Seksioni 2. Ekuivalenca logjike e formulave. Format normale për formulat e algjebrës propozicionale

Marrëdhënia e ekuivalencës

Me ndihmën e tabelave të së vërtetës, mund të përcaktohet se në cilat grupe të vlerave të së vërtetës të variablave hyrëse formula do të marrë një vlerë të vërtetë ose të gabuar (si dhe një deklaratë që ka strukturën logjike përkatëse), cilat formula do të jenë tautologji ose kontradikta, dhe gjithashtu të përcaktojë nëse dy formula të dhëna ekuivalente.

Në logjikë, dy fjali quhen ekuivalente nëse janë të dyja të vërteta ose të dyja të gabuara. Fjala "njëkohësisht" në këtë frazë është e paqartë. Pra, për fjalitë "Nesër do të jetë e martë" dhe "Dje ishte e diel" kjo fjalë ka një kuptim të mirëfilltë: të hënën janë të dyja të vërteta, dhe në pjesën tjetër të javës janë të dyja të rreme. Për ekuacionet " x = 2"dhe" 2x = 4» "njëkohësisht" do të thotë "me të njëjtat vlera të ndryshores". Parashikimet "Nesër do të bjerë shi" dhe "Nuk është e vërtetë që nesër nuk do të bjerë shi" do të konfirmohen njëkohësisht (rezultojnë të jenë të vërteta) ose nuk do të konfirmohen (rezultojnë të rreme). Në thelb, ky është i njëjti parashikim, i shprehur në dy forma të ndryshme, të cilat mund të përfaqësohen nga formulat X dhe . Këto formula marrin njëkohësisht vlerën "e vërtetë" ose vlerën "false". Për të kontrolluar, mjafton të bëni një tabelë të së vërtetës:

Ne shohim që vlerat e së vërtetës në kolonën e parë dhe të fundit janë të njëjta. Formula të tilla, si dhe fjalitë që u përgjigjen, konsiderohen natyrshëm ekuivalente.

Formulat F 1 dhe F 2 quhen ekuivalente nëse ekuivalenti i tyre është një tautologji.

Ekuivalenca e dy formulave shkruhet si më poshtë: (lexo: formula F1është e barabartë me formulën F2).

Ekzistojnë tre mënyra për të kontrolluar nëse formulat janë ekuivalente: 1) bëni ekuivalentin e tyre dhe përdorni tabelën e së vërtetës për të kontrolluar nëse është një tautologji; 2) për secilën formulë, bëni një tabelë të vërtetësisë dhe krahasoni rezultatet përfundimtare; nëse në kolonat totale për të njëjtat grupe vlerash të ndryshueshme vlerat e së vërtetës së të dy formulave do të jenë të barabarta, atëherë formulat janë ekuivalente; 3) me ndihmën e shndërrimeve ekuivalente.

Shembulli 2.1: Gjeni nëse formulat janë ekuivalente: 1) , ; 2), .

1) Le të përdorim metodën e parë për të përcaktuar ekuivalencën, domethënë të zbulojmë nëse ekuivalenca e formulave është një tautologji.

Le të bëjmë një ekuivalencë të formulave: . Formula që rezulton përmban dy variabla të ndryshëm ( POR dhe AT) dhe 6 operacione: 1) ; 2) ; 3) ; katër); 5) ; 6). Kjo do të thotë që tabela përkatëse e së vërtetës do të ketë 5 rreshta dhe 8 kolona:

Nga kolona e fundit e tabelës së së vërtetës, mund të shihet se ekuivalenca e përpiluar është një tautologji dhe, për rrjedhojë, .

2) Për të zbuluar nëse formulat dhe formulat janë ekuivalente, ne përdorim metodën e dytë, d.m.th., përpilojmë një tabelë të vërtetësisë për secilën nga formulat dhe krahasojmë kolonat përfundimtare. ( Koment. Për të përdorur në mënyrë efektive metodën e dytë, është e nevojshme që të gjitha tabelat e përpiluara të së vërtetës të fillojnë në të njëjtën mënyrë, d.m.th. grupet e vlerave të ndryshueshme ishin të njëjta në rreshtat përkatës .)

