Pojednostavljivanje algebarskih izraza jedan je od ključeva učenja algebre i izuzetno korisna vještina za sve matematičare. Pojednostavljenje vam omogućava da svedete složeni ili dugi izraz na jednostavan izraz s kojim je lako raditi. Osnovne vještine pojednostavljivanja dobre su čak i za one koji nisu entuzijasti u matematici. Prateći nekoliko jednostavnih pravila, mnogi od najčešćih tipova algebarskih izraza mogu se pojednostaviti bez ikakvog posebnog matematičkog znanja.

Koraci

Važne definicije

1. Slični članovi . To su članovi sa varijablom istog reda, članovi sa istim varijablama ili slobodni članovi (članovi koji ne sadrže varijablu). Drugim riječima, slični pojmovi uključuju jednu varijablu u istoj mjeri, uključuju nekoliko identičnih varijabli ili uopće ne uključuju varijablu. Redosled pojmova u izrazu nije bitan.

   • Na primjer, 3x 2 i 4x 2 su slični termini jer sadrže varijablu "x" drugog reda (u drugom stepenu). Međutim, x i x 2 nisu slični članovi, jer sadrže varijablu "x" različitog reda (prvi i drugi). Slično, -3yx i 5xz nisu slični članovi jer sadrže različite varijable.

2. Faktorizacija . Ovo je pronalaženje takvih brojeva, čiji proizvod vodi do originalnog broja. Svaki originalni broj može imati nekoliko faktora. Na primjer, broj 12 se može razložiti na sljedeće nizove faktora: 1 × 12, 2 × 6 i 3 × 4, tako da možemo reći da su brojevi 1, 2, 3, 4, 6 i 12 faktori broj 12. Faktori su isti kao i djelitelji, odnosno brojevi kojima je djeljiv originalni broj.

   • Na primjer, ako želite da faktorirate broj 20, napišite ga ovako: 4×5.
   • Imajte na umu da se prilikom faktoringa varijabla uzima u obzir. Na primjer, 20x = 4(5x).
   • Prosti brojevi se ne mogu rastaviti na faktore jer su djeljivi samo sa sobom i 1.

3. Zapamtite i slijedite redoslijed operacija kako biste izbjegli greške.

   • Zagrade
   • Stepen
   • Množenje
   • Division
   • Dodatak
   • Oduzimanje

   Casting Like Members

   1. Zapišite izraz. Najjednostavniji algebarski izrazi (koji ne sadrže razlomke, korijene i tako dalje) mogu se riješiti (pojednostaviti) u samo nekoliko koraka.

      • Na primjer, pojednostavite izraz 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definirajte slične članove (članove sa varijablom istog reda, članove sa istim varijablama ili slobodne članove).

      • Pronađite slične pojmove u ovom izrazu. Termini 2x i 4x sadrže varijablu istog reda (prva). Također, 1 i -3 su slobodni članovi (ne sadrže varijablu). Dakle, u ovom izrazu, termini 2x i 4x slični su i članovi 1 i -3 takođe su slični.

   3. Navedite slične termine. To znači njihovo dodavanje ili oduzimanje i pojednostavljivanje izraza.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Prepišite izraz uzimajući u obzir date članove. Dobićete jednostavan izraz sa manje pojmova. Novi izraz je jednak originalnom.

      • U našem primjeru: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, odnosno originalni izraz je pojednostavljen i lakši za rad.

   5. Posmatrajte redosled kojim se operacije izvode prilikom bacanja sličnih termina. U našem primjeru bilo je lako donijeti slične pojmove. Međutim, u slučaju složenih izraza u kojima su članovi zatvoreni u zagrade, a prisutni su razlomci i korijeni, nije tako lako donijeti takve pojmove. U tim slučajevima slijedite redoslijed operacija.

      • Na primjer, razmotrite izraz 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Ovdje bi bilo pogrešno odmah definirati 3x i 2x kao slične pojmove i citirati ih, jer prvo treba proširiti zagrade. Stoga izvršite operacije po njihovom redoslijedu.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Sad, kada izraz sadrži samo operacije sabiranja i oduzimanja, možete baciti slične pojmove.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Stavljanje u zagrade množitelja

   1. Nađi najveći zajednički djelitelj(GCD) svih koeficijenata izraza. NOD je najveći broj, kojim su podijeljeni svi koeficijenti izraza.

      • Na primjer, razmotrite jednačinu 9x 2 + 27x - 3. U ovom slučaju, gcd=3, budući da je bilo koji koeficijent ovog izraza djeljiv sa 3.

   2. Podijelite svaki član izraza sa gcd. Rezultirajući termini će sadržavati manje koeficijente nego u originalnom izrazu.

      • U našem primjeru, podijelite svaki izraz sa 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Ispostavilo se izraz 3x2 + 9x-1. Nije jednak originalnom izrazu.

   3. Zapišite originalni izraz kao jednak proizvodu gcd puta rezultujućeg izraza. To jest, stavite rezultujući izraz u zagrade, a GCD izvucite iz zagrada.

      • U našem primjeru: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Pojednostavljivanje frakcijskih izraza izvlačenjem množitelja iz zagrada. Zašto samo izvaditi množitelj iz zagrada, kao što je učinjeno ranije? Zatim, da naučite kako da pojednostavite složene izraze, kao što su frakcioni izrazi. U ovom slučaju, stavljanje faktora iz zagrada može pomoći da se riješite razlomka (od nazivnika).

      • Na primjer, razmotrite frakcijski izraz (9x 2 + 27x - 3)/3. Koristite zagrade da pojednostavite ovaj izraz.
        • Odvojite faktor 3 (kao što ste ranije radili): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Imajte na umu da i brojilac i imenilac sada imaju broj 3. Ovo se može smanjiti i dobićete izraz: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Budući da je svaki razlomak koji ima broj 1 u nazivniku jednak brojiocu, originalni izraz razlomaka se pojednostavljuje na: 3x2 + 9x-1.

