Gradient de funcțieîntr-un punct se numește vector ale cărui coordonate sunt egale cu derivatele parțiale corespunzătoare și se notează.

Dacă luăm în considerare vectorul unitar e=(), atunci conform formulei (3), derivata în direcție este produsul scalar al gradientului și vectorul unitar care specifică direcția. Se știe că produsul scalar a doi vectori este maxim dacă au aceeași direcție. Prin urmare, gradientul funcției într-un punct dat caracterizează direcția și mărimea creșterii maxime a funcției în acest punct.

Teorema . Dacă funcția este diferențiabilă și în punctul M 0 Dacă valoarea gradientului este diferită de zero, atunci gradientul este perpendicular pe linia de nivel care trece prin punct datși este îndreptată în același timp în direcția creșterii funcției

CONCLUZIE: 1) Derivata unei funcții într-un punct de-a lungul direcției determinate de gradientul acelei funcție în punctul specificat are o valoare maximă în comparație cu derivata în acel punct de-a lungul oricărei alte direcții.

• 2) Valoarea derivatei unei funcţii în direcţie, care determină gradientul acestei funcţii într-un punct dat, este egală cu.
• 3) Cunoscând gradientul funcției în fiecare punct, este posibil să se construiască linii de nivel cu o anumită eroare. Să începem de la punctul M 0 . Să construim un gradient în acest moment. Setați direcția perpendiculară pe gradient. Să construim o mică parte a liniei de nivel. Luați în considerare un punct apropiat M 1 , construiți un gradient la el și așa mai departe.

Din curs şcolar Matematicienii știu că un vector pe un plan este un segment direcționat. Începutul și sfârșitul lui au două coordonate. Coordonatele vectoriale sunt calculate scăzând coordonatele de început din coordonatele de final.

Conceptul de vector poate fi extins și la un spațiu n-dimensional (în loc de două coordonate vor fi n coordonate).

Gradient grad z al funcției z = f(x 1 , x 2 , … x n) este vectorul derivatelor parțiale ale funcției într-un punct, adică. vector cu coordonate .

Se poate dovedi că gradientul unei funcții caracterizează direcția celei mai rapide creșteri a nivelului funcției într-un punct.

De exemplu, pentru funcția z \u003d 2x 1 + x 2 (a se vedea figura 5.8), gradientul în orice punct va avea coordonate (2; 1). Poate fi construit pe plan în diferite moduri, luând orice punct ca început al vectorului. De exemplu, puteți conecta punctul (0; 0) la punctul (2; 1), sau punctul (1; 0) la punctul (3; 1) sau punctul (0; 3) la punctul (2; 4), sau t .P. (vezi figura 5.8). Toți vectorii construiți în acest fel vor avea coordonatele (2 - 0; 1 - 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Figura 5.8 arată clar că nivelul funcției crește în direcția gradientului, deoarece liniile de nivel construite corespund valorilor nivelului 4 > 3 > 2.

Figura 5.8 - Funcția gradient z \u003d 2x 1 + x 2

Luați în considerare un alt exemplu - funcția z = 1/(x 1 x 2). Gradientul acestei funcții nu va mai fi întotdeauna același în puncte diferite, deoarece coordonatele sale sunt determinate de formulele (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)).

Figura 5.9 prezintă liniile de nivel ale funcției z = 1/(x 1 x 2) pentru nivelurile 2 și 10 (linia 1/(x 1 x 2) = 2 este indicată printr-o linie punctată, iar linia
1 / (x 1 x 2) \u003d 10 - linie continuă).

Figura 5.9 - Gradienții funcției z \u003d 1 / (x 1 x 2) în diferite puncte

Luați, de exemplu, punctul (0,5; 1) și calculați gradientul în acest punct: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . Rețineți că punctul (0,5; 1) se află pe linia de nivel 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, deoarece z \u003d f (0,5; 1) \u003d 1 / (0,5 * 1) \u003d 2. Pentru reprezentați vectorul (-4; -2) în Figura 5.9, conectăm punctul (0.5; 1) cu punctul (-3.5; -1), deoarece
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Să luăm un alt punct de pe aceeași linie de nivel, de exemplu, punctul (1; 0,5) (z = f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Calculați gradientul în acest punct
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Pentru a o reprezenta în Figura 5.9, conectăm punctul (1; 0.5) cu punctul (-1; -3.5), deoarece (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - patru).

