (x, y, z) = 0. Ko'rinishidan, konus kesimlari birinchi bo'lib shu shaklda tan olingan va ularning nomlari ( pastga qarang) konus bilan tekislikni kesib o'tish orqali olinganligi bilan bog'liq z 2 = x 2 + y 2. Mayli A B C D- tepada to'g'ri burchakli to'g'ri doirali konusning asosi (7-rasm). V. Samolyotga ruxsat bering FDC generatrixni kesib o'tadi VB nuqtada F, asosi to'g'ri chiziqda joylashgan CD va konusning yuzasi - egri bo'ylab DFPC, qayerda P egri chiziqning istalgan nuqtasidir. Segmentning o'rtasidan chizib oling CD- nuqta E- to'g'ridan-to'g'ri EF va diametri AB. Nuqta orqali P konusni aylana bo‘ylab kesib o‘tuvchi, konusning asosiga parallel tekislik chizamiz RPS va to'g'ridan-to'g'ri EF nuqtada Q. Keyin QF va QP mos ravishda abscissa uchun olinishi mumkin x va ordinatsiya qiling y ball P. Olingan egri chiziq parabola bo'ladi.

Shaklda ko'rsatilgan qurilish. 7, chiqish uchun ishlatilishi mumkin umumiy tenglamalar konus kesimlari. Diametrning istalgan nuqtasidan aylana bilan kesishmagacha tiklangan perpendikulyar segment uzunligining kvadrati har doim diametr segmentlari uzunliklarining mahsulotiga teng bo'ladi. Shunung uchun

y 2 = RQ H QS.

Parabola uchun segment RQ doimiy uzunlikka ega (chunki nuqtaning har qanday pozitsiyasi uchun P segmentga teng AE) va segment uzunligi QS mutanosib x(munosabatdan QS/EB = QF/F.E.). Demak, bundan kelib chiqadi

qayerda a – doimiy omil. Raqam a parabolaning fokus parametrining uzunligini ifodalaydi.

Konusning tepasidagi burchak o'tkir bo'lsa, u holda segment RQ kesishga teng emas AE; lekin nisbati y 2 = RQ H QS shakldagi tenglamaga teng

qayerda a va b doimiylar yoki o'qlarni o'zgartirgandan so'ng, tenglamaga

bu ellipsning tenglamasi. Ellipsning o'q bilan kesishish nuqtalari x (x = a va x = –a) va ellipsning o'q bilan kesishish nuqtalari y (y = b va y = –b) mos ravishda katta va kichik o'qlarni aniqlang. Agar konusning uchidagi burchak o'tmas bo'lsa, konus va tekislikning kesishish egri chizig'i giperbola ko'rinishiga ega va tenglama quyidagi shaklni oladi:

yoki o'qlarni harakatga keltirgandan so'ng,

Bunday holda, eksa bilan kesishish nuqtalari x, munosabat bilan berilgan x 2 = a 2, ko'ndalang o'qni va eksa bilan kesishish nuqtalarini aniqlang y, munosabat bilan berilgan y 2 = –b 2 ulanish o'qini aniqlang. Agar doimiy bo'lsa a va b(4a) tenglamada teng bo'lsa, giperbola teng yon tomonli deb ataladi. O'qlarni aylantirish orqali uning tenglamasi shaklga keltiriladi

xy = k.

Endi (3), (2) va (4) tenglamalardan biz Apolloniy tomonidan uchta asosiy konus kesimlariga berilgan nomlarning ma'nosini tushunishimiz mumkin. "Elips", "parabola" va "giperbola" atamalari yunoncha "etishmovchilik", "teng" va "yuqori" so'zlaridan kelib chiqqan. (3), (2) va (4) tenglamalardan ko'rinib turibdiki, ellips uchun y 2 b 2 / a) x, parabola uchun y 2 = (a) x va giperbola uchun y 2 > (2b 2 /a) x. Har bir holatda qavs ichiga olingan qiymat egri chiziqning fokus parametriga teng.

Apollonning o'zi faqat uchtasini ko'rib chiqdi umumiy turi konusning kesimlari (yuqorida sanab o'tilgan 2, 3 va 9 turdagi), ammo uning yondashuvi barcha haqiqiy ikkinchi tartibli egri chiziqlarni ko'rib chiqishga imkon beruvchi umumlashtirish imkonini beradi. Agar kesish tekisligi konusning dumaloq asosiga parallel ravishda tanlansa, u holda kesma aylana bo'ladi. Agar kesish tekisligi konus bilan faqat bitta umumiy nuqtaga ega bo'lsa, uning cho'qqisi, u holda 5-turdagi kesma olinadi; agar u konusga cho'qqi va tangensni o'z ichiga olsa, biz 8 turdagi kesmani olamiz (6-rasm, b); agar kesish tekisligi konusning ikkita generatorini o'z ichiga olsa, u holda kesmada 4-toifa egri olinadi (6-rasm, a); cho'qqi cheksizlikka o'tkazilganda, konus silindrga aylanadi va agar tekislik ikkita generatorni o'z ichiga olsa, u holda 6 turdagi qism olinadi.

Qiyma burchakdan qaralganda, aylana ellipsga o'xshaydi. Arximedga ma'lum bo'lgan doira va ellips o'rtasidagi munosabat, agar aylana bo'lsa, aniq bo'ladi X 2 + Y 2 = a 2 almashtirish yordamida X = x, Y = (a/b) y ellipsga aylantirish, tenglama bilan berilgan(3a). transformatsiya X = x, Y = (ai/b) y, qayerda i 2 = –1, aylana tenglamasini (4a) ko'rinishda yozish imkonini beradi. Bu shuni ko'rsatadiki, giperbolani xayoliy kichik o'qga ega bo'lgan ellips yoki aksincha, ellipsni xayoliy konjugat o'qi bo'lgan giperbola sifatida ko'rish mumkin.