   Dodatne tehnike pojednostavljenja

   1. Pojednostavljivanje frakcijskih izraza. Kao što je gore navedeno, ako i brojnik i nazivnik sadrže iste članove (ili čak iste izraze), onda se mogu smanjiti. Da biste to učinili, morate izvaditi zajednički faktor brojnika ili nazivnika, ili i brojnik i imenilac. Ili možete podijeliti svaki član brojnika sa nazivnikom i tako pojednostaviti izraz.

      • Na primjer, razmotrite frakcijski izraz (5x 2 + 10x + 20)/10. Ovdje jednostavno podijelite svaki član brojnika sa nazivnikom (10). Ali imajte na umu da član 5x2 nije čak ni djeljiv sa 10 (jer je 5 manje od 10).
        • Dakle, napišite pojednostavljeni izraz ovako: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.

   2. Pojednostavljenje radikalnih izraza. Izrazi pod predznakom radikala nazivaju se radikalni izrazi. Oni se mogu pojednostaviti kroz njihovu dekompoziciju na odgovarajuće faktore i naknadno uklanjanje jednog faktora ispod korena.

      • Razmotrimo jednostavan primjer: √(90). Broj 90 se može razložiti na sljedeće faktore: 9 i 10, te iz 9 izdvojiti Kvadratni korijen(3) i izvadite 3 ispod korijena.
        • √(90)
        • √(9×10)
        • √(9)×√(10)
        • 3×√(10)
        • 3√(10)

   3. Pojednostavljivanje izraza sa potencijama. U nekim izrazima postoje operacije množenja ili dijeljenja pojmova sa stepenom. U slučaju množenja članova sa jednom osnovom, sabiraju se njihovi stepeni; u slučaju dijeljenja članova sa istom osnovom, njihovi stupnjevi se oduzimaju.

      • Na primjer, razmotrite izraz 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). U slučaju množenja zbrojite eksponente, a u slučaju dijeljenja ih oduzmite.
        • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
        • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
        • 48x7+x2
      • Slijedi objašnjenje pravila za množenje i dijeljenje pojmova sa stepenom.
        • Množenje pojmova sa potencijama je ekvivalentno množenju pojmova sami po sebi. Na primjer, pošto je x 3 = x × x × x i x 5 = x × x × x × x × x, tada je x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), ili x 8 .
        • Slično tome, podjela pojmova sa ovlastima je ekvivalentna podjela pojmova na sebe. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Budući da se slični članovi koji se nalaze i u brojniku i u nazivniku mogu smanjiti, proizvod dva "x", ili x 2, ostaje u brojniku.

Materijal ovog članka je opći pogled na transformaciju izraza koji sadrže razlomke. Ovdje ćemo razmotriti osnovne transformacije koje su karakteristične za izraze sa razlomcima.

Navigacija po stranici.

Frakcijski izrazi i frakcijski izrazi

Za početak, razjasnimo s kakvom transformacijom izraza ćemo se baviti.

Naslov članka sadrži frazu koja je sama po sebi razumljiva " izrazi sa razlomcima". Odnosno, u nastavku ćemo govoriti o transformaciji numeričkih izraza i izraza s varijablama, u čijem zapisu postoji barem jedan razlomak.

Odmah napominjemo da nakon objavljivanja članka " Transformacija razlomaka: opći pogled" više nas ne zanimaju pojedinačni razlomci. Dakle, dalje ćemo razmatrati zbrojeve, razlike, proizvode, parcijalne i složenije izraze s korijenima, potencijama, logaritmima, koji su ujedinjeni samo prisustvom barem jednog razlomka.

I hajde da pričamo o tome frakcioni izrazi. Ovo nije isto što i izrazi sa razlomcima. Izrazi sa razlomcima - više opšti koncept. Nije svaki izraz sa razlomcima frakcijski izraz. Na primjer, izraz nije frakcijski izraz, iako sadrži razlomak, on je cjelobrojni racionalni izraz. Dakle, nemojte izraz sa razlomcima zvati frakcijskim izrazom, a da niste potpuno sigurni da jeste.

Osnovne identične transformacije izraza s razlomcima

Primjer.

Pojednostavite izraz .

Rješenje.

U tom slučaju možete otvoriti zagrade, što će dati izraz , koji sadrži slične članove i , kao i −3 i 3 . Nakon njihovog smanjenja, dobijamo razlomak.

Hajde da pokažemo kratke forme unosi rješenja:

odgovor:

.

Rad sa pojedinačnim razlomcima

Izrazi o kojima govorimo razlikuju se od ostalih izraza uglavnom po prisutnosti razlomaka. A prisutnost frakcija zahtijeva alate za rad s njima. U ovom odlomku ćemo razgovarati o transformaciji pojedinačnih razlomaka uključenih u zapis ovog izraza, au sljedećem ćemo preći na izvođenje operacija sa razlomcima koji čine originalni izraz.

Sa bilo kojim razlomkom koji jeste sastavni dio originalni izraz, možete izvršiti bilo koju od konverzija navedenih u članku o konverziji razlomaka. Odnosno, možete uzeti poseban razlomak, raditi s njegovim brojnikom i nazivnikom, smanjiti ga, dovesti ga na novi nazivnik itd. Jasno je da će ovom transformacijom odabrani razlomak biti zamijenjen razlomkom koji mu je identično jednak, a izvorni izraz će biti zamijenjen izrazom koji je njemu identično jednak. Pogledajmo primjer.

Primjer.

Pretvorite izraz s razlomkom na jednostavniji oblik.

Rješenje.

Započnimo transformaciju radom sa razlomkom. Prvo otvorite zagrade i dajte slične pojmove u brojiocu razlomka: . Sada se postavlja zagrada zajedničkog faktora x u brojiocu i naknadno smanjenje algebarskog razlomka: . Ostaje samo zamijeniti dobiveni rezultat umjesto razlomka u izvornom izrazu, koji daje .

odgovor:

.

