Pokažite geometrijska tijela njegovog vrha ivice lica. Pravilni poliedri. Opseg Ojlerove formule

Triedarski i poliedarski uglovi:
Triedarski ugao je oblik
formirana od tri ravni omeđene sa tri zraka koje izlaze iz
jednu tačku i ne leži u jednoj
avioni.
Zamislite neki stan
poligon i tačka izvana
ravan ovog poligona.
Nacrtajmo zrake iz ove tačke,
prolazeći kroz vrhove
poligon. Naći ćemo cifru
koji se naziva višestrukim
ugao.

Trodjelni ugao je dio prostora
omeđen sa tri ravna ugla sa zajedničkim
samit
i
u parovima
general
zabave,
ne
leži u istoj ravni. Zajednički vrh O ovim
uglovi
pozvao
samit
triedral
ugao.
Strane uglova nazivaju se ivicama, ravnim uglovima
na vrhu trokutnog ugla nazivaju se njegovim
lica. Svaki od tri para lica trokutnog ugla
formira diedarski ugao

Osnovna svojstva trougla
1. Svaki ravan ugao triedarskog ugla manji je od zbira
njegova druga dva ravna ugla.
+ > ; + > ; + >
α, β, γ - ravni uglovi,
A, B, C - diedarski uglovi sastavljeni od ravni
uglovi β i γ, α i γ, α i β.
2. Zbir ravnih uglova triedarskog ugla je manji od
360 stepeni
3. Prva kosinusna teorema
za trougao
4. Druga kosinusna teorema za triedarski ugao

,
5. Teorema sinusa
Poliedarski ugao čija je unutrašnjost
koji se nalaze na jednoj strani ravni svakog od njih
njegova lica se naziva konveksni poliedar
ugao. Inače, poliedarski ugao
naziva se nekonveksna.

Poliedar je tijelo, površina
koji se sastoji od konačnog broja
ravnih poligona.

Elementi poliedra
Lica poliedra su
poligoni koji
formu.
Rubovi poliedra su stranice
poligoni.
Vrhovi poliedra su
vrhovi poligona.
Dijagonala poliedra je
segment koji povezuje 2 vrha
ne pripada istom licu.

Poliedri
konveksan
nekonveksan

Poliedar se naziva konveksan,
ako je na jednoj strani
ravni svakog poligona na svom
površine.

KONVEKSNI POLIEDRALNI UGLOVI

Poliedarski ugao se naziva konveksan ako je konveksan
figura, odnosno, zajedno sa bilo koje dvije svoje tačke, u potpunosti sadrži i
linija koja ih povezuje.
Na slici su prikazani primjeri
konveksan
i
nekonveksan
poliedarski uglovi.
Teorema. Zbir svih ravnih uglova konveksnog poliedarskog ugla manji je od 360°.

KONVEKSNI POLITOPI

Ugaoni poliedar se naziva konveksan ako je konveksna figura,
tj., zajedno sa bilo koje dvije svoje tačke, u potpunosti sadrži poveznicu
njihov segment.
Kocka, paralelepiped, trouglasta prizma i piramida su konveksni
poliedri.
Na slici su prikazani primjeri konveksne i nekonveksne piramide.

IMOVINA 1

Svojstvo 1. U konveksnom poliedru, sva lica su
konveksni poligoni.
Zaista, neka je F neko lice poliedra
M, a tačke A, B pripadaju licu F. Iz uslova konveksnosti
poliedar M, slijedi da je segment AB u potpunosti sadržan
u poliedru M. Pošto ovaj segment leži u ravni
poligon F, on će u potpunosti biti sadržan u ovom
poligon, tj. F je konveksan poligon.

IMOVINA 2

Svojstvo 2. Svaki konveksni poliedar može biti sastavljen od
piramide sa zajedničkim vrhom, čije osnove čine površinu
poliedar.
Zaista, neka je M konveksan poliedar. Uzmimo malo
unutrašnju tačku S poliedra M, tj. njegovu tačku koja to nije
ne pripada nijednoj strani poliedra M. Povezujemo tačku S sa
vrhovi poliedra M kao segmenti. Imajte na umu da zbog konveksnosti
poliedar M, svi ovi segmenti su sadržani u M. Razmotrimo piramide sa
vrh S čije su osnovice lica poliedra M. Ove
piramide su u potpunosti sadržane u M, i zajedno čine poliedar M.

Pravilni poliedri

Ako su lica poliedra
pravilni poligoni sa jednim i
isti broj strana i na svakom vrhu
poliedar konvergira istom broju
ivice, zatim konveksni poliedar
nazvan ispravnim.

Imena poliedara

došao iz Ancient Greece,
oni označavaju broj lica:
"hedra" lice;
"tetra" 4;
"hexa" 6;
"octa" 8;
"ikosa" 20;
dodeca 12.

pravilni tetraedar

Rice. jedan
Sastoji se od četiri
equilateral
trouglovi. Svaki
njen vrh je
vrh od tri
trouglovi.
Dakle, suma
ravni uglovi na
svaki vrh je jednak
180º.

Regularni oktaedar
Rice. 2
Sastoji se od osam
equilateral
trouglovi. Svaki
vrh oktaedra
je vrh
četiri trougla.
Dakle, suma
ravni uglovi na
svaki vrh 240º.

Regularni ikosaedar
Rice. 3
Sastoji se od dvadeset
equilateral
trouglovi. Svaki
vrh ikosaedra
je prvih pet
trouglovi.
Dakle, suma
ravni uglovi na
svaki vrh je jednak
300º.

kocka (heksaedar)

Rice.
4
Sastoji se od šest
kvadrata. Svaki
vrh kocke je
vrh tri kvadrata.
Dakle, suma
ravni uglovi za svaki
vrh je 270º.

Regularni dodekaedar
Rice. 5
Sastoji se od dvanaest
ispravan
pentagons. Svaki
vrh dodekaedra
je vrh od tri
ispravan
pentagons.
Dakle, suma
ravni uglovi na
svaki vrh je jednak
324º.

Tabela br. 1
U redu
poliedar
Broj
lica
vrhovi
rebra
Tetrahedron
4
4
6
Kocka
6
8
12
Oktaedar
8
6
12
Dodecahedron
12
20
30
ikosaedar
20
12
30

Ojlerova formula
Zbir broja lica i vrhova bilo kojeg
poliedar
jednak je broju ivica plus 2.
G+W=R+2
Broj lica plus broj vrhova minus broj
rebra
u bilo kom poliedru je 2.
V+Š R=2

Tabela broj 2
Broj
U redu
poliedar
Tetrahedron
lica i
vrhovi
(G+V)
rebra
(R)
4+4=8
6
"tetra" 4;
Kocka
6 + 8 = 14
12
"hexa"
6;
Oktaedar
8 + 6 = 14
12
"octa"
Dodecahedron
12 + 20 = 32
30
dodeka"
12.
30
"ikosa"
20
ikosaedar
20 + 12 = 32
8

Dualnost pravilnih poliedara

Heksaedar (kocka) i oktaedar
dvojni par poliedara. Broj
lica jednog poliedra jednaka je broju
vrhova drugog i obrnuto.

Uzmite bilo koju kocku i razmotrite poliedar sa
vrhova u središtima njegovih lica. Kako lako
pobrinite se da dobijemo oktaedar.

Centri strana oktaedra služe kao vrhovi kocke.

Poliedri u prirodi, hemiji i biologiji
Kristali nekih nama poznatih supstanci su u obliku pravilnih poliedara.
Crystal
pirit-
prirodno
model
dodecahedron.
kristali
kuvanje
soli prolaze
oblik kocke.
Monocrystal
antimon
Crystal
aluminosulfat
(prizma)
kalijum alum natrijum - tetraedar.
ima oblik
oktaedar.
U molekulu
metan ima
formu
ispravan
tetraedar.
Ikosaedar je bio u centru pažnje biologa u njihovim sporovima oko oblika
virusi. Virus ne može biti savršeno okrugao, kao što se ranije mislilo. To
da bi utvrdili njegov oblik, uzeli su razne poliedre, usmjerili svjetlost na njih
pod istim uglovima kao i protok atoma do virusa. Ispostavilo se da samo jedan
poliedar daje potpuno istu senku - ikosaedar.
U procesu diobe jaja prvo se formira tetraedar od četiri ćelije, a zatim
oktaedar, kocka i konačno dodekaedarsko-ikosaedarska struktura gastrule. I na kraju
možda najvažnija stvar - struktura DNK genetskog koda života - predstavlja
četverodimenzionalni pregled (duž vremenske ose) rotirajućeg dodekaedra!

Poliedri u umjetnosti
"Portret Monna Lise"
Kompozicija crteža bazirana je na zlatnoj boji
trouglovi koji su dijelovi
pravilan zvjezdani pentagon.
gravura "Melanholija"
U prvom planu slike
prikazan dodekaedar.
"Posljednja večera"
Hristos sa svojim učenicima je prikazan u
pozadina ogromnog prozirnog dodekaedra.

Poliedri u arhitekturi
Muzeji voća
Muzej voća u Yamanashiju stvoren je uz pomoć
3D modeliranje.
piramide
Aleksandrijski svjetionik
Spasskaya Tower
Kremlj.
Četvorostepena Spaska kula sa Spasovom crkvom
Nije napravljeno rukama - glavni ulaz u Kazanski Kremlj.
Podigao ga je u 16. veku pskovski arhitekta Ivan
Shiryayem i Postnik Yakovlev, sa nadimkom
"Barma". Četiri nivoa kule su
kocke, poliedre i piramide.

