Materijal ovog članka su početne informacije o iracionalni brojevi. Prvo ćemo dati definiciju iracionalnih brojeva i objasniti je. Evo nekoliko primjera iracionalnih brojeva. Na kraju, pogledajmo neke pristupe otkrivanju je li dati broj iracionalan ili ne.

Navigacija po stranici.

Definicija i primjeri iracionalnih brojeva

U proučavanju decimalnih razlomaka posebno smo razmatrali beskonačne neperiodične decimalne razlomke. Takvi razlomci nastaju kod decimalnog mjerenja dužina segmenata koji su neuporedivi s jednim segmentom. Također smo primijetili da se beskonačni neperiodični decimalni razlomci ne mogu pretvoriti u obične razlomke (pogledajte pretvaranje običnih razlomaka u decimale i obrnuto), stoga ovi brojevi nisu racionalni brojevi, već predstavljaju takozvane iracionalne brojeve.

Tako smo došli definicija iracionalnih brojeva.

Definicija.

Brojevi koji su u decimalni zapis su beskonačni decimalni razlomci koji se ne ponavljaju, nazivaju se iracionalni brojevi.

Zvučna definicija omogućava da se donese primjeri iracionalnih brojeva. Na primjer, beskonačni neperiodični decimalni razlomak 4.10110011100011110000... (broj jedinica i nula svaki put se povećava za jedan) je ir racionalni broj. Navedimo još jedan primjer iracionalnog broja: −22,353335333335 ... (broj trojki koje razdvajaju osmice svaki put se povećava za dva).

Treba napomenuti da su iracionalni brojevi prilično rijetki u obliku beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka. Obično se nalaze u obliku itd., kao iu obliku posebno uvedenih slova. po najviše poznatih primjera iracionalni brojevi u takvoj notaciji su aritmetički kvadratni korijen iz dva, broj "pi" π=3,141592…, broj e=2,718281… i zlatni broj.

Iracionalni brojevi takođe se mogu definisati u terminima realnih brojeva, koji kombinuju racionalne i iracionalne brojeve.

Definicija.

Iracionalni brojevi- ovo je realni brojevi, koji nisu racionalni.

Da li je ovaj broj iracionalan?

Kada se broj ne daje kao decimalni razlomak, već kao određeni korijen, logaritam itd., tada je u mnogim slučajevima prilično teško odgovoriti na pitanje da li je iracionalan.

Bez sumnje, u odgovoru na postavljeno pitanje, veoma je korisno znati koji brojevi nisu iracionalni. Iz definicije iracionalnih brojeva slijedi da racionalni brojevi nisu iracionalni brojevi. Dakle, iracionalni brojevi NISU:

  • konačnih i beskonačnih periodičnih decimalnih razlomaka.

Također, bilo koji sastav racionalnih brojeva povezanih znakovima aritmetičkih operacija (+, −, ·, :) nije iracionalan broj. To je zato što je zbir, razlika, proizvod i količnik dva racionalna broja racionalan broj. Na primjer, vrijednosti izraza i su racionalni brojevi. Ovdje napominjemo da ako u takvim izrazima među racionalnim brojevima postoji samo jedan iracionalni broj, tada će vrijednost cijelog izraza biti iracionalan broj. Na primjer, u izrazu je broj iracionalan, a ostali brojevi su racionalni, dakle, iracionalni broj. Da je to racionalan broj, onda bi iz ovoga proizlazila racionalnost broja, ali on nije racionalan.

Ako izraz, kojem je dat broj, sadrži nekoliko iracionalnih brojeva, korijenskih znakova, logaritama, trigonometrijske funkcije, brojevi π, e itd., onda je potrebno dokazati iracionalnost ili racionalnost datog broja u svakom konkretnom slučaju. Međutim, postoji niz već dobijenih rezultata koji se mogu koristiti. Hajde da navedemo glavne.