Izvođenje radnji sa razlomcima

Deo procesa pretvaranja izraza sa razlomcima je često obavezan radnje sa razlomcima. Izvode se u skladu sa prihvaćenom procedurom za izvođenje radnji. Također je vrijedno imati na umu da se bilo koji broj ili izraz uvijek može predstaviti kao razlomak sa nazivnikom 1.

Primjer.

Pojednostavite izraz .

Rješenje.

Problemu se može pristupiti iz različitih uglova. U kontekstu teme koja se razmatra, ići ćemo izvođenjem radnji s razlomcima. Počnimo s množenjem razlomaka:

Sada zapisujemo proizvod kao razlomak sa nazivnikom 1, nakon čega oduzimamo razlomke:

Po želji i potrebi, još uvijek se može riješiti iracionalnosti u nazivniku , na kojoj možete završiti transformaciju.

odgovor:

Primena svojstava korena, stepena, logaritma, itd.

Klasa izraza sa razlomcima je veoma široka. Takvi izrazi, pored stvarnih razlomaka, mogu sadržavati korijene, stupnjeve s različitim eksponentima, module, logaritme, trigonometrijske funkcije itd. Naravno, kada se konvertuju, primenjuju se odgovarajuća svojstva.

Primjenjivo na razlomke, vrijedi istaknuti svojstvo korijena razlomka, svojstvo razlomka do stepena, svojstvo modula količnika i svojstvo logaritma razlike .

Radi jasnoće dajemo nekoliko primjera. Na primjer, u izrazu Možda bi bilo korisno, na osnovu svojstava stepena, zamijeniti prvi razlomak stepenom, što nam dalje omogućava da izraz predstavimo kao kvadratnu razliku. Prilikom pretvaranja logaritamskog izraza moguće je zamijeniti logaritam razlomka razlikom logaritama, što nam dalje omogućava da donesemo slične pojmove i time pojednostavimo izraz: . Pretvaranje trigonometrijskih izraza može zahtijevati zamjenu omjera sinusa i kosinusa istog ugla tangentom. Možda će također biti potrebno prijeći s polovice argumenta koristeći odgovarajuće formule na cijeli argument, čime ćete se riješiti argumenta razlomaka, na primjer, .

Primjena svojstava korijena, stupnjeva itd. transformacija izraza je detaljnije obrađena u člancima:

• Transformacija iracionalnih izraza korištenjem svojstava korijena,
• Transformacija izraza korištenjem svojstava potencija,
• Pretvaranje logaritamskih izraza koristeći svojstva logaritama,
• Pretvaranje trigonometrijskih izraza.

Aritmetička operacija koja se izvodi posljednja prilikom izračunavanja vrijednosti izraza je "glavna".

To jest, ako zamijenite neke (bilo koje) brojeve umjesto slova i pokušate izračunati vrijednost izraza, onda ako je posljednja radnja množenje, onda imamo proizvod (izraz se razlaže na faktore).

Ako je posljednja radnja zbrajanje ili oduzimanje, to znači da se izraz ne rastavlja na faktore (i stoga se ne može smanjiti).

Da to sami popravite, nekoliko primjera:

primjeri:

rješenja:

1. Nadam se da niste odmah požurili da sečete i? Još uvijek nije bilo dovoljno "smanjiti" jedinice ovako:

Prvi korak bi trebao biti faktorizacija:

4. Sabiranje i oduzimanje razlomaka. Dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Sabiranje i oduzimanje običnih razlomaka je dobro poznata operacija: tražimo zajednički nazivnik, množimo svaki razlomak faktorom koji nedostaje i dodajemo/oduzimamo brojioce.

prisjetimo se:

odgovori:

1. Imenioci i su međusobno prosti, odnosno nemaju zajedničkih faktora. Stoga je LCM ovih brojeva jednak njihovom proizvodu. Ovo će biti zajednički imenilac:

2. Ovdje je zajednički imenilac:

3. Ovdje, prije svega, pretvaramo miješane razlomke u nepravilne, a zatim - prema uobičajenoj shemi:

Sasvim je druga stvar ako razlomci sadrže slova, na primjer:

Počnimo jednostavno:

a) Imenioci ne sadrže slova

Ovdje je sve isto kao i s običnim brojčanim razlomcima: nađemo zajednički nazivnik, pomnožimo svaki razlomak faktorom koji nedostaje i dodamo / oduzmemo brojioce:

sada u brojiocu možete dovesti slične, ako ih ima, i faktorisati ih:

Probajte sami:

odgovori:

b) Imenioci sadrže slova

Prisjetimo se principa pronalaženja zajedničkog nazivnika bez slova:

Prije svega, određujemo zajedničke faktore;

Zatim ispisujemo sve zajedničke faktore jednom;

i pomnožite ih sa svim ostalim faktorima, a ne sa uobičajenim.

Da bismo odredili zajedničke faktore nazivnika, prvo ih dekomponujemo na jednostavne faktore:

Ističemo zajedničke faktore:

Sada ispisujemo uobičajene faktore jednom i dodajemo im sve neobične (nepodvučene) faktore:

Ovo je zajednički imenitelj.

Vratimo se pismima. Imenioci su dati na potpuno isti način:

Dekomponujemo nazivnike na faktore;

odrediti zajedničke (identične) množitelje;

napišite sve zajedničke faktore jednom;

Množimo ih sa svim ostalim faktorima, a ne sa uobičajenim.

Dakle, redom:

1) razložiti nazivnike na faktore:

2) odrediti zajedničke (identične) faktore:

3) napišite sve zajedničke faktore jednom i pomnožite ih sa svim ostalim (nepodvučenim) faktorima:

Dakle, zajednički imenitelj je ovdje. Prvi razlomak se mora pomnožiti sa, drugi - sa:

Usput, postoji jedan trik:

Na primjer: .

Vidimo iste faktore u nazivnicima, samo svi sa različitim pokazateljima. Zajednički imenilac će biti:

u meri u kojoj

u meri u kojoj

u meri u kojoj

u stepenu.

