Destul de des, indicatorii economici prezentați ca o serie de timp au o structură complexă. Modelarea unor astfel de serii prin construirea unui model de trend, sezonalitate și componente periodice nu conduce la rezultate satisfăcătoare. Un număr de reziduuri au adesea modele statistice. Cele mai comune modele de serie staționară sunt modelele autoregresive și medii mobile.

Vom lua în considerare clasa serii de timp staționare. Sarcina este de a construi un model de reziduuri de serie de timp u tși prezicerea valorilor sale.

Modelul autoregresiv este conceput pentru a descrie serii de timp staționare. Procesul staționar satisface ecuația de autoregresie de ordin infinit cu coeficienți care descresc destul de rapid. În special, prin urmare, modelul autoregresiv este suficient ordin înalt poate aproxima bine aproape orice proces staționar. În acest sens, modelul autoregresiv este adesea folosit pentru a modela reziduurile într-unul sau altul model parametric, cum ar fi un model de regresie sau un model de tendință.

Procesele Markov sunt numite procese în care starea obiectului în fiecare moment următor de timp este determinată numai de starea din momentul prezent și nu depinde de modul în care obiectul a ajuns în această stare. În termeni analiza corelației pentru seriile de timp, procesul Markov poate fi descris astfel: există o corelație semnificativă statistic între seria originală și seria deplasată cu un interval de timp și nu există o corelație cu seria deplasată cu două, trei, etc. intervale de timp. În mod ideal, acești coeficienți de corelație sunt zero.

u(t)=m u(t-1)+e(t) , (5.1)

Unde m- coeficient numeric | m|<1, e(t) este o succesiune de variabile aleatoare care formează „zgomot alb” (E( e(t))=0, E( e(t)e(t+t))=).

Modelul (5.1) se mai numește și proces Markov.

E(u(t))º0. (5,2)

r(u(t)u(t± t))=m t . (5,3)

Du(t)=s 2 /(1-m 2). (5.4)

cov( u(t)u(t±t))= m t Du(t). (5.5)

Din (5.3) rezultă că pentru | m| aproape de variația unitară u(t) va fi mult mai mare decât varianța e t. Aceasta înseamnă (având în vedere (5.2) m=r(u(t)u(t±1))= r(1), adică parametru m poate fi interpretat ca o valoare de autocorelare de ordinul întâi), care în cazul unei corelații puternice a valorilor învecinate ale seriei u(t) o serie de perturbaţii slabe e t va genera oscilații mari ale reziduurilor u(t).

Condiția de staționaritate pentru seria (5.1) este determinată de cerința | m|<1.

Funcția de autocorelare (ACF) r(t) al procesului Markov este determinat de relația (5.3).

Funcția de autocorelare parțială

r frecvent ( t)=r(u(t)u(t+t)) | u(t+ 1)=u(t+ 2)=…=u(t+t-1)=0

se poate calcula cu formula: r partea (2)=( r(2)-r 2 (1))/(1-r 2 (1)). Pentru ordinea a doua și cea mai mare (vezi, pp. 413, 414) ar trebui să fie r frecvent ( t)=0 "t=2,3,... . Este convenabil să folosiți acest lucru pentru potrivirea modelului (5.1): dacă este calculat din reziduurile estimate u(t)=YT-corelațiile parțiale ale eșantionului sunt statistic nesemnificativ diferite de zero la t=2,3,…, apoi folosind modelul AR(1) pentru descrierea reziduurilor aleatoare nu contrazice datele originale.

Identificarea modelului. Este necesară estimarea statistică a parametrilor mși s 2 modele (5.1) conform valorilor disponibile ale seriei originale YT.

Importante în analiza și prognoza bazate pe serii de timp sunt serii temporale staționare, ale căror proprietăți probabilistice nu se modifică în timp. serii de timp y ( = (1,2,..., P) se spune că este strict staționar dacă distribuția de probabilitate comună P observatii y ( , y 2 , ???, y p la fel ca și pentru observațiile y 1+m, y 2+m, ???,U n+T(pentru orice ", /them). Proprietățile seriilor strict staționare nu depind de momentul de timp, astfel, un proces aleator staționar se caracterizează prin invarianța în timp a principalelor sale caracteristici probabilistice, precum valorea estimatași dispersie.

Serii staționare sunt înțelese ca procese aleatorii omogene în timp, ale căror caracteristici nu se modifică în timp /. Caracteristicile acestor procese determină trăsăturile proceselor și fac obiectul cercetării. Dacă aceste caracteristici (aşteptare matematică, dispersie etc.) pot fi găsite cu un anumit grad de acurateţe, atunci problema prezicerii unor astfel de procese staţionare devine extrem de simplă. În același timp, procesele staționare pot avea o natură foarte diferită a dinamicii - schimbarea într-o parte a acestora nu are tendințe pronunțate în timp, dinamica celeilalte părți are o tendință clar exprimată în timp, care poate fi și de o natură neliniară foarte complexă. Astfel, grupul staționar de tipuri de dinamică a seriilor temporale poate fi, la rândul său, împărțit în două subgrupe: 1) staționar simplu; 2) staționar complex. Pentru primul grup de factori, de tip staționar simplu, este îndeplinită condiția de invarianță în timp a așteptării lor matematice și alte caracteristici ale proceselor aleatorii. Dacă așteptările matematice și alte caracteristici ale procesului probabilistic suferă modificări în timp, atunci astfel de serii sunt staționare complexe.

