engleski: Wikipedia čini stranicu sigurnijom. Koristite stari web pretraživač koji se neće moći povezati na Wikipediju u budućnosti. Ažurirajte svoj uređaj ili kontaktirajte svog IT administratora.

中文: 维基 百科 正 在 使 网站 旧 的, 这 在 将来 无法 连接 连接 百科 将来 无法 无法 连接 您 的 的 的 设备 或 的 的 管理员. 提供 更 长, 具 技术性 的 更新 仅 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语Zdravo).

španjolski: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el el futuro. Actualice su dispositivo ili contacte a su administrador informático. Más abajo hay una actualizacion más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Francais: Wikipedia je bientôt augmenter la securité de son site. Iskoristite aktuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplementaires plus tehnike et englais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ウィキペディア で は サイト の セキュリティ を て い ます.更新 更新 更新 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい HIP情報は以下に英語で提仁

Njemački: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Ostanite u pretraživaču na web-mjestu bez povezivanja na Wikipediju u budućnosti. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e technico na engleskom.

mađarski: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

Švedska: Wikipedia se nalazi na stranici. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Ažurirajte podatke ili kontakte kod IT administratora. Det finns en längre i mer tehnisk förklaring na engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Uklanjamo podršku za nesigurne verzije TLS protokola, posebno TLSv1.0 i TLSv1.1, na koje se softver vašeg pretraživača oslanja za povezivanje s našim web lokacijama. Ovo je obično uzrokovano zastarjelim pretraživačima ili starijim Android pametnim telefonima. Ili to može biti smetnja od korporativnog ili ličnog softvera "Web Security", koji zapravo smanjuje sigurnost veze.

Morate nadograditi svoj web preglednik ili na drugi način riješiti ovaj problem da biste pristupili našim stranicama. Ova poruka će ostati do 1. januara 2020. Nakon tog datuma, vaš pretraživač neće moći uspostaviti vezu s našim serverima.

Razmotrimo materijalnu tačku mase m, koja se nalazi na udaljenosti r od fiksne ose (slika 26). Moment inercije J materijalna tačka u odnosu na osu naziva se skalarna fizička veličina jednaka umnošku mase m i kvadrata udaljenosti r do ove ose:

J = mr 2(75)

Moment inercije sistema N materijalnih tačaka će biti jednak je zbiru momenti inercije pojedinačnih tačaka:

Rice. 26.

Definiciji momenta inercije tačke.

Ako se masa kontinuirano raspoređuje u prostoru, tada se zbrajanje zamjenjuje integracijom. Tijelo je podijeljeno na elementarne zapremine dv, od kojih svaka ima masu dm.

Rezultat je sljedeći izraz:

Za tijelo homogeno po zapremini, gustina ρ je konstantna, a elementarnu masu zapisujemo u obliku:

dm = ρdv, transformiramo formulu (70) na sljedeći način:

Dimenzija momenta inercije - kg * m 2.

Moment inercije tijela je mjera inercije tijela u rotacionom kretanju, kao što je masa tijela mjera njegove inercije u translatornom kretanju.

Moment inercije - to je mjera inertnih svojstava krutog tijela tokom rotacionog kretanja, ovisno o raspodjeli mase oko ose rotacije. Drugim riječima, moment inercije ovisi o masi, obliku, dimenzijama tijela i položaju ose rotacije.

Svako tijelo, bez obzira da li se okreće ili miruje, ima moment inercije oko bilo koje ose, kao što tijelo ima masu, bez obzira da li se kreće ili miruje. Kao i masa, moment inercije je aditivna veličina.

U nekim slučajevima, teorijski proračun momenta inercije je prilično jednostavan. Ispod su momenti inercije nekih čvrstih tijela pravilnog geometrijskog oblika oko ose koja prolazi kroz centar gravitacije.