Zakomplikujmo zadatak:

Kako napraviti da razlomci imaju isti imenilac?

Prisjetimo se osnovnog svojstva razlomka:

Nigdje se ne kaže da se isti broj može oduzeti (ili dodati) od brojnika i nazivnika razlomka. Jer to nije istina!

Uvjerite se sami: uzmite bilo koji razlomak, na primjer, i dodajte neki broj brojniku i nazivniku, na primjer, . Šta je naučeno?

Dakle, još jedno nepokolebljivo pravilo:

Kada dovedete razlomke do zajedničkog nazivnika, koristite samo operaciju množenja!

Ali šta trebate pomnožiti da biste dobili?

Evo i množi se. I pomnoži sa:

Izrazi koji se ne mogu razložiti na faktore nazivat će se "elementarni faktori".

Na primjer, elementarni faktor. - također. Ali - ne: ona je razložena na faktore.

Šta je sa izražavanjem? Da li je osnovno?

Ne, jer se može faktorizirati:

(o faktorizaciji ste već čitali u temi "").

Dakle, elementarni faktori na koje rastavljate izraz sa slovima su analogni jednostavnim faktorima u koje rastavljate brojeve. I mi ćemo učiniti isto sa njima.

Vidimo da oba imenioca imaju faktor. To će ići na zajednički imenilac u moći (sjećate se zašto?).

Množilac je elementaran i nemaju ga zajedničkog, što znači da će se prvi razlomak jednostavno morati pomnožiti s njim:

Drugi primjer:

Rješenje:

Prije nego što panično pomnožite ove nazivnike, trebate razmisliti o tome kako ih rastaviti na faktore? Obojica predstavljaju:

Odlično! onda:

Drugi primjer:

Rješenje:

Kao i obično, delimo nazivnike na faktore. U prvom nazivniku, jednostavno ga stavljamo iz zagrada; u drugom - razlika kvadrata:

Čini se da nema zajedničkih faktora. Ali ako bolje pogledate, oni su već toliko slični... A istina je:

Pa da napišemo:

Odnosno, ispalo je ovako: unutar zagrade smo zamijenili pojmove, a istovremeno se znak ispred razlomka promijenio u suprotan. Imajte na umu, ovo ćete morati često raditi.

Sada dolazimo do zajedničkog imenioca:

Jasno? Sada da provjerimo.

Zadaci za samostalno rješavanje:

odgovori:

Ovdje moramo zapamtiti još jednu stvar - razliku kocki:

Imajte na umu da nazivnik drugog razlomka ne sadrži formulu "kvadrat zbira"! Kvadrat sume bi izgledao ovako:

A je takozvani nepotpuni kvadrat zbira: drugi član u njemu je proizvod prvog i posljednjeg, a ne njihov udvostručeni proizvod. Nepotpun kvadrat zbira jedan je od faktora u proširenju razlike kocki:

Šta ako već postoje tri razlomka?

Da, isto! Prije svega, pobrinut ćemo se da maksimalni broj faktora u nazivnicima bude isti:

Obratite pažnju: ako promijenite predznake unutar jedne zagrade, znak ispred razlomka mijenja se u suprotan. Kada promijenimo predznake u drugoj zagradi, znak ispred razlomka se ponovo obrće. Kao rezultat toga, on (znak ispred razlomka) se nije promijenio.

Prvi imenilac u potpunosti ispisujemo u zajednički imenilac, a zatim mu dodajemo sve faktore koji još nisu upisani, iz drugog, pa iz trećeg (i tako dalje, ako ima više razlomaka). Odnosno, to ide ovako:

Hm... Sa razlomcima je jasno šta da se radi. Ali šta je sa njih dvoje?

Jednostavno je: znate kako sabirati razlomke, zar ne? Dakle, morate biti sigurni da dvojka postane razlomak! Zapamtite: razlomak je operacija dijeljenja (brojnik je podijeljen imeniocem, u slučaju da ste iznenada zaboravili). I nema ništa lakše nego podijeliti broj sa. U ovom slučaju, sam broj se neće promijeniti, već će se pretvoriti u razlomak:

Upravo ono što je potrebno!

5. Množenje i dijeljenje razlomaka.

Pa, najteži dio je sada gotov. A pred nama je ono najjednostavnije, ali ujedno i najvažnije:

Procedura

Koja je procedura za izračunavanje numeričkog izraza? Zapamtite, s obzirom na vrijednost takvog izraza:

Jeste li brojali?

Trebalo bi da radi.

Dakle, podsjećam te.

Prvi korak je izračunavanje stepena.

Drugi je množenje i dijeljenje. Ako postoji nekoliko množenja i dijeljenja u isto vrijeme, možete ih raditi bilo kojim redoslijedom.

I na kraju, vršimo sabiranje i oduzimanje. Opet, bilo kojim redoslijedom.

Ali: izraz u zagradi se procjenjuje van reda!

Ako se nekoliko zagrada međusobno pomnoži ili podijeli, prvo procjenjujemo izraz u svakoj od zagrada, a zatim ih množimo ili dijelimo.

Šta ako postoje druge zagrade unutar zagrada? Pa, razmislimo: neki izraz je napisan unutar zagrada. Šta je prva stvar koju treba učiniti kada procjenjujete izraz? Tako je, izračunajte zagrade. Pa, shvatili smo: prvo izračunamo unutrašnje zagrade, pa sve ostalo.

Dakle, redoslijed radnji za gornji izraz je sljedeći (trenutna radnja je istaknuta crvenom bojom, odnosno radnja koju trenutno izvodim):

Ok, sve je jednostavno.

Ali to nije isto što i izraz sa slovima, zar ne?

