Trego trupat gjeometrikë të kulmit të buzës së fytyrës. Polyedra të rregullta. Fushëveprimi i formulës së Euler-it

Këndet trekëndore dhe poliedrike:
Një kënd trekëndor është një formë
i formuar nga tre plane të kufizuara nga tre rreze që dalin nga
një pikë dhe jo të shtrirë në një
aeroplanët.
Konsideroni disa banesë
shumëkëndësh dhe një pikë jashtë
rrafshin e këtij shumëkëndëshi.
Le të tërheqim rrezet nga kjo pikë,
duke kaluar nëpër majat
shumëkëndëshi. Ne do të marrim një figurë
e cila quhet shumëplanëshe
këndi.

Një kënd trekëndor është një pjesë e hapësirës
kufizohet nga tre kënde të sheshta me një të përbashkët
samiti
dhe
në çifte
i zakonshëm
partitë,
jo
shtrirë në të njëjtin aeroplan. Top i përbashkët Rreth këtyre
qoshet
thirrur
samiti
trekëndësh
këndi.
Anët e qosheve quhen skaje, qoshe të sheshta
në kulmin e një këndi trekëndor quhen të saj
fytyrat. Secila nga tre palë faqet e një këndi trekëndor
formon një kënd dihedral

Karakteristikat themelore të një këndi trekëndor
1. Çdo kënd i rrafshët i një këndi trekëndor është më i vogël se shuma
dy qoshet e tjera të saj të sheshta.
+ > ; + > ; + >
α, β, γ - kënde të sheshta,
A, B, C - kënde dihedrale të përbëra nga plane
këndet β dhe γ, α dhe γ, α dhe β.
2. Shuma e këndeve të rrafshët të një këndi trekëndor është më e vogël se
360 gradë
3. Teorema e parë e kosinusit
për një kënd trekëndor
4. Teorema e dytë e kosinusit për një kënd trekëndor

,
5. Teorema e sinusit
Një kënd poliedrik, brendësia e të cilit është
të vendosura në njërën anë të rrafshit të secilit
fytyrat e saj quhen poliedrike konvekse
këndi. Përndryshe, këndi poliedrik
quhet jokonveks.

Një shumëfaqësh është një trup, një sipërfaqe
i cili përbëhet nga një numër i kufizuar
shumëkëndëshat e sheshtë.

Elementet poliedrike
Fytyrat e një poliedri janë
shumëkëndëshat që
formë.
Skajet e një poliedri janë anët
shumëkëndëshat.
Kulmet e poliedrit janë
kulmet e shumëkëndëshit.
Diagonalja e një poliedri është
segment vijash që lidh 2 kulme
që nuk i përkasin të njëjtës fytyrë.

Polyedra
konveks
jo konveks

Shumëfaqëshi quhet konveks,
nëse është në njërën anë
rrafshi i çdo shumëkëndëshi në të
sipërfaqeve.

KËNDET KONVEKS POLIEDRALE

Një kënd shumëedral quhet konveks nëse është konveks
figura, d.m.th., së bashku me çdo dy nga pikat e saj, ajo përmban tërësisht dhe
linja që i lidh ato.
Figura tregon shembuj
konveks
dhe
jo konveks
kënde poliedrike.
Teorema. Shuma e të gjitha këndeve të rrafshët të një këndi shumëkëndor konveks është më pak se 360°.

POLITOPET KONVEKS

Një shumëkëndësh këndor quhet konveks nëse është një figurë konvekse,
d.m.th., së bashku me çdo dy nga pikat e tij, ai përmban tërësisht lidhjen
segmentin e tyre.
Kubi, paralelepipedi, prizmi trekëndor dhe piramida janë konveks
poliedra.
Figura tregon shembuj të një piramide konvekse dhe jokonvekse.

PRONA 1

Vetia 1. Në një shumëfaqësh konveks, të gjitha faqet janë
shumëkëndëshat konveks.
Në të vërtetë, le të jetë F një fytyrë e shumëkëndëshit
M, kurse pikat A, B i përkasin faqes F. Nga kushti i konveksitetit
poliedri M, rrjedh se segmenti AB është tërësisht i përmbajtur
në poliedrin M. Meqë ky segment shtrihet në rrafsh
shumëkëndëshi F, ai do të përfshihet tërësisht në këtë
shumëkëndëshi, pra F është një shumëkëndësh konveks.

PRONA 2

Vetia 2. Çdo shumëfaqësh konveks mund të përbëhet nga
piramidat me kulm të përbashkët, bazat e të cilave formojnë një sipërfaqe
shumëkëndësh.
Në të vërtetë, le të jetë M një shumëfaqësh konveks. Le të marrim disa
një pikë e brendshme S e shumëfaqëshit M, d.m.th., një pikë e tij që nuk është
nuk i përket asnjë faqeje të shumëkëndëshit M. E lidhim pikën S me
kulmet e poliedrit M si segmente. Vini re se për shkak të konveksitetit
poliedri M, të gjitha këto segmente përmbahen në M. Konsideroni piramidat me
kulmi S bazat e të cilit janë faqet e shumëfaqëshit M. Këto
piramidat përmbahen tërësisht në M, dhe së bashku ato formojnë poliedrin M.

Polyedra të rregullta

Nëse faqet e shumëfaqëshit janë
shumëkëndëshat e rregullt me një dhe
të njëjtin numër brinjësh dhe në çdo kulm
poliedri konvergon të njëjtin numër
skajet, pastaj një shumëfaqësh konveks
quhet e saktë.

Emrat e poliedrave

erdhi nga Greqia e lashte,
ato tregojnë numrin e fytyrave:
fytyra "hedra";
"tetra" 4;
"hexa" 6;
"okta" 8;
"ikosa" 20;
dodeka 12.

tetraedron i rregullt

Oriz. një
Përbëhet nga katër
barabrinjës
trekëndëshat. Secili
maja e saj është
në krye të tre
trekëndëshat.
Prandaj, shuma
kënde të sheshta në
çdo kulm është i barabartë me
180º.

Tetëkëndësh i rregullt
Oriz. 2
Përbëhet nga tetë
barabrinjës
trekëndëshat. Secili
kulmi i oktaedrit
është maja
katër trekëndësha.
Prandaj, shuma
kënde të sheshta në
çdo kulm 240º.

Ikozaedron i rregullt
Oriz. 3
Përbëhet nga njëzet
barabrinjës
trekëndëshat. Secili
kulmi ikozaedron
është pesëshja e parë
trekëndëshat.
Prandaj, shuma
kënde të sheshta në
çdo kulm është i barabartë me
300º.

Kub (gjashtëkëndor)

Oriz.
4
Përbëhet nga gjashtë
katrore. Secili
maja e kubit është
maja e tre katrorëve.
Prandaj, shuma
qoshe të sheshta për secilin
maja është 270º.

Dodekahedron i rregullt
Oriz. 5
Përbëhet nga dymbëdhjetë
korrekte
pesëkëndëshat. Secili
kulm dodekahedron
është kulmi i tre
korrekte
pesëkëndëshat.
Prandaj, shuma
kënde të sheshta në
çdo kulm është i barabartë me
324º.

Tabela nr. 1
E drejta
shumëkëndësh
Numri
fytyrat
majat
brinjët
Tetrahedron
4
4
6
Kub
6
8
12
Tetëkëndësh
8
6
12
Dodekahedron
12
20
30
ikozaedron
20
12
30

Formula e Euler-it
Shuma e numrit të faqeve dhe kulmeve të cilësdo
shumëkëndësh
është e barabartë me numrin e skajeve plus 2.
G+W=R+2
Numri i fytyrave plus numri i kulmeve minus numri
brinjët
në çdo poliedron është 2.
H+W R=2

Tabela numër 2
Numri
E drejta
shumëkëndësh
Tetrahedron
fytyrat dhe
majat
(G+V)
brinjët
(R)
4+4=8
6
"tetra" 4;
Kub
6 + 8 = 14
12
"hexa"
6;
Tetëkëndësh
8 + 6 = 14
12
"okta"
Dodekahedron
12 + 20 = 32
30
dodeka"
12.
30
"ikosa"
20
ikozaedron
20 + 12 = 32
8

Dualiteti i poliedrave të rregullt

Forma gjashtëkëndëshe (kubiku) dhe tetëkëndëshi
çift i dyfishtë poliedrash. Numri
fytyrat e një poliedri është e barabartë me numrin
kulmet e tjetrit dhe anasjelltas.

Merrni çdo kub dhe merrni parasysh një shumëkëndësh me
kulme në qendrat e faqeve të saj. Sa e lehtë
sigurohuni që të kemi një tetëkëndësh.

Qendrat e faqeve të oktaedrit shërbejnë si kulme të kubit.

Polyedra në natyrë, kimi dhe biologji
Kristalet e disa substancave të njohura për ne janë në formën e poliedrave të rregullt.
Kristal
pirit-
natyrore
model
dodekahedron.
kristalet
gatim
kripërat kalojnë
formë kubike.
Monokristal
antimoni
Kristal
aluminosulfat
(prizëm)
potasium alum sodium - tetraedron.
ka formën
tetëkëndësh.
Në një molekulë
metani ka
formë
korrekte
katërkëndësh.
Ikozaedri ka qenë në qendër të vëmendjes së biologëve në mosmarrëveshjet e tyre mbi formën
viruset. Virusi nuk mund të jetë krejtësisht i rrumbullakët, siç mendohej më parë. te
për të vendosur formën e saj, ata morën poliedra të ndryshme, drejtuan dritën drejt tyre
në të njëjtat kënde si rrjedha e atomeve në virus. Doli se vetëm një
poliedri jep saktësisht të njëjtën hije - ikozaedroni.
Në procesin e ndarjes së vezëve, së pari formohet një tetraedron prej katër qelizave, më pas
oktaedri, kubi dhe në fund struktura dodekaedralo-ikozaedrale e gastrulës. Dhe së fundi
ndoshta gjëja më e rëndësishme - struktura e ADN-së e kodit gjenetik të jetës - përfaqëson
një spastrim katërdimensional (përgjatë boshtit kohor) i një dodekaedri rrotullues!

Polyedra në art
"Portreti i Monna Lizës"
Përbërja e vizatimit bazohet në ngjyrën e artë
trekëndëshat që janë pjesë
pesëkëndëshi i rregullt yjor.
gdhendje "Melankolia"
Në plan të parë të pikturës
paraqitur dodekahedron.
"Darka e fundit"
Krishti me dishepujt e tij është përshkruar në
sfondi i një dodekaedri të madh transparent.

Polyedra në arkitekturë
Muzetë e frutave
Muzeu i Frutave në Yamanashi u krijua me ndihmën e
Modelimi 3D.
piramidat
far Aleksandrian
Kulla Spasskaya
Kremlini.
Kulla Spasskaya me katër nivele me Kishën e Shpëtimtarit
Jo bërë me dorë - hyrja kryesore në Kremlinin Kazan.
Ngritur në shekullin e 16-të nga arkitektët Pskov Ivan
Shiryayem dhe Postnik Yakovlev, me nofkën
"Barma". Katër nivelet e kullës janë
kubi, poliedra dhe piramida.

