Članak je posvećen analizi zadataka 15 sa profilnog ispita iz matematike za 2017. godinu. U ovom zadatku učenicima se nudi da riješe nejednačine, najčešće logaritamske. Iako mogu biti indikativne. Ovaj članak daje pregled primjera logaritamske nejednakosti, uključujući i one koje sadrže varijablu na bazi logaritma. Svi primjeri su preuzeti iz otvorene banke USE zadataka iz matematike (profil), tako da su slične nejednakosti sa vrlo vjerovatno možete uhvatiti ispit kao zadatak 15. Idealan za one koji žele da nauče kako da riješe zadatak 15 iz drugog dijela profilnog ispita iz matematike u kratkom roku kako bi dobili više bodova na ispitu.

Analiza zadataka 15 sa profilnog ispita iz matematike

U zadacima 15 Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (profil) često se nalaze logaritamske nejednakosti. Rješenje logaritamskih nejednačina počinje određivanjem raspona prihvatljivih vrijednosti. U ovom slučaju nema varijable u osnovi oba logaritma, postoji samo broj 11, što uvelike pojednostavljuje zadatak. Stoga, jedino ograničenje koje imamo ovdje je da su oba izraza pod predznakom logaritma pozitivna:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Prva nejednakost u sistemu je kvadratna nejednakost. Da bismo to riješili, bilo bi nam dobro da faktoriziramo lijevu stranu. Mislim da znate da je svaki kvadratni trinom oblika Faktorizira se na sljedeći način:

gdje su i korijeni jednadžbe . U ovom slučaju, koeficijent je 1 (ovo je numerički koeficijent ispred ). Koeficijent je također jednak 1, a koeficijent je slobodan pojam, jednak je -20. Korijene trinoma najlakše je odrediti pomoću Vietine teoreme. Naša jednačina je redukovana, što znači zbir korijena i bit će jednak koeficijentu suprotnog predznaka, odnosno -1, a proizvod ovih korijena će biti jednak koeficijentu, odnosno -20. Lako je pretpostaviti da će korijeni biti -5 i 4.

Sada se lijeva strana nejednakosti može rastaviti na faktore: title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X u tačkama -5 i 4. Dakle, željeno rješenje nejednakosti je interval . Za one koji ne razumiju šta ovdje piše, detalje možete pogledati u videu, od sada. Tamo ćete naći i detaljno objašnjenje kako se rješava druga nejednakost sistema. To se rješava. Štaviše, odgovor je potpuno isti kao i za prvu nejednakost sistema. Odnosno, gore napisani skup je područje ​​dozvoljenih vrijednosti nejednakosti.

Dakle, uzimajući u obzir faktorizaciju, originalna nejednakost ima oblik:

Koristeći formulu, dodajmo 11 stepenu izraza pod znakom prvog logaritma, a drugi logaritam pomjerimo na lijevu stranu nejednakosti, mijenjajući njegov predznak u suprotan:

Nakon smanjenja dobijamo:

Posljednja nejednakost, zbog povećanja funkcije , je ekvivalentna nejednakosti , čije je rješenje interval . Ostaje da ga prekrižimo s područjem dopuštenih vrijednosti nejednakosti, a to će biti odgovor na cijeli zadatak.

Dakle, željeni odgovor na zadatak ima oblik:

Shvatili smo ovaj zadatak, sada prelazimo na sljedeći primjer zadatka 15 Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (profil).

Rješenje započinjemo određivanjem raspona dopuštenih vrijednosti ove nejednakosti. Osnova svakog logaritma mora biti pozitivan broj koji nije jednak 1. Svi izrazi pod predznakom logaritma moraju biti pozitivni. Imenilac razlomka ne smije biti nula. Posljednji uvjet je ekvivalentan , jer samo inače oba logaritma u nazivniku nestaju. Svi ovi uslovi određuju opseg dozvoljenih vrednosti ove nejednakosti, koji je dat sledećim sistemom nejednakosti:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

