Derivate parțiale ale funcțiilor a două variabile.
Concept și exemple de soluții

În această lecție, vom continua cunoașterea funcției a două variabile și vom lua în considerare, probabil, cea mai comună sarcină tematică - găsirea derivate parțiale de ordinul întâi și al doilea, precum și diferența totală a funcției. Studenții cu fracțiune de normă, de regulă, se confruntă cu derivate parțiale în anul 1 în semestrul 2. Mai mult decât atât, conform observațiilor mele, sarcina de a găsi derivate parțiale se regăsește aproape întotdeauna în examen.

Pentru a studia eficient următorul material, tu necesar să poată găsi mai mult sau mai puțin cu încredere derivatele „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile. Puteți învăța cum să gestionați corect derivatele în lecții Cum să găsesc derivatul?și Derivată a unei funcții compuse. De asemenea, avem nevoie de un tabel de derivate ale funcțiilor elementare și reguli de diferențiere, este cel mai convenabil dacă este la îndemână în formă tipărită. Puteți găsi material de referință pe pagină Formule și tabele matematice.

Să repetăm rapid conceptul de funcție a două variabile, voi încerca să mă limitez la minim. O funcție a două variabile este de obicei scrisă ca , variabilele fiind numite variabile independente sau argumente.

Exemplu: - o funcţie a două variabile.

Uneori se folosește notația. Există, de asemenea, sarcini în care litera este folosită în loc de scrisoare.

Din punct de vedere geometric, o funcție a două variabile este cel mai adesea o suprafață a spațiului tridimensional (plan, cilindru, bilă, paraboloid, hiperboloid etc.). Dar, de fapt, aceasta este deja mai mult geometrie analitică și avem analiza matematică pe ordinea de zi, pe care profesorul meu universitar nu m-a lăsat niciodată să le opresc este „calul” meu.

Ne întoarcem la problema găsirii derivatelor parțiale de ordinul întâi și al doilea. Am niște vești bune pentru cei dintre voi care au băut câteva căni de cafea și sunt în chef de material neînchipuit de dificil: derivatele parțiale sunt aproape aceleași cu derivatele „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile.

Pentru derivatele parțiale sunt valabile toate regulile de diferențiere și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare. Există doar câteva mici diferențe pe care le vom cunoaște chiar acum:

... da, apropo, pentru acest subiect am creat carte mica pdf, care vă va permite să vă „umpleți mâna” în doar câteva ore. Dar, folosind site-ul, veți obține, desigur, și rezultatul - poate puțin mai lent:

Exemplul 1

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi și al doilea ale unei funcții

În primul rând, găsim derivatele parțiale de ordinul întâi. Sunt doi dintre ei.

Notaţie:
sau - derivată parțială față de "x"
sau - derivată parțială în raport cu „y”

Sa incepem cu . Când găsim derivata parțială față de „x”, atunci variabila este considerată o constantă (număr constant).

Comentarii cu privire la acțiunile întreprinse:

(1) Primul lucru pe care îl facem atunci când găsim derivata parțială este să concluzionam toate funcţionează între paranteze sub liniuţă cu indice.

Atenție importantă! Indicele NU PIERD pe parcursul soluției. În acest caz, dacă desenați o „lovitură” undeva fără, atunci profesorul, cel puțin, o poate pune lângă sarcină (mușcă imediat o parte din scor pentru neatenție).

(2) Folosiți regulile de diferențiere , . Pentru un exemplu simplu ca acesta, ambele reguli pot fi aplicate în același pas. Atenție la primul termen: de când este considerată o constantă și orice constantă poate fi scoasă din semnul derivatei, apoi o scoatem din paranteze. Adică, în această situație, nu este mai bun decât un număr obișnuit. Acum să ne uităm la al treilea termen: aici, dimpotrivă, nu este nimic de scos. Deoarece este o constantă, este și o constantă și, în acest sens, nu este mai bună decât ultimul termen - „șapte”.

(3) Folosim derivate tabulare și .

(4) Simplificăm sau, după cum îmi place să spun, „combinăm” răspunsul.

Acum . Când găsim derivata parțială față de „y”, atunci variabilaconsiderată o constantă (număr constant).

(1) Folosim aceleași reguli de diferențiere , . În primul termen scoatem constanta dincolo de semnul derivatei, în al doilea termen nu se poate scoate nimic pentru că este deja o constantă.