Modele de serii temporale staționare și nestaționare

Procese staționare simpleîn raport cu obiectele socio-economice sunt analizate și prezise folosind cele mai simple metode de statistică matematică (prognoze punct și interval dinamica seriilor temporale). Cel mai adesea, se poate afirma existența unei legi de distribuție normală și, prin urmare, eforturile principale ar trebui îndreptate spre demonstrarea acestei afirmații folosind ipoteze și metode statistice adecvate de testare a acestora și apoi spre calcularea caracteristicilor procesului. Dacă a fost posibil să se confirme ipoteza despre natura normală a distribuției seriei studiate, atunci cea mai bună estimare a așteptărilor sale matematice este media aritmetică, iar cea mai bună estimare a varianței este varianța eșantionului. Mai mult, principiul de bază al metodei de eșantionare este relevant aici - cu cât mai multe observații, cu atât modelul estimează mai bine.

Procese staţionare complexe indică prezența multor factori care afectează obiectul, ai căror indicatori se modifică în timp. Prin urmare, sarcina prognozatorului este de a identifica principalii dintre acești factori și de a construi un model care să descrie influența factorilor principali asupra obiectului prognozei. Dacă există mulți dintre acești factori și este imposibil să îi evidențiem pe principalii din anumite motive, ei consideră că timpul acționează ca un astfel de factor generalizator și găsesc un model al relației dintre indicatorul de prognoză și timp. De regulă, în aceste cazuri, cercetătorul nu cunoaște cele mai multe dintre caracteristicile principale ale unui proces staționar dinamic aleatoriu. El trebuie să găsească aceste caracteristici din datele observaționale ale procesului. Aici cercetătorul este forțat să recurgă la unele ipoteze a priori - să admită existența uneia sau alteia legi de distribuție a probabilității, proprietățile procesului și interrelațiile sale, natura dinamicii etc. În acest caz, acea secțiune a științei economice, care se numește econometrie.

Deoarece proprietăţile statistice ale seriilor staţionare complexe nu

se schimbă în timp, atunci aceste proprietăți pot fi acumulate și dezvăluite prin calcularea unor funcții date. Funcția care a fost folosită pentru prima dată în acest scop este funcția de autocorelare(AKF). Gradul de strângere al conexiunii dintre secvențele de observații ale seriei de timp p y 2 , -,y yi 1+t, y 2+x, ’ Pachet+x de obicei definit cu coeficientul de corelație al eșantionului r( t). Formula sa este prezentată mai jos:

/7-T (/7-T L ^

(l-t) 2>, 2 - 5>,

Xp-"sh.

• (6.5)

unde m este numărul de perioade pentru care se calculează coeficientul de autocorelare (lag).

Acest coeficient evaluează corelația dintre nivelurile aceleiași serii, așa că se numește uneori coeficient de autocorelare. Formula de calcul Coeficientul de autocorelare de ordinul 1(pentru m = 1) poate fi reprezentat astfel:

• (6.6)

• 1=2 1=2

Coeficientul de autocorelare de ordinul 2 este determinat de formula

• (6.8)
• - 2

• 1l 5> n
• (6.9)

Pe măsură ce decalajul crește, numărul de perechi de valori utilizate pentru a calcula coeficientul de autocorelație scade. Se consideră adecvată utilizarea regulii pentru a asigura fiabilitatea statistică a coeficienților de autocorelare - decalajul maxim nu trebuie să fie mai mare de p/6. Funcţie G( t) se numeste eșantion de funcție de autocorelare, iar programul ei este corelograma este a mea. Forma funcției de autocorelare a eșantionului este strâns legată de

; y, = " 3

structura rândurilor.

• 1. Funcția de autocorelare g(t) pentru „zgomot alb” la m > 0 formează și o serie temporală staționară cu o valoare medie zero.
• 2. Pentru rând staționar ACF scade rapid odată cu creșterea m. În prezența unei tendințe distincte, funcția de autocorelație capătă forma caracteristică a unei curbe în scădere foarte lentă.
• 3. În cazul sezonalității pronunțate, graficul ACF conține și „outliers” pentru întârzieri care sunt multipli ai perioadei de sezonalitate, dar aceste „outliers” pot fi acoperite de prezența unei tendințe sau de o mare dispersie a componentei aleatorii.

Dacă coeficientul de autocorelație de ordinul întâi s-a dovedit a fi cel mai mare, seria studiată conține doar o tendință. Dacă coeficientul de autocorelare de ordinul lui m s-a dovedit a fi cel mai mare, atunci seria conține fluctuații ciclice cu o periodicitate de m puncte de timp. Dacă niciunul dintre coeficienții de autocorelare nu este semnificativ, se poate face una din două ipoteze cu privire la structura acestei serii: fie seria nu conține o tendință și fluctuații ciclice, fie seria conține o tendință neliniară pronunțată, ceea ce necesită o analiză suplimentară. pentru a identifica. Prin urmare, este recomandabil să se utilizeze coeficientul de autocorelare și funcția de autocorelare pentru a identifica componenta de tendință și componenta ciclică (sezonieră) în seria temporală. Astfel, atunci când se studiază serii de timp staționare complexe, sarcina principală este identificarea și eliminarea autocorelației.