Kocka, lopta, piramida, cilindar, konus - geometrijska tijela. Među njima su i poliedri. poliedar naziva se geometrijsko tijelo čija se površina sastoji od konačnog broja poligona. Svaki od ovih poligona naziva se lice poliedra, a stranice i vrhovi ovih poligona se nazivaju ivicama i vrhovima poliedra, respektivno.

Diedarski uglovi između susednih lica, tj. lica koja imaju zajedničku stranu - ivicu poliedra - su takođe diedarski umovi poliedra. Uglovi poligona - lica konveksnog mnogougla - su ravni umovi poliedra. Osim ravnih i diedarskih uglova, ima i konveksni poliedar poliedarski uglovi. Ovi uglovi formiraju lica koja imaju zajednički vrh.

Među poliedrima ima prizme i piramide.

prizma - je poliedar čija se površina sastoji od dva jednaka poligona i paralelograma koji imaju zajedničke stranice sa svakom od osnova.

Zovu se dva jednaka poligona osnove ggrzmg, a paralelogrami - nju bočno lica. Formiraju se bočne strane bočna površina prizme. Ivice koje ne leže u bazama nazivaju se bočna rebra prizme.

Prizma se zove p-ugalj, ako su njegove baze n-uglovi. Na sl. 24.6 prikazuje četvorougaonu prizmu ABCDA"B"C"D".

Prizma se zove ravno, ako su njegove bočne strane pravougaonici (slika 24.7).

Prizma se zove ispravan , ako je pravo i njegove osnove su pravilni poligoni.

Četverougaona prizma se naziva paralelepiped ako su njegove osnove paralelogrami.

Paralelepiped se zove pravougaona, ako su mu sva lica pravougaonici.

Dijagonala kutije je segment koji povezuje njegove suprotne vrhove. Paralelepiped ima četiri dijagonale.

To dokazao dijagonale paralelepipeda se sijeku u jednoj tački i dijele tu tačku. Dijagonale pravougaonog paralelepipeda su jednake.

Piramida- ovo je poliedar čija se površina sastoji od poligona - osnove piramide i trokuta koji imaju zajednički vrh, koji se nazivaju bočne strane piramide. Zajednički vrh ovih trouglova se naziva samit piramide, ivice koje izlaze sa vrha - bočna rebra piramide.

Okomica spuštena sa vrha piramide na osnovu, kao i dužina ove okomice naziva se visok piramide.

Najjednostavnija piramida trouglasti ili tetraedar (slika 24.8). Karakteristika trokutaste piramide je da se svako lice može smatrati bazom.

Piramida se zove ispravno, ako je njegova osnova pravilan poligon, a sve bočne ivice su jedna drugoj.

Imajte na umu da moramo razlikovati pravilni tetraedar(tj. tetraedar u kojem su sve ivice jednake jedna drugoj) i pravilne trouglaste piramide(u njegovoj osnovi leži pravilan trokut, a bočne ivice su međusobno jednake, ali njihova dužina može se razlikovati od dužine stranice trokuta, koja je osnova prizme).

Razlikovati ispupčen i nekonveksan poliedri. Možete definirati konveksni poliedar ako koristite koncept konveksnog geometrijskog tijela: poliedar se naziva konveksan. ako je konveksna figura, tj. zajedno sa bilo koje dvije svoje tačke, u potpunosti sadrži segment koji ih povezuje.

Konveksni poliedar se može definirati na drugi način: poliedar se zove konveksan ako u potpunosti leži na jednoj strani svakog od svojih graničnih poligona.

Ove definicije su ekvivalentne. Ne pružamo dokaze za ovu činjenicu.

Svi poliedri koji su do sada razmatrani su konveksni (kocka, paralelepiped, prizma, piramida, itd.). Poliedar prikazan na sl. 24.9 nije konveksan.

To dokazao u konveksnom poliedru, sva lica su konveksni mnogouglovi.

Razmotrimo nekoliko konveksnih poliedara (tabela 24.1)

Iz ove tabele proizilazi da je za sve razmatrane konveksne poliedre jednakost B - P + G= 2. Pokazalo se da vrijedi i za bilo koji konveksni poliedar. Ovo svojstvo je prvi dokazao L. Euler i nazvano je Ojlerovom teoremom.

Konveksni poliedar se naziva ispravan ako su njegova lica jednaki pravilni poligoni i isti broj lica konvergira u svakom vrhu.

Koristeći svojstvo konveksnog poliedarskog ugla, to se može dokazati razne vrste Ne postoji više od pet pravilnih poliedara.

Zaista, ako su lepeza i poliedar pravilni trokuti, tada se 3, 4 i 5 od njih mogu konvergirati na jednom vrhu, budući da je 60 "3< 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.

Ako se tri pravilna trokuta konvergiraju u svakom vrhu polifana, onda dobijamo desni/ti tetraedar,što u prijevodu sa Fech znači "tetraedar" (Slika 24.10, a).

Ako se četiri pravilna trougla konvergiraju na svakom vrhu poliedra, onda dobijamo oktaedar(Sl. 24.10, in). Njegova površina se sastoji od osam pravilnih trouglova.

Ako se pet pravilnih trouglova konvergira na svakom vrhu poliedra, onda dobijamo ikosaedar(Sl. 24.10, d). Njegova površina se sastoji od dvadeset pravilnih trouglova.

Ako su lica polifana kvadrati, onda se samo tri od njih mogu konvergirati na jednom vrhu, budući da je 90° 3< 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также heksaedar(Sl. 24.10, b).

Ako su lica polifana pravilni petougaonici, onda samo phi može konvergirati na jednom od njih, budući da je 108° 3< 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется dodecahedron(Sl. 24.10, e). Njegova površina se sastoji od dvanaest pravilnih pentagona.

Površine poliedra ne mogu biti heksagonalne ili više, jer čak i za šestougao 120° 3 = 360°.

U geometriji je dokazano da postoji tačno pet različitih vrsta pravilnih poliedara u trodimenzionalnom euklidskom prostoru.

Da biste napravili model poliedra, morate ga napraviti sweep(tačnije, razvoj njegove površine).

Razvoj poliedra je lik na ravni, koji se dobija ako se površina poliedra iseče duž nekih ivica i rasklopi tako da svi poligoni uključeni u ovu površinu leže u istoj ravni.

Imajte na umu da poliedar može imati nekoliko različitih razvoja, ovisno o tome koje rubove smo izrezali. Na slici 24.11 prikazane su figure koje su različiti razvoj pravilne četvorougaone piramide, odnosno piramide u čijoj osnovi leži kvadrat, a sve bočne ivice su jedna drugoj.

Da bi ravna figura bila razvoj konveksnog poliedra, ona mora zadovoljiti niz zahtjeva vezanih za karakteristike poliedra. Na primjer, brojke na sl. 24.12 nisu skenovi pravilne četvorougaone piramide: na slici prikazanoj na sl. 24.12, a, na vrhu Mčetiri lica konvergiraju, što ne može biti u ispravnom četvorougaone piramide; i na slici prikazanoj na sl. 24.12, b, bočna rebra A B i sunce nije jednako.

Općenito, razvoj poliedra može se dobiti rezanjem njegove površine ne samo uz rubove. Primjer takvog zamaha kocke prikazan je na Sl. 24.13. Stoga se rasplet poliedra može preciznije definirati kao ravan poligon, od kojeg se površina ovog poliedra može napraviti bez preklapanja.

Čvrsta tela revolucije

Telo rotacije nazivamo tijelo dobiveno kao rezultat rotacije neke figure (obično ravne) oko prave linije. Ova linija se zove osa rotacije.

Cilindar- ego tijelo, koje se dobija kao rezultat rotacije pravougaonika oko jedne od njegovih strana. U ovom slučaju, navedena strana jeste osi cilindra. Na sl. 24.14 prikazuje cilindar sa osom OO', koji nastaje rotacijom pravougaonika AA "O" O oko prave linije OO". bodova O i O" su centri baza cilindra.

Cilindar, koji se dobija rotacijom pravougaonika oko jedne od njegovih stranica, naziva se direktno kružno cilindar, jer su njegove osnove dva jednaka kruga smještena u paralelnim ravnima tako da je segment koji povezuje središta kružnica okomit na te ravnine. Bočnu površinu cilindra čine segmenti jednaki strani pravougaonika koji je paralelan s osi cilindra.

Sweep bočna površina pravog kružnog cilindra, ako se iseče duž generatrise, je pravougaonik, čija je jedna strana jednaka dužini generatrise, a druga obodu osnove.

Kornet- ovo je tijelo koje se dobije kao rezultat rotacije pravokutnog trokuta oko jedne od nogu.

U ovom slučaju, navedena noga je nepomična i zove se konusna osovina. Na sl. 24.15 prikazan je konus sa osom SO, dobijen kao rezultat rotacije pravouglog trougla SOA sa pravim uglom O oko kraka S0. Tačka S se zove vrh konusa, OA je poluprečnik njegove baze.

Konus koji nastaje rotacijom pravokutnog trokuta oko jedne od njegovih krakova naziva se pravi kružni konus budući da je njegova osnova kružnica, a vrh je projektovan u centar ovog kruga. Bočnu površinu konusa formiraju segmenti jednaki hipotenuzi trokuta, prilikom čije rotacije nastaje konus.