Moment inercije beskonačno ravnog diska polumjera R oko ose okomite na ravan diska:

Moment inercije lopte poluprečnika R:

Moment inercije štapa sa dužinom L u odnosu na osu koja prolazi kroz sredinu štapa okomito na nju:

Moment inercije beskonačno tankog obruča poluprečnika R oko ose koja je okomita na njegovu ravan:

Moment inercije tijela oko proizvoljne ose izračunava se pomoću Steinerove teoreme:

Moment inercije tijela oko proizvoljne ose jednak je zbiru momenta inercije oko ose koja prolazi kroz centar mase paralelan datom, i umnožak mase tijela pomnožen kvadrata udaljenosti između sjekire.

Koristeći Steinerovu teoremu, izračunavamo moment inercije štapa s dužinom L oko ose koja prolazi kroz kraj okomit na njega (slika 27).

Za proračun momenta inercije štapa

Prema Steinerovoj teoremi, moment inercije štapa oko ose O′O′ jednak je momentu inercije oko OO ose plus md 2. Odavde dobijamo:

Očigledno: moment inercije nije isti u odnosu na različite ose, pa stoga i pri rješavanju zadataka na dinamiku rotaciono kretanje, moment inercije tijela u odnosu na osu koja nas zanima svaki put treba posebno tražiti. Tako, na primjer, pri projektovanju tehničkih uređaja koji sadrže rotirajuće dijelove (u željezničkom transportu, u zrakoplovnoj konstrukciji, elektrotehnici itd.), potrebno je poznavanje vrijednosti momenata inercije ovih dijelova. At složen oblik tijela, teorijsko izračunavanje njegovog momenta inercije može biti teško izvesti. U ovim slučajevima, poželjno je empirijski izmjeriti moment inercije nestandardnog dijela.

Moment sile F u odnosu na tačku O

DEFINICIJA

Mjera inercije rotirajućeg tijela je moment inercije(J) u odnosu na osu oko koje dolazi do rotacije.

Ovo je skalarna (u opštem slučaju tenzorska) fizička veličina, koja je jednaka umnošku masa materijalnih tačaka () na koje telo koje se razmatra treba da se podeli, kvadratima udaljenosti () od njih do osa rotacije:

gdje je r funkcija položaja materijalne točke u prostoru; - gustina tijela; - zapremina elementa tela.

Za homogeno tijelo izraz (2) se može predstaviti kao:

Moment inercije u međunarodni sistem jedinice se mjere u:

Vrijednost J je uključena u osnovne zakone koji opisuju rotaciju krutog tijela.

Općenito, veličina momenta inercije ovisi o smjeru osi rotacije, a kako vektor obično mijenja smjer u odnosu na tijelo u procesu kretanja, moment inercije treba posmatrati kao funkciju vremena . Izuzetak je moment inercije tijela koje rotira oko fiksne ose. U ovom slučaju, moment inercije ostaje konstantan.

Steinerova teorema

Steinerova teorema omogućava da se izračuna moment inercije tijela oko proizvoljne ose rotacije, kada je poznat moment inercije tijela koje se razmatra u odnosu na osu koja prolazi kroz centar mase ovog tijela i ove ose su paralelne. U matematičkom obliku, Steinerova teorema je predstavljena kao:

gdje je moment inercije tijela oko ose rotacije koja prolazi kroz centar mase tijela; m je masa razmatranog tijela; a je razmak između osovina. Obavezno zapamtite da osi moraju biti paralelne. Iz izraza (4) slijedi:

Neki izrazi za izračunavanje momenata inercije tijela

Kada se rotira oko ose, materijalna tačka ima moment inercije jednak:

gdje je m masa tačke; r je rastojanje od tačke do ose rotacije.

Za homogeni tanki štap mase m i dužine l J u odnosu na osu koja prolazi kroz njegovo središte mase (os je okomita na štap), jednaka je:

Tanak prsten, s masom koja rotira oko ose koja prolazi kroz njegovo središte, okomito na ravninu prstena, tada se moment inercije izračunava kao:

gdje je R radijus prstena.

Okrugli homogeni disk poluprečnika R i mase m ima J u odnosu na osu koja prolazi kroz njegovo središte i okomita na ravan diska, jednako:

Za ujednačenu loptu

gdje je m masa lopte; R je poluprečnik lopte. Lopta se rotira oko ose koja prolazi kroz njen centar.