Procese non-staționare spre deosebire de cele staționare, ele diferă prin faptul că își schimbă toate caracteristicile în timp. Mai mult, această schimbare poate fi atât de semnificativă încât dinamica unui indicator va reflecta dezvoltarea unui indicator complet diferite procese. Toate interrelațiile și interdependențele obiectului de prognoză se modifică în timp. Mai mult, structura și direcția de interacțiune a elementelor care alcătuiesc obiectul prognozei se modifică și ele în timp. În funcție de cât de mult se modifică incrementele în timp OUT), procesele nestaţionare pot fi împărţite şi în două subgrupe: 1) procese evolutive; 2) procese haotice.

Dacă crește OUT) crește treptat în timp, ca urmare a modificărilor cantitative și calitative care apar în sistem, a căror reflectare este implementarea unei serii non-staționare, apoi aceste procese pot fi numite evolutiv.În acelaşi timp, raportul D K(7)/T(? + 7), care caracterizează creşterea incertitudinii, are o valoare crescândă în timp. T dinamica - de la zero la infinit. Când incrementele OUT) nu au nicio tendință suficient de pronunțată în timp și modificările lor sunt haotice (de exemplu, la prima observație OUT) poate fi destul de mare în comparație cu indicatorul în sine U(T)), atunci astfel de procese pot fi clasificate ca haotic. Natura haotică a dinamicii apare în acele cazuri când fie procesul în sine este neinerțial și dinamica dezvoltării sale se schimbă ușor sub influența factorilor externi sau interni, fie când procesul inerțial este afectat de factori externi cu o asemenea forță încât structura internă a procesului „se rupe” sub influența lor, interconexiunile și dinamica acestuia. Cu alte cuvinte, dinamica evolutivă caracterizează proces de adaptare obiect la influențele externe și interne și dinamica haotică - lipsa capacității de adaptare a unui obiect.

Natura complexă a dinamicii non-staționare predetermină complexitatea aparatului de modelare și predicție a acestei dinamici. Prognoza componentelor evolutive ale situației economice până de curând nu a intrat în domeniul de vedere al specialiștilor în previziunea socio-economică - doar în anul trecut secțiunile relevante au început să fie incluse în manualele de prognoză. În practică, procesele evolutive pur și simplu nu au fost evidențiate ca un grup separat, iar pentru analiza și prognoza lor s-au folosit metodele econometriei clasice, fără a se gândi la corectitudinea unei astfel de aplicații. Utilizarea aparatului de prognoză, incompatibil din punct de vedere metodologic cu proprietățile obiectului de prognoză, conduce la erori grave în alegerea instrumentelor și la dispersie semnificativă a prognozei în practica de prognoză a dinamicii socio-economice. Pentru a prezice seria temporală a indicatorilor socio-economici de tip evolutiv, este justificată metodologic să se folosească metode adaptative de prognoză. Problemele de predicție a serii haotice de dinamică socio-economică sunt în prezent rezolvate folosind teoria haosuluiși teoria catastrofei.

În continuare, vom lua în considerare metode de predicție staționară complexă și non-staționară evolutivă procese dinamice. Pentru serii din tipurile de mai sus, statisticienii englezi D. Box și W. Jenkins la mijlocul anilor 1990. a fost dezvoltat un algoritm de prognoză. Ierarhia algoritmilor Box-Jenkins include mai multi algoritmi, cel mai faimos si folosit dintre ei este algoritmul AYA1MA. Este încorporat în aproape orice pachet specializat de prognoză. În varianta clasică LYA1MA nu se folosesc variabile independente. Modelele se bazează doar pe informațiile conținute în istoria seriei prezise, ​​ceea ce limitează capacitățile algoritmului. În prezent în literatura stiintifica sunt adesea menționate variante de model AYA1MA, permiţând luarea în considerare a variabilelor independente.

Modele AYA1MA se bazează în principal pe structura de autocorelare a datelor. În metodologie AYA1MA nu este furnizat un model clar pentru prognoza acestei serii cronologice. Este specificată doar o clasă generală de modele, care descriu o serie de timp și permit cumva exprimarea valorii curente a unei variabile prin valorile sale anterioare. Apoi algoritmul AYA1MA, stabilind parametrii modelelor, el alege cel mai potrivit model de prognoză. Există o întreagă ierarhie a modelelor Box-Jenkins. În mod logic, poate fi definit astfel:

AZ(p) + MA(d) -> AYAMA(p, d) AYAMA(p, d)(P, 0 ->

-? AR1MA(p, d, d)(P, 0 eu) ... (6.10)

Unde AYA (p) - modelul de ordine autoregresiv p MA(d) - modelul de ordine medie mobilă d; AYAMA(r, d) - model combinat de autoregresie și medie mobilă; AYAMA(r, e) (P, O)- model de netezire exponenţială; AYA1MA(r, e, d) (P, 0 eu)- modelarea procesului evolutiv non-staţionar cu tendinţă liniară.

Primele trei modele aproximează dinamica serii de timp staționare complexe, următoarele două modele aproximează dinamica serii de timp nestaționare evolutive. Modelul este considerat acceptabil dacă reziduurile (în mare parte mici) sunt distribuite aleatoriu și nu conțin informații utile. Dacă modelul dat este nesatisfăcător, procesul se repetă, dar folosind un nou model îmbunătățit. Această procedură iterativă se repetă până când se găsește un model satisfăcător. Din acest punct, modelul dat poate fi utilizat în scopuri de prognoză.