Ako se bočna površina stošca preseče duž generatrikse, tada se može "rasklopiti" u ravninu. Sweep bočna površina desnog kružnog konusa je kružni sektor polumjera, jednaka dužini generatrix.

Kada se cilindar, konus ili bilo koje drugo tijelo rotacije presječe ravninom koja sadrži os okretanja, dobija se aksijalni presek. Aksijalni presjek cilindra je pravougaonik, a aksijalni presjek konusa je jednakokraki trokut.

Lopta- ovo je tijelo koje se dobije kao rezultat rotacije polukruga a oko njegovog prečnika. Na sl. 24.16 prikazuje kuglu dobijenu rotacijom polukruga oko prečnika AA". Poenta O pozvao centar lopte a poluprečnik kružnice je poluprečnik lopte.

Površina sfere se zove sfera. Sfera se ne može spljoštiti.

Svaki dio sfere ravninom je krug. Poluprečnik preseka lopte će biti najveći ako ravan prođe kroz centar lopte. Prema tome, presjek lopte ravninom koja prolazi kroz centar lopte naziva se lopta velikog kruga, i krug koji ga ograničava - veliki krug.

SLIKA GEOMETRIJSKIH TELA NA RAVNI

Za razliku od ravnih figura, geometrijska tijela ne mogu se precizno prikazati, na primjer, na listu papira. Međutim, uz pomoć crteža na ravnini možete dobiti prilično jasnu sliku prostornih figura. Za to se koriste posebne metode prikazivanja takvih figura na ravnini. Jedan od njih je paralelni dizajn.

Neka su date ravan a i prava koja je seče a. Uzmimo u prostoru proizvoljnu tačku A" koja ne pripada pravoj a, i idemo kroz X direktno a", paralelno sa pravom linijom a(Sl. 24.17). Pravo a" preseca ravan u nekom trenutku X", koji se zove paralelna projekcija tačke X na ravan a.

Ako tačka A leži na pravoj a, zatim paralelnom projekcijom X" je tačka u kojoj je linija a prelazi avion a.

Ako tačka X pripada ravni a, zatim tački X" poklapa se sa tačkom x.

Dakle, ako su date ravan a i prava linija koja je seče a. onda svaki poen X prostor se može povezati sa jednom tačkom A" - paralelnom projekcijom tačke X na ravni a (prilikom projektovanja paralelno pravoj liniji a). avion a pozvao ravni projekcije. O direktnom a kažu da laje smjer dizajna - ggri direktna zamjena a bilo koji drugi direktni rezultat dizajna koji je paralelan s njim neće se promijeniti. Sve prave paralelne pravoj a, postavljaju isti smjer dizajna i pozivaju se zajedno ravnom linijom a projektovanje linija.

projekcija figure F zove set F' projekcija svih tačaka mreže. Mapiranje do svake tačke X figure F„njegova paralelna projekcija je tačka X" figure F", pozvao paralelni dizajn figure F(Sl. 24.18).

Paralelna projekcija stvarnog objekta je njegova sjena koja pada na ravnu površinu na sunčevoj svjetlosti, budući da se sunčeve zrake mogu smatrati paralelnim.

Paralelni dizajn ima niz svojstava, čije je poznavanje neophodno pri prikazivanju geometrijskih tijela na ravni. Formulirajmo glavne bez davanja njihovih dokaza.

Teorema 24.1. U paralelnom inženjeringu, za prave linije koje nisu paralelne sa projektovanim pravcem i za segmente koji leže na njima, ispunjena su sledeća svojstva:

1) projekcija prave je prava, a projekcija odseka je odsek;

2) projekcije paralelnih pravih su paralelne ili se poklapaju;

3) odnos dužina projekcija segmenata koji leže na istoj pravoj ili na paralelnim linijama jednak je odnosu dužina samih segmenata.

Iz ove teoreme slijedi posljedica: u paralelnoj projekciji, sredina segmenta se projektuje u sredinu njegove projekcije.

Prilikom prikazivanja geometrijskih tijela na ravni potrebno je pratiti implementaciju ovih svojstava. U suprotnom, može biti proizvoljno. Dakle, uglovi i omjeri dužina neparalelnih segmenata mogu se proizvoljno mijenjati, odnosno, na primjer, trokut u paralelnoj projekciji predstavljen je proizvoljnim trouglom. Ali ako je trokut jednakostraničan, tada projekcije njegovih medijana moraju povezati vrh trokuta sa središtem suprotne strane.

I još jedan zahtjev mora se poštovati pri prikazivanju prostornih tijela na ravni - doprinijeti stvaranju ispravne ideje o njima.

Hajde da prikažemo, na primjer, nagnutu prizmu, čije su osnove kvadrati.

Prvo napravimo donju bazu prizme (možete početi od vrha). Prema pravilima paralelnog dizajna, oggo će biti predstavljen proizvoljnim paralelogramom ABCD (slika 24.19, a). Kako su ivice prizme paralelne, gradimo paralelne prave koje prolaze kroz vrhove konstruisanog paralelograma i na njih stavljamo jednake segmente AA", BB', CC", DD" čija je dužina proizvoljna. Povezivanje tačaka A ", B", C", D u nizu ", dobijamo četvorougao A "B" C "D", koji prikazuje gornju osnovu prizme. Lako je dokazati da A B C D"- paralelogram jednak paralelogramu A B C D i, prema tome, imamo sliku prizme, čije su osnove jednaki kvadrati, a preostale strane su paralelogrami.

Ako trebate prikazati ravnu prizmu čije su osnove kvadrati, onda možete pokazati da su bočne ivice ove prizme okomite na osnovu, kao što je učinjeno na sl. 24.19, b.

Osim toga, crtež na sl. 24.19, b može se smatrati slikom pravilne prizme, jer je njena osnova kvadrat - pravilan četverougao, a također i pravokutni paralelepiped, jer su sve njegove strane pravokutnici.

Hajde sada da saznamo kako nacrtati piramidu na ravni.

Da biste prikazali pravilnu piramidu, prvo nacrtajte pravilan poligon koji leži u osnovi, a njegovo središte je tačka O. Zatim se povlači vertikalna linija OS, predstavlja visinu piramide. Imajte na umu da je vertikalnost segmenta OS pruža veću vizuelnu jasnoću. I konačno, tačka S je povezana sa svim vrhovima baze.

Hajde da prikažemo, na primjer, pravilnu piramidu čija je osnova pravilan heksagon.

Da biste pravilno prikazali pravilni šesterokut u paralelnom dizajnu, morate obratiti pažnju na sljedeće. Neka je ABCDEF pravilan šestougao. Tada je BCEF pravougaonik (slika 24.20) i, prema tome, sa paralelnom projekcijom, biće predstavljen proizvoljnim paralelogramom B "C" E "F". Pošto dijagonala AD prolazi kroz tačku O - centar poligona ABCDEF i paralelna je sa segmentima. BC i EF i AO \u003d OD, tada će s paralelnim dizajnom biti predstavljen proizvoljnim segmentom A "D" , prolazeći kroz tačku O" paralelno B"C" i E"F" a osim toga, A "O" \u003d O "D".

Dakle, redoslijed izgradnje osnove heksagonalne piramide je sljedeći (slika 24.21):

§ prikazuju proizvoljan paralelogram B"C"E"F" i njegove dijagonale; označite tačku njihovog preseka O";

§ kroz tačku O" povuci paralelnu pravu liniju V'S"(ili E "F");

§ izabrati proizvoljnu tačku na konstruisanoj pravoj ALI" i označi tačku D" takav da o "D" = "O" i povežite tačku ALI" sa tačkama AT" i F“, i poen D" - sa tačke OD" i E".

Da bi se dovršila konstrukcija piramide, nacrtan je vertikalni segment OS(njegova dužina se bira proizvoljno) i povežite tačku S sa svim vrhovima baze.

U paralelnoj projekciji, lopta je prikazana kao kružnica istog polumjera. Da bi slika lopte bila vizualnija, nacrtana je projekcija nekog velikog kruga čija ravan nije okomita na ravan projekcije. Ova projekcija će biti elipsa. Centar lopte će biti prikazan središtem ove elipse (slika 24.22). Sada možete pronaći odgovarajuće polove N i S pod uslovom da je segment koji ih povezuje okomit na ravan ekvatora. Da biste to učinili, kroz tačku O nacrtajte liniju okomitu na AB i označite tačku C - presek ove prave sa elipsom; zatim kroz tačku C povlačimo tangentu na elipsu koja predstavlja ekvator. Dokazano je da je udaljenost CM jednaka udaljenosti od centra lopte do svakog od polova. Stoga, ostavljajući po strani segmente ON i OS, jednaka CM, uzmi motke N i S.

Razmotrimo jednu od metoda za konstruisanje elipse (zasnovana je na transformaciji ravni, koja se naziva kompresija): oni grade krug prečnika i crtaju tetive okomito na prečnik (slika 24.23). Polovina svakog od akorda je podijeljena na pola, a rezultirajuće tačke su povezane glatkom krivuljom. Ova kriva je elipsa čija je glavna osa segment AB, a centar je tačka O.

Ova tehnika se može koristiti pri crtanju pravog kružnog cilindra (slika 24.24) i pravog kružnog konusa (slika 24.25) na ravni.

