Kako riješiti logaritamske kvadratne jednadžbe. Neke metode za rješavanje logaritamskih jednačina. Homogene logaritamske jednadžbe

Matematika je više od nauke je jezik nauke.

Danski fizičar i javna ličnost Niels Bohr

Među tipičnim zadacima, ponuđeni na prijemnim (takmičarskim) testovima, su zadaci, vezano za rješavanje logaritamskih jednačina. Za uspješno rješavanje ovakvih problema potrebno je dobro poznavanje svojstava logaritama i vještina njihove primjene.

U ovom članku prvo predstavljamo osnovne pojmove i svojstva logaritama, a zatim se razmatraju primjeri rješavanja logaritamskih jednadžbi.

Osnovni koncepti i svojstva

Na početku ćemo predstaviti glavna svojstva logaritama, čija upotreba omogućava da se uspešno rešavaju relativno složene logaritamske jednačine.

Osnovni logaritamski identitet se piše kao

, (1)

Najpoznatija svojstva logaritama uključuju sljedeće jednakosti:

1. Ako , , i , onda , ,

2. Ako , , , i , onda .

3. Ako , , i , onda .

4. Ako , , i prirodni broj, onda

5. Ako , , i prirodni broj, onda

6. Ako , , i , onda .

7. Ako , , i , onda .

Kompleksnija svojstva logaritama su formulisana kroz sledeće iskaze:

8. Ako , , , i , onda

9. Ako , , i , onda

10. Ako , , , i , onda

Dokaz posljednja dva svojstva logaritma dat je u autorskom udžbeniku "Matematika za srednjoškolce: Dodatni dijelovi školske matematike" (M.: Lenand / URSS, 2014).

Takođe treba napomenuti tu funkciju se povećava, ako , i smanjenje ako .

Razmotrimo primjere zadataka za rješavanje logaritamskih jednadžbi, raspoređeni po rastućoj složenosti.

Primjeri rješavanja problema

Primjer 1. riješi jednačinu

. (2)

Rješenje. Iz jednačine (2) imamo . Transformirajmo jednačinu na sljedeći način: , ili .

jer , tada je korijen jednadžbe (2)..

Odgovor: .

Primjer 2. riješi jednačinu

Rješenje. Jednačina (3) je ekvivalentna jednačinama

Ili .

Odavde dobijamo .

Odgovor: .

Primjer 3. riješiti jednačinu

Rješenje. Jednačina (4) implicira, šta . Koristeći osnovni logaritamski identitet (1), može se napisati

ili .

ako stavimo, onda odavde dobijamo kvadratnu jednačinu, koji ima dva korena i . Međutim, stoga i odgovarajući korijen jednačine je samo . Od , tada ili .

Odgovor: .

Primjer 4. riješiti jednačinu

Rješenje.Važeći raspon varijableu jednačini (5) su.

Neka i . Od funkcijeu domenu definicije opada, i funkciju raste na cijeloj brojevnoj osi, zatim jednačina ne može imati više od jednog korijena.

Odabirom nalazimo jedini korijen.

Odgovor: .

Primjer 5. riješiti jednačinu.

Rješenje. Ako se obje strane jednačine uzmu kao logaritmi bazi 10, onda

Ili .

Rješavanje kvadratne jednadžbe za , dobivamo i . Stoga, ovdje imamo i .

Odgovor: , .

Primjer 6. riješiti jednačinu

. (6)

Rješenje.Koristimo identitet (1) i transformiramo jednačinu (6) kako slijedi:

Ili .

Odgovor: , .

Primjer 7. riješiti jednačinu

. (7)

Rješenje. Uzimajući u obzir svojstvo 9, imamo . U tom smislu, jednačina (7) poprima oblik

Odavde dobijamo ili .

Odgovor: .

Primjer 8. riješiti jednačinu

. (8)

Rješenje.Upotrijebimo svojstvo 9 i prepišimo jednačinu (8) u ekvivalentnom obliku.

Ako onda odredimo, tada dobijamo kvadratnu jednačinu, gdje . Pošto jednačinaima samo jedan pozitivan korijen, zatim ili . Ovo implicira .

Odgovor: .

Primjer 9. riješiti jednačinu

. (9)

Rješenje. Kako to slijedi iz jednadžbe (9), onda ovde. Prema svojstvu 10, može se zapisati.

U tom smislu, jednačina (9) će biti ekvivalentna jednačinama

Ili .

Odavde dobijamo koren jednačine (9).

Primjer 10. riješiti jednačinu

. (10)

Rješenje. Raspon prihvatljivih vrijednosti za varijablu u jednačini (10) je . Prema svojstvu 4, evo nas

. (11)

Budući da , tada jednačina (11) poprima oblik kvadratne jednačine , gdje je . Korijeni kvadratne jednadžbe su i .

Od , zatim i . Odavde dobijamo i .

Odgovor: , .

Primjer 11. riješiti jednačinu

. (12)

Rješenje. Označimo tada a jednačina (12) poprima oblik

. (13)

Lako je vidjeti da je korijen jednadžbe (13) . Pokažimo da ova jednadžba nema druge korijene. Da bismo to učinili, oba njegova dijela podijelimo sa i dobijemo ekvivalentna jednačina

. (14)

Kako funkcija opada, a funkcija raste na cijeloj realnoj osi, jednadžba (14) ne može imati više od jednog korijena. Kako su jednačine (13) i (14) ekvivalentne, jednačina (13) ima jedan korijen.