(2) Folosim tabelul derivatelor funcțiilor elementare. Schimbați mental în tabel toate „X” cu „Y”. Adică, acest tabel este la fel de valabil pentru (și într-adevăr pentru aproape orice literă). În special, formulele pe care le folosim arată astfel: și .

Care este sensul derivatelor parțiale?

La baza lor, derivatele parțiale de ordinul 1 se aseamănă derivat „obișnuit”.:

- aceasta este funcții, care caracterizează rata de schimbare funcţionează în direcţia axelor şi respectiv. Deci, de exemplu, funcția caracterizează abruptul „urcărurilor” și „pârtilor” suprafeteîn direcția axei absciselor, iar funcția ne vorbește despre „relieful” aceleiași suprafețe în direcția axei ordonatelor.

! Notă : aici se referă la direcții care sunt paralele axele de coordonate.

Pentru o mai bună înțelegere, să luăm în considerare un punct specific al planului și să calculăm valoarea funcției („înălțime”) în el:
- și acum imaginați-vă că sunteți aici (la suprafață).

Calculăm derivata parțială în raport cu „x” la un punct dat:

Semnul negativ al derivatului „X” ne vorbește despre Descendentă funcţionează într-un punct în direcţia axei x. Cu alte cuvinte, dacă facem un mic-mic (infinitezimal) pas spre vârful axei (paralel cu această axă), apoi coborâți panta suprafeței.

Acum aflăm natura „terenului” în direcția axei y:

Derivata față de „y” este pozitivă, prin urmare, într-un punct de-a lungul axei, funcția crește. Dacă este destul de simplu, atunci aici așteptăm o urcare în urcare.

În plus, derivata parțială la un punct caracterizează rata de schimbare funcţionează în direcţia relevantă. Cu cât valoarea rezultată este mai mare modulo- cu cât suprafața este mai abruptă și invers, cu cât este mai aproape de zero, cu atât suprafața este mai plată. Deci, în exemplul nostru, „panta” în direcția axei absciselor este mai abruptă decât „muntele” în direcția axei ordonatelor.

Dar acelea erau două căi private. Este destul de clar că din punctul în care ne aflăm, (și în general din orice punct al suprafeței date) ne putem deplasa într-o altă direcție. Astfel, există un interes în alcătuirea unei „hărți de navigație” generale care să ne spună despre „peisajul” suprafeței. dacă este posibilîn fiecare punct domeniul de aplicare al acestei funcțiiîn toate modurile disponibile. Voi vorbi despre acest lucru și despre alte lucruri interesante într-una din lecțiile următoare, dar, deocamdată, să revenim la partea tehnică a problemei.

Sistematizăm regulile elementare aplicate:

1) Când diferențiem prin , atunci variabila este considerată o constantă.

2) Când diferenţierea se realizează conform, atunci este considerată o constantă.

3) Regulile și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare sunt valabile și aplicabile pentru orice variabilă (sau oricare alta) față de care se realizează diferențierea.

Pasul doi. Găsim derivate parțiale de ordinul doi. Sunt patru.

Notaţie:
sau - a doua derivată în raport cu "x"
sau - a doua derivată în raport cu „y”
sau - amestecat derivată „x cu y”
sau - amestecat derivată „Y cu X”

Nu există probleme cu derivata a doua. vorbind limbaj simplu, a doua derivată este derivata primei derivate.

Pentru comoditate, voi rescrie derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite:

Mai întâi găsim derivatele mixte:

După cum puteți vedea, totul este simplu: luăm derivata parțială și o diferențiem din nou, dar în acest caz, deja prin „y”.

În mod similar:

În exemple practice, vă puteți concentra pe următoarea egalitate:

Astfel, prin derivate mixte de ordinul doi, este foarte convenabil să verificăm dacă am găsit corect derivatele parțiale de ordinul întâi.

Găsim derivata a doua în raport cu „x”.
Fără invenții, luăm și diferențiază-l cu „X” din nou:

În mod similar:

Trebuie remarcat faptul că atunci când găsiți, trebuie să arătați atenție sporită, deoarece nu există egalități miraculoase care să le testeze.

Derivatele secunde găsesc, de asemenea, o largă aplicație practică, în special, sunt utilizate în problema găsirii extremele unei funcţii a două variabile. Dar totul are timpul lui:

Exemplul 2

Calculați derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției în punctul . Găsiți derivate de ordinul doi.