Doira ordinatalari orasidagi munosabat x 2 + y 2 = a 2 va ellips ( x 2 /a 2) + (y 2 /b 2) = 1 to'g'ridan-to'g'ri Arximed formulasiga olib keladi A = p ab ellips maydoni uchun. Kepler taxminiy formulani bilar edi p(a + b) aylanaga yaqin ellips perimetri uchun, lekin aniq ifoda faqat 18-asrda olingan. elliptik integrallar kiritilgandan keyin. Arximed ko'rsatganidek, parabolik segmentning maydoni chizilgan uchburchak maydonining uchdan to'rt qismini tashkil qiladi, ammo parabola yoyi uzunligini faqat 17-asrda hisoblash mumkin edi. differensial hisob ixtiro qilingan.

PROJEKTİV YONDASHISH

Proyektiv geometriya istiqbolni qurish bilan chambarchas bog'liq. Agar siz shaffof qog'ozga doira chizib, uni yorug'lik manbai ostiga qo'ysangiz, u holda bu doira pastdagi tekislikka proyeksiyalanadi. Bunday holda, agar yorug'lik manbai to'g'ridan-to'g'ri doira markazidan yuqorida joylashgan bo'lsa va tekislik va shaffof varaq parallel bo'lsa, u holda proyeksiya ham aylana bo'ladi (8-rasm). Yorug'lik manbasining joylashuvi yo'qolib ketish nuqtasi deb ataladi. U harf bilan belgilanadi V. Agar a V aylana markazidan yuqorida bo'lmagan yoki tekislik qog'oz varag'iga parallel bo'lmasa, aylananing proyeksiyasi ellips shaklini oladi. Tekislikning yanada kattaroq moyilligi bilan ellipsning katta o'qi (aylana proyeksiyasi) uzayadi va ellips asta-sekin parabolaga aylanadi; to'g'ri chiziqqa parallel tekislikda VP, proyeksiya parabolaga o'xshaydi; yanada kattaroq moyillik bilan proyeksiya giperbolaning shoxlaridan biri shaklini oladi.

Asl doiradagi har bir nuqta proyeksiyaning qaysidir nuqtasiga to'g'ri keladi. Agar proyeksiya parabola yoki giperbola ko'rinishiga ega bo'lsa, ular nuqtaga mos keladigan nuqta deb aytishadi. P, cheksizlikda yoki cheksizlikda.

Ko'rib turganimizdek, g'oyib bo'lish nuqtalarini mos ravishda tanlash bilan, aylana turli o'lchamdagi va turli ekssentrikliklarga ega bo'lgan ellipslarga proyeksiyalanishi mumkin va asosiy o'qlarning uzunligi proyeksiya qilingan doira diametriga bevosita bog'liq emas. Shuning uchun proyektiv geometriya masofalar yoki uzunliklar bilan shug'ullanmaydi, uning vazifasi proyeksiya ostida saqlanib qolgan uzunliklar nisbatini o'rganishdir. Bu munosabatni quyidagi konstruksiya yordamida topish mumkin. har qanday nuqta orqali P tekislik biz har qanday aylanaga ikkita tangens chizamiz va aloqa nuqtalarini to'g'ri chiziq bilan bog'laymiz p. Nuqtadan boshqa chiziq o'tsin P, aylanani nuqtalarda kesib o'tadi C 1 va C 2, lekin to'g'ri chiziq p- nuqtada Q(9-rasm). Planimetriya buni isbotlaydi Kompyuter 1 /Kompyuter 2 = –QC 1 /QC 2. (Minus belgisi segmentning yo'nalishi bo'lgani uchun paydo bo'ladi QC 1 boshqa segmentlarning yo'nalishlariga qarama-qarshi.) Boshqacha aytganda, nuqtalar P va Q segmentni ajrating C 1 C 2 tashqi va ichki bir xil jihatdan; ular shuningdek, to'rt segmentning garmonik nisbati - 1 ga teng ekanligini aytadilar. Agar aylana konusning kesmasiga proyeksiya qilinsa va tegishli nuqtalar uchun bir xil belgilar saqlanib qolsa, u holda garmonik nisbat ( Kompyuter 1)(QC 2)/(Kompyuter 2)(QC 1) teng bo'lib qoladi - 1. Nuqta P chiziqning qutbi deb ataladi p konus kesimiga va to'g'ri chiziqqa nisbatan p- qutb nuqtasi P konus kesimiga nisbatan.

Qachon nuqta P konus kesimiga yaqinlashadi, qutb tangens pozitsiyasini olishga intiladi; nuqta bo'lsa P konus kesimida yotadi, keyin uning qutbi nuqtadagi konus kesimiga tegish bilan mos tushadi P. Agar nuqta P konus kesimining ichida joylashgan bo'lsa, u holda uning qutbini quyidagicha qurish mumkin. Keling, nuqtadan o'tamiz P konus kesimini ikki nuqtada kesib o'tuvchi har qanday to'g'ri chiziq; kesishish nuqtalarida konus kesimiga teginishlarni chizish; deylik, bu tangenslar bir nuqtada kesishadi P bitta. Keling, nuqtadan o'tamiz P konus kesimini boshqa ikkita nuqtada kesib o'tuvchi boshqa to'g'ri chiziq; deylik, bu yangi nuqtalarda konus kesimiga teglar nuqtada kesishadi P 2 (10-rasm). Nuqtalardan o'tuvchi chiziq P 1 va P 2 va kerakli qutb mavjud p. Agar nuqta P markazga yaqinlashmoqda O markaziy konus kesimi, keyin qutb p dan uzoqlashadi O. Qachon nuqta P bilan mos keladi O, keyin uning qutbi cheksizlikda yoki tekislikda to'g'ri ideal bo'ladi.