Od , zatim i .

Odgovor: .

Primjer 12. riješiti jednačinu

. (15)

Rješenje. Označimo i . Budući da se funkcija smanjuje u domeni definicije, a funkcija raste za bilo koju vrijednost od , tada jednadžba ne može imati Bodeov jedan korijen. Direktnom selekcijom utvrđujemo da je željeni korijen jednačine (15) .

Odgovor: .

Primjer 13. riješiti jednačinu

. (16)

Rješenje. Koristeći svojstva logaritma, dobijamo

Od tada i imamo nejednakost

Rezultirajuća nejednakost se poklapa sa jednadžbom (16) samo ako je ili .

Zamjena vrijednostiu jednačinu (16) osiguravamo da, šta je njegov korijen.

Odgovor: .

Primjer 14. riješiti jednačinu

. (17)

Rješenje. Budući da je ovdje , tada jednačina (17) poprima oblik .

Ako stavimo , onda odavde dobivamo jednadžbu

, (18)

gdje . Jednačina (18) implicira: ili . Budući da , tada jednačina ima jedan odgovarajući korijen. Međutim, stoga.

Primjer 15. riješiti jednačinu

. (19)

Rješenje. Označimo , tada jednačina (19) poprima oblik . Ako uzmemo logaritam ove jednadžbe u bazi 3, dobićemo

Iz ovoga slijedi da i . Od , zatim i . S tim u vezi, i

Odgovor: , .

Primjer 16. riješiti jednačinu

. (20)

Rješenje. Hajde da predstavimo parametari prepisati jednačinu (20) kao kvadratnu jednačinu s obzirom na parametar, tj.

. (21)

Korijeni jednačine (21) su

ili , . Budući da , Imamo jednadžbe i . Odavde dobijamo i .

Odgovor: , .

Primjer 17. riješiti jednačinu

. (22)

Rješenje. Da bi se uspostavio domen definicije varijable u jednačini (22), potrebno je razmotriti skup od tri nejednakosti: , i .

Primjena svojstva 2, iz jednačine (22) dobijamo

. (23)

Ako u jednačinu (23) stavimo, onda dobijamo jednačinu

. (24)

Jednačina (24) će se riješiti na sljedeći način:

Odavde slijedi da i , tj. jednadžba (24) ima dva korijena: i .

Budući da , tada , ili , .

Odgovor: , .

Primjer 18. riješiti jednačinu

. (25)

Rješenje. Koristeći svojstva logaritama, transformiramo jednačinu (25) na sljedeći način:

, , .

Odavde dobijamo .

Primjer 19. riješiti jednačinu

. (26)

Rješenje. Od tada .

Dalje, imamo . shodno tome, jednakost (26) je zadovoljena samo ako, kada su obje strane jednadžbe jednake 2 u isto vrijeme.

Na ovaj način , jednačina (26) je ekvivalentna sistemu jednačina

Iz druge jednačine sistema dobijamo

Ili .

Lako je to vidjeti sta je znacenje takođe zadovoljava prvu jednačinu sistema.

Odgovor: .

Za dublje proučavanje metoda za rješavanje logaritamskih jednadžbi, možete pogledati nastavna sredstva sa liste preporučene literature.

1. Kushnir A.I. Remek djela školske matematike (zadaci i rješenja u dvije knjige). – Kijev: Astarte, knjiga 1, 1995. - 576 str.

2. Zbirka zadataka iz matematike za studente tehničkih univerziteta / Ed. M.I. Scanavi. - M.: Svijet i obrazovanje, 2013. - 608 str.

3. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: dodatni dijelovi školski program. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 str.

4. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: zadaci povećane složenosti. - M.: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 200 str.

5. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: nestandardne metode rješavanja problema. - M.: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 str.

Imate bilo kakvih pitanja?

Da dobijete pomoć tutora - registrujte se.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Algebra 11 razred

Tema: "Metode rješavanja logaritamskih jednačina"

Ciljevi lekcije:

edukativni: formiranje znanja o različitim načinima rješavanja logaritamskih jednadžbi, sposobnost primjene u svakoj konkretnoj situaciji i odabira bilo koje metode za rješavanje;

razvijanje: razvijanje vještina za posmatranje, upoređivanje, primjenu znanja u novoj situaciji, utvrđivanje obrazaca, generalizacija; formiranje vještina međusobne kontrole i samokontrole;

vaspitni: vaspitanje odgovornog odnosa prema vaspitno-obrazovnom radu, pažljivo sagledavanje gradiva na času, tačnost vođenja evidencije.

Vrsta lekcije: lekcija upoznavanja sa novim gradivom.

