Svrha lekcije: ponoviti znanja učenika o logaritmu broja, njegovim svojstvima; naučiti kako rješavati logaritamske jednadžbe i konsolidirati ih prilikom izvođenja vježbi.

Zadaci:

Obrazovni: ponoviti definiciju i osnovna svojstva logaritama, znati ih primijeniti u računanju logaritama, u rješavanju logaritamskih jednačina;

Razvijanje: formiranje sposobnosti rješavanja logaritamskih jednačina;

Vaspitni: njegovati istrajnost, samostalnost; pobuditi interesovanje za predmet

Vrsta lekcije: lekcija učenje novog gradiva.

Potrebna tehnička oprema:kompjuter, projektor, platno.

Struktura i tok časa:

1. Organiziranje vremena.

Nastavnik.

Zdravo, sedite! Danas je tema naše lekcije "Rješenje logaritamskih jednadžbi", u kojoj ćemo se upoznati sa načinima njihovog rješavanja koristeći definiciju i svojstva logaritama.(slajd broj 1)

1. usmeni rad.

Konsolidacija koncepta logaritma, ponavljanje njegovih osnovnih svojstava i svojstava logaritamske funkcije:

1. Teorijsko zagrijavanje:

1. Definirajte logaritam.(slajd broj 2)

2. Da li je moguće pronaći logaritam bilo kojeg broja?

3. Koji broj može biti u osnovi logaritma?

4. Funkcija y=log 0.8 x se povećava ili smanjuje?Zašto?

5. Koje vrijednosti može imati logaritamska funkcija?

6. Koji logaritmi se nazivaju decimalnim, prirodnim?

7. Koja su glavna svojstva logaritama.(slajd broj 3)

8. Da li je moguće preći sa jedne baze logaritma na drugu? Kako uraditi?(slajd broj 4)

2. Rad na kartici (3-4 učenika):

Kartica broj 1: Izračunajte: a) dnevnik 6 4 + log 6 9 =

B) log 1/3 36 - log 1/3 12 =

Riješi jednačinu: log 5 x \u003d 4 log 5 3 - 1/3 log 5 27

kartica #2:

Izračunajte: a) log211 - log244 =

B) log1/64 + log1/69 =

Riješi jednačinu: log 7 x \u003d 2 log 7 5 + 1/2 log 7 36 - 1/3 log 7 125.

Frontalno ispitivanje razreda (oralne vježbe)

Izračunaj: (slajd broj 5)

Uporedite brojeve: (slajd broj 6)

1. log ½ e i log ½ π;
2. log 2 √5/2 i log 2 √3/2.

Pronađite znak izraza log 0,8 3 log 6 2/3. (slajd broj 7)

1. Provjera domaće zadaće:

Kući su dodijeljene sljedeće vježbe: br. 327 (nesatne), 331 (nečasovne), 333 (2) i 390 (6). Provjerite odgovore na ove zadatke i odgovorite na pitanja učenika.

1. Učenje novog materijala:

definicija: Jednačina koja sadrži varijablu pod znakom logaritma naziva se logaritamska jednačina.

Najjednostavniji primjer logaritamske jednadžbe je jednadžba
log a x \u003d c (a\u003e 0, a ≠ 1)
Načini rješavanja logaritamskih jednačina:(slajd broj 8)

1. Rješenje jednadžbi na osnovu definicije logaritma.(slajd broj 9)

log a x = c (a > 0, a≠ 1) ima rješenje x = a Sa .

Na osnovu definicije logaritma rješavaju se jednadžbe u kojima:

• s obzirom na baze i broj, određuje se logaritam,
• S obzirom na logaritam i bazu, određuje se broj
• baza je određena datim brojem i logaritmom.

primjeri:

log 2 128= x, log 16 x = ¾, log x 27= 3,

2 x \u003d 128, x \u003d 16 ¾, x 3 = 27,

2 x = 2 7, x \u003d 2 3, x 3 = 3 3,

x \u003d 7. x = 8. x = 3.

a) dnevnik 7 (3x-1)=2 (odgovor: x=3 1/3)

b) dnevnik 2 (7-8x)=2 (odgovor: x=3/8).