Ako su osi rotacije ose pravougaonog Dekartovog koordinatnog sistema, tada se za neprekidno telo momenti inercije mogu izračunati kao:

gdje su koordinate beskonačno malog elementa tijela.

Primjeri rješavanja problema

PRIMJER 1

PRIMJER 2

Moment inercije- skalarna (u opštem slučaju - tenzorska) fizička veličina, mera inercije pri rotacionom kretanju oko ose, kao što je masa tela mera njegove inercije u translatornom kretanju. Karakterizira ga raspodjela masa u tijelu: moment inercije jednak je zbiru proizvoda elementarne mase kvadratom njihovih udaljenosti do osnovnog skupa (tačka, prava ili ravan).

SI jedinica: kg m².

Oznaka: I ili J.

2. fizičko značenje moment inercije. Proizvod momenta inercije tijela i njegovog ugaonog ubrzanja jednak je zbroju momenata svih sila koje djeluju na tijelo. Uporedite. Rotacijski pokret. Progresivni pokret. Moment inercije je mjera inercije tijela u rotacionom kretanju.

Na primjer, moment inercije diska oko ose O "u skladu sa Steinerovom teoremom:

Steinerova teorema: Moment inercije I oko proizvoljne ose jednak je zbiru momenta inercije I0 oko ose koja je paralelna datoj i koja prolazi kroz centar mase tijela, i proizvoda mase tijela m i kvadrat udaljenosti d između osa:

18. Ugaoni moment krutog tijela. Vektor ugaone brzine i vektor ugaonog momenta. Žiroskopski efekat. Ugaona brzina precesije

Moment kretanja krutog tijela u odnosu na osu je zbir ugaonog momenta pojedinačnih čestica koje čine tijelo u odnosu na osu. S obzirom na to, dobijamo.

Ako je zbroj momenata sila koje djeluju na tijelo koje rotira oko fiksne ose jednak nuli, tada je ugaoni moment zadržan ( zakon održanja ugaonog momenta): . Derivat ugaonog momenta krutog tijela u odnosu na vrijeme jednak je zbiru momenata svih sila koje djeluju na tijelo:.

ugaona brzina kao vektor čija je vrijednost numerički jednaka kutnoj brzini i usmjerena duž ose rotacije, a ako se gleda sa kraja ovog vektora, tada je rotacija u suprotnom smjeru kazaljke na satu. Istorijski 2, pozitivnim smjerom rotacije smatra se rotacija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, iako je, naravno, izbor ovog smjera apsolutno uvjetovan. Da biste odredili smjer vektora ugaone brzine, možete koristiti i "pravilo vretena" (koje se još naziva i "pravilo desnog zavrtnja") - ako je smjer kretanja ručke gimleta (ili vadičepa) ) se kombinira sa smjerom rotacije, tada će se smjer kretanja cijelog gimleta podudarati sa smjerom vektora kutne brzine.

Rotirajuće telo (točak motocikla) ​​nastoji da zadrži položaj ose rotacije u prostoru nepromenjenim.(žiroskopski efekat) Zbog toga je kretanje na 2 točka moguće, ali stajanje na dva točka nije moguće.Ovaj efekat se koristi na brodu i sistemi za navođenje tenkovskih topova. (brod se njiše na talasima, a puška gleda u jednu tačku) U plovidbi itd.

Precesiju je lako uočiti. Morate pokrenuti vrh i pričekati dok ne počne usporavati. U početku je os rotacije vrha okomita. Zatim se njena gornja tačka postepeno spušta i kreće se u divergentnoj spirali. Ovo je precesija ose vrha.

Glavno svojstvo precesije je inercijalnost: čim sila koja uzrokuje precesiju vrha nestane, precesija će prestati, a vrh će zauzeti fiksni položaj u prostoru. U primjeru s rotirajućim vrhom, to se neće dogoditi, jer u njemu neprestano djeluje sila koja uzrokuje precesiju - Zemljina gravitacija.

