Një paralelipiped është një figurë gjeometrike, të 6 faqet e së cilës janë paralelograme.

Në varësi të llojit të këtyre paralelogrameve, dallohen llojet e mëposhtme të paralelopipedëve:

drejt;
i prirur;
drejtkëndëshe.

Një paralelipiped i drejtë është një prizëm katërkëndor, skajet e të cilit bëjnë një kënd prej 90 ° me rrafshin bazë.

Një paralelipiped drejtkëndor është një prizëm katërkëndësh, të gjitha fytyrat e të cilit janë drejtkëndësha. Një kub është një lloj prizmi katërkëndor në të cilin të gjitha fytyrat dhe skajet janë të barabarta.

Veçoritë e një figure paracaktojnë vetitë e saj. Këto përfshijnë 4 deklaratat e mëposhtme:

Të kujtosh të gjitha vetitë e mësipërme është e thjeshtë, ato janë të lehta për t'u kuptuar dhe rrjedhin logjikisht bazuar në llojin dhe veçoritë trup gjeometrik. Megjithatë, deklaratat e thjeshta mund të jenë tepër të dobishme kur zgjidhen detyrat tipike USE dhe do të kursejnë kohën e nevojshme për të kaluar testin.

Formulat paralelepipede

Për të gjetur përgjigje për problemin, nuk mjafton të njihni vetëm vetitë e figurës. Ju gjithashtu mund të keni nevojë për disa formula për të gjetur sipërfaqen dhe vëllimin e një trupi gjeometrik.

Zona e bazave gjendet gjithashtu si treguesi përkatës i një paralelogrami ose drejtkëndëshi. Ju mund ta zgjidhni vetë bazën e paralelogramit. Si rregull, kur zgjidhen problemet, është më e lehtë të punosh me një prizëm, i cili bazohet në një drejtkëndësh.

Formula për gjetjen e sipërfaqes anësore të një paralelipipedi mund të jetë gjithashtu e nevojshme në detyrat e provës.

Shembuj të zgjidhjes së detyrave tipike USE

Ushtrimi 1.

E dhënë: një kuboid me përmasa 3, 4 dhe 12 cm.
E nevojshme Gjeni gjatësinë e njërës prej diagonaleve kryesore të figurës.
Zgjidhje: Çdo zgjidhje e një problemi gjeometrik duhet të fillojë me ndërtimin e një vizatimi të saktë dhe të qartë, në të cilin do të tregohet vlera e "e dhënë" dhe e dëshiruar. Figura më poshtë tregon një shembull të formatimit të saktë të kushteve të detyrës.

Pasi kemi konsideruar vizatimin e bërë dhe duke kujtuar të gjitha vetitë e një trupi gjeometrik, arrijmë te mënyra e vetme e saktë për ta zgjidhur atë. Duke zbatuar vetinë 4 të paralelepipedit, marrim shprehjen e mëposhtme:

Pas llogaritjeve të thjeshta, fitojmë shprehjen b2=169, pra b=13. Përgjigja e detyrës është gjetur, nuk duhen më shumë se 5 minuta për ta kërkuar dhe për ta nxjerrë atë.

Detyra 2.

E dhënë: një kuti e zhdrejtë me buzë anësore 10 cm, një drejtkëndësh KLNM me dimensione 5 dhe 7 cm, që është një seksion i figurës paralel me skajin e treguar.
E nevojshme Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të prizmit katërkëndor.
Zgjidhje: Së pari ju duhet të skiconi të dhënat.

Për zgjidhje detyrë e dhënë kërkohet zgjuarsi. Nga figura shihet se anët KL dhe AD janë të pabarabarta, si dhe çifti ML dhe DC. Sidoqoftë, perimetrat e këtyre paralelogrameve janë padyshim të barabartë.

Prandaj, sipërfaqja anësore e figurës do të jetë e barabartë me sipërfaqen e prerjes tërthore të shumëzuar me brinjën AA1, pasi sipas kushtit brinja është pingul me seksionin. Përgjigje: 240 cm2.

Teorema. Në çdo paralelipiped, faqet e kundërta janë të barabarta dhe paralele.