1. metoda potenciranja.(slajd broj 10)

Pod potenciranjem se podrazumijeva prijelaz iz jednakosti koja sadrži logaritme u jednakost koja ih ne sadrži, tj.

Log a f(x) = log a g(x), tada je f(x) = g(x), pod uslovom da je f(x)>0, g(x)>0, a>0, a≠ 1.

primjer:

Riješite jednačinu =

ODZ:

3x-1>0; x>1/3

6x+8>0.

3x-1=6x+8

3x=9

x=-3

3 >1/3 - netačno

Odgovor: Ne postoje rješenja.

lg(x 2 -2) \u003d lg x (odgovor: x \u003d 2)

1. Jednačine se rješavaju primjenom osnovnog logaritamskog identiteta.(slajd broj 11)

primjer:

Riješite jednačinu=log 2 (6-x)

ODZ:

6-x>0;

x>0;

x≠1;

log 2 x 2 >0;

x 2 >0.

Sistemsko rješenje: (0;1)Ụ (1;6).

Dnevnik 2 (6-x)

x 2 = 6 x

x 2 + x-6 = 0

x=-3 ne pripada ODZ-u.

x=2 pripada ODZ-u.

Odgovor: x=2

Sa klasom riješite sljedeću jednačinu:

= (odgovor: x=1)

1. Metoda za svođenje logaritama na istu bazu.(slajd broj 12)

primjer:

Riješite log jednačinu 16 x+ log 4 x+ log 2 x=7

ODZ: x>0

¼ log 2 x+½ log 2 x+ log 2 x=7

7/4 log 2 x=7

log 2 x=4

h=16 – pripada ODZ-u.

Odgovor: x=16.

Riješite sljedeću jednačinu sa klasom:

3 (odgovor: x=5/3)

1. Jednačine se rješavaju primjenom svojstava logaritma.(slajd broj 13)

primjer:

Riješite log jednačinu 2 (x +1) - log 2 (x -2) = 2.

ODZ:

x+1>0;

x-2>0. x>1.

Koristimo formulu za transformaciju razlike logaritama logaritma količnika, dobijamo log 2 = 2, odakle slijedi= 4.

Rješavajući posljednju jednadžbu, nalazimo x = 3, 3\u003e 1 - desno

Odgovor: x = 3.

Riješite sljedeće jednačine sa klasom:

a) log 5 (x + 1) + log 5 (x +5) = 1 (odgovor: x=0).

b) log 9 (37-12x) log 7-2x 3 = 1,

37-12x >0, x

7-2x >0, x

7-2x≠ 1; x≠ 3; x≠ 3;

Log 9 (37-12x) / log 3 (7-2x) = 1,

½ log 3 (37-12x) = log 3 (7-2x),

Log 3 (37-12x) = log 3 (7-2x) 2,

37-12x \u003d 49 -28x + 4x 2,

4x 2 -16x +12 \u003d 0,

X 2 -4x +3 = 0, D = 19, x 1 = 1, x 2 =3, 3 je vanjski korijen.

Odgovor: x=1 je korijen jednadžbe.

C) lg (x 2 -6x + 9) - 2lg (x - 7) = lg9.

(x 2 -6x + 9) > 0, x ≠ 3,

X-7 >0; x>7; x>7.

Lg ((x-3)/(x-7)) 2 = lg9

((x-3)/(x-7)) 2 = 9,

(x-3) / (x-7) \u003d 3, (x-3) / (x-7) \u003d - 3,

x-3 = 3x -21, x -3 = - 3x +21,

x=9. x=6 - vanjski korijen.

Provjera pokazuje 9 korijen jednadžbe.

Odgovor: 9

1. Jednačine se rješavaju uvođenjem nove varijable.(slajd broj 14)

primjer:

Riješite lg jednačinu 2 x - 6lgx + 5 \u003d 0.

ODZ: x>0.

Neka je lgx = p, zatim p 2 -6p+5=0.

p 1 =1, p 2 =5.

Povratak na zamjenu:

lgh = 1, lgh =5

x=10, 10>0 – tačno x=100000, 100000>0 – tačno

Odgovor: 10, 100000

Riješite sljedeću jednačinu sa klasom:

Dnevnik 6 2 x + log 6 x +14 \u003d (√16 - x 2) 2 + x 2,

16 - x 2 ≥0; - 4≤ x ≤ 4;

X>0, x>0, O.D.Z. [ 0,4).