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (răspunsuri la sfârșitul lecției). Dacă aveți dificultăți în a diferenția rădăcinile, reveniți la lecție Cum să găsesc derivatul?În general, destul de curând veți învăța cum să găsiți derivate similare din mers.

Ne umplem mâna cu exemple mai complexe:

Exemplul 3

Verifică asta . a arde diferenţial total prima comanda.

Rezolvare: Găsim derivate parțiale de ordinul întâi:

Atenție la indice: lângă „x” nu este interzis să scrieți între paranteze că este o constantă. Acest marcaj poate fi foarte util pentru începători pentru a facilita navigarea prin soluție.

Comentarii suplimentare:

(1) Scoatem toate constantele din afara semnului derivatei. În acest caz, și , și, prin urmare, produsul lor este considerat un număr constant.

(2) Nu uitați cum să diferențiați corect rădăcinile.

(1) Luăm toate constantele din semnul derivatei, în acest caz constanta este .

(2) Sub prim, avem produsul a două funcții, prin urmare, trebuie să folosim regula de diferențiere a produsului .

(3) Nu uitați că este o funcție complexă (deși cea mai simplă dintre cele complexe). Folosim regula corespunzătoare: .

Acum găsim derivate mixte de ordinul doi:

Aceasta înseamnă că toate calculele sunt corecte.

Să scriem diferența totală. În contextul sarcinii luate în considerare, nu are sens să spunem care este diferența totală a unei funcții a două variabile. Este important ca această diferență să fie scrisă foarte des în probleme practice.

Diferenţial total de prim ordin funcțiile a două variabile are forma:

În acest caz:

Adică, în formulă trebuie doar să înlocuiți prostesc derivatele parțiale de prim ordin deja găsite. Pictograme diferențiale și în această situație și în situații similare, dacă este posibil, este mai bine să scrieți în numărătoare:

Și la cererea repetată a cititorilor, diferenţial complet de ordinul doi.

Arata cam asa:

Găsiți cu ATENȚIE derivatele „cu o singură literă” de ordinul 2:

și notează „monstrul”, „atașând” cu grijă pătratele, produsul și fără a uita să dublezi derivatul mixt:

Este în regulă dacă ceva părea dificil, poți oricând să revii la derivate mai târziu, după ce ai luat tehnica de diferențiere:

Exemplul 4

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții . Verifică asta . Scrieți diferența totală de ordinul întâi.

Luați în considerare o serie de exemple cu funcții complexe:

Exemplul 5

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale funcției.

Soluţie:

Exemplul 6

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .
Notați diferența totală.

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (răspuns la sfârșitul lecției). Nu voi posta soluția completă pentru că este destul de simplă.

Destul de des, toate regulile de mai sus sunt aplicate în combinație.

Exemplul 7

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .

(1) Folosim regula diferențierii sumei

(2) Primul termen în acest caz este considerat o constantă, deoarece în expresie nu există nimic care să depindă de „x” - doar „y”. Știi, este întotdeauna frumos când o fracție poate fi transformată în zero). Pentru al doilea termen, aplicăm regula de diferențiere a produsului. Apropo, în acest sens, nimic nu s-ar schimba dacă s-ar da în schimb o funcție – este important că aici produsul a două funcții, Fiecare dintre ele depinde de "X", și, prin urmare, trebuie să utilizați regula de diferențiere a produsului. Pentru al treilea termen, aplicăm regula diferențierii functie complexa.

(1) Primul termen atât în numărător, cât și în numitor conține un „y”, prin urmare, trebuie să utilizați regula pentru diferențierea coeficientului: . Al doilea termen depinde DOAR de „x”, ceea ce înseamnă că este considerat o constantă și se transformă în zero. Pentru al treilea termen, folosim regula de diferențiere a unei funcții complexe.

Pentru acei cititori care au ajuns cu curaj aproape până la sfârșitul lecției, vă voi spune o veche anecdotă a lui Mehmatov pentru detenție:

Odată a apărut un derivat malefic în spațiul funcțiilor și cum a mers să diferențieze pe toată lumea. Toate funcțiile se împrăștie în toate direcțiile, nimeni nu vrea să se întoarcă! Și o singură funcție nu scapă nicăieri. Derivatul o abordează și întreabă:

— De ce nu fugi de mine?