Pra, faqet (Fig.) BB 1 C 1 C dhe AA 1 D 1 D janë paralele, sepse dy drejtëza ndërprerëse BB 1 dhe B 1 C 1 të njërës faqe janë paralele me dy drejtëza kryqëzuese AA 1 dhe A 1 D 1 të tjetri. Këto faqe janë të barabarta, pasi B 1 C 1 =A 1 D 1 , B 1 B=A 1 A (si brinjë të kundërta të paralelogrameve) dhe ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1 .

Teorema. Në çdo paralelipiped, të katër diagonalet kryqëzohen në një pikë dhe ndahen në gjysmë në të.

Merrni (fig.) në një paralelipiped çdo dy diagonale, për shembull, AC 1 dhe DB 1, dhe vizatoni vija të drejta AB 1 dhe DC 1.

Meqenëse skajet AD dhe B 1 C 1 janë përkatësisht të barabarta dhe paralele me skajin BC, ato janë të barabarta dhe paralele me njëra-tjetrën.

Si rezultat, figura ADC 1 B 1 është një paralelogram në të cilin C 1 A dhe DB 1 janë diagonale, dhe në paralelogram diagonalet kryqëzohen në gjysmë.

Kjo vërtetim mund të përsëritet për çdo dy diagonale.

Prandaj, diagonalja AC 1 kryqëzohet me BD 1 në gjysmë, diagonalja BD 1 me A 1 C në gjysmë.

Kështu, të gjitha diagonalet kryqëzohen në gjysmë dhe, për rrjedhojë, në një pikë.

Teorema. Në një kuboid, katrori i çdo diagonaleje është e barabartë me shumën katrorët e tre dimensioneve të tij.

Le të jetë (fig.) AC 1 diagonale e një paralelipipedi drejtkëndor.

Pas vizatimit të AC, marrim dy trekëndësha: AC 1 C dhe ACB. Të dyja janë drejtkëndëshe.

e para sepse kutia është e drejtë, dhe për këtë arsye buza CC 1 është pingul me bazën,

e dyta është sepse paralelepipedi është drejtkëndor, që do të thotë se ka një drejtkëndësh në bazën e tij.

Nga këta trekëndësha gjejmë:

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 dhe AC 2 = AB 2 + BC 2

Prandaj, AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + СС 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Pasoja. Në një kuboid, të gjitha diagonalet janë të barabarta.

Shpesh studentët pyesin me indinjatë: "Si do të jetë e dobishme për mua në jetë?". Për çdo temë të çdo lënde. Tema për vëllimin e një paralelepipedi nuk bën përjashtim. Dhe këtu është thjesht e mundur të thuhet: "Do të jetë e dobishme".

Si, për shembull, të zbuloni nëse një ngastër do të futet në një kuti postare? Sigurisht, ju mund të zgjidhni atë të duhurin me provë dhe gabim. Po sikur të mos ketë një mundësi të tillë? Pastaj llogaritjet do të vijnë në shpëtim. Duke ditur kapacitetin e kutisë, mund të llogarisni vëllimin e parcelës (të paktën afërsisht) dhe t'i përgjigjeni pyetjes.

Parallelepiped dhe llojet e tij

Nëse e përkthejmë fjalë për fjalë emrin e saj nga greqishtja e lashtë, rezulton se kjo është një figurë e përbërë nga plane paralele. Ekzistojnë përkufizime të tilla ekuivalente të një paralelipipedi:

një prizëm me një bazë në formën e një paralelogrami;
poliedri, secila faqe e të cilit është një paralelogram.

Llojet e tij dallohen në varësi se cila figurë qëndron në bazën e saj dhe si drejtohen brinjët anësore. Në përgjithësi, flitet për paralelipiped i zhdrejtë baza e të cilit dhe të gjitha faqet janë paralelograme. Nëse faqet anësore të pamjes së mëparshme bëhen drejtkëndëshe, atëherë do të duhet të thirret tashmë e drejtpërdrejtë. Dhe në drejtkëndëshe dhe baza gjithashtu ka kënde 90º.

Për më tepër, në gjeometri ata përpiqen ta përshkruajnë këtë të fundit në atë mënyrë që të vërehet se të gjitha skajet janë paralele. Këtu, nga rruga, vërehet ndryshimi kryesor midis matematikanëve dhe artistëve. Është e rëndësishme që kjo e fundit të përcjellë trupin në përputhje me ligjin e perspektivës. Dhe në këtë rast, paralelizmi i skajeve është plotësisht i padukshëm.