Formula ka dy ndryshore të ndryshme dhe 2 operacione, që do të thotë se tabela përkatëse e së vërtetës ka 5 rreshta dhe 4 kolona:

Formula ka dy ndryshore të ndryshme dhe 3 operacione, që do të thotë se tabela përkatëse e së vërtetës ka 5 rreshta dhe 5 kolona:

Duke krahasuar kolonat përfundimtare të tabelave të përpiluara të së vërtetës (pasi tabelat fillojnë në të njëjtën mënyrë, ne mund të injorojmë grupet e vlerave të ndryshueshme), shohim se ato nuk përputhen dhe, për rrjedhojë, formulat nuk janë ekuivalente ().

Shprehja nuk është një formulë (sepse simboli " " nuk i referohet ndonjë operacioni logjik). Ajo shpreh qëndrim ndërmjet formulave (si dhe barazia ndërmjet numrave, paralelizmi ndërmjet drejtëzave etj.).

Teorema mbi vetitë e relacionit të ekuivalencës është e vlefshme:

Teorema 2.1. Marrëdhënia e ekuivalencës ndërmjet formulave propozicionale të algjebrës:

1) në mënyrë refleksive: ;

2) në mënyrë simetrike: nëse , atëherë ;

3) në mënyrë kalimtare: nëse dhe , atëherë .

Ligjet e logjikës

Ekuivalencat e formulave logjike propozicionale shpesh quhen ligjet e logjikës. Ne rendisim më të rëndësishmet prej tyre:

1. - ligji i identitetit.

2. - ligji i mesit të përjashtuar

3. - ligji i kontradiktës

4. - disjunkcioni me zero

5. - lidhja me zero

6. - shkëputje me njësi

7. - lidhje me njësinë

8. - ligji i mohimit të dyfishtë

9. - komutativiteti i lidhëzës

10. – komutativiteti i disjunksionit

11. - asociativiteti i lidhëzës

12. - shoqata disjunksioni

13. – shpërndarja e lidhëzës

14. – disjunksion shpërndarës

15. - ligjet e idempotencës

16. ; - ligjet e përthithjes

17. ; - Ligjet e De Morganit

18. është ligji që shpreh nënkuptimin nëpërmjet disjuksionit

19. - ligji i kundërpozicionit

20. - ligjet që shprehin ekuivalencën nëpërmjet veprimeve të tjera logjike

Ligjet e logjikës përdoren për të thjeshtuar formulat komplekse dhe për të vërtetuar se formulat janë identike të vërteta ose të rreme.

Transformimet ekuivalente. Thjeshtimi i formulave

Nëse në formulat ekuivalente kudo zëvendësojmë të njëjtën formulë në vend të ndonjë ndryshoreje, atëherë edhe formulat e marra rishtazi do të rezultojnë të jenë ekuivalente në përputhje me rregullin e zëvendësimit. Në këtë mënyrë, nga çdo ekuivalencë mund të merret çdo numër ekuivalencash të reja.

Shembulli 1: Nëse në ligjin e De Morgan-it në vend të X zëvendësoj , në vend të Y zëvendësojmë , atëherë marrim një ekuivalencë të re . Vlefshmëria e ekuivalencës së fituar është e lehtë për t'u kontrolluar duke përdorur tabelën e së vërtetës.

Nëse ndonjë formulë që është pjesë e formulës F, të zëvendësohet nga një formulë ekuivalente me formulën, atëherë formula që rezulton do të jetë ekuivalente me formulën F.

Pastaj, për formulën nga Shembulli 2, mund të bëjmë zëvendësimet e mëposhtme:

- ligji i mohimit të dyfishtë;

- Ligji i De Morganit;

- ligji i mohimit të dyfishtë;

– ligji i asociacionit;

është ligji i idempotencës.

Nga vetia e kalueshmërisë së relacionit të ekuivalencës, mund të pohojmë se .

Zëvendësimi i një formule me një tjetër, ekuivalente me të, quhet transformim ekuivalent formulat.

Nën thjeshtimi formulat që nuk përmbajnë shenja nënkuptimi dhe ekuivalence kuptojnë një transformim ekuivalent që çon në një formulë që nuk përmban mohime të formulave jo elementare (në veçanti, mohime të dyfishta) ose përmban në total një numër më të vogël shenjash lidhëse dhe shkëputëse se origjinali. një.