- Ha. Dar nu-mi pasă, pentru că sunt „e la puterea lui x”, iar tu nu-mi poți face nimic!

La care derivatul malefic cu un zâmbet insidios îi răspunde:

- Aici greșești, te voi diferenția prin „y”, așa că fii zero pentru tine.

Cine a înțeles gluma, a stăpânit derivatele, cel puțin pentru „troika”).

Exemplul 8

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. O soluție completă și un model de proiect al problemei sunt la sfârșitul lecției.

Ei bine, asta e aproape tot. În cele din urmă, nu pot să nu le rog matematicienilor cu încă un exemplu. Nici măcar nu e vorba de amatori, fiecare are un alt nivel de pregătire matematică – sunt oameni (și nu atât de rari) cărora le place să concureze cu sarcini mai dificile. Deși, ultimul exemplu din această lecție nu este atât de complicat, ci greoi din punct de vedere al calculelor.

Să fie dată o funcție. Deoarece x și y sunt variabile independente, una dintre ele se poate schimba, în timp ce cealaltă rămâne neschimbată. Să incrementăm variabila independentă x păstrând neschimbată valoarea lui y. Atunci z va primi un increment, care se numește increment parțial al lui z cu x și este notat cu . Asa de, .

În mod similar, obținem o creștere parțială a lui z față de y: .

Creșterea totală a funcției z este determinată de egalitatea .

Dacă există o limită, atunci se numește derivată parțială a funcției în punctul față de variabila x și se notează cu unul dintre simbolurile:

Derivatele parțiale față de x într-un punct sunt de obicei notate prin simboluri .

Derivata parțială a lui față de variabila y este definită și notă în mod similar:

Astfel, derivata parțială a unei funcții de mai multe (două, trei sau mai multe) variabile este definită ca fiind derivata unei funcții a uneia dintre aceste variabile, sub rezerva constanței valorilor variabilelor independente rămase. Prin urmare, derivatele parțiale ale unei funcții se găsesc conform formulelor și regulilor de calcul a derivatelor unei funcții a unei variabile (în acest caz, x sau respectiv y sunt considerate o valoare constantă).

Derivatele parțiale sunt numite și derivate parțiale de ordinul întâi. Ele pot fi considerate funcții ale . Aceste funcții pot avea derivate parțiale, care sunt numite derivate parțiale de ordinul doi. Ele sunt definite și notate după cum urmează:

; ;

; .

Diferențiale de ordinul 1 și 2 ale unei funcții a două variabile.

Diferenţialul total al unei funcţii (formula 2.5) se numeşte diferenţială de ordinul întâi.

Formula de calcul a diferenţialului total este următoarea:

(2.5) sau , Unde ,

diferențiale parțiale ale funcției .

Fie ca funcția să aibă derivate parțiale continue de ordinul doi. Diferenţialul de ordinul doi este determinat de formula . Să-l găsim:

De aici: . Simbolic este scris astfel:

INTEGRAL NEDEFINIT.

Antiderivată a unei funcții, integrală nedefinită, proprietăți.

Se numește funcția F(x). primitiv pentru o funcție dată f(x), dacă F"(x)=f(x), sau, care este același, dacă dF(x)=f(x)dx.

Teorema. Dacă o funcție f(x), definită într-un interval (X) de lungime finită sau infinită, are o antiderivată, F(x), atunci are și infinite de antiderivate; toate sunt cuprinse în expresia F(x)+C, unde C este o constantă arbitrară.

Mulțimea tuturor antiderivatelor pentru o funcție dată f(x), definită într-un interval sau pe un anumit segment de lungime finită sau infinită, se numește integrală nedefinită din funcția f(x) [sau din expresia f(x)dx ] și se notează cu simbolul .

Dacă F(x) este una dintre antiderivatele pentru f(x), atunci prin teorema antiderivată

, unde C este o constantă arbitrară.

Prin definiția antiderivatei F "(x)=f(x) și, prin urmare, dF(x)=f(x) dx. În formula (7.1), f(x) se numește integrand și f( x) dx se numește expresie integrand.

Fiecare derivată parțială (peste Xși prin y) a unei funcții a două variabile este derivata obișnuită a unei funcții a unei variabile cu o valoare fixă a celeilalte variabile:

(Unde y= const),

(Unde X= const).

