Aşağıda, doğrusal bağımlılık ve buna bağlı olarak vektör sistemlerinin doğrusal bağımsızlığı için çeşitli kriterler verilmektedir.

Teorem. (Vektörlerin lineer bağımlılığı için gerekli ve yeterli bir koşul.)

Bir vektörler sistemi, ancak ve ancak sistemin vektörlerinden birinin bu sistemin diğerleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilmesi durumunda bağımlıdır.

Kanıt. İhtiyaç. Sistemin lineer bağımlı olmasına izin verin. Daha sonra, tanım gereği, boş vektörü önemsiz olmayan bir şekilde temsil eder, yani. sıfır vektörüne eşit olan bu vektörler sisteminin önemsiz olmayan bir kombinasyonu vardır:

burada bu lineer kombinasyonun katsayılarından en az biri sıfıra eşit değildir. İzin vermek , .

Önceki eşitliğin her iki bölümünü de bu sıfır olmayan katsayıya bölün (yani şuyla çarpın:

Belirtin: , nerede .

şunlar. sistemin vektörlerinden biri, bu sistemin diğer vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilir, vb.

Yeterlilik Sistemin vektörlerinden biri, bu sistemin diğer vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilsin:

Vektörü bu eşitliğin sağına kaydıralım:

Vektörün katsayısı olduğu için, vektörler sistemi tarafından önemsiz olmayan bir sıfır temsiline sahibiz, bu da bu vektör sisteminin doğrusal olarak bağımlı olduğu anlamına gelir, vb.

Teorem kanıtlanmıştır.

Sonuçlar.

1. Bir vektör uzayındaki vektörler sistemi, ancak ve ancak sistemin vektörlerinden hiçbiri bu sistemin diğer vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilmemişse, doğrusal olarak bağımsızdır.

2. Bir sıfır vektör veya iki eşit vektör içeren bir vektörler sistemi lineer bağımlıdır.

Kanıt.

1) Gereklilik. Sistemin lineer bağımsız olmasına izin verin. Bunun tersini varsayın ve bu sistemin diğer vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilen bir sistem vektörü var. O zaman, teoreme göre sistem lineer bağımlıdır ve bir çelişkiye ulaşırız.

Yeterlilik Sistemin vektörlerinden hiçbirinin diğerleri cinsinden ifade edilmesine izin vermeyin. Tam tersini varsayalım. Sistemin lineer olarak bağımlı olmasına izin verin, ancak bu teoremden, bu sistemin diğer vektörleri aracılığıyla lineer olarak ifade edilen bir sistem vektörü olduğu sonucu çıkar ve yine bir çelişkiye geliriz.

2a) Sistemin bir sıfır vektörü içermesine izin verin. Kesinlik için vektörün :. Daha sonra eşitlik

şunlar. sistemin vektörlerinden biri, bu sistemin diğer vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilir. Teoremden, böyle bir vektör sisteminin doğrusal olarak bağımlı olduğu sonucu çıkar.

Bu gerçeğin doğrusal olarak bağımlı bir vektör sisteminden doğrudan kanıtlanabileceğini unutmayın.

olduğundan, aşağıdaki eşitlik açıktır

Bu, sıfır vektörünün önemsiz olmayan bir temsilidir; bu, sistemin lineer olarak bağımlı olduğu anlamına gelir.

2b) Sistemin iki eşit vektörü olsun. için izin verin. Daha sonra eşitlik

Şunlar. birinci vektör, aynı sistemin diğer vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilir. Teoremden şu sonucu çıkar: bu sistem lineer bağımlı, vb.

Bir öncekine benzer şekilde, bu iddia da doğrudan lineer bağımlı bir sistemin tanımından kanıtlanabilir.O zaman bu sistem sıfır vektörünü önemsiz olmayan bir şekilde temsil eder.

nereden takip ediyor doğrusal bağımlılık sistemler.

Teorem kanıtlanmıştır.