Kub, top, piramidë, cilindër, kon - trupa gjeometrikë. Midis tyre janë poliedronët. shumëkëndësh quhet trup gjeometrik, sipërfaqja e të cilit përbëhet nga një numër i kufizuar shumëkëndëshash. Secili prej këtyre shumëkëndëshave quhet faqe e shumëkëndëshit, brinjët dhe kulmet e këtyre shumëkëndëshave quhen përkatësisht skajet dhe kulmet e shumëkëndëshit.

Këndet dyhedrale ndërmjet faqeve ngjitur, d.m.th. fytyrat që kanë një anë të përbashkët - një skaj të një poliedri - janë gjithashtu mendje dyhedrale të poliedrit. Këndet e shumëkëndëshave - faqet e një shumëkëndëshi konveks - janë mendjet e sheshta të poliedrit. Përveç këndeve të sheshta dhe dihedrale, ka edhe një poliedrik konveks kënde poliedrike. Këto kënde formojnë faqe që kanë një kulm të përbashkët.

Midis poliedrave, ka prizmat dhe piramidat.

Prizma -është një shumëfaqësh, sipërfaqja e të cilit përbëhet nga dy shumëkëndësha dhe paralelogramë të barabartë që kanë brinjë të përbashkëta me secilën nga bazat.

Quhen dy shumëkëndësha të barabartë bazat ggrzmg, dhe paralelogramet - saj anësore fytyrat. Formohen faqet anësore sipërfaqe anësore prizmat. Skajet që nuk shtrihen në baza quhen brinjë anësore prizmat.

Prizma quhet p-thëngjill, nëse bazat e tij janë n-këndëshe. Në fig. 24.6 tregon një prizëm katërkëndor ABCDA"B"C"D".

Prizma quhet drejt, nëse faqet anësore të tij janë drejtkëndëshe (Fig. 24.7).

Prizma quhet korrekte , nëse është i drejtë dhe bazat e tij janë shumëkëndëshat e rregullt.

Një prizëm katërkëndor quhet paralelipiped nëse bazat e tij janë paralelograme.

Parallelepiped quhet drejtkëndëshe, nëse të gjitha faqet e tij janë drejtkëndëshe.

Diagonalja e kutisëështë një segment vijash që lidh kulmet e tij të kundërta. Një paralelipiped ka katër diagonale.

E vërtetoi atë diagonalet e paralelepipedit priten në një pikë dhe përgjysmojnë atë pikë. Diagonalet e një paralelepipedi drejtkëndor janë të barabarta.

Piramida- ky është një poliedron, sipërfaqja e të cilit përbëhet nga një shumëkëndësh - baza e piramidës, dhe trekëndësha që kanë një kulm të përbashkët, të quajtur faqet anësore të piramidës. Kulmi i përbashkët i këtyre trekëndëshave quhet samiti piramidat, skajet që dalin nga lart - brinjë anësore piramidat.

Perpendikularja e rënë nga maja e piramidës në bazë, si dhe gjatësia e kësaj pingule quhet lartësia piramidat.

Piramida më e thjeshtë trekëndëshi ose një katërkëndësh (Fig. 24.8). Një tipar i një piramide trekëndore është se çdo fytyrë mund të konsiderohet si një bazë.

Piramida quhet saktë, nëse baza e tij është një shumëkëndësh i rregullt dhe të gjitha skajet anësore janë të barabarta me njëra-tjetrën.

Vini re se duhet të dallojmë tetraedron i rregullt(d.m.th. një katërkëndësh në të cilin të gjitha skajet janë të barabarta me njëra-tjetrën) dhe piramidë e rregullt trekëndore(në bazën e tij shtrihet një trekëndësh i rregullt, dhe skajet anësore janë të barabarta me njëra-tjetrën, por gjatësia e tyre mund të ndryshojë nga gjatësia e brinjës së trekëndëshit, e cila është baza e prizmit).

Të dallojë i fryrë dhe jo konveks poliedra. Ju mund të përcaktoni një shumëkëndësh konveks nëse përdorni konceptin e një trupi gjeometrik konveks: një shumëfaqësh quhet konveks. nëse është një figurë konvekse, d.m.th. së bashku me çdo dy nga pikat e tij, ai përmban tërësisht segmentin që i lidh ato.

Dikush mund të përkufizojë një shumëfaqësh konveks në një mënyrë tjetër: poliedri quhet konveks nëse shtrihet tërësisht në njërën anë të secilit prej shumëkëndëshave të tij kufizues.

Këto përkufizime janë ekuivalente. Ne nuk japim prova për këtë fakt.

Të gjitha poliedrat që janë shqyrtuar deri më tani kanë qenë konveks (kubik, paralelipiped, prizëm, piramidë, etj.). Polyedroni i paraqitur në Fig. 24.9 nuk është konveks.

E vërtetoi atë në një shumëkëndësh konveks, të gjitha faqet janë shumëkëndësha konveks.

Konsideroni disa poliedra konveks (Tabela 24.1)

Nga kjo tabelë del se për të gjitha poliedrat konvekse të konsideruara, barazia B - P + G= 2. Doli se vlen edhe për çdo shumëfaqësh konveks. Kjo veti u vërtetua për herë të parë nga L. Euler dhe u quajt teorema e Euler-it.

Një shumëfaqësh konveks quhet korrekte nëse faqet e tij janë shumëkëndësha të rregullta të barabarta dhe i njëjti numër faqesh konvergojnë në secilën kulm.

Duke përdorur vetinë e një këndi shumëkëndor konveks, mund të vërtetohet se lloje te ndryshme Nuk ka më shumë se pesë poliedra të rregullta.

Në të vërtetë, nëse tifozi dhe poliedri janë trekëndësha të rregullt, atëherë 3, 4 dhe 5 prej tyre mund të konvergojnë në një kulm, pasi 60 "3< 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.

Nëse tre trekëndësha të rregullt konvergjojnë në çdo kulm të polifanit, atëherë marrim dora e djathtë/tetraedri i katërt, që në përkthim nga Fech do të thotë "tetrahedral" (Fig. 24.10, a).

Nëse katër trekëndësha të rregullt konvergjojnë në secilën kulm të shumëkëndëshit, atëherë marrim tetëkëndësh(Fig. 24.10, në). Sipërfaqja e saj përbëhet nga tetë trekëndësha të rregullt.

Nëse pesë trekëndësha të rregullt konvergjojnë në çdo kulm të shumëkëndëshit, atëherë marrim ikozaedron(Fig. 24.10, d). Sipërfaqja e saj përbëhet nga njëzet trekëndësha të rregullt.

Nëse fytyrat e një polifani janë katrore, atëherë vetëm tre prej tyre mund të konvergojnë në një kulm, që nga 90° 3< 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также gjashtëkëndor(Fig. 24.10, b).

Nëse faqet e një polifani janë pesëkëndësha të rregullt, atëherë vetëm phi mund të konvergojë në një kulm prej tyre, që nga 108° 3< 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется dodekahedron(Fig. 24.10, e). Sipërfaqja e saj përbëhet nga dymbëdhjetë pesëkëndësha të rregullt.

Fytyrat e një poliedri nuk mund të jenë gjashtëkëndore ose më shumë, pasi edhe për një gjashtëkëndësh 120° 3 = 360°.

Është vërtetuar në gjeometri se ekzistojnë saktësisht pesë lloje të ndryshme poliedrash të rregullta në hapësirën tredimensionale Euklidiane.

Për të bërë një model të një poliedri, duhet ta bëni atë fshij(më saktë, zhvillimi i sipërfaqes së saj).

Zhvillimi i një poliedri është një figurë në një rrafsh, e cila përftohet nëse sipërfaqja e poliedrit pritet përgjatë disa skajeve dhe shpaloset në mënyrë që të gjithë shumëkëndëshat e përfshirë në këtë sipërfaqe të shtrihen në të njëjtin rrafsh.

Vini re se një shumëfaqësh mund të ketë disa zhvillime të ndryshme, në varësi të skajeve që kemi prerë. Figura 24.11 tregon figura që janë zhvillime të ndryshme të një piramide të rregullt katërkëndore, pra një piramidë në bazën e së cilës shtrihet një katror dhe të gjitha skajet anësore janë të barabarta me njëra-tjetrën.

Që një figurë e rrafshët të jetë një zhvillim i një poliedri konveks, duhet të plotësojë një sërë kërkesash që lidhen me tiparet e shumëkëndëshit. Për shembull, figurat në Fig. 24.12 nuk janë skanime të një piramide të rregullt katërkëndore: në figurën e paraqitur në fig. 24.12, a, në krye M katër fytyra konvergojnë, të cilat nuk mund të jenë të sakta piramidë katërkëndore; dhe në figurën e paraqitur në Fig. 24.12, b, brinjë anësore A B dhe dielli jo të barabartë.

Në përgjithësi, një zhvillim i një poliedri mund të merret duke prerë sipërfaqen e tij jo vetëm përgjatë skajeve. Një shembull i një pastrimi të tillë kubi është treguar në Fig. 24.13. Prandaj, shpalosja e një poliedri mund të përkufizohet më saktë si një shumëkëndësh i rrafshët, nga i cili sipërfaqja e këtij poliedri mund të bëhet pa mbivendosje.

Trupat e revolucionit

Trupi i rrotullimit quhet trupi i përftuar si rezultat i rrotullimit të ndonjë figure (zakonisht të sheshtë) rreth një vije të drejtë. Kjo linjë quhet boshti i rrotullimit.

Cilindri- trupi i egos, i cili përftohet si rezultat i rrotullimit të një drejtkëndëshi rreth njërës anë të tij. Në këtë rast, pala në fjalë është boshti i cilindrit. Në fig. 24.14 tregon një cilindër me një bosht OO', që rezulton nga rrotullimi i një drejtkëndëshi AA "O" O rreth një vije të drejtë OO". pikë O dhe O" janë qendrat e bazave të cilindrit.

Një cilindër, i cili fitohet duke rrotulluar një drejtkëndësh rreth njërës anë të tij, quhet rrethore e drejtpërdrejtë një cilindër, pasi bazat e tij janë dy rrathë të barabartë të vendosur në plane paralele në mënyrë që segmenti që lidh qendrat e rrathëve të jetë pingul me këto rrafshe. Sipërfaqja anësore e cilindrit formohet nga segmente të barabarta me anën e drejtkëndëshit paralel me boshtin e cilindrit.

Fshij sipërfaqja anësore e një cilindri rrethor të drejtë, nëse pritet përgjatë gjeneratorit, është një drejtkëndësh, njëra anë e të cilit është e barabartë me gjatësinë e gjeneratorit dhe tjetra me perimetrin e bazës.

Koni- ky është trupi që përftohet si rezultat i rrotullimit të një trekëndëshi kënddrejtë rreth njërës prej këmbëve.