Prin urmare, derivatele parțiale sunt calculate din formule și reguli pentru calcularea derivatelor funcțiilor unei variabile, în timp ce se consideră cealaltă variabilă ca o constantă (constant).

Dacă nu aveți nevoie de o analiză a exemplelor și de teoria minimă necesară pentru aceasta, dar aveți nevoie doar de o soluție la problema dvs., atunci treceți la calculator de derivate parțiale online .

Dacă este greu să vă concentrați pe urmărirea locului în care se află constanta în funcție, atunci puteți înlocui orice număr din schița de soluție a exemplului în loc de o variabilă cu o valoare fixă - atunci puteți calcula rapid derivata parțială ca fiind obișnuită. derivată a unei funcții a unei variabile. Este necesar doar să nu uitați să returnați constanta (o variabilă cu o valoare fixă) la locul ei la terminare.

Proprietatea derivatelor parțiale descrisă mai sus rezultă din definiția derivatelor parțiale, care poate fi găsită în întrebările de examen. Prin urmare, pentru a vă familiariza cu definiția de mai jos, puteți deschide referința teoretică.

Conceptul de continuitate a unei funcții z= f(X, y) într-un punct este definit în mod similar cu acest concept pentru o funcție a unei variabile.

Funcţie z = f(X, y) se numeste continuu intr-un punct daca

Diferența (2) se numește increment total al funcției z(se obține prin incrementarea ambelor argumente).

Lasă funcția z= f(X, y) și punct

Dacă funcția se schimbă z apare atunci când doar unul dintre argumente se schimbă, de exemplu, X, cu o valoare fixă a celuilalt argument y, atunci funcția va fi incrementată

numită increment parțial al funcției f(X, y) pe X.

Având în vedere schimbarea funcției zîn funcție de schimbarea doar a unuia dintre argumente, trecem de fapt la o funcție a unei variabile.

Dacă există o limită finită

atunci se numește derivată parțială a funcției f(X, y) prin argumentare Xși este notat cu unul dintre simboluri

(4)

Creșterea parțială este definită în mod similar z pe y:

și derivată parțială f(X, y) pe y:

(6)

Exemplul 1

Soluţie. Găsim derivata parțială față de variabila „x”:

(y fix);

Găsim derivata parțială față de variabila „y”:

(X fix).

După cum puteți vedea, nu contează în ce măsură variabila este fixă: în acest caz, este doar un număr care este un factor (ca și în cazul derivatei obișnuite) cu variabila prin care găsim parțialul. derivat. Dacă variabila fixă nu este înmulțită cu variabila față de care găsim derivata parțială, atunci această constantă singură, indiferent în ce măsură, ca în cazul unei derivate obișnuite, dispare.

Exemplul 2 Dată o funcție

Găsiți derivate parțiale

(prin x) și (prin y) și calculați valorile lor la punctul DAR (1; 2).

Soluţie. La un fix y derivata primului termen se găsește ca derivată a funcției putere ( tabelul funcțiilor derivate ale unei variabile):

La un fix X derivata primului termen se găsește ca derivată a funcției exponențiale, iar al doilea - ca derivată a constantei:

Acum calculăm valorile acestor derivate parțiale la punctul DAR (1; 2):

Puteți verifica soluția problemelor cu derivate parțiale activate calculator de derivate parțiale online .

Exemplul 3 Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor

Soluţie. Într-un singur pas găsim

(y X, de parcă argumentul sinelui ar fi 5 X: la fel, 5 apare înaintea semnului funcției);

(X este fix și este în acest caz un factor la y).

Puteți verifica soluția problemelor cu derivate parțiale activate calculator de derivate parțiale online .

Derivatele parțiale ale unei funcții de trei sau mai multe variabile sunt definite în mod similar.

Dacă fiecare set de valori ( X; y; ...; t) variabile independente din mulţime D corespunde unei anumite valori u din multi E, apoi u se numeste functie de variabile X, y, ..., t si denota u= f(X, y, ..., t).

Pentru funcțiile a trei sau mai multe variabile, nu există o interpretare geometrică.

Derivatele parțiale ale unei funcții a mai multor variabile sunt, de asemenea, definite și calculate în ipoteza că numai una dintre variabilele independente se modifică, în timp ce celelalte sunt fixe.