Ne, to je isto! Samo umjesto aritmetičkih operacija potrebno je raditi algebarske operacije, odnosno operacije opisane u prethodnom dijelu: donoseći slično, zbrajanje razlomaka, smanjenje razlomaka i tako dalje. Jedina razlika će biti djelovanje faktoringa polinoma (često ga koristimo kada radimo sa razlomcima). Najčešće, za faktorizaciju, trebate koristiti i ili jednostavno izvaditi zajednički faktor iz zagrada.

Obično je naš cilj predstaviti izraz kao proizvod ili količnik.

Na primjer:

Hajde da pojednostavimo izraz.

1) Prvo pojednostavljujemo izraz u zagradama. Tu imamo razliku razlomaka, a naš cilj je da je predstavimo kao proizvod ili količnik. Dakle, dovodimo razlomke na zajednički nazivnik i dodajemo:

Nemoguće je dalje pojednostavljivati ​​ovaj izraz, svi faktori su ovde elementarni (sećate li se još šta ovo znači?).

2) Dobijamo:

Množenje razlomaka: šta bi moglo biti lakše.

3) Sada možete skratiti:

OK, sve je gotovo. Ništa komplikovano, zar ne?

Drugi primjer:

Pojednostavite izraz.

Prvo pokušajte sami to riješiti, pa tek onda pogledajte rješenje.

Rješenje:

Prije svega, hajde da definiramo proceduru.

Prvo, dodajmo razlomke u zagradama, umjesto dva razlomka, ispast će jedan.

Zatim ćemo uraditi dijeljenje razlomaka. Pa, rezultat dodajemo zadnjim razlomkom.

Šematski ću numerisati korake:

Sada ću pokazati cijeli proces, tonirajući trenutnu akciju crvenom bojom:

1. Ako ima sličnih, moraju se odmah doneti. U kom god trenutku imamo slične, preporučljivo je da ih odmah donesemo.

2. Isto važi i za smanjenje razlomaka: čim se ukaže prilika za smanjenje, mora se iskoristiti. Izuzetak su razlomci koje dodajete ili oduzimate: ako sada imaju iste nazivnike, smanjenje treba ostaviti za kasnije.

Evo nekoliko zadataka koje možete sami riješiti:

I obećao na samom početku:

odgovori:

Rješenja (ukratko):

Ako ste se snašli s barem prva tri primjera, onda ste, smatrajte, savladali temu.

Sada na učenje!

KONVERZIJA IZRAZA. SAŽETAK I OSNOVNA FORMULA

Osnovne operacije pojednostavljivanja:

• Dovođenje sličnih: da biste dodali (smanjili) slične pojmove, morate dodati njihove koeficijente i dodijeliti dio slova.
• Faktorizacija: vađenje zajedničkog faktora iz zagrada, primjena, itd.
• Smanjenje frakcije: brojilac i imenilac razlomka se mogu pomnožiti ili podijeliti istim brojem koji nije nula, od kojeg se vrijednost razlomka ne mijenja.
  1) brojilac i imenilac faktorisati
  2) ako u brojiocu i nazivniku postoje zajednički činioci, mogu se precrtati.

  VAŽNO: samo se množitelji mogu smanjiti!

• Sabiranje i oduzimanje razlomaka:
  ;
• Množenje i dijeljenje razlomaka:
  ;

Iz kursa algebre školski program Hajdemo na pojedinosti. U ovom članku ćemo detaljno proučiti posebnu vrstu racionalnih izraza − racionalne razlomke, a također analizirati koja je karakteristika identična transformacije racionalnih razlomaka zauzmi mjesto.

Odmah napominjemo da se racionalni razlomci u smislu u kojem ih definiramo u nastavku nazivaju algebarskim razlomcima u nekim udžbenicima algebre. Odnosno, u ovom članku ćemo razumjeti istu stvar pod racionalnim i algebarskim razlomcima.

Kao i obično, počinjemo s definicijom i primjerima. Zatim, razgovarajmo o dovođenju racionalnog razlomka na novi nazivnik i o promjeni predznaka članova razlomka. Nakon toga ćemo analizirati kako se vrši redukcija razlomaka. Konačno, zadržimo se na predstavljanju racionalnog razlomka kao sume nekoliko razlomaka. Sve informacije će biti pružene primjerima sa detaljnim opisima rješenja.

Navigacija po stranici.

Definicija i primjeri racionalnih razlomaka

Racionalni razlomci se izučavaju na časovima algebre u 8. razredu. Koristićemo definiciju racionalnog razlomka, koja je data u udžbeniku algebre za 8. razred Yu. N. Makarycheva i drugih.

AT ovu definiciju nije precizirano da li polinomi u brojniku i nazivniku racionalnog razlomka moraju biti polinomi standardnog oblika ili ne. Stoga ćemo pretpostaviti da racionalni razlomci mogu sadržavati i standardne i nestandardne polinome.

Evo nekoliko primjeri racionalnih razlomaka. Dakle, x/8 i - racionalni razlomci. I razlomci i ne uklapaju se u zvučnu definiciju racionalnog razlomka, jer u prvom od njih brojilac nije polinom, a u drugom i brojnik i imenilac sadrže izraze koji nisu polinomi.

Pretvaranje brojnika i nazivnika racionalnog razlomka

Brojilac i nazivnik bilo kog razlomka su samodovoljni matematički izrazi, u slučaju racionalnih razlomaka su polinomi, u konkretnom slučaju monomi i brojevi. Dakle, sa brojicom i nazivnikom racionalnog razlomka, kao i sa svakim izrazom, mogu se izvršiti identične transformacije. Drugim riječima, izraz u brojniku racionalnog razlomka može se zamijeniti izrazom koji mu je identično jednak, baš kao i nazivnik.

U brojniku i nazivniku racionalnog razlomka mogu se izvršiti identične transformacije. Na primjer, u brojniku možete grupirati i smanjiti slične članove, a u nazivniku se proizvod nekoliko brojeva može zamijeniti njegovom vrijednošću. A budući da su brojnik i nazivnik racionalnog razlomka polinomi, moguće je s njima izvršiti transformacije karakteristične za polinome, na primjer, svođenje na standardni oblik ili reprezentaciju kao proizvod.