Ravni kružni konus je prikazan na sljedeći način. Prvo se gradi elipsa - baza, zatim se nalazi centar baze - tačka O i nacrtaj okomitu liniju OS, koji predstavlja visinu konusa. Iz tačke S, tangente se povlače na elipsu (to se radi "okom", primjenom ravnala) i odabiru se segmenti SC i SD ove linije od tačke S do dodirnih tačaka C i D. Imajte na umu da segment CD ne odgovara prečniku osnove konusa.

Svrha lekcije:

Uvesti koncept pravilnih poliedara.
Razmotrimo vrste pravilnih poliedara.
Rješavanje problema.
Uliti interesovanje za predmet, naučiti da vidi lepotu u geometrijskim tijelima, razvoj prostorne mašte.
Međupredmetne komunikacije.

Vidljivost: stolovi, modeli.

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat. Informišite temu lekcije, formulišite ciljeve lekcije.

II. Učenje novog gradiva/

Postoje posebne teme u školskoj geometriji kojima se radujete, očekujući susret sa nevjerovatno lijepim materijalom. Ove teme uključuju “Regularni poliedri”. Ovdje se ne otvara samo čudesan svijet geometrijskih tijela s jedinstvenim svojstvima, već i zanimljive naučne hipoteze. I tada lekcija geometrije postaje neka vrsta proučavanja neočekivanih aspekata uobičajenog školskog predmeta.

Nijedno od geometrijskih tijela ne posjeduje takvo savršenstvo i ljepotu kao pravilni poliedri. “Pravilni poliedri su prkosno malobrojni”, napisao je jednom L. Carroll, “ali ovaj odred, koji je vrlo skroman po broju, uspio je ući u same dubine raznih nauka.”

Definicija pravilnog poliedra.

Poliedar se naziva pravilnim ako:

konveksan je;
sva njegova lica su pravilni poligoni jednaki jedan drugom;
isti broj ivica konvergira na svakom od njegovih vrhova;
svi njegovi diedralni uglovi su jednaki.

Teorema: Postoji pet različitih (do sličnosti) tipova pravilnih poliedara: pravilni tetraedar, pravilni heksaedar (kocka), pravilni oktaedar, pravilni dodekaedar i pravilni ikosaedar.

Tabela 1.Neka svojstva pravilnih poliedara data su u sljedećoj tabeli.

Tip lica	ravan ugao na vrhu	Pogled na poliedarski ugao na vrhu	Zbir ravnih uglova na vrhu	AT	R	G	Ime poliedra
pravougaonog trougla	60º	3-sided	180º	4	6	4	pravilni tetraedar
pravougaonog trougla	60º	4-sided	240º	6	12	8	Regularni oktaedar
pravougaonog trougla	60º	5-sided	300º	12	30	20	Regularni ikosaedar
Square	90º	3-sided	270º	8	12	6	Pravilni heksaedar (kocka)
pravougaonog trougla	108º	3-sided	324º	20	30	12	Regularni dodekaedar

Razmotrite vrste poliedara:

pravilni tetraedar

<Рис. 1>

Regularni oktaedar

<Рис. 2>

Regularni ikosaedar

<Рис. 3>

Pravilni heksaedar (kocka)

<Рис. 4>

Regularni dodekaedar

<Рис. 5>

Tabela 2. Formule za pronalaženje volumena pravilnih poliedara.

Vrsta poliedra	Volumen poliedra
pravilni tetraedar
Regularni oktaedar
Regularni ikosaedar
Pravilni heksaedar (kocka)
Regularni dodekaedar

"Platonska tijela".

Kocka i oktaedar su dualni, tj. se dobijaju jedno od drugog ako se kao vrhovi drugog uzmu težišta lica jedne i obrnuto. Dodekaedar i ikosaedar su na sličan način dualni. Tetraedar je dualan samom sebi. Pravilan dodekaedar se dobija iz kocke konstruisanjem „krova“ na njenim plohama (Euklidov metod), vrhovi tetraedra su bilo koja četiri vrha kocke koja nisu u paru susedna duž ivice. Tako se iz kocke dobijaju svi drugi pravilni poliedri. Sama činjenica postojanja samo pet zaista pravilnih poliedara je zadivljujuća – na kraju krajeva, na ravni ima beskonačno mnogo pravilnih mnogouglova!

Svi pravilni poliedri bili su poznati u staroj Grčkoj, a njima je posvećena poslednja, XII knjiga čuvenih Euklidovih principa. Ovi poliedri se često nazivaju isto Platonska tijela u idealističkoj slici svijeta koju je dao veliki starogrčki mislilac Platon. Četiri od njih personificiraju četiri elementa: tetraedar-vatru, kocku-zemlju, ikosaedar-vodu i oktaedar-vazduh; peti poliedar, dodekaedar, je simbolizirao cijeli univerzum. Na latinskom su ga počeli zvati quinta essentia („peta suština“).

Očigledno, nije bilo teško smisliti ispravan tetraedar, kocku, oktaedar, pogotovo jer ovi oblici imaju prirodne kristale, na primjer: kocka je monokristal natrijevog klorida (NaCl), oktaedar je monokristal kalijevog stipse ((KAlSO 4) 2 l2H 2 O). Postoji pretpostavka da su stari Grci dobili oblik dodekaedra razmatrajući kristale pirita (sumporni pirit FeS). Imajući isti dodekaedar, nije teško izgraditi ikosaedar: njegovi vrhovi će biti središta 12 lica dodekaedra.

Gdje još možete vidjeti ova nevjerovatna tijela?

U veoma lepoj knjizi nemačkog biologa s početka našeg veka, E. Hekela, „Lepota formi u prirodi“, mogu se pročitati sledeći redovi: „Priroda hrani u svojim nedrima neiscrpni broj neverovatnih stvorenja dotle nadmašuju sve oblike stvorene ljudskom umjetnošću u ljepoti i raznolikosti.” Kreacije prirode u ovoj knjizi su lijepe i simetrične. Ovo je neodvojivo svojstvo prirodnog sklada. Ali ovdje su vidljivi jednoćelijski organizmi - feodarii, čiji oblik precizno prenosi ikosaedar. Šta je uzrokovalo ovu prirodnu geometrizaciju? Možda zbog svih poliedara sa istim brojem lica, ikosaedar ima najveći volumen i najmanju površinu. Ovo geometrijsko svojstvo pomaže morskom mikroorganizmu da savlada pritisak vodenog stupca.

Zanimljivo je i da je upravo ikosaedar bio u fokusu pažnje biologa u njihovim sporovima oko oblika virusa. Virus ne može biti savršeno okrugao, kao što se ranije mislilo. Da bi ustanovili njegov oblik, uzeli su različite poliedre, usmjerili svjetlost na njih pod istim uglovima kao i protok atoma do virusa. Ispostavilo se da gore navedena svojstva omogućavaju čuvanje genetskih informacija. Pravilni poliedri su najprofitabilnije figure. I priroda to koristi. Pravilni poliedri određuju oblik kristalne rešetke nekih hemijske supstance. Sljedeći zadatak će ilustrovati ovu ideju.

Zadatak. Model molekule metana CH 4 ima oblik pravilnog tetraedra, sa atomima vodonika na četiri vrha i atomom ugljika u centru. Odredite ugao veze između dve CH veze.

<Рис. 6>

Rješenje. Pošto pravilan tetraedar ima šest jednakih ivica, moguće je izabrati kocku tako da su dijagonale njegovih strana ivice pravilnog tetraedra. Centar kocke je i centar tetraedra, jer su četiri vrha tetraedra ujedno i vrhovi kocke, a sfera opisana oko njih jedinstveno je određena sa četiri tačke koje ne leže u istoj ravni.

Trougao AOC je jednakokračan. Dakle, a je stranica kocke, d je dužina dijagonale bočne strane ili ivice tetraedra. Dakle, a = 54,73561 0 i j = 109,47 0

Zadatak. U kocki od jednog vrha (D) povučene su dijagonale lica DA, DB i DC i njihovi krajevi su povezani pravim linijama. Dokažite da je politop DABC koji čine četiri ravni koje prolaze kroz ove prave pravilan tetraedar.

<Рис. 7>

Zadatak. Ivica kocke je a. Izračunajte površinu pravilnog oktaedra koji je u nju upisan. Nađite njegov odnos prema površini pravilnog tetraedra upisanog u istu kocku.

<Рис. 8>

Generalizacija koncepta poliedra.

Poliedar je skup konačnog broja ravnih poligona tako da:

svaka strana bilo kojeg od poligona je u isto vrijeme i strana drugog (ali samo jedna (koja se naziva susjedna prvom) duž ove strane);
iz bilo kojeg od poligona koji čine poliedar, može se doći do bilo kojeg od njih prelaskom na onaj koji mu je susjedan, a iz ovog, pak, na onaj koji mu je susjed, itd.

Ovi poligoni se nazivaju lica, njihove stranice se nazivaju ivicama, a vrhovi su vrhovi poliedra.

