Definicija logaritma

Logaritam broja b prema bazi a je eksponent na koji trebate podići a da biste dobili b.

Broj e u matematici je uobičajeno da se označava granica kojoj izraz teži

Broj e je iracionalan broj - broj neuporediv sa jedinicom, ne može se tačno izraziti ni kao celina ni kao razlomak racionalno broj.

Pismo e- prvo slovo latinska reč exonere- razmetati se, otuda i naziv u matematici eksponencijalna- eksponencijalna funkcija.

Broj e naširoko koristi u matematici, iu svim naukama, na ovaj ili onaj način koristeći matematičke proračune za svoje potrebe.

Logaritmi. Svojstva logaritama

Definicija: Osnovni logaritam pozitivnog broja b je eksponent c na koji se broj a mora podići da bi se dobio broj b.

Osnovni logaritamski identitet:

7) Formula za prelazak na novu bazu:

lna = log e a, e ≈ 2,718…

Zadaci i testovi na temu „Logaritmi. Svojstva logaritama»

• Logaritmi - Važne teme za ponavljanje ispita iz matematike

Da biste uspješno obavili zadatke na ovu temu, morate znati definiciju logaritma, svojstva logaritma, osnovni logaritamski identitet, definicije decimalnog i prirodnog logaritma. Glavni tipovi zadataka na ovu temu su zadaci za izračunavanje i pretvaranje logaritamskih izraza. Razmotrimo njihovo rješenje na sljedećim primjerima.

Rješenje: Koristeći svojstva logaritama, dobijamo

Rješenje: koristeći svojstva stepena, dobijamo

1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25

Svojstva logaritama, formulacije i dokazi.

Logaritmi imaju niz karakterističnih svojstava. U ovom članku analizirat ćemo glavne svojstva logaritama. Ovdje dajemo njihove formulacije, zapisujemo svojstva logaritama u obliku formula, pokazujemo primjere njihove primjene, a također dajemo dokaze o svojstvima logaritama.

Navigacija po stranici.

Osnovna svojstva logaritama, formule

Radi lakšeg pamćenja i upotrebe, predstavljamo osnovna svojstva logaritama kao lista formula. U sljedećem dijelu dajemo njihove formulacije, dokaze, primjere upotrebe i potrebna objašnjenja.

Privatno svojstvo logaritma: , gdje je a>0, a≠1, x>0, y>0.

Posljedica: , gdje je a>0, a≠1, n prirodni broj veći od jedan, b>0.

Korol 1: , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .

Korol 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p i q su realni brojevi, q≠0 , posebno za b=a imamo .

Izjave i dokazi imovine

Prelazimo na formulaciju i dokaz zapisanih svojstava logaritama. Sva svojstva logaritma dokazuju se na osnovu definicije logaritma i osnovnog logaritamskog identiteta koji iz njega proizlazi, kao i svojstava stepena.

Počnimo sa svojstva logaritma jedinice. Njegova formulacija je sljedeća: logaritam jedinice jednak je nuli, tj. log a 1=0 za bilo koje a>0 , a≠1 . Dokaz je jednostavan: pošto je a 0 =1 za bilo koje a koje zadovoljava gornje uslove a>0 i a≠1, onda dokazana jednakost log a 1=0 odmah slijedi iz definicije logaritma.

Navedimo primjere primjene razmatranog svojstva: log 3 1=0 , lg1=0 i .

Pređimo na sljedeću imovinu: logaritam broja jednakog osnovici jednak je jedan, to je, log a a=1 za a>0 , a≠1 . Zaista, pošto je a 1 =a za bilo koje a , onda je po definiciji logaritma log a a=1 .

Primjeri korištenja ovog svojstva logaritama su log 5 5=1 , log 5.6 5.6 i lne=1 .

Logaritam stepena broja jednakog osnovici logaritma jednak je eksponentu. Ovo svojstvo logaritma odgovara formuli oblika log a a p =p, gdje je a>0, a≠1 i p bilo koji realan broj. Ovo svojstvo direktno slijedi iz definicije logaritma. Imajte na umu da vam omogućava da odmah odredite vrijednost logaritma, ako je moguće predstaviti broj pod znakom logaritma kao stupanj baze, o tome ćemo više govoriti u članku o izračunavanju logaritma.

Na primjer, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 i .

Logaritam proizvoda dva pozitivna broja x i y jednak je proizvodu logaritama ovih brojeva: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Dokažimo svojstvo logaritma proizvoda. Zbog svojstava stepena a log a x + log a y =a log a x a log a y , a pošto je po glavnom logaritamskom identitetu log a x =x i log a y =y , onda je log a x a log a y =x y . Dakle, log a x+log a y =x y , odakle tražena jednakost slijedi iz definicije logaritma.

Pokažimo primjere korištenja svojstva logaritma proizvoda: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 i .

Svojstvo logaritma proizvoda može se generalizirati na proizvod konačnog broja n pozitivnih brojeva x 1 , x 2 , …, x n kao log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n. Ova se jednakost lako može dokazati metodom matematičke indukcije.