"Izum logaritama, skraćivanjem rada astronoma, produžio je njegov život."
Francuski matematičar i astronom P.S. Laplace

Tokom nastave

I. Postavljanje cilja časa

Proučena definicija logaritma, svojstva logaritama i logaritamske funkcije omogućit će nam rješavanje logaritamskih jednadžbi. Sve logaritamske jednadžbe, bez obzira koliko su složene, rješavaju se korištenjem istih algoritama. Ove algoritme ćemo razmotriti danas u lekciji. Malo ih je. Ako ih savladate, tada će svaka jednačina sa logaritmima biti izvodljiva za svakog od vas.

Zapišite u svoju bilježnicu temu lekcije: "Metode rješavanja logaritamskih jednačina." Pozivam sve na saradnju.

II. Ažuriraj osnovno znanje

Spremimo se za proučavanje teme lekcije. Svaki zadatak riješite i zapišete odgovor, ne možete napisati uvjet. Raditi u parovima.

1) Za koje vrijednosti x funkcija ima smisla:

(Odgovori se provjeravaju za svaki slajd i greške se slažu)

2) Da li se grafovi funkcija podudaraju?

3) Prepiši jednakosti kao logaritamske jednakosti:

4) Zapišite brojeve kao logaritme sa bazom 2:

5) Izračunajte:

6) Pokušajte vratiti ili dovršiti elemente koji nedostaju u ovim jednakostima.

III. Uvod u novi materijal

Izjava se prikazuje na ekranu:

"Jednačina je zlatni ključ koji otključava sav matematički sezam."
Moderni poljski matematičar S. Koval

Pokušajte formulirati definiciju logaritamske jednadžbe. (Jednačina koja sadrži nepoznatu pod znakom logaritma).

Razmislite najjednostavnija logaritamska jednadžba:logax = b(gdje je a>0, a ≠ 1). Kako logaritamska funkcija raste (ili opada) na skupu pozitivnih brojeva i uzima sve realne vrijednosti, iz korijenske teoreme slijedi da za bilo koje b ova jednadžba ima, osim toga, samo jedno rješenje, i to pozitivno.

Zapamtite definiciju logaritma. (Logaritam broja x prema bazi a je eksponent na koji se baza a mora podići da bi se dobio broj x). Iz definicije logaritma odmah slijedi da ain je takvo rješenje.

Zapišite naslov: Metode rješavanja logaritamskih jednačina

1. Po definiciji logaritma.

Ovako se rješavaju jednostavne jednačine oblika.

Razmislite br. 514(a): Riješite jednačinu

Kako predlažete da se to riješi? (Po definiciji logaritma)

Rješenje. , Dakle 2x - 4 = 4; x = 4.

U ovom zadatku, 2x - 4 > 0, pošto je > 0, dakle, strani korijeni se ne mogu pojaviti i nema potrebe za provjerom. Uslov 2x - 4 > 0 nije potrebno ispisivati u ovom zadatku.

2. Potenciranje(prelaz sa logaritma datog izraza na sam ovaj izraz).

Razmislite br. 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Koju ste osobinu primijetili? (Osnove su iste, a logaritmi dva izraza jednaki). Šta se može učiniti? (potencirati).

U ovom slučaju treba uzeti u obzir da se svako rješenje nalazi među svim x za koje su logaritamski izrazi pozitivni.

Rješenje: ODZ:

X2+8>0 ekstra nejednakost

log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)=log5(8x+8)

Potencirajte originalnu jednačinu

dobijamo jednačinu x2+8= 8x+8

Rješavamo ga: x2-8x=0

Odgovor: 0; osam

Uglavnom prelazak na ekvivalentni sistem:

Jednačina

(Sistem sadrži redundantni uslov - jedna od nejednakosti se može zanemariti).

Pitanje razredu: Koje vam se od ova tri rješenja najviše dopalo? (Rasprava o metodama).

Imate pravo da odlučite na bilo koji način.

3. Uvođenje nove varijable.

Razmislite br. 520(g). .

Šta ste primetili? (Ovo je kvadratna jednadžba za log3x) Imate li prijedloga? (Uvesti novu varijablu)

Rješenje. ODZ: x > 0.

Neka , tada će jednadžba poprimiti oblik:. Diskriminant D > 0. Korijeni prema Vietinom teoremu:.

Vratimo se zamjeni: ili .

Rješavajući najjednostavnije logaritamske jednadžbe, dobijamo:

Odgovor: 27;

4. Logaritam obe strane jednačine.

Riješite jednačinu:.

Rješenje: ODZ: x>0, uzmite logaritam obje strane jednačine u bazi 10:

Primijenite svojstvo logaritma stepena:

(lgx + 3) lgx = 4

Neka je lgx = y, tada je (y + 3)y = 4

, (D > 0) korijeni prema Vietinoj teoremi: y1 = -4 i y2 = 1.

Vratimo se zamjeni, dobijamo: lgx = -4,; logx = 1, .

Odgovor: 0,0001; deset.

5. Svođenje na jednu bazu.

br. 523(c). Riješite jednačinu:

Rješenje: ODZ: x>0. Pređimo na bazu 3.

6. Funkcionalno-grafička metoda.

№ 509(d). Riješite grafički jednačinu: = 3 - x.

Kako predlažete da se riješite? (Konstruirajte grafove dvije funkcije y = log2x i y = 3 - x po tačkama i potražite apscisu presječnih tačaka grafova).