Sljedeća definicija poliedra poprima različito značenje ovisno o tome kako je poligon definiran:

- ako se poligon shvati kao ravne zatvorene izlomljene linije (iako se same sebe sijeku), onda dolazi do ovu definiciju poliedar;

- ako se poligon shvati kao dio ravni omeđen isprekidanim linijama, onda se sa ove tačke gledišta poliedar podrazumijeva kao površina sastavljena od poligonalnih dijelova. Ako se ova površina ne siječe, onda je to puna površina nekog geometrijskog tijela, koje se također naziva poliedar. Odavde proizilazi i treća tačka gledišta o poliedrima kao geometrijskim tijelima, a postojanje “rupa” u tim tijelima, ograničenih konačnim brojem ravnih strana, također je dozvoljeno.

Najjednostavniji primjeri poliedara su prizme i piramide.

Poliedar se zove n- ugalj piramida, ako ima bilo koju od svojih lica (osnova). n- kvadrat, a preostale strane su trokuti sa zajedničkim vrhom koji ne leži u ravni baze. Trouglasta piramida se naziva i tetraedar.

Poliedar se zove n-ugljena prizma, ako su joj dvije strane (baze) jednake n-uglovi (koji ne leže u istoj ravni), dobiveni jedan od drugog paralelnim prevođenjem, a preostale strane su paralelogrami, čije su suprotne strane odgovarajuće stranice baza.

Za bilo koji politop roda nula, Eulerova karakteristika (broj vrhova minus broj ivica plus broj lica) jednaka je dva; simbolično: V - P + G = 2 (Eulerov teorem). Za poliedar iz roda str odnos B - R + G \u003d 2 - 2 str.

Konveksni poliedar je poliedar koji leži na jednoj strani ravni bilo koje njegove strane. Najvažniji su sljedeći konveksni poliedri:

<Рис. 9>

pravilni poliedri (Platonova tijela) - takvi konveksni poliedri, čije su sve strane isti pravilni mnogouglovi i svi poliedarski uglovi na vrhovima su pravilni i jednaki<Рис. 9, № 1-5>;
izogoni i izoedri - konveksni poliedri, čiji su svi poliedarski uglovi jednaki (izogoni) ili jednaki svim stranama (izoedri); štaviše, grupa rotacija (sa refleksijama) izogona (izoedra) oko centra gravitacije vodi bilo koji njegov vrh (lice) u bilo koji njegov drugi vrh (lice). Poliedri dobijeni na ovaj način nazivaju se polupravilni poliedri (Arhimedova čvrsta tijela)<Рис. 9, № 10-25>;
paraleloedri (konveksni) - poliedri, koji se smatraju tijelima, čiji paralelni presjek može ispuniti cijeli beskonačni prostor tako da ne ulaze jedan u drugi i ne ostavljaju praznine između sebe, tj. formirao podelu prostora<Рис. 9, № 26-30>;
Ako pod poligonom podrazumijevamo ravne zatvorene izlomljene linije (čak i ako se same sijeku), onda se mogu naznačiti još 4 nekonveksna (zvijezdasta) pravilna poliedra (Poinsotova tijela). U ovim poliedrima, ili se lica međusobno sijeku, ili su lica poligoni koji se sami sijeku.<Рис. 9, № 6-9>.

III. Domaći zadatak.

IV. Rješavanje zadataka br. 279, br. 281.

V. Sumiranje.

Spisak korišćene literature:

“Matematička enciklopedija”, ur I. M. Vinogradova, izdavačka kuća " Sovjetska enciklopedija“, Moskva, 1985. Tom 4, str. 552–553 Svezak 3, str. 708–711.
“Mala matematička enciklopedija”, E. Fried, I. Pastor, I. Reiman i dr. Izdavačka kuća Mađarske akademije nauka, Budimpešta, 1976. Str. 264–267.
“Zbirka zadataka iz matematike za studente univerziteta” u dvije knjige, priredio M.I. Scanavi, knjiga 2 - Geometrija, izdavačka kuća" postdiplomske škole“, Moskva, 1998. Str. 45–50.
„Praktični časovi iz matematike: Tutorial za tehničke škole“, izdavačka kuća „Vysshaya Shkola“, Moskva, 1979. Str. 388–395, str. 405.
„Repeat Mathematics”, izdanje 2–6, dopuna, Udžbenik za kandidate za univerzitete, izdavačka kuća „Vysshaya Shkola”, Moskva, 1974. Str. 446–447.
Enciklopedijski rečnik mladog matematičara, A. P. Savin, izdavačka kuća "Pedagogija", Moskva, 1989. Str. 197–199.
“Enciklopedija za djecu. T.P. Matematika”, glavni i odgovorni urednik M. D. Aksenova; metoda, i odn. urednik V. A. Volodin, Izdavačka kuća Avanta+, Moskva, 2003. Str. 338–340.
Geometrija, 10–11: Udžbenik za obrazovne institucije/ L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev i drugi - 10. izdanje - M.: Obrazovanje, 2001. Str. 68–71.
“Kvant” br. 9, 11 - 1983, br. 12 - 1987, br. 11, 12 - 1988, br. 6, 7, 8 - 1989. Naučno-popularni časopis za fiziku i matematiku Akademije nauka SSSR i Akademija pedagoških nauka SSSR-a. Izdavačka kuća "Nauka". Glavno izdanje fizičke i matematičke literature. Stranica 5-9, 6-12, 7-9, 10, 4-8, 13, 16, 58.
Rješavanje zadataka povećane složenosti iz geometrije: 11. razred - M.: ARKTI, 2002. Str. 9, 19–20.

Sadržaj članka

POLIEDAR, dio prostora omeđen skupom konačnog broja ravnih poligona povezanih na takav način da je svaka strana bilo kojeg poligona stranica točno jednog drugog poligona (koji se naziva susjedni poligon), a oko njega postoji tačno jedan ciklus poligona svaki vrh. Ovi poligoni se nazivaju lica, njihove stranice se nazivaju ivicama, a vrhovi poliedra.

Na sl. 1 predstavlja nekoliko dobro poznatih poliedara. Prva dva su primjeri R-piramide uglja, tj. poliedri sastavljeni od R-gon, zove se baza, i R trouglove koji su susjedni bazi i imaju zajednički vrh (koji se naziva vrh piramide). At R = 3 (cm. pirinač. jedan, a) bilo koje lice piramide može poslužiti kao osnova. Piramida, čija osnova ima oblik pravilnog R-gon se naziva regularnim R- piramida uglja. Dakle, možemo govoriti o kvadratu, pravilnom peterokutnom, itd. piramide. Na sl. jedan, in, 1,G i 1, d dati su primjeri određene klase poliedara, čiji se vrhovi mogu podijeliti u dva skupa od istog broja tačaka; tačke svakog od ovih skupova su vrhovi R-gon, i avioni oba str-uglovi su paralelni. Ako ovo dvoje R-uglovi (baze) su kongruentni i locirani tako da su vrhovi isti R R-ugao paralelnim pravolinijskim segmentima, onda se takav poliedar naziva R- ugljena prizma. Dva R-ugaone prizme mogu poslužiti kao trouglasta prizma ( R= 3) na sl. jedan, in i petougaona prizma ( R= 5) na sl. jedan, G. Ako se baze nalaze tako da su vrhovi jedan R-gon su povezani sa vrhovima drugog R-ugao cik-cak izlomljene linije koji se sastoji od 2 R pravi segmenti, kao na sl. jedan, d, onda se takav poliedar naziva R-ugljeni antiprizma.

Osim iz dva razloga, R- karbonska prizma dostupna R lica su paralelogrami. Ako su paralelogrami u obliku pravokutnika, tada se prizma naziva prava, a ako su, osim toga, osnove pravilne R-gons, tada se prizma zove prava linija R- ugljena prizma. R-ugljeni antiprizma ima (2 str+ 2) lica: 2 R trouglasta lica i dva str- baze uglja. Ako su baze kongruentne pravilne R-uglova, a prava koja povezuje njihove centre je okomita na njihove ravni, tada se antiprizma naziva pravilna prava R-ugljeni antiprizma.

U definiciji poliedra posljednja rezerva je napravljena kako bi se iz razmatranja isključile takve anomalije kao što su dvije piramide sa zajedničkim vrhom. Sada uvodimo dodatno ograničenje na skup dopuštenih poliedara zahtijevajući da se dvije strane ne seku, kao na sl. jedan, e. Svaki poliedar koji zadovoljava ovaj zahtjev dijeli prostor na dva dijela, od kojih je jedan konačan i naziva se "unutrašnji". Drugi, preostali dio, naziva se vanjski.

Poliedar se naziva konveksan ako nijedan pravi segment koji povezuje bilo koje dvije njegove tačke ne sadrži tačke koje pripadaju vanjskom prostoru. Poliedri na sl. jedan, a, 1,b, 1,in i 1, d konveksna, a petougaona prizma na sl. jedan, G nije konveksan, budući da je, na primjer, segment PQ sadrži tačke koje leže u vanjskom prostoru prizme.

PRAVILNI POLITOPI

Konveksni poliedar se naziva regularnim ako zadovoljava sljedeća dva uslova:

283(i) sva njegova lica su podudarni pravilni poligoni;

(ii) svaki vrh je susedan istom broju lica.

Ako su sve ivice ispravne R-gons i q od njih su susjedni svakom vrhu, tada se takav pravilan poliedar označava sa ( str, q). Ovu notaciju je predložio L. Schläfli (1814–1895), švajcarski matematičar koji je dao mnoge elegantne rezultate u geometriji i matematičkoj analizi.