Na primjer, prirodni logaritam proizvoda može se zamijeniti zbirom tri prirodna logaritma brojeva 4 , e i .

Logaritam količnika dva pozitivna broja x i y jednaka je razlici između logaritama ovih brojeva. Svojstvo kvocijentnog logaritma odgovara formuli oblika , gdje su a>0, a≠1, x i y neki pozitivni brojevi. Valjanost ove formule dokazuje se kao i formula za logaritam proizvoda: pošto , zatim po definiciji logaritma .

Evo primjera korištenja ovog svojstva logaritma: .

Idemo dalje svojstvo logaritma stepena. Logaritam stepena jednak je proizvodu eksponenta i logaritma modula baze ovog stepena. Ovo svojstvo logaritma stepena zapisujemo u obliku formule: log a b p =p log a |b|, gdje su a>0, a≠1, b i p brojevi takvi da stepen b p ima smisla i b p >0.

Prvo ćemo dokazati ovo svojstvo za pozitivno b . Osnovni logaritamski identitet nam omogućava da broj b predstavimo kao log a b, zatim b p =(a log a b) p, a rezultirajući izraz, zbog svojstva snage, jednak je a p log a b. Tako dolazimo do jednakosti b p =a p log a b , iz koje, po definiciji logaritma, zaključujemo da je log a b p =p log a b .

Ostaje dokazati ovo svojstvo za negativan b . Ovdje napominjemo da izraz log a b p za negativan b ima smisla samo za parne eksponente p (pošto vrijednost stepena b p mora biti veća od nule, inače logaritam neće imati smisla), a u ovom slučaju b p =|b| p . Tada je b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b| , odakle log a b p =p log a |b| .

Na primjer, i ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

To proizilazi iz prethodnog svojstva svojstvo logaritma iz korijena: logaritam korijena n-tog stepena jednak je umnošku razlomka 1/n i logaritma korijenskog izraza, odnosno gdje je a>0, a≠1, n prirodni broj veći od jedan, b>0.

Dokaz se zasniva na jednakosti (pogledajte definiciju eksponenta sa razlomačnim eksponentom), koja vrijedi za bilo koji pozitivan b , i svojstvu logaritma stepena: .

Evo primjera korištenja ovog svojstva: .

Sada dokažimo formulu konverzije u novu bazu logaritma vrsta . Da biste to učinili, dovoljno je dokazati valjanost jednakosti log c b=log a b log c a . Osnovni logaritamski identitet nam omogućava da broj b predstavimo kao log a b, a zatim log c b=log c a log a b. Ostaje koristiti svojstvo logaritma stepena: log c a log a b = log a b log c a . Time je dokazana jednakost log c b=log a b log c a, što znači da je dokazana i formula za prelazak na novu bazu logaritma .

Pokažimo nekoliko primjera primjene ovog svojstva logaritama: i .

Formula za prelazak na novu bazu omogućava vam da pređete na rad sa logaritmima koji imaju „prikladnu“ bazu. Na primjer, može se koristiti za prebacivanje na prirodne ili decimalne logaritme tako da možete izračunati vrijednost logaritma iz tablice logaritama. Formula za prijelaz na novu bazu logaritma također omogućava u nekim slučajevima da se pronađe vrijednost datog logaritma, kada su poznate vrijednosti nekih logaritama s drugim bazama.

Često se koristi poseban slučaj formule za prijelaz na novu bazu logaritma za c=b oblika . Ovo pokazuje da su log a b i log b a međusobno inverzni brojevi. Na primjer, .

Često se koristi i formula, što je zgodno za pronalaženje vrijednosti logaritma. Da bismo potvrdili naše riječi, pokazat ćemo kako se pomoću njega izračunava vrijednost logaritma obrasca. Imamo . Da bismo dokazali formulu, dovoljno je koristiti formulu prijelaza na novu bazu logaritma a: .

Ostaje dokazati svojstva poređenja logaritama.

Koristimo suprotnu metodu. Pretpostavimo da je za a 1 >1, a 2 >1 i a 1 2 i za 0 1 log a 1 b≤log a 2 b tačno. Po svojstvima logaritama, ove nejednačine se mogu prepisati kao i respektivno, a iz njih proizilazi da je log b a 1 ≤log b a 2 i log b a 1 ≥log b a 2, respektivno. Tada, prema svojstvima stepena sa istim bazama, moraju biti zadovoljene jednakosti b log b a 1 ≥b log b a 2 i b log b a 1 ≥b log b a 2, odnosno a 1 ≥a 2 . Dakle, došli smo do kontradikcije sa uslovom a 1 2 . Ovim je dokaz završen.

Osnovna svojstva logaritama

• Materijali za lekciju
• Preuzmite sve formule

Logaritmi, kao i svaki broj, mogu se sabirati, oduzimati i pretvarati na sve moguće načine. Ali pošto logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju osnovna svojstva.