Pogledajte svoje rješenje na slajdu.

Postoji li način da se izbjegne zavjera . To je kako slijedi : ako je jedna od funkcija y = f(x) povećava i drugo y = g(x) opada na intervalu X, onda jednačina f(x)=g(x) ima najviše jedan korijen na intervalu X.

Ako postoji korijen, onda se može pogoditi.

U našem slučaju, funkcija raste za x>0, a funkcija y = 3 - x opada za sve vrijednosti x, uključujući x>0, što znači da jednadžba nema više od jednog korijena. Imajte na umu da se za x = 2 jednačina pretvara u pravu jednakost, jer .

« Ispravna upotreba metode se mogu naučiti
samo ih primjenjujući na razne primjere.
Danski istoričar matematike G. G. Zeiten

Iv. Zadaća

str. 39 razmotriti primjer 3, riješiti br. 514 (b), br. 529 (b), br. 520 (b), br. 523 (b)

V. Sumiranje lekcije

Koje smo metode rješavanja logaritamskih jednačina razmatrali u lekciji?

U narednim lekcijama ćemo pogledati složenije jednačine. Za njihovo rješavanje korisne su proučavane metode.

Prikaz zadnjeg slajda:

“Šta je više od svega na svijetu?
Prostor.
Šta je najmudrije?
Vrijeme.
Šta je najprijatnije?
Postignite ono što želite."
Tales

Želim da svako postigne ono što želi. Hvala vam na saradnji i razumevanju.

Ovaj članak sadrži sistematski prikaz metoda za rješavanje logaritamskih jednačina s jednom promjenljivom. To će pomoći nastavniku, prvenstveno u didaktičkom smislu: odabir vježbi omogućava vam da kreirate individualne zadatke za učenike, uzimajući u obzir njihove mogućnosti. Ove vježbe se mogu koristiti za lekciju generalizacije i za pripremu za ispit.
Kratke teorijske informacije i rješavanje problema omogućavaju studentima da samostalno razvijaju vještine i sposobnosti rješavanja logaritamskih jednačina.

Rješenje logaritamskih jednadžbi.

Logaritamske jednadžbe - jednadžbe koje sadrže nepoznatu pod znakom logaritam. Prilikom rješavanja logaritamskih jednadžbi često se koriste teorijske informacije:

Obično rješavanje logaritamskih jednadžbi počinje definicijom ODZ-a. U logaritamskim jednadžbama preporučuje se da se svi logaritmi konvertuju tako da im baze budu jednake. Tada se jednačine ili izražavaju u vidu jednog logaritma, koji je označen novom varijablom, ili se jednačina pretvara u oblik pogodan za potenciranje.
Transformacije logaritamskih izraza ne bi trebale dovesti do sužavanja ODZ-a, ali ako primijenjena metoda rješenja sužava ODZ, oslobađajući od razmatranja pojedine brojeve, onda se ovi brojevi na kraju zadatka moraju provjeriti zamjenom u izvornoj jednadžbi, jer pri sužavanju ODZ-a moguć je gubitak korijena.

1. Jednačine oblika je izraz koji sadrži nepoznati broj i broj .

1) koristiti definiciju logaritma: ;
2) provjerite ili pronađite raspon važećih vrijednosti za nepoznati broj i odaberite odgovarajuće korijene (rješenja).
Ako a) .

2. Jednačine prvog stepena s obzirom na logaritam, u čijem se rješavanju koriste svojstva logaritama.

Da biste riješili ove jednačine, trebate:

1) koristeći svojstva logaritama, transformisati jednačinu;
2) rešiti dobijenu jednačinu;
3) provjerite ili pronađite raspon prihvatljivih vrijednosti za nepoznati broj i odaberite korijene (rješenja) koji im odgovaraju.
).

3. Jednačina drugog i višeg stepena u odnosu na logaritam.

Da biste riješili ove jednačine, trebate:

napraviti promjenu varijable;
riješiti rezultirajuću jednačinu;
izvršiti obrnutu zamjenu;
riješiti rezultirajuću jednačinu;
provjerite ili pronađite raspon prihvatljivih vrijednosti za nepoznati broj i odaberite korijene (rješenja) koji im odgovaraju.

4. Jednačine koje sadrže nepoznatu u bazi i u eksponentu.

Da biste riješili ove jednačine, trebate:

uzeti logaritam jednačine;
riješiti rezultirajuću jednačinu;
provjerite ili pronađite raspon prihvatljivih vrijednosti za nepoznati broj i odaberite odgovarajuće
korijeni (rješenja).

5. Jednačine koje nemaju rješenje.

Za rješavanje takvih jednadžbi potrebno je pronaći ODZ jednačinu.
Analizirajte lijevu i desnu stranu jednačine.
Izvucite odgovarajuće zaključke.

Originalna jednačina je ekvivalentna sistemu:

Dokažite da jednačina nema rješenja.

ODZ jednadžba je definirana nejednakošću x ≥ 0. Na ODZ-u imamo

Zbir pozitivnog i nenegativnog broja nije jednak nuli, tako da originalna jednadžba nema rješenja.

Odgovor: Ne postoje rješenja.