Dokazano je da je k-ti korijen cijelog broja racionalan broj samo ako je broj ispod korijena k-ti stepen drugog cijelog broja, u drugim slučajevima takav korijen definira iracionalan broj. Na primjer, brojevi i su iracionalni, jer ne postoji cijeli broj čiji je kvadrat 7, i ne postoji cijeli broj čije povećanje na peti stepen daje broj 15. A brojevi i nisu iracionalni, budući da i .

Što se tiče logaritama, ponekad je moguće kontradikcijom dokazati njihovu iracionalnost. Na primjer, dokažimo da je log 2 3 iracionalan broj.

Recimo da je log 2 3 racionalan broj, a ne iracionalan, odnosno da se može predstaviti kao običan razlomak m/n. i dozvoli nam da zapišemo sljedeći lanac jednakosti: . Posljednja jednakost je nemoguća, budući da je na njenoj lijevoj strani neparan broj, pa čak i na desnoj strani. Tako smo došli do kontradikcije, što znači da se naša pretpostavka pokazala pogrešnom, a to dokazuje da je log 2 3 iracionalan broj.

Imajte na umu da je lna za bilo koji pozitivan i ne-jedinični racionalan a iracionalan broj. Na primjer, i su iracionalni brojevi.

Također je dokazano da je broj e a iracionalan za bilo koji racionalan a različit od nule, te da je broj π z iracionalan za bilo koji cijeli broj z različit od nule. Na primjer, brojevi su iracionalni.

Iracionalni brojevi su također trigonometrijske funkcije sin , cos , tg i ctg za bilo koju racionalnu vrijednost argumenta različitu od nule. Na primjer, sin1, tg(−4), cos5,7, su iracionalni brojevi.

Postoje i drugi dokazani rezultati, ali ćemo se ograničiti na one koji su već navedeni. Također treba reći da je u dokazivanju navedenih rezultata, teorija povezana s algebarski brojevi i transcendentnim brojevima.

U zaključku, napominjemo da ne treba donositi ishitrene zaključke o iracionalnosti datih brojeva. Na primjer, čini se očiglednim da je iracionalan broj do iracionalnog stepena iracionalan broj. Međutim, to nije uvijek slučaj. Kao potvrdu iznesene činjenice dajemo diplomu. Poznato je da je - iracionalan broj, a takođe je dokazano da je - iracionalan broj, ali - racionalan broj. Također možete navesti primjere iracionalnih brojeva čiji su zbroj, razlika, proizvod i količnik racionalni brojevi. Štaviše, racionalnost ili iracionalnost brojeva π+e , π−e , π e , π π , π e i mnogih drugih još nije dokazana.

Bibliografija.

  • Matematika. 6. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje institucije / [N. Ya. Vilenkin i drugi]. - 22. izd., Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
  • algebra: udžbenik za 8 ćelija. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M. : Education, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.

Šta su iracionalni brojevi? Zašto se tako zovu? Gdje se koriste i šta su? Malo ko može bez oklijevanja odgovoriti na ova pitanja. Ali u stvari, odgovori na njih su prilično jednostavni, iako nisu potrebni svima iu vrlo rijetkim situacijama.

Suština i oznaka

Iracionalni brojevi su beskonačni neperiodični Potreba za uvođenjem ovog koncepta je zbog činjenice da za rješavanje novih problema koji se pojavljuju, ranije postojeći koncepti realnih ili realnih, cijelih, prirodnih i racionalnih brojeva više nisu bili dovoljni. Na primjer, da biste izračunali koliko je kvadrat od 2, trebate koristiti beskonačne decimale koje se ne ponavljaju. Osim toga, mnoge od najjednostavnijih jednačina također nemaju rješenja bez uvođenja koncepta iracionalnog broja.