Sonuçlar. Bir vektörden oluşan bir sistem, ancak ve ancak bu vektör sıfırdan farklıysa lineer olarak bağımsızdır.

w tanım kümesine lineer uzay ve onun elemanı denir. -vektörler eğer:

*Kanun kediye göre (+) ayarlanmıştır. w'den herhangi iki x, y öğesi adı verilen bir öğeyle ilişkilendirilir. toplamları [x + y]

* w ve a'dan gelen x öğesinin, x ve a [ax]'ın ürünü olarak adlandırılan w'den bir öğeyle karşılaştırılmasına göre (* a sayısındaki) yasası verilir;

* Tamamlandı

aşağıdaki gereksinimler (veya aksiyomlar):

iz c1. boş vektör (ctv 0 1 ve 0 2 . a3 ile: 0 2 + 0 1 = 0 2 ve 0 1 + 0 2 = 0 1 . ile a1 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 => 0 1 = 0 2.)

c2. .(ctv, a4)

c3. 0 vec.(a7)

c4. a(sayı)*0=0.(a6,c3)

c5. x (*) -1 \u003d 0 vektörü, x'in tersi, yani. (-1) x = -x. (a5,a6)

c6. Çıkarma eylemi w'de tanımlanır: x vektörüne, x + a = b ise b ve a vektörlerinin farkı denir ve x = b - a olarak gösterilir.

Sayı n aranan boyut lin. pr-a L , eğer içinde L bir sistem var n lin. bekar vektörler ve herhangi bir sistem n+1 vektör - lin. bağımlı. loş L= n. Uzay L n boyutlu olarak adlandırılır.

Sıralı bir dizi n satır. bekar vektörler n boyuttan bağımsız. boşluklar - temel

Teorem. Her X vektörü temsil edilebilir tek yolçizgiler şeklinde Temel vektörlerin kombinasyonları

(1) n boyutlu bir çizginin temeli olsun. pr-va V, yani lineer bağımsız vektörler kümesi. Vektörler kümesi lin olacaktır. bağımlı, çünkü onlara n+ 1.

Şunlar. aynı anda hepsi sıfıra eşit olmayan sayılar da vardır, bu dahası (aksi halde (1) lineer bağımlıdır).

O zamanlar vektörün ayrışması nerede x temelinde (1) .

Bu ifade benzersizdir, çünkü başka bir ifade varsa (**)

(*) eşitlikten (**) çıkarılarak,

alırız

Çünkü o zaman lineer bağımsızdır. Chtd

Teorem. Eğer - lin. V uzayının bağımsız vektörleri ve V'den gelen her x vektörü ile temsil edilebilir, o zaman bu vektörler V'nin temelini oluşturur

Doc-in: (1) -lin.in Independence => lin.based için olan doc-th olarak kalır. Dönüşüme göre Her a vektörü (1) cinsinden ifade edilir: , düşünün , rang≤n => sütunlar arasında n'den fazla olmayan doğrusal bağımsızdır, ancak m > n=> m sütunlar doğrusal olarak bağımlıdır => s=1, n

Yani vektörler lineer bağımlıdır.

Böylece, V uzayı n-boyutludur ve (1) onun temelidir.

№4Def. Alt küme L lin. pr-va V'ye lin denir. referans Bu uzayın, V'de verilen (+) ve (*a) işlemlerine göre, L alt uzayı bir lineer uzay ise

Teorem V uzayındaki vektörlerin l kümesi lin'dir. Bu uzayın alt uzayı  gerçekleştirir

(yeterince) (1) ve (2)'nin yerine getirilmesine izin verin, çünkü L'nin bir altbasit V olduğu gerçeği, lin'in tüm aksiyomlarının karşılandığını kanıtlamak için kalır. pr-va.