Samo jedan korijen x \u003d 0 spada u ODZ. Odgovor: 0.

Hajde da napravimo zamenu.

Pronađeni korijeni pripadaju ODZ-u.

ODZ jednadžba je skup svih pozitivnih brojeva.

Zbog

Ove jednadžbe se rješavaju na sličan način:

Zadaci za samostalno rješavanje:

Korištene knjige.

Bechetnov V.M. Matematika. Moskovski Demijurg 1994
Borodulya I.T. Eksponencijalne i logaritamske funkcije. (zadaci i vježbe). Moskva "Prosvjeta" 1984
Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Zadaci iz matematike. Jednačine i nejednačine. Moskva "Nauka" 1987
Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebarski trener. Moskva "Ileksa" 2007
Saakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemi u algebri i principi analize. Moskva "Prosvjeta" 2003

Kao što znate, kada se množe izrazi sa potencijama, njihovi eksponenti se uvijek zbrajaju (a b * a c = a b + c). Ovaj matematički zakon je izveo Arhimed, a kasnije, u 8. veku, matematičar Virasen je napravio tabelu celobrojnih indikatora. Upravo su oni poslužili za dalje otkrivanje logaritama. Primjeri korištenja ove funkcije mogu se naći gotovo svugdje gdje je potrebno pojednostaviti glomazno množenje na jednostavno sabiranje. Ako odvojite 10 minuta čitajući ovaj članak, objasnit ćemo vam što su logaritmi i kako s njima raditi. Jednostavan i pristupačan jezik.

Definicija u matematici

Logaritam je izraz sljedećeg oblika: log a b=c, odnosno logaritam bilo kojeg nenegativnog broja (to jest, bilo kojeg pozitivnog) "b" prema njegovoj osnovici "a" smatra se potencijom "c" ", na koji je potrebno podići osnovicu "a", tako da se na kraju dobije vrijednost "b". Analizirajmo logaritam na primjerima, recimo da postoji izraz log 2 8. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, potrebno je pronaći takav stepen da od 2 do traženog stepena dobijete 8. Nakon nekoliko proračuna u svom umu, dobili smo broj 3! I s pravom, jer 2 na stepen od 3 daje broj 8 u odgovoru.

Vrste logaritama

Za mnoge učenike i studente ova se tema čini komplikovanom i nerazumljivom, ali u stvari, logaritmi nisu toliko strašni, najvažnije je razumjeti njihovo općenito značenje i zapamtiti njihova svojstva i neka pravila. Ima ih tri određene vrste logaritamski izrazi:

Prirodni logaritam ln a, gdje je baza Ojlerov broj (e = 2,7).
Decimala a, gdje je osnova 10.
Logaritam bilo kojeg broja b prema osnovici a>1.

Svaki od njih se rješava na standardni način, uključujući pojednostavljenje, redukciju i naknadno svođenje na jedan logaritam korištenjem logaritamskih teorema. Da biste dobili ispravne vrijednosti logaritama, treba zapamtiti njihova svojstva i redoslijed radnji u njihovim odlukama.

Pravila i neka ograničenja

U matematici postoji nekoliko pravila-ograničenja koja su prihvaćena kao aksiom, odnosno nisu predmet rasprave i istinita su. Na primjer, nemoguće je podijeliti brojeve sa nulom, a također je nemoguće izdvojiti korijen parnog stepena iz negativnih brojeva. Logaritmi također imaju svoja pravila, slijedeći koja možete lako naučiti kako raditi čak i sa dugim i prostranim logaritamskim izrazima:

osnova "a" uvijek mora biti veća od nule, a u isto vrijeme ne mora biti jednaka 1, inače će izraz izgubiti svoje značenje, jer su "1" i "0" u bilo kojem stepenu uvijek jednaki njihovim vrijednostima;
ako je a > 0, onda a b > 0, ispada da "c" mora biti veće od nule.

Kako riješiti logaritme?

Na primjer, dat je zadatak pronaći odgovor na jednadžbu 10 x \u003d 100. Vrlo je lako, morate odabrati takvu snagu, podižući broj deset na koji dobijamo 100. Ovo je, naravno, 10 2 = 100.

Sada ćemo predstaviti ovaj izraz kao logaritamski. Dobijamo log 10 100 = 2. Prilikom rješavanja logaritma, sve radnje praktično konvergiraju ka pronalaženju stepena do kojeg se mora unijeti baza logaritma da bi se dobio dati broj.

Da biste precizno odredili vrijednost nepoznatog stepena, morate naučiti kako raditi s tablicom stupnjeva. izgleda ovako:

Kao što vidite, neki eksponenti se mogu pogoditi intuitivno ako imate tehnički način razmišljanja i poznavanje tablice množenja. Međutim, veće vrijednosti će zahtijevati tablicu snage. Mogu ga koristiti čak i oni koji ne razumiju ništa u složenim matematičkim temama. Lijeva kolona sadrži brojeve (osnova a), gornji red brojeva je vrijednost stepena c, na koji se podiže broj a. Na raskrsnici u ćelijama određuju se vrijednosti brojeva, koji su odgovor (a c =b). Uzmimo, na primjer, prvu ćeliju sa brojem 10 i kvadriramo je, dobićemo vrijednost 100, koja je naznačena na sjecištu naše dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i lako da će i najpravi humanista razumjeti!

