Cum se găsește ecuația normalei la graficul unei funcții la un punct dat?

În această lecție, vom învăța cum să găsim ecuația normalului la grafica functionala la un moment dat și luați în considerare numeroase exemple care se referă la această problemă. Pentru a înțelege bine materialul, trebuie să înțelegeți sensul geometric al derivatului și să le poți găsi cel puțin la nivelul următoarelor articole:

Cum să găsesc derivatul? Derivată a unei funcții compuse și .

Aceste lecții le vor permite „manechilor” să navigheze rapid în subiect și să-și îmbunătățească abilitățile de diferențiere aproape de la zero. În esență, o continuare detaliată a paragrafului privind ecuația tangentei Al treilea articol din lista de mai sus. De ce o continuare? Ecuația normală este strâns legată de ecuația tangentei. Printre altele, voi lua în considerare problemele privind modul de construire a ecuațiilor acestor drepte în situațiile în care funcția stabilit implicit sau parametric .

Dar mai întâi, să ne reîmprospătăm amintirile: dacă funcția diferentiabil la un moment dat (adică dacă există final derivată), atunci ecuația tangentei la graficul funcției din punct poate fi găsită prin următoarea formulă:

Acesta este cel mai frecvent caz pe care l-am întâlnit deja în lecție. Cele mai simple probleme cu derivatele . Totuși, problema nu se limitează la aceasta: dacă există o derivată infinită într-un punct: , atunci tangenta va fi paralelă cu axa și ecuația ei va lua forma . Exemplu de așteptare: o funcție cu o derivată care merge la infinit aproape punct critic . Tangenta corespunzătoare este exprimată prin ecuația: (axa y).

Dacă derivata nu există (de exemplu, derivată de la punctul ), atunci, desigur, nu există și tangenta comuna .

Cum să distingem ultimele două cazuri, voi spune puțin mai târziu, dar deocamdată să revenim la curentul principal al lecției de astăzi:

Ce este normal? normal la graficul unei funcții într-un punct se numește Drept trecând printr-un punct dat perpendicular pe tangenta la graficul funcţiei în acest punct (este clar ca tangenta trebuie sa existe). Pe scurt, o normală este o dreaptă perpendiculară pe tangente care trece prin punctul tangent.

Cum să găsiți ecuația normală? Din curs de geometrie analitică se sugerează un algoritm foarte simplu: găsim ecuația tangentei și prezentați-l în vedere generala . Mai departe „elimină” vector normal și compuneți ecuația normală pentru punctul și vectorul direcție.

Această metodă poate fi folosită, dar în analiza matematică se obișnuiește să se utilizeze o formulă gata făcută pe baza relația coeficienților de pantă ai dreptelor perpendiculare . Daca exista finalși diferit de zero derivată, atunci ecuația normalei la graficul funcției din punct este exprimată prin următoarea ecuație:

Vom lua în considerare cu siguranță cazuri speciale când este egal cu zero sau infinit, dar mai întâi exemple „obișnuite”:

Exemplul 1

Compuneți ecuațiile tangentei și normalei la graficul curbei într-un punct a cărui abscisă este .

În sarcinile practice, este adesea necesar să găsiți și tangenta. Cu toate acestea, acest lucru este doar la îndemână - va fi mai bine să aveți o „mână plină” =)

Soluţie: Prima parte a sarcinii este bine cunoscută, vom compune ecuația tangentei după formula:

În acest caz:

Sa gasim derivat :
Aici în primul pas a scos constanta din semnul derivatei , pe al doilea - folosit regula de diferențiere a funcției compuse .

Acum să calculăm derivată la un punct :

Primit număr finit si ii place. Inlocuieste in formula:

Să o mutăm în partea de sus a părții stângi, să deschidem parantezele și să prezentăm ecuația tangentei în vedere generala : A doua parte a sarcinii nu este mai dificilă. Vom compune ecuația normală cu formula: A scapa de fotografie cu trei etaje și aduceți-vă în minte ecuația: este ecuația necesară.