Ova pravila moraju biti poznata – nijedan ozbiljan logaritamski problem ne može se riješiti bez njih. Osim toga, vrlo ih je malo - sve se može naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma sa istom bazom: log a x i log a y. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:

Dakle, zbir logaritama je jednak logaritmu proizvoda, a razlika je logaritam količnika. Imajte na umu: ključna stvar ovdje je - iste osnove. Ako su osnove različite, ova pravila ne funkcionišu!

Ove formule će pomoći u izračunavanju logaritamskog izraza čak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju "Šta je logaritam"). Pogledajte primjere - i pogledajte:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 6 4 + log 6 9.

Pošto su baze logaritama iste, koristimo formulu sume:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 2 48 − log 2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 3 135 − log 3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi su sastavljeni od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Na osnovu ove činjenice, mnogi test papiri. Da, ta kontrola - slični izrazi u punoj ozbiljnosti (ponekad - bez izmjena) se nude na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Sada da malo zakomplikujemo zadatak. Šta ako postoji stepen u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

• log a x n = n log a x ;
• 
• 

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu proračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primjenjivati ​​sve formule ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto, tj. možete unijeti brojeve ispred znaka logaritma u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 7 49 6 .

Oslobodimo se stepena u argumentu prema prvoj formuli:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

[Natpis slike]

Imajte na umu da je imenilac logaritam čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Imamo:

[Natpis slike]

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem. Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili su u obliku stepeni i izvadili indikatore - dobili su razlomak od tri sprata.

Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac imaju isti broj: log 2 7. Pošto je log 2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojilac, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prelazak na novu osnovu

Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su baze različite? Šta ako nisu tačne snage istog broja?

Formule za prelazak na novu bazu dolaze u pomoć. Formuliramo ih u obliku teoreme:

Neka je dat logaritam log a x. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

[Natpis slike]

Konkretno, ako stavimo c = x , dobićemo:

[Natpis slike]

Iz druge formule proizilazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam je u nazivniku.

Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti tek prilikom odlučivanja logaritamske jednačine i nejednakosti.

Međutim, postoje zadaci koji se nikako ne mogu riješiti osim prelaskom na novu osnovu. Razmotrimo nekoliko od ovih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma tačni eksponenti. Izvadimo indikatore: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

[Natpis slike]

Budući da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 9 100 lg 3.

Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Hajde da to zapišemo i riješimo se indikatora:

[Natpis slike]

Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:

[Natpis slike]

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno prikazati broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju, formule će nam pomoći:

1. n = log a a n

2. U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je to samo vrijednost logaritma.

   Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. To se zove osnovni logaritamski identitet.

   Zaista, šta će se dogoditi ako se broj b podigne na takav stepen da broj b na ovaj stepen daje broj a? Tako je: ovo je isti broj a . Pažljivo pročitajte ovaj odlomak ponovo - mnogi ljudi ga "zakače".

   Kao i nove formule osnovne konverzije, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.

   [Natpis slike]

   Imajte na umu da je log 25 64 = log 5 8 - samo uzmite kvadrat baze i argument logaritma. S obzirom na pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:

   [Natpis slike]

   Ako neko nije upoznat, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita 🙂

   Logaritamska jedinica i logaritamska nula

   U zaključku ću dati dva identiteta koja je teško nazvati svojstvima – radije, to su posljedice iz definicije logaritma. Stalno se nalaze u problemima i, iznenađujuće, stvaraju probleme čak i "naprednim" učenicima.

   1. log a a = 1 je logaritamska jedinica. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a iz same te baze jednak je jedan.
   2. log a 1 = 0 je logaritamska nula. Baza a može biti bilo koja, ali ako je argument jedan - logaritam je nula! Zato što je 0 = 1 direktna posljedica definicije.

   To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga - i riješite probleme.

   Logaritam. Svojstva logaritma (sabiranje i oduzimanje).

   Svojstva logaritma proizilaze iz njegove definicije. I tako logaritam broja b razumom a definiran kao eksponent na koji se broj mora podići a da dobijem broj b(logaritam postoji samo za pozitivne brojeve).

   Iz ove formulacije proizilazi da je proračun x=log a b, je ekvivalentno rješavanju jednačine ax=b. Na primjer, log 2 8 = 3 jer 8 = 2 3 . Formulacija logaritma omogućava da se opravda ako b=a c, zatim logaritam broja b razumom a jednaki With. Takođe je jasno da je tema logaritma usko povezana sa temom stepena broja.

   Sa logaritmima, kao i sa svakim brojevima, možete izvesti operacije sabiranja, oduzimanja i transformisati na svaki mogući način. Ali s obzirom na činjenicu da logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje vrijede njihova posebna pravila, koja se nazivaju osnovna svojstva.

   Sabiranje i oduzimanje logaritama.

   Uzmite dva logaritma sa istom bazom: log x i log a y. Zatim uklonite moguće je izvršiti operacije sabiranja i oduzimanja:

   kao što vidimo, zbir logaritama jednako je logaritmu proizvoda, i razlika logaritmi- logaritam količnika. I to je istina ako su brojevi a, X i at pozitivno i a ≠ 1.