Shembulli 2.2: Le të thjeshtojmë formulën .

Në hapin e parë, ne zbatuam ligjin që e shndërron nënkuptimin në një ndarje. Në hapin e dytë u zbatua ligji komutativ. Në hapin e tretë u zbatua ligji i idempotencës. Në të katërtin - ligji i De Morgan. Dhe në të pestën - ligji i mohimit të dyfishtë.

Vërejtje 1. Nëse një formulë e caktuar është një tautologji, atëherë çdo formulë ekuivalente me të është gjithashtu një tautologji.

Kështu, transformimet ekuivalente mund të përdoren gjithashtu për të vërtetuar të vërtetën identike të formulave të caktuara. Për ta bërë këtë, kjo formulë duhet të reduktohet me transformime ekuivalente në një nga formulat që janë tautologji.

Vërejtje 2. Disa tautologji dhe ekuivalenca kombinohen në çifte (ligji i kontradiktës dhe ligji i ligjeve alternative, komutative, asociative, etj.). Në këto korrespondenca, të ashtuquajturat parimi i dualitetit .

Quhen dy formula që nuk përmbajnë shenja të nënkuptimit dhe ekuivalencës e dyfishtë , nëse secili prej tyre mund të merret nga tjetri duke i zëvendësuar shenjat përkatësisht me .

Parimi i dualitetit thotë si më poshtë:

Teorema 2.2: Nëse dy formula që nuk përmbajnë shenja nënkuptimi dhe ekuivalence janë ekuivalente, atëherë formulat e tyre të dyfishta janë gjithashtu ekuivalente.

forma normale

formë normaleështë një mënyrë sintaksore e paqartë për të shkruar një formulë që zbaton një funksion të caktuar.

Duke përdorur ligjet e njohura të logjikës, çdo formulë mund të shndërrohet në një formulë ekuivalente të formës , ku dhe secila është ose një ndryshore, ose mohimi i një ndryshoreje, ose një lidhje variablash ose mohimet e tyre. Me fjalë të tjera, çdo formulë mund të reduktohet në një formulë ekuivalente të një forme të thjeshtë standarde, e cila do të jetë një ndarje elementesh, secila prej të cilave është një lidhje e variablave të ndryshëm logjikë të veçantë, qoftë me ose pa një shenjë mohimi.

Shembulli 2.3: Në formula të mëdha ose me shndërrime të shumëfishta, është zakon të hiqet shenja lidhore (për analogji me shenjën e shumëzimit): . Shohim që pas transformimeve të kryera, formula është një disjuksion i tre lidhëzave.

Kjo formë quhet trajtë normale disjunctive (DNF). Një element i vetëm i një DNF quhet lidhëza elementare ose njësi përbërëse.

Në mënyrë të ngjashme, çdo formulë mund të reduktohet në një formulë ekuivalente, e cila do të jetë një lidhje elementesh, secila prej të cilave do të jetë një ndarje e ndryshoreve logjike me ose pa një shenjë mohimi. Kjo do të thotë, secila formulë mund të reduktohet në një formulë ekuivalente të formës , ku dhe secili është ose një ndryshore, ose mohimi i një ndryshoreje, ose një ndarje e ndryshoreve ose mohimet e tyre. Kjo formë quhet formë normale lidhore (KNF).

Shembulli 2.4:

Një element i vetëm i CNF quhet ndarje elementare ose përbërësi i zeros.

Natyrisht, çdo formulë ka pafundësisht shumë DNF dhe CNF.

Shembulli 2.5: Le të gjejmë disa DNF për formulën .

Forma perfekte normale

SDNF (DNF perfekt) është një DNF e tillë në të cilën çdo lidhje elementare përmban të gjitha pohimet elementare, ose mohimet e tyre një herë, lidhëzat elementare nuk përsëriten.

SKNF (CNF perfekt) është një CNF e tillë në të cilën çdo ndarje elementare përmban të gjitha propozimet elementare ose mohimet e tyre një herë, ndarjet elementare nuk përsëriten.

Shembulli 2.6: 1) - SDNF

2) 1 - SKNF

Le të formulojmë tiparet karakteristike të SDNF (SKNF).