Exemplul 4 Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor

Soluţie. yși z fix:

Xși z fix:

Xși y fix:

Găsiți singur derivate parțiale și apoi vedeți soluții

Exemplul 5

Exemplul 6 Găsiți derivate parțiale ale unei funcții.

Derivata parțială a unei funcții a mai multor variabile are același lucru sens mecanic ca derivată a unei funcții a unei variabile, este rata cu care funcția se modifică în raport cu o modificare a unuia dintre argumente.

Exemplul 8 cantitatea de curgere P pasagerii căi ferate poate fi exprimat ca o funcție

Unde P- numărul de pasageri, N- numărul de rezidenți ai punctelor corespunzătoare, R- distanta dintre puncte.

Derivată parțială a unei funcții P pe R egal cu

arată că scăderea fluxului de pasageri este invers proporțională cu pătratul distanței dintre punctele corespunzătoare pentru același număr de locuitori în puncte.

Derivată parțială P pe N egal cu

arată că creșterea fluxului de pasageri este proporțională cu dublul numărului de locuitori aşezări cu aceeași distanță între puncte.

Puteți verifica soluția problemelor cu derivate parțiale activate calculator de derivate parțiale online .

Diferenţial complet

Produsul derivatei parțiale și incrementul variabilei independente corespunzătoare se numește diferențială parțială. Diferențele parțiale se notează după cum urmează:

Suma diferenţialelor parţiale pentru toate variabilele independente dă diferenţialul total. Pentru o funcție a două variabile independente, diferența totală este exprimată prin egalitate

(7)

Exemplul 9 Găsiți diferența completă a unei funcții

Soluţie. Rezultatul utilizării formulei (7):

O funcție care are o diferență totală în fiecare punct al unui domeniu se numește diferențiabilă în acel domeniu.

Găsiți singur diferența totală și apoi vedeți soluția

La fel ca și în cazul unei funcții a unei variabile, diferențiabilitatea unei funcții într-o anumită regiune implică continuitatea acesteia în această regiune, dar nu invers.

Să formulăm fără dovezi o condiție suficientă pentru derivabilitatea unei funcții.

Teorema. Dacă funcţia z= f(X, y) are derivate parțiale continue

într-o regiune dată, atunci este diferențiabilă în această regiune și diferența sa este exprimată prin formula (7).

Se poate demonstra că, la fel ca în cazul unei funcții a unei variabile, diferența funcției este partea liniară principală a incrementului funcției, deci în cazul unei funcții de mai multe variabile, diferența totală este principala, liniară în raport cu incrementele variabilelor independente, parte din incrementul total al funcției.

Pentru o funcție de două variabile, incrementul total al funcției are forma

(8)

unde α și β sunt infinitezimale pentru și .

Derivate parțiale de ordin superior

Derivate parțiale și funcții f(X, y) sunt ele însele unele funcții ale acelorași variabile și, la rândul lor, pot avea derivate față de diferite variabile, care sunt numite derivate parțiale de ordin superior.

Pentru a rezuma, care este diferența dintre găsirea derivatelor parțiale și găsirea derivatelor „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile:

1) Când găsim derivata parțială, apoi variabil considerată o constantă.

2) Când găsim derivata parțială, apoi variabil considerată o constantă.

3) Regulile și tabelul de funcții elementare derivate sunt valabile și aplicabile pentru orice variabilă ( , sau altele) cu privire la care se realizează diferenţierea.

Pasul doi. Găsim derivate parțiale de ordinul doi. Sunt patru.

Denumiri:

Sau - a doua derivată în raport cu „X”

Sau - a doua derivată în raport cu „y”

Sau - amestecat derivată „față de x y”

Sau - amestecat derivată „față de x”

Nu este nimic complicat în conceptul de derivată a doua. In termeni simpli, A doua derivată este derivata primei derivate.

Pentru claritate, voi rescrie derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite:

Mai întâi găsim derivatele mixte:

După cum puteți vedea, totul este simplu: luăm derivata parțială și o diferențiem din nou, dar în acest caz, deja prin „y”.

În mod similar:

Pentru exemple practice, când toate derivatele parțiale sunt continue, este valabilă următoarea egalitate:

Astfel, prin derivate mixte de ordinul doi, este foarte convenabil să verificăm dacă am găsit corect derivatele parțiale de ordinul întâi.

Găsim derivata a doua în raport cu „x”.