U opsegu prihvatljivih vrijednosti možemo koristiti formule logaritamske transformacije kako bismo pojednostavili lijevu stranu nejednakosti. Koristeći formulu oslobodi se nazivnika:

Sada imamo samo osnovne logaritme. Već je zgodnije. Zatim koristimo formulu, a također i formulu kako bismo izraz vrijedan slave doveli u sljedeći oblik:

U proračunima smo koristili ono što je u opsegu prihvatljivih vrijednosti. Koristeći zamjenu, dolazimo do izraza:

Upotrijebimo još jednu zamjenu: . Kao rezultat, dolazimo do sljedećeg rezultata:

Dakle, postepeno se vraćajte na originalne varijable. Prvo do varijable:

Odjeljci: Matematika

Često se pri rješavanju logaritamskih nejednačina javljaju problemi s promjenjivom bazom logaritma. Dakle, nejednakost oblika

je standardna školska nejednakost. U pravilu, da bi se to riješilo, koristi se prijelaz na ekvivalentni skup sistema:

nedostatak ovu metodu je potreba da se riješi sedam nejednačina, ne računajući dva sistema i jedan skup. Čak i sa datim kvadratnim funkcijama, rješenje populacije može zahtijevati puno vremena.

Može se predložiti alternativni, manje dugotrajan način rješavanja ove standardne nejednakosti. Da bismo to učinili, uzimamo u obzir sljedeću teoremu.

Teorema 1. Neka je na skupu X kontinuirana rastuća funkcija. Tada će se na ovom skupu znak prirasta funkcije poklapati sa predznakom prirasta argumenta, tj. , gdje .

Napomena: ako je kontinuirana opadajuća funkcija na skupu X, onda .

Vratimo se nejednakosti. Prijeđimo na decimalni logaritam (možete ići na bilo koji s konstantnom bazom većom od jedan).

Sada možemo koristiti teoremu, primjećujući u brojniku povećanje funkcija i u nazivniku. Dakle, istina je

Kao rezultat toga, broj proračuna koji dovode do odgovora se smanjuje za otprilike polovicu, što štedi ne samo vrijeme, već vam omogućava i potencijalno manje aritmetičkih i nemarnih grešaka.

Primjer 1

Upoređujući sa (1) nalazimo , , .

Prelaskom na (2) imat ćemo:

Primjer 2

Uspoređujući sa (1) nalazimo , , .

Prelaskom na (2) imat ćemo:

Primjer 3

Budući da je lijeva strana nejednakosti rastuća funkcija za i , onda je odgovor postavljen.

Skup primjera u kojima se Terme 1 može primijeniti može se lako proširiti ako se uzmu u obzir Terme 2.

Pustite na set X funkcije , , , su definirane, a na ovom skupu se predznaci i poklapaju, tj. onda će biti pošteno.

Primjer 4

Primjer 5

Sa standardnim pristupom, primjer se rješava prema shemi: proizvod je manji od nule kada su faktori različitih predznaka. One. razmatramo skup od dva sistema nejednakosti u kojima se, kao što je naznačeno na početku, svaka nejednakost raspada na još sedam.

Ako uzmemo u obzir teoremu 2, onda se svaki od faktora, uzimajući u obzir (2), može zamijeniti drugom funkcijom koja ima isti predznak u ovom primjeru O.D.Z.

Metoda zamjene prirasta funkcije inkrementom argumenta, uzimajući u obzir teoremu 2, pokazuje se vrlo zgodnom kada se rješavaju tipični C3 USE problemi.

Primjer 6

Primjer 7

. Označimo . Get

. Imajte na umu da zamjena podrazumijeva: . Vraćajući se na jednačinu, dobijamo .

Primjer 8

U teoremama koje koristimo, nema ograničenja na klase funkcija. U ovom članku, kao primjer, teoreme su primijenjene na rješenje logaritamskih nejednačina. Sljedećih nekoliko primjera će pokazati obećanje metode za rješavanje drugih vrsta nejednakosti.