Radi jasnoće, razmotrite rješenja nekoliko primjera.

Primjer.

Pretvori racionalni razlomak tako da je brojilac polinom standardnog oblika, a nazivnik proizvod polinoma.

Rješenje.

Svođenje racionalnih razlomaka na novi nazivnik uglavnom se koristi kada se zbrajaju i oduzimaju racionalni razlomci.

Mijenjanje znakova ispred razlomka, kao i u brojniku i nazivniku

Osnovno svojstvo razlomka može se koristiti za promjenu predznaka članova razlomka. Zaista, množenje brojnika i nazivnika racionalnog razlomka sa -1 je jednako promjeni njihovih predznaka, a rezultat je razlomak koji je identično jednak datom. Takva transformacija se mora često koristiti kada se radi s racionalnim razlomcima.

Dakle, ako istovremeno promijenite predznake brojnika i nazivnika razlomka, dobit ćete razlomak jednak izvornom. Ova izjava odgovara jednakosti.

Uzmimo primjer. Racionalni razlomak se može zamijeniti identično jednakim razlomkom s obrnutim predznacima brojnika i nazivnika oblika.

Kod razlomaka se može izvršiti još jedna identična transformacija u kojoj se predznak mijenja ili u brojniku ili u nazivniku. Hajdemo preko odgovarajućeg pravila. Ako znak razlomka zamijenite sa predznakom brojnika ili nazivnika, dobit ćete razlomak koji je identično jednak originalu. Pisana izjava odgovara jednakosti i .

Ove jednakosti nije teško dokazati. Dokaz se zasniva na svojstvima množenja brojeva. Dokažimo prvi od njih: . Uz pomoć sličnih transformacija dokazuje se i jednakost.

Na primjer, razlomak se može zamijeniti izrazom ili .

Da zaključimo ovaj pododjeljak, predstavljamo još dvije korisne jednakosti i . To jest, ako promijenite predznak samo brojioca ili samo nazivnika, tada će razlomak promijeniti svoj predznak. Na primjer, i .

Razmatrane transformacije, koje omogućavaju promjenu predznaka pojmova razlomka, često se koriste pri transformaciji razlomno racionalnih izraza.

Redukcija racionalnih razlomaka

Sljedeća transformacija racionalnih razlomaka, nazvana redukcija racionalnih razlomaka, zasniva se na istom osnovnom svojstvu razlomka. Ova transformacija odgovara jednakosti , gdje su a , b i c neki polinomi, a b i c su različiti od nule.

Iz gornje jednakosti postaje jasno da redukcija racionalnog razlomka podrazumijeva oslobađanje od zajedničkog faktora u brojniku i nazivniku.

Primjer.

Smanjite racionalni razlomak.

Rješenje.

Zajednički faktor 2 je odmah vidljiv, hajde da ga smanjimo (prilikom pisanja zgodno je precrtati zajedničke faktore po kojima se redukcija vrši). Imamo . Budući da je x 2 = x x i y 7 = y 3 y 4 (pogledajte ako je potrebno), jasno je da je x zajednički faktor brojnika i nazivnika rezultirajućeg razlomka, poput y 3 . Smanjimo ovim faktorima: . Ovo završava redukciju.

Iznad smo izvršili redukciju racionalnog razlomka sekvencijalno. I bilo je moguće izvršiti redukciju u jednom koraku, odmah smanjujući razlomak za 2·x·y 3 . U ovom slučaju rješenje bi izgledalo ovako: .

odgovor:

.

Prilikom redukcije racionalnih razlomaka, glavni problem je što zajednički faktor brojnika i nazivnika nije uvijek vidljiv. Štaviše, ne postoji uvijek. Da biste pronašli zajednički faktor ili se uvjerili da on ne postoji, morate rastaviti brojnik i imenilac racionalnog razlomka. Ako nema zajedničkog faktora, tada se originalni racionalni razlomak ne treba smanjivati, u suprotnom se vrši redukcija.

U procesu smanjenja racionalnih razlomaka mogu se pojaviti različite nijanse. Glavne suptilnosti s primjerima i detaljima razmatraju se u članku redukcija algebarskih razlomaka.

Zaključujući razgovor o redukciji racionalnih razlomaka, napominjemo da je ova transformacija identična, a glavna poteškoća u njenoj implementaciji leži u faktorizaciji polinoma u brojniku i nazivniku.

Predstavljanje racionalnog razlomka kao zbir razlomaka

Sasvim specifična, ali u nekim slučajevima vrlo korisna je transformacija racionalnog razlomka, koja se sastoji u njegovom predstavljanju kao zbir nekoliko razlomaka, odnosno zbir cjelobrojnog izraza i razlomka.

Racionalni razlomak, u čijem brojiocu se nalazi polinom, koji je zbir više monoma, uvijek se može zapisati kao zbir razlomaka sa istim nazivnicima, u čijim se brojiocima nalaze odgovarajući monomi. Na primjer, . Ovaj prikaz se objašnjava pravilom sabiranja i oduzimanja algebarskih razlomaka sa istim nazivnicima.

Općenito, svaki racionalni razlomak se može predstaviti kao zbir razlomaka na mnogo različitih načina. Na primjer, razlomak a/b se može predstaviti kao zbir dva razlomka - proizvoljnog razlomka c/d i razlomka jednakog razlici između razlomaka a/b i c/d. Ova izjava je tačna, budući da je jednakost . Na primjer, racionalni razlomak se može predstaviti kao zbir razlomaka na različite načine: Originalni razlomak predstavljamo kao zbir cjelobrojnog izraza i razlomka. Nakon što brojilac podijelimo sa nazivnikom kolonom, dobijamo jednakost . Vrijednost izraza n 3 +4 za bilo koji cijeli broj n je cijeli broj. A vrijednost razlomka je cijeli broj ako i samo ako je njegov nazivnik 1, −1, 3 ili −3. Ove vrijednosti odgovaraju vrijednostima n=3, n=1, n=5 i n=−1 respektivno.

odgovor:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografija.