   Važno je napomenuti da su glavni aspekt u ovim formulama iste baze. Ako se baze razlikuju jedna od druge, ova pravila ne vrijede!

   Pravila za sabiranje i oduzimanje logaritama sa istim osnovama čitaju se ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto. Kao rezultat, imamo teoreme za logaritam proizvoda i logaritam kvocijenta.

   Logaritam proizvoda dva pozitivna broja jednak je zbiru njihove logaritme ; parafrazirajući ovu teoremu, dobijamo sljedeće, ako su brojevi a, x i at pozitivno i a ≠ 1, zatim:

   Logaritam količnika dva pozitivna broja jednaka je razlici između logaritama dividende i djelitelja. Drugim riječima, ako su brojevi a, X i at pozitivno i a ≠ 1, zatim:

   Za rješavanje primjenjujemo gornje teoreme primjeri:

   Ako brojevi x i at su onda negativni formula logaritma proizvoda postaje besmisleno. Dakle, zabranjeno je pisati:

   budući da izrazi log 2 (-8) i log 2 (-4) uopće nisu definirani (logaritamska funkcija at= dnevnik 2 X definirano samo za pozitivne vrijednosti argumenta X).

   Teorema proizvoda primjenjiv je ne samo na dva, već i na neograničen broj faktora. To znači da za svaki prirodni k i bilo koje pozitivne brojeve x 1 , x 2 , . . . ,x n postoji identitet:

   Od teoreme kvocijentnog logaritma može se dobiti još jedno svojstvo logaritma. Dobro je poznat taj dnevnik a 1= 0, dakle,

   Dakle, postoji jednakost:

   Logaritmi dva međusobno recipročna broja po istoj osnovi će se razlikovati jedno od drugog samo u znaku. dakle:

   Logaritam. Svojstva logaritama

   Logaritam. Svojstva logaritama

   Razmotrite jednakost. Javite nam vrijednosti i želimo da pronađemo vrijednost .

   Odnosno, tražimo eksponent na koji treba da se nagnete da biste dobili .

   Neka varijabla može uzeti bilo koju realnu vrijednost, tada se na varijable nameću sljedeća ograničenja: o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/ >

   Ako znamo vrijednosti i , i suočeni smo sa zadatkom pronalaženja nepoznatog, tada se u tu svrhu uvodi matematička operacija koja se zove logaritam.

   Da pronađemo vrijednost koju uzimamo logaritam broja on temelj :

   Logaritam broja prema bazi je eksponent na koji trebate podići da biste dobili .

   To je osnovni logaritamski identitet:

   o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/>

   je u suštini matematička notacija logaritamske definicije.

   Logaritam matematičke operacije je inverzna eksponencijalnost, dakle svojstva logaritama su usko povezani sa svojstvima stepena.

   Navodimo glavne svojstva logaritama:

   (o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/>, 0,

   d>0″/>, 1″ title=”d1″/>

   4.

   5.

   Sljedeća grupa svojstava vam omogućava da eksponent izraza predstavite pod znakom logaritma ili koji stoji na bazi logaritma kao koeficijent prije znaka logaritma:

   6.

   7.

   8.

   9.

   Sledeća grupa formula omogućava vam da pređete od logaritma sa datom bazom na logaritam sa proizvoljnom bazom, i naziva se prelazne formule na novu bazu:

   10.

   12. (posledica iz svojstva 11)

   

   Sljedeća tri svojstva nisu dobro poznata, ali se često koriste pri rješavanju logaritamskih jednadžbi ili pri pojednostavljivanju izraza koji sadrže logaritme:

   13.

   14.

   15.

   Posebni slučajevi:

   — decimalni logaritam

   — prirodni logaritam

   Prilikom pojednostavljivanja izraza koji sadrže logaritme, primjenjuje se opći pristup:

   1. Upoznavanje decimale u obliku običnog.

   2. mešoviti brojevi predstavljeni kao nepravilni razlomci.

   3. Brojevi u osnovi logaritma i pod znakom logaritma razlažu se na proste faktore.

   4. Trudimo se da sve logaritme dovedemo na istu bazu.

   5. Primijeniti svojstva logaritama.

   Pogledajmo primjere pojednostavljivanja izraza koji sadrže logaritme.

   Primjer 1

   Izračunati:

   Pojednostavimo sve eksponente: naš zadatak je da ih dovedemo do logaritma čija je baza isti broj kao i baza eksponenta.

   ==(prema svojstvu 7)=(po svojstvu 6) =

   Zamijenite indikatore koje smo dobili u originalni izraz. Dobijamo:

   Odgovor: 5.25

   Primjer 2 Izračunajte:

   

   Sve logaritme dovodimo na bazu 6 (u ovom slučaju, logaritmi iz nazivnika razlomka će se „preseliti“ u brojilac):

   Razložimo brojeve pod znakom logaritma na proste faktore:

   Primijenite svojstva 4 i 6:

   Predstavljamo zamjenu

   Dobijamo:

   Odgovor: 1

   Logaritam . Osnovni logaritamski identitet.