Postoje nekonveksni poliedri čija se lica seku i nazivaju se "pravilni zvezdasti poliedri". Pošto smo se dogovorili da ne razmatramo takve poliedre, pod pravilnim poliedrima podrazumijevamo isključivo konveksne pravilne poliedre.

Platonska čvrsta tela.

Na sl. 2 prikazuje pravilne poliedre. Najjednostavniji od njih je pravilan tetraedar, čije su strane četiri jednakostranična trokuta i tri lica koja se graniče sa svakim vrhom. Tetraedar odgovara zapisu (3, 3). Nije ništa drugo nego poseban slučaj trouglasta piramida. Najpoznatiji od pravilnih poliedara je kocka (ponekad se naziva pravilni heksaedar) - ravna kvadratna prizma, čijih je svih šest strana kvadrata. Pošto su 3 kvadrata susedna svakom vrhu, kocka je označena (4, 3). Ako se dvije podudarne kvadratne piramide s licima u obliku jednakostraničnih trokuta spoje s bazama, onda se dobije poliedar, koji se naziva pravilni oktaedar. Omeđena je sa osam jednakostraničnih trouglova, četiri trokuta graniče sa svakim od vrhova, pa stoga odgovara zapisu (3, 4). Pravilni oktaedar se takođe može smatrati posebnim slučajem prave pravilne trouglaste antiprizme. Razmotrimo sada direktnu pravilnu petougaonu antiprizmu čija su lica u obliku jednakostraničnih trouglova i dvije pravilne petougaone piramide čije su osnove kongruentne osnovici antiprizme i čija su lica oblikovana kao jednakostranični trouglovi. Ako su ove piramide pričvršćene na antiprizmu, poravnavajući njihove baze, onda će se dobiti još jedan pravilan poliedar. Dvadeset njegovih strana je u obliku jednakostraničnih trouglova, sa pet lica koja se graniče sa svakim vrhom. Takav poliedar naziva se pravilni ikosaedar i označava se (3, 5). Pored gore spomenuta četiri pravilna poliedra, postoji još jedan - pravilan dodekaedar, ograničen sa dvanaest pentagonalnih lica; tri lica graniče sa svakim od njegovih vrhova, pa se dodekaedar označava kao (5, 3).

Gore navedenih pet pravilnih poliedara, često nazivanih i "Platonovim čvrstim tijelom", zaokupili su maštu matematičara, mistika i filozofa antike prije više od dvije hiljade godina. Stari Grci su čak uspostavili mističnu korespondenciju između tetraedra, kocke, oktaedra i ikosaedra i četiri prirodna principa - vatre, zemlje, vazduha i vode. Što se tiče petog pravilnog poliedra, dodekaedra, smatrali su ga oblikom svemira. Ove ideje nisu samo naslijeđe prošlosti. A sada, nakon dva milenijuma, mnoge privlači estetski princip koji je u njihovoj osnovi. Da oni do danas nisu izgubili na svojoj atraktivnosti, vrlo uvjerljivo svjedoči slika španskog umjetnika Salvadora Dalija. Posljednja večera.

Stari Grci su takođe proučavali mnoga geometrijska svojstva Platonovih čvrstih tela; plodovi njihovog istraživanja nalaze se u 13. knjizi Poceo Euclid. Proučavanje Platonovih tijela i srodnih figura nastavlja se do danas. I mada glavni motivi savremena istraživanja ljepota i simetrija služe, imaju i određenu naučnu vrijednost, posebno u kristalografiji. Kristali obične soli, natrijevog tioantimonida i kromnog aluma prirodno se javljaju u obliku kocke, tetraedra, odnosno oktaedra. Ikosaedar i dodekaedar se ne nalaze među kristalnim oblicima, ali se mogu uočiti među oblicima mikroskopskih morskih organizama poznatih kao radiolarije.

Broj pravilnih poliedara.

Prirodno je zapitati se postoje li drugi pravilni poliedri osim Platonovih tijela. Kao što pokazuju sljedeća jednostavna razmatranja, odgovor mora biti ne. Neka ( str, q) je proizvoljan pravilan poliedar. Pošto su mu lica ispravna R-uglovi, njihovi unutrašnji uglovi, kao što je lako pokazati, jednaki su (180 - 360 / R) ili 180 (1 – 2/ R) stepeni. Pošto je poliedar ( str, q) je konveksan, zbir svih unutrašnjih uglova duž lica koja graniče sa bilo kojim od njegovih vrhova mora biti manji od 360 stepeni. Ali na svaki vrh susedni q lica, pa nejednakost

Lako je to vidjeti str i q mora biti veći od 2. Zamjena u (1) R= 3, nalazimo da su jedine važeće vrijednosti q u ovom slučaju su 3, 4 i 5, tj. dobijamo politope (3, 3), (3, 4) i (3, 5). At R= 4 je jedina važeća vrijednost q je 3, tj. poliedar (4, 3), sa R= 5 nejednakost (1) takođe zadovoljava samo q= 3, tj. poliedar (5, 3). At str> 5 dozvoljenih vrednosti q ne postoji. Dakle, ne postoje drugi pravilni poliedri, osim Platonovih tijela.

Svih pet pravilnih poliedara je navedeno u tabeli ispod. Poslednje tri kolone označavaju N 0 - broj vrhova, N 1 je broj ivica i N 2 je broj strana svakog poliedra.

Nažalost, definicija pravilnog poliedra data u mnogim udžbenicima geometrije je nepotpuna. Uobičajena greška je da definicija zahtijeva samo ispunjenje prethodnog uvjeta (i), ali izostavlja uvjet (ii). U međuvremenu, uslov (ii) je apsolutno neophodan, što se najlakše vidi razmatranjem konveksnog poliedra koji zadovoljava uslov (i), ali ne zadovoljava uslov (ii). Najjednostavniji primjer ove vrste može se konstruirati poistovjećivanjem lica pravilnog tetraedra sa licem drugog tetraedra koji je kongruentan prvom. Kao rezultat, dobijamo konveksni poliedar čijih šest strana su podudarni jednakostrani trouglovi. Međutim, tri lica su susjedna nekim vrhovima, a četiri drugima, što narušava uvjet (ii).

PET PRAVILNIH POLITOPA
Ime	Schläflijev unos	N 0 (broj vrhova)	N 1 (broj rebara)	N 2 (broj lica)
Tetrahedron
Kocka
Oktaedar
ikosaedar
Dodecahedron

Svojstva pravilnih poliedara.

Vrhovi bilo kojeg pravilnog poliedra leže na sferi (što nije iznenađujuće, s obzirom da vrhovi bilo kojeg pravilnog poliedra leže na kružnici). Pored ove sfere, nazvane "opisana sfera", postoje još dvije važne sfere. Jedna od njih, "srednja sfera", prolazi kroz sredine svih ivica, a druga, "upisana sfera", dodiruje sva lica u njihovim centrima. Sve tri sfere imaju zajednički centar, koji se naziva središte poliedra.

Dualni poliedri.

Razmotrimo pravilan poliedar ( str, q) i njegova srednja sfera S. Sredina svake ivice dodiruje sferu. Zamjena svake ivice sa segmentom okomitim na liniju tangentu na S u istoj tački, dobijamo N 1 rub politopa dualan politopu ( str, q). Lako je pokazati da su lica dualnog poliedra pravilna q-gons i da je svaki vrh susjedan R lica. Prema tome, poliedar ( str, q) pravilni poliedar je dualan ( q, str). Politop (3, 3) je dualan drugom politopu (3, 3) kongruentan originalnom (zato se (3, 3) naziva samodualni politop), politop (4, 3) je dualan politopu (3, 4), a politop (5, 3) je poliedar (3, 5). Na sl. 3 poliedra (4, 3) i (3, 4) su prikazana u poziciji dualnosti jedan prema drugom. Osim toga, svaki vrh, svaki rub i svaka strana poliedra ( str, q) odgovara jednom licu, jednom rubu i jednom vrhu dualnog politopa ( q, str). Stoga, ako ( str, q) Ima N 0 vrhova, N 1 rebro i N 2 lica, zatim ( q, str) Ima N 2 vrha, N 1 rebro i N 0 lica.

Pošto svaki od N 2 lica pravilnog poliedra ( str, q) ograničeno R ivice i svaka ivica je zajednička za tačno dva lica, onda postoje pN 2/2 rebra, dakle N 1 = pN 2/2. Dualni poliedar ( q, str) ivice također N 1 i N 0 ivica, dakle N 1 = qN 0/2. Dakle, brojevi N 0 , N 1 i N 2 za bilo koji pravilan poliedar ( str, q) povezani su relacijom

Simetrija.

Glavni interes za pravilne poliedre je veliki broj simetrije koje imaju. Pod simetrijom (ili transformacijom simetrije) poliedra podrazumijevamo njegovo kretanje kao čvrsto telo u prostoru (na primjer, rotacija oko određene prave linije, refleksija o određenoj ravni, itd.), što ostavlja nepromijenjenim skup vrhova, ivica i lica poliedra. Drugim riječima, pod djelovanjem transformacije simetrije, vrh, ivica ili lice ili zadržavaju svoj prvobitni položaj ili se prebacuju u prvobitni položaj drugog vrha, druge ivice ili drugog lica.

