Më poshtë jepen disa kritere për varësinë lineare dhe, në përputhje me rrethanat, pavarësinë lineare të sistemeve të vektorëve.

Teorema. (Një kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për varësinë lineare të vektorëve.)

Një sistem vektorësh është i varur nëse dhe vetëm nëse njëri nga vektorët e sistemit shprehet në mënyrë lineare në termat e të tjerëve të këtij sistemi.

Dëshmi. Nevoja. Le të jetë sistemi i varur në mënyrë lineare. Pastaj, sipas definicionit, ai paraqet vektorin null në një mënyrë jo të parëndësishme, d.m.th. ekziston një kombinim jo i parëndësishëm i këtij sistemi vektorësh të barabartë me vektorin zero:

ku të paktën njëri nga koeficientët e këtij kombinimi linear nuk është i barabartë me zero. Le , .

Pjesëtoni të dyja pjesët e barazisë së mëparshme me këtë koeficient jozero (d.m.th. shumëzoni me:

Shënoni: , ku .

ato. njëri nga vektorët e sistemit shprehet në mënyrë lineare në termat e të tjerëve të këtij sistemi etj.

Përshtatshmëria. Le të shprehet një nga vektorët e sistemit në mënyrë lineare në terma të vektorëve të tjerë të këtij sistemi:

Le ta zhvendosim vektorin në të djathtë të kësaj barazie:

Meqenëse koeficienti i vektorit është , atëherë kemi një paraqitje jo të parëndësishme të zeros nga sistemi i vektorëve, që do të thotë se ky sistem vektorësh është i varur në mënyrë lineare, etj.

Teorema është vërtetuar.

Pasoja.

1. Një sistem vektorësh në një hapësirë ​​vektoriale është linearisht i pavarur nëse dhe vetëm nëse asnjë nga vektorët e sistemit nuk shprehet në mënyrë lineare në terma të vektorëve të tjerë të këtij sistemi.

2. Një sistem vektorësh që përmban një vektor zero ose dy vektorë të barabartë është i varur në mënyrë lineare.

Dëshmi.

1) Domosdoshmëri. Le të jetë sistemi i pavarur në mënyrë lineare. Supozoni të kundërtën dhe ekziston një vektor sistemi që shprehet në mënyrë lineare përmes vektorëve të tjerë të këtij sistemi. Pastaj, sipas teoremës, sistemi është i varur në mënyrë lineare dhe arrijmë në një kontradiktë.

Përshtatshmëria. Asnjë nga vektorët e sistemit të mos shprehet me të tjerët. Le të supozojmë të kundërtën. Le të jetë sistemi i varur në mënyrë lineare, por më pas nga teorema del se ekziston një vektor sistemi që shprehet në mënyrë lineare përmes vektorëve të tjerë të këtij sistemi dhe përsëri vijmë në një kontradiktë.

2a) Le të përmbajë sistemi një vektor zero. Supozojmë për definicion se vektori :. Pastaj barazia

ato. njëri nga vektorët e sistemit shprehet në mënyrë lineare në terma të vektorëve të tjerë të këtij sistemi. Nga teorema del se një sistem i tillë vektorësh është i varur në mënyrë lineare, kështu me radhë.

Vini re se ky fakt mund të vërtetohet drejtpërdrejt nga një sistem i varur linear vektorësh.

Meqenëse , barazia e mëposhtme është e qartë

Ky është një paraqitje jo e parëndësishme e vektorit zero, që do të thotë se sistemi është i varur në mënyrë lineare.

2b) Le të ketë sistemi dy vektorë të barabartë. Lëreni për. Pastaj barazia

Ato. vektori i parë shprehet në mënyrë lineare në terma të vektorëve të tjerë të të njëjtit sistem. Nga teorema del se këtë sistem varur në mënyrë lineare etj.

Ngjashëm me atë të mëparshmin, ky pohim mund të vërtetohet drejtpërdrejt edhe nga përkufizimi i një sistemi të varur linear, atëherë ky sistem paraqet vektorin zero në mënyrë jo të parëndësishme.

prej nga vijon varësia lineare sistemet .

Teorema është vërtetuar.

Pasoja. Një sistem i përbërë nga një vektor është linearisht i pavarur nëse dhe vetëm nëse ky vektor është jozero.