Să mai luăm un punct pe aceeași linie de nivel, dar abia acum într-un sfert de coordonate nepozitiv. De exemplu, punctul (-0,5; -1) (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Gradientul în acest punct va fi
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Să o reprezentăm în Figura 5.9 conectând punctul (-0,5; -1) cu punctul (3,5; 1), deoarece (3,5 - (-0,5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).

Definiția 1

Dacă pentru fiecare pereche $(x,y)$ de valori a două variabile independente dintr-un domeniu este atribuită o anumită valoare de $z$, atunci $z$ se spune că este o funcție a două variabile $(x,y). )$. Notație: $z=f(x,y)$.

Luați în considerare funcția $z=f(x,y)$, care este definită într-un anumit domeniu în spațiul $Oxy$.

Prin urmare,

Definiția 3

Dacă pentru fiecare triplă $(x,y,z)$ de valori a trei variabile independente dintr-un domeniu este atribuită o anumită valoare $w$, atunci $w$ este o funcție a trei variabile $(x, y,z)$ în această zonă.

Desemnare:$w=f(x,y,z)$.

Luați în considerare funcția $w=f(x,y,z)$, care este definită într-un domeniu în spațiul $Oxyz$.

Pentru funcţie dată definiți un vector pentru care proiecțiile pe axele de coordonate sunt valorile derivatelor parțiale ale funcției date la un moment dat $\frac(\partial z)(\partial x) ;\frac(\partial z)(\ parțial y) $.

Definiția 4

Gradientul unei funcții date $w=f(x,y,z)$ este un vector $\overrightarrow(gradw) $ de următoarea formă:

Teorema 3

Să fie definit un câmp gradient într-un câmp scalar $w=f(x,y,z)$

\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\partial w)(\partial x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\partial w)(\partial y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\partial w)(\partial z) \cdot \overrightarrow(k) .\]

Derivata $\frac(\partial w)(\partial s) $ în direcția vectorului dat $\overrightarrow(s) $ este egală cu proiecția vectorului gradient $\overrightarrow(gradw) $ pe vectorul dat $\săgeată(e) overright(e) $.

Exemplul 4

Soluţie:

Expresia gradientului se găsește prin formula

\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\partial w)(\partial x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\partial w)(\partial y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\partial w)(\partial z) \cdot \overrightarrow(k) .\]

\[\frac(\partial w)(\partial x) =2x;\frac(\partial w)(\partial y) =4y;\frac(\partial w)(\partial z) =2.\]

Prin urmare,

\[\overrightarrow(gradw) =2x\cdot \overrightarrow(i) +4y\cdot \overrightarrow(j) +2\cdot \overrightarrow(k) .\]

Exemplul 5

Determinați gradientul unei funcții date

în punctul $M(1;2;1)$. Calculați $\left(|\overrightarrow(gradz) |\right)_(M) $.

Soluţie:

Expresia pentru gradient în punct dat găsi prin formulă

\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =\left(\frac(\partial w)(\partial x) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(i) +\left (\frac(\partial w)(\partial y) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(j) +\left(\frac(\partial w)(\partial z) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(k) .\]

Derivatele parțiale au forma:

\[\frac(\partial w)(\partial x) =2x;\frac(\partial w)(\partial y) =4y;\frac(\partial w)(\partial z) =6z^(2) .\]

Derivate în punctul $M(1;2)$:

\[\frac(\partial w)(\partial x) =2\cdot 1=2;\frac(\partial w)(\partial y) =4\cdot 2=8;\frac(\partial w)( \partial z) =6\cdot 1^(2) =6.\]

Prin urmare,

\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =2\cdot \overrightarrow(i) +8\cdot \overrightarrow(j) +6\cdot \overrightarrow(k) \]

\[\left(|\overrightarrow(gradw) |\right)_(M) =\sqrt(2^(2) +8^(2) +6^(2) ) =\sqrt(4+64+36) ) =\sqrt(104) .\]

Să enumerăm câteva proprietăți de gradient:

Derivata unei funcții date într-un punct dat de-a lungul direcției unui vector $\overrightarrow(s)$ are cea mai mare valoare dacă direcția vectorului dat $\overrightarrow(s)$ coincide cu direcția gradientului. În acest caz, această valoare cea mai mare a derivatei coincide cu lungimea vectorului gradient, i.e. $|\overrightarrow(gradw) |$.

Derivata functiei date fata de directia vectorului care este perpendiculara pe vectorul gradient, i.e. $\overrightarrow(gradw) $ este egal cu 0. Deoarece $\varphi =\frac(\pi )(2) $, atunci $\cos \varphi =0$; deci $\frac(\partial w)(\partial s) =|\overrightarrow(gradw) |\cdot \cos \varphi =0$.