(-x): -x+x=0 d. a(x + y) = balta + ay;

(a-b) ve (e-h), (c)'yi kanıtladığımız V'nin geçerliliğinden çıkar

(ihtiyaç) L bir lin olsun. bu uzayın alt uzayı, daha sonra (1) ve (2) çizgilerin tanımı nedeniyle tutar. pr-va

Def. Her türlü çizgiden oluşan bir koleksiyon. bazı elementlerin kombinasyonları (x j) lin. pr-va lineer kabuk olarak adlandırılır

teorem tüm satırların keyfi bir kümesi. V vektörlerinin eylem ile kombinasyonları. katsayısı lin'dir. alt V (doğrusal kabuk verilen vektörler sistemi lin. pr. bu pr'nin bir çizgi desteğidir. )

ODA.Doğru vektörlerinin boş olmayan L alt kümesi. pr-va V'ye lin denir. alt uzay eğer:

a) L'den herhangi bir vektörün toplamı L'ye aittir

b) L'den gelen her vektörün herhangi bir sayıdaki ürünü L'ye aittir

iki alt uzayın toplamıLyine bir altuzayL

1) y 1 + y 2 (L 1 + L 2) olsun<=>y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x' 1 + x' 2, burada (x 1, x' 1) L 1, (x 2, x' 2) L 2. y 1 +y 2 =(x 1 +x 2)+(x' 1 +x' 2)=(x 1 +x' 1)+(x 2 +x' 2), burada (x 1 +x' 1 ) L 1 , (x 2 +x' 2) L 2 => lineer alt uzayın ilk koşulu sağlanır.

ay 1 =ax 1 +ax 2, burada (ax 1) L 1, (ax 2) L 2 => çünkü (y 1 +y 2) (L 1 +L 2) , (ly 1) (L 1 +L 2) => koşullar karşılandı => L 1 +L 2 doğrusal bir altuzaydır.

İki alt kesişim.L 1 veL 2 lin. pr-vaL aynı zamanda bir alt. bu boşluk.

İki keyfi vektör düşünün x,y alt uzayların kesişimine ait ve iki keyfi sayı a,b:.

Def'e göre. kavşakları ayarla:

=> bir lineer uzayın bir alt uzayının tanımına göre:,.

TKVektör balta + ile sete ait L 1 ve ayarla L 2 , o zaman tanım gereği bu kümelerin kesişimine aittir. Böylece:

ODA.V'nin, desteklerinin doğrudan toplamı olduğunu söylüyorlar. eğer ve b) bu ​​ayrıştırma benzersizdir

b") b)'nin b')'ye eşdeğer olduğunu gösterelim.

b) doğru b’) ile

Hiç (M, N) itibaren sadece sıfır vektörü boyunca kesişir

∃z ∈ olsun

Adil. tersiL=

çelişki

Teorem (*) bazların birleşmesi için gerekli ve yeterlidir ( uzayın temelini oluşturdu

(Gerekli(*) ve vektörler alt kümelerin tabanı olsun. ve içinde bir genişleme var; x, temel L'ye göre ayrıştırılır, ( temeli oluşturduğunu, lineer bağımsızlıklarını kanıtlamak gerekir, hepsinin 0 0=0+…+0 içerdiğini iddia etmek için. 0'ın açılımının benzersizliği nedeniyle: : => bazın lineer bağımsızlığından dolayı => ( – baz

(Dahili)( Bir temel oluştursun L benzersiz ayrıştırma (**) en az bir ayrıştırma mevcut olsun. Benzersizlik sayesinde (*) => benzersizlik (**)

Yorum. Doğrudan toplamın boyutu, alt uzayın boyutlarının toplamına eşittir.

Herhangi bir dejenere olmayan ikinci dereceden matris, bir temelden diğerine geçiş matrisi olarak hizmet edebilir.

n-boyutlu bir lineer uzay V'nin iki tabanı olsun ve

(1) =A , burada * ve ** öğeleri sayı değildir, ancak sayısal bir matris üzerindeki belirli işlemleri bu tür satırlara genişleteceğiz.

Çünkü aksi takdirde ** vektörleri lineer bağımlı olur

Geri. A sütunları lineer bağımsız ise => bir temel oluşturur

koordinatlar ve oran ile ilgili , nerede geçiş matrisi elemanları

"Yeni" temelin unsurlarının "eski" temel açısından genişletilmesinin bilinmesine izin verin.

