Dva jednaka protivnika igraju šah. Ekvivalentne jednačine i prateće jednačine Dva ekvivalentna šahista igraju šah
Odjeljak 2. Logička ekvivalencija formula. Normalni oblici za formule propozicione algebre
Relacija ekvivalencije
Uz pomoć tablica istinitosti može se odrediti pod kojim skupovima istinitih vrijednosti ulaznih varijabli formula će uzeti tačnu ili lažnu vrijednost (kao i iskaz koji ima odgovarajuću logičku strukturu), koje će formule biti tautologije ili kontradikcije, te također utvrditi da li su dvije date formule ekvivalentno.
U logici se kaže da su dvije rečenice ekvivalentne ako su obje istinite ili obje netačne. Riječ "istovremeno" u ovoj frazi je dvosmislena. Dakle, za rečenice "Sutra će biti utorak" i "Jučer je bila nedelja" ova reč ima doslovno značenje: u ponedeljak su obe istinite, a u ostatku nedelje obe su lažne. Za jednačine" x = 2" i " 2x = 4» "istovremeno" znači "sa istim vrijednostima varijable". Predviđanja “Sutra će padati kiša” i “Nije tačno da sutra neće padati” istovremeno će se potvrditi (ispostaviti se istinitim) ili ne potvrditi (ispostaviti se lažnim). U suštini, ovo je ista prognoza, izražena u dva različite forme, koji se može predstaviti formulama X i . Ove formule istovremeno uzimaju vrijednost "true" ili vrijednost "false". Da biste provjerili, dovoljno je napraviti tabelu istinitosti:
| X | ||
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
Vidimo da su vrijednosti istine u prvoj i posljednjoj koloni iste. Takve formule, kao i rečenice koje im odgovaraju, prirodno se smatraju ekvivalentnim.
Formule F 1 i F 2 nazivaju se ekvivalentnim ako je njihov ekvivalent tautologija.
Ekvivalencija dvije formule se piše na sljedeći način: (čitaj: formula F1 je ekvivalentna formuli F2).
Postoje tri načina da se proveri da li su formule ekvivalentne: 1) napravite njihov ekvivalent i koristite tabelu istinitosti da proverite da li je tautologija; 2) za svaku formulu napraviti tabelu istinitosti i uporediti konačne rezultate; ako je u kolonama ukupnog broja za iste skupove vrijednosti varijabli istinite vrijednosti obje formule će biti jednake, tada su formule ekvivalentne; 3) uz pomoć ekvivalentnih transformacija.
Primjer 2.1: Saznajte da li su formule ekvivalentne: 1) , ; 2) , .
1) Upotrijebimo prvu metodu da odredimo ekvivalentnost, odnosno utvrdimo da li je ekvivalencija formula tautologija.
Napravimo ekvivalenciju formula: . Rezultirajuća formula sadrži dvije različite varijable ( ALI i AT) i 6 operacija: 1) ; 2) ; 3) ; četiri) ; 5) ; 6). To znači da će odgovarajuća tabela istine imati 5 redova i 8 stupaca:
| ALI | AT | ||||||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Iz završne kolone tabele istinitosti, može se vidjeti da je sastavljena ekvivalentnost tautologija i, prema tome, .
2) Da bismo saznali da li su formule i ekvivalentne, koristimo drugu metodu, odnosno sastavljamo tabelu istinitosti za svaku od formula i upoređujemo konačne stupce. ( Komentar. Da bi se drugi metod efikasno koristio, potrebno je da sve sastavljene tabele istinitosti počnu na isti način, tj. skupovi vrijednosti varijabli bili su isti u odgovarajućim redovima .)
Formula ima dvije različite varijable i 2 operacije, što znači da odgovarajuća tablica istinitosti ima 5 redaka i 4 stupca:
| ALI | AT | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
Formula ima dvije različite varijable i 3 operacije, što znači da odgovarajuća tablica istinitosti ima 5 redova i 5 stupaca:
| ALI | AT | |||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Upoređujući završne stupce kompajliranih tabela istinitosti (pošto tabele počinju na isti način, možemo zanemariti skupove vrijednosti varijabli), vidimo da se ne podudaraju i, stoga, formule nisu ekvivalentne ().