Në këtë rast, këmba e specifikuar është e palëvizshme dhe quhet boshti i konit. Në fig. 24.15 tregon një kon me bosht SO, i marrë si rezultat i rrotullimit të një trekëndëshi kënddrejtë SOA me një kënd të drejtë O rreth këmbës S0. Pika S quhet maja e konit, OAështë rrezja e bazës së saj.

Koni që rezulton nga rrotullimi i një trekëndëshi kënddrejtë rreth njërës prej këmbëve të tij quhet kon rrethor i drejtë meqenëse baza e tij është një rreth, dhe maja është projektuar në qendër të këtij rrethi. Sipërfaqja anësore e konit formohet nga segmente të barabarta me hipotenuzën e trekëndëshit, gjatë rrotullimit të të cilit formohet koni.

Nëse sipërfaqja anësore e konit pritet përgjatë gjeneratorit, atëherë ajo mund të "shpaloset" në një plan. Fshij sipërfaqja anësore e një koni rrethor të djathtë është një sektor rrethor me rreze, e barabartë me gjatësinë gjeneratori.

Kur një cilindër, kon ose ndonjë trup tjetër rrotullimi kryqëzohet nga një plan që përmban boshtin e rrotullimit, fitohet seksion boshtor. Seksioni boshtor i cilindrit është një drejtkëndësh, pjesa boshtore e konit është një trekëndësh izosceles.

Topi- ky është trupi që përftohet si rezultat i rrotullimit të një gjysmërrethi a rreth diametrit të tij. Në fig. 24.16 tregon një top të marrë duke rrotulluar një gjysmërreth rreth një diametri AA". Pika O thirrur qendra e topit dhe rrezja e rrethit është rrezja e topit.

Sipërfaqja e sferës quhet sferë. Një sferë nuk mund të rrafshohet.

Çdo seksion i një sfere nga një plan është një rreth. Rrezja e seksionit të topit do të jetë më e madhe nëse aeroplani kalon nëpër qendër të topit. Prandaj, pjesa e një topi nga një aeroplan që kalon në qendër të topit quhet top rrethi i madh, dhe rrethi që e kufizon atë - rreth i madh.

IMAZHI I TRUPAVE GJEOMETRIKE NË RRAFSH

Ndryshe nga figurat e sheshta, trupat gjeometrikë nuk mund të përshkruhen me saktësi, për shembull, në një fletë letre. Sidoqoftë, me ndihmën e vizatimeve në një aeroplan, mund të merrni një imazh mjaft të qartë të figurave hapësinore. Për këtë, përdoren metoda të veçanta të paraqitjes së figurave të tilla në një aeroplan. Një prej tyre është dizajn paralel.

Le të jepet një rrafsh a dhe një drejtëz që e prenë atë a. Le të marrim në hapësirë një pikë arbitrare A" që nuk i përket vijës a, dhe le të kalojmë X e drejtpërdrejtë a", paralel me një vijë të drejtë a(Fig. 24.17). Drejt a" kryqëzon rrafshin në një moment X", që quhet projeksioni paralel i pikës X në rrafsh a.

Nëse pika A shtrihet në një vijë a, pastaj me projeksion paralel X"është pika në të cilën vija a kalon aeroplanin a.

Nëse pika X i përket rrafshit a, pastaj pikës X" përkon me pikën x.

Kështu, nëse jepet një rrafsh a dhe një drejtëz që e prenë atë a. pastaj çdo pikë X hapësira mund të shoqërohet me një pikë të vetme A" - një projeksion paralel i pikës X në rrafshin a (kur projektohet paralel me një vijë të drejtë a). aeroplan a thirrur plani i projeksionit. Rreth direkt a thonë se ajo leh drejtimi i projektimit - grri zëvendësim direkt açdo rezultat tjetër i drejtpërdrejtë i dizajnit paralel me të nuk do të ndryshojë. Të gjitha linjat paralele me një vijë a, vendosin të njëjtin drejtim të projektimit dhe thirren së bashku me një vijë të drejtë a linjat e projektimit.

projeksioni shifrat F i quajtur grup F' projeksioni i të gjitha pikave të rrjetit. Harta për secilën pikë X shifrat F“Projeksioni i tij paralel është një pikë X" shifrat F", thirrur dizajn paralel shifrat F(Fig. 24.18).

Një projeksion paralel i një objekti real është hija e tij që bie në një sipërfaqe të sheshtë në rrezet e diellit, pasi rrezet e diellit mund të konsiderohen paralele.

Dizajni paralel ka një sërë vetive, njohja e të cilave është e nevojshme kur përshkruhen trupat gjeometrikë në një aeroplan. Le të formulojmë ato kryesore pa dhënë provat e tyre.

Teorema 24.1. Në inxhinierinë paralele, për linjat e drejta që nuk janë paralele me drejtimin e projektimit dhe për segmentet që shtrihen mbi to, plotësohen vetitë e mëposhtme:

1) projeksioni i një vije të drejtë është një vijë e drejtë, dhe projeksioni i një segmenti është një segment;

2) projeksionet e drejtëzave paralele janë paralele ose përkojnë;

3) raporti i gjatësive të projeksioneve të segmenteve që shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë ose në vija paralele është i barabartë me raportin e gjatësive të vetë segmenteve.

Nga kjo teoremë rrjedh pasojë: në projeksionin paralel, mesi i segmentit projektohet në mes të projeksionit të tij.

Kur përshkruani trupa gjeometrikë në një aeroplan, është e nevojshme të monitorohet zbatimi i këtyre vetive. Përndryshe, mund të jetë arbitrare. Pra, këndet dhe raportet e gjatësive të segmenteve joparalele mund të ndryshojnë në mënyrë arbitrare, d.m.th., për shembull, një trekëndësh në projeksion paralel përfaqësohet nga një trekëndësh arbitrar. Por nëse trekëndëshi është barabrinjës, atëherë projeksionet e ndërmjetësve të tij duhet të lidhin kulmin e trekëndëshit me mesin e anës së kundërt.

Dhe një kërkesë tjetër duhet të respektohet kur përshkruhen trupat hapësinorë në një aeroplan - për të kontribuar në krijimin e një ideje të saktë rreth tyre.

Le të përshkruajmë, për shembull, një prizëm të prirur, bazat e të cilit janë katrore.

Le të ndërtojmë së pari bazën e poshtme të prizmit (mund të filloni nga lart). Sipas rregullave të projektimit paralel, oggo do të përfaqësohet nga një paralelogram arbitrar ABCD (Fig. 24.19, a). Duke qenë se skajet e prizmit janë paralele, ndërtojmë drejtëza paralele që kalojnë nëpër kulmet e paralelogramit të ndërtuar dhe mbi to vendosim segmente të barabarta AA", BB', CC", DD", gjatësia e të cilave është arbitrare. Lidhja e pikave A ", B", C", D në seri ", marrim një katërkëndësh A "B" C "D", që përshkruan bazën e sipërme të prizmit. Është e lehtë të vërtetohet se A"B"C"D"- paralelogram i barabartë me paralelogram ABCD dhe, për rrjedhojë, kemi imazhin e një prizmi, bazat e të cilit janë katrorë të barabartë dhe faqet e mbetura janë paralelograme.

Nëse keni nevojë të përshkruani një prizëm të drejtë, bazat e të cilit janë katrore, atëherë mund të tregoni se skajet anësore të këtij prizmi janë pingul me bazën, siç është bërë në Fig. 24.19, b.

Përveç kësaj, vizatimi në Fig. 24.19, b mund të konsiderohet një imazh i një prizmi të rregullt, pasi baza e tij është një katror - një katërkëndësh i rregullt, dhe gjithashtu një paralelipiped drejtkëndor, pasi të gjitha fytyrat e tij janë drejtkëndësha.

Tani le të zbulojmë se si të vizatojmë një piramidë në një aeroplan.

Për të përshkruar një piramidë të rregullt, fillimisht vizatoni një poligon të rregullt të shtrirë në bazë, dhe qendra e tij është një pikë O. Pastaj vizatohet një vijë vertikale OS, që përfaqëson lartësinë e piramidës. Vini re se vertikaliteti i segmentit OS siguron qartësi më të madhe vizuale. Dhe së fundi, pika S është e lidhur me të gjitha kulmet e bazës.

Le të përshkruajmë, për shembull, një piramidë të rregullt, baza e së cilës është gjashtëkëndësh i rregullt.

Për të përshkruar saktë një gjashtëkëndësh të rregullt në dizajn paralel, duhet t'i kushtoni vëmendje sa vijon. Le të jetë ABCDEF një gjashtëkëndësh i rregullt. Atëherë BCEF është një drejtkëndësh (Fig. 24.20) dhe, për rrjedhojë, me projeksion paralel, ai do të përfaqësohet nga një paralelogram arbitrar B "C" E "F". Meqenëse diagonalja AD kalon në pikën O - qendra e poligonit ABCDEF dhe është paralele me segmentet. BC dhe EF dhe AO \u003d OD, atëherë me dizajn paralel do të përfaqësohet nga një segment arbitrar A "D" , duke kaluar nëpër një pikë O" paralele B"C" dhe E"F" dhe përveç kësaj, Një "O" \u003d O "D".

Kështu, sekuenca e ndërtimit të bazës së piramidës gjashtëkëndore është si më poshtë (Fig. 24.21):

§ përshkruaj një paralelogram arbitrar B"C"E"F" dhe diagonalet e saj; shënoni pikën e kryqëzimit të tyre O";

§ përmes një pike O" vizatoni një vijë të drejtë paralele V'S"(ose E "F");

§ zgjidhni një pikë arbitrare në vijën e ndërtuar POR" dhe shënoni një pikë D" sikurse Oh "D" = Një "O" dhe lidhni pikën POR" me pika AT" dhe F", dhe një pikë D" - me pika NGA" dhe E".

Për të përfunduar ndërtimin e piramidës, vizatohet një segment vertikal OS(gjatësia e saj zgjidhet në mënyrë arbitrare) dhe lidhni pikën S me të gjitha kulmet e bazës.

Në projeksion paralel, topi përshkruhet si një rreth me të njëjtën rreze. Për ta bërë më vizuale imazhin e topit, vizatohet një projeksion i një rrethi të madh, rrafshi i të cilit nuk është pingul me rrafshin e projeksionit. Ky projeksion do të jetë një elips. Qendra e topit do të përshkruhet nga qendra e kësaj elipse (Fig. 24.22). Tani mund të gjeni polet përkatëse N dhe S me kusht që segmenti që i lidh të jetë pingul me rrafshin e ekuatorit. Për ta bërë këtë, përmes pikës O vizatoni një vijë pingul me AB dhe shënoni pikën C - kryqëzimin e kësaj linje me elipsin; pastaj përmes pikës C vizatojmë një tangjente me elipsin që përfaqëson ekuatorin. Është vërtetuar se distanca CM e barabartë me distancën nga qendra e topit në secilin prej poleve. Prandaj, duke lënë mënjanë segmentet AKTIV dhe OS, të barabartë CM, merrni polet N dhe S.

