Sa segmentom jedinične dužine, drevni matematičari su već znali: znali su, na primjer, nesamjerljivost dijagonale i stranice kvadrata, što je ekvivalentno iracionalnosti broja.

Iracionalni su:

Primjeri dokaza iracionalnosti

Koren od 2

Pretpostavimo suprotno: on je racionalan, to jest, predstavljen je kao nesvodljivi razlomak, gdje su i cijeli brojevi. Kvadirajmo pretpostavljenu jednakost:

Iz ovoga slijedi da čak, dakle, čak i . Neka gdje cijeli. Onda

Stoga, čak, dakle, čak i . Dobili smo da su i parni, što je u suprotnosti sa nesvodljivošću razlomka . Dakle, prvobitna pretpostavka je bila pogrešna, i - ir racionalni broj.

Binarni logaritam broja 3

Pretpostavimo suprotno: on je racionalan, to jest, predstavljen je kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi. Od , i može se uzeti pozitivno. Onda

Ali jasno je, čudno je. Dobijamo kontradikciju.

e

Priča

Koncept iracionalnih brojeva implicitno su usvojili indijski matematičari u 7. veku pre nove ere, kada je Manava (oko 750. pne - oko 690. pne) otkrio da je kvadratni korijeni neki prirodni brojevi, kao što su 2 i 61, ne mogu se eksplicitno izraziti.

Prvi dokaz postojanja iracionalnih brojeva obično se pripisuje Hipasu od Metaponta (oko 500. pne), Pitagorejcu koji je pronašao ovaj dokaz proučavajući dužine stranica pentagrama. U doba Pitagorejaca vjerovalo se da postoji jedna jedinica dužine, dovoljno mala i nedjeljiva, koja je cijeli broj puta uključena u bilo koji segment. Međutim, Hipas je tvrdio da ne postoji jedinstvena jedinica dužine, jer pretpostavka o njenom postojanju dovodi do kontradikcije. On je pokazao da ako hipotenuza jednakokračnog pravokutnog trokuta sadrži cijeli broj jediničnih segmenata, onda taj broj mora biti i paran i neparan u isto vrijeme. Dokaz je izgledao ovako:

• Omjer dužine hipotenuze i dužine kraka jednakokračnog pravokutnog trokuta može se izraziti kao a:b, gdje a i b odabrana kao najmanja moguća.
• Prema Pitagorinoj teoremi: a² = 2 b².
• Jer a² čak, a mora biti paran (pošto bi kvadrat neparnog broja bio neparan).
• Zbog a:b nesvodivo b mora biti čudno.
• Jer ačak, označiti a = 2y.
• Onda a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², dakle b je paran onda bčak.
• Međutim, to je i dokazano b odd. Kontradikcija.

Grčki matematičari su ovaj omjer nesamjerljivih veličina nazvali alogos(neizrecivo), ali prema legendi, Hipasu nije odano dužno poštovanje. Postoji legenda da je Hipas došao do otkrića dok je bio na pomorskom putovanju i da su ga drugi pitagorejci bacili u more "zbog stvaranja elementa svemira, koji negira doktrinu da se svi entiteti u svemiru mogu svesti na cijele brojeve i njihove omjere. " Otkriće Hipasa predstavljalo je ozbiljan problem za pitagorejsku matematiku, uništavajući pretpostavku koja leži u osnovi cijele teorije da su brojevi i geometrijski objekti jedno i neodvojivo.

vidi takođe

Bilješke

Koji su brojevi iracionalni? iracionalan broj nije racionalan realan broj, tj. ne može se predstaviti kao razlomak (kao omjer dva cijela broja), gdje m je cijeli broj, n- prirodni broj. iracionalan broj može se predstaviti kao beskonačna neperiodična decimalni.

iracionalan broj ne može biti tačno. Samo u formatu 3.333333…. Na primjer, kvadratni korijen od dva - je iracionalan broj.

Šta je iracionalni broj? Iracionalan broj(za razliku od racionalnih) naziva se beskonačni decimalni neperiodični razlomak.

Mnogo iracionalnih brojevačesto se označava velikim latiničnim slovom podebljanim bez senčenja. to.:

One. skup iracionalnih brojeva je razlika između skupova realnih i racionalnih brojeva.

Svojstva iracionalnih brojeva.