Izraz nije formula (jer se simbol " " ne odnosi ni na jednu logičku operaciju). Izražava stav između formula (kao i jednakost između brojeva, paralelizam između pravih, itd.).
Važi teorema o svojstvima relacije ekvivalencije:
Teorema 2.1. Odnos ekvivalencije između formula propozicionalne algebre:
1) refleksivno: ;
2) simetrično: ako , onda ;
3) tranzitivno: ako i , onda .
Zakoni logike
Često se nazivaju ekvivalentnosti propozicionalnih logičkih formula zakonima logike. Navodimo najvažnije od njih:
1. - zakon identiteta.
2. - zakon isključene sredine
3. - zakon kontradikcije
4. - disjunkcija sa nulom
5. - konjunkcija sa nulom
6. - disjunkcija sa jedinicom
7. - spoj sa jedinicom
8. - zakon dvostruke negacije
9. - komutativnost konjunkcije
10. – komutativnost disjunkcije
11. - asocijativnost veznika
12. - asocijativnost disjunkcije
13. – distributivnost veznika
14. – distributivna disjunkcija
15. - zakoni idempotencije
16. 
; 
- zakoni apsorpcije
17. 
; 
- De Morganovi zakoni
18. 
je zakon koji izražava implikaciju kroz disjunkciju
19. 
- zakon kontrapozicije
20. - zakoni koji izražavaju ekvivalenciju kroz druge logičke operacije
Zakoni logike se koriste za pojednostavljenje složenih formula i za dokazivanje da su formule identično istinite ili netačne.
Ekvivalentne transformacije. Pojednostavljivanje formula
Ako u ekvivalentnim formulama svugdje zamijenimo istu formulu umjesto neke varijable, tada će se i novodobivene formule ispostaviti da su ekvivalentne u skladu sa pravilom zamjene. Na ovaj način se iz svake ekvivalencije može dobiti bilo koji broj novih ekvivalencija.
Primjer 1: Ako u De Morganovom zakonu umjesto X zamjena , umjesto Y zamena , onda dobijamo novu ekvivalentnost . Valjanost dobijene ekvivalencije lako je provjeriti korištenjem tablice istinitosti.
Ako je bilo koja formula koja je dio formule F, biti zamijenjen formulom ekvivalentnom formuli , tada će rezultirajuća formula biti ekvivalentna formuli F.
Zatim, za formulu iz primjera 2, možemo napraviti sljedeće zamjene:
- zakon dvostruke negacije;
- De Morganov zakon;
- zakon dvostruke negacije;
– zakon asocijativnosti;
je zakon idempotencije.
Svojstvom tranzitivnosti relacije ekvivalencije možemo to tvrditi 
.
Zamjena jedne formule drugom, njoj ekvivalentnom, naziva se ekvivalentna transformacija formule.
Ispod pojednostavljenje formule koje ne sadrže znakove implikacije i ekvivalencije razumiju ekvivalentnu transformaciju koja vodi do formule koja ne sadrži negacije neelementarnih formula (posebno dvostruke negacije) ili sadrži ukupno manji broj znakova konjunkcije i disjunkcije od izvorne jedan.
Primjer 2.2: Hajde da pojednostavimo formulu 
.
U prvom koraku primijenili smo zakon koji transformiše implikaciju u disjunkciju. U drugom koraku primijenjen je komutativni zakon. U trećem koraku primijenjen je zakon idempotencije. Na četvrtom - De Morganov zakon. A na petom - zakon dvostruke negacije.
Napomena 1. Ako je određena formula tautologija, tada je i svaka formula koja joj je ekvivalentna također tautologija.
Dakle, ekvivalentne transformacije se također mogu koristiti za dokazivanje identične istinitosti određenih formula. Da biste to učinili, ova formula se mora svesti ekvivalentnim transformacijama na jednu od formula koje su tautologije.
Napomena 2. Neke tautologije i ekvivalencije se kombinuju u parove (zakon kontradikcije i zakon alternativnih, komutativnih, asocijativnih zakona, itd.). U tim prepiskama tzv princip dualnosti .