Răspuns:

Aici puteți efectua o verificare parțială. În primul rând, coordonatele punctului trebuie să satisfacă fiecare ecuație:

- egalitate adevărată.

- egalitate adevărată.

Și, în al doilea rând, vectori normali trebuie să fie ortogonală. Acest lucru este ușor de verificat folosind produs punctual : , care urma să fie verificat.

Alternativ, în loc de vectori normali, puteți utiliza vectori de direcție ai liniilor .

! Această verificare se dovedește a fi inutilă dacă derivata și/sau derivata din punct este găsită incorect. Aceasta " verigă slabă» sarcini - fii extrem de atent!

Conform condiției, nu a fost necesar un desen, dar de dragul caracterului complet:
Este amuzant, dar de fapt s-a dovedit a fi o verificare completă, deoarece desenul a fost făcut destul de precis =) Apropo, funcția definește arcul superior elipsă .

Următoarea sarcină pentru o soluție independentă:

Exemplul 2

Compuneți ecuațiile tangentei și normalei la graficul funcției din punct.

Un exemplu de temă finală la sfârșitul lecției.

Acum să ne uităm la două cazuri speciale:

1) Dacă derivata în punct este egală cu zero: , atunci ecuația tangentei se va simplifica: Adică, tangenta va fi paralelă cu axa.

În consecință, normala va trece prin punctul paralel cu axa, ceea ce înseamnă că ecuația sa va lua forma .

2) Dacă derivata în punct există, dar este infinită: , atunci, așa cum s-a menționat chiar la începutul articolului, tangenta va deveni verticală: . Și deoarece normala trece printr-un punct paralel cu axa, atunci ecuația sa va fi exprimată într-un mod „oglindă”:

E simplu:

Exemplul 3

Compuneți ecuațiile tangentei și normalei la parabolă la punctul . Faceți un desen.

Nu am adăugat cerința de a finaliza desenul - așa a fost formulată sarcina în original. Deși acest lucru este rar.

Soluţie: compune ecuaţia tangentei . În acest caz

S-ar părea că calculele sunt banale, dar este mai mult decât real să te încurci în semne:

În acest fel:

Deoarece tangenta este paralelă cu axa (Cazul 1), atunci normala care trece prin același punct va fi paralelă cu axa y:

Desenul este, desigur, o problemă suplimentară, dar o verificare bună a soluției analitice:

Răspuns: ,

Într-un curs de matematică școlar, o definiție simplificată a unei tangente este comună, care este formulată cam așa: „Tangenta la graficul unei funcții este o dreaptă care are un singur punct comun cu acest grafic”. După cum puteți vedea, în cazul general, această afirmație este incorectă. Conform sensul geometric al derivatului , linia verde este tangenta, nu linia albastră.

Următorul exemplu este dedicat aceluiași caz #1 când:

Exemplul 4

Scrieți ecuația tangentei și normalei curbei în punctul .

Soluție scurtă și răspuns la sfârșitul lecției

Cazul numărul 2, în care apare rar în practică, așa că începătorii nu se pot îngrijora prea mult și sări peste al cincilea exemplu cu inima ușoară. Informațiile cu caractere cursive sunt destinate cititorilor avansați care sunt familiarizați cu definiții derivate și tangente si sa ai si experienta găsirea derivatei prin definiție :

Exemplul 5

Găsiți ecuațiile tangentei și normalei la graficul unei funcții într-un punct

Soluţie : înpunct critic numitor derivat dispare și, prin urmare, derivatele unilaterale trebuie calculate aici folosind definiția derivatului (a se vedea sfârșitul articoluluiDerivat prin definiție ):
Ambele derivate sunt infinite, prin urmare, există o tangentă verticală comună în punctul: Ei bine, este evident că normalul este axa x. Formal conform formulei: Pentru o mai bună înțelegere a problemei, voi da un desen: Răspuns :

Mă bucur că nu ai plecat să navighezi pe internet, pentru că toată distracția abia începe! Pentru a stăpâni materialul din următorul paragraf, trebuie să puteți găsi derivat din implicit funcţie dată :

Cum se află ecuația tangentei și ecuația normală dacă funcția este dată implicit?