Daha sonra eşitlikler

Ama eğer lineer bağımsız elemanların lineer kombinasyonu 0'a eşitse, o zaman =>

Temel doğrusal bağımlılık teoremi

Eğer bir (*) cinsinden lineer olarak ifade edilir (**) sonran<= m

m üzerinde tümevarımla ispatlayın

m=1: sistem (*) 0 ve lin içerir. kafa - imkansız

m=k-1 için doğru olsun

m=k için ispat edeceğiz

1) , yani. in-ry (1) lin.comb'dur. lin. hendek içi (2)Sistem (1) line.nezav'ın bir parçasıdır. sistemler (*). Çünkü sistem (2)'de sadece k-1 vektörleri vardır, o zaman indüksiyon varsayımıyla k+1 elde ederiz

İzin vermek L alan üzerindeki lineer uzaydır R . İzin vermek A1, a2, ... , bir (*) sonlu bir vektör sistemi L . Vektör AT = a1× A1 + a2× A2 + … + bir× Bir (16) denir Vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu ( *), veya vektör deyin AT bir vektör sistemi (*) aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir.

Tanım 14. Vektörler sistemi (*) denir lineer bağımlı , eğer ve sadece a1, a2, … sıfırdan farklı bir katsayılar kümesi varsa, a1× A1 + a2× A2 + … + bir× Bir = 0. a1× ise A1 + a2× A2 + … + bir× Bir = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0 ise sistem (*) çağrılır Doğrusal bağımsız.

Doğrusal bağımlılık ve bağımsızlığın özellikleri.

10. Bir vektör sistemi sıfır vektör içeriyorsa, o zaman lineer bağımlıdır.

Gerçekten de, eğer sistemde (*) ise vektör A1 = 0, Sonra 1× 0 + 0× A2 + ... + 0 × bir = 0 .

20. Bir vektör sistemi iki orantılı vektör içeriyorsa, o zaman lineer bağımlıdır.

İzin vermek A1 = L×a2. Sonra 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× ANCAK N= 0.

30. n ³ 2 için sonlu bir vektörler sistemi (*), ancak ve ancak vektörlerinden en az birinin bu sistemin diğer vektörlerinin doğrusal bir birleşimi olması durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.

Þ (*) lineer bağımlı olsun. O zaman sıfır olmayan bir a1, a2, … katsayıları kümesi vardır, öyle ki a1× A1 + a2× A2 + … + bir× Bir = 0 . Genelliği kaybetmeden, a1 ¹ 0 olduğunu varsayabiliriz. A1 = ×a2× A2 + … + ×chan× ANCAK N. Yani, vektör A1 kalan vektörlerin doğrusal bir birleşimidir.

Ü Vektörlerden biri (*) diğerlerinin lineer birleşimi olsun. Bunun ilk vektör olduğunu varsayabiliriz, yani. A1 = B2 A2+ … + milyar ANCAK N, Dolayısıyla (–1)× A1 + b2 A2+ … + milyar ANCAK N= 0 , yani (*) lineer bağımlıdır.

Yorum. Son özelliği kullanarak, sonsuz bir vektör sisteminin lineer bağımlılığını ve bağımsızlığını tanımlayabiliriz.

Tanım 15. vektör sistemi A1, a2, ... , bir , … (**) denir lineer bağımlı, Vektörlerinden en az biri, sonlu sayıda başka vektörün lineer bir kombinasyonuysa. Aksi takdirde sistem (**) olarak adlandırılır. Doğrusal bağımsız.

40. Sonlu bir vektör sistemi, ancak ve ancak vektörlerinden hiçbiri diğer vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilemiyorsa, doğrusal olarak bağımsızdır.

50. Bir vektörler sistemi lineer olarak bağımsız ise, o zaman onun alt sistemlerinden herhangi biri de lineer olarak bağımsızdır.

60. Belirli bir vektör sisteminin bazı alt sistemleri lineer olarak bağımlıysa, tüm sistem de lineer olarak bağımlıdır.

İki vektör sistemi verilsin A1, a2, ... , bir , … (16) ve В1, в2, … , вs, … (17). Eğer (16) sisteminin her vektörü (17) sisteminin sonlu sayıda vektörünün lineer bir kombinasyonu olarak gösterilebiliyorsa, o zaman (17) sisteminin (16) sistemi aracılığıyla lineer olarak ifade edildiğini söyleriz.