În model ASHMA nivelul intervalului dinamic la este definită ca suma ponderată a valorilor sale anterioare și a valorilor reziduale de exemplu - actuale și anterioare. Combină modelul autoregresiv de ordine Rși un model de ordine medie mobilă c. Tendința este inclusă în LSMA folosind operatorul seriei cu diferențe finite y g Pentru a filtra o tendință liniară se folosesc diferențe de ordinul 1, pentru a filtra o tendință parabolică - diferențe de ordinul 2 etc. Diferență al trebuie să fie staționar. Vedere model ASHMA, adecvarea acestuia la procesul real și proprietățile predictive depind de ordinea autoregresiunii Rși ordinea mediei mobile

Momentul cheie al modelării este procedura de identificare – fundamentare a tipului de model. În metoda standard ASHMA identificarea se reduce la o analiză vizuală a autocorelogramelor și se bazează pe principiul economiei, conform căruia (p + comanda ashma (R, (1 , (Rya, A?, 05). În acest fel, identificarea seriilor temporale se numește construcția unui model adecvat pentru o serie de reziduuri, în care reziduurile sunt „zgomot alb”, iar toți regresorii sunt semnificativi.

Luați în considerare câteva modele ASHMA Mai Mult. Model autoregresiv Ordin R are forma

Y, = Ro + P1 La,-1 + P 2 T/- 2 + + P R U, - R+ e, (* = I 2, ..., P), (6.11)

unde P 0 , p., ..., p sunt unele constante; G (- nivelul de „zgomot alb” care poate fi omis.

Dacă procesul aflat în studiu laîn momentul în care Г este determinat de valorile sale numai în perioada anterioară 7-1, atunci obținem un model autoregresiv de ordinul întâi

U,\u003d P 0 + P1L-1 + e, (7 \u003d 1,2, ..., "), (6.12)

LA modele medii mobile este dată valoarea simulată funcție liniară de la perturbări (reziduuri) din perioadele anterioare. Modelul mediei mobile de ordinul q are forma

Y,= e 1 -Y 1 e, -1-Y 2 e, - 2 - - -Y, e, -, (7 \u003d 1,2, ..., "), (6.13)

unde y p u., ..., y sunt niște constante; e - erori.

Adesea, se folosește un model combinat autoregresiv și mediu mobil, care are forma

Y, = Ro + R.L-, + RzYa-2+- + RpU "-r +?1 - U&-1 - U 2^-2 -???- U&-Z (6.14)

Opțiuni Rși

• 1) un parametru (R), dacă funcția de autocorelare (ACF) scade exponențial;
• 2) doi parametri de autoregresie (R), dacă ACF are formă de sinusoid sau scade exponențial;
• 3) un parametru medie mobilă (
• 4) doi parametri ai mediei mobile (e) dacă ACF are valori aberante pe întârzierile 1 și 2 și nu există nicio corelație cu alte întârzieri.

Predicție adaptivă

Când se studiază serii temporale evolutive non-staționare, se folosește prognoză adaptivă. Metode adaptive de prognoză este un set de modele de reducere a datelor care își pot adapta structura și parametrii la condițiile în schimbare. La estimarea parametrilor modelelor adaptative, observațiilor (nivelurile seriei) li se atribuie ponderi diferite în funcție de cât de puternică este recunoscută influența lor asupra nivelului curent. Acest lucru vă permite să luați în considerare schimbările în tendință, precum și orice fluctuații în care un model poate fi urmărit. Metodele de prognoză adaptivă sunt selecția și adaptarea modelelor de prognoză pe baza informațiilor nou primite. Cele mai comune dintre acestea includ metoda de netezire exponențială și metoda Helwig a greutăților armonice.

Metoda de netezire exponențială. Particularitatea sa constă în faptul că în procedura de aliniere pentru fiecare observație sunt utilizate numai valorile nivelurilor anterioare ale seriei de timp, luate cu o anumită pondere. Greutatea fiecărei observații scade pe măsură ce se îndepărtează de momentul pentru care este determinată valoarea netezită. Valoarea netezită a nivelului seriei 5 la momentul / este determinată de formulă

5, \u003d da, + (1-a) 5,_ 1, (6.15)

unde 5 este valoarea mediei exponențiale la momentul /; 5 / _ 1 - valoarea mediei exponenţiale în momentul de faţă (/ - 1); ? - valoarea procesului economic la momentul respectiv /; a - ponderea valorii /-a a seriei de dinamică (sau a parametrului de netezire, ale cărui valori variază de la zero la unu).

Aplicarea consecventă a formulei (6.15) face posibilă calcularea mediei exponențiale prin valorile tuturor nivelurilor unei anumite serii de timp. În plus, pe baza formulei (6.15), se determină medii exponențiale de ordinul I, adică. medii obţinute direct prin netezirea datelor iniţiale ale seriei temporale. În cazurile în care tendința după netezire a seriei originale nu este clar definită, procedura de netezire se repetă, de exemplu. calculați medii exponențiale de ordinul al doilea, al treilea etc., folosind expresiile (6.16-6.18):

unde 5^ este media exponențială OMS comanda la un moment dat eu (k = 1,

2, 3,..., P).