Formulele tangente și normale rămân aceleași, dar tehnica soluției se schimbă:

Exemplul 6

Aflați ecuațiile tangentei și normalei curbei în punctul .

Soluţie: judecând după ecuație, acesta este un fel de A treia linie de comandă , care - nu ne interesează deloc acum.

Există malware în ecuație și, prin urmare, perspectiva de a exprima funcția în explicit pare foarte neclar.

Dar acest lucru nu este necesar! Există o soluție mult mai inteligentă. Vom compune ecuația tangentei folosind aceeași formulă.

Din condiție, valorile sunt cunoscute, apropo, nu strica să te asiguri că satisfac cu adevărat ecuația propusă: Se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că totul este în ordine cu punctul.

Rămâne de calculat. În primul rând, folosind schema standard, găsim derivata unei functii definita implicit :

Să rescriem rezultatul cu o notație mai adecvată pentru problema noastră:

La a doua etapă, înlocuim în expresia găsită a derivatei:

Asta e!

Rămâne să ne ocupăm cu atenție de ecuația:

Să scriem ecuația normală:

Răspuns:

Gata! Și la început părea dificil. Deși derivatul de aici, desigur, este un loc vulnerabil. Miniatură pentru soluție independentă:

Exemplul 7

Găsiți ecuația normalei la o dreaptă într-un punct

Suficient deja pentru a macina tangenta =)

În acest caz, este ușor să afli ce este cerc centrați în punctul razei și chiar exprimați funcția dorită . Dar de ce?! La urma urmei, pentru a găsi derivatul lui funcţie implicită mult mai ușor! Ea este aproape cea mai primitivă de aici.

Soluție scurtă și răspuns la sfârșitul lecției.

Cum să găsiți ecuația tangentei și ecuația normală dacă funcția este dată parametric?

Chiar mai ușor. Dar pentru aceasta trebuie să exersați găsirea derivată a unei funcții definite parametric . Și așa - aproape gratuit:

Exemplul 8

Compuneți ecuațiile tangentei și normalei la cicloidă trasate în punctul pentru care .

Un desen al cicloidului poate fi găsit pe pagină S și ​​V dacă linia este setată parametric (Se întâmplă că acest articol a fost creat mai devreme). Arată chiar și punctul de contact.

Soluţie: abscisa și ordonata punctului tangent sunt calculate direct din ecuațiile parametrice ale curbei:

Sa gasim Derivata 1 a unei funcții definite parametric :

Și calculează-i valoarea la:

Vom compune ecuația tangentei după formula obișnuită, ajustată pentru o notație ușor diferită:

Ecuația normală:

Răspuns:

În concluzie, îmi propun să facem cunoștință cu o altă linie interesantă:

Exemplul 9

Scrieți o ecuație pentru normala unei parabole semicubice desenată într-un punct pentru care .

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Vă reamintesc că grafice ale funcțiilor date parametric pot fi construite, de exemplu, folosind my aspect geometric calculat .

Ei bine, lecția noastră s-a încheiat și sper că materialul prezentat nu a fost tangențial pentru tine, dar în mod normal =)

Vă mulțumim pentru atenție și mult succes!

Soluții și răspunsuri:

Exemplul 2:Soluţie În acest caz: În acest fel: Compunem ecuația normală prin formula : Răspuns :

Exemplul 4:Soluţie : vom compune ecuația tangentei cu formula: În această sarcină:
În acest fel: Într-un punct, tangenta este paralelă cu axa, deci ecuația normală corespunzătoare este: Răspuns :

Exemplul 7:Soluţie : în această problemă: . Să găsim derivata: Sau: Înlocuiți în expresia derivată: Ecuația normală necesară: Răspuns :

Exemplul 9:Soluţie : în acest caz: Să găsim derivata și să îi calculăm valoarea la: Ecuația normală: Răspuns :

Preluat de pe http://www.mathprofi.ru

Definiție: normala curbei y \u003d ¦ (x) în punctul M 0 este linia dreaptă care trece prin punctul M 0 și perpendiculară pe tangenta din punctul M 0 la această curbă.