Rreth shënimit të futur

Në formulat e mëposhtme, përcaktimet e treguara në tabelë janë të vlefshme.

Formulat për një kuti të zhdrejtë

E para dhe e dyta për zonat:

E treta është për llogaritjen e vëllimit të kutisë:

Meqenëse baza është një paralelogram, për të llogaritur sipërfaqen e tij, do t'ju duhet të përdorni shprehjet e duhura.

Formulat për një kuboid

Ngjashëm me paragrafin e parë - dy formula për zonat:

Dhe një tjetër për vëllimin:

Detyra e parë

gjendja. Jepet një paralelipiped drejtkëndor vëllimi i të cilit duhet të gjendet. Diagonalja është e njohur - 18 cm - dhe fakti që formon kënde 30 dhe 45 gradë me rrafshin e faqes anësore dhe buzës anësore, përkatësisht.

Zgjidhje. Për t'iu përgjigjur pyetjes së problemit, duhet të zbuloni të gjitha anët në tre trekëndësha kënddrejtë. Ata do të japin vlerat e nevojshme të skajit për të cilat ju duhet të llogaritni vëllimin.

Së pari ju duhet të kuptoni se ku është këndi 30º. Për ta bërë këtë, duhet të vizatoni një diagonale të faqes anësore nga e njëjta kulm nga e cila është tërhequr diagonalja kryesore e paralelogramit. Këndi midis tyre do të jetë ai që ju nevojitet.

Trekëndëshi i parë, i cili do të japë njërën nga anët e bazës, do të jetë si vijon. Ai përmban anën e dëshiruar dhe dy diagonale të vizatuara. Është drejtkëndëshe. Tani duhet të përdorni raportin e këmbës së kundërt (ana e bazës) dhe hipotenuzës (diagonale). Është e barabartë me sinusin 30º. Kjo do të thotë, ana e panjohur e bazës do të përcaktohet si diagonale e shumëzuar me sinusin 30º ose ½. Le të shënohet me shkronjën "a".

E dyta do të jetë një trekëndësh që përmban një diagonale të njohur dhe një skaj me të cilin formon 45º. Është gjithashtu drejtkëndëshe, dhe ju mund të përdorni përsëri raportin e këmbës me hipotenuzën. Me fjalë të tjera, buza anësore në diagonale. Është e barabartë me kosinusin 45º. Kjo do të thotë, "c" llogaritet si prodhim i diagonales dhe kosinusit prej 45º.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).

Në të njëjtin trekëndësh, ju duhet të gjeni një këmbë tjetër. Kjo është e nevojshme për të llogaritur më pas të panjohurën e tretë - "në". Le të shënohet me shkronjën "x". Është e lehtë të llogaritet duke përdorur teoremën e Pitagorës:

x \u003d √ (18 2 - (9 √ 2) 2) \u003d 9 √ 2 (cm).

Tani duhet të shqyrtojmë një trekëndësh tjetër kënddrejtë. Ai përmban anët tashmë të njohura "c", "x" dhe atë që duhet të numërohet, "c":

c \u003d √ ((9 √ 2) 2 - 9 2 \u003d 9 (cm).

Të tre sasitë janë të njohura. Ju mund të përdorni formulën për vëllimin dhe ta llogaritni atë:

V \u003d 9 * 9 * 9√2 \u003d 729√2 (cm 3).

Përgjigje: vëllimi i paralelopipedit është 729√2 cm 3 .

Detyra e dytë

gjendja. Gjeni vëllimin e paralelopipedit. Ai njeh anët e paralelogramit që shtrihet në bazë, 3 dhe 6 cm, si dhe këndin e tij akut - 45º. Brinja anësore ka një pjerrësi ndaj bazës 30º dhe është e barabartë me 4 cm.

Zgjidhje. Për t'iu përgjigjur pyetjes së problemit, duhet të merrni formulën që është shkruar për vëllimin e një paralelepipedi të prirur. Por të dyja sasitë janë të panjohura në të.

Zona e bazës, domethënë paralelogrami, do të përcaktohet nga formula në të cilën ju duhet të shumëzoni anët e njohura dhe sinusin e këndit akut midis tyre.