Ovaj skup je označen sa I. I, kao što je već jasno, ove vrijednosti se ne mogu predstaviti kao jednostavan razlomak, u čijem će brojiocu biti cijeli broj, a u nazivniku -

Prvi put, na ovaj ili onaj način, indijski matematičari su se susreli sa ovim fenomenom u 7. veku, kada je otkriveno da kvadratni korijeni neke od količina se ne mogu eksplicitno navesti. A prvi dokaz postojanja takvih brojeva pripisuje se pitagorejskom Hipasu, koji je to učinio u procesu proučavanja jednakokračnog pravokutnog trokuta. Ozbiljan doprinos proučavanju ovog skupa dali su i neki drugi naučnici koji su živjeli prije naše ere. Uvođenje koncepta iracionalnih brojeva dovelo je do revizije postojećeg matematički sistem, zbog čega su toliko važni.

porijeklo imena

Ako je omjer na latinskom "razlomak", "razmjer", onda prefiks "ir"
daje toj reči suprotno značenje. Dakle, naziv skupa ovih brojeva ukazuje na to da se oni ne mogu povezati s cijelim ili razlomkom, oni imaju posebno mjesto. To proizilazi iz njihove prirode.

Mjesto u generalnoj klasifikaciji

Iracionalni brojevi, uz racionalne, spadaju u grupu realnih ili realnih brojeva, koji su zauzvrat složeni. Ne postoje podskupovi, međutim, postoje algebarski i transcendentalni varijeteti, o kojima će biti reči u nastavku.

Svojstva

Budući da su iracionalni brojevi dio skupa realnih brojeva, sva njihova svojstva koja se proučavaju u aritmetici su primjenjiva na njih (nazivaju se i osnovni algebarski zakoni).

a + b = b + a (komutativnost);

(a + b) + c = a + (b + c) (asocijativnost);

a + (-a) = 0 (postojanje suprotnog broja);

ab = ba (zakon pomeranja);

(ab)c = a(bc) (distributivnost);

a(b+c) = ab + ac (distributivni zakon);

a x 1/a = 1 (postojanje inverznog broja);

Poređenje se takođe vrši u skladu sa opštim zakonima i principima:

Ako je a > b i b > c, onda je a > c (tranzitivnost relacije) i. itd.

Naravno, svi iracionalni brojevi se mogu pretvoriti koristeći osnovnu aritmetiku. Za to ne postoje posebna pravila.

Osim toga, djelovanje Arhimedovog aksioma proteže se na iracionalne brojeve. Kaže da je za bilo koje dvije veličine a i b tačna tvrdnja da je uzimanjem a kao termina dovoljno puta moguće nadmašiti b.

Upotreba

Uprkos činjenici da u običan život ne tako često morate imati posla s njima, iracionalni brojevi se ne mogu prebrojiti. Ima ih puno, ali su gotovo nevidljivi. Okruženi smo iracionalnim brojevima svuda. Primjeri poznati svima su pi, što je 3,1415926... ili e, što je u suštini baza prirodni logaritam, 2.718281828... U algebri, trigonometriji i geometriji, morate ih stalno koristiti. Inače, čuveno značenje "zlatnog preseka", odnosno odnosa većeg dela prema manjem, i obrnuto, takođe

pripada ovom skupu. Manje poznato "srebro" - također.

Na brojevnoj pravoj nalaze se vrlo gusto, tako da između bilo koje dvije veličine koje se odnose na skup racionalnih nužno se javlja iracionalna.

Još uvijek ima mnogo neriješenih problema povezanih s ovim skupom. Postoje kriterijumi kao što su mera iracionalnosti i normalnost broja. Matematičari nastavljaju da istražuju najznačajnije primjere njihove pripadnosti jednoj ili drugoj grupi. Na primjer, smatra se da je e normalan broj, odnosno da je vjerovatnoća pojavljivanja različitih cifara u njegovom unosu ista. Što se tiče pi, istraživanja su još u toku. Mjera iracionalnosti je vrijednost koja pokazuje koliko dobro se određeni broj može aproksimirati racionalnim brojevima.

Algebarski i transcendentalni

Kao što je već spomenuto, iracionalni brojevi se uslovno dijele na algebarske i transcendentalne. Uslovno, pošto se, strogo govoreći, ova klasifikacija koristi za podelu skupa C.