Pentru model liniar la = a 0 + a și conditiile initiale sunt urmatoarele:

? - a - a2 (1~a) A^O(y) „O„R (y) „Oh a”

Medii exponențiale de ordinul întâi și al doilea pentru acest model:

5,1" = Ay,+ (1? - a)5™5,1 "= a5|" + (1 - a) a 5-a

Prognoza se realizează după formula y *= i 0 + i,/. Mai mult, parametrii un 0și A ( respectiv egale

• (6.19)
• (6.20)

Eroarea de prognoză este determinată de formulă

) / (G-a) [* -4 (1 - a) + 5 (1 - a) 2 + 2a (4-3a)

/ + 2 o h

Unde da - eroare standard de abatere de la o tendință liniară.

Metoda greutăților armonice. Această metodă a fost dezvoltată de statisticianul polonez Z. Helwig. Este aproape de metoda simplă de netezire exponențială, folosește același principiu. Se bazează pe ponderarea unui indicator în mișcare, dar în loc de o medie mobilă, este folosită ideea unei tendințe în mișcare. Extrapolarea pro-

se efectuează pe o tendință în mișcare, punctele individuale ale poliliniei sunt ponderate folosind ponderi armonice, ceea ce permite observațiilor mai recente să li se acorde mai multă pondere. Metoda ponderilor armonice se bazează pe următoarele ipoteze:

• perioada de timp pentru care se studiază procesul economic trebuie să fie suficient de lungă pentru a putea determina tiparele acestuia;
• seria inițială de dinamică nu ar trebui să aibă salturi

• un fenomen socio-economic trebuie să aibă inerție, i.e. pentru ca o schimbare semnificativă a caracteristicilor procesului să apară, trebuie să treacă o perioadă semnificativă de timp;
• abaterile de la tendința de mișcare sunt aleatorii;
• funcția de autocorelare calculată din diferențe succesive trebuie să scadă odată cu creșterea /, adică. efectul informațiilor mai recente ar trebui să se reflecte mai puternic în valoarea prezisă decât în ​​informațiile originale.

Pentru a obține o prognoză precisă prin metoda greutăților armonice, este necesar să se îndeplinească toate cerințele de mai sus pentru seria temporală inițială. Pentru a utiliza această metodă, seria originală este împărțită în faze la. Numărul de faze trebuie să fie mai mic decât numărul de membri ai seriei P, adică k De obicei, faza este de trei până la cinci niveluri. Pentru fiecare fază, se calculează o tendință liniară, adică

Y t \u003d a,+ V 0" = 1, 2 ,P - la + 1).

Mai mult, pentru / egal cu unu, Γ = 1, 2,..., la; pentru / egal cu doi, Γ = 2, 3,..., la+1; pentru / egal cu p - k+ 1, r = i - k + ,n - k +2,..., P. Pentru evaluarea parametrilor A. (și b w se utilizează metoda celor mai mici pătrate. Cu ajutorul celor primite (n - k + 1) ecuațiile sunt determinate de valorile tendinței de mișcare. În acest scop, valorile y (tsu pentru care Г = /, se notează y.^. Lasa-i sa fie Pu Apoi se găsește media YT conform formulei

După aceea, este necesar să se testeze ipoteza că abaterile de la tendința de mișcare sunt un proces staționar. În acest scop, se calculează o funcție de autocorelare. Dacă valorile funcției de autocorelare scad de la o perioadă la alta, atunci a cincea premisă a acestei metode este îndeplinită. Apoi, incrementele sunt calculate prin formula

Câștigul mediu este calculat prin formula

unde С" +| - coeficienți armonici care îndeplinesc condițiile є +1 > 0 (/ = 1,2, P- 1) și ^C," (= 1.

Expresia (6.25) permite ca informațiilor ulterioare să li se acorde ponderi mai mari, deoarece câștigurile sunt invers proporționale cu timpul care separă informația originală de cea ulterioară pentru moment Г = P. Dacă informaţia iniţială are greutate t 2 \u003d / [n - 1), atunci

ponderea informațiilor referitoare la următorul punct în timp este egală cu

t, \u003d t 2 - 1--- = --I---. (6,26)

3 2 p-2 p- 1 /7-2

LA vedere generala o serie de greutăţi armonice este definită ca

= t,l--

• (/ = 2, 3, , P 1),
• (6.27)

^t, +1 = /7 -1. (6,29)

Pentru a obține coeficienții armonici C," îndeplinind cele două condiții de mai sus, ponderile armonice t 1+1 trebuie împărțit la (P - 1), adică

U,= U/ + Yu (6,31)

in conditia initiala Y* = Yd,y Aceasta metoda prognoza este utilizată atunci când există încredere că tendința în viitor este descrisă de o curbă netedă, adică nu există fluctuații sezoniere și ciclice în serie. Astfel, înainte de a prezice evoluția obiectului studiat, este necesar să se tragă o concluzie despre staționaritatea sau nestaționaritatea seriei de timp. Această poziție poate fi verificată folosind testul Dickey-Fuller. Procesul de generare de bază utilizat în test este un proces autoregresiv de ordinul întâi:

y (= t 0 + t ( / + a-y(_(+ e /? (6,32)

Unde t 0 , t ( IG - coeficienți constanți, care poate fi găsit folosind cele mai mici pătrate; ? - eroare aleatorie care poate să nu fie luate în considerare.