• algebra: udžbenik za 8 ćelija. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M. : Education, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 7. razred. U 14 sati Prvi dio. Udžbenik za učenike obrazovne institucije/ A. G. Mordkovich. - 13. izdanje, Rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 14 sati Prvi dio. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.

Racionalni izrazi i razlomci su kamen temeljac čitavog kursa algebre. Oni koji nauče raditi s takvim izrazima, pojednostaviti ih i faktorizirati, u stvari, moći će riješiti svaki problem, jer je transformacija izraza sastavni dio svake ozbiljne jednadžbe, nejednakosti, pa čak i problema s riječima.

U ovom video tutorijalu ćemo vidjeti kako pravilno primijeniti skraćene formule za množenje da pojednostavimo racionalne izraze i razlomke. Naučimo vidjeti ove formule tamo gdje, na prvi pogled, nema ničega. U isto vrijeme ponavljamo tako jednostavan trik kao što je razlaganje kvadratnog trinoma u faktore kroz diskriminant.

Kao što ste vjerojatno već pretpostavili po formulama iza mojih leđa, danas ćemo proučavati formule za skraćeno množenje, odnosno ne same formule, već njihovu primjenu za pojednostavljenje i redukciju složenih racionalnih izraza. Ali, prije nego što pređemo na rješavanje primjera, pogledajmo bliže ove formule ili ih se prisjetimo:

1. $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ je razlika kvadrata;
2. $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ je kvadrat zbira;
3. $((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ je razlika na kvadrat;
4. $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \desno)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \desno)$ je zbir kocki;
5. $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \desno)$ je razlika kocki.

Napominjem i da je naš školski obrazovni sistem koncipiran na način da je sa izučavanjem ove teme, tj. racionalni izrazi, kao i korijeni, moduli, svi studenti imaju isti problem, koji ću sada objasniti.

Činjenica je da na samom početku proučavanja formula za skraćeno množenje i, shodno tome, radnji za smanjenje razlomaka (radi se o 8. razredu), nastavnici kažu nešto ovako: „Ako vam nešto nije jasno, onda nemojte brinite, vratit ćemo se na ovu temu više puta, u srednjoj školi sigurno. Kasnije ćemo to shvatiti." Pa, onda na prelazu iz 9. u 10. razred, isti učitelji objašnjavaju istim učenicima koji još uvijek ne znaju rješavati racionalne razlomke, otprilike ovako: „Gdje ste bili prethodne dvije godine? Isto se učio algebra u 8. razredu! Šta tu može biti neshvatljivo? To je tako očigledno!"

Međutim, za obične studente takva objašnjenja nisu nimalo lakša: i dalje su imali nered u glavi, pa ćemo upravo sada analizirati dva jednostavna primjera na osnovu kojih ćemo vidjeti kako odabrati ove izraze u stvarnim problemima, što će nas dovesti do kratkih formula za množenje i kako ih kasnije primijeniti za transformaciju složenih racionalnih izraza.

Redukcija jednostavnih racionalnih razlomaka

Zadatak #1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

Prvo što treba da naučimo je da razlikujemo tačne kvadrate i više stepene u originalnim izrazima, na osnovu kojih onda možemo primeniti formule. da vidimo:

Prepišimo naš izraz uzimajući u obzir ove činjenice:

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\left(3((y)^(2)) \desno))^(2))-((\left(4x) \desno))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3((y)^(2))-4x \desno)\left(3 ((y)^(2))+4x \desno))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

Odgovor: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.

Zadatak #2

Pređimo na drugi zadatak:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

Nema tu šta da se pojednostavljuje, jer je brojilac konstanta, ali ja sam ovaj problem predložio upravo zato da naučite kako da faktorizujete polinome koji sadrže dve varijable. Da je umjesto njega dolje napisan polinom, kako bismo ga razložili?

\[((x)^(2))+5x-6=\lijevo(x-... \desno)\lijevo(x-... \desno)\]

Hajde da riješimo jednačinu i pronađemo $x$ koje možemo staviti umjesto tačaka:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

Trinom možemo prepisati na sljedeći način:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\left(x-1 \desno)\left(x+6 \desno)\]

Naučili smo kako raditi s kvadratnim trinomom - za to smo morali snimiti ovu video lekciju. Ali šta ako, pored $x$ i konstante, postoji i $y$? Pogledajmo ih kao još jedan element koeficijenata, tj. Prepišimo naš izraz na sljedeći način:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

Zapisujemo dekompoziciju naše kvadratne konstrukcije:

\[\lijevo(x-y \desno)\lijevo(x+6y \desno)\]

Ukupno, ako se vratimo na originalni izraz i prepišemo ga uzimajući u obzir promjene, dobivamo sljedeće:

\[\frac(8)(\lijevo(x-y \desno)\lijevo(x+6y \desno))\]

Šta nam takav zapis daje? Ništa, jer se ne može smanjiti, ničim se ne množi niti dijeli. Međutim, čim se pokaže da je ovaj razlomak sastavni dio složenijeg izraza, takvo proširenje će dobro doći. Stoga, čim vidite kvadratni trinom (bilo da je opterećen dodatnim parametrima ili ne), uvijek ga pokušajte rastaviti na faktore.

Nijanse rješenja

Zapamtite osnovna pravila za pretvaranje racionalnih izraza:

• Svi imenioci i brojnici moraju se rastaviti ili putem skraćenih formula za množenje ili preko diskriminanta.
• Moramo raditi po ovom algoritmu: kada pogledamo i pokušamo istaknuti skraćenu formulu množenja, onda, prije svega, pokušavamo sve prevesti do maksimalnog mogućeg stupnja. Nakon toga izvlačimo opšti stepen iz zagrada.
• Vrlo često će postojati izrazi sa parametrom: druge varijable će se pojaviti kao koeficijenti. Pronalazimo ih pomoću formule kvadratne ekspanzije.