• Zbir 2 nenegativna iracionalna broja može biti racionalan broj.
• Iracionalni brojevi definiraju Dedekindove dijelove u skupu racionalnih brojeva, u nižoj klasi koji nemaju veliki broj, a u gornjem nema manjeg.
• Svaki realni transcendentalni broj je iracionalan broj.
• Sve iracionalni brojevi su ili algebarski ili transcendentalni.
• Skup iracionalnih brojeva je svuda gust na brojevnoj pravoj: između svakog para brojeva nalazi se iracionalni broj.
• Red na skupu iracionalnih brojeva je izomorfan redu na skupu realnih transcendentnih brojeva.
• Skup iracionalnih brojeva je beskonačan, skup je 2. kategorije.
• Rezultat svake aritmetičke operacije nad racionalnim brojevima (osim dijeljenja sa 0) je racionalan broj. Rezultat aritmetičkih operacija nad iracionalnim brojevima može biti racionalan ili iracionalan broj.
• Zbir racionalnog i iracionalnog broja uvijek će biti iracionalan broj.
• Zbir iracionalnih brojeva može biti racionalan broj. Na primjer, neka x iracionalno, dakle y=x*(-1) takođe iracionalan; x+y=0, i broj 0 racionalno (ako, na primjer, dodamo korijen bilo kojeg stepena od 7 i minus korijen istog stepena od sedam, dobićemo racionalni broj 0).

Iracionalni brojevi, primjeri.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ

I iz njih su vukli svoje korijene latinska reč"ratio", što znači "razlog". Na osnovu doslovnog prijevoda:

• Racionalni broj je "razuman broj".
• Iracionalan broj je „nerazuman broj“.

Opšti koncept racionalnog broja

Racionalni broj je onaj koji se može zapisati kao:

1. Obični pozitivni razlomak.
2. Negativan obični razlomak.
3. Nula (0) kao broj.

Drugim riječima, sljedeće definicije će odgovarati racionalnom broju:

• Svaki prirodni broj je inherentno racionalan, budući da se svaki prirodni broj može predstaviti kao običan razlomak.
• Bilo koji cijeli broj, uključujući broj nula, budući da se svaki cijeli broj može napisati i kao pozitivan obični razlomak, kao negativan obični razlomak i kao broj nula.
• Svaki obični razlomak, i ovdje nije važno da li je pozitivan ili negativan, također se direktno približava definiciji racionalnog broja.
• Također je uključeno u definiciju je mješoviti broj, konačni decimalni razlomak ili beskonačan periodični razlomak.

Primjeri racionalnih brojeva

Razmotrimo primjere racionalnih brojeva:

• Prirodni brojevi - "4", "202", "200".
• Cijeli brojevi - "-36", "0", "42".
• Obični razlomci.

Iz navedenih primjera jasno je da racionalni brojevi mogu biti i pozitivni i negativni. Naravno, broj 0 (nula), koji je takođe racionalan broj, istovremeno ne spada u kategoriju pozitivnog ili negativnog broja.

Stoga, želim podsjetiti program opšteg obrazovanja koristeći sljedeću definiciju: “Racionalni brojevi” su oni brojevi koji se mogu napisati kao razlomak x/y, gdje je x (brojilac) cijeli broj, a y (imenik) prirodan broj.

Opšti pojam i definicija iracionalnog broja

Pored "racionalnih brojeva" poznajemo i takozvane "iracionalne brojeve". Pokušajmo ukratko definirati ove brojeve.

Čak su i drevni matematičari, želeći izračunati dijagonalu kvadrata duž njegovih stranica, saznali za postojanje iracionalnog broja.
Na osnovu definicije racionalnih brojeva, možete izgraditi logički lanac i definirati iracionalni broj.
Dakle, u stvari, oni realni brojevi koji nisu racionalni su, elementarno, iracionalni brojevi.
Decimalni razlomci, koji izražavaju iracionalne brojeve, nisu periodični i beskonačni.

Primjeri iracionalnog broja

Razmotrimo radi jasnoće mali primjer iracionalnog broja. Kao što smo već shvatili, beskonačni decimalni neperiodični razlomci nazivaju se iracionalnim, na primjer:

• Broj "-5.020020002 ... (jasno se vidi da su dvojke razdvojene nizom od jedan, dva, tri, itd. nula)
• Broj "7.040044000444 ... (ovdje je jasno da se broj četvorki i broj nula svaki put u lancu povećava za jedan).
• Svi poznati broj Pi (3,1415…). Da, da - takođe je iracionalno.