Dnevnik 6 2 x + log 6 x +14 \u003d 16 - x 2 + x 2,

Log 6 2 x + log 6 x -2 = 0

Zamijeniti log 6 x = t

T 2 + t -2 \u003d 0; D=9; t 1 = 1, t 2 = -2.

Dnevnik 6 x = 1, x = 6 je vanjski korijen.

Dnevnik 6 x=-2, x=1/36, provjera pokazuje da je 1/36 korijen.

Odgovor: 1/36.

1. Jednačine riješene faktoringom.(slajd broj 15)

primjer:

Riješite log jednačinu 4 (2x-1) ∙ log 4 x \u003d 2 log 4 (2x-1)

ODZ:

2x-1>0;

X>0. x>½.

log 4 (2x-1)∙ log 4 x - 2 log 4 (2x-1)=0

log 4 (2x-1)∙(log 4 x-2)=0

log 4 (2x-1)=0 ili log 4 x-2=0

2x-1=1 log 4 x = 2

x=1 x=16

1;16 - pripadaju ODZ

Odgovor: 1;16

Riješite sljedeću jednačinu sa klasom:

log 3 x ∙log 3 (3x-2)= log 3 (3x-2) (odgovor: x=1)

1. Metoda uzimanja logaritma oba dijela jednačine.(slajd broj 16)

primjer:

Riješi jednačine

Uzmite logaritam obje strane jednačine u bazi 3.

Dobijamo log 3 = log 3 (3x)

dobijamo: log 3 x 2 log 3 x \u003d log 3 (3x),

2log 3 x log 3 x = log 3 3+ log 3 x,

2 log 3 2 x \u003d log 3 x +1,

2 log 3 2 x - log 3 x -1=0,

zamijeni log 3 x = p, x > 0

2 p 2 + p -2 \u003d 0; D=9; p 1 = 1, p 2 = -1/2

Dnevnik 3 x = 1, x=3,

log 3 x \u003d -1 / 2, x \u003d 1 / √3.

Odgovor: 3; 1/√3

Riješite sljedeću jednačinu sa klasom:

Dnevnik 2 x - 1

x = 64 (odgovor: x = 8; x = 1/4)

1. funkcionalno - grafička metoda. (slajd broj 17)

primjer:

Riješi jednačine: log 3 x = 12 x.

Budući da je funkcija y = log 3 x raste, a funkcija y = 12-x opada na (0; + ∞), tada zadata jednačina na ovom intervalu ima jedan korijen.

Napravimo grafove dvije funkcije u jednom koordinatnom sistemu: y = log 3 x i y = 12 x.

Kod x=10 data jednadžba se pretvara u tačnu numeričku jednakost 1=1. Odgovor je x=10.

Riješite sljedeću jednačinu sa klasom:

1-√x = ln x (odgovor: x = 1).

1. Sumiranje, razmišljanje (podijelite krugove na kojima momci slikom označavaju svoje raspoloženje).(slajd broj 18,19)

Odredite metodu za rješavanje jednačine:

1. Domaći: 340(1), 393(1), 395(1.3), 1357(1.2), 337(1), 338(1), 339(1)

Književnost

1. Ryazanovsky, A.R. Matematika. Od 5. do 11. razreda: Dodatni materijali za lekciju matematike / A.R. Ryazanovsky, E.A. Zaitsev. - 2. izd., stereotip. - M.: Drfa, 2002
2. Matematika. Prilog listu "Prvi septembar". 1997. br. 1, 10, 46, 48; 1998. br. 8, 16, 17, 20, 21, 47.
3. Skorkina, N.M. Nestandardni oblici vannastavnog rada. Za srednju i srednju školu / N.M. Skorkin. - Volgograd: Učitelj, 2004
4. Ziv, B.G., Goldich, V.A. Didaktički materijali o algebri i počecima analize za 10. razred./B.G.Ziv, V.A.Goldich. - 3. izdanje, ispravljeno. - Sankt Peterburg: "CheRo-on-Neva", 2004
5. Algebra i počeci analize: matematika za tehničke škole / ur. G.N. Yakovleva.-M.: Nauka, 1987

Pregled:

Za korištenje pregleda prezentacija, kreirajte Google račun (nalog) i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Metode rješavanja logaritamskih jednadžbi Nastavnik matematike: Plotnikova T.V. MBOU "Srednja škola br. 1 u Suzdalu"

Određivanje Logaritam pozitivnog broja b prema bazi a, gdje je a>0, a≠1, takav je eksponent c, na koji treba podići at da dobijete b.