LOGARITAMSKE NEJEDNAKOSTI U UPOTREBI

Sečin Mihail Aleksandrovič

Mala akademija nauka za studente Republike Kazahstan "Tragač"

MBOU "Sovjetska srednja škola br. 1", 11. razred, grad. Sovjetski Sovjetski okrug

Gunko Ljudmila Dmitrijevna, učiteljica MBOU "Sovjetska srednja škola br. 1"

Sovjetski okrug

Cilj: proučavanje mehanizma za rješavanje logaritamskih C3 nejednačina primjenom nestandardnih metoda, identifikacija zanimljivosti logaritam.

Predmet studija:

3) Naučite rješavati specifične logaritamske C3 nejednačine koristeći nestandardne metode.

Rezultati:

Sadržaj

Uvod……………………………………………………………………………………………………….4

Poglavlje 1. Pozadina……………………………………………………………………...5

Poglavlje 2. Zbirka logaritamskih nejednačina ………………………… 7

2.1. Ekvivalentni prijelazi i generalizirana metoda intervala…………… 7

2.2. Metoda racionalizacije …………………………………………………………… 15

2.3. Nestandardna zamjena………………………………………………………………………………………………………………. ..... 22

2.4. Zadaci sa zamkama…………………………………………………… 27

Zaključak……………………………………………………………………………… 30

Književnost…………………………………………………………………………………. 31

Uvod

Ja sam 11. razred i planiram da upišem fakultet gdje je matematika osnovni predmet. I zato mnogo radim sa zadacima iz dela C. U zadatku C3 treba da rešite nestandardnu ​​nejednakost ili sistem nejednakosti, obično povezan sa logaritmima. Pripremajući se za ispit, naišao sam na problem nedostatka metoda i tehnika za rješavanje ispitnih logaritamskih nejednakosti ponuđenih u C3. Metode koje se proučavaju u školski program na ovu temu, ne daju osnovu za rješavanje zadataka C3. Nastavnica matematike mi je predložila da samostalno radim sa C3 zadacima pod njenim vodstvom. Osim toga, zanimalo me je pitanje: postoje li logaritmi u našem životu?

Imajući to na umu, odabrana je tema:

"Logaritamske nejednakosti na ispitu"

Cilj: proučavanje mehanizma za rješavanje C3 problema korištenjem nestandardnih metoda, otkrivajući zanimljive činjenice o logaritmu.

Predmet studija:

1) Pronađite potrebne informacije o nestandardnim metodama za rješavanje logaritamskih nejednačina.

2) Pronađite dodatne informacije o logaritmima.

3) Naučite rješavati specifične C3 probleme koristeći nestandardne metode.

Rezultati:

Praktični značaj je proširenje aparata za rješavanje problema C3. Ovaj materijal se može koristiti u nekim časovima, za vođenje kružoka, fakultativne nastave iz matematike.

Proizvod projekta će biti zbirka "Logaritamske C3 nejednačine sa rješenjima".

Poglavlje 1. Pozadina

Tokom 16. vijeka, broj približnih proračuna se brzo povećao, prvenstveno u astronomiji. Poboljšanje instrumenata, proučavanje kretanja planeta i drugi radovi zahtijevali su kolosalne, ponekad i višegodišnje, proračune. Astronomija je bila u stvarnoj opasnosti da se utopi u neispunjenim proračunima. Poteškoće su se pojavile iu drugim oblastima, na primjer, u poslovima osiguranja, bile su potrebne tabele složenih kamata za različite procentualne vrijednosti. Glavna poteškoća je bila množenje, dijeljenje višecifrenih brojeva, posebno trigonometrijskih veličina.

Otkriće logaritama zasnivalo se na dobro poznatim svojstvima progresija do kraja 16. veka. Arhimed je govorio o povezanosti članova geometrijske progresije q, q2, q3, ... i aritmetičke progresije njihovih indikatora 1, 2, 3, ... u Psalmitu. Drugi preduvjet je bio proširenje koncepta stepena na negativne i razlomke. Mnogi autori su istakli da množenje, dijeljenje, podizanje na stepen i vađenje korijena eksponencijalno odgovaraju u aritmetici - istim redoslijedom - sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje.