   Svojstva logaritama. Decimalni logaritam. prirodni logaritam.

   logaritam pozitivan broj N u bazi (b > 0, b 1) naziva se eksponent x na koji treba podići b da biste dobili N .

   Ovaj unos je ekvivalentan sljedećem: b x = N .

   PRIMJERI: log 3 81 = 4 jer je 3 4 = 81 ;

   log 1/3 27 = – 3 jer (1/3) - 3 = 3 3 = 27 .

   Gornja definicija logaritma može se napisati kao identitet:

   

   Osnovna svojstva logaritama.

   2) log 1 = 0 jer b 0 = 1 .

   3) Logaritam proizvoda jednak je zbroju logaritama faktora:

   4) Logaritam kvocijenta jednak je razlici između logaritama dividende i djelitelja:

   5) Logaritam stepena jednak je umnošku eksponenta i logaritma njegove baze:

   Posljedica ovog svojstva je sljedeća: log root jednak je logaritmu korijenskog broja podijeljenog sa potencijom korijena:

   

   6) Ako je osnova logaritma stepen, onda je vrijednost recipročna vrijednost eksponenta može se izvaditi iz znaka dnevnika rime:

   

   Posljednja dva svojstva mogu se kombinirati u jednu:

   

   7) Formula za prijelazni modul (tj. prijelaz s jedne baze logaritma na drugu bazu):

   

   U konkretnom slučaju, kada N = a imamo:

   

   Decimalni logaritam pozvao osnovni logaritam 10. Označava se lg, tj. dnevnik 10 N= log N. Logaritmi brojeva 10, 100, 1000, . p su 1, 2, 3, …, redom, tj. imaju toliko pozitivnih

   jedinica, koliko je nula u logaritmskom broju nakon jedan. Logaritmi brojeva 0,1, 0,01, 0,001, . p su –1, –2, –3, …, respektivno, tj. imaju onoliko negativnih koliko ima nula u logaritmskom broju prije jedinice (uključujući nula cijelih brojeva). Logaritmi preostalih brojeva imaju razlomak koji se zove mantissa. Poziva se cijeli broj logaritma karakteristika. Za praktične primjene decimalni logaritmi su najpogodniji.

   prirodni logaritam pozvao osnovni logaritam e. Označava se sa ln, tj. log e N=ln N. Broj e je iracionalan, njegova približna vrijednost je 2,718281828. To je granica prema kojoj se broj (1 + 1 / n) n uz neograničeno povećanje n(cm. prva divna granica na stranici Ograničenja redoslijeda brojeva).
   Koliko god čudno izgledalo, prirodni logaritmi su se pokazali vrlo zgodnim prilikom izvođenja raznih operacija vezanih za analizu funkcija. Izračunavanje baznih logaritama e mnogo brže od bilo koje druge osnove.

• Kako dobiti potvrdu o državnoj registraciji vlasništva nad stanom? U skladu sa Ustavom Ruske Federacije, državi je povjerena funkcija garanta prava na privatno vlasništvo. Država ima svoja ovlaštenja u ovoj oblasti […] Kazna za nedostavljanje izvještaja SZV-M i RSV-1 FOJ Na kraju svakog izvještajnog i obračunskog perioda, osiguranik mora dostaviti potreban obračun Fondu PIO u RSV-1 obrazac. Ako iz bilo kojeg razloga […]
• Kada i kako dobiti fondovski dio penzije u Sberbanci? Sberbank je partnerska banka državnog penzionog fonda. Na osnovu toga, građani koji su izdali fondovsku penziju mogli bi prenijeti fondovsku […]
• Kako dobiti subvencije za račune za komunalije (renta)? Subvencije za račune za komunalne usluge daju se određenim kategorijama građana u skladu sa stambenim zakonodavstvom Ruske Federacije. Da biste saznali više o proceduri […]
• Informacije besplatno po TIN-u ili OGRN-u iz poreskog registra širom Rusije - online Na Jedinstvenom portalu poreskih usluga, informacije o državnoj registraciji pravnih lica, individualnih preduzetnika, […]
• Cessspool: sanitarni i građevinski propisi i propisi Za uređenje kanalizacije u vikendici ili gradskoj parceli potrebno je pridržavati se ne samo građevinskih, već i zakonodavnih standarda. Septička jama: norme i pravila za njeno uređenje [...]

U vezi sa

može se postaviti zadatak pronalaženja bilo kojeg od tri broja od druga dva data. Dato je a, a zatim se N nalazi eksponencijacijom. Ako je zadano N, a onda se a nađe izvlačenjem korijena stepena x (ili eksponencijacije). Sada razmotrite slučaj kada je, dato a i N, potrebno pronaći x.

Neka je broj N pozitivan: broj a je pozitivan i nije jednak jedinici: .