S o \u003d 3 * 6 sin 45º \u003d 18 * (√2) / 2 \u003d 9 √2 (cm 2).

Së dyti sasi e panjohurështë lartësia. Mund të nxirret nga cilido nga katër kulmet mbi bazën. Mund të gjendet nga një trekëndësh kënddrejtë, në të cilin lartësia është këmba, dhe buza anësore është hipotenuza. Në këtë rast, një kënd prej 30º qëndron përballë lartësisë së panjohur. Pra, mund të përdorni raportin e këmbës me hipotenuzën.

n \u003d 4 * mëkat 30º \u003d 4 * 1/2 \u003d 2.

Tani të gjitha vlerat janë të njohura dhe ju mund të llogarisni vëllimin:

V \u003d 9 √2 * 2 \u003d 18 √2 (cm 3).

Përgjigje: vëllimi është 18 √2 cm 3 .

Detyra e tretë

gjendja. Gjeni vëllimin e paralelopipedit nëse dihet se është drejtëz. Anët e bazës së tij formojnë një paralelogram dhe janë të barabarta me 2 dhe 3 cm. Këndi i mprehtë mes tyre 60º. Diagonalja më e vogël e paralelepipedit është e barabartë me diagonalën më të madhe të bazës.

Zgjidhje. Për të gjetur vëllimin e një paralelepipedi, ne përdorim formulën me sipërfaqen bazë dhe lartësinë. Të dyja sasitë janë të panjohura, por ato janë të lehta për t'u llogaritur. E para është lartësia.

Meqenëse diagonalja më e vogël e paralelepipedit është e njëjtë me madhësinë e bazës më të madhe, ato mund të shënohen me të njëjtën shkronjë d. Këndi më i madh i një paralelogrami është 120º, pasi ai formon 180º me një akut. Le të shënohet diagonalja e dytë e bazës me shkronjën "x". Tani, për dy diagonalet e bazës, mund të shkruhen teorema të kosinusit:

d 2 \u003d a 2 + në 2 - 2av cos 120º,

x 2 \u003d a 2 + në 2 - 2ab cos 60º.

Gjetja e vlerave pa katrorë nuk ka kuptim, pasi atëherë ato do të ngrihen përsëri në fuqinë e dytë. Pas zëvendësimit të të dhënave, rezulton:

d 2 \u003d 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ \u003d 19,

x 2 \u003d a 2 + në 2 - 2ab cos 60º \u003d 4 + 9 - 12 * ½ \u003d 7.

Tani lartësia, e cila është edhe buza anësore e paralelopipedit, do të jetë këmba në trekëndësh. Hipotenuza do të jetë diagonalja e njohur e trupit, dhe këmba e dytë do të jetë "x". Ju mund të shkruani Teoremën e Pitagorës:

n 2 \u003d d 2 - x 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.

Prandaj: n = √12 = 2√3 (cm).

Tani sasia e dytë e panjohur është sipërfaqja e bazës. Mund të llogaritet duke përdorur formulën e përmendur në problemin e dytë.

S o \u003d 2 * 3 sin 60º \u003d 6 * √3/2 \u003d 3 √3 (cm 2).

Duke kombinuar gjithçka në një formulë vëllimi, marrim:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

Përgjigje: V \u003d 18 cm 3.

Detyra e katërt

gjendja. Kërkohet të zbulohet vëllimi i një paralelipipedi që plotëson kushtet e mëposhtme: baza është një katror me anë 5 cm; fytyrat anësore janë rombe; një nga kulmet mbi bazën është e barabartë nga të gjitha kulmet që shtrihen në bazë.

Zgjidhje. Së pari ju duhet të merreni me gjendjen. Nuk ka pyetje me paragrafin e parë për sheshin. E dyta, për rombet, e bën të qartë se paralelepipedi është i prirur. Për më tepër, të gjitha skajet e tij janë të barabarta me 5 cm, pasi anët e rombit janë të njëjta. Dhe nga e treta bëhet e qartë se tre diagonalet e nxjerra prej saj janë të barabarta. Këto janë dy që shtrihen në faqet anësore, dhe e fundit është brenda paralelopipedit. Dhe këto diagonale janë të barabarta me skajin, domethënë, ato gjithashtu kanë një gjatësi prej 5 cm.