Să scriem ecuația tangentei și a normalei, cunoscând ecuația curbei și coordonatele punctului M 0 . Tangenta are pantă k \u003d t g \u003d ¦, (x 0). Din geometria analitică se știe că linia dreaptă are ecuația y-y 0 = k(x - x 0).

Prin urmare, ecuația tangentei: y - y 0 \u003d ¦, (x 0) (x - x 0); (unu)

Panta normalului K n \u003d (deoarece sunt perpendiculare), dar apoi ecuația normală:

y-y 0 \u003d (-1 / ¦, (x 0) (x - x 0); (2)

Dacă o derivată nu există într-un punct, atunci nici o tangentă nu există în acel punct.

De exemplu, funcția ¦(x)=|x| în punctul x=0 nu are derivată.

lim D x ®0 (D y/ D x)= lim D x ®0 (| D x|/ D x)=

Există limite unilaterale, dar lim D x ®0 (D y / D x) nu există

Tangenta de asemenea.

Un astfel de punct se numește punctul de colț al graficului.

§patru. Relația dintre continuitatea și diferențiabilitatea unei funcții.

Următoarea teoremă asupra unei funcții diferențiabile este valabilă.

Teoremă: dacă funcția y \u003d ¦ (x) are o derivată finită în punctul x 0, atunci funcția este continuă în acest punct.

Dovada:

pentru că în punctul x 0 există o derivată ¦, (x 0), adică. există o limită

lim D x ®0 (D y/ D x)= ¦ , (x 0), apoi D y/ D x= ¦ , (x 0)+ , unde

B.m.v., în funcție de D x. Pentru D x®0, ®0, deoarece \u003d (D y / D x) - ¦, (x 0) ®0 la D x®0

De aici avem: D y \u003d ¦, (x 0) D x + D x.

Dar apoi

O creștere infinitezimă a argumentului corespunde unei creșteri infinitezimale a funcției, deci ¦(x) este continuă în punctul x 0 .

Este important să înțelegeți că teorema inversă nu este adevărată!

Nu orice funcție continuă este diferențiabilă.

Astfel, ¦(x) =|x| este continuă în punctul x 0 =0, graficul este o linie continuă, dar ¦ , (0) nu există.

§5. Derivate ale funcțiilor constante, sinus, cosinus și exponențial.

1. y \u003d ¦ (x) \u003d c; y, = (c), = 0; (unu)

Dovada:

a) în orice punct x ¦(x) = c

b) dăm x un increment D x, x + D x, valoarea funcției ¦ (x + D x) = c;

c) ¦ (x + D x) - ¦ (x) \u003d c - c \u003d 0;

d) D y / D x \u003d 0 / D x \u003d 0

e) lim D x ®0 (D y / D x) = lim D x ®0 0 = 0

2. y \u003d sin x; y, = (sin x), = cos x; (2)

Dovada:

a) în orice punct x ¦ (x) = sin x;

b) fie x crește D x, x + D x, valoarea funcției

Aplicații derivate.

5.1.Semnificația geometrică a derivatei:

Luați în considerare graficul funcției y= f (X).

Figura 1 arată că pentru oricare două puncte Ași B graficul funcției: , unde α este panta secantei AB.

Astfel, raportul diferențelor este egal cu panta secantei. Dacă fixăm un punct Ași deplasați punctul spre el B, apoi scade la infinit si se apropie de 0, iar secanta AB se apropie de tangentă AC.

Prin urmare, limita raportului de diferență este egală cu panta tangentei în punctul A, adică. . Asta implică: Derivata functiei in punctul x 0 este egala cu panta tangentei la graficul functiei y = f(x) in acest punct, i.e. .

1. Tangenta la graficul funcției în punctul (x 0; f (x 0) este poziția limită a secantei (AC).

Ecuație tangentă : y – f(X 0) =

2. Linia perpendiculară pe tangenta (AC) în punctul (x 0; f (x 0) se numește normală la graficul funcției.

Ecuația normală: y – f(X 0) =

O sarcină: Compuneți ecuațiile tangentei și normalei trasate pe graficul funcției y=10x-x în punctul cu abscisa egală cu x 0 =2.