Definicija. Logaritam broja N prema bazi a je eksponent na koji trebate podići a da biste dobili broj N; logaritam je označen sa

Tako se u jednakosti (26.1) eksponent nalazi kao logaritam od N bazi a. Unose

imaju isto značenje. Jednakost (26.1) se ponekad naziva osnovnim identitetom teorije logaritama; u stvari, izražava definiciju koncepta logaritma. By ovu definiciju baza logaritma a je uvijek pozitivna i različita od jedinice; logaritamski broj N je pozitivan. Negativni brojevi i nula nemaju logaritme. Može se dokazati da bilo koji broj sa datom bazom ima dobro definiran logaritam. Stoga jednakost podrazumijeva . Imajte na umu da je uvjet ovdje bitan, inače zaključak ne bi bio opravdan, jer je jednakost istinita za sve vrijednosti x i y.

Primjer 1. Pronađite

Rješenje. Da biste dobili broj, morate podići bazu 2 na stepen.

Prilikom rješavanja takvih primjera možete snimati u sljedećem obliku:

Primjer 2. Pronađite .

Rješenje. Imamo

U primjerima 1 i 2 lako smo pronašli željeni logaritam predstavljajući logaritamski broj kao stepen baze s racionalnim eksponentom. U opštem slučaju, na primjer, za itd., to se ne može učiniti, jer logaritam ima iracionalnu vrijednost. Obratimo pažnju na jedno pitanje vezano za ovu izjavu. U § 12 dali smo koncept mogućnosti određivanja bilo koje realne snage datog pozitivnog broja. To je bilo neophodno za uvođenje logaritama, koji generalno mogu biti iracionalni brojevi.

Razmotrimo neka svojstva logaritama.

Svojstvo 1. Ako su broj i baza jednaki, onda je logaritam jednak jedinici, i obrnuto, ako je logaritam jednak jedinici, tada su broj i baza jednaki.

Dokaz. Neka Po definiciji logaritma imamo i odakle

Obrnuto, neka Onda po definiciji

Svojstvo 2. Logaritam jedinice bilo koje baze jednak je nuli.

Dokaz. Po definiciji logaritma (nulta snaga bilo koje pozitivne baze jednaka je jedan, vidi (10.1)). Odavde

Q.E.D.

Obrnuti iskaz je također istinit: ako je , tada je N = 1. Zaista, imamo .

Prije nego što navedemo sljedeće svojstvo logaritama, složimo se da dva broja a i b leže na istoj strani trećeg broja c ako su oba ili veća od c ili manja od c. Ako je jedan od ovih brojeva veći od c, a drugi manji od c, onda kažemo da leže na suprotnim stranama od c.

Svojstvo 3. Ako broj i baza leže na istoj strani jedinice, onda je logaritam pozitivan; ako broj i baza leže na suprotnim stranama jedinice, tada je logaritam negativan.

Dokaz svojstva 3 zasniva se na činjenici da je stepen a veći od jedan ako je baza veća od jedan, a eksponent pozitivan, ili je baza manja od jedan, a eksponent negativan. Stepen je manji od jedan ako je baza veća od jedan, a eksponent negativan, ili je baza manja od jedan, a eksponent pozitivan.

Postoje četiri slučaja koja treba razmotriti:

Ograničavamo se na analizu prvog od njih, ostalo će čitalac razmotriti sam.

Neka onda eksponent u jednakosti nije ni negativan ni jednak nuli, dakle pozitivan je, tj., što je trebalo dokazati.

Primjer 3. Saznajte koji su od sljedećih logaritama pozitivni, a koji negativni:

Rešenje, a) pošto se broj 15 i osnova 12 nalaze na istoj strani jedinice;

b) , budući da se 1000 i 2 nalaze na istoj strani jedinice; istovremeno, nije bitno da je baza veća od logaritamskog broja;

c), pošto 3.1 i 0.8 leže na suprotnim stranama jedinice;

G) ; zašto?

e) ; zašto?

Sljedeća svojstva 4-6 često se nazivaju pravilima logaritma: ona dozvoljavaju, znajući logaritme nekih brojeva, da se pronađu logaritmi njihovog proizvoda, količnika, stepena svakog od njih.

Svojstvo 4 (pravilo za logaritam proizvoda). Logaritam proizvoda nekoliko pozitivnih brojeva u datoj bazi jednak je zbroju logaritama ovih brojeva u istoj bazi.

Dokaz. Neka su dati pozitivni brojevi.

Za logaritam njihovog proizvoda zapisujemo jednakost (26.1) koja definira logaritam:

Odavde nalazimo

Upoređujući eksponente prvog i posljednjeg izraza, dobijamo traženu jednakost:

Imajte na umu da je uslov bitan; logaritam proizvoda dva negativna broja ima smisla, ali u ovom slučaju dobijamo

Općenito, ako je proizvod više faktora pozitivan, onda je njegov logaritam jednak zbiru logaritama modula ovih faktora.