Pod ovom oznakom skriveni su kompleksni brojevi, koji uključuju realne ili realne brojeve.

Dakle, algebarska vrijednost je vrijednost koja je korijen polinoma koji nije identično jednak nuli. Na primjer, kvadratni korijen od 2 bi bio u ovoj kategoriji jer je rješenje jednadžbe x 2 - 2 = 0.

Svi ostali realni brojevi koji ne zadovoljavaju ovaj uslov nazivaju se transcendentnim. Ova sorta uključuje i najpoznatije i već spomenute primjere - broj pi i bazu prirodnog logaritma e.

Zanimljivo je da ni jedno ni drugo matematičari nisu prvobitno izveli u ovom svojstvu, njihova iracionalnost i transcendentnost dokazani su mnogo godina nakon njihovog otkrića. Za pi, dokaz je dat 1882. i pojednostavljen 1894. godine, čime je stavljena tačka na 2.500-godišnju kontroverzu o problemu kvadrature kruga. Još uvijek nije u potpunosti shvaćeno, tako da moderni matematičari imaju na čemu raditi. Inače, prvi dovoljno tačan proračun ove vrijednosti izvršio je Arhimed. Prije njega su svi proračuni bili previše približni.

Za e (Eulerov ili Napierov broj), dokaz njegove transcendentnosti pronađen je 1873. Koristi se u rješavanju logaritamskih jednadžbi.

Drugi primjeri uključuju sinusne, kosinusne i tangentne vrijednosti za bilo koje algebarske vrijednosti različite od nule.

Skup iracionalnih brojeva obično se označava velikim latiničnim slovom ja (\displaystyle \mathbb (I) ) podebljano bez ispune. Na ovaj način: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), odnosno skup iracionalnih brojeva je razlika između skupova realnih i racionalnih brojeva.

Postojanje iracionalnih brojeva, tačnije segmenata koji su nesamerljivi sa segmentom jedinične dužine, bilo je poznato već starim matematičarima: poznavali su, na primer, nesamerljivost dijagonale i stranice kvadrata, što je ekvivalentno iracionalnosti broja.

Enciklopedijski YouTube

  • 1 / 5

    Iracionalni su:

    Primjeri dokaza iracionalnosti

    Koren od 2

    Recimo suprotno: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) racionalno, odnosno predstavljeno kao razlomak m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), gdje m (\displaystyle m) je cijeli broj i n (\displaystyle n)- prirodni broj.

    Kvadirajmo pretpostavljenu jednakost:

    2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Strelica desno 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).

    Priča

    Antika

    Koncept iracionalnih brojeva implicitno su usvojili indijski matematičari u 7. veku pre nove ere, kada je Manava (oko 750. pne - oko 690. pne) otkrio da se kvadratni koreni nekih prirodnih brojeva, kao što su 2 i 61, ne mogu eksplicitno izraziti [ ] .

    Prvi dokaz postojanja iracionalnih brojeva obično se pripisuje Hipasu od Metaponta (oko 500. pne.), Pitagorejcu. U vrijeme Pitagorejaca vjerovalo se da postoji jedna jedinica dužine, dovoljno mala i nedjeljiva, koja je cijeli broj puta uključena u bilo koji segment [ ] .

    Ne postoje tačni podaci o tome čiju je iracionalnost broja dokazao Hipas. Prema legendi, pronašao ga je proučavajući dužine stranica pentagrama. Stoga je razumno pretpostaviti da je to bio zlatni rez [ ] .

    Grčki matematičari su ovaj omjer nesamjerljivih veličina nazvali alogos(neizrecivo), ali prema legendi, Hipasu nije odano dužno poštovanje. Postoji legenda da je Hipas došao do otkrića dok je bio na pomorskom putovanju i da su ga drugi pitagorejci bacili u more "zbog stvaranja elementa svemira, koji negira doktrinu da se svi entiteti u svemiru mogu svesti na cijele brojeve i njihove omjere. " Otkriće Hipasa predstavljalo je ozbiljan problem za pitagorejsku matematiku, uništavajući temeljnu pretpostavku da su brojevi i geometrijski objekti jedno i neodvojivo.