Soluţie:

1. Aflați ordonata punctului de atingere: f(х 0)= f(2)=10∙2–2 2 =16,

2. Găsiți panta tangentei: f "(x) \u003d (10x-x)" \u003d 10-2x, \u003d f"(2)=10–2∙2=6

3. Compuneți ecuația tangentei: y–16 = 6 ∙ (x-2), y–16 = 6x–12, y–6x–4 = 0 – ecuația tangentei,

4. Compuneți ecuația normalei: y -16 =, 6y -96 = -x + 2, 6y + x -98 = 0 - ecuația normalei.

5.2. sens fizic derivat:

Definiție. Viteza corpului este egală cu prima derivată a căii în raport cu timpul:

5.3. Semnificația mecanică a derivatului:

Definiție. Accelerația corpului este egală cu derivata întâi a vitezei în raport cu timpul sau cu derivata a doua a căii în raport cu timpul:

O sarcină: Determinați viteza și accelerația unui punct care se mișcă conform legii în momentul t=4c.

Soluţie:

1. Aflați legea vitezei: v= S"=

2. Aflați viteza în momentul t = 4c: v(t)= v(4)=2∙4 2 +8∙4=64 unități/sec

3. Găsim legea accelerației: a=v′=

4. Aflați accelerația în momentul t = 4c: A(t)= A( 4)=4∙4+8=24unități/sec 2

SECȚIUNEA 1.3. Diferenţialul de funcţii şi aplicarea ei în calcule aproximative. Conceptul de funcție diferenţială

diferenţial de funcţie y \u003d ƒ (x) în punctul x se numește partea principală a incrementului său, egală cu produsul derivatei funcției și incrementul argumentului și se notează dу (sau dƒ (x)): dy \u003d ƒ "(x)∙∆x(1).

Diferenţialul dу se mai numeşte diferenţial de ordinul întâi. Să găsim diferența variabilei independente x, adică diferența funcției y=x.

Deoarece y"=x"=1, atunci, conform formulei (1), avem dy=dx=∆x, adică diferența variabilei independente este egală cu incrementul acestei variabile: dx=∆x.

Prin urmare, formula (1) poate fi scrisă după cum urmează: dy \u003d ƒ "(x) ∙ dx(2) cu alte cuvinte, diferenţialul unei funcţii este egal cu produsul derivatei acestei funcţii şi diferenţialul variabilei independente.

Din formula (2), urmează egalitatea dy / dx \u003d ƒ "(x).

Exemplul 1: Aflați diferența funcției ƒ(x)=3x 2 -sin(l+2x).

Soluţie: Conform formulei dy \u003d ƒ "(x) dx, găsim dy \u003d (3x 2 -sin (l + 2x))" dx \u003d (6x-2cos (l + 2x)) dx.

Exemplul 2: Aflați diferența de ordinul doi a funcției: y = x 3 –7x.

Soluţie:

SECȚIUNEA 1.4. Primitiv. Integrală nedefinită. Metode de calcul a integralei nedefinite.

Definiție1. Funcția F(x) se numește antiderivată pentru funcția f(x) pe un interval, a cărui diferență este egală cu expresia f(x)dx. Exemplu: f (x) \u003d 3x 2 3x 2 dx F (x) \u003d x 3.

Totuși, diferenţialul unei funcţii nu corespunde unei singure antiderivate, ci unui set al acestora. Luați în considerare exemplul: F 1 (x) = x 3, F 2 (x) = x 3 + 4, F 3 (x) = x 3 - 2, în general F (x) + C, unde C este o constantă arbitrară . Aceasta înseamnă că pentru funcția f(x)=3x2 există multe antiderivate care diferă între ele printr-un termen constant.