FUNCȚIE DE GRADIENT u = f(x, y, z) specificate într-o regiune. spaţiu (X Y Z), există vector cu proiecţii notate prin simboluri: grad Unde i, j, k- vectori de coordonate. G. f. - există o funcție punct (X y, z), adică formează un câmp vectorial. Derivată în direcția lui G. f. în acest punct ajunge cea mai mare valoare si este egal cu: Direcția gradientului este direcția celei mai rapide creșteri a funcției. G. f. într-un punct dat este perpendiculară pe suprafaţa plană care trece prin acest punct. Eficiența utilizării G. f. în studii litologice s-a arătat în studiul eolian ex. Karakum central.

Dicţionar geologic: în 2 volume. - M.: Nedra. Editat de K. N. Paffengolts et al.. 1978 .

Vedeți ce este „FUNȚIA GRADIENT” în alte dicționare:

Acest articol este despre caracteristica matematică; despre metoda de umplere, vezi: Gradient (grafică pe computer) ... Wikipedia

- (lat.). Diferența dintre citirile barometrice și termometrice în diferite zone. Dicţionar cuvinte străine incluse în limba rusă. Chudinov A.N., 1910. Diferența de GRADIENT în citirile unui barometru și ale unui termometru în același moment ... ... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

gradient- Modificarea valorii unei cantități pe unitate de distanță într-o direcție dată. Un gradient topografic este modificarea cotei pe o distanță orizontală măsurată. Protecția releului EN gradient al caracteristicii de declanșare a protecției diferențiale … Manualul Traducătorului Tehnic

Gradient- un vector îndreptat spre cea mai rapidă creștere a funcției și egal ca mărime cu derivata sa în această direcție: unde simbolurile ei denotă vectorii unitari ai axelor de coordonate (orths) ... Dicţionar economic şi matematic

Unul dintre conceptele de bază ale analizei vectoriale și teoria mapărilor neliniare. Gradientul funcției scalare a argumentului vectorial din spațiul euclidian E n numit. derivată a funcției f (t) în raport cu argumentul vectorial t, adică un vector n-dimensional cu ... ... Enciclopedie matematică

gradient fiziologic- - o valoare care reflectă o modificare a lui k sau un indicator al unei funcții în funcție de o altă valoare; de exemplu, gradient presiune parțială diferența de presiuni parțiale, care determină difuzia gazelor din alveole (accinus) în sânge și din sânge în ... ... Glosar de termeni pentru fiziologia animalelor de fermă

I Gradient (din latină gradiens, genus gradientis walking) Un vector care arată direcția celei mai rapide modificări a unei cantități, a cărei valoare se schimbă de la un punct din spațiu la altul (vezi Teoria câmpului). Dacă valoarea ...... Marea Enciclopedie Sovietică

Gradient- (din lat. gradiens walking, walking) (la matematică) un vector care arată direcția creșterii celei mai rapide a unei funcții; (în fizică) o măsură a creșterii sau scăderii în spațiu sau pe un plan al unora cantitate fizica pe unitate ... ... Începuturile științelor naturale moderne

Cărți

• Metode de rezolvare a unor probleme ale secţiunilor selectate de matematică superioară. Practicum, Klimenko Konstantin Grigorievich, Levitskaya Galina Vasilievna, Kozlovsky Evgeny Alexandrovich. Acest atelier discută metode de rezolvare a unor tipuri de probleme din astfel de secțiuni ale cursului general acceptat de analiză matematică, cum ar fi limita și extremul unei funcții, gradient și derivată...

1 0 Gradientul este îndreptat de-a lungul normalei la suprafața de nivel (sau către linia de nivel dacă câmpul este plat).

2 0 Gradientul este direcționat în direcția creșterii funcției câmpului.

3 0 Modulul de gradient este egal cu cea mai mare derivată în direcția într-un punct dat al câmpului:

Aceste proprietăți dau o caracteristică invariantă a gradientului. Ei spun că vectorul gradU indică direcția și mărimea celei mai mari modificări în câmpul scalar la un punct dat.

Observație 2.1. Dacă funcția U(x,y) este o funcție a două variabile, atunci vectorul

se află în planul oxi.