Konsideroni një nga metodat për ndërtimin e një elipsi (bazohet në një transformim të rrafshit, i cili quhet ngjeshje): ndërtojnë një rreth me diametër dhe vizatojnë korda pingul me diametrin (Fig. 24.23). Gjysma e secilës prej akordeve ndahet në gjysmë dhe pikat që rezultojnë lidhen me një kurbë të qetë. Kjo kurbë është një elips, boshti kryesor i së cilës është segmenti AB, dhe qendra është një pikë O.

Kjo teknikë mund të përdoret kur vizatoni një cilindër rrethor të drejtë (Fig. 24.24) dhe një kon rrethor të drejtë (Fig. 24.25) në plan.

Një kon rrethor i drejtë përshkruhet si më poshtë. Së pari, ndërtohet një elips - baza, pastaj gjendet qendra e bazës - pika O dhe vizatoni një vijë pingule OS, që paraqet lartësinë e konit. Nga pika S, tangjentet janë tërhequr në elips (kjo bëhet "me sy", duke aplikuar një vizore) dhe segmentet janë zgjedhur SC dhe SD këto vija nga pika S deri në pikat e kontaktit C dhe D. Vini re se segmenti CD nuk përputhet me diametrin e bazës së konit.

Qëllimi i mësimit:

Prezantoni konceptin e poliedrit të rregullt.
Konsideroni llojet e poliedrave të rregullt.
Zgjidhja e problemeve.
Të ngjall interes për temën, të mësojë të shohë bukurinë në trupat gjeometrikë, zhvillimin e imagjinatës hapësinore.
Komunikimet ndërlëndore.

Dukshmëria: tavolina, modele.

Gjatë orëve të mësimit

I. Momenti organizativ. Informoni temën e mësimit, formuloni objektivat e mësimit.

II. Mësimi i materialit të ri/

Ka tema të veçanta në gjeometrinë e shkollës që prisni me padurim, duke parashikuar një takim me material tepër të bukur. Këto tema përfshijnë "Poliedra të rregullta". Këtu hapet jo vetëm bota e mrekullueshme e trupave gjeometrikë me veti unike, por edhe hipoteza interesante shkencore. Dhe pastaj mësimi i gjeometrisë bëhet një lloj studimi i aspekteve të papritura të lëndës së zakonshme shkollore.

Asnjë nga trupat gjeometrikë nuk posedon përsosmëri dhe bukuri të tillë si poliedrat e rregullt. "Poliedrat e rregullta janë jashtëzakonisht të pakta," shkroi dikur L. Carroll, "por kjo shkëputje, e cila është shumë modeste në numër, arriti të hyjë në thellësi të shkencave të ndryshme."

Përkufizimi i një poliedri të rregullt.

Një shumëfaqësh quhet i rregullt nëse:

është konveks;
të gjitha faqet e tij janë shumëkëndësha të rregullt të barabartë me njëri-tjetrin;
i njëjti numër skajesh konvergojnë në secilën nga kulmet e saj;
të gjithë këndet e tij dykëndësh janë të barabartë.

Teorema: Ekzistojnë pesë lloje të ndryshme (deri në ngjashmëri) të poliedrave të rregullt: katërkëndëshi i rregullt, heksaedri i rregullt (kubi), oktaedri i rregullt, dodekaedri i rregullt dhe ikozaedri i rregullt.

Tabela 1.Disa veti të poliedrave të rregullt janë dhënë në tabelën e mëposhtme.

Lloji i fytyrës	kënd i sheshtë në krye	Pamje e këndit poliedrik në kulm	Shuma e këndeve të sheshta në kulm	AT	R	G	Emri i poliedrit
trekëndësh kënddrejtë	60º	me 3 anë	180º	4	6	4	tetraedron i rregullt
trekëndësh kënddrejtë	60º	me 4 anë	240º	6	12	8	Tetëkëndësh i rregullt
trekëndësh kënddrejtë	60º	me 5 anë	300º	12	30	20	Ikozaedron i rregullt
Sheshi	90º	me 3 anë	270º	8	12	6	Heksaedron i rregullt (kub)
trekëndësh kënddrejtë	108º	me 3 anë	324º	20	30	12	Dodekahedron i rregullt

Konsideroni llojet e poliedrave:

tetraedron i rregullt

<Рис. 1>

Tetëkëndësh i rregullt

<Рис. 2>

Ikozaedron i rregullt

<Рис. 3>

Heksaedron i rregullt (kub)

<Рис. 4>

Dodekahedron i rregullt

<Рис. 5>

Tabela 2. Formulat për gjetjen e vëllimeve të poliedrave të rregullt.

Lloji i poliedrit	Vëllimi poliedrik
tetraedron i rregullt
Tetëkëndësh i rregullt
Ikozaedron i rregullt
Heksaedron i rregullt (kub)
Dodekahedron i rregullt

"Grupet e ngurta platonike".

Kubi dhe oktaedri janë të dyfishtë, d.m.th. fitohen nga njëra-tjetra nëse qendrat e faqeve të njërës merren si kulme të tjetrës dhe anasjelltas. Dodekaedri dhe ikozaedri janë njësoj të dyfishtë. Tetrahedroni është i dyfishtë në vetvete. Një dodekaedron i rregullt përftohet nga një kub duke ndërtuar "çati" në faqet e tij (metoda e Euklidit), kulmet e një tetraedri janë çdo katër kulme të kubit që nuk janë ngjitur në çift përgjatë një skaji. Kështu përftohen nga kubi të gjitha poliedrat e tjera të rregullta. Vetë fakti i ekzistencës së vetëm pesë poliedrave vërtet të rregullt është i mahnitshëm - në fund të fundit, ka pafundësisht shumë shumëkëndësha të rregullt në aeroplan!

Të gjitha poliedrat e rregullta njiheshin në Greqinë e lashtë, dhe libri i fundit XII i parimeve të famshme të Euklidit u kushtohet atyre. Këto poliedra shpesh quhen të njëjta Lëndët e ngurta platonike në tablonë idealiste të botës të dhënë nga mendimtari i madh i lashtë grek Platoni. Katër prej tyre personifikuan katër elementët: zjarrin-tetraedrin, tokën-kubin, ujin-ikozaedrin dhe ajrin-tetraedrin; poliedri i pestë, dodekaedri, simbolizonte të gjithë universin. Në latinisht, ata filluan ta quajnë atë quinta essentia ("thelbi i pestë").

Me sa duket, nuk ishte e vështirë të dilte me tetraedrin, kubin, tetëedrin e saktë, veçanërisht pasi këto forma kanë kristale natyrale, për shembull: një kub është një monokristal i klorurit të natriumit (NaCl), një tetëedron është një kristal i vetëm i alumit të kaliumit. ((KAlSO 4) 2 l2H 2 O). Ekziston një supozim se grekët e lashtë morën formën e dodekaedrit duke marrë parasysh kristalet e piritit (pirit squfuri FeS). Duke pasur të njëjtin dodekaedron, nuk është e vështirë të ndërtosh një ikozaedron: kulmet e tij do të jenë qendrat e 12 faqeve të dodekaedronit.

Ku tjetër mund t'i shihni këta trupa të mrekullueshëm?

Në një libër shumë të bukur të biologut gjerman të fillimit të shekullit tonë, E. Haeckel, “Bukuria e formave në natyrë”, mund të lexohen rreshtat e mëposhtëm: “Natyra ushqen në gjirin e saj një numër të pashtershëm krijesash mahnitëse deri tani. tejkalojnë të gjitha format e krijuara nga arti njerëzor në bukuri dhe diversitet.” Krijimet e natyrës në këtë libër janë të bukura dhe simetrike. Kjo është një pronë e pandashme e harmonisë natyrore. Por këtu janë të dukshëm organizmat njëqelizorë - feodarii, forma e të cilave përcjell me saktësi ikozaedrin. Çfarë e shkaktoi këtë gjeometrizim natyror? Ndoshta për shkak të të gjitha poliedrave me të njëjtin numër fytyrash, është ikozaedri ai që ka vëllimin më të madh dhe sipërfaqen më të vogël. Kjo veti gjeometrike ndihmon mikroorganizmin detar të kapërcejë presionin e kolonës së ujit.

Është gjithashtu interesante se ishte ikozaedroni që doli të ishte fokusi i vëmendjes së biologëve në mosmarrëveshjet e tyre në lidhje me formën e viruseve. Virusi nuk mund të jetë krejtësisht i rrumbullakët, siç mendohej më parë. Për të vendosur formën e tij, ata morën poliedronë të ndryshëm, drejtuan dritën drejt tyre në të njëjtat kënde si rrjedha e atomeve drejt virusit. Doli se vetitë e përmendura më sipër bëjnë të mundur ruajtjen e informacionit gjenetik. Polyedrat e rregullta janë figurat më fitimprurëse. Dhe natyra përfiton nga kjo. Polyedrat e rregullta përcaktojnë formën e rrjetave kristalore të disave substancave kimike. Detyra tjetër do të ilustrojë këtë ide.

Një detyrë. Modeli i molekulës së metanit CH 4 ka formën e një tetraedri të rregullt, me atome hidrogjeni në katër kulme dhe një atom karboni në qendër. Përcaktoni këndin e lidhjes midis dy lidhjeve CH.

<Рис. 6>

Zgjidhje. Meqenëse një katërkëndor i rregullt ka gjashtë skaje të barabarta, është e mundur të zgjidhet një kub i tillë që diagonalet e faqeve të tij të jenë skajet e një tetraedri të rregullt. Qendra e kubit është gjithashtu qendra e katërkëndëshit, sepse katër kulmet e tetraedrit janë gjithashtu kulme të kubit, dhe sfera e përshkruar rreth tyre përcaktohet në mënyrë unike nga katër pika që nuk shtrihen në të njëjtin rrafsh.

Trekëndëshi AOC është dykëndësh. Prandaj, a është ana e kubit, d është gjatësia e diagonales së faqes anësore ose skajit të tetraedrit. Pra, a = 54,73561 0 dhe j = 109,47 0

Një detyrë. Në një kub të një kulmi (D), vizatohen diagonalet e faqeve DA, DB dhe DC dhe skajet e tyre lidhen me vija të drejta. Vërtetoni se politopi DABC i formuar nga katër plane që kalojnë nëpër këto vija është një katërkëndor i rregullt.

<Рис. 7>

Një detyrë. Buza e kubit është a. Llogaritni sipërfaqen e një oktaedri të rregullt të gdhendur në të. Gjeni lidhjen e tij me sipërfaqen e një tetraedri të rregullt të gdhendur në të njëjtin kub.

<Рис. 8>

Përgjithësimi i konceptit të një poliedri.

Një shumëkëndësh është një koleksion i një numri të kufizuar poligonesh të rrafshët të tillë që:

secila anë e ndonjërit prej shumëkëndëshave është në të njëjtën kohë një anë e tjetrës (por vetëm njëra (e quajtur ngjitur me të parën) përgjatë kësaj ane);
nga cilido shumëkëndësh që përbën shumëkëndëshin, mund të arrihet tek ndonjëri prej tyre duke kaluar tek ai ngjitur me të, dhe nga ky, nga ana tjetër, tek ai ngjitur me të etj.