Për të përcaktuar vëllimin, do t'ju duhet një formulë e shkruar për një paralelipiped të prirur. Përsëri, nuk ka sasi të njohura në të. Sidoqoftë, sipërfaqja e bazës është e lehtë për t'u llogaritur sepse është një katror.

S o \u003d 5 2 \u003d 25 (cm 2).

Pak më i vështirë është rasti me lartësinë. Do të jetë i tillë në tre figura: një paralelipiped, piramidë katërkëndore dhe një trekëndësh dykëndësh. Duhet të përdoret rrethana e fundit.

Meqenëse është një lartësi, është një këmbë në një trekëndësh kënddrejtë. Hipotenuza në të do të jetë një skaj i njohur, dhe pjesa e dytë është e barabartë me gjysmën e diagonales së katrorit (lartësia është gjithashtu mesatare). Dhe diagonalja e bazës është e lehtë për t'u gjetur:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).

Lartësia do të duhet të llogaritet si diferenca e shkallës së dytë të skajit dhe katrorit të gjysmës së diagonales dhe mos harroni të nxirrni rrënjën katrore:

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).

V \u003d 25 * 2,5 √2 \u003d 62,5 √2 (cm 3).

Përgjigje: 62,5 √2 (cm 3).

Një paralelipiped drejtkëndor (PP) nuk është gjë tjetër veçse një prizëm, baza e të cilit është një drejtkëndësh. Në PP, të gjitha diagonalet janë të barabarta, që do të thotë se cilado nga diagonalet e saj llogaritet me formulën:

a, drejt bazës së PP;
me lartësinë e tij.

Mund të jepet një përkufizim tjetër, duke marrë parasysh sistemin e koordinatave drejtkëndore karteziane:

Diagonalja PP është vektori i rrezes së çdo pike në hapësirë të dhënë nga koordinatat x, y dhe z në sistemin koordinativ kartezian. Ky vektor i rrezes deri në pikën është tërhequr nga origjina. Dhe koordinatat e pikës do të jenë projeksionet e vektorit të rrezes (diagonale PP) në boshtet koordinative. Projeksionet përkojnë me kulmet e paralelepipedit të dhënë.

Një kuboid është një lloj poliedri i përbërë nga 6 faqe, në bazën e të cilave është një drejtkëndësh. Një diagonale është një segment i vijës që lidh kulmet e kundërta të një paralelogrami.

Formula për gjetjen e gjatësisë së një diagonale është se katrori i diagonales është i barabartë me shumën e katrorëve të tre dimensioneve të paralelogramit.

Gjeta një tabelë të mirë skemash në internet me një listë të plotë të gjithçkaje që është në paralelipiped. Ekziston një formulë për të gjetur diagonalen e cila shënohet me d.

Ekziston një imazh i një fytyre, një kulm dhe gjëra të tjera të rëndësishme për kutinë.

Nëse dihen gjatësia, lartësia dhe gjerësia (a,b,c) e një kuboidi, atëherë formula për llogaritjen e diagonales do të duket si kjo:

Zakonisht mësuesit nuk u ofrojnë nxënësve të tyre lakuriq formulë, por bëni përpjekje që ata të mund ta nxjerrin në mënyrë të pavarur duke bërë pyetje kryesore:

çfarë duhet të dimë, çfarë të dhënash kemi?
Cilat janë vetitë e një paralelepipedi drejtkëndor?
A zbatohet këtu teorema e Pitagorës? Si?
A ka të dhëna të mjaftueshme për të zbatuar teoremën e Pitagorës, apo na duhen disa llogaritje të tjera?

Zakonisht, pasi u përgjigjen pyetjeve të parashtruara, studentët e nxjerrin lehtësisht vetë këtë formulë.

Diagonalet e një paralelepipedi drejtkëndor janë të barabarta. Si dhe diagonalet e faqeve të kundërta të saj. Gjatësia e diagonales mund të llogaritet duke ditur gjatësinë e skajeve të paralelogramit që dalin nga një kulm. Kjo gjatësi është e barabartë me rrënjën katrore të shumës së katrorëve të gjatësive të brinjëve të saj.