19. Idealna i viskozna tečnost. Hidrostatika nestišljivog fluida. Stacionarno kretanje idealnog fluida. Birnoullijeva jednačina.

idealna tečnost naziva imaginarnim nestišljivog fluida, u kojima nema viskoznost, unutrašnje trenje i toplotna provodljivost. Pošto u njemu nema unutrašnjeg trenja, nema ga naponi smicanja između dva susedna sloja tečnosti.

viskozna tečnost karakterizira prisustvo sila trenja koje nastaju prilikom njegovog kretanja. viskozni zove tečnost, kod kojih se pri kretanju, osim normalnih napona, uočavaju i posmična naprezanja

Razmatrano u G. ur-tion refers. ravnoteža nestišljivog fluida u polju gravitacije (u odnosu na zidove posude koja se kreće prema nekom poznatom zakonu, na primjer, translacijskom ili rotacijskom) omogućava rješavanje problema o obliku slobodne površine i prskanju tekućine u plovila u pokretu - u rezervoarima za transport tečnosti, rezervoarima za gorivo aviona i raketa i sl., kao iu uslovima delimičnog ili potpunog bestežinskog stanja u svemiru. letjeti. uređaja. Prilikom određivanja oblika slobodne površine tekućine zatvorene u posudi, pored hidrostatskih sila. pritisak, inercijalne sile i gravitacija moraju uzeti u obzir površinski napon tečnosti. U slučaju rotacije posude oko vertikale. sjekire sa d.c. ang. brzine, slobodna površina poprima oblik paraboloida okretanja, au posudi koja se kreće paralelno s horizontalnom ravninom translatorno i pravolinijski sa stupom. ubrzanje a, slobodna površina tečnosti je ravan nagnuta prema horizontalnoj ravni pod uglom

Da biste promijenili brzinu kretanja tijela u prostoru, morate uložiti određeni napor. Ova činjenica se odnosi na sve vrste mehaničkog kretanja i povezana je sa prisustvom inercijalnih svojstava u objektima koji imaju masu. Ovaj članak govori o rotaciji tijela i daje koncept njihovog momenta inercije.

Šta je rotacija u smislu fizike?

Svaka osoba može odgovoriti na ovo pitanje, jer ovo fizički proces se ne razlikuje od svog koncepta u svakodnevnom životu. Proces rotacije je kretanje objekta konačne mase duž kružne putanje oko neke zamišljene ose. Mogu se navesti sljedeći primjeri rotacije:

• Kretanje točka automobila ili bicikla.
• Rotacija lopatica helikoptera ili ventilatora.
• Kretanje naše planete oko svoje ose i oko Sunca.

Koje fizičke veličine karakterišu proces rotacije?

Kretanje u krugu opisano je skupom veličina u fizici, a glavne su navedene u nastavku:

• r - udaljenost do ose materijalne tačke mase m.
• ω i α su ugaona brzina i ubrzanje, respektivno. Prva vrijednost pokazuje za koliko radijana (stepena) tijelo rotira oko ose u jednoj sekundi, druga vrijednost opisuje brzinu promjene u vremenu prve.
• L je ugaoni moment, koji je sličan onom kod linearnog kretanja.
• I je moment inercije tijela. Ova vrijednost je detaljno razmotrena u nastavku u članku.
• M je moment sile. Karakterizira stepen promjene vrijednosti L ako se primjenjuje vanjska sila.

Navedene veličine su međusobno povezane sljedećim formulama za rotacijsko kretanje:

Prva formula opisuje kružno kretanje tijela u odsustvu djelovanja vanjskih momenata sila. U gornjem obliku, on odražava zakon održanja ugaonog momenta L. Drugi izraz opisuje slučaj ubrzanja ili usporavanja rotacije tijela kao rezultat djelovanja momenta sile M. Oba izraza su često koristi se u rješavanju problema dinamike duž kružne putanje.

Kao što se vidi iz ovih formula, moment inercije oko ose (I) se u njima koristi kao određeni koeficijent. Razmotrimo ovu vrijednost detaljnije.