    I iz njih su vukli svoje korijene latinska reč"ratio", što znači "razlog". Na osnovu doslovnog prijevoda:

    • Racionalni broj je "razuman broj".
    • Iracionalan broj je „nerazuman broj“.

    Opšti koncept racionalnog broja

    Racionalni broj je onaj koji se može zapisati kao:

    1. Obični pozitivni razlomak.
    2. Negativan obični razlomak.
    3. Nula (0) kao broj.

    Drugim riječima, sljedeće definicije će odgovarati racionalnom broju:

    • Svaki prirodni broj je inherentno racionalan, budući da se svaki prirodni broj može predstaviti kao običan razlomak.
    • Bilo koji cijeli broj, uključujući broj nula, budući da se svaki cijeli broj može napisati i kao pozitivan obični razlomak, kao negativan obični razlomak i kao broj nula.
    • Svaki obični razlomak, i ovdje nije bitno da li je pozitivan ili negativan, također se direktno približava definiciji racionalnog broja.
    • Također je uključeno u definiciju je mješoviti broj, final decimalni ili beskonačan periodični razlomak.

    Primjeri racionalnih brojeva

    Razmotrimo primjere racionalnih brojeva:

    • Prirodni brojevi - "4", "202", "200".
    • Cijeli brojevi - "-36", "0", "42".
    • Obični razlomci.

    Iz navedenih primjera jasno je da racionalni brojevi mogu biti i pozitivni i negativni. Naravno, broj 0 (nula), koji je takođe racionalan broj, istovremeno ne spada u kategoriju pozitivnog ili negativnog broja.

    Stoga, želim podsjetiti program opšteg obrazovanja koristeći sljedeću definiciju: “Racionalni brojevi” su oni brojevi koji se mogu napisati kao razlomak x/y, gdje je x (brojilac) cijeli broj, a y (imenik) prirodan broj.

    Opšti pojam i definicija iracionalnog broja

    Pored "racionalnih brojeva" poznajemo i takozvane "iracionalne brojeve". Pokušajmo ukratko definirati ove brojeve.

    Čak su i drevni matematičari, želeći izračunati dijagonalu kvadrata duž njegovih stranica, saznali za postojanje iracionalnog broja.
    Na osnovu definicije racionalnih brojeva, možete izgraditi logički lanac i definirati iracionalni broj.
    Dakle, u stvari, oni realni brojevi koji nisu racionalni su, elementarno, iracionalni brojevi.
    Decimalni razlomci, koji izražavaju iracionalne brojeve, nisu periodični i beskonačni.

    Primjeri iracionalnog broja

    Razmotrimo radi jasnoće mali primjer iracionalnog broja. Kao što smo već shvatili, beskonačni decimalni neperiodični razlomci nazivaju se iracionalnim, na primjer:

    • Broj "-5.020020002 ... (jasno se vidi da su dvojke razdvojene nizom od jedan, dva, tri, itd. nula)
    • Broj "7.040044000444 ... (ovdje je jasno da se broj četvorki i broj nula svaki put u lancu povećava za jedan).
    • Svi poznati broj Pi (3,1415…). Da, da - takođe je iracionalno.

    Općenito, svi realni brojevi su i racionalni i iracionalni. razgovor jednostavnim riječima, iracionalan broj se ne može predstaviti kao običan razlomak x / y.

    Opšti zaključak i kratko poređenje brojeva

    Razmatrali smo svaki broj posebno, razlika između racionalnog i iracionalnog broja ostaje:

    1. Iracionalni broj se javlja kada se uzme kvadratni korijen, kada se krug podijeli s prečnikom, itd.
    2. Racionalni broj predstavlja običan razlomak.