Definiție2. Mulțimea tuturor funcțiilor antiderivate f(x) pe un anumit interval se numește integrală nedefinită a funcțiilor f(x) pe acest interval și se notează cu simbolul ∫f(x)dx .

Acest simbol spune: „integrala lui f(x) peste dx”, deci prin definiție:

∫ (x)dx = F(x)+C.

Simbol ∫ se numește semnul integralei, f(x) este integrandul, f(x)dx este integrandul, x este variabila de integrare, F(x) este o antiderivată,

C este constantă.

Principalele proprietăți ale integralei nedefinite:

1. Diferenţialul integralei nedefinite este egală cu integrandul, i.e.

d ∫ f(x)dx = f(x)dx.

2. Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii este egală cu această funcţie adăugată unei constante arbitrare: ∫ d F(x) = F(x) + C

3. Factorul constant poate fi scos din semnul integral: ∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx , k-const.

4. Integrală nedefinită a sumei algebrice a funcțiilor este egală cu suma integrale din fiecare dintre ele: ∫ (f 1 (x)+f 2 (x)-f 3 (x))dx = ∫ f 1 (x)dx + ∫ f 2 (x)dx – ∫f 3 (x)dx .

Să considerăm o curbă a cărei ecuație are forma

Ecuația tangentei la o curbă dată într-un punct are forma:

Normala la o curbă într-un punct dat este o dreaptă care trece printr-un punct dat și perpendiculară pe tangenta din acel punct.

Ecuația normalei la o curbă dată într-un punct are forma:

(35)

Se numește lungimea segmentului tangent cuprins între punctul tangent și axa absciselor lungimea tangentei, proiecția acestui segment pe axa x se numește subtangent .

Se numește lungimea segmentului normal cuprins între punctul tangent și axa absciselor lungime normală, proiecția acestui segment pe axa x se numește subnormal.

Exemplul 17

Scrieți ecuațiile tangentei și normalei curbei într-un punct a cărui abscisă este egală.

Soluţie:

Să găsim valoarea funcției în punctul:

Să găsim derivata funcției date în punctul

Răspuns: Ecuația tangentei:

Ecuația normală: .

Exemplul 18

Scrieți ecuațiile pentru tangente și normală, lungimea tangentei și subtangentei, lungimea normalei și subnormalei pentru o elipsă

în punctul pentru care.

Soluţie:

Să găsim ca derivată a funcției dată parametric prin formula (10):

Găsiți coordonatele punctului de atingere : și valoarea derivatei la punctul de atingere :

Ecuația tangentei se găsește prin formula (34):

Aflați coordonatele punctului de intersecție al tangentei cu axa:

Lungimea tangentei este egală cu lungimea segmentului:

Prin definiție, subtangenta este egală cu

Unde unghiul este unghiul dintre tangentă și axă. Prin urmare, este panta tangentei egală cu

Deci subtangenta este egală cu

Găsim ecuația normală prin formula (35):

Aflați coordonatele punctului de intersecție al normalei cu axa:

Lungimea normalei este egală cu lungimea segmentului:

Prin definiție, subnormalul este egal cu

Unde unghiul este unghiul dintre normală și axă. Prin urmare, este panta normalului, egală cu

Deci subnormalul este:

Răspuns: Ecuația tangentei:

Ecuația normală:

Lungimea tangentei ; subtangent;

Lungime normală ; subnormal

Sarcini 7. Scrie ecuațiile tangente și normale:

1. La o parabolă într-un punct a cărui abscisă

2. La cercul din punctele de intersecție cu axa x

3. La cicloidă în punctul pentru care

4. În ce puncte ale curbei paralelă tangentă:

a) axa Ox; b) drept

.

10. Intervale de monotonitate a unei funcţii. Extreme ale funcției.

Condiția de monotonitate a funcției:

Pentru ca o funcție diferențiabilă prin să nu crească, este necesar și suficient ca derivata să fie nepozitivă în toate punctele care îi aparțin.

Pentru ca o funcție diferențiabilă prin să nu scadă, este necesar și suficient ca derivata să fie nenegativă în toate punctele care îi aparțin.