Općenito, svi realni brojevi su i racionalni i iracionalni. razgovor jednostavnim riječima, iracionalan broj se ne može predstaviti kao običan razlomak x / y.

Opšti zaključak i kratko poređenje brojeva

Razmatrali smo svaki broj posebno, razlika između racionalnog i iracionalnog broja ostaje:

1. Iracionalni broj se javlja kada se uzme kvadratni korijen, kada se krug podijeli s prečnikom, itd.
2. Racionalni broj predstavlja običan razlomak.

Završavamo naš članak s nekoliko definicija:

• Aritmetička operacija izvedena nad racionalnim brojem, osim dijeljenja sa 0 (nula), u krajnji rezultat takođe će dovesti do racionalnog broja.
• Krajnji rezultat, kada se izvrši aritmetička operacija nad iracionalnim brojem, može dovesti do racionalne i iracionalne vrijednosti.
• Ako oba broja sudjeluju u aritmetičkoj operaciji (osim dijeljenja ili množenja sa nulom), rezultat će nam dati iracionalan broj.

Iracionalni broj se može predstaviti kao beskonačan neperiodični razlomak. Skup iracionalnih brojeva je označen sa $I$ i jednak je: $I=R / Q$ .

Na primjer. Iracionalni brojevi su:

Operacije nad iracionalnim brojevima

Na skup iracionalnih brojeva mogu se uvesti četiri osnovne aritmetičke operacije: sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje; ali ni za jednu od navedenih operacija skup iracionalnih brojeva nema svojstvo zatvaranja. Na primjer, zbir dva iracionalna broja može biti racionalan broj.

Na primjer. Pronađite zbir dva iracionalna broja $0,1010010001 \ldots$ i $0,0101101110 \ldots$. Prvi od ovih brojeva formiran je nizom jedinica, odvojenih jednom nulom, dvije nule, tri nule, itd., Drugi - nizom nula, između kojih jedna, dvije jedinice, tri jedinice itd. postavljeni su:

$$0,1010010001 \ldots+0,0101101110 \ldots=0,111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$

Dakle, zbir dva data iracionalna broja je broj $\frac(1)(9)$, koji je racionalan.

Primjer

Vježbajte. Dokažite da je broj $\sqrt(3)$ iracionalan.

Dokaz. Koristićemo metodu dokazivanja kontradiktornošću. Pretpostavimo da je $\sqrt(3)$ racionalan broj, odnosno da se može predstaviti kao razlomak $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ , gdje su $m$ i $n$ koprosti prirodni brojevi.

Kvadiramo obje strane jednakosti, dobivamo

$$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$

Broj 3$\cdot n^(2)$ je djeljiv sa 3. Dakle, $m^(2)$ i stoga je $m$ djeljiv sa 3. Stavljanjem $m=3 \cdot k$, jednakost $3 \cdot n^ (2)=m^(2)$ može se napisati kao

$$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \Leftrightarrow n^(2)=3 \cdot k^(2)$$

Iz posljednje jednakosti slijedi da su $n^(2)$ i $n$ djeljivi sa 3, pa se razlomak $\frac(m)(n)$ može smanjiti za 3. Ali prema pretpostavci, razlomak $\ frac(m)(n)$ je nesvodiv. Dobivena kontradikcija dokazuje da se broj $\sqrt(3)$ ne može predstaviti kao razlomak $\frac(m)(n)$ i da je stoga iracionalan.

Q.E.D.

i π

Dakle, skup iracionalnih brojeva je razlika I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ) skupovi realnih i racionalnih brojeva.

Postojanje iracionalnih brojeva, tačnije segmenata koji su nesamerljivi sa segmentom jedinične dužine, bilo je poznato već starim matematičarima: poznavali su, na primer, nesamerljivost dijagonale i stranice kvadrata, što je ekvivalentno iracionalnosti broja 2 (\displaystyle (\sqrt (2))).

Svojstva

• Zbir dva pozitivna iracionalna broja može biti racionalan broj.
• Iracionalni brojevi definiraju Dedekindove dijelove u skupu racionalnih brojeva koji nemaju najveći broj u nižoj klasi niti najmanji broj u višoj klasi.
• Skup iracionalnih brojeva je svuda gust na realnoj liniji: između bilo koja dva različita broja nalazi se iracionalan broj.
• Red na skupu iracionalnih brojeva je izomorfan redu na skupu realnih transcendentnih brojeva. [ ]

Algebarski i transcendentalni brojevi

Svaki iracionalni broj je ili algebarski ili transcendentalan. Skup algebarskih brojeva je prebrojiv skup. Pošto je skup realnih brojeva neprebrojiv, skup iracionalnih brojeva je nebrojiv.