Zovu se dvije formule koje ne sadrže znakove implikacije i ekvivalencije dual , ako se svaki od njih može dobiti od drugog zamjenom znakova sa , respektivno.
Princip dualnosti glasi sljedeće:
Teorema 2.2: Ako su dvije formule koje ne sadrže znakove implikacije i ekvivalencije ekvivalentne, tada su i njihove dualne formule ekvivalentne.
normalne forme
normalna forma je sintaktički nedvosmislen način pisanja formule koja implementira datu funkciju.
Koristeći poznate zakone logike, bilo koja formula se može transformirati u ekvivalentnu formulu oblika 
, gdje i svaki je ili varijabla, ili negacija varijable, ili konjunkcija varijabli ili njihove negacije. Drugim riječima, bilo koja formula se može svesti na ekvivalentnu formulu jednostavnog standardnog oblika, koja će biti disjunkcija elemenata, od kojih je svaki konjunkcija zasebnih različitih logičkih varijabli, sa ili bez predznaka negacije.
Primjer 2.3: U velikim formulama ili kod višestrukih transformacija, uobičajeno je da se izostavi znak veznika (po analogiji sa znakom množenja): . Vidimo da je nakon izvršenih transformacija formula disjunkcija triju veznika.
Ovaj oblik se zove disjunktivni normalni oblik (DNF). Poziva se jedan element DNF-a elementarna konjunkcija ili sastavne jedinice.
Slično, bilo koja formula se može svesti na ekvivalentnu formulu, koja će biti konjunkcija elemenata, od kojih će svaki biti disjunkcija logičkih varijabli sa ili bez predznaka negacije. To jest, svaka formula se može svesti na ekvivalentnu formulu oblika 
, gdje i svaki je ili varijabla, ili negacija varijable, ili disjunkcija varijabli ili njihove negacije. Ovaj oblik se zove konjunktivni normalni oblik
(KNF).
Primjer 2.4:
Jedan element CNF se zove elementarna disjunkcija ili konstituent nule.
Očigledno, svaka formula ima beskonačno mnogo DNF-ova i CNF-ova.
Primjer 2.5: Nađimo nekoliko DNF-ova za formulu 
.
Savršene normalne forme
SDNF (savršeni DNF) je takav DNF u kojem svaka elementarna konjunkcija sadrži sve elementarne iskaze, ili njihove negacije jednom, elementarne konjunkcije se ne ponavljaju.
SKNF (savršeni CNF) je takav CNF u kojem svaka elementarna disjunkcija sadrži sve elementarne propozicije ili njihove negacije jednom, elementarne disjunkcije se ne ponavljaju.
Primjer 2.6: 1) - SDNF
2) 1 - SKNF
Hajde da formulišemo karakteristične karakteristike SDNF (SKNF).
1) Svi članovi disjunkcije (veznika) su različiti;
2) Svi članovi svake konjunkcije (dizjunkcije) su različiti;
3) Nijedna konjunkcija (disjunkcija) ne sadrži i promenljivu i njenu negaciju;
4) Svaka konjunkcija (disjunkcija) sadrži sve varijable uključene u originalnu formulu.
Kao što vidimo, karakteristike (ali ne i forme!) zadovoljavaju definiciju dualnosti, pa je dovoljno razumjeti jedan oblik da bismo naučili kako dobiti oba.
Lako je dobiti SDNF (SKNF) iz DNF (CNF) uz pomoć ekvivalentnih transformacija. Pošto su pravila za dobijanje savršenih normalnih oblika takođe dualna, detaljno ćemo analizirati pravilo za dobijanje SMNF-a i formulisati pravilo za dobijanje SKNF-a nezavisno koristeći definiciju dualnosti.
Opšte pravilo dovodeći formulu u SDNF koristeći ekvivalentne transformacije:
Da bi se dala formula F, što nije identično lažno, za SDNF, dovoljno je:
1) dovesti ga u neki DNF;
2) ukloniti članove disjunkcije koja sadrži promenljivu zajedno sa njenom negacijom (ako postoji);
3) iz istih članova disjunkcije (ako ih ima) ukloniti sve osim jednog;
4) ukloniti sve identične članove svakog veznika osim jednog (ako ih ima);
5) ako bilo koji veznik ne sadrži promenljivu iz redova varijabli uključenih u prvobitnu formulu, dodati pojam ovoj konjunkciji i primeniti odgovarajući distributivni zakon;
6) ako dobijena disjunkcija sadrži iste termine, koristite recept 3.