MAXSUS Binolar

Astronomlar uchun ayniqsa, kompas va to'g'ri chiziq yordamida ellips nuqtalarining quyidagi oddiy qurilishi qiziqish uyg'otadi. Nuqtadan ixtiyoriy chiziq o'tsin O(11-rasm, a), nuqtalarda kesishadi Q va R bir nuqtada markazlashtirilgan ikkita konsentrik doira O va radiuslar b va a, qayerda b a. Keling, nuqtadan o'tamiz Q gorizontal chiziq va R- vertikal chiziq va ularning kesishish nuqtasini belgilang P P tekis aylanayotganda OQR nuqta atrofida O ellips bo'ladi. Burchak f chiziq o'rtasida OQR va asosiy o'q eksantrik burchak deb ataladi va tuzilgan ellips parametrik tenglamalar bilan qulay tarzda aniqlanadi. x = a cos f, y = b gunoh f. Parametrni hisobga olmaganda f, (3a) tenglamani olamiz.

Giperbola uchun qurilish asosan o'xshash. Nuqtadan o'tuvchi ixtiyoriy chiziq O, bir nuqtada ikkita aylanadan birini kesib o'tadi R(11-rasm, b). Nuqtaga R bir doira va oxirgi nuqtaga S boshqa doiraning gorizontal diametri, biz kesishgan tangenslarni chizamiz OS nuqtada T va YOKI- nuqtada Q. Vertikal chiziq nuqtadan o'tadi T, va nuqta orqali o'tadigan gorizontal chiziq Q, bir nuqtada kesishadi P. Keyin nuqtalarning joylashishi P segmentni aylantirganda YOKI atrofida O parametrik tenglamalar bilan berilgan giperbola bo'ladi x = a sek f, y = b tg f, qayerda f- ekssentrik burchak. Bu tenglamalarni fransuz matematigi A. Legendre (1752–1833) olgan. Parametrni istisno qilish orqali f, (4a) tenglamani olamiz.

N. Kopernik (1473-1543) ta'kidlaganidek, ellipsni episiklik harakat yordamida qurish mumkin. Agar aylana diametri ikki baravar katta bo'lgan boshqa doiraning ichki tomoni bo'ylab sirpanmasdan aylansa, u holda har bir nuqta P, kichikroq aylanada yotgan emas, balki unga nisbatan mahkamlangan, ellipsni tasvirlaydi. Agar nuqta P kichikroq doirada bo'lsa, u holda bu nuqtaning traektoriyasi ellipsning degenerativ holatidir - katta doiraning diametri. Ellipsning yanada sodda qurilishi 5-asrda Prokl tomonidan taklif qilingan. Agar tugasa A va B to'g'ri chiziq segmenti AB ma'lum uzunlikdagi ikkita qat'iy kesishuvchi to'g'ri chiziq bo'ylab (masalan, koordinata o'qlari bo'ylab) siljiting, so'ngra har bir ichki nuqta P segment ellipsni tasvirlaydi; golland matematigi F. van Schoten (1615-1660) siljish segmentiga nisbatan qo'zg'atilgan kesishuvchi chiziqlar tekisligidagi har qanday nuqta ham ellipsni tasvirlashini ko'rsatdi.

B. Paskal (1623-1662) 16 yoshida hozirgi mashhur Paskal teoremasini tuzdi, unda aytilishicha: har qanday konus kesimiga chizilgan olti burchakning qarama-qarshi tomonlari kesishgan uch nuqta bitta to'g'ri chiziqda yotadi. Paskal bu teoremadan 400 dan ortiq xulosa chiqardi.

Ikkinchi tartibli yuzalar to'rtburchaklar koordinatalar tizimida ikkinchi darajali algebraik tenglamalar bilan aniqlanadigan sirtlar.

1. Ellipsoid.

Ellipsoid - bu qandaydir to'rtburchaklar koordinata tizimida tenglama bilan aniqlanadigan sirt.:

(1) tenglama deyiladi kanonik tenglama ellipsoid.

Ellipsoidning geometrik ko'rinishini o'rnating. Buning uchun berilgan ellipsoidning tekislikka parallel bo'lgan tekisliklar kesimlarini ko'rib chiqing Oksi. Bu tekisliklarning har biri shaklning tenglamasi bilan aniqlanadi z=h, qayerda h- har qanday raqam va bo'limda olingan chiziq ikkita tenglama bilan aniqlanadi

(2)

Keling, turli qiymatlar uchun (2) tenglamalarni o'rganamiz h .

> c(c>0), keyin (2) tenglamalar ham xayoliy ellipsni, ya'ni tekislikning kesishish nuqtalarini aniqlaydi. z=h berilgan ellipsoid bilan mavjud emas. , keyin (2) chiziq esa (0; 0; +) nuqtalarga aylanadi c) va (0; 0; - c) (samolyotlar ellipsoidga tegadi). , u holda (2) tenglamalar sifatida ifodalanishi mumkin

bundan samolyot degan xulosa kelib chiqadi z=h ellipsoidni yarim o'qlar bilan ellips bo'ylab kesib o'tadi

va . Kamaytirilganda va qiymatlari ortadi va ularning qiymatiga etadi eng yuqori qiymatlar da, ya'ni ellipsoidning koordinata tekisligi bo'yicha kesimida Oksi u yarim o'qli va eng katta ellips bo'lib chiqadi.

Xuddi shunday rasm berilgan sirtni koordinata tekisliklariga parallel tekisliklar bilan kesishganda ham olinadi Oxz va Oyz.

Shunday qilib, ko'rib chiqilgan bo'limlar ellipsoidni yopiq oval sirt sifatida tasvirlash imkonini beradi (156-rasm). Miqdorlar a, b, c chaqirdi aks vallari ellipsoid. Qachon a=b=c ellipsoid hisoblanadi sharth.

2. Bir tarmoqli giperboloid.

Bir chiziqli giperboloid - bu ba'zi to'rtburchaklar koordinatalar tizimida tenglama bilan aniqlangan sirt. (3)

(3) tenglama bir diapazonli giperboloidning kanonik tenglamasi deyiladi.