Fără invenții, luăm și diferențiază-l cu „X” din nou:

În mod similar:

Trebuie remarcat faptul că atunci când găsiți, trebuie să arătați atenție sporită, deoarece nu există egalități miraculoase de verificat.

Exemplul 2

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi și al doilea ale unei funcții

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (răspuns la sfârșitul lecției).

Cu ceva experiență, derivatele parțiale din exemplele nr. 1, 2 vor fi rezolvate de dvs. oral.

Să trecem la exemple mai complexe.

Exemplul 3

Verifică asta . Scrieți diferența totală de ordinul întâi.

Rezolvare: Găsim derivate parțiale de ordinul întâi:

Comentarii suplimentare:

(1) Scoatem toate constantele din afara semnului derivatei. În acest caz, și , și, prin urmare, produsul lor este considerat un număr constant.

(2) Nu uitați cum să diferențiați corect rădăcinile.

(1) Luăm toate constantele din semnul derivatei, în acest caz constanta este .

(2) Sub prim, avem produsul a două funcții, prin urmare, trebuie să folosim regula de diferențiere a produsului .

(3) Nu uitați că este o funcție complexă (deși cea mai simplă dintre cele complexe). Folosim regula corespunzătoare: .

Acum găsim derivate mixte de ordinul doi:

Aceasta înseamnă că toate calculele sunt corecte.

Diferenţialul total de ordinul întâi a unei funcţii a două variabile are forma:

În acest caz:

Adică, în formulă trebuie doar să înlocuiți derivatele parțiale de prim ordin deja găsite. Pictograme diferențiale și în această situație și în situații similare, dacă este posibil, este mai bine să scrieți în numărătoare:

Exemplul 4

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții . Verifică asta . Scrieți diferența totală de ordinul întâi.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. O soluție completă și un model de proiect al problemei sunt la sfârșitul lecției.

Luați în considerare o serie de exemple care includ funcții complexe.

Exemplul 5

(1) Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe . De la lecție Derivată a unei funcții compuse trebuie reținut un punct foarte important: când transformăm sinusul (funcția externă) într-un cosinus conform tabelului, atunci investiția (funcția internă) avem nu se schimba.

(2) Aici folosim proprietatea rădăcinilor: , scoatem constanta din semnul derivatei și reprezentăm rădăcina în forma necesară diferențierii.

În mod similar:

Scriem diferența totală de ordinul întâi:

Exemplul 6

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .

Notați diferența totală.

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (răspuns la sfârșitul lecției). Nu voi posta soluția completă pentru că este destul de simplă.

Destul de des, toate regulile de mai sus sunt aplicate în combinație.

Exemplul 7

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale funcției.

(1) Folosim regula diferențierii sumei.

(2) Primul termen în acest caz este considerat o constantă, deoarece în expresie nu există nimic care să depindă de „x” - doar „y”.

(Știi, este întotdeauna frumos când poți transforma o fracție în zero.)

Pentru al doilea termen, aplicăm regula de diferențiere a produsului. Apropo, nimic nu s-ar schimba în algoritm dacă ar fi dată o funcție - este important ca aici să avem produsul a două funcții, fiecare dintre ele depinde de „x”, deci trebuie să utilizați regula de diferențiere a produsului. Pentru al treilea termen, aplicăm regula de diferențiere a unei funcții complexe.

Sunt luate în considerare exemple de calcul a derivatelor de ordin superior ale funcțiilor explicite. Sunt date formule utile pentru calcularea derivatelor de ordinul al n-lea.

Conţinut

Definiția derivatelor de ordin superior

Aici luăm în considerare cazul în care variabila y depinde în mod explicit de variabila x:
.
Diferențiând funcția față de variabila x, obținem derivata de ordinul întâi, sau doar derivata:
.
Ca rezultat, obținem o nouă funcție , care este derivata funcției . Diferențiând această nouă funcție în raport cu variabila x, obținem derivata de ordinul doi:
.
Diferențiând funcția , obținem o derivată de ordinul trei:
.
Si asa mai departe. Diferențiând funcția originală de n ori, obținem derivata de ordinul a n-a sau derivata a n-a:
.

Derivatele pot fi notate linii, cifre romane, cifre arabe între paranteze sau fracții din diferențe. De exemplu, derivatele de ordinul trei și al patrulea pot fi notate după cum urmează:
;
.

Mai jos sunt formule care pot fi utile în calcularea derivatelor de ordin superior.