Intervalele în care derivata unei funcții păstrează un anumit semn se numesc intervale. monotonie funcții

Exemplul 19

Găsiți intervalele de monotonitate ale funcției.

Soluţie:

Să găsim derivata funcției .

Să găsim intervale de constanță ale derivatei obținute. Pentru asta

factorizăm trinomul pătrat rezultat:

Examinăm semnul expresiei rezultate folosind metoda intervalului.

Astfel, conform (36), (37), obținem că funcția dată crește cu și scade cu.

Răspuns: Funcția dată crește și descrește cu.

Definiție Funcția are la punct maxim local (minimum), dacă există o vecinătate a punctului astfel încât condiția

Minimul sau maximul local al unei funcții este numit extremul local.

O condiție necesară pentru existența unui extremum.

Fie definită funcția într-o anumită vecinătate a punctului. Dacă funcția are un extrem în punct, atunci derivata în punct este fie zero, fie nu există.

Punctul se numește punct critic funcţionează dacă derivata în punct este fie zero, fie nu există.

Condiții suficiente pentru prezența unui extremum într-un punct critic.

Lăsați punctul să fie critic.

Prima condiție suficientă pentru un extremum este:

Fie ca funcția să fie continuă într-o vecinătate a punctului și să fie diferențiabilă în fiecare punct.

Un punct este un maxim local dacă, la trecere

Derivata unei functii schimba semnul din plus in minus.

Un punct este un minim local dacă, la trecere

Derivata unei functii schimba semnul din minus in plus.

Exemplul 20

Aflați extremele funcției.

Soluţie:

Să găsim derivata funcției date

Echivalând numărătorul și numitorul din derivata rezultată cu zero, găsim punctele critice:

Investigam semnul derivatei folosind metoda intervalelor.

Din figură se poate observa că la trecerea printr-un punct, derivata își schimbă semnul din plus în minus. Prin urmare, în acel punct există un maxim local.

Când trece printr-un punct, derivata își schimbă semnul din minus în plus.

Prin urmare, punctul este un minim local.

Când trece printr-un punct, derivata nu își schimbă semnul. Prin urmare, punctul critic nu este extremul funcției date.

Răspuns:- maxim local, - minim local.

A doua condiție suficientă pentru un extremum este:

Dacă primele derivate ale unei funcții într-un punct sunt egale cu zero, iar derivata a-a a funcției într-un punct este diferită de zero, atunci punctul este extremul funcției și, în plus,

atunci este un minim local

atunci este un maxim local.

Exemplul 21

Găsiți extremele funcției folosind derivata a doua.

Soluţie:

Să găsim prima derivată a funcției date

Să găsim punctele critice ale funcției:

Nu luăm în considerare un punct, deoarece funcția este definită doar în vecinătatea stângă.

Să găsim derivata a doua

Găsim

Astfel, pe baza (39), concluzionăm că at este un maxim local.

Răspuns: este un maxim local.

Sarcini 8.

Examinați funcțiile crescătoare și descrescătoare:

Explorați pentru extremele funcției:

Tangenta este o linie dreaptă , care atinge graficul funcției într-un punct și toate punctele care se află la cea mai mică distanță de graficul funcției. Prin urmare, tangenta trece tangentă la graficul funcției la un anumit unghi și mai multe tangente nu pot trece prin punctul tangente la unghiuri diferite. Ecuațiile tangente și ecuațiile normalei la graficul funcției sunt compilate folosind derivata.

Ecuația tangentei este derivată din ecuația dreptei .

Deducem ecuația tangentei și apoi ecuația normalei la graficul funcției.

y = kx + b .

În el k- coeficientul unghiular.

De aici obținem următoarea intrare:

y - y 0 = k(X - X 0 ) .

Valoarea derivată f "(X 0 ) funcții y = f(X) la punct X0 egală cu panta k=tg φ tangentă la graficul unei funcții trasate printr-un punct M0 (X 0 , y 0 ) , Unde y0 = f(X 0 ) . Acesta este ce sens geometric derivat .