Dacă condiția 0 r 1 este îndeplinită, atunci seria este staționară. La r 0 și g> 1, atunci seria temporală studiată nu este staționară.

Caracteristicile serii de timp. Pentru un studiu mai detaliat al seriilor temporale se folosesc modele probabilistic-statistice. În acest caz, seria temporală X(t) este considerată ca un proces aleatoriu (cu timp discret), principalele caracteristici sunt așteptarea matematică X(t), adică.

varianța X(t), adică

și funcția de autocorelare a seriei temporale X(t)

acestea. funcția a două variabile, egal cu coeficientul corelații între două valori ale seriei temporale X(t) și X(s).

În cercetarea teoretică și aplicată, sunt luate în considerare o gamă largă de modele de serie de timp. Să selectăm mai întâi modele staționare. Ele au funcții de distribuție comune pentru orice număr de puncte de timp k și, prin urmare, toate caracteristicile seriei de timp enumerate mai sus nu se modifică în timp. În special, media și varianța sunt constante, funcția de autocorelare depinde numai de diferențe t-s. Serii temporale care nu sunt staționare se numesc non-staționare.

O serie temporală este înțeleasă ca o secvență ordonată în timp de valori a uneia sau a unui set finit de variabile aleatoare. În primul caz, se vorbește de o serie de timp unidimensională, în al doilea, o serie de timp multidimensională. Aici vor fi luate în considerare doar seriile de timp unidimensionale. O serie temporală unidimensională se numește staționară dacă caracteristicile sale probabilistice sunt constante. O serie temporală se numește nestaționară dacă cel puțin una dintre caracteristicile probabilistice nu este constantă. Secvența de variabile aleatoare y 1 , y 2 , . . . sau y -1 , y 0 , y 1 , . . se numește proces aleatoriu cu un parametru de timp discret.

Deoarece succesiunea în timp de apariție a următoarei valori a seriei de timp este importantă, și nu o valoare specifică a timpului de apariție, în seria de timp, numărul valorii de referință a seriei de timp este folosit ca argument. De exemplu:

x(1), x(2), ... ,x(k), ...

unde x(k) este valoarea seriei de timp în a k-a observație în ordine; k - numărul de observație.

În majoritatea aplicațiilor practice, seriile de timp sunt considerate staționare și non-staționare din punct de vedere al așteptărilor matematice cu o lege normală de distribuție a valorilor seriei. Înseamnă că:

serie staționară: x(k) є (µ, y 2) , µ = const, y 2 = const;

serie nestaționară: x(k) є (µ, y 2) , µ = var, y 2 = const.

Mai jos este implementarea unei serii de timp staționare:

Previzibilitatea serii temporale.

Pentru a prezice o serie temporală, este necesar să-i construim modelul. Previzibilitatea unei serii este posibilă numai atunci când există o relație probabilistică (analitică) între valorile ulterioare ale seriei și cele anterioare. Predictibilitatea unei serii de timp staționare este determinată folosind funcția de autocorelare (ACF):

c(m) = M[(x(k) - µ)*(x(k + m) - µ)]/y 2

unde: c(m) - valoarea funcției de autocorelare la deplasarea m a seriei temporale x(k)

Estimările ACF ale seriei au forma:

Este evident că c(0) = 1, deoarece aceasta este corelația seriei de timp pe sine.

Seria temporală staționară este previzibilă dacă m>0 există c(m) ? 0.

O serie de timp staționară este imprevizibilă dacă pentru orice m>0 c(m) = 0. O astfel de serie se numește „zgomot alb”.

Deoarece ACF este valorile coeficienților de corelație, este o funcție a valorilor non-aleatoare.

Estimarea ACF se realizează în funcție de implementarea seriei de timp. Dacă implementarea conține n valori, atunci estimarea funcției de autocorelare este:

unde: r(m) - estimare ACF; x - valoarea medie a implementării seriei temporale; S 2 - estimarea varianței implementării seriei de timp.

Când se verifică predictibilitatea unei serii de timp, lungimea implementării ar trebui să fie de cel puțin 20 - 30 de observații.

De remarcat faptul că prognozarea seriilor temporale prin metoda luată în considerare presupune îndeplinirea a două condiții:

• 1. Variabila aleatoare e(k) a „zgomotului alb”, ca componentă a modelelor, trebuie să respecte legea normală distribuție cu așteptare matematică zero și varianță finită y e 2 .
• 2. Dispersia „zgomotului alb” y e 2 trebuie să fie constantă.

Formula de calcul al prognozei este:

x(k) = 27,2661 - 0,900766*

unde x(k) este prognoza modelului pentru k-a valoare a seriei de timp.

Identificarea modelului de serie temporală staționară

Identificarea modelului. Pentru a prezice performanța viitoare pe baza seriilor de timp disponibile, este necesar să se identifice modelul care descrie cel mai bine procesul de generare a unei serii de timp eșantion. Pentru a identifica un astfel de model, puteți utiliza funcția de autocorelare calculată. Dintre numeroasele modele de descriere a dinamicii seriilor temporale, trei sunt cel mai des folosite: modelul de zgomot alb, modelul autoregresiv de ordinul întâi și modelul autoregresiv de ordinul doi. Dacă funcția de autocorelare calculată este o colecție de autocorelații nesemnificative, acesta este un indiciu clar că variabilitatea în timp dată a seriei a n-a este cel mai bine caracterizată ca „zgomot alb” sau fluctuații aleatorii.