Rezultirajuća formula je SDNF ove formule.
Primjer 2.7: Nađimo SDNF i SKNF za formulu 
.
Pošto je DNF za ovu formulu već pronađen (vidi primjer 2.5), počećemo s dobivanjem SDNF-a:
2) u rezultujućoj disjunkciji nema varijabli zajedno sa njihovim negacijama;
3) u disjunkciju nema identičnih članova;
4) ne postoje identične varijable ni u jednoj konjunkciji;
5) prva elementarna konjunkcija sadrži sve varijable uključene u originalnu formulu, a druga elementarna konjunkcija nema varijablu z, pa dodajmo mu termin i primijenimo distributivni zakon: ;
6) lako je uočiti da su se u disjunkciji pojavili isti pojmovi, pa uklanjamo jedan (recept 3);
3) ukloniti jednu od identičnih disjunkcija: 
;
4) u preostalim disjunkcijama nema identičnih pojmova;
5) nijedna od elementarnih disjunkcija ne sadrži sve varijable uključene u originalnu formulu, pa svaku od njih dopunjavamo konjunkcijom : ;
6) u nastaloj konjukciji nema identičnih disjunkcija, tako da je pronađeni konjunktivni oblik savršen.
Budući da su u agregatu SKNF i SDNF formule F 8 članova, onda su najvjerovatnije pronađeni ispravno.
Svaka zadovoljiva (pobitna) formula ima jedan SDNF i jedan SKNF. Tautologija nema SKNF, a kontradikcija nema SDNF.
Otvorena lekcija iz matematike "Bernoullijeva šema. Rešavanje zadataka pomoću Bernulijeve i Laplasove šeme"
Didaktika: sticanje vještina i sposobnosti za rad s Bernoullijevom šemom za izračunavanje vjerovatnoća.
Razvijanje: razvijanje vještina primjene znanja u praksi, formiranje i razvoj funkcionalnog mišljenja učenika, razvijanje vještina poređenja, analize i sinteze, vještina rada u paru, proširenje stručnog rječnika.
Kako igrati ovu igru:
Vaspitni: razvijanje interesovanja za predmet kroz praktičnu primenu teorije, postizanje svesnog usvajanja nastavnog materijala učenika, formiranje sposobnosti za timski rad, pravilna upotreba računarskih termina, interesovanja za nauku, poštovanje buduća profesija.
Naučno znanje: B
Vrsta lekcije: kombinovani čas:
- konsolidacija gradiva obrađenog u prethodnim razredima;
- tematska, informaciono-problemska tehnologija;
- generalizacija i konsolidacija materijala koji se proučava u ovoj lekciji.
Način izvođenja nastave: eksplanatorno - ilustrativna, problematična.
Kontrola znanja: frontalni pregled, rješavanje problema, prezentacija.
Materijalno-tehnička opremljenost časa. kompjuter, multimedijalni projektor.
Metodička podrška: referentni materijali, prezentacija na temu lekcije, ukrštenica.
Tokom nastave
1. Organizacioni momenat: 5 min.
(pozdrav, spremnost grupe za čas).
2. Provjera znanja:
Provjera pitanja frontalno na slajdovima: 10 min.
- definicije odjeljka “Teorija vjerovatnoće”
- glavni koncept sekcije “Teorija vjerovatnoće”
- koje događaje proučava “Teorija vjerovatnoće”
- karakteristika slučajnog događaja
- klasična definicija vjerovatnoća
Rezimirajući. 5 minuta.
3. Rješavanje zadataka u redovima: 5 min.
Zadatak 1. Baca se kocka. Kolika je vjerovatnoća da dobijete paran broj manji od 5?
Zadatak 2. U kutiji se nalazi devet identičnih radio cijevi, od kojih su tri bile u upotrebi. U toku radnog dana majstor je morao da uzme dve radio cevi da popravi opremu. Kolika je vjerovatnoća da su korištene obje lampe?