Astfel, putem înlocui k pe f "(X 0 ) și obțineți următoarele ecuația tangentei la graficul funcției :

y - y 0 = f "(X 0 )(X - X 0 ) .

În sarcinile de compilare a ecuației unei tangente la graficul unei funcții (și vom trece în curând la ele), este necesar să aducem ecuația obținută din formula de mai sus la ecuația generală a unei drepte. Pentru a face acest lucru, trebuie să transferați toate literele și numerele în partea stângă a ecuației și lăsați zero în partea dreaptă.

Acum despre ecuația normală. Normal este o dreaptă care trece prin punctul tangent la graficul funcției perpendiculară pe tangente. Ecuația normală :

(X - X 0 ) + f "(X 0 )(y - y 0 ) = 0

Pentru a încălzi primul exemplu, vi se cere să îl rezolvați singur, apoi să priviți soluția. Există toate motivele să sperăm că această sarcină nu va fi un „duș rece” pentru cititorii noștri.

Exemplul 0. Compuneți ecuația tangentei și ecuația normalei la graficul funcției într-un punct M (1, 1) .

Exemplul 1 Compuneți ecuația tangentei și ecuația normalei la graficul funcției dacă abscisa punctului de atingere este .

Să găsim derivata funcției:

Acum avem tot ce trebuie înlocuit în intrarea dată în referința teoretică pentru a obține ecuația tangentei. Primim

În acest exemplu, am avut noroc: panta s-a dovedit a fi egală cu zero, așa că separat, aduceți ecuația la vedere generala nu avea nevoie. Acum putem scrie ecuația normală:

În imaginea de mai jos: un grafic al unei funcții în visiniu, o tangentă în verde, o normală în portocaliu.

Următorul exemplu nu este, de asemenea, complicat: funcția, ca și în cea precedentă, este și un polinom, dar coeficientul de pantă nu va fi egal cu zero, așa că se va adăuga încă un pas - aducând ecuația la o formă generală.

Exemplul 2

Soluţie. Să găsim ordonata punctului de atingere:

Să găsim derivata funcției:

.

Să găsim valoarea derivatei în punctul de contact, adică panta tangentei:

Înlocuim toate datele obținute în „formula goală” și obținem ecuația tangentei:

Aducem ecuația într-o formă generală (colectăm toate literele și numerele, altele decât zero în partea stângă și lăsăm zero în partea dreaptă):

Compunem ecuația normalului:

Exemplul 3 Compuneți ecuația tangentei și ecuația normalei la graficul funcției dacă abscisa punctului de contact este .

Soluţie. Să găsim ordonata punctului de atingere:

Să găsim derivata funcției:

.

Să găsim valoarea derivatei în punctul de contact, adică panta tangentei:

.

Găsim ecuația tangentei:

Înainte de a aduce ecuația într-o formă generală, trebuie să o „combinați” puțin: înmulțiți termen cu termen cu 4. Facem acest lucru și aducem ecuația într-o formă generală:

Compunem ecuația normalului:

Exemplul 4 Compuneți ecuația tangentei și ecuația normalei la graficul funcției dacă abscisa punctului de contact este .

Soluţie. Să găsim ordonata punctului de atingere:

.

Să găsim derivata funcției:

Să găsim valoarea derivatei în punctul de contact, adică panta tangentei:

.

Obtinem ecuatia tangentei:

Aducem ecuația într-o formă generală:

Compunem ecuația normalului:

O greșeală comună atunci când scrieți ecuații tangente și normale este să nu observați că funcția dată în exemplu este complexă și să calculați derivata ei ca derivată a unei funcții simple. Următoarele exemple sunt deja funcții complexe(lecția corespunzătoare se va deschide într-o fereastră nouă).

Exemplul 5 Compuneți ecuația tangentei și ecuația normalei la graficul funcției dacă abscisa punctului de contact este .

Soluţie. Să găsim ordonata punctului de atingere:

Atenţie! Această funcție- complex, deoarece argumentul tangentei (2 X) este în sine o funcție. Prin urmare, găsim derivata unei funcții ca derivată a unei funcții complexe.