Ovdje je bila ideja o logaritmu kao eksponentu.

U istoriji razvoja doktrine logaritma prošlo je nekoliko faza.

Faza 1

Logaritme su izumili najkasnije 1594. nezavisno škotski baron Napier (1550-1617), a deset godina kasnije švajcarski mehaničar Burgi (1552-1632). Obojica su željeli da pruže novo pogodno sredstvo aritmetičkih proračuna, iako su ovom problemu pristupili na različite načine. Napier je kinematički izrazio logaritamsku funkciju i tako ušao u novo polje teorije funkcija. Bürgi je ostao na osnovu razmatranja diskretnih progresija. Međutim, definicija logaritma za oba nije slična modernoj. Izraz "logaritam" (logaritam) pripada Napieru. Nastao je kombinacijom grčkih riječi: logos - "odnos" i ariqmo - "broj", što je značilo "broj odnosa". U početku je Napier koristio drugačiji termin: numeri artificiales - "vještački brojevi", za razliku od numeri naturalts - "prirodni brojevi".

Godine 1615., u razgovoru s Henryjem Briggsom (1561-1631), profesorom matematike na Gresh koledžu u Londonu, Napier je predložio da se uzme nula za logaritam od jedan, a 100 za logaritam od deset, ili, što znači isto , samo 1. Ovako su štampani decimalni logaritmi i prve logaritamske tablice. Kasnije je Briggsove tabele dopunio holandski knjižar i matematičar Andrian Flakk (1600-1667). Napier i Briggs, iako su prije ikoga došli do logaritma, objavili su svoje tablice kasnije od drugih - 1620. godine. Znakove log i log uveo je 1624. I. Kepler. Termin "prirodni logaritam" uveo je Mengoli 1659. godine, zatim N. Mercator 1668. godine, a londonski učitelj Džon Spadel objavio je tabele prirodnih logaritama brojeva od 1 do 1000 pod nazivom "Novi logaritmi".

Na ruskom jeziku prve logaritamske tablice objavljene su 1703. Ali u svim logaritamskim tablicama napravljene su greške u proračunu. Prve tabele bez grešaka objavljene su 1857. u Berlinu u obradi njemačkog matematičara K. Bremikera (1804-1877).

Faza 2

Dalji razvoj teorije logaritama povezan je sa širom primjenom analitičke geometrije i infinitezimalnog računa. Do tog vremena, uspostavljanje veze između kvadrature jednakostranične hiperbole i prirodni logaritam. Teorija logaritama ovog perioda povezana je sa imenima brojnih matematičara.

Njemački matematičar, astronom i inženjer Nikolaus Mercator u svom eseju

"Logarithmotechnics" (1668) daje niz koji daje proširenje ln(x + 1) u smislu

moći x:

Ovaj izraz tačno odgovara toku njegove misli, iako, naravno, nije koristio znakove d, ..., već glomaznije simbole. Sa otkrićem logaritamskih nizova, tehnika izračunavanja logaritama se promijenila: počeli su se određivati ​​pomoću beskonačnih nizova. U svojim predavanjima "Elementarna matematika sa višeg gledišta", čitanim 1907-1908, F. Klein je predložio korištenje formule kao polazne tačke za izgradnju teorije logaritama.

Faza 3

Definicija logaritamske funkcije kao inverzne funkcije

eksponencijalni, logaritam kao eksponent date baze

nije formulisano odmah. Djelo Leonharda Ojlera (1707-1783)

Dalje je poslužio "Uvod u analizu infinitezimalnih" (1748).

razvoj teorije logaritamske funkcije. Na ovaj način,

Prošle su 134 godine od kada su prvi put uvedeni logaritmi

(računajući od 1614. godine) prije nego što su matematičari došli do definicije

koncept logaritma, koji je sada osnova školskog predmeta.