Këta shumëkëndësha quhen faqe, anët e tyre quhen skaje dhe kulmet e tyre janë kulmet e shumëkëndëshit.

Përkufizimi i mëposhtëm i një poliedri merr një kuptim të ndryshëm në varësi të mënyrës se si përcaktohet poligoni:

- nëse një shumëkëndësh kuptohet si vija të thyera të mbyllura të sheshta (edhe pse ato kryqëzohen vetë), atëherë ato vijnë në këtë përkufizim shumëfaqësh;

- nëse një shumëkëndësh kuptohet si pjesë e një rrafshi të kufizuar me vija të thyera, atëherë nga ky këndvështrim, shumëkëndësh kuptohet si një sipërfaqe e përbërë nga pjesë shumëkëndëshe. Nëse kjo sipërfaqe nuk kryqëzohet në vetvete, atëherë ajo është sipërfaqja e plotë e ndonjë trupi gjeometrik, i cili quhet edhe shumëfaqësh. Nga këtu, një këndvështrim i tretë lind mbi poliedrat si trupa gjeometrikë dhe lejohet edhe ekzistenca e "vrimave" në këta trupa, të kufizuara nga një numër i kufizuar faqesh të sheshta.

Shembujt më të thjeshtë të poliedrave janë prizmat dhe piramidat.

Shumëkëndëshi quhet n- qymyr piramidale, nëse ka njërën nga fytyrat (bazën) të saj n- një katror, dhe faqet e mbetura janë trekëndësha me një kulm të përbashkët që nuk shtrihet në rrafshin e bazës. Një piramidë trekëndore quhet gjithashtu një tetraedron.

Shumëkëndëshi quhet n-prizmi i qymyrit, nëse i ka dy faqe (baza) të barabarta n-gons (jo të shtrirë në të njëjtin rrafsh), të marra nga njëri-tjetri me përkthim paralel, dhe faqet e mbetura janë paralelograme, anët e kundërta të të cilave janë anët përkatëse të bazave.

Për çdo politop të gjinisë zero, karakteristika e Euler-it (numri i kulmeve minus numrin e skajeve plus numrin e faqeve) është e barabartë me dy; simbolikisht: V - P + G = 2 (teorema e Euler-it). Për një poliedron të gjinisë fq lidhja B - R + G \u003d 2 - 2 fq.

Një shumëfaqësh konveks është një shumëfaqësh që shtrihet në njërën anë të rrafshit të cilësdo faqe të tij. Më të rëndësishmit janë poliedrat e mëposhtëm konveks:

<Рис. 9>

poliedra të rregullt (ngurtësitë e Platonit) - poliedra të tillë konveks, të gjitha faqet e të cilave janë të njëjtat shumëkëndësha të rregullt dhe të gjitha këndet shumëkëndëshe në kulmet janë të rregullta dhe të barabarta.<Рис. 9, № 1-5>;
izogonet dhe izohedrat - shumëfaqëshe konvekse, të gjitha këndet poliedrike të të cilave janë të barabarta (izogone) ose të barabarta me të gjitha faqet (izohedra); për më tepër, grupi i rrotullimeve (me reflektime) të një izogoni (izoedroni) rreth qendrës së gravitetit merr cilindo nga kulmet (fytyrat) e tij në cilindo nga kulmet (fytyrat) e tij të tjera. Polyedrat e fituara në këtë mënyrë quhen poliedra gjysmë të rregullta (ngurtë e Arkimedit)<Рис. 9, № 10-25>;
paralelohedron (konveks) - poliedra, të konsideruara si trupa, kryqëzimi paralel i të cilave mund të mbushë të gjithë hapësirën e pafundme, në mënyrë që të mos hyjnë në njëri-tjetrin dhe të mos lënë zbrazëti ndërmjet tyre, d.m.th. formoi një ndarje të hapësirës<Рис. 9, № 26-30>;
Nëse me një shumëkëndësh nënkuptojmë vija të thyera të mbyllura të sheshta (edhe nëse ato ndërpriten vetë), atëherë mund të tregohen edhe 4 poliedra të rregullta jokonvekse (në formë ylli) (trupat Poinsot). Në këto poliedra, ose faqet kryqëzohen me njëra-tjetrën, ose faqet janë shumëkëndësha që kryqëzohen vetë.<Рис. 9, № 6-9>.

III. Detyrë shtëpie.

IV. Zgjidhja e problemave nr.279, nr.281.

V. Përmbledhje.

Lista e literaturës së përdorur:

“Enciklopedia Matematike”, redaktuar nga I. M. Vinogradova, Shtepi botuese " Enciklopedia Sovjetike”, Moskë, 1985. Vëllimi 4, f. 552–553 Vëllimi 3, f. 708–711.
"Enciklopedi e vogël matematikore", E. Fried, I. Pastor, I. Reiman et al Shtëpia Botuese e Akademisë Hungareze të Shkencave, Budapest, 1976. Fq. 264–267.
“Përmbledhja e problemeve në matematikë për aplikantët në universitete” në dy libra, redaktuar nga M.I. Scanavi, libri 2 - Gjeometria, shtëpia botuese " shkollë e diplomuar”, Moskë, 1998. Fq. 45–50.
“Mësime praktike në matematikë: Tutorial për shkollat teknike”, shtëpia botuese “Vysshaya Shkola”, Moskë, 1979. Fq. 388–395, fq. 405.
"Matematika e përsëritur", botimi 2–6, plotësues, Libër mësuesi për aplikantët në universitete, shtëpia botuese "Vysshaya Shkola", Moskë, 1974. Fq. 446–447.
Fjalori Enciklopedik i një Matematikani të Ri, A. P. Savin, Shtëpia botuese "Pedagogjia", Moskë, 1989. Fq. 197–199.
“Enciklopedi për fëmijë. T.P. Matematikë”, kryeredaktor M. D. Aksenova; metodë, dhe respekt. redaktor V. A. Volodin, shtëpia botuese Avanta +, Moskë, 2003. Fq. 338–340.
Gjeometria, 10–11: Libër mësuesi për institucionet arsimore/ L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev dhe të tjerët - botimi i 10-të - M .: Arsimi, 2001. Fq. 68–71.
"Kvant" Nr. 9, 11 - 1983, Nr. 12 - 1987, Nr. 11, 12 - 1988, Nr. 6, 7, 8 - 1989. Revista popullore shkencore e fizikës dhe matematikës së Akademisë së Shkencave të BRSS dhe Akademia e Shkencave Pedagogjike të BRSS. Shtëpia botuese "Shkenca". Botimi kryesor i literaturës fizike dhe matematikore. Faqe 5-9, 6-12, 7-9, 10, 4-8, 13, 16, 58.
Zgjidhja e problemave të kompleksitetit të shtuar në gjeometri: klasa e 11-të - M .: ARKTI, 2002. Fq. 9, 19–20.

Përmbajtja e artikullit

POLIEDRONI, pjesa e hapësirës e kufizuar nga një koleksion i një numri të kufizuar poligonesh planar të lidhur në mënyrë të tillë që secila anë e çdo shumëkëndëshi të jetë një anë e një shumëkëndëshi tjetër (i quajtur shumëkëndësh ngjitur), dhe ka saktësisht një cikël poligonesh përreth çdo kulm. Këta shumëkëndësha quhen faqe, anët e tyre quhen skaje dhe kulmet e tyre quhen kulme të shumëkëndëshit.

Në fig. 1 paraqet disa poliedra të njohura. Dy të parat janë shembuj R-piramidat e qymyrit, d.m.th. poliedra e përbërë nga R-gon, quhet baza, dhe R trekëndëshat ngjitur me bazën dhe që kanë një kulm të përbashkët (i quajtur maja e piramidës). Në R = 3 (cm. oriz. një, a) çdo faqe e piramidës mund të shërbejë si bazë. Piramida, baza e së cilës ka formën e një të rregullt R-gon quhet i rregullt R- piramida e qymyrit. Pra, mund të flasim për katror, pesëkëndor të rregullt etj. piramidat. Në fig. një, në, 1,G dhe 1, d jepen shembuj të një klase të caktuar poliedrash, kulmet e të cilave mund të ndahen në dy grupe me të njëjtin numër pikash; pikat e secilës prej këtyre grupeve janë kulme R-gon, dhe aeroplanët e të dyve fq-gondet janë paralele. Nëse këto të dyja R-gonet (bazat) janë kongruente dhe të vendosura në mënyrë që kulmet e të njëjtave R R-gon nga segmente drejtvizore paralele, atëherë një shumëfaqësh i tillë quhet R- prizmi i qymyrit. Dy R-Prizmat këndore mund të shërbejnë si prizëm trekëndor ( R= 3) në fig. një, në dhe një prizëm pesëkëndësh ( R= 5) në fig. një, G. Nëse bazat janë të vendosura në mënyrë që kulmet e njërës R-gon janë të lidhur me kulmet e një tjetri R-gon i një vije të thyer zigzag të përbërë nga 2 R segmentet e vijës së drejtë, si në Fig. një, d, atëherë një shumëfaqësh i tillë quhet R-antiprizmi i qymyrit.

Përveç dy arsyeve, R- disponohet prizmi karboni R fytyrat janë paralelograme. Nëse paralelogramet janë në formë drejtkëndëshi, atëherë prizmi quhet drejtëz, dhe nëse, përveç kësaj, bazat janë të rregullta. R-gons, atëherë prizmi quhet drejtëz R- prizmi i qymyrit. R- Antiprizmi i qymyrit ka (2 fq+ 2) fytyrat: 2 R faqe trekëndore dhe dy fq- bazat e qymyrit. Nëse bazat janë kongruente të rregullta R-gons, dhe vija që lidh qendrat e tyre është pingul me rrafshet e tyre, atëherë antiprizmi quhet vijë e rregullt R-antiprizmi i qymyrit.

Në përkufizimin e një poliedri, rezervimi i fundit bëhet për të përjashtuar nga shqyrtimi anomali të tilla si dy piramida me një kulm të përbashkët. Tani prezantojmë një kufizim shtesë në grupin e shumëkëndëshave të pranueshëm duke kërkuar që të mos kryqëzohen dy faqe, si në Fig. një, e. Çdo poliedron që plotëson këtë kërkesë e ndan hapësirën në dy pjesë, njëra prej të cilave është e fundme dhe quhet "e brendshme". Pjesa tjetër, pjesa e mbetur, quhet e jashtme.

Një shumëfaqësh quhet konveks nëse asnjë segment i drejtëz që lidh dy pika të tij nuk përmban pika që i përkasin hapësirës së jashtme. Polyedra në fig. një, a, 1,b, 1,në dhe 1, d konveks, dhe prizmi pesëkëndor në Fig. një, G jo konveks, pasi, për shembull, segmenti PQ përmban pika që shtrihen në hapësirën e jashtme të prizmit.

POLITOPET E RREGULLT

Një shumëfaqësh konveks quhet i rregullt nëse plotëson dy kushtet e mëposhtme:

283(i) të gjitha faqet e tij janë shumëkëndësha të rregullt kongruentë;

(ii) çdo kulm është ngjitur me të njëjtin numër fytyrash.