Sirt turini o'rnating (3). Buning uchun kesmani koordinata tekisliklari bo'yicha ko'rib chiqing Oksi (y=0)vaOx(x=0). Biz mos ravishda tenglamalarni olamiz

va

Endi berilgan giperboloidning koordinata tekisligiga parallel bo‘lgan z=h tekisliklardagi kesmalarini ko‘rib chiqing Oksi. Bo'limda olingan chiziq tenglamalar bilan aniqlanadi

yoki (4)

shundan kelib chiqadiki, z=h tekislik giperboloidni yarim o'qli ellips bo'ylab kesib o'tadi.

va ,

h = 0 da eng past qiymatlariga erishish, ya'ni. bu giperboloid kesimida koordinata o'qi Oksi yarim o'qlari a*=a va b*=b bo'lgan eng kichik ellipsni hosil qiladi. Cheksiz o'sish bilan

a* va b* miqdorlar cheksiz ortadi.

Shunday qilib, ko'rib chiqilgan bo'limlar bir chiziqli giperboloidni cheksiz naycha sifatida tasvirlash imkonini beradi, u Oksi tekisligidan uzoqlashganda (har ikki tomonda) cheksiz kengayadi.

a, b, c miqdorlar bir chiziqli giperboloidning yarim o'qlari deyiladi.

3. Ikki varaqli giperboloid.

Ikki varaqli giperboloid - bu ba'zi to'rtburchaklar koordinatalar tizimida tenglama bilan aniqlangan sirt.

(5) tenglama ikki varaqli giperboloidning kanonik tenglamasi deyiladi.

Sirtning geometrik shaklini o'rnatamiz (5). Buning uchun uning kesimlarini Oxy va Oyz koordinata tekisliklari bo'yicha ko'rib chiqing. Biz mos ravishda tenglamalarni olamiz

va

shundan kelib chiqadiki, bo'limlarda giperbolalar olinadi.

Endi berilgan giperboloidning Oksi koordinata tekisligiga parallel bo‘lgan z=h tekisliklardagi kesmalarini ko‘rib chiqing. Bo'limda olingan chiziq tenglamalar bilan aniqlanadi

yoki (6)

shundan kelib chiqadiki

>c (c>0) z=h tekislik giperboloidni ellips bo‘ylab yarim o‘qlari bilan kesib o‘tadi. Qiymat ortishi bilan a* va b* ham ortadi. (6) tenglamalar faqat ikkita nuqtaning koordinatalari bilan qanoatlantiriladi: (0; 0; + c) va (0; 0; - c) (tekisliklar berilgan sirtga tegadi). (6) tenglamalar xayoliy ellipsni belgilaydi, ya'ni. berilgan giperboloid bilan z=h tekislikning kesishish nuqtalari mavjud emas.

a, b va c miqdorlar ikki varaqli giperboloidning yarim o'qlari deyiladi.

4. Elliptik paraboloid.

Elliptik paraboloid - bu ba'zi to'rtburchaklar koordinatalar tizimida tenglama bilan aniqlangan sirt.

(7)

bu erda p>0 va q>0.

(7) tenglama elliptik paraboloidning kanonik tenglamasi deyiladi.

Berilgan sirtning Oxy va Oyz koordinata tekisliklari bo'yicha kesmalarini ko'rib chiqing. Biz mos ravishda tenglamalarni olamiz

va

shundan kelib chiqadiki, kesmalarda Oz o'qiga nisbatan simmetrik, boshida cho'qqilari bo'lgan parabolalar olinadi. (sakkiz)

Bundan kelib chiqadiki, bu uchun. h ortishi bilan a va b ham ortadi; h=0 uchun ellips nuqtaga aylanadi (z=0 tekislik berilgan giperboloidga tegadi). h uchun<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

Shunday qilib, ko'rib chiqilgan bo'limlar elliptik paraboloidni cheksiz qavariq kosa shaklida tasvirlashga imkon beradi.

(0;0;0) nuqta paraboloidning tepasi deyiladi; p va q raqamlari uning parametrlari.

p=q bo'lsa, (8) tenglama Oz o'qida markazlashtirilgan doirani aniqlaydi, ya'ni. Elliptik paraboloidni parabolaning o'z o'qi atrofida aylanishidan hosil bo'lgan sirt sifatida ko'rish mumkin (inqilob paraboloidi).

5. Giperbolik paraboloid.

Giperbolik paraboloid - bu ba'zi to'rtburchaklar koordinatalar tizimida tenglama bilan aniqlangan sirt.

(9)

Ta'rif 1. Konussimon yuza yoki uchi M 0 nuqtada boʻlgan konus har bir toʻgʻri chiziqlar M 0 nuqtadan va g chiziqning qaysidir nuqtasidan oʻtuvchi barcha toʻgʻri chiziqlardan hosil boʻlgan sirtdir. M 0 nuqta konusning tepasi, g chiziq esa yo'naltiruvchi deyiladi. Konusning cho'qqisidan o'tgan va uning ustida yotadigan chiziqlar konusning generatorlari deyiladi.

Teorema. Kanonik tenglamali 2-tartibli sirt

boshi cho‘qqisi bo‘lgan, ellips bilan boshqariladigan konusdir

Isbot.

M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) sirtning a koordinatasidan farqli qaysidir nuqtasi bo'lsin; ?=OM 1 - chiziq, M (x; y; z) ? ga tegishli. beri | | , keyin, shunday

Chunki, u holda uning koordinatalari x 1; y1; z 1 (1) tenglamani qanoatlantiring. Shartlarni hisobga olgan holda (3), biz bor, qaerda t≠ 0. Tenglamaning ikkala tomonini ga bo'lish t2≠ 0 bo'lsa, m=OM 1 to'g'ri chiziqning ixtiyoriy M (x; y; z) nuqtasining koordinatalari (1) tenglamani qanoatlantirishini olamiz. O(0,0,0) nuqtaning koordinatalari bilan ham qanoatlantiriladi.

Shunday qilib, m=OM 1 chiziqning istalgan M (x; y; z) nuqtasi (1) tenglamaga ega bo‘lgan a sirtda yotadi, ya’ni OM 1 =m chiziq a sirtining to‘g‘ri chiziqli avlodidir.