1) Të gjithë anëtarët e disjunksionit (lidhëzës) janë të ndryshëm;

2) Të gjithë anëtarët e secilës lidhëz (disjunksion) janë të ndryshëm;

3) Asnjë lidhëz (disjunksion) nuk përmban edhe një ndryshore edhe mohimin e saj;

4) Çdo lidhje (disjunksion) përmban të gjitha variablat e përfshira në formulën origjinale.

Siç mund ta shohim, karakteristikat (por jo format!) kënaqin përkufizimin e dualitetit, kështu që mjafton të kuptojmë një formë për të mësuar se si t'i marrim të dyja.

Është e lehtë të merret SDNF (SKNF) nga DNF (CNF) me ndihmën e transformimeve ekuivalente. Meqenëse rregullat për marrjen e formave normale të përsosura janë gjithashtu të dyfishta, ne do të analizojmë në detaje rregullin për marrjen e SMNF dhe do të formulojmë rregullin për marrjen e SKNF në mënyrë të pavarur duke përdorur përkufizimin e dualitetit.

Rregulli i përgjithshëm sjellja e formulës në SDNF duke përdorur transformime ekuivalente:

Për të dhënë formulën F, e cila nuk është identike e rreme, me SDNF, mjafton:

1) sillni atë në disa DNF;

2) hiqni anëtarët e ndarjes që përmban ndryshoren së bashku me mohimin e saj (nëse ka);

3) nga të njëjtët anëtarë të ndarjes (nëse ka), hiqni të gjithë përveç njërit;

4) hiqni të gjithë anëtarët identikë të secilës lidhëz përveç njërit (nëse ka);

5) nëse ndonjë lidhëz nuk përmban një variabël nga variablat e përfshirë në formulën origjinale, shtoni një term në këtë lidhje dhe zbatoni ligjin përkatës shpërndarës;

6) nëse ndarja që rezulton përmban të njëjtat terma, përdorni recetën 3.

Formula që rezulton është SDNF e kësaj formule.

Shembulli 2.7: Le të gjejmë SDNF dhe SKNF për formulën .

Meqenëse DNF për këtë formulë është gjetur tashmë (shih Shembullin 2.5), ne do të fillojmë duke marrë SDNF:

2) në disjuksionin që rezulton nuk ka ndryshore së bashku me mohimet e tyre;

3) nuk ka anëtarë të njëjtë në disjuksion;

4) nuk ka ndryshore identike në asnjë lidhje;

5) lidhëza e parë elementare përmban të gjitha ndryshoret e përfshira në formulën origjinale dhe lidhëzës së dytë elementare i mungon një ndryshore z, pra t'i shtojmë një term dhe të zbatojmë ligjin shpërndarës: ;

6) është e lehtë të shihet se të njëjtat terma u shfaqën në ndarje, kështu që ne heqim një (parashkrimi 3);

3) hiqni një nga ndarjet identike: ;

4) nuk ka terma identikë në ndarjet e mbetura;

5) asnjë nga ndarjet elementare nuk i përmban të gjitha ndryshoret e përfshira në formulën origjinale, kështu që secilin prej tyre e plotësojmë me lidhëzën : ;

6) nuk ka ndarje identike në lidhëzën që rezulton, kështu që forma lidhore e gjetur është e përsosur.

Meqenëse në agregatin e SKNF dhe SDNF formulat F 8 anëtarë, atëherë me shumë mundësi ata janë gjetur saktë.

Çdo formulë e kënaqshme (e kundërshtueshme) ka një SDNF të vetme dhe një SKNF të vetme. Një tautologji nuk ka SKNF, dhe një kontradiktë nuk ka SDNF.

Ore e hapur ne matematike "Skema Bernoulli. Zgjidhja e problemave duke perdorur skemen Bernoulli dhe Laplace"

didaktike: përvetësimi i aftësive dhe aftësive për të punuar me skemën Bernoulli për llogaritjen e probabiliteteve.

Zhvillimi: zhvillimi i aftësive për zbatimin e njohurive në praktikë, formimi dhe zhvillimi i të menduarit funksional të nxënësve, zhvillimi i aftësive të krahasimit, analizës dhe sintezës, aftësive të punës në dyshe, zgjerimi i fjalorit profesional.