Zadatak 3. U tri kino dvorane nalaze se tri različita filma. Vjerovatnoća da na blagajni 1. sale ima ulaznica za određeni sat je 0,3, na blagajni 2. sale - 0,2, a na blagajni 3. sale - 0,4. Kolika je vjerovatnoća da je u datom satu moguće kupiti kartu za barem jedan film?
4. Provjeravanje na tabli kako riješiti probleme. Aplikacija 1. 5 min.
5. Zaključak o rješavanju problema:
Vjerovatnoća nastanka događaja je ista za svaki zadatak: m i n - konst
6. Postavljanje ciljeva kroz zadatak: 5 min.
Zadatak. Dva jednaka šahista igraju šah. Kolika je vjerovatnoća pobjede u dvije od četiri utakmice?
Kolika je vjerovatnoća pobjede u tri od šest gema (remi se ne uzimaju u obzir)?
Pitanje. Razmislite i navedite razliku između pitanja ovog problema i pitanja prethodnih problema?
Rezonovanjem, poređenjem, postići odgovor: u pitanjima m i n se razlikuju.
7. Tema lekcije:
Izračunavanje vjerovatnoće pojave događaja k puta iz n eksperimenata sa p-konst.
Ako se izvode ispitivanja u kojima vjerovatnoća pojave događaja A u svakom ispitivanju ne zavisi od ishoda drugih ispitivanja, onda se takva ispitivanja nazivaju nezavisnim u odnosu na događaj A. Ogledi, u svakom od kojih je vjerovatnoća pojave događaj je isti.
Bernulijeva formula. Vjerovatnoća da je u n nezavisnih pokušaja, u svakom od kojih je vjerovatnoća pojave događaja jednaka p (0 ili Dodatak 2 Bernulijeva formula, gdje je k,n-mali brojevi gdje je q = 1-p Rešenje: Igraju jednaki šahisti, pa je verovatnoća pobede p=1/2; stoga je vjerovatnoća gubitka q također 1/2. Budući da je vjerovatnoća pobjede konstantna u svim partijama i nije bitno kojim se redoslijedom igre dobivaju, primjenjiva je Bernoullijeva formula. 5 minuta Pronađite vjerovatnoću da će dvije od četiri igre biti dobijene: Pronađite vjerovatnoću da će tri od šest igara biti dobijene: Pošto je P4 (2) > P6 (3), veća je vjerovatnoća da će se dobiti dvije utakmice od četiri nego tri od šest. Nađite vjerovatnoću da se događaj A dogodi tačno 70 puta u 243 pokušaja ako je vjerovatnoća da se ovaj događaj dogodi u svakom pokušaju 0,25. k=70, n=243 Ovo implicira da su k i n veliki brojevi. To znači da je teško izračunati prema Bernoullijevoj formuli. Za takve slučajeve primjenjuje se lokalna Laplaceova formula: Dodatak 3 za pozitivne vrijednosti x dat je u Dodatku 4; za negativne vrijednosti x koristite istu tablicu i = . Dopuštajući da se od jednačine koja se rješava u tzv ekvivalentne jednačine i korolarne jednačine, čijim je rješenjima moguće odrediti rješenje izvorne jednačine. U ovom članku ćemo detaljno analizirati koje se jednačine nazivaju ekvivalentne, a koje korolarne jednačine, dati odgovarajuće definicije, dati primjere s objašnjenjima i objasniti kako pronaći korijene jednadžbe iz poznatih korijena ekvivalentne jednačine i posljedična jednačina. Hajde da damo definiciju ekvivalentnih jednačina. Definicija Ekvivalentne jednačine su jednadžbe koje imaju iste korijene ili nemaju korijene. Definicije slične po značenju, ali malo različite po formulaciji, date su u raznim udžbenicima matematike, npr. Definicija Dvije jednadžbe f(x)=g(x) i r(x)=s(x) nazivaju se ekvivalentno, ako imaju iste korijene (ili, posebno, ako obje jednačine nemaju korijen). Definicija Jednačine koje imaju iste korijene nazivaju se ekvivalentne jednačine. Jednačine koje