Formule utile pentru derivatele de ordinul n-lea

Derivate ale unor funcţii elementare:
;
;
;
;
.

Derivată a sumei funcțiilor:
,
unde sunt constante.

formula Leibniz derivată a produsului a două funcții:
,
Unde
sunt coeficienți binomi.

Exemplul 1

Găsiți derivatele prima și a doua ale următoarei funcții:
.

Găsim derivata de ordinul întâi. Scoatem constanta din semnul derivatei și aplicăm formula din tabelul derivatelor:
.
Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe:
.
Aici .
Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe si folosim derivatele gasite:
.
Aici .

.
Pentru a găsi derivata de ordinul doi, trebuie să găsim derivata de ordinul întâi, adică a funcției:
.
Pentru a nu fi confundat cu notația, notăm această funcție prin litera:
(P1.1) .
Apoi derivată de ordinul doi din funcția originală este derivata funcției:
.

Găsim derivata funcției. Acest lucru este mai ușor de făcut cu derivata logaritmică. Noi logaritm (A1.1):
.
Acum facem diferenta:
(P1.2) .
Dar este o constantă. Derivata sa este zero. Am găsit deja derivata lui . Restul derivatelor le găsim după regula de diferențiere a unei funcții complexe.
;
;
.
Înlocuiți în (A1.2):

.
De aici
.

;
.

Exemplul 2

Găsiți derivata de ordinul trei:
.

Găsim derivata de ordinul întâi. Pentru a face acest lucru, scoatem constanta din semnul derivatului, folosiți tabel de derivate si aplica regula pentru găsirea derivatei unei funcții complexe .

.
Aici .
Deci, am găsit derivata de ordinul întâi:
.

Găsim derivata de ordinul doi. Pentru a face acest lucru, găsim derivata lui . Aplicam formula pentru derivata unei fractii.
.
Derivată de ordinul doi:
.

Acum găsim ceea ce căutăm derivată de ordinul trei. Pentru a face acest lucru, facem diferența.
;
;

.

Derivata de ordinul trei este
.

Exemplul 3

Găsiți derivata a șasea a următoarei funcții:
.

Dacă deschideți parantezele, va fi clar că funcția originală este un polinom de grad . O scriem ca polinom:
,
Unde - coeficienți constanți.

Apoi aplicați a n-a formulă derivata unei functii de putere:
.
Pentru derivata de ordinul al șaselea (n = 6 ) avem:
.
Din aceasta rezultă clar că la . Când avem:
.

Folosim formula pentru derivata sumei funcțiilor:

.
Astfel, pentru a găsi derivata a șasea a funcției originale, trebuie doar să găsim coeficientul polinomului la cel mai înalt grad. O găsim înmulțind cele mai mari puteri din produsele sumelor funcției inițiale:

.
De aici. Apoi
.

Exemplul 4

Aflați derivata a n-a a unei funcții
.

Soluție >> >>

Exemplul 5

Găsiți derivata a n-a a următoarei funcții:
,
unde și sunt constante.

În acest exemplu, calculele sunt efectuate în mod convenabil folosind numere complexe. Să avem o funcție complexă
(P5.1) ,
unde și sunt funcții ale unei variabile reale x;
- unitate imaginară, .
Diferențiând (A.1) de n ori, avem:
(P5.2) .
Uneori este mai ușor să găsești derivata a n-a a unei funcții. Apoi derivatele a n-a ale funcțiilor și sunt definite ca părțile reale și imaginare ale derivatei a n-a:
;
.

Să folosim această tehnică pentru a rezolva exemplul nostru. Luați în considerare funcția
.
Aici am aplicat Formula lui Euler
,
și a introdus notația
.
Atunci derivata a n-a a funcției originale este determinată de formula:
.

Aflați derivata a n-a a funcției
.
Pentru a face acest lucru, aplicați formula:
.
În cazul nostru
.
Apoi
.

Deci, am găsit derivata a n-a a funcției complexe:
,
Unde .
Să găsim partea reală a funcției.
Pentru a face acest lucru, reprezentăm un număr complex în formă exponențială:
,
Unde ;
; .
Apoi
;

.

Exemplu de soluție
.

Lăsa , .
Apoi ;
.
La ,
,
,
.
Și obținem formula pentru derivata a n-a a cosinusului:
.

,
Unde
; .