Kompleti përkufizim w quhet hapësirë ​​lineare dhe elementi i saj. - vektorët nëse:

* ligji është vendosur (+) sipas maces. çdo dy element x, y nga w shoqërohen me një element të quajtur. shuma e tyre [x + y]

* jepet ligji (* për numrin a), sipas të cilit elementi x nga w dhe a krahasohen me një element nga w, i quajtur prodhim i x dhe a [ax];

* përfunduar

kërkesat (ose aksiomat) e mëposhtme:

Gjurma c1. vektor null (ctv 0 1 dhe 0 2 . nga a3: 0 2 + 0 1 = 0 2 dhe 0 1 + 0 2 = 0 1 . nga a1 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 => 0 1 = 0 2.)

c2. .(ctv, a4)

c3. 0 vec.(a7)

c4. a(numër)*0=0.(a6,c3)

c5. x (*) -1 \u003d 0 vektor, përballë x, d.m.th. (-1) x = -x. (a5,a6)

c6. Veprimi i zbritjes përcaktohet në w: vektori x quhet ndryshim i vektorëve b dhe a nëse x + a = b, dhe shënohet x = b - a.

Numri n thirrur dimension lin. pr-a L , nëse në L ekziston një sistem i n lin. i pamartuar vektorët, dhe çdo sistem të n+1 vektor - lin. i varur. i zbehtë L= n. Hapësirë L quhet n-dimensionale.

Një grup i renditur prej n rreshtash. i pamartuar vektorë n dimensional të pavarur. hapësira - bazë

Teorema. Çdo vektor X mund të përfaqësohet e vetmja mënyrë në formë vijash.Kombinimet e vektorëve bazë

Le të jetë (1) baza e një linje n-dimensionale. pr-va V, d.m.th. grup vektorësh të pavarur linearisht. Seti i vektorëve do të jetë lin. varur, sepse ato n+ 1.

Ato. ka numra që nuk janë të gjithë të barabartë me zero në të njëjtën kohë, gjë që është për më tepër (përndryshe (1) varen në mënyrë lineare).

Pastaj ku është zbërthimi i vektorit x në bazë (1) .

Kjo shprehje është unike, sepse nëse ekziston një shprehje tjetër (**)

duke zbritur nga (*) barazia (**),

marrim

Sepse janë linearisht të pavarur, atëherë . Chtd

Teorema. Nëse - lin. vektorët e pavarur të hapësirës V dhe çdo vektor x nga V mund të përfaqësohen përmes , atëherë këta vektorë formojnë bazën e V

Doc-in: (1) -lin.i pavarur =>mbetet doc-të, që për lin.varur. Sipas konv. Çdo vektor a shprehet në terma (1): , konsideroni , rang≤n => midis kolonave jo më shumë se n janë linearisht të pavarura, por m > n=> m kolonat janë të varura lineare => s=1, n

Kjo do të thotë, vektorët janë të varur në mënyrë lineare

Kështu, hapësira V është n-dimensionale dhe (1) baza e saj

№4Def. Nëngrupi L lin. pr-va V quhet lin. ref. të kësaj hapësire nëse, në lidhje me veprimet (+) dhe (*a) të dhëna në V, nënhapësira L është një hapësirë ​​lineare

Teorema Bashkësia l e vektorëve në hapësirën V është lin. Nënhapësira e kësaj hapësire kryen

(mjaftueshëm) le të plotësohen (1) dhe (2), për faktin se L është një V nënthjeshtë, mbetet të vërtetojmë se të gjitha aksiomat e linit janë të kënaqura. pr-va.