Odakle mi vrijednost?

U ovom odlomku razmatramo najjednostavniji primjer rotacije: kružno kretanje materijalne točke mase m, čija je udaljenost od ose rotacije r. Ova situacija je prikazana na slici.

Prema definiciji, ugaoni moment L zapisuje se kao proizvod ramena r i linearnog momenta kretanja tačke:

L = r*p = r*m*v pošto je p = m*v

S obzirom da su linearne i kutne brzine povezane jedna s drugom kroz udaljenost r, ova jednakost se može prepisati na sljedeći način:

v = ω*r => L = m*r 2 *ω

Proizvod mase materijalne tačke i kvadrata udaljenosti do ose rotacije obično se naziva momentom inercije. Formula iznad bi se tada prepisala na sljedeći način:

Odnosno, dobili smo izraz koji je dat u prethodnom pasusu i uveli vrijednost I.

Opšta formula za vrijednost I tijela

Izraz za moment inercije s masom m materijalne točke je osnovni, odnosno omogućava vam da izračunate ovu vrijednost za bilo koje tijelo koje ima proizvoljan oblik i neravnomjernu raspodjelu mase u njemu. Da biste to učinili, potrebno je predmet koji se razmatra podijeliti na male elemente mase m i (cijeli broj i je broj elementa), a zatim svaki od njih pomnožiti s kvadratom udaljenosti r i 2 do ose oko koje je rotacija razmotriti i dodati rezultate. Opisani metod za pronalaženje vrijednosti I može se matematički napisati na sljedeći način:

I = ∑ i (m i *r i 2)

Ako je tijelo slomljeno na način da je i->∞, onda se redukovana suma zamjenjuje integralom po masi tijela m:

Ovaj integral je ekvivalentan drugom integralu po zapremini tela V, pošto je dV=ρ*dm:

I = ρ*∫ V (r i 2 *dV)

Sve tri formule se koriste za izračunavanje momenta inercije tijela. U ovom slučaju, u slučaju diskretne distribucije masa u sistemu, poželjno je koristiti 1. izraz. At kontinuirana distribucija mase primjenjuju 3. izraz.

Svojstva veličine I i njeno fizičko značenje

Opisani postupak za dobijanje opšteg izraza za I omogućava nam da izvučemo neke zaključke o svojstvima ovoga fizička količina:

• aditivan je, odnosno ukupan moment inercije sistema može se predstaviti kao zbir momenata njegovih pojedinačnih delova;
• zavisi od raspodele mase unutar sistema, kao i od udaljenosti do ose rotacije, što je ova veća, to je veći I;
• ne zavisi od momenata sila koje deluju na sistem M i od brzine rotacije ω.

Fizičko značenje I je koliko sistem sprečava bilo kakvu promenu svoje brzine rotacije, odnosno moment inercije karakteriše stepen "glatkosti" rezultujućih ubrzanja. Na primjer, točak bicikla može se lako okretati do velikih ugaonih brzina i lako se zaustaviti, ali za promjenu rotacije zamašnjaka na radilici automobila, trebat će znatan napor i neko vrijeme. U prvom slučaju postoji sistem sa malim momentom inercije, u drugom - sa velikim.

I vrijednost nekih tijela za os rotacije koja prolazi kroz centar mase

Ako primijenimo integraciju volumena za bilo koja tijela sa proizvoljnom raspodjelom mase, onda za njih možemo dobiti vrijednost I. U slučaju homogenih objekata koji imaju idealan geometrijski oblik, ovaj problem je već riješen. Ispod su formule za moment inercije za štap, disk i kuglu mase m, u kojima je tvar koja ih čini ravnomjerno raspoređena:

• Kernel. Osa rotacije ide okomito na nju. I \u003d m * L 2 / 12, gdje je L dužina štapa.
• Disk proizvoljne debljine. Moment inercije sa osom rotacije koja prolazi okomito na njenu ravan kroz centar mase izračunava se na sledeći način: I = m*R 2 /2, gde je R poluprečnik diska.
• Lopta. S obzirom na visoku simetriju ove figure, za bilo koji položaj ose koja prolazi kroz njeno središte, I = 2/5 * m * R 2, ovdje je R polumjer lopte.