Nëse të gjitha skajet janë të sakta R-gons dhe q prej tyre janë ngjitur me secilën kulm, atëherë një shumëfaqësh i tillë i rregullt shënohet me ( fq, q). Ky shënim u propozua nga L. Schläfli (1814–1895), një matematikan zviceran që prodhoi shumë rezultate elegante në gjeometri dhe analiza matematikore.

Ka poliedra jo konveks, fytyrat e të cilave kryqëzohen dhe quhen "poledra të rregullta yjore". Meqenëse ne ramë dakord që të mos i konsiderojmë shumëfaqësh të tillë, me poliedra të rregullt nënkuptojmë shumëfaqësh të rregullt ekskluzivisht konveks.

Lëndët e ngurta platonike.

Në fig. 2 tregon poliedra të rregullta. Më e thjeshta prej tyre është një katërkëndësh i rregullt, faqet e të cilit janë katër trekëndësha barabrinjës dhe tre faqe ngjiten me secilën nga kulmet. Tetraedri korrespondon me shënimin (3, 3). Nuk është gjë tjetër veçse rast i veçantë piramidë trekëndore. Më i famshmi nga poliedrat e rregullt është kubi (ndonjëherë i quajtur gjashtëkëndor i rregullt) - një prizëm katror i drejtë, të gjashtë fytyrat e të cilit janë katrore. Meqenëse ka 3 katrorë ngjitur me secilën kulm, kubi shënohet (4, 3). Nëse dy piramida katrore kongruente me faqe në formën e trekëndëshave barabrinjës kombinohen me baza, atëherë fitohet një shumëfaqësh, i quajtur tetëkëndësh i rregullt. Ai kufizohet nga tetë trekëndësha barabrinjës, katër trekëndësha ngjiten me secilën nga kulmet, dhe për këtë arsye, korrespondon me shënimin (3, 4). Një oktaedron i rregullt mund të konsiderohet gjithashtu si një rast i veçantë i një antiprizmi të rregullt trekëndor të drejtë. Konsideroni tani një antiprizëm të rregullt pesëkëndësh, fytyrat e të cilit janë në formën e trekëndëshave barabrinjës dhe dy piramida të rregullta pesëkëndëshe, bazat e të cilave janë kongruente me bazën e antiprizmit dhe faqet e të cilave kanë formën e trekëndëshave barabrinjës. Nëse këto piramida janë ngjitur në një antiprizëm, duke rreshtuar bazat e tyre, atëherë do të përftohet një shumëfaqësh tjetër i rregullt. Njëzet nga faqet e tij janë në formën e trekëndëshave barabrinjës, me pesë faqe që ngjiten me secilën kulm. Një shumëfaqësh i tillë quhet ikozaedron i rregullt dhe shënohet (3, 5). Përveç katër poliedrave të rregullta të përmendura më sipër, ekziston një tjetër - një dodekaedron i rregullt, i kufizuar nga dymbëdhjetë faqe pesëkëndëshe; tre faqe ngjiten me secilën nga kulmet e saj, prandaj dodekaedri shënohet si (5, 3).

Pesë poliedrat e rregullta të listuara më sipër, të quajtura shpesh edhe "ngurtësitë e Platonit", pushtuan imagjinatën e matematikanëve, mistikëve dhe filozofëve të antikitetit më shumë se dy mijë vjet më parë. Grekët e lashtë madje krijuan një korrespodencë mistike midis tetraedrit, kubit, oktaedrit dhe ikozaedrit dhe katër parimeve natyrore - zjarrit, tokës, ajrit dhe ujit. Sa për poliedrin e pestë të rregullt, dodekaedrin, ata e konsideruan atë si formën e universit. Këto ide nuk janë vetëm trashëgimi e së kaluarës. Dhe tani, pas dy mijëvjeçarësh, shumë janë të tërhequr nga parimi estetik që qëndron në themel të tyre. Fakti që ata nuk e kanë humbur atraktivitetin e tyre deri më sot e dëshmon shumë bindshëm fotografia e artistit spanjoll Salvador Dali. Darka e fundit.

Grekët e lashtë gjithashtu studiuan shumë nga vetitë gjeometrike të trupave të ngurtë platonike; frytet e kërkimit të tyre gjenden në librin e 13-të Filloi Euklidi. Studimi i trupave të ngurtë platonike dhe figurave të lidhura me to vazhdon edhe sot e kësaj dite. Dhe megjithëse motivet kryesore kërkime bashkëkohore bukuria dhe simetria shërbejnë, kanë edhe njëfarë vlere shkencore, sidomos në kristalografi. Kripa e zakonshme, tioantimonidi i natriumit dhe kristalet e alumit kromi ndodhen natyrshëm në formën e një kubi, tetraedri dhe oktaedri, përkatësisht. Ikozaedri dhe dodekaedri nuk gjenden midis formave kristalore, por ato mund të vërehen midis formave të organizmave detarë mikroskopikë të njohur si radiolarianë.

Numri i poliedrave të rregullt.

Është e natyrshme të pyesim nëse ka poliedra të tjerë të rregullt përveç trupave të ngurtë platonike. Siç tregojnë konsideratat e mëposhtme të thjeshta, përgjigja duhet të jetë jo. le ( fq, q) është një shumëfaqësh i rregullt arbitrar. Meqenëse fytyrat e saj janë të sakta R-Këndet, këndet e tyre të brendshme, siç mund të tregohen lehtë, janë të barabarta (180 - 360 / R) ose 180 (1 – 2/ R) gradë. Që nga poliedri ( fq, q) është konveks, shuma e të gjitha këndeve të brendshme përgjatë faqeve ngjitur me ndonjë nga kulmet e saj duhet të jetë më e vogël se 360 gradë. Por për çdo kulm ngjitur q fytyrat, pra pabarazia

Është e lehtë për ta parë atë fq dhe q duhet të jetë më i madh se 2. Zëvendësimi në (1) R= 3, ne gjejmë se vlerat e vetme të vlefshme q në këtë rast janë 3, 4 dhe 5, d.m.th. marrim politopet (3, 3), (3, 4) dhe (3, 5). Në R= 4 është e vetmja vlerë e vlefshme qështë 3, d.m.th. poliedrik (4, 3), me R= 5 pabarazia (1) gjithashtu plotëson vetëm q= 3, d.m.th. shumëfaqësh (5, 3). Në fq> 5 vlera të lejuara q nuk ekziston. Prandaj, nuk ka poliedra të tjera të rregullta, përveç trupave të ngurtë të Platonit.

Të pesë poliedrat e rregullt janë renditur në tabelën e mëposhtme. Tre kolonat e fundit tregojnë N 0 - numri i kulmeve, N 1 është numri i skajeve dhe N 2 është numri i faqeve të çdo poliedri.

Fatkeqësisht, përkufizimi i një poliedri të rregullt i dhënë në shumë tekste të gjeometrisë është i paplotë. Një gabim i zakonshëm është se përkufizimi kërkon vetëm plotësimin e kushtit (i) të mësipërm, por nuk e lë kushtin (ii). Ndërkohë, kushti (ii) është absolutisht i nevojshëm, i cili verifikohet më lehtë duke marrë në konsideratë një shumëfaqësh konveks që plotëson kushtin (i), por nuk plotëson kushtin (ii). Shembulli më i thjeshtë i këtij lloji mund të ndërtohet duke identifikuar një faqe të një tetraedri të rregullt me një faqe të një tetraedri tjetër në përputhje me të parin. Si rezultat, marrim një shumëkëndësh konveks, gjashtë faqet e të cilit janë trekëndësha barabrinjës kongruentë. Megjithatë, tre fytyra janë ngjitur me disa kulme dhe katër me të tjerat, gjë që shkel kushtin (ii).

PESË POLITOPE TË RREGULLT
Emri	Hyrja e Schläflit	N 0 (numri i kulmeve)	N 1 (numri i brinjëve)	N 2 (numri i fytyrave)
Tetrahedron
Kub
Tetëkëndësh
ikozaedron
Dodekahedron

Vetitë e poliedrave të rregullt.

Kulmet e çdo poliedri të rregullt shtrihen në një sferë (gjë që nuk është befasuese, duke pasur parasysh se kulmet e çdo shumëkëndëshi të rregullt shtrihen në një rreth). Përveç kësaj sfere, të quajtur "sfera e rrethuar", ekzistojnë dy sfera të tjera të rëndësishme. Njëra prej tyre, "sfera e mesme", kalon nëpër mesin e të gjitha skajeve, dhe tjetra, "sfera e gdhendur", prek të gjitha fytyrat në qendrat e tyre. Të tre sferat kanë një qendër të përbashkët, e cila quhet qendra e poliedrit.

Polyedra të dyfishta.

Konsideroni një shumëkëndësh të rregullt ( fq, q) dhe sferën e saj mesatare S. Pika e mesme e çdo skaji prek sferën. Zëvendësimi i çdo skaji me një segment pingul me vijën tangente me S në të njëjtën pikë, marrim N 1 skajet e politopit dyfish me politopin ( fq, q). Është e lehtë të tregohet se fytyrat e poliedrit të dyfishtë janë të rregullta q-gons dhe se çdo kulm është ngjitur R fytyrat. Prandaj, poliedri ( fq, q) poliedri i rregullt është i dyfishtë ( q, fq). Politopi (3, 3) është i dyfishtë me një politop tjetër (3, 3) kongruent me atë origjinal (prandaj (3, 3) quhet politop i vetë-dyfishtë), politopi (4, 3) është i dyfishtë me politopin (3, 4) dhe politopi (5, 3) është poliedri (3, 5). Në fig. 3 poliedra (4, 3) dhe (3, 4) tregohen në pozicionin e dualitetit me njëri-tjetrin. Përveç kësaj, çdo kulm, çdo skaj dhe çdo faqe e poliedrit ( fq, q) korrespondon me një faqe të vetme, një skaj të vetëm dhe një kulm të vetëm të politopit të dyfishtë ( q, fq). Prandaj, nëse ( fq, q) Ka N 0 kulme, N 1 brinjë dhe N 2 fytyra, pastaj ( q, fq) Ka N 2 majat, N 1 brinjë dhe N 0 fytyra.

Meqenëse secila prej N 2 fytyrat e një poliedri të rregullt ( fq, q) i kufizuar R skajet dhe çdo skaj është i përbashkët për saktësisht dy fytyra, atëherë ka pN 2/2 brinjë, pra N 1 = pN 2/2. poliedri i dyfishtë ( q, fq) edhe skajet N 1 dhe N 0 skaje, pra N 1 = qN 0/2. Pra numrat N 0 , N 1 dhe N 2 për çdo poliedron të rregullt ( fq, q) janë të lidhura nga relacioni

Simetria.