Ideea principală care stă la baza identificării unui model de serie temporală rămâne aceeași atât pentru modelele simple, cât și pentru cele complexe: corespondența structurii de date observate cu o structură cunoscută asociată cu o anumită clasă de modele. După ce modelul a fost identificat anterior, parametrii acestuia sunt estimați.

Verificare de diagnosticare. Deoarece identificarea unui model de serie temporală se bazează într-o oarecare măsură pe o procedură subiectivă, se recomandă uneori evaluarea adecvării modelului identificat prin testarea semnificației funcției de autocorelare a reziduurilor acestui model. Acest lucru este util deoarece reziduurile modelului seriei temporale nu sunt autocorelate.

Cu toate acestea, funcția de autocorelare a unei serii de timp staționare nu permite cuiva să identifice în mod unic modelul seriei. Acest lucru este posibil folosind a doua funcție suplimentară - funcția de autocorelare privată (PACF). Valorile FACF sunt valoarea coeficientului m-lea în reprezentarea seriilor temporale prin procesul autoregresiv de ordinul m. Să existe o serie temporală staționară x(k). Luați în considerare următoarele reprezentări ale seriilor temporale prin procesul autoregresiv:

x(k) - m = a 11 *

x(k) - m = a 12 * + a 22 *

x(k) - m = a 13 * + a 23 * + a 33 *

... ... ... ... ... ... ... ... ...

x(k) - m = a 1 * + a 2 * + a 33 * + ... + a mm *

Valorile FACF pentru deplasările 1, 2, 3, ..., m sunt valorile coeficienților: a 11 , a 22 , a 33 , ..., a mm . Diagrama CHAF poate arăta astfel:

După estimarea FACF, este necesar ca fiecare m să testeze ipoteza că coeficientul corespunzător de autocorelație parțială este egal cu zero. În programele de prelucrare a datelor statistice, se calculează valori critice pentru fiecare dintre coeficienți, care pe graficul de estimare a FACF iau forma unor limite de control.

La identificarea unui model, de regulă, se folosesc următoarele reguli:

• 1. Dacă primele h valori ale ACF sunt diferite de zero și FACF tinde asimptotic la zero în modul, atunci are loc procesul АРСС(0,h) - media mobilă a ordinului h.
• 2. Dacă h din primele valori ale PACF sunt diferite de zero și ACF tinde asimptotic la zero în modul, atunci are loc procesul АРСС(h,0) - autoregresia de ordinul h.
• 3. Dacă valorile ACF și PACF tind asimptotic la zero în modul, atunci are loc un proces mixt АРСС(p,q).

Se spune că o serie temporală stocastică este staționară dacă media, varianța, autocovarianța și autocorelația ei sunt constante în timp.

Principalele modele liniare ale serii de timp staționare sunt:

1. modele de autoregresie;
2. modele cu medii mobile;
3. modele de autoregresie cu medie mobilă.

Nivelul seriei temporale reprezentat de modelul de autoregresie de ordine R, poate fi reprezentat astfel:

y t =δ 1 y t-1 +δ 2 y t-2 +…+δ p y t–p +ν t ,

vt- Zgomot alb ( valoare aleatorie cu zero așteptări matematice)

În practică, cel mai adesea pot fi utilizate modele autoregresive ale primului, al doilea, maxim al treilea ordine.

Model autoregresiv de ordinul întâi AP(1) se numește „proces Markov” deoarece valorile variabilei y la ora curentă t depind doar de valorile variabilei y la momentul anterior (t–1) Acest model are forma:

y t =δy t–1 +ν t.

Pentru model AP(1) exista o restrictie |δ|<1 .

y t =δ 1 y t-1 +δ 2 y t-2 +ν t.

1. (δ 1 + δ 2)<1;
2. (δ 1 –δ 2)<1;
3. |δ 2 |<1 .

Modelele medii mobile ᴏᴛʜᴏϲᴙ sunt reduse la o clasă simplă de modele de serie de timp cu un număr finit de parametri, care pot fi obținute prin reprezentarea nivelului seriei de timp ca suma algebrică a termenilor seriei de zgomot alb cu numărul de termeni. q.

Modelul de comandă cu medie mobilă generală q se pare ca:

y t =ν t –φ 1 ν t–1 –φ2ν t–2 –…–φqν t –q,

unde q este ordinea modelului mediei mobile;

φ t – coeficienții necunoscuți ai modelului de estimat;

ν t este zgomot alb.

Model de comandă medie mobilă q notat ca CC(q) sau MA(q)

În practică, modelele medii mobile ale primei CC(1)și de ordinul doi CC(2)

Coeficienți de model de ordine medie mobilă q nu trebuie să însumați unul și nu trebuie să fiți pozitiv.

Pentru a obține o mai mare flexibilitate a modelului seriei de timp în modelarea econometrică, în acesta sunt incluși atât termeni autoregresivi, cât și termeni medii mobile. Astfel de modele sunt numite modele mixte de autoregresie cu medie mobilă și sunt, de asemenea, legate de modele liniare ale serii de timp staționare.