Endi tenglama bilan Oksi tekisligiga parallel bo'lgan tekislik bilan a sirtining kesimini ko'rib chiqamiz. z=c≠ 0:

Bu qism yarim o'qli ellipsdir a va b. Shuning uchun u bu ellipsni kesib o'tadi. 1-ta'rifga ko'ra, a sirt tepasi bo'lgan konusdir O(0,0,0) (barcha m chiziqlar koordinatadan o'tadi); bu konusning generatorlari to'g'ri chiziqlar m, yo'riqnoma yuqorida ko'rsatilgan ellipsdir.

Teorema isbotlangan.

Ta'rif 2. Kanonik tenglama (1) bo'lgan ikkinchi tartibli sirt ikkinchi tartibli konus deb ataladi.

2-tartibli konusning xususiyatlari.

1º Tenglama (1) bo'lgan konus barcha koordinata tekisliklariga, barcha koordinata o'qlariga va koordinata o'qlariga nisbatan simmetrikdir (chunki barcha o'zgaruvchilar (1) tenglamada ikkinchi darajagacha mavjud).

2º Barcha koordinata o'qlari konus bilan (1) yagona umumiy nuqtaga ega - bir vaqtning o'zida uning cho'qqisi va markazi bo'lib xizmat qiladi.

3º Konusning (1) tekisliklar bo'yicha kesilishi Oxz va Oyz– boshida kesishuvchi to‘g‘ri chiziq juftlari; samolyot Oksi- nuqta O(0,0,0).

4º Konusning (1) koordinata tekisliklariga parallel bo'lgan, lekin ular bilan to'g'ri kelmaydigan bo'laklari ellips yoki giperbolalardir.

5º Agar a a = b, keyin bu ellipslar doiralardir va konusning o'zi inqilob yuzasidir. Bu holda dumaloq konus deyiladi.

Ta'rif 3: konus kesimi - aylana konusning o'z cho'qqisidan o'tmaydigan ixtiyoriy tekislik bilan kesishgan chiziq. Shunday qilib, kanonik bo'limlar ellips, giperbola va paraboladir.

Farqi shundaki, "tekis" grafikalar o'rniga biz eng keng tarqalgan fazoviy yuzalarni ko'rib chiqamiz, shuningdek ularni qo'lda qanday qilib to'g'ri qurishni o'rganamiz. Men ancha vaqtdan beri 3D chizmalarini yaratish uchun dasturiy vositalarni izlayapman va bir nechta yaxshi ilovalarni topdim, ammo foydalanish qulayligiga qaramay, bu dasturlar muhim amaliy masalani yaxshi hal qila olmaydi. Gap shundaki, yaqin tarixiy kelajakda talabalar qalam bilan chizg'ich bilan qurollangan bo'lishadi va hatto yuqori sifatli "mashina" rasmiga ega bo'lishsa ham, ko'pchilik uni katak qog'ozga to'g'ri o'tkaza olmaydi. Shuning uchun o'quv qo'llanmasida qo'lda qurilish texnikasiga alohida e'tibor beriladi va sahifadagi rasmlarning muhim qismi qo'lda tayyorlangan mahsulotdir.

Ushbu ma'lumotnoma materiali analoglardan nimasi bilan farq qiladi?

Tegishli amaliy tajribaga ega bo'lgan holda, men oliy matematikaning haqiqiy muammolarida qaysi sirtlar ko'pincha ko'rib chiqilishini juda yaxshi bilaman va umid qilamanki, ushbu maqola sizning yukingizni tegishli bilim va amaliy ko'nikmalar bilan tezda to'ldirishga yordam beradi, bu 90-95% hollarda. yetarli bo‘lishi kerak.

Hozir nimani bilishingiz kerak?

Eng oddiy:

Birinchidan, siz qodir bo'lishingiz kerak to'g'ri qurish fazoviy dekart koordinatalar tizimi (maqolaning boshiga qarang Funksiyalarning grafiklari va xossalari ) .

Ushbu maqolani o'qib chiqqandan keyin nimaga erishasiz?

Shisha Dars materiallarini o'zlashtirgandan so'ng, siz uning funksiyasi va / yoki tenglamasi bo'yicha sirt turini tezda qanday aniqlashni, uning kosmosda qanday joylashganligini tasavvur qilishni va, albatta, chizmalarni yaratishni o'rganasiz. Agar birinchi o'qishdan boshlab hamma narsa sizning boshingizga to'g'ri kelmasa, yaxshi - keyinroq kerak bo'lganda istalgan xatboshiga qaytishingiz mumkin.

Axborot har kimning qo'lida - uni rivojlantirish uchun sizga hech qanday super bilim, maxsus badiiy iste'dod va fazoviy qarash kerak emas.

Boshlanishi!

Amalda, odatda, fazoviy sirt beriladi ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi yoki shakldagi tenglama (o'ng tomonning doimiysi ko'pincha nolga yoki birga teng). Birinchi belgi ko'proq matematik tahlil uchun, ikkinchisi - uchun analitik geometriya . Tenglama, mohiyatan shunday bilvosita berilgan 2 o'zgaruvchining funksiyasi, bu odatda holatlarda osongina shaklga tushirilishi mumkin. Sizga eng oddiy misolni eslataman c:

– tekislik tenglamasi mehribon.

dagi tekislik funksiyasi aniq .

Undan boshlaylik:

Umumiy tekislik tenglamalari

To'rtburchaklar koordinatalar tizimida tekisliklarni joylashtirishning odatiy variantlari maqolaning boshida batafsil ko'rib chiqiladi. Tekislik tenglamasi . Shunga qaramay, amaliyot uchun katta ahamiyatga ega bo'lgan tenglamalarga yana bir bor to'xtalib o'tamiz.