Si të luani këtë lojë:

Edukative: nxitja e interesit për lëndën përmes zbatimit praktik të teorisë, arritja e një asimilimi të vetëdijshëm të materialit arsimor të studentëve, formimi i aftësisë për të punuar në grup, përdorimi i saktë i termave kompjuterik, interesi për shkencën, respektimi i profesionin e ardhshëm.

Njohuri shkencore: B

Lloji i mësimit: mësim i kombinuar:

• konsolidimi i materialit të mbuluar në klasat e mëparshme;
• tematike, teknologji informative-problematike;
• përgjithësimi dhe konsolidimi i materialit të studiuar në këtë orë mësimi.

Metoda e mësimdhënies: shpjeguese - ilustruese, problematike.

Kontrolli i njohurive: vrojtimi ballor, zgjidhja e problemit, prezantimi.

Pajisjet materiale dhe teknike të orës së mësimit. kompjuter, projektor multimedial.

Mbështetje metodologjike: materiale referimi, prezantim mbi temën e mësimit, fjalëkryq.

Gjatë orëve të mësimit

1. Momenti organizativ: 5 min.

(përshëndetje, gatishmëria e grupit për mësimin).

2. Kontrolli i njohurive:

Kontrolloni pyetjet përpara në sllajde: 10 min.

• përkufizimet e seksionit "Teoria e probabilitetit"
• koncepti kryesor i seksionit "Teoria e probabilitetit"
• cilat ngjarje studiohen nga "Teoria e Probabilitetit"
• karakteristikë e një ngjarjeje të rastësishme
• përkufizimi klasik i probabiliteteve

Duke përmbledhur. 5 minuta.

3. Zgjidhja e problemave në rreshta: 5 min.

Detyra 1. Hidhet një zare. Sa është probabiliteti për të marrë një numër çift më të vogël se 5?

Detyra 2. Ka nëntë tuba radio identikë në një kuti, tre prej të cilave ishin në përdorim. Gjatë ditës së punës, mjeshtrit iu desh të merrte dy tuba radio për të riparuar pajisjet. Sa është probabiliteti që të dy llambat të jenë përdorur?

Detyra 3. Janë tre filma të ndryshëm në tri salla kinemaje. Probabiliteti që të ketë bileta për një orë të caktuar në arkën e sallës së parë është 0.3, në arkën e sallës së dytë - 0.2 dhe në arkën e sallës së 3 - 0.4. Sa është probabiliteti që në një orë të caktuar të jetë e mundur të blihet një biletë për të paktën një film?

4. Kontrollimi në dërrasën e zezë si të zgjidhen problemet. Aplikimi 1. 5 min.

Përfundimi i 5-të për zgjidhjen e problemeve:

Probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje është i njëjtë për secilën detyrë: m dhe n - konst

6. Vendosja e qëllimit përmes detyrës: 5 min.

Një detyrë. Dy shahistë të barabartë luajnë shah. Sa është probabiliteti për të fituar dy ndeshje nga katër?

Sa është probabiliteti për të fituar tre ndeshje nga gjashtë (barazimet nuk merren parasysh)?

Pyetje. Mendoni dhe emërtoni ndryshimin midis pyetjeve të këtij problemi dhe pyetjeve të problemeve të mëparshme?

Duke arsyetuar, për krahasim, arrini një përgjigje: në pyetjet m dhe n janë të ndryshme.

7. Tema e mësimit:

Llogaritja e probabilitetit të ndodhjes së një ngjarjeje k herë nga n eksperimente me p-konst.

Nëse bëhen prova në të cilat probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A në çdo provë nuk varet nga rezultatet e sprovave të tjera, atëherë prova të tilla quhen të pavarura në lidhje me ngjarjen A. Provat, në secilën prej të cilave probabiliteti i shfaqjes së ngjarja është e njëjtë.