    Završavamo naš članak s nekoliko definicija:

    • Aritmetička operacija izvedena nad racionalnim brojem, osim dijeljenja sa 0 (nula), u krajnji rezultat takođe će dovesti do racionalnog broja.
    • Krajnji rezultat, kada se izvrši aritmetička operacija nad iracionalnim brojem, može dovesti do racionalne i iracionalne vrijednosti.
    • Ako oba broja sudjeluju u aritmetičkoj operaciji (osim dijeljenja ili množenja sa nulom), rezultat će nam dati iracionalan broj.

    Sa segmentom jedinične dužine, drevni matematičari su već znali: znali su, na primjer, nesamjerljivost dijagonale i stranice kvadrata, što je ekvivalentno iracionalnosti broja.

    Iracionalni su:

    Primjeri dokaza iracionalnosti

    Koren od 2

    Pretpostavimo suprotno: on je racionalan, to jest, predstavljen je kao nesvodljivi razlomak, gdje su i cijeli brojevi. Kvadirajmo pretpostavljenu jednakost:

    .

    Iz ovoga slijedi da čak, dakle, čak i . Neka gdje cijeli. Onda

    Stoga, čak, dakle, čak i . Dobili smo da i su parni, što je u suprotnosti sa nesvodljivošću razlomka . Dakle, prvobitna pretpostavka je bila pogrešna i predstavlja iracionalan broj.

    Binarni logaritam broja 3

    Pretpostavimo suprotno: on je racionalan, to jest, predstavljen je kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi. Od , i može se uzeti pozitivno. Onda

    Ali jasno je, čudno je. Dobijamo kontradikciju.

    e

    Priča

    Koncept iracionalnih brojeva su implicitno usvojili indijski matematičari u 7. veku pre nove ere, kada je Manava (oko 750 pne - oko 690 pne) otkrio da se kvadratni koreni nekih prirodnih brojeva, kao što su 2 i 61, ne mogu eksplicitno izraziti.

    Prvi dokaz postojanja iracionalnih brojeva obično se pripisuje Hipasu od Metaponta (oko 500. godine prije Krista), pitagorejcu koji je pronašao ovaj dokaz proučavajući dužine stranica pentagrama. U doba Pitagorejaca vjerovalo se da postoji jedna jedinica dužine, dovoljno mala i nedjeljiva, koja je cijeli broj puta uključena u bilo koji segment. Međutim, Hipas je tvrdio da ne postoji jedinstvena jedinica dužine, jer pretpostavka o njenom postojanju dovodi do kontradikcije. On je pokazao da ako hipotenuza jednakokračnog pravokutnog trougla sadrži cijeli broj jediničnih segmenata, onda taj broj mora biti i paran i neparan u isto vrijeme. Dokaz je izgledao ovako:

    • Omjer dužine hipotenuze i dužine kraka jednakokračnog pravokutnog trokuta može se izraziti kao a:b, gdje a i b odabrana kao najmanja moguća.
    • Prema Pitagorinoj teoremi: a² = 2 b².
    • Jer a² čak, a mora biti paran (pošto bi kvadrat neparnog broja bio neparan).
    • Zbog a:b nesvodivo b mora biti čudno.
    • Jer ačak, označiti a = 2y.
    • Onda a² = 4 y² = 2 b².
    • b² = 2 y², dakle b je paran onda bčak.
    • Međutim, to je i dokazano b odd. Kontradikcija.

    Grčki matematičari su ovaj omjer nesamjerljivih veličina nazvali alogos(neizrecivo), ali prema legendi, Hipasu nije odano dužno poštovanje. Postoji legenda da je Hipas došao do otkrića dok je bio na pomorskom putovanju i da su ga drugi pitagorejci bacili u more "zbog stvaranja elementa svemira, koji negira doktrinu da se svi entiteti u svemiru mogu svesti na cijele brojeve i njihove omjere. " Otkriće Hipasa predstavljalo je ozbiljan problem za pitagorejsku matematiku, uništavajući temeljnu pretpostavku da su brojevi i geometrijski objekti jedno i neodvojivo.

    vidi takođe

    Bilješke

    Numerički sistemi
    Brojanje
    setovi    		 cijeli brojevi ()