Jednačine i nejednačine

Ispada da je pod određenim uslovima eksponent logaritam. Stoga se svaki matematički numerički izrazi može zapisati kao logaritamska jednačina. Na primjer, 3 4 =81 može se napisati kao logaritam od 81 do baze 3, što je četiri (log 3 81 = 4). Za negativne potencije pravila su ista: 2 -5 = 1/32 pišemo kao logaritam, dobijamo log 2 (1/32) = -5. Jedna od najfascinantnijih sekcija matematike je tema "logaritma". Razmotrit ćemo primjere i rješenja jednadžbi malo niže, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. Pogledajmo sada kako izgledaju nejednakosti i kako ih razlikovati od jednačina.

Dat je izraz sljedećeg oblika: log 2 (x-1) > 3 - jeste logaritamska nejednakost, pošto je nepoznata vrijednost "x" pod znakom logaritma. I također se u izrazu upoređuju dvije veličine: logaritam željenog broja u osnovi dva je veći od broja tri.

Najvažnija razlika između logaritamskih jednadžbi i nejednačina je u tome što jednadžbe s logaritmima (na primjer, logaritam od 2 x = √9) podrazumijevaju jednu ili više specifičnih brojčanih vrijednosti u odgovoru, dok se pri rješavanju nejednačine oba raspona prihvatljive vrijednosti i točke koje krše ovu funkciju. Kao posljedica toga, odgovor nije jednostavan skup pojedinačnih brojeva, kao u odgovoru jednadžbe, već kontinuirani niz ili skup brojeva.

Osnovne teoreme o logaritmima

Prilikom rješavanja primitivnih zadataka na pronalaženju vrijednosti logaritma, njegova svojstva možda neće biti poznata. Međutim, kada su u pitanju logaritamske jednačine ili nejednačine, prije svega, potrebno je jasno razumjeti i primijeniti u praksi sva osnovna svojstva logaritama. Kasnije ćemo se upoznati s primjerima jednačina, hajde da prvo analiziramo svako svojstvo detaljnije.

Osnovni identitet izgleda ovako: a logaB =B. Primjenjuje se samo ako je a veće od 0, nije jednako jedan, a B je veće od nule.
Logaritam proizvoda se može predstaviti u sljedećoj formuli: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. U ovom slučaju, preduslov je: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Možete dati dokaz za ovu formulu logaritama, sa primjerima i rješenjem. Neka log a s 1 = f 1 i log a s 2 = f 2 , zatim a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Dobijamo da je s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (osobine stepena ), i dalje po definiciji: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, što je trebalo dokazati.
Logaritam količnika izgleda ovako: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Teorema u obliku formule ima sljedeći oblik: log a q b n = n/q log a b.

Ova formula se naziva "svojstvo stepena logaritma". Podsjeća na svojstva običnih stupnjeva, i to nije iznenađujuće, jer sva matematika počiva na redovnim postulatima. Pogledajmo dokaz.

Neka log a b = t, ispada a t = b. Ako oba dijela podignete na stepen m: a tn = b n ;

ali pošto je a tn = (a q) nt/q = b n , dakle log a q b n = (n*t)/t, onda log a q b n = n/q log a b. Teorema je dokazana.

Primjeri problema i nejednakosti

Najčešći tipovi logaritamskih problema su primjeri jednadžbi i nejednačina. Nalaze se u gotovo svim problemskim knjigama, a također su uključene u obavezan deo ispiti iz matematike. Da biste ušli na fakultet ili položili prijemne ispite iz matematike, morate znati kako pravilno riješiti takve zadatke.

Nažalost, ne postoji jedinstven plan ili shema za rješavanje i određivanje nepoznate vrijednosti logaritma, međutim, određena pravila se mogu primijeniti na svaku matematičku nejednakost ili logaritamsku jednačinu. Prije svega, trebali biste saznati može li se izraz pojednostaviti ili svesti na opšti pogled. Duge logaritamske izraze možete pojednostaviti ako pravilno koristite njihova svojstva. Upoznajmo ih uskoro.

Prilikom rješavanja logaritamskih jednadžbi potrebno je odrediti kakav logaritam imamo pred sobom: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.

Evo primjera ln100, ln1026. Njihovo rješenje se svodi na činjenicu da trebate odrediti stupanj do kojeg će baza 10 biti jednaka 100 i 1026, respektivno. Za rješenja prirodni logaritmi mora se primijeniti logaritamski identitet ili njihova svojstva. Pogledajmo primjere rješavanja logaritamskih problema različitih tipova.

Kako koristiti logaritamske formule: s primjerima i rješenjima

Dakle, pogledajmo primjere korištenja glavnih teorema o logaritmima.

Svojstvo logaritma proizvoda može se koristiti u zadacima gdje je potrebno proširiti veliki značaj brojeve b u jednostavnije činioce. Na primjer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odgovor je 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kao što vidite, koristeći četvrto svojstvo stepena logaritma, uspjeli smo riješiti na prvi pogled složen i nerješiv izraz. Potrebno je samo faktorizirati bazu, a zatim izvaditi vrijednosti eksponenta iz predznaka logaritma.