Cel mai adesea, în practică, un model mixt ARCC(1) este utilizat cu un parametru autoregresiv p=1 și un parametru medie mobilă. q=1. Acest model arata astfel:

y t =δy t–1 +ν t –φν t–1 ,

φ este parametrul procesului mediei mobile;

ν t este zgomotul alb.

Coeficienții acestui model sunt supuși următoarelor restricții:

1. |δ|<1 este condiția care asigură staționaritatea modelului mixt;
2. | φ |‹1 este condiţia care asigură reversibilitatea modelului mixt.

Proprietatea de reversibilitate a modelului mixt APCC(p,q) înseamnă că modelul medie mobilă poate fi inversat sau rescris ca model autoregresiv de ordin nelimitat și invers.

Algoritm pentru construirea unui model de serie temporală pe exemplul modelelor aditive și multiplicative

Algoritmul pentru construirea unui model de serie temporală care include fluctuații ciclice constă din principalele etape, al căror conținut este oarecum diferit pentru modelele aditive și multiplicative.

Să simplificăm modelul introducând o singură denumire pentru componenta ciclică a seriei, indiferent de durata ciclului, sau de natura sa sezonieră sau oportunistă. Să notăm că este t . Atunci modelul aditiv va lua forma y t = u t + s t + e t , iar unul multiplicativ - y t = u t * s t * e t .

Deci, principalele etape ale construirii unui model:

1) Netezirea seriei originale pe baza unor medii, care sunt calculate pe o perioadă de timp corespunzătoare duratei ciclului.

2) Determinarea valorilor componentei ciclice sau sezoniere (pentru mai multe detalii, a se vedea Eliseeva I.I., Kurysheva S.V., Kosteeva T.V. et al. Econometrics: Textbook. - M .: Finance and Statistics, 2001. - P. 242-251. ). Pentru un model aditiv, suma valorilor acestei componente pentru toate perioadele unui ciclu trebuie să fie egală cu zero, iar într-un model multiplicativ, trebuie să fie egală cu numărul de perioade dintr-un ciclu. Aceasta asigură răscumpărarea reciprocă a componentei ciclice.

3) Îndepărtarea componentelor ciclice din model. În modelul aditiv, se realizează prin scădere, după care modelul va lua forma y t = u t + e t . În modelul multiplicativ, se realizează prin împărțire, după care modelul va lua forma y t = u t * e t .

4) Alinierea analitică a seriei obţinute y t = u t + e t sau y t = u t * e t pe baza construcţiei ecuaţiei de tendinţă y t = f(t).

5) Componenta ciclică se adaugă la nivelurile obținute ale seriei (în cazul unui model aditiv) sau se înmulțește cu aceasta (în cazul unui model multiplicativ): y t = f(t) + s t sau y t = f( t) * s t .

6) Compararea valorilor calculate ale nivelurilor seriei, obținute cu ajutorul modelului construit, cu valorile reale. Evaluarea modelului rezultat, calculul erorilor.

Seriile temporale sunt de natură stocastică și, în consecință, pentru ele pot fi calculate diverse caracteristici probabilistice.

O serie de timp staționară este o serie de timp pentru care toate caracteristicile probabilistice sunt constante.

Aceasta înseamnă că indiferent de fragmentul seriei temporale pe care îl luăm, caracteristicile probabilistice ale valorilor indicatorului vor fi aceleași ca pentru orice alt interval de timp al acestei serii. Nu există o componentă de tendință în seria staționară.

O serie temporală nestaționară nu are această proprietate.

Serii temporale vizuale staționare și nestaționare sunt prezentate în Figura 5.1.

Distinge concepte slabși stationaritate strictă. Pentru a considera o serie ca slab staționară sau staționară în sensul larg al cuvântului, este suficient ca aceasta să aibă așteptări matematice constante, varianță și coeficienți de autocorelare. Pentru o definire mai riguroasă a staționarității este necesară și constanța altor caracteristici probabilistice (funcția de distribuție trebuie să fie aceeași), care sunt studiate în detaliu în cursul teoriei probabilităților.

Trebuie amintit că orice serie strict staționară este, de asemenea, slab staționară, dar nu invers. Astfel, intersecția (partea comună) a mulțimii de serii slab staționare și mulțimea de serii strict staționare este mulțimea de serii strict staționare. Unirea setului de serii slab staționare și setul de serii strict staționare este setul de serii slab staționare (deoarece seriile strict staționare sunt incluse în seriile slab staționare).

Un exemplu de serie temporală staționară ar fi „zgomotul alb” în modelele de regresie (adică valorile ordonate în timp ale componentei aleatoare pentru care media și varianța sunt constante (caz în care valoarea așteptată a reziduului este zero) și aceste valori sunt necorelate între ele).

Seria ergodica. O proprietate importantă a unor serii staţionare este proprietatea ergodicitatea. Esența acestei proprietăți este că, pentru o serie ergodică, așteptarea matematică a nivelurilor sale în spațiu coincide cu așteptarea matematică a nivelurilor sale în timp.

Fie pentru un proces slab staționar în orice moment t așteptarea valorii M(y t) = µ (aceasta este așteptarea în spațiu). Așteptarea matematică în timp este media n valori ale seriei de timp la n ® ¥. Dacă , atunci o astfel de serie este ergodică.

Cu alte cuvinte, pentru o serie de timp staționară, valoarea medie pe setul de realizări pentru anumite momente de timp este egală cu media în timp calculată pentru o realizare.