Formula e Bernulit. Probabiliteti që në n prova të pavarura, në secilën prej të cilave probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje është i barabartë me p (0

ose Shtojca 2 formula Bernoulli, ku k,n-numra të vegjël ku q = 1-p

Zgjidhje: Po luajnë shahistë të barabartë, kështu që probabiliteti për të fituar është p=1/2; pra probabiliteti për të humbur q është gjithashtu 1/2. Meqenëse probabiliteti për të fituar është konstant në të gjitha ndeshjet dhe nuk ka rëndësi se në çfarë radhe janë fituar lojërat, formula e Bernoulli është e zbatueshme. 5 minuta

Gjeni probabilitetin që dy ndeshje nga katër do të fitohen:

Gjeni probabilitetin që tre nga gjashtë ndeshje të fitohen:

Meqenëse P4 (2) > P6 (3), ka më shumë gjasa të fitojë dy ndeshje nga katër sesa tre nga gjashtë.

8. Detyrë.

Gjeni probabilitetin që ngjarja A të ndodhë saktësisht 70 herë në 243 prova nëse probabiliteti që kjo ngjarje të ndodhë në çdo provë është 0,25.

k=70, n=243 Kjo nënkupton që k dhe n janë numra të mëdhenj. Kjo do të thotë se është e vështirë të llogaritet sipas formulës së Bernulit. Për raste të tilla, aplikohet formula lokale Laplace:

Shtojca 3 për vlerat pozitive të x është dhënë në Shtojcën 4; për vlerat negative të x përdorni të njëjtën tabelë dhe = .

9. Hartoni një algoritëm për zgjidhjen e problemës: 5 min.

• gjej vlerën e x dhe rrumbullako deri në të qindtat (0,01);
• sipas tabelës së funksionit Laplace do të gjejmë;
• ne zëvendësojmë vlerën e funksionit Laplace me formulën Laplace

10. Zgjidhja e problemës me analizë në dërrasën e zezë. Aneksi 5. 10 min.

11. Përmbledhja e informacionit të mësimit përmes prezantimeve

• informacion i shkurtër në lidhje me seksionin "Teoria e probabilitetit"; 5 minuta.
• materiale historike për shkencëtarët Bernoulli dhe Laplace. 5 minuta.

Lejimi i kalimit nga ekuacioni që zgjidhet në të ashtuquajturën ekuacionet ekuivalente dhe ekuacionet rrjedhëse, me zgjidhje të të cilave është e mundur të përcaktohet zgjidhja e ekuacionit origjinal. Në këtë artikull, ne do të analizojmë në detaje se cilat ekuacione quhen ekuivalente dhe cilat quhen ekuacione rrjedhëse, do të japim përkufizimet përkatëse, do të japim shembuj shpjegues dhe do të shpjegojmë se si të gjejmë rrënjët e një ekuacioni nga rrënjët e njohura të një ekuacioni ekuivalent dhe një ekuacioni konkluzion.

Ekuacione ekuivalente, përkufizime, shembuj

Le të japim një përkufizim të ekuacioneve ekuivalente.

Përkufizimi

Ekuacionet ekuivalente janë ekuacione që kanë të njëjtat rrënjë ose nuk kanë rrënjë.

Përkufizime të ngjashme në kuptim, por paksa të ndryshme në formulim, jepen në tekste të ndryshme të matematikës, për shembull,

Përkufizimi

Quhen dy ekuacionet f(x)=g(x) dhe r(x)=s(x). ekuivalente, nëse kanë të njëjtat rrënjë (ose, në veçanti, nëse të dy ekuacionet nuk kanë rrënjë).

Përkufizimi

Ekuacionet që kanë të njëjtat rrënjë quhen ekuacionet ekuivalente. Ekuivalente konsiderohen gjithashtu ekuivalente që nuk kanë rrënjë.

Me të njëjtat rrënjë nënkuptohet si vijon: nëse një numër është rrënja e njërit prej ekuacioneve ekuivalente, atëherë ai është edhe rrënja e ndonjë prej këtyre ekuacioneve, dhe asnjë nga ekuacionet ekuivalente nuk mund të ketë një rrënjë që nuk është rrënja e ndonjë prej këtyre ekuacioneve.

Le të japim shembuj të ekuacioneve ekuivalente. Për shembull, tre ekuacione 4 x=8 , 2 x=4 dhe x=2 janë ekuivalente. Në të vërtetë, secila prej tyre ka një rrënjë unike 2, kështu që ato janë ekuivalente nga përkufizimi. Një shembull tjetër: dy ekuacione x 0=0 dhe 2+x=x+2 janë ekuivalente, bashkësitë e zgjidhjeve të tyre janë të njëjta: rrënja e të parit dhe të dytë të tyre është çdo numër. Dy ekuacionet x=x+5 dhe x 4 =−1 janë gjithashtu një shembull i ekuacioneve ekuivalente, të dyja nuk kanë zgjidhje reale.