Skup iracionalnih brojeva je skup druge kategorije.

Kvadirajmo pretpostavljenu jednakost:

Priča

Antika

Koncept iracionalnih brojeva implicitno su usvojili indijski matematičari u 7. veku pre nove ere, kada je Manava (oko 750-690 pne) otkrio da se kvadratni koreni nekih prirodnih brojeva, kao što su 2 i 61, ne mogu eksplicitno izraziti [ ] .

Prvi dokaz postojanja iracionalnih brojeva, odnosno postojanja nesamerljivih segmenata, obično se pripisuje pitagorejskom Hipasu od Metaponta (oko 470. godine pne). U doba Pitagorejaca vjerovalo se da postoji jedna jedinica dužine, dovoljno mala i nedjeljiva, koja je cijeli broj puta uključena u bilo koji segment [ ] .

Ne postoje tačni podaci o tome čiju je iracionalnost broja dokazao Hipas. Prema legendi, pronašao ga je dok je proučavao dužine stranica pentagrama. Stoga je razumno pretpostaviti da je to bio zlatni rez, budući da je to omjer dijagonale prema strani u pravilnom peterokutu.

Grčki matematičari su ovaj omjer nesamjerljivih veličina nazvali alogos(neizrecivo), ali prema legendi, Hipasu nije odano dužno poštovanje. Postoji legenda da je Hipas došao do otkrića dok je bio na pomorskom putovanju i da su ga drugi pitagorejci bacili u more "zbog stvaranja elementa svemira, koji negira doktrinu da se svi entiteti u svemiru mogu svesti na cijele brojeve i njihove omjere. " Otkriće Hipasa predstavljalo je ozbiljan problem za pitagorejsku matematiku, uništavajući pretpostavku koja leži u osnovi cijele teorije da su brojevi i geometrijski objekti jedno i neodvojivo.

Kasnije je Eudoks iz Knida (410. ili 408. pne - 355. ili 347. pne) razvio teoriju proporcija koja je uzela u obzir i racionalne i iracionalne odnose. Ovo je poslužilo kao osnova za razumijevanje fundamentalne suštine iracionalnih brojeva. Vrijednost se počela posmatrati ne kao broj, već kao oznaka entiteta, kao što su segmenti linija, uglovi, površine, zapremine, vremenski intervali - entiteti koji se mogu kontinuirano mijenjati (u modernom smislu riječi). Vrijednosti su bile suprotstavljene brojevima, koji se mogu mijenjati samo "skakanjem" s jednog broja na drugi, na primjer, sa 4 na 5. Brojevi se sastoje od najmanje nedjeljive vrijednosti, dok se količine mogu neograničeno smanjivati.

Budući da nijedna kvantitativna vrijednost nije bila povezana s količinom, Eudoxus je mogao pokriti i sumjerljive i nesamjerljive količine definirajući razlomak kao omjer dvije veličine, a proporciju kao jednakost dva razlomka. Uklanjanjem kvantitativnih vrijednosti (brojeva) iz jednačina, izbjegao je zamku da iracionalnu veličinu mora nazvati brojem. Eudoksova teorija omogućila je grčkim matematičarima da ostvare nevjerovatan napredak u geometriji, dajući im neophodnu logiku za rad s nesamjerljivim veličinama. Deseta knjiga Euklidovih "Početaka" posvećena je klasifikaciji iracionalnih veličina.

Srednje godine

Srednji vijek je obilježen usvajanjem koncepata kao što su nula, negativni brojevi, cijeli i razlomci, prvo od strane indijskih, a zatim od strane kineskih matematičara. Kasnije su se pridružili arapski matematičari, koji su prvi smatrali negativne brojeve kao algebarske objekte (zajedno sa jednakim pravima s pozitivnim brojevima), što je omogućilo razvoj discipline koja se sada zove algebra.