Zadaci sa ispita

Logaritmi se često nalaze u prijemni ispiti, posebno puno logaritamskih problema na Jedinstvenom državnom ispitu (državni ispit za sve maturante). Obično su ovi zadaci prisutni ne samo u dijelu A (najlakši test dio ispit), ali i u dijelu C (najteži i najobimniji zadaci). Ispit podrazumijeva tačno i savršeno poznavanje teme "Prirodni logaritmi".

Primjeri i rješavanje problema preuzeti su iz službenih verzija ispita. Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.

Dat log 2 (2x-1) = 4. Rješenje:
prepišimo izraz, pojednostavljujući ga malo log 2 (2x-1) = 2 2 , po definiciji logaritma dobijamo da je 2x-1 = 2 4 , dakle 2x = 17; x = 8,5.

Sve logaritme je najbolje svesti na istu bazu kako rješenje ne bi bilo glomazno i zbunjujuće.
Svi izrazi pod znakom logaritma su označeni kao pozitivni, stoga, kada se iznese eksponent eksponenta izraza, koji je pod znakom logaritma i kao njegova baza, izraz koji ostaje pod logaritmom mora biti pozitivan.

osnovna svojstva.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

iste osnove

log6 4 + log6 9.

Sada da malo zakomplikujemo zadatak.

Primjeri rješavanja logaritama

Šta ako postoji stepen u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x >

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Prelazak na novu osnovu

Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Vidi također:

Osnovna svojstva logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je 2,7 i dva puta je godina rođenja Lava Tolstoja.

Osnovna svojstva logaritama

Znajući ovo pravilo, znat ćete i tačnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

Primjeri za logaritme

Uzmite logaritam izraza

Primjer 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Po svojstvima 3,5 računamo

Primjer 2 Pronađite x ako

Primjer 3. Neka je data vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi, kao i svaki broj, mogu se sabirati, oduzimati i pretvarati na sve moguće načine. Ali pošto logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju osnovna svojstva.

Ova pravila moraju biti poznata – nijedan ozbiljan logaritamski problem ne može se riješiti bez njih. Osim toga, vrlo ih je malo - sve se može naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma sa istom osnovom: logax i logay. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Dakle, zbir logaritama je jednak logaritmu proizvoda, a razlika je logaritam količnika. Imajte na umu: ključna stvar ovdje je - iste osnove. Ako su osnove različite, ova pravila ne funkcionišu!

Ove formule će pomoći u izračunavanju logaritamskog izraza čak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju "Šta je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Pošto su baze logaritama iste, koristimo formulu sume:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi su sastavljeni od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Na osnovu ove činjenice, mnogi test papiri. Da, kontrola - slični izrazi u punoj ozbiljnosti (ponekad - bez izmjena) se nude na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu proračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primjenjivati sve formule ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto, tj. možete unijeti brojeve ispred znaka logaritma u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Oslobodimo se stepena u argumentu prema prvoj formuli:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je imenilac logaritam čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem.

Formule logaritama. Logaritmi su primjeri rješenja.

Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili su u obliku stepeni i izvadili indikatore - dobili su razlomak od tri sprata.

Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac imaju isti broj: log2 7. Pošto je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojilac, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prelazak na novu osnovu

Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su baze različite? Šta ako nisu tačne snage istog broja?

Formule za prelazak na novu bazu dolaze u pomoć. Formuliramo ih u obliku teoreme:

Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobijamo:

Iz druge formule proizilazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam je u nazivniku.

Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.

Međutim, postoje zadaci koji se nikako ne mogu riješiti osim prelaskom na novu osnovu. Razmotrimo nekoliko od ovih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma tačni eksponenti. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Hajde da to zapišemo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno prikazati broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju, formule će nam pomoći:

U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Zaista, šta će se dogoditi ako se broj b podigne na takav stepen da broj b u ovom stepenu daje broj a? Tako je: ovo je isti broj a. Pažljivo pročitajte ovaj odlomak još jednom - mnogi ljudi ga "zakače".

Kao i nove formule osnovne konverzije, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - upravo je izvadio kvadrat iz baze i argument logaritma. S obzirom na pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:

Ako neko nije upoznat, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja je teško nazvati svojstvima – radije, to su posljedice iz definicije logaritma. Stalno se nalaze u problemima i, iznenađujuće, stvaraju probleme čak i "naprednim" učenicima.

logaa = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a iz same te baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Zato što je a0 = 1 direktna posljedica definicije.

To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.

Vidi također:

Logaritam broja b prema bazi a označava izraz. Izračunati logaritam znači pronaći takav stepen x () pri kojem je jednakost tačna

Osnovna svojstva logaritma

Navedena svojstva moraju biti poznata, jer se na njihovoj osnovi gotovo svi problemi i primjeri rješavaju na osnovu logaritama. Preostala egzotična svojstva mogu se izvesti matematičkim manipulacijama ovim formulama

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Prilikom izračunavanja formule za zbir i razliku logaritama (3.4) se često susreću. Ostali su donekle složeni, ali su u nizu zadataka neophodni za pojednostavljenje složenih izraza i izračunavanje njihovih vrijednosti.