Për të plotësuar figurën, vlen të jepen shembuj të ekuacioneve jo ekuivalente. Për shembull, ekuacionet x=2 dhe x 2 =4 nuk janë ekuivalente, pasi ekuacioni i dytë ka një rrënjë −2, e cila nuk është rrënja e ekuacionit të parë. Ekuacionet dhe gjithashtu nuk janë ekuivalente, pasi rrënjët e ekuacionit të dytë janë çdo numër, dhe numri zero nuk është rrënja e ekuacionit të parë.

Përkufizimi i shëndoshë i ekuacioneve ekuivalente zbatohet si për ekuacionet me një ndryshore ashtu edhe për ekuacionet me një numër të madh variablash. Megjithatë, për ekuacionet me dy, tre, etj. variablave, fjala "rrënjë" në përkufizim duhet të zëvendësohet me fjalën "zgjidhje". Kështu që,

Përkufizimi

Ekuacionet ekuivalente janë ekuacione që kanë zgjidhje të njëjta, ose nuk i kanë.

Le të tregojmë një shembull të ekuacioneve ekuivalente me disa ndryshore. x 2 +y 2 +z 2 =0 dhe 5 x 2 +x 2 y 4 z 8 =0 - këtu është një shembull i ekuacioneve ekuivalente me tre ndryshore x, y dhe z, të dyja kanë një zgjidhje unike (0, 0 , 0). Por ekuacionet me dy ndryshore x + y=5 dhe x y=1 nuk janë ekuivalente, pasi, për shembull, çifti i vlerave x=2, y=3 është zgjidhja e ekuacionit të parë (kur zëvendësohen këto vlera ​Në ekuacionin e parë, marrim barazinë e saktë 2+3=5 ), por nuk është zgjidhje për të dytin (kur zëvendësojmë këto vlera në ekuacionin e dytë, marrim barazinë e gabuar 2 3=1 ).

Ekuacionet përfunduese

Këtu janë përkufizimet e ekuacioneve rrjedhëse nga tekstet shkollore:

Përkufizimi

Nëse secila rrënjë e ekuacionit f(x)=g(x) është në të njëjtën kohë rrënja e ekuacionit p(x)=h(x) , atëherë quhet ekuacioni p(x)=h(x) pasojë ekuacionet f(x)=g(x) .

Përkufizimi

Nëse të gjitha rrënjët e ekuacionit të parë janë rrënjë të ekuacionit të dytë, atëherë ekuacioni i dytë quhet pasojë ekuacioni i parë.

Le të japim disa shembuj të ekuacioneve rrjedhëse. Ekuacioni x 2 =3 2 është pasojë e ekuacionit x−3=0 . Në të vërtetë, ekuacioni i dytë ka një rrënjë të vetme x=3, kjo rrënjë është gjithashtu rrënja e ekuacionit x 2 =3 2 , prandaj, sipas përkufizimit, ekuacioni x 2 =3 2 është pasojë e ekuacionit x−3= 0 . Një shembull tjetër: ekuacioni (x−2) (x−3) (x−4)=0 është pasojë e ekuacionit , meqenëse të gjitha rrënjët e ekuacionit të dytë (janë dy prej tyre, këto janë 2 dhe 3), padyshim, janë rrënjët e ekuacionit të parë.

Nga përkufizimi i një ekuacioni pasojash, rezulton se absolutisht çdo ekuacion është pasojë e çdo ekuacioni që nuk ka rrënjë.

Vlen të përmenden disa pasoja mjaft të dukshme nga përkufizimi i ekuacioneve ekuivalente dhe përkufizimi i një ekuacioni rrjedhës:

• Nëse dy ekuacione janë ekuivalente, atëherë secili është pasojë e tjetrit.
• Nëse secili prej dy ekuacioneve është pasojë e tjetrit, atëherë këto ekuacione janë ekuivalente.
• Dy ekuacione janë ekuivalente nëse dhe vetëm nëse secila prej tyre është pasojë e tjetrës.