Interesi kryesor në poliedrat e rregullt është numër i madh simetritë që kanë. Me simetrinë (ose transformimin e simetrisë) të një poliedri, nënkuptojmë lëvizjen e tij si trup i fortë në hapësirë (për shembull, rrotullimi rreth një vije të caktuar të drejtë, reflektimi rreth një rrafshi të caktuar, etj.), i cili lë të pandryshuar grupin e kulmeve, skajeve dhe faqeve të poliedrit. Me fjalë të tjera, nën veprimin e një transformimi të simetrisë, një kulm, skaj ose faqe ose ruan pozicionin e tij origjinal ose transferohet në pozicionin origjinal të një kulmi tjetër, një skaji tjetër ose një faqe tjetër.

Ekziston një simetri që është e përbashkët për të gjitha poliedrat. Bëhet fjalë për në lidhje me transformimin identik duke lënë çdo pikë në pozicionin e saj origjinal. Një shembull më pak i parëndësishëm i simetrisë hasim në rastin e një drejtëze R-prizmi i qymyrit. Le l- një vijë e drejtë që lidh qendrat e bazave. kthehu l në çdo shumëfish të plotë të këndit 360/ R gradë është simetri. Le të, më tej, fq- një rrafsh që kalon në mes midis bazave paralele me to. Reflektimi për një aeroplan fq(lëvizje që përkthehet çdo pikë P pikërisht Pў , e tillë që fq kalon segmentin PP¢ në një kënd të drejtë dhe e përgjysmon) është një tjetër simetri. Kombinimi i reflektimit në lidhje me një plan fq me një kthesë rreth një vije të drejtë l, marrim një simetri tjetër.

Çdo simetri e një poliedri mund të përfaqësohet si produkt i reflektimeve. Produkti i disa lëvizjeve të një poliedri si një trup i ngurtë këtu nënkupton ekzekutimin e lëvizjeve individuale në një rend të caktuar të paracaktuar. Për shembull, rrotullimi 360 i përmendur më sipër R gradë rreth një vije të drejtë lështë produkt i reflektimeve në lidhje me çdo dy rrafshe që përmbajnë l dhe duke formuar në lidhje me njëri-tjetrin një kënd prej 180 / R gradë. Një simetri që është produkt i një numri çift reflektimesh quhet e drejtpërdrejtë, përndryshe quhet e anasjelltë. Kështu, çdo rrotullim rreth një vije të drejtë është një simetri e drejtpërdrejtë. Çdo reflektim është një simetri e kundërt.

Le të shqyrtojmë më në detaje simetritë e tetraedrit, d.m.th. poliedri i rregullt (3, 3). Çdo vijë që kalon nëpër çdo kulm dhe qendër të tetraedrit kalon nëpër qendrën e faqes së kundërt. Një rrotullim prej 120 ose 240 gradë rreth kësaj linje është një nga simetritë e tetraedrit. Meqenëse tetraedri ka 4 kulme (dhe 4 faqe), marrim gjithsej 8 simetri të drejtpërdrejta. Çdo vijë e drejtë që kalon përmes qendrës dhe mesit të një skaji të një tetraedri kalon nëpër pikën e mesit të skajit të kundërt. Një kthesë 180 gradë (gjysmë kthesë) rreth një vije të tillë të drejtë është gjithashtu një simetri. Meqenëse tetraedri ka 3 palë skaje, marrim edhe 3 simetri të drejtpërdrejta. Rrjedhimisht, numri total simetritë e drejtpërdrejta, duke përfshirë transformimin e identitetit, shkojnë deri në 12. Mund të tregohet se nuk ka simetri të tjera të drejtpërdrejta dhe se ka 12 simetri të anasjellta. Kështu, tetrahedroni lejon gjithsej 24 simetri. Për qartësi, është e dobishme të ndërtoni një model kartoni të një tetraedri të rregullt dhe të siguroheni që tetraedri ka vërtet 24 simetri. Zhvillimet që mund të priten nga kartoni i hollë dhe, pasi të palosen, të ngjisni pesë poliedra të rregullta prej tyre, tregohen në fig. katër.

Simetritë e drejtpërdrejta të poliedrave të rregullta të mbetura mund të përshkruhen jo individualisht, por të gjitha së bashku. Le të biem dakord të kuptojmë me ( fq, q) çdo shumëfaqësh të rregullt, përveç (3, 3). Vija e drejtë që kalon nëpër qendër ( fq, q) dhe çdo kulm kalon nëpër kulmin e kundërt, dhe çdo rrotullim nga një shumëfish numër i plotë prej 360/ q gradë rreth kësaj linje është simetri. Prandaj, për çdo linjë të tillë ekziston, duke përfshirë transformimin e identitetit, ( q– 1) simetri të ndryshme. Çdo linjë e tillë lidh dy prej N 0 kulme; prandaj, të gjitha linjat e tilla të drejta - N 0/2, e cila jep ( q – 1) > N Simetri 0/2. Përveç kësaj, linja që kalon nëpër qendrën e poliedrit ( fq, q) dhe qendra e çdo fytyre kalon përmes qendrës së faqes së kundërt, dhe çdo rrotullim rreth një vije të tillë të drejtë me një shumëfish të plotë prej 360/ R gradë është simetri. Meqenëse numri i përgjithshëm i linjave të tilla është N 2/2, ku N 2 është numri i fytyrave të poliedrit ( fq, q), marrim ( fq – 1) N 2/2 simetri të ndryshme, duke përfshirë transformimin e identitetit. Së fundi, vija që kalon përmes qendrës dhe mesit të çdo skaji të poliedrit ( fq, q) kalon nga mesi i skajit të kundërt, dhe simetria është një gjysmë rrotullimi rreth kësaj linje. Meqenëse ka N 1/2 vija të tilla, ku N 1 është numri i skajeve të poliedrit ( fq, q), marrim më shumë N 1/2 simetri. Duke marrë parasysh transformimin identik, marrim

simetritë e drejtpërdrejta. Nuk ka simetri të tjera të drejtpërdrejta, dhe ka po aq simetri të anasjellta.

Megjithëse formula (3) nuk është marrë për poliedrin (3, 3), është e lehtë të verifikohet se është gjithashtu e vërtetë për të. Kështu, politopi (3, 3) ka 12 simetri të drejtpërdrejta, poliedrat (4, 3) dhe (3, 4) secila kanë 24 simetri, dhe poliedrat (5, 3) dhe (3, 5) secila kanë nga 60 simetri. .

Lexuesit e njohur me algjebrën abstrakte do të kuptojnë se simetritë e poliedrit ( fq, q) formoni një grup në lidhje me "shumëzimin" e përcaktuar më sipër. Në këtë grup, simetritë e drejtpërdrejta formojnë një nëngrup të indeksit 2, ndërsa simetritë e anasjellta nuk formojnë një grup, pasi ato shkelin vetinë e mbylljes dhe nuk përmbajnë transformimin e identitetit (elementin e identitetit të grupit). Zakonisht, grupi i simetrive të drejtpërdrejta quhet grupi i një poliedri, dhe grupi i plotë i simetrive quhet grupi i tij i zgjeruar. Nga vetitë e politopeve të dyfishta të konsideruara më sipër, është e qartë se çdo politop i rregullt dhe politopi i tij i dyfishtë kanë të njëjtin grup. Grupi i katërkëndëshit quhet grupi katërkëndor, grupi i kubit dhe i tetëedronëve quhet grupi tetëkëndor dhe grupi i dodekaedronit dhe ikozaedrit quhet grupi ikozaedral. Ato janë izomorfe ndaj grupit të alternuar POR 4 nga katër karaktere, grup simetrik S 4 nga katër personazhe dhe një grup i alternuar POR 5 nga pesë personazhe përkatësisht.

formula e Euler-it

Duke parë tabelën, mund të vërehet një marrëdhënie interesante midis numrit të kulmeve N 0, numri i skajeve N 1 dhe numri i fytyrave N 2 e çdo politopi të rregullt konveks ( fq, q). Bëhet fjalë për raportin

Duke zëvendësuar shprehjet e marra me formulat (3) dhe (4), marrim se numri i simetrive të drejtpërdrejta të poliedrit ( fq, q) barazohet

Ky numër mund të shkruhet edhe në një nga format ekuivalente: qN 0 , 2N 1 ose pN 2 .

Fushëveprimi i formulës së Euler-it.

Rëndësia e formulës së Euler-it rritet nga fakti se ajo është e zbatueshme jo vetëm për trupat e ngurtë platonike, por edhe për çdo poliedron homeomorfik ndaj një sfere ( cm. TOPOLOGJIA). Ky pohim vërtetohet si më poshtë.

Le Pështë çdo shumëfaqësh homeomorfik ndaj një sfere, me N 0 majat, N 1 brinjë dhe N 2 fytyra; le c = N 0 – N 1 + N 2 - Karakteristikë e Euler-it të poliedrit P. Kërkohet të vërtetohet se c= 2. Meqenëse Rështë homeomorfik ndaj një sfere, ne mund të heqim njërën faqe dhe ta kthejmë pjesën tjetër në një konfigurim në rrafsh (për shembull, në Fig. 5, a dhe 5, b ju shihni një prizëm me rrafshin e përparmë të hequr). Një "konfigurim planar" është një rrjet pikash dhe segmentesh drejtvizore, të quajtura përkatësisht "kulme" dhe "skajet", me kulmet që shërbejnë si skajet e skajeve. Ne i konsiderojmë kulmet dhe skajet e konfigurimit që po konsiderojmë si kulme dhe skaje të shumëkëndëshit të zhvendosur dhe të deformuar. Pra, ky konfigurim ka N 0 kulme dhe N 1 brinjë. Pushoni N 2 - 1 faqe të poliedrit janë deformuar në N 2 – 1 zona jo të mbivendosura në planin e përcaktuar nga konfigurimi. Le t'i quajmë këto zona "fytyra" të konfigurimit. Kulmet, skajet dhe faqet e konfigurimit përcaktojnë karakteristikën e Euler-it, e cila në këtë rast është e barabartë me c – 1.

Tani do të rrafshojmë në mënyrë që nëse fytyra e hequr ishte R-Gon, pastaj të gjitha N 2 - 1 fytyra konfigurimi do të mbushin brendësinë R-gon. Le POR- disa kulm brenda R-gon. Le të supozojmë se në POR konvergojnë r brinjët. Nëse fshini POR dhe te gjitha r skajet që konvergojnë në të, atëherë numri i kulmeve do të ulet me 1, skajet - me r, fytyrat - në r – 1 (cm. oriz. 5, b dhe 5, në). Konfigurimi i ri Nў 0 = N 0 - 1 kulme, Nў 1 = N 1 – r brinjët dhe Nў 2 = N 2 – 1 – (r– 1) fytyrat; Rrjedhimisht,

Kështu, heqja e një kulmi të brendshëm dhe skajeve që konvergojnë në të nuk e ndryshon karakteristikën e Euler-it të konfigurimit. Prandaj, duke hequr të gjitha kulmet e brendshme dhe skajet që konvergojnë në to, ne e zvogëlojmë konfigurimin në R-gon dhe brendësia e tij (Fig. 5, G). Por karakteristika e Euler-it mbetet e barabartë me c– 1, dhe meqenëse konfigurimi ka R majat, R skajet dhe 1 fytyrë, marrim

Në këtë mënyrë, c= 2, që duhej vërtetuar.