Një kuboid është një nga të ashtuquajturat poliedra, i cili përbëhet nga 6 faqe, secila prej të cilave është një drejtkëndësh. Një diagonale është një segment i vijës që lidh kulmet e kundërta të një paralelogrami. Nëse gjatësia, gjerësia dhe lartësia e një kutie drejtkëndore merren përkatësisht si a, b, c, atëherë formula për diagonalen e saj (D) do të duket kështu: D^2=a^2+b^2+c^2 .

Diagonalja e një kuboidiështë një segment që lidh kulmet e tij të kundërta. Pra kemi kuboid me diagonale d dhe brinjët a, b, c. Një nga vetitë e një paralelepipedi është se një katror gjatësi diagonale d është e barabartë me shumën e katrorëve të tre dimensioneve të tij a, b, c. Prandaj konkluzioni se gjatësi diagonale mund të llogaritet lehtësisht duke përdorur formulën e mëposhtme:

Gjithashtu:

Si të gjeni lartësinë e një paralelipipedi?

Katror diagonal, një kuboid katror (shih vetitë e një kuboidi katror) është i barabartë me shumën e katrorëve të tre anëve të tij të ndryshme (gjerësia, lartësia, trashësia) dhe, në përputhje me rrethanat, diagonalja e një kuboidi katror është e barabartë me rrënjën e këtë shumë.
Më kujtohet programi i shkollës në gjeometri, mund të thuash këtë: diagonalja e një paralelipipedi është e barabartë me rrënjën katrore të përftuar nga shuma e tre brinjëve të tij (ato shënohen me shkronja të vogla a, b, c).
Gjatësia e diagonales së një prizmi drejtkëndor është e barabartë me rrënjën katrore të shumës së katrorëve të brinjëve të tij.
Me sa di unë kurrikula shkollore, klasa 9 nese nuk gaboj dhe nese kujtesa sherben, atehere diagonalja e nje paralelipipedi drejtkendesh eshte e barabarte me rrenjen katrore te shumes se katroreve te te tri aneve te tij.
katrori i diagonales është i barabartë me shumën e katrorëve të gjerësisë, lartësisë dhe gjatësisë, bazuar në këtë formulë marrim përgjigjen, diagonalja është e barabartë me rrënjën katrore të shumës së tre dimensioneve të saj të ndryshme, ato shënojnë me shkronjat nсz abc

Meqenëse të gjitha faqet e një paralelipipedi janë paralelograme, drejtëza AD është paralele me drejtëzën BC dhe drejtëza është paralele me drejtëzën. Nga kjo rezulton se rrafshet e fytyrave të konsideruara janë paralele.

Nga fakti që faqet e një paralelepipedi janë paralelograme, rrjedh se AB, , CD dhe janë paralele dhe të barabarta. Nga kjo arrijmë në përfundimin se fytyra kombinohet me përkthim paralel përgjatë skajit AB me faqen . Prandaj, këto skaje janë të barabarta.

2 ) Merrni dy diagonale të paralelepipedit (Fig. 5), për shembull, dhe , dhe vizatoni vija shtesë dhe . AB dhe përkatësisht janë të barabarta dhe paralele me skajin DC, pra janë të barabartë dhe paralel me njëri-tjetrin; si rezultat, figura është një paralelogram, në të cilin vijat e drejta dhe janë diagonale, dhe në një paralelogram, diagonalet ndahen në gjysmë në pikën e kryqëzimit. Në mënyrë të ngjashme, mund të vërtetojmë se dy diagonalet e tjera kryqëzohen në një pikë dhe përgjysmojnë atë pikë. Pika e kryqëzimit të çdo çifti diagonalesh shtrihet në mes të diagonales. Kështu, të katër diagonalet e paralelepipedit kryqëzohen në një pikë O dhe përgjysmojnë këtë pikë. Kështu, pika e kryqëzimit të diagonaleve të paralelopipedit është qendra e tij e simetrisë.

Teorema:

Katrori i diagonales së një kuboidi është i barabartë me shumën e katrorëve të tre dimensioneve të tij.

Dëshmi:

Kjo del nga teorema hapësinore e Pitagorës. Nëse është diagonalja e një paralelepipedi drejtkëndor , atëherë janë projeksionet e tij në tre vija pingule në çift (Fig. 6). Rrjedhimisht,.