Arapski matematičari kombinirali su drevne grčke koncepte "broja" i "vrijednosti" u jednu, općeniju ideju o realnim brojevima. Oni su bili kritični prema Euklidovim idejama o odnosima, za razliku od njih, razvili su teoriju odnosa proizvoljnih veličina i proširili koncept broja na relacije. kontinuirane količine. U svojim komentarima na 10. knjigu Euklidovih elemenata, perzijski matematičar Al Mahani (oko 800. godine nove ere) istraživao je i klasifikovao kvadratne iracionalne brojeve (brojeve oblika) i opštije kubične iracionalne brojeve. Dao je definiciju racionalnih i iracionalnih veličina, koje je nazvao iracionalnim brojevima. Lako je operisao ove objekte, ali je razmišljao kao zasebne objekte, na primjer:

Za razliku od Euklidovog koncepta da su količine prvenstveno segmenti linija, Al Mahani je smatrao da su cijeli brojevi i razlomci racionalne veličine, a kvadratni i kubni korijeni iracionalni. Uveo je i aritmetički pristup skupu iracionalnih brojeva, jer je upravo on pokazao iracionalnost sljedećih veličina:

Egipatski matematičar Abu Kamil (oko 850. CE - oko 930. CE) bio je prvi koji je smatrao da je prihvatljivo prihvatiti iracionalne brojeve kao rješenje kvadratne jednačine ili koeficijenti u jednadžbama - uglavnom u obliku kvadratnog ili kubnog korijena, kao i četvrtog korijena. U 10. veku, irački matematičar Al Hašimi pružio je opšte dokaze (umesto vizuelnih geometrijskih demonstracija) iracionalnosti proizvoda, količnika i rezultate drugih matematičkih transformacija iracionalnih i racionalnih brojeva. Al Khazin (900 CE - 971 CE) daje sljedeću definiciju racionalne i iracionalne količine:

Mnoge od ovih ideja su kasnije usvojili evropski matematičari nakon prevođenja arapskih tekstova na latinski u 12. veku. Al Hassar, arapski matematičar iz Magreba koji se specijalizirao za islamske zakone o nasljeđivanju, uveo je modernu simboličku matematičku notaciju za razlomke u 12. stoljeću, odvajajući brojilac i nazivnik horizontalnom crtom. Ista notacija se tada pojavila u Fibonačijevim delima u trinaestom veku. Tokom XIV-XVI vijeka. Madhava iz Sangamagrama i predstavnici Škole astronomije i matematike Kerala istraživali su beskonačne nizove koji konvergiraju nekim iracionalnim brojevima, na primjer, na π, a također su pokazali iracionalnost nekih trigonometrijske funkcije. Jestadeva je objavio ove rezultate u knjizi "Yuktibhaza". (dok dokazuje postojanje transcendentnih brojeva), čime se preispituje Euklidov rad na klasifikaciji iracionalnih brojeva. Na ovu temu objavljeni su radovi 1872. godine

Kontinuirane razlomke, usko povezane s iracionalnim brojevima (nastavljeni razlomak koji predstavlja dati broj je beskonačan ako i samo ako je broj iracionalan), prvi je istraživao Cataldi 1613. godine, a zatim je ponovo privukao pažnju u Ojlerovom radu i u početkom XIX veka - u delima Lagranža. Dirichlet je također dao značajan doprinos razvoju teorije kontinuiranih razlomaka. Godine 1761. Lambert je pokazao koristeći kontinuirane razlomke da π (\displaystyle \pi ) nije racionalan broj, a takođe i to e x (\displaystyle e^(x)) i tg ⁡ x (\displaystyle \operatorname (tg) x) su iracionalni za bilo koji racionalan različit od nule x (\displaystyle x). Iako se Lambertov dokaz može nazvati nepotpunim, općenito se smatra prilično rigoroznim, posebno s obzirom na vrijeme kada je napisan. Legendre je 1794., nakon što je uveo Bessel-Cliffordovu funkciju, pokazao da π 2 (\displaystyle \pi ^(2)) iracionalno, odakle i iracionalnost π (\displaystyle \pi ) slijedi trivijalno (racionalni broj na kvadrat bi dao racionalan broj).

Postojanje transcendentnih brojeva dokazao je Liouville 1844-1851. Kasnije je Georg Cantor (1873) pokazao njihovo postojanje koristeći drugačiji metod i dokazao da svaki interval realnog niza sadrži beskonačno mnogo transcendentnih brojeva. Charles Hermite je to dokazao 1873. godine e transcendentan, a Ferdinand Lindemann je 1882. godine, na osnovu ovog rezultata, pokazao transcendentnost π (\displaystyle \pi ) Književnost