Avvalo, siz koordinata tekisliklariga parallel bo'lgan tekisliklarning tenglamalarini to'liq tan olishingiz kerak. Samolyotlarning bo'laklari odatda to'rtburchaklar shaklida tasvirlangan, ular oxirgi ikki holatda parallelogrammga o'xshaydi. Odatiy bo'lib, siz har qanday o'lchamlarni tanlashingiz mumkin (albatta, oqilona chegaralar ichida), shu bilan birga koordinata o'qi tekislikni "teshadigan" nuqta simmetriya markazi bo'lishi maqsadga muvofiqdir:


To'g'ri aytganda, ba'zi joylarda koordinata o'qlari nuqta chiziq bilan tasvirlangan bo'lishi kerak edi, ammo chalkashmaslik uchun biz bu nuanceni e'tiborsiz qoldiramiz.

– (chapda chizilgan) tengsizlik bizdan eng uzoqda joylashgan yarim bo'shliqni aniqlaydi, tekislikning o'zi bundan mustasno;

– (o'rta chizma) tengsizlik o'ng yarim bo'shliqni, shu jumladan tekislikni belgilaydi;

– (o'ng rasm) er-xotin tengsizlik tekisliklar o'rtasida joylashgan "qatlam" ni belgilaydi, shu jumladan ikkala tekislik ham.

O'z-o'zini mashq qilish uchun:

1-misol

Samolyotlar bilan chegaralangan jismni chizing
Berilgan jismni aniqlovchi tengsizliklar sistemasini tuzing.

Qalamingiz ostidan eski tanishingiz chiqishi kerak kubsimon. Ko'rinmas qirralar va yuzlar nuqta chiziq bilan chizilgan bo'lishi kerakligini unutmang. Dars oxirida rasm chizish tugallandi.

Iltimos, E'tiborsiz qoldirmang o'rganish vazifalari, ular juda oddiy ko'rinsa ham. Aks holda, ular buni bir marta o'tkazib yuborganlari, ikki marta o'tkazib yuborganlari va keyin bir soat davomida uch o'lchamli rasmni biron bir haqiqiy misolda silliqlashlari mumkin. Bundan tashqari, mexanik ish materialni yanada samarali o'rganishga va aqlni rivojlantirishga yordam beradi! Bolalar bog'chasi va boshlang'ich maktabda bolalarga barmoqlarning nozik motorli ko'nikmalarini rivojlantirish uchun rasm chizish, modellashtirish, dizaynerlar va boshqa vazifalar yuklanganligi bejiz emas. Chekish uchun meni kechiring, lekin rivojlanish psixologiyasi bo'yicha ikkita daftarim yo'qolmasligi kerak =)

Quyidagi samolyotlar guruhini shartli ravishda "to'g'ridan-to'g'ri nisbatlar" deb ataymiz - bular koordinata o'qlaridan o'tadigan tekisliklar:

2) shaklning tenglamasi o'qdan o'tadigan tekislikni aniqlaydi;

3) shaklning tenglamasi o'qdan o'tadigan tekislikni aniqlaydi.

Rasmiy belgi aniq bo'lsa-da (qaysi o'zgaruvchi tenglamada yo'q - samolyot shu o'qdan o'tadi), sodir bo'layotgan voqealarning mohiyatini tushunish har doim foydalidir:

2-misol

Samolyot qurish

Qurilishning eng yaxshi usuli qanday? Men quyidagi algoritmni taklif qilaman:

Birinchidan, biz tenglamani shaklda qayta yozamiz, undan "y" olishi mumkinligi aniq ko'rinadi. har qanday qiymatlar. Biz qiymatni tuzatamiz , ya'ni koordinata tekisligini ko'rib chiqamiz. Tenglamalar to'plami fazoviy chiziq berilgan koordinata tekisligida yotgan. Keling, ushbu chiziqni chizmaga chizamiz. Chiziq koordinatadan o'tadi, shuning uchun uni qurish uchun bitta nuqtani topish kifoya. Mayli. Bir nuqtani chetga surib qo'ying va chiziq torting.

Endi tekislik tenglamasiga qayting. Chunki "y" oladi har qanday qiymatlar, keyin tekislikda qurilgan to'g'ri chiziq chapga va o'ngga doimiy ravishda "takrorlanadi". Bizning samolyotimiz o'qdan o'tib, shunday shakllanadi. Chizishni yakunlash uchun to'g'ri chiziqning chap va o'ng tomonida ikkita parallel chiziqni ajratib qo'yamiz va ko'ndalang gorizontal segmentlar bilan ramziy parallelogrammani "yopamiz":

Vaziyat qo'shimcha cheklovlar qo'ymaganligi sababli, samolyotning bo'lagi biroz kichikroq yoki biroz kattaroq tasvirlangan bo'lishi mumkin edi.

Yana bir bor, biz misol yordamida fazoviy chiziqli tengsizlikning ma'nosini takrorlaymiz. U belgilaydigan yarim bo'shliqni qanday aniqlash mumkin? Keling, bir fikrni olaylik egalik qilmaydi tekislik, masalan, bizga eng yaqin yarim fazodan nuqta va uning koordinatalarini tengsizlikka almashtiring:

Qabul qildi to'g'ri tengsizlik, ya'ni tengsizlik pastki (tekislikka nisbatan) yarim bo'shliqni belgilaydi, tekislikning o'zi esa yechimga kiritilmagan.

3-misol

Samolyotlarni qurish
a) ;
b) .

Bu o'z-o'zini qurish uchun vazifalar, agar qiyinchilik tug'ilsa, shunga o'xshash mulohazalardan foydalaning. Dars oxirida qisqacha ko'rsatmalar va chizmalar.

Amalda, ayniqsa, o'qga parallel bo'lgan tekisliklar keng tarqalgan. Samolyot o'qdan o'tganda, maxsus holat "b" bandida bo'lgan va endi biz umumiy muammoni tahlil qilamiz:

4-misol

Samolyot qurish

Yechim: "z" o'zgaruvchisi tenglamada aniq ishtirok etmaydi, ya'ni tekislik qo'llaniladigan o'qga parallel. Keling, oldingi misollarda bo'lgani kabi bir xil texnikadan foydalanamiz.