(-x): -x+x=0 d. a(x + y) = sëpatë + ay;

(a-b) dhe (e-h) rrjedh nga vlefshmëria për V që vërtetojmë (c)

(nevoja) Le të jetë L një vijë. nënhapësira e kësaj hapësire, pastaj (1) dhe (2) qëndrojnë për shkak të përcaktimit të vijave. pr-va

Def. Një koleksion i të gjitha llojeve të linjave. kombinime të disa elementeve (x j) lin. pr-va quhet guaskë lineare

Teorema një grup arbitrar i të gjitha linjave. kombinimet e vektorëve V me veprimin. koeficienti është lin. nën-V (predha lineare sistemi i dhënë i vektorëve lin. pr. sht nj mbshtet linja e ktij pr. )

ODA.Nënbashkësia L jo e zbrazët e vektorëve të drejtëzave. pr-va V quhet lin. nënhapësirë ​​nëse:

a) shuma e çdo vektori nga L i përket L

b) prodhimi i çdo vektori nga L me çdo numër i përket L

Shuma e dy nënhapësiraveLështë përsëri një nënhapësirëL

1) Le të jetë y 1 + y 2 (L 1 + L 2)<=>y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x’ 1 + x’ 2, ku (x 1, x’ 1) L 1, (x 2, x’ 2) L 2. y 1 +y 2 =(x 1 +x 2)+(x' 1 +x' 2)=(x 1 +x' 1)+(x 2 +x' 2), ku (x 1 +x' 1 ) L 1 , (x 2 +x' 2) L 2 => plotësohet kushti i parë i nënhapësirës lineare.

ay 1 =ax 1 +ax 2, ku (ax 1) L 1, (ax 2) L 2 => sepse (y 1 +y 2) (L 1 +L 2) , (ly 1) (L 1 +L 2) => plotësohen kushtet => L 1 +L 2 është një nënhapësirë ​​lineare.

Kryqëzimi i dy nën.L 1 dheL 2 lin. pr-vaL është gjithashtu një nën. këtë hapësirë.

Konsideroni dy vektorë arbitrarë x,y që i përkasin kryqëzimit të nënhapësirave dhe dy numrave arbitrarë a,b:.

Sipas def. vendosni kryqëzimet:

=> sipas përkufizimit të një nënhapësire të një hapësire lineare:,.

T.K.Vektor sëpatë + nga i përket grupit L 1 dhe vendoseni L 2 , atëherë i përket, sipas përkufizimit, kryqëzimit të këtyre grupeve. Në këtë mënyrë:

ODA.Thonë se V është shuma e drejtpërdrejtë e mbështetësve të saj. nëse dhe b) ky zbërthim është unik

b") Le të tregojmë se b) është ekuivalente me b')

Me b) të vërtetë b')

Çdo (M, N) nga kryqëzohen vetëm përgjatë vektorit zero

Le të ∃z ∈

E drejtë. e kundërtaL=

kontradiktë

Teorema për (*) është e nevojshme dhe e mjaftueshme për bashkimin e bazave ( formoi bazën e hapësirës

(E detyrueshme le të jenë (*) dhe vektorët baza të nënbashkësive. dhe ka një zgjerim në ; x zbërthehet sipas bazës L, për të pohuar se ( përbëjnë bazën, është e nevojshme të vërtetohet pavarësia e tyre lineare, të gjitha përmbajnë 0 0=0+…+0. Për shkak të veçantisë së zgjerimit të 0 në : => për shkak të pavarësisë lineare të bazës => ( – bazë

(Jashtë.) Le të ( formojnë një bazë L zbërthimi unik (**) ekziston të paktën një zbërthim. Për shkak të unike (*) => unike (**)

Komentoni. Dimensioni i shumës së drejtpërdrejtë është i barabartë me shumën e dimensioneve të nënhapësirës

Çdo matricë kuadratike jo e degjeneruar mund të shërbejë si matricë kalimi nga një bazë në tjetrën

Le të ketë një hapësirë ​​lineare n-dimensionale V të ketë dy baza dhe

(1) =A , ku këtu elementët * dhe ** nuk janë numra, por ne do të zgjerojmë disa operacione në një matricë numerike në rreshta të tillë.

Sepse përndryshe vektorët ** do të ishin të varur në mënyrë lineare

Mbrapa. Nëse atëherë kolonat A janë linearisht të pavarura => formojnë një bazë

Koordinatat dhe lidhur me raportin , ku elementet e matricës së tranzicionit

Le të dihet zgjerimi i elementeve të bazës "të re" në kuptimin e bazës "të vjetër".