Problem izračunavanja vrijednosti I za sistem sa diskretnom distribucijom mase

Zamislite štap dužine 0,5 metara, koji je napravljen od tvrdog i laganog materijala. Ova šipka je fiksirana na osi na način da ide okomito na nju tačno u sredini. Na ovu šipku su okačena 3 utega i to: na jednoj strani osovine nalaze se dva utega mase 2 kg i 3 kg, koji se nalaze na udaljenosti od 10 cm, odnosno 20 cm od njenog kraja; s druge strane, jedan uteg od 1,5 kg je okačen na kraj štapa. Za ovaj sistem potrebno je izračunati moment inercije I i odrediti kojom će se brzinom ω štap rotirati ako se na jedan od njegovih krajeva u trajanju od 10 sekundi primjenjuje sila od 50 N.

Kako se masa štapa može zanemariti, onda je potrebno izračunati moment I za svako opterećenje i sabrati dobijene rezultate da bi se dobio ukupan moment sistema. Prema uslovu zadatka, teret od 2 kg je na udaljenosti od 0,15 m (0,25-0,1) od ose, teret od 3 kg je 0,05 m (0,25-0,20), opterećenje od 1,5 kg je 0,25 m. Koristeći formulu za trenutak I materijalne tačke, dobijamo:

I \u003d I 1 + I 2 + I 3 \u003d m 1 * r 1 2 + m 2 * r 2 2 + m 3 * r 3 2 = 2 * (0,15) 2 + 3 * (0,05) 2 + 1,5 * (0,25) 2 \u003d 0,14 625 kg * m 2.

Imajte na umu da su prilikom izvođenja proračuna sve mjerne jedinice konvertovane u SI sistem.

Da bi se odredila ugaona brzina rotacije štapa nakon djelovanja sile, treba primijeniti formulu sa momentom sile koja je data u drugom stavu članka:

Pošto je α = Δω/Δt i M = r*F, gdje je r dužina ruke, dobijamo:

r*F = I*Δω/Δt => Δω = r*F*Δt/I

S obzirom da je r = 0,25 m, zamenimo brojeve u formulu, dobićemo:

Δω \u003d r * F * Δt / I = 0,25 * 50 * 10 / 0,14625 = 854,7 rad / s

Rezultirajuća vrijednost je prilično velika. Da biste dobili uobičajenu brzinu rotacije, trebate podijeliti Δω sa 2 * pi radijana:

f \u003d Δω / (2 * pi) = 854,7 / (2 * 3,1416) = 136 s -1

Dakle, primijenjena sila F na kraj štapa s utezima za 10 sekundi će ga zavrtjeti do frekvencije od 136 okretaja u sekundi.

Izračunavanje I vrijednosti za šipku kada osa prolazi kroz njen kraj

Neka postoji homogeni štap mase m i dužine L. Potrebno je odrediti moment inercije ako se os rotacije nalazi na kraju štapa okomito na njega.

Hajde da iskoristimo opšti izraz za mene:

I = ρ*∫ V (r i 2 *dV)

Dijeleći predmet koji se razmatra na elementarne volumene, napominjemo da se dV može zapisati kao dr*S, gdje je S površina presjeka štapa, a dr debljina pregradnog elementa. Zamijenivši ovaj izraz u formulu, imamo:

I = ρ*S*∫ L (r 2 *dr)

Ovaj integral je prilično lako izračunati, dobijamo:

I \u003d ρ * S * (r 3 / 3) ∣ 0 L => I = ρ * S * L 3 / 3

Pošto je zapremina štapa jednaka S*L, a masa ρ*S*L, dobijamo konačnu formulu:

Zanimljivo je primijetiti da je moment inercije za isti štap, kada osa prolazi kroz njegovo središte mase, 4 puta manji od dobijene vrijednosti (m*L 2 /3/(m*L 2 /12)= 4).