Tekis tenglamani shaklda qayta yozamiz shundan "Z" olishi aniq har qanday qiymatlar. Keling, uni tuzatamiz va "mahalliy" tekislikda odatiy "tekis" to'g'ri chiziqni chizamiz. Uni qurish uchun mos yozuvlar nuqtalarini olish qulay.

Chunki "Z" oladi hammasi qiymatlar, keyin qurilgan to'g'ri chiziq doimiy ravishda yuqoriga va pastga "ko'payadi" va shu bilan kerakli tekislikni hosil qiladi. . Ehtiyotkorlik bilan oqilona o'lchamdagi parallelogramma chizing:

Tayyor.

Segmentlardagi tekislik tenglamasi

Eng muhim qo'llaniladigan nav. Agar a hammasi imkoniyatlar tekislikning umumiy tenglamasi noldan farq qiladi, keyin u sifatida ifodalanishi mumkin , deb ataladi segmentlardagi tekislik tenglamasi. Shubhasiz, tekislik koordinata o'qlarini nuqtalarda kesib o'tadi va bunday tenglamaning katta afzalligi - chizishning qulayligi:

5-misol

Samolyot qurish

Yechim: birinchidan, tekislik tenglamasini segmentlarda tuzamiz. Erkin atamani o'ngga tashlang va ikkala qismni 12 ga bo'ling:

Yo'q, bu xato emas va hamma narsa kosmosda sodir bo'ladi! Biz taklif qilingan sirtni yaqinda samolyotlar uchun ishlatilgan bir xil usul bilan tekshiramiz. Biz tenglamani shaklda qayta yozamiz , shundan kelib chiqadiki, "Z" oladi har qanday qiymatlar. Biz tekislikda ellipsni tuzatamiz va quramiz. Chunki "Z" oladi hammasi qiymatlar, keyin tuzilgan ellips doimiy ravishda yuqoriga va pastga "takrorlanadi". Bu sirt ekanligini tushunish oson cheksiz:

Bu sirt deyiladi elliptik silindr. Ellips (har qanday balandlikda) deyiladi hidoyat silindr va ellipsning har bir nuqtasidan o'tadigan parallel chiziqlar deyiladi hosil qiluvchi silindr (uni tom ma'noda tashkil qiladi). eksa hisoblanadi simmetriya o'qi sirt (lekin uning bir qismi emas!).

Berilgan sirtga tegishli har qanday nuqtaning koordinatalari tenglamani albatta qanoatlantiradi .

Fazoviy tengsizlik silindrsimon sirtning o'zini o'z ichiga olgan cheksiz "quvur" ning "ichini" belgilaydi va shunga mos ravishda qarama-qarshi tengsizlik silindrdan tashqaridagi nuqtalar to'plamini belgilaydi.

Amaliy masalalarda eng mashhur holat bu qachon hidoyat silindr hisoblanadi doira :

8-misol

Tenglama bilan berilgan sirtni tuzing

Cheksiz "quvur" ni tasvirlab bo'lmaydi, shuning uchun san'at, qoida tariqasida, "kesish" bilan cheklangan.

Birinchidan, tekislikda radiusli doira, keyin esa yuqorida va pastda yana bir nechta doira qurish qulay. Olingan doiralar ( qo'llanmalar silindr) to'rtta parallel to'g'ri chiziq bilan yaxshilab bog'langan ( hosil qiluvchi silindr):

Ko'rinmas chiziqlar uchun nuqtali chiziqlardan foydalanishni unutmang.

Berilgan silindrga tegishli har qanday nuqtaning koordinatalari tenglamani qanoatlantiradi . To'liq "quvur" ichida joylashgan har qanday nuqtaning koordinatalari tengsizlikni qondiradi. , va tengsizlik tashqi qismning nuqtalari to'plamini belgilaydi. Yaxshiroq tushunish uchun men kosmosdagi bir nechta aniq fikrlarni ko'rib chiqishni va o'zingiz ko'rishni maslahat beraman.

9-misol

Sirtni tuzing va uning tekislikka proyeksiyasini toping

Biz tenglamani shaklda qayta yozamiz shundan kelib chiqadiki, "x" olinadi har qanday qiymatlar. Keling, tekislikda tuzatamiz va chizamiz doira – boshlang‘ichda markazlashtirilgan, birlik radiusi. Chunki "x" doimiy ravishda oladi hammasi qiymatlar, keyin qurilgan doira simmetriya o'qi bo'lgan dairesel silindr hosil qiladi. Boshqa doira chizing hidoyat silindr) va ularni to'g'ri chiziqlar bilan ehtiyotkorlik bilan ulang ( hosil qiluvchi silindr). Ba'zi joylarda qoplamalar paydo bo'ldi, ammo nima qilish kerak, bunday nishab:

Bu safar men o'zimni bo'shliqda silindrning bir qismi bilan chekladim va bu tasodifiy emas. Amalda, ko'pincha sirtning faqat kichik bir qismini tasvirlash kerak.

Aytgancha, bu erda 6 ta generatris paydo bo'ldi - ikkita qo'shimcha to'g'ri chiziq sirtni yuqori chap va pastki o'ng burchaklardan "yopishadi".

Endi silindrning tekislikka proyeksiyasi bilan shug'ullanamiz. Ko'pgina o'quvchilar proektsiya nima ekanligini tushunishadi, ammo shunga qaramay, keling, yana besh daqiqa jismoniy tarbiya bilan shug'ullanamiz. Iltimos, o'qning uchi peshonangizga perpendikulyar ko'rinishi uchun o'rningizdan turing va boshingizni chizilgan ustiga egib qo'ying. Tsilindrning bu burchakdan ko'rinishi uning tekislikka proyeksiyasidir. Ammo bu to'g'ri chiziqlar, jumladan, to'g'ri chiziqlar orasiga o'ralgan cheksiz chiziq kabi ko'rinadi. Bu prognoz aynan domen funktsiyalari (tsilindrning yuqori "trubkasi"), (pastki "truba").