Svojstvo 5 (pravilo kvocijentnog logaritma). Logaritam količnika pozitivnih brojeva jednak je razlici između logaritama dividende i djelitelja uzetih u istoj bazi. Dokaz. Konzistentno pronađite

Q.E.D.

Svojstvo 6 (pravilo logaritma stepena). Logaritam stepena bilo kojeg pozitivnog broja jednak je logaritmu tog broja pomnoženog sa eksponentom.

Dokaz. Ponovo pišemo glavni identitet (26.1) za broj:

Q.E.D.

Posljedica. Logaritam korijena pozitivnog broja jednak je logaritmu korijenskog broja podijeljenom sa eksponentom korijena:

Možemo dokazati valjanost ove posljedice tako što ćemo predstaviti kako i koristeći svojstvo 6.

Primjer 4. Logaritam na osnovu a:

a) (pretpostavlja se da su sve vrijednosti b, c, d, e pozitivne);

b) (pretpostavlja se da ).

Rješenje, a) Zgodno je ovaj izraz prijeći na razlomke:

Na osnovu jednakosti (26.5)-(26.7) sada možemo napisati:

Primjećujemo da se nad logaritmima brojeva izvode jednostavnije operacije nego nad samim brojevima: pri množenju brojeva se sabiraju njihovi logaritmi, kada se dijele oduzimaju itd.

Zbog toga su logaritmi korišćeni u računarskoj praksi (videti odeljak 29).

Radnja inverzna logaritmu naziva se potenciranje, naime: potenciranje je radnja kojom se sam taj broj pronalazi datim logaritmom broja. U suštini, potenciranje nije neka posebna radnja: ona se svodi na podizanje baze na stepen (jednak logaritmu broja). Termin "potenciranje" može se smatrati sinonimom za izraz "potenciranje".

Prilikom potenciranja potrebno je koristiti pravila koja su inverzna pravilima logaritma: zamijeniti zbir logaritama logaritmom umnoška, ​​razliku logaritama logaritmom količnika itd. Posebno, ako postoji bilo koji faktor ispred predznaka logaritma, onda se tokom potenciranja mora prenijeti na indikatorske stupnjeve ispod predznaka logaritma.

Primjer 5. Naći N ako je to poznato

Rješenje. U vezi sa upravo navedenim pravilom potenciranja, faktori 2/3 i 1/3, koji se nalaze ispred predznaka logaritama na desnoj strani ove jednakosti, biće prebačeni u eksponente pod predznacima ovih logaritama; dobijamo

Sada zamjenjujemo razliku logaritama sa logaritmom količnika:

da bismo dobili posljednji razlomak u ovom lancu jednakosti, oslobodili smo prethodni razlomak od iracionalnosti u nazivniku (odjeljak 25).

Svojstvo 7. Ako je baza veća od jedan, onda više ima veći logaritam (a manji ima manji), ako je baza manja od jedan, onda veći broj ima manji logaritam (a manji ima veći).

Ovo svojstvo je također formulirano kao pravilo za logaritam nejednačina, čija su oba dijela pozitivna:

Prilikom uzimanja logaritma nejednačina sa osnovom većom od jedan, čuva se znak nejednakosti, a kada se uzima logaritam sa osnovom manjom od jedan, predznak nejednakosti je obrnut (vidi i tačku 80).

Dokaz se zasniva na svojstvima 5 i 3. Razmotrimo slučaj kada Ako , onda i, uzimajući logaritam, dobijamo

(a i N/M leže na istoj strani jedinice). Odavde

Slučaj a slijedi, čitalac će to sam shvatiti.

Šta je logaritam?

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Šta je logaritam? Kako riješiti logaritme? Ova pitanja zbunjuju mnoge diplomce. Tradicionalno, tema logaritama se smatra složenom, nerazumljivom i zastrašujućom. Posebno - jednadžbe sa logaritmima.

Ovo apsolutno nije istina. Apsolutno! Ne vjerujete? Dobro. Sada, nekih 10-20 minuta vi:

1. Razumjeti šta je logaritam.

2. Naučite riješiti cijelu klasu eksponencijalnih jednačina. Čak i ako niste čuli za njih.

3. Naučite izračunati jednostavne logaritme.

Štoviše, za to ćete morati znati samo tablicu množenja i kako se broj podiže na stepen ...

Osećam da sumnjaš... Pa, zadrži vreme! Idi!

Prvo u umu riješite sljedeću jednačinu:

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

(od grčkog λόγος - "reč", "odnos" i ἀριθμός - "broj") brojevi b razumom a(log α b) se zove takav broj c, i b= a c, odnosno log α b=c i b=ac su ekvivalentni. Logaritam ima smisla ako je a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Drugim riječima logaritam brojevi b razumom a formulisan kao eksponent na koji se broj mora podići a da dobijem broj b(logaritam postoji samo za pozitivne brojeve).

Iz ove formulacije slijedi da je proračun x= log α b, je ekvivalentno rješavanju jednačine a x =b.

Na primjer:

log 2 8 = 3 jer je 8=2 3 .