Dakle, čim vidite racionalne razlomke, prvo što treba da uradite je da rastavite i brojilac i imenilac u faktore (u linearne izraze), dok mi koristimo formule za redukovano množenje ili diskriminant.

Pogledajmo nekoliko takvih racionalnih izraza i pokušajmo ih izdvojiti.

Rješavanje složenijih primjera

Zadatak #1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]

Prepisujemo i pokušavamo proširiti svaki pojam:

Prepišimo cijeli naš racionalni izraz imajući na umu ove činjenice:

\[\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\left(3y \right))^(2))-((\left(2x \right))^(2)))(((\left(2x \right))^(3))+ ((\lijevo(3y\desno))^(3)))=\]

\[=\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\left(3y-2x \right)\left(3y+2x \right))(\left(2x+3y \right)\left((\left(2x \right))^(2))- 2x\cdot 3y+((\lijevo(3y \desno))^(2)) \desno))=-1\]

Odgovor: $-1$.

Zadatak #2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Pogledajmo sve razlomke.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\lijevo(x-2 \desno))^(2))\]

Prepišimo cijelu strukturu uzimajući u obzir promjene:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))\cdot \frac( 2x+1)(((\left(x-2 \desno))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \desno))(\left(2x-1 \desno)\left(2x+1 \desno))=\]

\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \lijevo(x-2 \desno))\]

Odgovor: $\frac(3)(2\left(x-2 \right))$.

Nijanse rješenja

Dakle, šta smo upravo naučili:

• Nije svaki kvadratni trinom faktoriziran, posebno se to odnosi na nepotpuni kvadrat zbira ili razlike, koji se vrlo često nalaze kao dijelovi kocke zbira ili razlike.
• Konstante, tj. obični brojevi koji nemaju varijable sa sobom mogu također djelovati kao aktivni elementi u procesu dekompozicije. Prvo, one se mogu izvući iz zagrada, a drugo, same konstante se mogu predstaviti kao stepene.
• Vrlo često, nakon razlaganja svih elemenata na faktore, nastaju suprotne konstrukcije. Ove razlomke morate vrlo pažljivo smanjiti, jer kada ih prekrižite odozgo ili odozdo, pojavljuje se dodatni faktor $-1$ - upravo je to posljedica činjenice da su suprotni.

Rješavanje složenih problema

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9(a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Razmotrimo svaki pojam posebno.

Prvi razlomak:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left) (3a \desno))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \desno)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\lijevo(b-2 \desno)\lijevo(b+2 \desno)\]

Možemo prepisati cijeli brojnik drugog razlomka na sljedeći način:

\[((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2))\]

Sada pogledajmo imenilac:

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right) ))^(2))\]

Prepišimo cijeli racionalni izraz imajući na umu gore navedene činjenice:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

Odgovor: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.

Nijanse rješenja

Kao što smo još jednom vidjeli, nepotpuni kvadrati zbira ili nepotpuni kvadrati razlike, koji se često nalaze u realnim racionalnim izrazima, međutim, ne plaše ih se, jer nakon transformacije svakog elementa gotovo uvijek se poništavaju. . Osim toga, ni u kom slučaju se ne treba plašiti velikih konstrukcija u konačnom odgovoru - sasvim je moguće da to nije vaša greška (pogotovo ako se sve uzme u obzir), ali je autor takav odgovor smislio.

Zaključno, želio bih analizirati jedan složeniji primjer koji više nije direktno vezan za racionalne razlomke, ali sadrži sve ono što vas čeka na pravim testovima i ispitima, a to su: faktorizacija, svođenje na zajednički nazivnik, redukcija sličnih pojmova . Upravo to ćemo sada uraditi.

Rješavanje složenog problema pojednostavljivanja i transformacije racionalnih izraza

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \desno)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \desno\]

Prvo, razmotrimo i proširimo prvu zagradu: u njoj vidimo tri odvojena razlomka s različitim nazivnicima, tako da prvo što trebamo učiniti je dovesti sva tri razlomka u zajednički nazivnik, a za to svaki od njih treba rastaviti na faktore:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\left(x-2 \desno)\left(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \desno)\]

Prepišimo cijelu našu strukturu na sljedeći način:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x -2 \desno)\lijevo(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \desno))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \desno)+((x)^(3))+8-\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2 )) \desno))(\left(x-2 \desno)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \desno))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \desno)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ lijevo(x-2 \desno)\lijevo(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \desno))=\]

\[=\frac(((\left(x-2 \desno))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \desno))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Ovo je rezultat proračuna iz prve zagrade.

Bavimo se drugom zagradom:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\left(x-2 \desno)\left(x+2 \ desno)\]

Prepišimo drugu zagradu, uzimajući u obzir promjene:

\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\left(x+2 \desno))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\lijevo(x-2 \desno)\lijevo(x+2 \desno))\]

Sada napišimo cijelu originalnu konstrukciju:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \desno)\lijevo(x+2 \desno))=\frac(1)(x+2)\]

Odgovor: $\frac(1)(x+2)$.

Nijanse rješenja

Kao što vidite, odgovor se pokazao sasvim razumnim. Međutim, imajte na umu: vrlo često kod ovako velikih proračuna, kada je jedina varijabla samo u nazivniku, učenici zaborave da je ovo nazivnik i da treba da bude na dnu razlomka i zapišu ovaj izraz u brojiocu - ovo je velika greška.

Osim toga, želio bih da nacrtam vaše posebnu pažnju kako se rješavaju takvi zadaci. U bilo kojem složenom proračunu svi koraci se izvode korak po korak: prvo računamo prvu zagradu zasebno, zatim drugu zagradu posebno, a tek na kraju kombiniramo sve dijelove i izračunamo rezultat. Tako se osiguravamo od glupih grešaka, pažljivo zapisujemo sve kalkulacije i pritom ne gubimo dodatno vrijeme, kako se na prvi pogled čini.