Postoji jedna simetrija koja je zajednička za sve poliedre. Radi se o o identičnoj transformaciji ostavljajući bilo koju tačku u njenom prvobitnom položaju. Nailazimo na manje trivijalan primjer simetrije u slučaju prave linije R-ugljena prizma. Neka l- prava linija koja povezuje centre baza. okreni se l na bilo koji cijeli broj višekratnik ugla 360/ R stepeni je simetrija. Neka, dalje, str- ravan koja prolazi u sredini između baza paralelnih s njima. Refleksija o avionu str(pokret koji prevodi bilo koju tačku P upravo P u , takav da str prelazi segment PP¢ pod pravim uglom i deli ga na pola) je još jedna simetrija. Kombinacija refleksije u odnosu na ravan str sa okretom oko prave linije l, dobijamo još jednu simetriju.

Bilo koja simetrija poliedra može se predstaviti kao proizvod refleksije. Proizvod više gibanja poliedra kao krutog tijela ovdje znači izvođenje pojedinačnih kretanja određenim unaprijed određenim redoslijedom. Na primjer, gore spomenuta rotacija od 360 R stepeni oko prave linije l je proizvod refleksije u odnosu na bilo koje dvije ravni koje sadrže l i formiraju jedan u odnosu na drugi ugao od 180 / R stepeni. Simetrija koja je proizvod parnog broja refleksija naziva se direktna, inače se naziva inverzna. Dakle, svaka rotacija oko prave linije je direktna simetrija. Svaka refleksija je inverzna simetrija.

Razmotrimo detaljnije simetrije tetraedra, tj. pravilan poliedar (3, 3). Svaka linija koja prolazi kroz bilo koji vrh i centar tetraedra prolazi kroz centar suprotnog lica. Rotacija od 120 ili 240 stepeni oko ove linije je jedna od simetrija tetraedra. Pošto tetraedar ima 4 vrha (i 4 lica), dobijamo ukupno 8 direktnih simetrija. Svaka prava linija koja prolazi središtem i središtem ivice tetraedra prolazi kroz sredinu suprotne ivice. Okret za 180 stepeni (pola okreta) oko takve prave linije je takođe simetrija. Pošto tetraedar ima 3 para ivica, dobijamo još 3 direktne simetrije. shodno tome, ukupan broj direktne simetrije, uključujući transformaciju identiteta, idu do 12. Može se pokazati da nema drugih direktnih simetrija i da postoji 12 inverznih simetrija. Dakle, tetraedar dozvoljava ukupno 24 simetrije. Radi jasnoće, korisno je napraviti kartonski model pravilnog tetraedra i osigurati da tetraedar zaista ima 24 simetrije. Razvoji koji se mogu izrezati iz tankog kartona i, nakon presavijanja, zalijepiti iz njih pet pravilnih poliedara, prikazani su na sl. četiri.

Direktne simetrije preostalih pravilnih poliedara mogu se opisati ne pojedinačno, već sve zajedno. Dozvolite da se dogovorimo da razumijemo ( str, q) bilo koji pravilan poliedar, osim (3, 3). Prava linija koja prolazi kroz centar ( str, q) i bilo koji vrh prolazi kroz suprotni vrh, a svaka rotacija za cijeli broj višekratnik od 360/ q stepeni oko ove linije je simetrija. Dakle, za svaku takvu liniju postoji, uključujući transformaciju identiteta, ( q– 1) različite simetrije. Svaka takva linija povezuje dva od N 0 vrhova; dakle, sve takve prave linije - N 0 /2, što daje ( q – 1) > N 0 /2 simetrije. Osim toga, linija koja prolazi kroz centar poliedra ( str, q) i središte bilo kojeg lica prolazi kroz centar suprotnog lica, a svaka rotacija oko takve prave linije za cijeli broj višekratnik od 360/ R stepeni je simetrija. Pošto je ukupan broj takvih linija N 2/2, gdje N 2 je broj strana poliedra ( str, q), dobijamo ( str – 1) N 2/2 različite simetrije, uključujući transformaciju identiteta. Konačno, prava koja prolazi kroz centar i sredinu bilo koje ivice poliedra ( str, q) prolazi središtem suprotne ivice, a simetrija je pola okreta oko ove prave. Pošto postoji N 1/2 takvih linija, gdje N 1 je broj ivica poliedra ( str, q), dobijamo više N 1/2 simetrije. Uzimajući u obzir identičnu transformaciju, dobijamo

direktne simetrije. Ne postoje druge direktne simetrije, a ima isto toliko inverznih simetrija.

Iako formula (3) nije dobijena za poliedar (3, 3), lako je potvrditi da je tačna i za njega. Dakle, politop (3, 3) ima 12 direktnih simetrija, poliedri (4, 3) i (3, 4) imaju po 24 simetrije, a politopi (5, 3) i (3, 5) imaju po 60 simetrija .

Čitaoci koji su upoznati sa apstraktnom algebrom će shvatiti da su simetrije poliedra ( str, q) formiraju grupu s obzirom na "množenje" definirano gore. U ovoj grupi direktne simetrije čine podgrupu indeksa 2, dok inverzne simetrije ne čine grupu, jer narušavaju svojstvo zatvaranja i ne sadrže transformaciju identiteta (element identiteta grupe). Obično se grupa direktnih simetrija naziva grupom poliedra, a puna grupa simetrija njegova proširena grupa. Iz svojstava dualnih politopa razmatranih gore, jasno je da svaki regularni politop i njegov dualni politop imaju istu grupu. Grupa tetraedara se naziva grupa tetraedara, grupa kocke i oktaedra se naziva oktaedarska grupa, a grupa dodekaedara i ikosaedara se naziva ikosaedarska grupa. Oni su izomorfni alternativnoj grupi ALI 4 od četiri znaka, simetrična grupa S 4 od četiri karaktera i naizmjenična grupa ALI 5 od pet znakova respektivno.

Ojlerova formula

Gledajući tabelu, može se uočiti zanimljiv odnos između broja vrhova N 0 , broj ivica N 1 i broj lica N 2 bilo kojeg konveksnog pravilnog politopa ( str, q). Radi se o omjeru

Zamjenom dobijenih izraza u formule (3) i (4) dobijamo da je broj direktnih simetrija poliedra ( str, q) jednako

Ovaj broj se također može napisati u jednom od ekvivalentnih oblika: qN 0 , 2N 1 ili pN 2 .

Opseg Ojlerove formule.

Značaj Ojlerove formule je pojačan činjenicom da je primjenjiva ne samo na Platonova tijela, već i na bilo koji poliedar koji je homeomorfan sferi ( cm. TOPOLOGIJA). Ova tvrdnja se dokazuje na sljedeći način.

Neka P je bilo koji poliedar homeomorfan sferi, sa N 0 vrhova, N 1 rebra i N 2 lica; neka c = N 0 – N 1 + N 2 - Eulerova karakteristika poliedra P. To je potrebno dokazati c= 2. Pošto R je homeomorfna sferi, možemo ukloniti jedno lice, a ostatak pretvoriti u neku konfiguraciju na ravni (na primjer, na slici 5, a i 5, b vidite prizmu sa uklonjenom prednjom ravninom). "Planarna konfiguracija" je mreža tačaka i pravih segmenata, nazvanih "vrhovi" i "ivice", respektivno, sa vrhovima koji služe kao krajevi ivica. Vrhove i ivice konfiguracije koju razmatramo smatramo pomerenim i deformisanim vrhovima i ivicama poliedra. Dakle, ova konfiguracija ima N 0 vrhova i N 1 rebro. Odmori se N 2 - 1 lica poliedra su deformisana u N 2 – 1 područja koja se ne preklapaju na ravni definisanoj konfiguracijom. Nazovimo ove oblasti "licama" konfiguracije. Vrhovi, rubovi i lica konfiguracije određuju Eulerovu karakteristiku, koja je u ovom slučaju jednaka c – 1.

Sada ćemo izravnati tako da je uklonjeno lice bilo R-gon, onda sve N 2 - 1 konfiguracijska lica će ispuniti unutrašnjost R-gon. Neka ALI- neki vrh unutra R-gon. Pretpostavimo da u ALI konvergirati r rebra. Ako izbrišete ALI i sve r bridova koji konvergiraju u njemu, tada će se broj vrhova smanjiti za 1, bridova - za r, lica - na r – 1 (cm. pirinač. 5, b i 5, in). Nova konfiguracija Nŭ 0 = N 0 - 1 vrh, Nŭ 1 = N 1 – r rebra i Nŭ 2 = N 2 – 1 – (r– 1) lica; shodno tome,

Dakle, uklanjanje jednog unutrašnjeg vrha i ivica koje konvergiraju na njemu ne mijenja Eulerovu karakteristiku konfiguracije. Stoga, uklanjanjem svih unutrašnjih vrhova i rubova koji konvergiraju na njima, na taj način smanjujemo konfiguraciju na R-gon i njegova unutrašnjost (sl. 5, G). Ali Eulerova karakteristika ostaje jednaka c– 1, a pošto konfiguracija ima R vrhovi, R ivice i 1 lice, dobijamo

Na ovaj način, c= 2, što je trebalo dokazati.

Nadalje, može se dokazati da ako je Eulerova karakteristika politopa 2, onda je politop homeomorfan sferi. Drugim riječima, možemo generalizirati gornji rezultat pokazujući da je politop homeomorfan sferi ako i samo ako je njegova Eulerova karakteristika 2.

Generalizirana Eulerova formula.