Napominjemo da navedena formulacija logaritma omogućava da se odmah odredi vrijednost logaritma kada je broj pod znakom logaritma određena snaga baze. Zaista, formulacija logaritma omogućava da se opravda ako b=a c, zatim logaritam broja b razumom a jednaki With. Takođe je jasno da je tema logaritma usko povezana sa temom stepen broja.

Pominje se izračunavanje logaritma logaritam. Logaritam je matematička operacija uzimanja logaritma. Kada se uzme logaritam, proizvodi faktora se pretvaraju u zbir članova.

Potenciranje je matematička operacija inverzna logaritmu. Prilikom potenciranja data baza se podiže na stepen izraza na kojem se vrši potenciranje. U ovom slučaju, sumi termina se pretvaraju u proizvod faktora.

Vrlo često se koriste realni logaritmi sa bazama 2 (binarni), e Eulerovim brojem e ≈ 2,718 (prirodni logaritam) i 10 (decimalni).

U ovoj fazi, vredi razmisliti uzorci logaritama dnevnik 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

A unosi lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 nemaju smisla, jer se u prvom od njih pod znakom logaritma stavlja negativan broj, u drugom - negativan broj u bazu, a u trećem - i negativan broj pod znakom logaritma i jedinice u bazi.

Uslovi za određivanje logaritma.

Vrijedi posebno razmotriti uslove a > 0, a ≠ 1, b > 0. definicija logaritma. Razmotrimo zašto se uzimaju ova ograničenja. Ovo će nam pomoći sa jednakošću oblika x = log α b, nazvan osnovnim logaritamskim identitetom, što direktno proizilazi iz definicije logaritma date gore.

Uzmite uslov a≠1. Pošto je jedan jednako jedan na bilo koji stepen, onda je jednakost x=log α b može postojati samo kada b=1, ali log 1 1 će biti bilo koji realan broj. Da bismo otklonili ovu dvosmislenost, uzimamo a≠1.

Hajde da dokažemo neophodnost uslova a>0. At a=0 prema formulaciji logaritma, može postojati samo kada b=0. I onda shodno tome log 0 0 može biti bilo koji realni broj različit od nule, pošto je nula na bilo koji stepen različit od nule nula. Da bi se otklonila ova dvosmislenost, uslov a≠0. I kada a<0 morali bismo odbaciti analizu racionalnih i iracionalnih vrijednosti logaritma, jer je eksponent s racionalnim i iracionalnim eksponentom definiran samo za nenegativne baze. Iz tog razloga je stanje a>0.

I poslednji uslov b>0 proizlazi iz nejednakosti a>0, jer je x=log α b, i vrijednost stepena sa pozitivnom bazom a uvek pozitivno.

Osobine logaritama.

Logaritmi karakteriše karakteristično karakteristike, što je dovelo do njihove široke upotrebe kako bi se uvelike olakšala mukotrpna izračunavanja. U prelasku "u svijet logaritama" množenje se pretvara u mnogo lakše sabiranje, dijeljenje u oduzimanje, a podizanje na stepen i uzimanje korijena pretvaraju se u množenje, odnosno dijeljenje eksponentom.

Formulaciju logaritama i tablicu njihovih vrijednosti (za trigonometrijske funkcije) prvi je objavio 1614. škotski matematičar John Napier. Logaritamske tablice, uvećane i detaljnije od strane drugih naučnika, bile su široko korišćene u naučnim i inženjerskim proračunima i ostale su relevantne sve dok se nisu počeli koristiti elektronski kalkulatori i računari.

proizilazi iz njegove definicije. I tako logaritam broja b razumom a definiran kao eksponent na koji se broj mora podići a da dobijem broj b(logaritam postoji samo za pozitivne brojeve).

Iz ove formulacije proizilazi da je proračun x=log a b, je ekvivalentno rješavanju jednačine ax=b. Na primjer, log 2 8 = 3 jer 8 = 2 3 . Formulacija logaritma omogućava da se opravda ako b=a c, zatim logaritam broja b razumom a jednaki With. Takođe je jasno da je tema logaritma usko povezana sa temom stepena broja.

Sa logaritmima, kao i sa svakim brojevima, možete izvesti operacije sabiranja, oduzimanja i transformisati na svaki mogući način. Ali s obzirom na činjenicu da logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje vrijede njihova posebna pravila, koja se nazivaju osnovna svojstva.

Sabiranje i oduzimanje logaritama.

Uzmite dva logaritma sa istom bazom: log x i log a y. Zatim uklonite moguće je izvršiti operacije sabiranja i oduzimanja:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.

Od teoreme kvocijentnog logaritma može se dobiti još jedno svojstvo logaritma. Dobro je poznat taj dnevnik a 1= 0, dakle,

log a 1 /b= log a 1 - log a b= -log a b.

Dakle, postoji jednakost:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmi dva međusobno recipročna broja po istoj osnovi će se razlikovati jedno od drugog samo u znaku. dakle:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.