Pastaj barazitë

Por nëse kombinimi linear i elementeve linearisht të pavarur është i barabartë me 0 atëherë =>

Teorema bazë e varësisë lineare

Nese nje (*) shprehet në mënyrë lineare në terma të (**) atëherën<= m

Vërtetoni me induksion në m

m=1: sistemi (*) përmban 0 dhe lin. kokë - e pamundur

le të jetë e vërtetë për m=k-1

do të vërtetojmë për m=k

mund të rezultojë se 1), d.m.th. in-ry (1) janë lin.krehër. lin. në kanal (2)Sistemi (1) është pjesë e linjës.nezav. sistemet (*). Sepse në sistemin (2) ka vetëm k-1 vektorë, atëherë me supozimin e induksionit marrim k+1

Le L është hapësira lineare mbi fushë R . Le A1, a2, ... , an (*) një sistem i kufizuar vektorësh nga L . Vektor AT = a1× A1 + a2× A2 + … + an× Një (16) thirri Një kombinim linear i vektorëve ( *), ose themi vektor AT e shprehur në mënyrë lineare nëpërmjet një sistemi vektorësh (*).

Përkufizimi 14. Sistemi i vektorëve (*) quhet varur në mënyrë lineare , nëse dhe vetëm nëse ekziston një grup jozero koeficientësh a1, a2, … , i tillë që a1× A1 + a2× A2 + … + an× Një = 0. Nëse a1× A1 + a2× A2 + … + an× Një = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, atëherë thirret sistemi (*). i pavarur në mënyrë lineare.

Vetitë e varësisë dhe pavarësisë lineare.

10. Nëse një sistem vektorësh përmban një vektor zero, atëherë ai është i varur në mënyrë lineare.

Në të vërtetë, nëse në sistemin (*) vektori A1 = 0, Pastaj 1× 0 + 0× A2 + ... + 0 × Një = 0 .

20. Nëse një sistem vektorësh përmban dy vektorë proporcionalë, atëherë ai është i varur në mënyrë lineare.

Le A1 = L×a2. Pastaj 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× POR N= 0.

30. Një sistem i fundëm vektorësh (*) për n ³ 2 është i varur linearisht nëse dhe vetëm nëse të paktën njëri prej vektorëve të tij është një kombinim linear i vektorëve të tjerë të këtij sistemi.

Þ Le të jetë (*) i varur në mënyrë lineare. Pastaj ka një grup jozero koeficientësh a1, a2, … , i tillë që a1× A1 + a2× A2 + … + an× Një = 0 . Pa humbur përgjithësinë, mund të supozojmë se a1 ¹ 0. Atëherë ekziston A1 = ×a2× A2 + … + ×chan× POR N. Pra, vektori A1 është një kombinim linear i vektorëve të mbetur.

Ü Le të jetë një nga vektorët (*) një kombinim linear i të tjerëve. Mund të supozojmë se ky është vektori i parë, d.m.th. A1 = B2 A2+ … + bn POR N, Prandaj (–1)× A1 + b2 A2+ … + bn POR N= 0 , pra (*) është i varur në mënyrë lineare.

Komentoni. Duke përdorur veçorinë e fundit, mund të përcaktohet varësia lineare dhe pavarësia e një sistemi të pafund vektorësh.

Përkufizimi 15. Sistemi vektorial A1, a2, ... , an , … (**) quhet varur në mënyrë lineare, Nëse të paktën njëri prej vektorëve të tij është një kombinim linear i një numri të kufizuar vektorësh të tjerë. Përndryshe, thirret sistemi (**). i pavarur në mënyrë lineare.

40. Një sistem i kufizuar vektorësh është linearisht i pavarur nëse dhe vetëm nëse asnjë nga vektorët e tij nuk mund të shprehet në mënyrë lineare në terma të vektorëve të tjerë të tij.

50. Nëse një sistem vektorësh është linearisht i pavarur, atëherë cilido nga nënsistemet e tij është gjithashtu linearisht i pavarur.

60. Nëse një nënsistem i një sistemi të caktuar vektorësh është i varur në mënyrë lineare, atëherë i gjithë sistemi është gjithashtu i varur linear.

Le të jepen dy sisteme vektorësh A1, a2, ... , an , … (16) dhe V1, v2, … , vs, … (17). Nëse çdo vektor i sistemit (16) mund të paraqitet si një kombinim linear i një numri të fundëm vektorësh të sistemit (17), atëherë themi se sistemi (17) shprehet në mënyrë lineare përmes sistemit (16).