Tanım 16. İki vektör sistemine denir eşdeğer , eğer her biri diğeri cinsinden doğrusal olarak ifade edilirse.

Teorem 9 (doğrusal bağımlılık üzerine temel teorem).

izin ver ve gelen iki sonlu vektör sistemidir. L . Birinci sistem lineer olarak bağımsızsa ve lineer olarak ikincisi cinsinden ifade edilirse, o zaman N£s.

Kanıt. farz edelim ki N> S. teoreme göre

bağlantı. Denklem sayısı bilinmeyen sayısından fazla olduğu için sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır. Bu nedenle, sıfır olmayan bir x10, x20, …, xN0. Bu değerler için eşitlik (18) doğru olacaktır, bu da vektör sisteminin lineer bağımsız olduğu gerçeğiyle çelişir. Yani varsayımımız yanlış. Sonuç olarak, N£s.

Sonuçlar.İki eşdeğer vektör sistemi sonlu ve lineer olarak bağımsızsa, aynı sayıda vektör içerirler.

Tanım 17. Vektörler sistemi denir Maksimum lineer bağımsız vektör sistemi doğrusal uzay L , eğer lineer olarak bağımsızsa, ancak ona herhangi bir vektör ekleniyorsa L bu sisteme dahil edilmez, lineer bağımlı hale gelir.

Teorem 10. Herhangi iki sonlu maksimal lineer bağımsız vektör sistemi L Aynı sayıda vektör içerir.

Kanıt iki maksimal lineer bağımsız vektör sisteminin eşdeğer olduğu gerçeğinden çıkar .

Herhangi bir lineer bağımsız uzay vektörleri sisteminin varlığını kanıtlamak kolaydır. L bu uzayın maksimum lineer bağımsız vektör sistemine tamamlanabilir.

Örnekler:

1. Tüm eşdoğrusal geometrik vektörler kümesinde, sıfır olmayan bir vektörden oluşan herhangi bir sistem maksimum doğrusal bağımsızdır.

2. Tüm eş düzlemli geometrik vektörler kümesinde, herhangi iki doğrusal olmayan vektör, maksimum doğrusal olarak bağımsız bir sistem oluşturur.

3. Üç boyutlu Öklid uzayının tüm olası geometrik vektörleri kümesinde, aynı düzlemde olmayan üç vektörden oluşan herhangi bir sistem, maksimum lineer bağımsızdır.

4. Tüm polinomlar kümesinde derece en fazla N Gerçek (karmaşık) katsayılarla, bir polinom sistemi 1, x, x2, …, xn Maksimum lineer bağımsızdır.

5. Gerçek (karmaşık) katsayılara sahip tüm polinomlar kümesinde, maksimum doğrusal bağımsız sistem örnekleri şunlardır:

a) 1, x, x2, … , xn, … ;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N, …

6. Boyut matrisleri kümesi M´ N doğrusal bir uzaydır (kontrol edin). Bu uzayda maksimum lineer bağımsız sistemin bir örneği, matrisler sistemidir. E11= , E12 \u003d, ..., EMn = .

Bir vektör sistemi verilsin C1, c2, ... , bkz. (*). (*) vektörlerinin alt sistemine denir Maksimum lineer bağımsız alt sistem sistemler ( *) , lineer bağımsız ise, ancak bu sistemin başka bir vektörü buna eklendiğinde, lineer bağımlı hale gelir. Eğer sistem (*) sonluysa, lineer olarak bağımsız en büyük alt sistemlerinden herhangi biri aynı sayıda vektör içerir. (Kendiniz kanıtlayın.) Sistemin (*) maksimum lineer bağımsız alt sistemindeki vektörlerin sayısına denir. rütbe Bu sistem. Açıkçası, eşdeğer vektör sistemleri aynı sıralara sahiptir.