nemaju korijen se također smatraju ekvivalentnim. Pod istim korijenima podrazumijeva se sljedeće: ako je neki broj korijen jedne od ekvivalentnih jednačina, onda je i korijen bilo koje druge od ovih jednačina, a nijedna od ekvivalentnih jednačina ne može imati korijen koji nije korijen bilo koje druge od ovih jednadžbi. Navedimo primjere ekvivalentnih jednačina. Na primjer, tri jednačine 4 x=8, 2 x=4 i x=2 su ekvivalentne. Zaista, svaki od njih ima jedinstveni korijen 2, tako da su po definiciji ekvivalentni. Drugi primjer: dvije jednačine x 0=0 i 2+x=x+2 su ekvivalentne, skupovi njihovih rješenja su isti: korijen prve i druge od njih je bilo koji broj. Dve jednačine x=x+5 i x 4 =−1 su takođe primer ekvivalentnih jednačina, obe nemaju realna rešenja. Da bismo upotpunili sliku, vrijedi dati primjere neekvivalentnih jednačina. Na primjer, jednačine x=2 i x 2 =4 nisu ekvivalentne, jer druga jednačina ima korijen −2, koji nije korijen prve jednačine. Jednačine i također nisu ekvivalentne, budući da su korijeni druge jednačine bilo koji brojevi, a broj nula nije korijen prve jednačine. Zvučna definicija ekvivalentnih jednačina odnosi se i na jednačine sa jednom promenljivom i na jednačine sa velikim brojem varijabli. Međutim, za jednačine sa dva, tri itd. varijabli, riječ "korijeni" u definiciji treba zamijeniti riječju "rješenja". dakle, Definicija Ekvivalentne jednačine su jednadžbe koje imaju ista rješenja, ili ih nemaju. Pokažimo primjer ekvivalentnih jednačina sa nekoliko varijabli. x 2 +y 2 +z 2 =0 i 5 x 2 +x 2 y 4 z 8 =0 - evo primjera ekvivalentnih jednačina sa tri varijable x, y i z, obje imaju jedinstveno rješenje (0, 0 , 0) . Ali jednadžbe sa dvije varijable x + y=5 i x y=1 nisu ekvivalentne, jer je, na primjer, par vrijednosti x=2, y=3 rješenje prve jednadžbe (kada se ove vrijednosti zamjenjuju u prvu jednačinu dobijamo tačnu jednakost 2+3=5), ali nije rješenje za drugu (prilikom zamjene ovih vrijednosti u drugu jednačinu dobijamo pogrešnu jednakost 2 3=1). Evo definicija korolarnih jednačina iz školskih udžbenika: Definicija Ako je svaki korijen jednačine f(x)=g(x) istovremeno i korijen jednačine p(x)=h(x), tada se jednačina p(x)=h(x) naziva posljedica jednačine f(x)=g(x) . Definicija Ako su svi korijeni prve jednadžbe korijeni druge jednadžbe, onda se druga jednačina naziva posljedica prva jednačina. Navedimo nekoliko primjera korolarnih jednadžbi. Jednačina x 2 =3 2 je posljedica jednačine x−3=0 . Zaista, druga jednadžba ima jedan korijen x=3, ovaj korijen je također korijen jednačine x 2 =3 2 , dakle, po definiciji, jednačina x 2 =3 2 je posljedica jednačine x−3= 0 . Drugi primjer: jednadžba (x−2) (x−3) (x−4)=0 je posljedica jednačine Iz definicije jednadžbe posljedice slijedi da je apsolutno svaka jednačina posljedica bilo koje jednačine koja nema korijen. Vrijedi spomenuti nekoliko prilično očiglednih posljedica iz definicije ekvivalentnih jednačina i definicije posljedične jednačine:8. Zadatak.
9. Sastaviti algoritam za rješavanje zadatka: 5 min.
10. Rješavanje zadatka sa analizom na tabli. Aneks 5. 10 min.
11. Sažimanje informacija o lekciji kroz prezentacije
Ekvivalentne jednadžbe, definicije, primjeri
Korolarne jednadžbe
, budući da su svi korijeni druge jednadžbe (ima ih dva, to su 2 i 3 ), očito, korijeni prve jednačine.