Përkufizimi 16. Quhen dy sistemet e vektorëve ekuivalente , nëse secili prej tyre shprehet në mënyrë lineare në terma të tjetrit.

Teorema 9 (teorema bazë mbi varësinë lineare).

Le dhe janë dy sisteme të fundme vektorësh nga L . Nëse sistemi i parë është linearisht i pavarur dhe i shprehur në mënyrë lineare në termat e të dytit, atëherë N£ s.

Dëshmi. Le të pretendojmë se N> S. Sipas teoremës

të përbashkët. Meqenëse numri i ekuacioneve është më i madh se numri i të panjohurave, sistemi ka pafundësisht shumë zgjidhje. Prandaj, ajo ka një jo-zero x10, x20, ..., xN0. Për këto vlera, barazia (18) do të jetë e vërtetë, gjë që bie ndesh me faktin se sistemi i vektorëve është linearisht i pavarur. Pra, supozimi ynë është i gabuar. Rrjedhimisht, N£ s.

Pasoja. Nëse dy sisteme ekuivalente vektorësh janë të fundëm dhe linearisht të pavarur, atëherë ato përmbajnë të njëjtin numër vektorësh.

Përkufizimi 17. Sistemi i vektorëve quhet Sistemi maksimal linear i pavarur i vektorëve hapësirë ​​lineare L , nëse është linearisht i pavarur, por duke i shtuar atij ndonjë vektor nga L nuk përfshihet në këtë sistem, ai bëhet i varur në mënyrë lineare.

Teorema 10. Çdo dy sisteme të fundme maksimale lineare të pavarura të vektorëve nga L Përmbajnë të njëjtin numër vektorësh.

Dëshmi rrjedh nga fakti se çdo dy sisteme maksimale lineare të pavarura vektorësh janë ekuivalente .

Është e lehtë të vërtetohet se çdo sistem i pavarur linear i vektorëve hapësinorë L mund të plotësohet deri në sistemin maksimal linear të pavarur të vektorëve të kësaj hapësire.

Shembuj:

1. Në grupin e të gjithë vektorëve gjeometrikë kolinearë, çdo sistem i përbërë nga një vektor jozero është maksimumi linear i pavarur.

2. Në bashkësinë e të gjithë vektorëve gjeometrikë koplanarë, çdo dy vektorë jokolinearë përbëjnë një sistem maksimal linear të pavarur.

3. Në grupin e të gjithë vektorëve të mundshëm gjeometrikë të hapësirës Euklidiane tredimensionale, çdo sistem prej tre vektorësh jokoplanarë është maksimumi linearisht i pavarur.

4. Në bashkësinë e të gjithë polinomeve, shkalla është më së shumti N Me koeficientë realë (kompleksë), një sistem polinomesh 1, x, x2, ..., xn Ai është maksimalisht i pavarur linearisht.

5. Në bashkësinë e të gjithë polinomeve me koeficientë realë (kompleksë), shembuj të një sistemi maksimal linear të pavarur janë

a) 1, x, x2, … , xn, … ;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N,…

6. Bashkësia e matricave të dimensionit M´ Nështë një hapësirë ​​lineare (kontrollojeni). Një shembull i një sistemi maksimal linear të pavarur në këtë hapësirë ​​është sistemi i matricave E11= , E12 \u003d, ..., EMn = .

Le të jepet një sistem vektorësh C1, c2, ... , krh (*). Quhet nënsistemi i vektorëve nga (*). Maksimumi linearisht i pavarur Nënsistemi Sistemet ( *) , nëse është linearisht i pavarur, por kur i shtohet ndonjë vektor tjetër i këtij sistemi, ai bëhet i varur në mënyrë lineare. Nëse sistemi (*) është i fundëm, atëherë çdo nënsistem i tij maksimal linear i pavarur përmban të njëjtin numër vektorësh. (Dëshmi vetë.) Numri i vektorëve në nënsistemin maksimal linear të pavarur të sistemit (*) quhet gradë Ky sistem. Natyrisht, sistemet ekuivalente të vektorëve kanë të njëjtat radhë.