Generalizirana Eulerova formula se koristi za klasifikaciju drugih poliedara. Ako neki politop ima 16 vrhova, 32 ivice i 16 lica, onda je njegova Ojlerova karakteristika 16 – 32 + 16 = 0. To nam omogućava da tvrdimo da ovaj politop pripada klasi poliedara homeomorfnih torusu. Posebnost ove klase je Eulerova karakteristika jednaka nuli. Općenito, neka R- poliedar sa N 0 vrhova, N 1 rebra i N 2 ruba. Za dati poliedar se kaže da je homeomorfan površini roda n ako i samo ako

Konačno, treba napomenuti da se situacija znatno komplikuje ako se povuče prethodno ograničenje, prema kojem se dvije strane poliedra ne smiju sjeći. Na primjer, pojavljuje se mogućnost postojanja dva nehomeomorfna poliedra sa istom Ojlerovom karakteristikom. Treba ih razlikovati po drugim topološkim svojstvima.

Svrha lekcije:

Uvesti koncept pravilnih poliedara.
Razmotrimo vrste pravilnih poliedara.
Rješavanje problema.
Uliti interesovanje za predmet, naučiti da vidi lepotu u geometrijskim tijelima, razvoj prostorne mašte.
Međupredmetne komunikacije.

Vidljivost: stolovi, modeli.

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat. Informišite temu lekcije, formulišite ciljeve lekcije.

II. Učenje novog gradiva/

Definicija pravilnog poliedra.

Poliedar se naziva pravilnim ako:

konveksan je;
sva njegova lica su pravilni poligoni jednaki jedan drugom;
isti broj ivica konvergira na svakom od njegovih vrhova;
svi njegovi diedralni uglovi su jednaki.

Teorema: Postoji pet različitih (do sličnosti) tipova pravilnih poliedara: pravilni tetraedar, pravilni heksaedar (kocka), pravilni oktaedar, pravilni dodekaedar i pravilni ikosaedar.

Tabela 1.Neka svojstva pravilnih poliedara data su u sljedećoj tabeli.

Tip lica	ravan ugao na vrhu	Pogled na poliedarski ugao na vrhu	Zbir ravnih uglova na vrhu	AT	R	G	Ime poliedra
pravougaonog trougla	60º	3-sided	180º	4	6	4	pravilni tetraedar
pravougaonog trougla	60º	4-sided	240º	6	12	8	Regularni oktaedar
pravougaonog trougla	60º	5-sided	300º	12	30	20	Regularni ikosaedar
Square	90º	3-sided	270º	8	12	6	Pravilni heksaedar (kocka)
pravougaonog trougla	108º	3-sided	324º	20	30	12	Regularni dodekaedar

Razmotrite vrste poliedara:

pravilni tetraedar

<Рис. 1>

Regularni oktaedar

<Рис. 2>

Regularni ikosaedar

<Рис. 3>

Pravilni heksaedar (kocka)

<Рис. 4>

Regularni dodekaedar

<Рис. 5>

Tabela 2. Formule za pronalaženje volumena pravilnih poliedara.

Vrsta poliedra	Volumen poliedra
pravilni tetraedar
Regularni oktaedar
Regularni ikosaedar
Pravilni heksaedar (kocka)
Regularni dodekaedar

"Platonska tijela".

Gdje još možete vidjeti ova nevjerovatna tijela?

Zanimljivo je i da je upravo ikosaedar bio u fokusu pažnje biologa u njihovim sporovima oko oblika virusa. Virus ne može biti savršeno okrugao, kao što se ranije mislilo. Da bi ustanovili njegov oblik, uzeli su različite poliedre, usmjerili svjetlost na njih pod istim uglovima kao i protok atoma do virusa. Ispostavilo se da gore navedena svojstva omogućavaju čuvanje genetskih informacija. Pravilni poliedri su najprofitabilnije figure. I priroda to koristi. Pravilni poliedri određuju oblik kristalne rešetke nekih hemikalija. Sljedeći zadatak će ilustrovati ovu ideju.

Zadatak. Model molekule metana CH 4 ima oblik pravilnog tetraedra, sa atomima vodonika na četiri vrha i atomom ugljika u centru. Odredite ugao veze između dve CH veze.

<Рис. 6>

Trougao AOC je jednakokračan. Dakle, a je stranica kocke, d je dužina dijagonale bočne strane ili ivice tetraedra. Dakle, a = 54,73561 0 i j = 109,47 0

<Рис. 7>

Zadatak. Ivica kocke je a. Izračunajte površinu pravilnog oktaedra koji je u nju upisan. Nađite njegov odnos prema površini pravilnog tetraedra upisanog u istu kocku.

<Рис. 8>

Generalizacija koncepta poliedra.

Poliedar je skup konačnog broja ravnih poligona tako da:

svaka strana bilo kojeg od poligona je u isto vrijeme i strana drugog (ali samo jedna (koja se naziva susjedna prvom) duž ove strane);
iz bilo kojeg od poligona koji čine poliedar, može se doći do bilo kojeg od njih prelaskom na onaj koji mu je susjedan, a iz ovog, pak, na onaj koji mu je susjed, itd.

Ovi poligoni se nazivaju lica, njihove stranice se nazivaju ivicama, a vrhovi su vrhovi poliedra.

Sljedeća definicija poliedra poprima različito značenje ovisno o tome kako je poligon definiran:

- ako se poligon shvati kao ravne zatvorene izlomljene linije (iako se same sebe sijeku), onda se dolazi do ove definicije poliedra;

Najjednostavniji primjeri poliedara su prizme i piramide.

Konveksni poliedar je poliedar koji leži na jednoj strani ravni bilo koje njegove strane. Najvažniji su sljedeći konveksni poliedri:

<Рис. 9>

pravilni poliedri (Platonova tijela) - takvi konveksni poliedri, čije su sve strane isti pravilni mnogouglovi i svi poliedarski uglovi na vrhovima su pravilni i jednaki<Рис. 9, № 1-5>;
izogoni i izoedri - konveksni poliedri, čiji su svi poliedarski uglovi jednaki (izogoni) ili jednaki svim stranama (izoedri); štaviše, grupa rotacija (sa refleksijama) izogona (izoedra) oko centra gravitacije vodi bilo koji njegov vrh (lice) u bilo koji njegov drugi vrh (lice). Poliedri dobijeni na ovaj način nazivaju se polupravilni poliedri (Arhimedova čvrsta tijela)<Рис. 9, № 10-25>;
paraleloedri (konveksni) - poliedri, koji se smatraju tijelima, čiji paralelni presjek može ispuniti cijeli beskonačni prostor tako da ne ulaze jedan u drugi i ne ostavljaju praznine između sebe, tj. formirao podelu prostora<Рис. 9, № 26-30>;
Ako pod poligonom podrazumijevamo ravne zatvorene izlomljene linije (čak i ako se same sijeku), onda se mogu naznačiti još 4 nekonveksna (zvijezdasta) pravilna poliedra (Poinsotova tijela). U ovim poliedrima, ili se lica međusobno sijeku, ili su lica poligoni koji se sami sijeku.<Рис. 9, № 6-9>.

III. Domaći zadatak.

IV. Rješavanje zadataka br. 279, br. 281.

V. Sumiranje.

Spisak korišćene literature:

“Matematička enciklopedija”, ur I. M. Vinogradova, izdavačka kuća „Sovjetska enciklopedija“, Moskva, 1985. Tom 4, str. 552–553, tom 3, str. 708–711.
“Mala matematička enciklopedija”, E. Fried, I. Pastor, I. Reiman i dr. Izdavačka kuća Mađarske akademije nauka, Budimpešta, 1976. Str. 264–267.
“Zbirka zadataka iz matematike za studente univerziteta” u dvije knjige, priredio M.I. Scanavi, knjiga 2 - Geometrija, izdavačka kuća "Viša škola", Moskva, 1998. Str. 45–50.
„Praktična nastava iz matematike: Udžbenik za tehničke škole“, izdavačka kuća „Vysshaya Shkola“, Moskva, 1979. Str. 388–395, str. 405.
„Repeat Mathematics”, izdanje 2–6, dopuna, Udžbenik za kandidate za univerzitete, izdavačka kuća „Vysshaya Shkola”, Moskva, 1974. Str. 446–447.
Enciklopedijski rečnik mladog matematičara, A. P. Savin, izdavačka kuća "Pedagogija", Moskva, 1989. Str. 197–199.
“Enciklopedija za djecu. T.P. Matematika”, glavni i odgovorni urednik M. D. Aksenova; metoda, i odn. urednik V. A. Volodin, Izdavačka kuća Avanta+, Moskva, 2003. Str. 338–340.
Geometrija, 10-11: Udžbenik za obrazovne ustanove / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev i drugi - 10. izdanje - M.: Obrazovanje, 2001. Str. 68–71.
“Kvant” br. 9, 11 - 1983, br. 12 - 1987, br. 11, 12 - 1988, br. 6, 7, 8 - 1989. Naučno-popularni časopis za fiziku i matematiku Akademije nauka SSSR i Akademija pedagoških nauka SSSR-a. Izdavačka kuća "Nauka". Glavno izdanje fizičke i matematičke literature. Stranica 5-9, 6-12, 7-9, 10, 4-8, 13, 16, 58.
Rješavanje zadataka povećane složenosti iz geometrije: 11. razred - M.: ARKTI, 2002. Str. 9, 19–20.