Fie U=U(x,y,z) și V=V(x,y,z) funcții diferențiabile în punctul М 0 (x,y,z). Atunci sunt valabile următoarele egalități:

a) grad()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;

c) grad(U V)=gradU gradV; d) d) grad = , V ;

e) gradU( = gradU, unde , U=U() are o derivată în raport cu .

Exemplul 2.1. Este dată funcția U=x 2 +y 2 +z 2. Determinați gradientul funcției în punctul M(-2;3;4).

Soluţie. Conform formulei (2.2), avem

Suprafețele de nivel ale acestui câmp scalar sunt familia de sfere x 2 +y 2 +z 2 , vectorul gradU=(-4;6;8) este vectorul normal al planelor.

Exemplul 2.2. Aflați gradientul câmpului scalar U=x-2y+3z.

Soluţie. Conform formulei (2.2), avem

Suprafețele de nivel ale unui câmp scalar dat sunt planele

x-2y+3z=C; vectorul gradU=(1;-2;3) este vectorul normal al planelor acestei familii.

Exemplul 2.3. Aflați panta cea mai abruptă a suprafeței U=x y în punctul M(2;2;4).

Soluţie. Avem:

Exemplul 2.4. Aflați vectorul normal unitar la suprafața de nivel a câmpului scalar U=x 2 +y 2 +z 2 .

Soluţie. Suprafețele de nivel ale unui câmp-sferă scalar dat x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Gradientul este îndreptat de-a lungul normalei la suprafața de nivel, astfel încât

Definește vectorul normal la suprafața de nivel în punctul M(x,y,z). Pentru un vector normal unitar, obținem expresia

Exemplul 2.5. Aflați gradientul câmpului U= , unde și sunt vectori constanți, r este vectorul rază a punctului.

Soluţie. Lăsa

Apoi: . Prin regula de diferențiere a determinantului, obținem

Prin urmare,

Exemplul 2.6. Găsiți gradientul distanței, unde P(x,y,z) este punctul câmpului studiat, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) este un punct fix.

Soluţie. Avem vector de direcție unitar.

Exemplul 2.7. Aflați unghiul dintre gradienții funcțiilor în punctul M 0 (1,1).

Soluţie. Găsim gradienții acestor funcții în punctul M 0 (1,1), avem

; Unghiul dintre gradU și gradV în punctul M 0 se determină din egalitate

Prin urmare =0.

Exemplul 2.8. Aflați derivata față de direcția, vectorul rază este egal cu

Soluţie. Găsirea gradientului acestei funcții:

Înlocuind (2.5) în (2.4), obținem

Exemplul 2.9. Aflați în punctul M 0 (1;1;1) direcția celei mai mari modificări în câmpul scalar U=xy+yz+xz și mărimea acestei cele mai mari modificări în acest punct.

Soluţie. Direcția celei mai mari schimbări în câmp este indicată de vectorul grad U(M). Il gasim:

Prin urmare, . Acest vector determină direcția celei mai mari creșteri a acestui câmp în punctul M 0 (1;1;1). Valoarea celei mai mari modificări în câmp în acest moment este egală cu

Exemplul 3.1. Găsiți linii vectoriale câmp vectorial unde este un vector constant.

Soluţie. Asa avem

Înmulțiți numărătorul și numitorul primei fracții cu x, a doua cu y, a treia cu z și adăugați-o termen cu termen. Folosind proprietatea proporției, obținem

Prin urmare, xdx+ydy+zdz=0, ceea ce înseamnă

x 2 +y 2 +z 2 =A 1 , A 1 -const>0. Acum înmulțind numărătorul și numitorul primei fracții (3.3) cu c 1, a doua cu c 2, a treia cu c 3 și însumând-o termen cu termen, obținem

De unde c 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

Și, prin urmare, cu 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2-const.

Ecuații necesare ale liniilor vectoriale

Aceste ecuații arată că liniile vectoriale se obțin ca urmare a intersecției sferelor având un centru comun la origine cu plane perpendiculare pe vector. Rezultă că liniile vectoriale sunt cercuri ale căror centre sunt pe o dreaptă care trece prin origine în direcția vectorului c. Planurile cercurilor sunt perpendiculare pe dreapta specificată.

Exemplul 3.2. Găsiți linia vectorului câmp care trece prin punctul (1,0,0).

Soluţie. Ecuatii diferentiale linii vectoriale

Prin urmare avem. Rezolvarea primei ecuații. Sau dacă introducem parametrul t, atunci vom avea În acest caz, ecuația ia forma sau dz=bdt, de unde z=bt+c 2 .