Uobičajeni slučajevi logaritama

Neki od uobičajenih logaritama su oni u kojima je baza čak deset, eksponencijalna ili dvojka.
Logaritam baznih deset se obično naziva logaritam baznih deset i jednostavno se označava lg(x).

Iz zapisnika se vidi da osnove nisu upisane u zapisnik. Na primjer

Prirodni logaritam je logaritam čija je osnova eksponent (označen ln(x)).

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je 2,7 i dva puta je godina rođenja Lava Tolstoja. Znajući ovo pravilo, znat ćete i tačnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

I još jedan važan logaritam osnove dva je

Derivat logaritma funkcije jednak je jedinici podijeljenom promjenljivom

Integralni ili antiderivativni logaritam je određen zavisnošću

Navedeni materijal vam je dovoljan za rješavanje široke klase zadataka vezanih za logaritme i logaritme. Da bih asimilirao gradivo, navest ću samo nekoliko uobičajenih primjera iz školskog nastavnog plana i programa i sa fakulteta.

Primjeri za logaritme

Uzmite logaritam izraza

Primjer 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Po svojstvima 3,5 računamo

2.
Po svojstvu razlike logaritama imamo

3.
Koristeći svojstva 3.5 nalazimo

Po izgledu složen izraz korištenje niza pravila je pojednostavljeno u formu

Pronalaženje vrijednosti logaritma

Primjer 2 Pronađite x ako

Rješenje. Za proračun primjenjujemo svojstva 5 i 13 do posljednjeg člana

Zamijenite u zapisniku i žalite

Pošto su baze jednake, izjednačavamo izraze

Logaritmi. Prvi nivo.

Neka je data vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Rješenje: Uzmite logaritam varijable da napišete logaritam kroz zbir članova

Ovo je tek početak upoznavanja sa logaritmima i njihovim svojstvima. Vježbajte proračune, obogatite svoje praktične vještine - uskoro će vam trebati stečeno znanje za rješavanje logaritamskih jednačina. Nakon što smo proučili osnovne metode za rješavanje takvih jednadžbi, proširit ćemo vaše znanje za još jednu jednako važnu temu - logaritamske nejednačine ...

Osnovna svojstva logaritama

Ova pravila moraju biti poznata – nijedan ozbiljan logaritamski problem ne može se riješiti bez njih. Osim toga, vrlo ih je malo - sve se može naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma sa istom osnovom: logax i logay. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log6 4 + log6 9.

Pošto su baze logaritama iste, koristimo formulu sume:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi su sastavljeni od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Mnogi testovi su zasnovani na ovoj činjenici. Da, kontrola - slični izrazi u punoj ozbiljnosti (ponekad - bez izmjena) se nude na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Sada da malo zakomplikujemo zadatak. Šta ako postoji stepen u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu proračuna.

Kako riješiti logaritme

To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Oslobodimo se stepena u argumentu prema prvoj formuli:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je imenilac logaritam čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem. Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili su u obliku stepeni i izvadili indikatore - dobili su razlomak od tri sprata.

Prelazak na novu osnovu

Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su baze različite? Šta ako nisu tačne snage istog broja?

Formule za prelazak na novu bazu dolaze u pomoć. Formuliramo ih u obliku teoreme:

Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobijamo:

Iz druge formule proizilazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam je u nazivniku.

Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.

Međutim, postoje zadaci koji se nikako ne mogu riješiti osim prelaskom na novu osnovu. Razmotrimo nekoliko od ovih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma tačni eksponenti. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Hajde da to zapišemo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno prikazati broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju, formule će nam pomoći:

U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Kao i nove formule osnovne konverzije, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - upravo je izvadio kvadrat iz baze i argument logaritma. S obzirom na pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:

Ako neko nije upoznat, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

logaa = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a iz same te baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Zato što je a0 = 1 direktna posljedica definicije.

To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.

Kako riješiti logaritamske kvadratne jednadžbe. Neke metode za rješavanje logaritamskih jednačina. Homogene logaritamske jednadžbe

Rješenje logaritamskih jednadžbi.

Definicija u matematici

Vrste logaritama

Pravila i neka ograničenja

Kako riješiti logaritme?

Jednačine i nejednačine

Osnovne teoreme o logaritmima

Primjeri problema i nejednakosti

Kako koristiti logaritamske formule: s primjerima i rješenjima

Zadaci sa ispita

Primjeri rješavanja logaritama

Prelazak na novu osnovu

Osnovna svojstva logaritma

Osnovna svojstva logaritama

Primjeri za logaritme

Uzmite logaritam izraza

Osnovna svojstva logaritama

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Formule logaritama. Logaritmi su primjeri rješenja.

Prelazak na novu osnovu

Osnovni logaritamski identitet

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

Osnovna svojstva logaritma

Uobičajeni slučajevi logaritama

Primjeri za logaritme

Uzmite logaritam izraza

Pronalaženje vrijednosti logaritma

Logaritmi. Prvi nivo.

Osnovna svojstva logaritama

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Kako riješiti logaritme

Prelazak na novu osnovu

Osnovni logaritamski identitet

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

povezani članci