Më tej, mund të vërtetohet se nëse karakteristika e Euler-it e një politopi është 2, atëherë politopi është homeomorfik ndaj një sfere. Me fjalë të tjera, ne mund të përgjithësojmë rezultatin e mësipërm duke treguar se një politop është homeomorfik ndaj një sfere nëse dhe vetëm nëse karakteristika e tij Euler është 2.

Formula e përgjithësuar e Euler-it.

Formula e përgjithësuar e Euler-it përdoret për të klasifikuar poliedra të tjera. Nëse një politop ka 16 kulme, 32 skaje dhe 16 faqe, atëherë karakteristika e tij e Euler-it është 16 – 32 + 16 = 0. Kjo na lejon të pohojmë se ky politop i përket klasës së poliedrës homeomorfike të një torusi. Një tipar dallues i kësaj klase është karakteristika e Euler-it e barabartë me zero. Në përgjithësi, le R- një shumëfaqësh me N 0 majat, N 1 brinjë dhe N 2 skaje. Një shumëfaqësh i caktuar thuhet se është homeomorfik ndaj një sipërfaqeje të gjinisë n nese dhe vetem nese

Së fundi, duhet theksuar se situata bëhet shumë më e ndërlikuar nëse kufizimi i mëparshëm zbutet, sipas të cilit nuk duhet të kryqëzohen dy fytyra të një poliedri. Për shembull, ekziston mundësia e ekzistencës së dy poliedrave johomeomorfe me të njëjtën karakteristikë të Euler-it. Ato duhet të dallohen nga vetitë e tjera topologjike.

Qëllimi i mësimit:

Prezantoni konceptin e poliedrit të rregullt.
Konsideroni llojet e poliedrave të rregullt.
Zgjidhja e problemeve.
Të ngjall interes për temën, të mësojë të shohë bukurinë në trupat gjeometrikë, zhvillimin e imagjinatës hapësinore.
Komunikimet ndërlëndore.

Dukshmëria: tavolina, modele.

Gjatë orëve të mësimit

I. Momenti organizativ. Informoni temën e mësimit, formuloni objektivat e mësimit.

II. Mësimi i materialit të ri/

Përkufizimi i një poliedri të rregullt.

Një shumëfaqësh quhet i rregullt nëse:

është konveks;
të gjitha faqet e tij janë shumëkëndësha të rregullt të barabartë me njëri-tjetrin;
i njëjti numër skajesh konvergojnë në secilën nga kulmet e saj;
të gjithë këndet e tij dykëndësh janë të barabartë.

Tabela 1.Disa veti të poliedrave të rregullt janë dhënë në tabelën e mëposhtme.

Lloji i fytyrës	kënd i sheshtë në krye	Pamje e këndit poliedrik në kulm	Shuma e këndeve të sheshta në kulm	AT	R	G	Emri i poliedrit
trekëndësh kënddrejtë	60º	me 3 anë	180º	4	6	4	tetraedron i rregullt
trekëndësh kënddrejtë	60º	me 4 anë	240º	6	12	8	Tetëkëndësh i rregullt
trekëndësh kënddrejtë	60º	me 5 anë	300º	12	30	20	Ikozaedron i rregullt
Sheshi	90º	me 3 anë	270º	8	12	6	Heksaedron i rregullt (kub)
trekëndësh kënddrejtë	108º	me 3 anë	324º	20	30	12	Dodekahedron i rregullt

Konsideroni llojet e poliedrave:

tetraedron i rregullt

<Рис. 1>

Tetëkëndësh i rregullt

<Рис. 2>

Ikozaedron i rregullt

<Рис. 3>

Heksaedron i rregullt (kub)

<Рис. 4>

Dodekahedron i rregullt

<Рис. 5>

Tabela 2. Formulat për gjetjen e vëllimeve të poliedrave të rregullt.

Lloji i poliedrit	Vëllimi poliedrik
tetraedron i rregullt
Tetëkëndësh i rregullt
Ikozaedron i rregullt
Heksaedron i rregullt (kub)
Dodekahedron i rregullt

"Grupet e ngurta platonike".

Ku tjetër mund t'i shihni këta trupa të mrekullueshëm?

Është gjithashtu interesante se ishte ikozaedroni që doli të ishte fokusi i vëmendjes së biologëve në mosmarrëveshjet e tyre në lidhje me formën e viruseve. Virusi nuk mund të jetë krejtësisht i rrumbullakët, siç mendohej më parë. Për të vendosur formën e tij, ata morën poliedronë të ndryshëm, drejtuan dritën drejt tyre në të njëjtat kënde si rrjedha e atomeve drejt virusit. Doli se vetitë e përmendura më sipër bëjnë të mundur ruajtjen e informacionit gjenetik. Polyedrat e rregullta janë figurat më fitimprurëse. Dhe natyra përfiton nga kjo. Polyedrat e rregullta përcaktojnë formën e rrjetave kristalore të disa kimikateve. Detyra tjetër do të ilustrojë këtë ide.

<Рис. 6>

Trekëndëshi AOC është dykëndësh. Prandaj, a është ana e kubit, d është gjatësia e diagonales së faqes anësore ose skajit të tetraedrit. Pra, a = 54,73561 0 dhe j = 109,47 0

<Рис. 7>

<Рис. 8>

Përgjithësimi i konceptit të një poliedri.

Një shumëkëndësh është një koleksion i një numri të kufizuar poligonesh të rrafshët të tillë që:

secila anë e ndonjërit prej shumëkëndëshave është në të njëjtën kohë një anë e tjetrës (por vetëm njëra (e quajtur ngjitur me të parën) përgjatë kësaj ane);
nga cilido shumëkëndësh që përbën shumëkëndëshin, mund të arrihet tek ndonjëri prej tyre duke kaluar tek ai ngjitur me të, dhe nga ky, nga ana tjetër, tek ai ngjitur me të etj.

Këta shumëkëndësha quhen faqe, anët e tyre quhen skaje dhe kulmet e tyre janë kulmet e shumëkëndëshit.

Përkufizimi i mëposhtëm i një poliedri merr një kuptim të ndryshëm në varësi të mënyrës se si përcaktohet poligoni:

- nëse një shumëkëndësh kuptohet si vija të thyera të mbyllura të sheshta (edhe pse ato kryqëzohen vetë), atëherë vijnë në këtë përkufizim të shumëkëndëshit;

Shembujt më të thjeshtë të poliedrave janë prizmat dhe piramidat.

Një shumëfaqësh konveks është një shumëfaqësh që shtrihet në njërën anë të rrafshit të cilësdo faqe të tij. Më të rëndësishmit janë poliedrat e mëposhtëm konveks:

<Рис. 9>

poliedra të rregullt (ngurtësitë e Platonit) - poliedra të tillë konveks, të gjitha faqet e të cilave janë të njëjtat shumëkëndësha të rregullt dhe të gjitha këndet shumëkëndëshe në kulmet janë të rregullta dhe të barabarta.<Рис. 9, № 1-5>;
izogonet dhe izohedrat - shumëfaqëshe konvekse, të gjitha këndet poliedrike të të cilave janë të barabarta (izogone) ose të barabarta me të gjitha faqet (izohedra); për më tepër, grupi i rrotullimeve (me reflektime) të një izogoni (izoedroni) rreth qendrës së gravitetit merr cilindo nga kulmet (fytyrat) e tij në cilindo nga kulmet (fytyrat) e tij të tjera. Polyedrat e fituara në këtë mënyrë quhen poliedra gjysmë të rregullta (ngurtë e Arkimedit)<Рис. 9, № 10-25>;
paralelohedron (konveks) - poliedra, të konsideruara si trupa, kryqëzimi paralel i të cilave mund të mbushë të gjithë hapësirën e pafundme, në mënyrë që të mos hyjnë në njëri-tjetrin dhe të mos lënë zbrazëti ndërmjet tyre, d.m.th. formoi një ndarje të hapësirës<Рис. 9, № 26-30>;
Nëse me një shumëkëndësh nënkuptojmë vija të thyera të mbyllura të sheshta (edhe nëse ato ndërpriten vetë), atëherë mund të tregohen edhe 4 poliedra të rregullta jokonvekse (në formë ylli) (trupat Poinsot). Në këto poliedra, ose faqet kryqëzohen me njëra-tjetrën, ose faqet janë shumëkëndësha që kryqëzohen vetë.<Рис. 9, № 6-9>.

III. Detyrë shtëpie.

IV. Zgjidhja e problemave nr.279, nr.281.

V. Përmbledhje.

Lista e literaturës së përdorur:

“Enciklopedia Matematike”, redaktuar nga I. M. Vinogradova, shtëpia botuese “Enciklopedia Sovjetike”, Moskë, 1985. Vëllimi 4, f. 552–553 Vëllimi 3, f. 708–711.
"Enciklopedi e vogël matematikore", E. Fried, I. Pastor, I. Reiman et al Shtëpia Botuese e Akademisë Hungareze të Shkencave, Budapest, 1976. Fq. 264–267.
“Përmbledhja e problemeve në matematikë për aplikantët në universitete” në dy libra, redaktuar nga M.I. Scanavi, libri 2 - Gjeometria, shtëpia botuese "Shkolla e Lartë", Moskë, 1998. Fq. 45–50.
"Mësime praktike në matematikë: Libër mësuesi për shkollat teknike", shtëpia botuese "Vysshaya Shkola", Moskë, 1979. Fq. 388–395, fq. 405.
"Matematika e përsëritur", botimi 2–6, plotësues, Libër mësuesi për aplikantët në universitete, shtëpia botuese "Vysshaya Shkola", Moskë, 1974. Fq. 446–447.
Fjalori Enciklopedik i një Matematikani të Ri, A. P. Savin, Shtëpia botuese "Pedagogjia", Moskë, 1989. Fq. 197–199.
“Enciklopedi për fëmijë. T.P. Matematikë”, kryeredaktor M. D. Aksenova; metodë, dhe respekt. redaktor V. A. Volodin, shtëpia botuese Avanta +, Moskë, 2003. Fq. 338–340.
Gjeometria, 10-11: Libër mësuesi për institucionet arsimore / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev dhe të tjerët - botimi i 10-të - M .: Arsimi, 2001. Fq. 68–71.
"Kvant" Nr. 9, 11 - 1983, Nr. 12 - 1987, Nr. 11, 12 - 1988, Nr. 6, 7, 8 - 1989. Revista popullore shkencore e fizikës dhe matematikës së Akademisë së Shkencave të BRSS dhe Akademia e Shkencave Pedagogjike të BRSS. Shtëpia botuese "Shkenca". Botimi kryesor i literaturës fizike dhe matematikore. Faqe 5-9, 6-12, 7-9, 10, 4-8, 13, 16, 58.
Zgjidhja e problemave të kompleksitetit të shtuar në gjeometri: klasa e 11-të - M .: ARKTI, 2002. Fq. 9, 19–20.