Aytgancha, keling, boshqa koordinata tekisliklariga proyeksiyalar bilan bog'liq vaziyatga aniqlik kiritaylik. Quyosh nurlari silindrga uchi tomondan va eksa bo'ylab porlasin. Silindrning tekislikka soyasi (proyeksiyasi) xuddi shunday cheksiz chiziq - tekislikning to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan qismi ( - har qanday), shu jumladan to'g'ri chiziqlarning o'zi.

Ammo samolyotdagi proektsiya biroz boshqacha. Agar siz silindrga o'qning uchidan qarasangiz, u birlik radiusi doirasiga proyeksiyalanadi. u bilan qurilishni boshladik.

10-misol

Sirtni tuzing va uning koordinata tekisliklaridagi proyeksiyalarini toping

Bu mustaqil qaror qabul qilish vazifasi. Agar shart juda aniq bo'lmasa, ikkala tomonni kvadratga aylantiring va natijani tahlil qiling; funktsiya silindrning qaysi qismini aniq belgilashini aniqlang. Yuqorida qayta-qayta qo'llanilgan qurilish texnikasidan foydalaning. Dars oxirida qisqacha yechim, chizma va sharhlar.

Elliptik va boshqa silindrsimon yuzalar koordinata o'qlariga nisbatan siljishi mumkin, masalan:

(haqidagi maqolaning tanish asoslarida 2-tartibdagi qatorlar ) - o'qga parallel nuqtadan o'tadigan simmetriya chizig'i bilan birlik radiuli silindr. Biroq, amalda bunday tsilindrlar juda kam uchraydi va koordinata o'qlariga nisbatan "qiyshiq" silindrsimon sirtni uchratish mutlaqo aql bovar qilmaydi.

Parabolik tsilindrlar

Nomidan ko'rinib turibdiki, hidoyat shunday silindr parabola .

11-misol

Sirtni tuzing va uning koordinata tekisliklaridagi proyeksiyalarini toping.

Bu misolga qarshi tura olmadim =)

Yechim: Biz kaltaklangan yo'ldan boramiz. Keling, tenglamani shaklda qayta yozamiz, shundan kelib chiqadiki, "Z" har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin. Oldin arzimas mos yozuvlar nuqtalarini belgilab, tekislikda oddiy parabolani tuzatamiz va quramiz. Chunki "Z" oladi hammasi qiymatlar, keyin tuzilgan parabola doimiy ravishda yuqoriga va pastga cheksiz "takrorlanadi". Biz bir xil parabolani, aytaylik, balandlikda (tekislikda) chetga qo'yamiz va ularni parallel chiziqlar bilan ehtiyotkorlik bilan bog'laymiz ( silindr generatorlari):

eslataman foydali texnika: agar dastlab chizilgan sifatiga ishonch bo'lmasa, unda avval chiziqlarni qalam bilan ingichka va ingichka qilib chizish yaxshiroqdir. Keyin biz eskizning sifatini baholaymiz, sirt ko'zimizdan yashiringan joylarni aniqlaymiz va shundan keyingina stilusga bosim o'tkazamiz.

Prognozlar.

1) Silindrning tekislikka proyeksiyasi paraboladir. Shuni ta'kidlash kerakki, bu holatda bu haqda gapirish mumkin emas ikki oʻzgaruvchili funksiyaning sohalari - silindr tenglamasi funksional shaklga qaytarilmasligi sababli.

2) Silindrning tekislikka proyeksiyasi yarim tekislik, shu jumladan o'q

3) Va nihoyat, silindrning tekislikka proyeksiyasi butun tekislikdir.

12-misol

Parabolik tsilindrlarni tuzing:

a) , yaqin yarim fazoda sirtning bir bo'lagi bilan cheklanamiz;

b) oraliqda

Qiyinchiliklar bo'lsa, biz shoshilmaymiz va oldingi misollarga o'xshab bahslashamiz, xayriyatki, texnologiya yaxshilab ishlab chiqilgan. Agar yuzalar biroz noqulay bo'lib chiqsa, bu muhim emas - asosiy rasmni to'g'ri ko'rsatish muhimdir. Men o'zimni chiziqlarning go'zalligi bilan bezovta qilmayman, agar chidab bo'lmas "C gradus" rasmini olsam, odatda uni qayta tiklamayman. Namunaviy yechimda, aytmoqchi, chizma sifatini yaxshilash uchun yana bir usul ishlatilgan ;-)

Giperbolik silindrlar

qo'llanmalar bunday silindrlar giperbola. Mening kuzatishlarimga ko'ra, bu turdagi sirt oldingi turlarga qaraganda ancha kam uchraydi, shuning uchun men o'zimni giperbolik silindrning bitta sxematik chizmasi bilan cheklayman:

Bu erda fikr yuritish printsipi aynan bir xil - odatiy maktab giperbolasi tekislikdan doimiy ravishda yuqoriga va pastga cheksiz "ko'payadi".

Ko'rib chiqilgan tsilindrlar deb ataladigan narsalarga tegishli 2-tartibdagi sirtlar, va endi biz ushbu guruhning boshqa vakillari bilan tanishishni davom ettiramiz:

Ellipsoid. Sfera va to'p

To'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi ellipsoidning kanonik tenglamasi shaklga ega , musbat raqamlar qayerda ( aks vallari ellipsoid), bu umumiy holatda boshqacha. Ellipsoid deyiladi sirt, va tanasi bu sirt bilan chegaralangan. Tana, ko'pchilik taxmin qilganidek, tengsizlik bilan berilgan va har qanday ichki nuqtaning (shuningdek, har qanday sirt nuqtasi) koordinatalari bu tengsizlikni majburiy ravishda qondiradi. Dizayn koordinata o'qlari va koordinata tekisliklariga nisbatan nosimmetrikdir:

"Elipsoid" atamasining kelib chiqishi ham aniq: agar sirt koordinata tekisliklari bilan "kesilgan" bo'lsa, u holda bo'limlarda uch xil (umumiy holatda) bo'ladi.