Poglavlje 2. Zbirka logaritamskih nejednakosti

2.1. Ekvivalentni prijelazi i generalizirana metoda intervala.

Ekvivalentni prelazi

ako je a > 1

ako je 0 < а < 1

Metoda generaliziranog intervala

Ova metoda je najuniverzalnija u rješavanju nejednakosti gotovo bilo koje vrste. Shema rješenja izgleda ovako:

1. Dovedite nejednakost u takav oblik, gdje se funkcija nalazi na lijevoj strani
, i 0 na desnoj strani.

2. Pronađite opseg funkcije
.

3. Pronađite nule funkcije
, odnosno riješiti jednačinu
(a rješavanje jednadžbe je obično lakše nego rješavanje nejednačine).

4. Nacrtajte domen definicije i nule funkcije na realnoj liniji.

5. Odredite znakove funkcije
u primljenim intervalima.

6. Odaberite intervale u kojima funkcija uzima potrebne vrijednosti i zapišite odgovor.

Primjer 1

Rješenje:

Primijenite metodu intervala

gdje

Za ove vrijednosti, svi izrazi pod predznacima logaritma su pozitivni.

odgovor:

Primjer 2

Rješenje:

1st način . ODZ je određena nejednakošću x> 3. Uzimanje logaritma za takve x u bazi 10, dobijamo

Posljednja nejednakost se može riješiti primjenom pravila dekompozicije, tj. poređenje faktora sa nulom. Međutim, u ovom slučaju je lako odrediti intervale konstantnosti funkcije

tako da se može primijeniti intervalna metoda.

Funkcija f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ je kontinuirano za x> 3 i nestaje u tačkama x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Dakle, određujemo intervale konstantnosti funkcije f(x):

odgovor:

2nd way . Primijenimo ideje metode intervala direktno na izvornu nejednakost.

Za ovo, podsjećamo da su izrazi a b- a c i ( a - 1)(b- 1) imaju jedan znak. Zatim naša nejednakost za x> 3 je ekvivalentno nejednakosti

ili

Posljednja nejednakost rješava se metodom intervala

odgovor:

Primjer 3

Rješenje:

Primijenite metodu intervala

odgovor:

Primjer 4

Rješenje:

Od 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 za sve realne x, onda

Za rješavanje druge nejednakosti koristimo metodu intervala

U prvoj nejednakosti vršimo promjenu

tada dolazimo do nejednakosti 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, koji zadovoljavaju nejednakost -0,5< y < 1.

Odakle, jer

dobijamo nejednakost

koji se sprovodi sa x, za koji 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Sada, uzimajući u obzir rješenje druge nejednakosti sistema, konačno dobijamo

odgovor:

Primjer 5

Rješenje:

Nejednakost je ekvivalentna skupu sistema

ili

Primijenite intervalnu metodu ili

Odgovori:

Primjer 6

Rješenje:

Nejednakost je ravna sistemu

Neka

onda y > 0,

i prva nejednakost

sistem poprima oblik

ili, širenje

kvadratni trinom na faktore,

Primjenom intervalne metode na posljednju nejednakost,

vidimo da njegova rješenja zadovoljavaju uslov y> 0 će biti sve y > 4.

Dakle, originalna nejednakost je ekvivalentna sistemu:

Dakle, rješenja nejednakosti su sva

2.2. metoda racionalizacije.

Ranije metoda racionalizacije nejednakosti nije bila riješena, nije bila poznata. Ovo je nova moderna efikasan metod rješenja eksponencijalnih i logaritamskih nejednakosti" (citat iz knjige Kolesnikove S.I.)
Čak i da ga je učiteljica poznavala, postojao je strah - ali poznaje li ga stručnjak za USE i zašto ga ne daju u školi? Bilo je situacija kada je nastavnik rekao učeniku: "Odakle ti to? Sedi - 2."
Sada se metoda svuda promoviše. A za stručnjake postoji smjernice povezana s ovom metodom, a u "Najpotpunijim izdanjima standardnih varijanti..." u rješenju C3, koristi se ova metoda.
METOD JE ODLICAN!

"Čarobni sto"

U drugim izvorima

ako a >1 i b >1, zatim log a b >0 i (a -1)(b -1)>0;

ako a >1 i 0

ako je 0<a<1 и b >1, zatim log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;