Svojstva logaritama log a 1 = 0 log a a = 1 log a (x y)= log a x + log a y 3

Osnovne formule za prijenos 4

Izračunaj: 5

Uporedite 6

7 Odredite predznak broja:

Osnovne metode rješavanja logaritamskih jednačina

1. Koristeći definiciju logaritma l og 2 128= x log x 27= 3 Riješite sljedeće jednačine: a) log 7 (3x-1)=2 b) log 2 (7-8x)=2 9

2. Metoda potenciranja Riješimo sljedeću jednačinu: lg (x 2 -2) = lg x 10 2

11 3. Jednačine riješene primjenom osnovnog logaritamskog identiteta Riješimo sljedeću jednačinu: 1

12 4 . Metoda svođenja logaritama na istu osnovnu log 16 x + log 4 x + log 2 x = 7 Riješite sljedeću jednačinu:

13 5. Jednadžbe riješene primjenom svojstava logaritma log 2 (x +1) - log 2 (x -2) \u003d 2 Rješavamo sljedeće jednadžbe: a) l og 5 (x +1) + log 5 ( x +5) = 1 b) log 9 (37-12x) log 7-2x 3 = 1 c) lg (x 2 -6x + 9) - 2lg (x - 7) \u003d lg9 0 1 9

6. Jednačine riješene uvođenjem nove varijable l g 2 x - 6lgx +5 = 0 Rješavamo sljedeće jednačine: log 6 2 x + log 6 x +14 = (√16 - x 2) 2 + x 2 14

15 7. Jednačine riješene faktoringom log 4 (2x-1)∙ log 4 x =2 log 4 (2x-1) Riješite sljedeće jednačine: log 3 x ∙ log 3 (3x-2)= log 3 ( 3x-2) ) 1

8. Logaritamska metoda Riješimo sljedeću jednačinu: 16

9. Funkcionalno - grafička metoda log 3 x = 12-x Riješimo sljedeću jednačinu: 17 1

Odrediti metodu za rješavanje jednadžbe: Jednadžba: Metoda rješavanja za određivanje logaritamskog prijelaza na drugu osnovnu faktorizaciju potenciranje uvođenje nove varijable prijelaz na drugu bazu korištenje svojstava logaritamskog grafika 18

Da! I ko je smislio ove logaritamske jednadžbe! Ja mogu sve!!! Trebate još par primjera? Refleksija 19

Uvod

Povećanje mentalnog opterećenja na časovima matematike tjera nas da razmišljamo o tome kako održati interes učenika za gradivo koje se proučava, njihovu aktivnost tokom čitave lekcije. S tim u vezi, traga se za novim efikasnim nastavnim metodama i takvim metodičkim tehnikama koje bi aktivirale misao učenika, stimulisale ih na samostalno sticanje znanja.

Pojava interesovanja za matematiku kod značajnog broja učenika u većoj meri zavisi od metodologije njene nastave, od toga koliko će se vešto graditi obrazovni rad. Pravovremeno skretanje pažnje učenika na ono što se izučava matematika opšta svojstva predmetima i pojavama okolnog svijeta, ne bavi se predmetima, već apstraktnim pojmovima, moguće je postići razumijevanje da matematika ne prekida vezu sa stvarnošću, već, naprotiv, omogućava njeno dublje proučavanje, izvući generalizovane teorijske zaključke koji se široko koriste u praksi.

Učešće na festivalu pedagoških ideja "Otvoreni čas" 2004-2005. školske godine, održao sam lekciju-predavanje na temu "Logaritamska funkcija" (diploma br. 204044). Mislim da je ova metoda najuspješnija u ovom konkretnom slučaju. Kao rezultat studija, studenti imaju detaljan sažetak i kratak prikaz teme, što će im olakšati pripremu za naredne lekcije. Konkretno, na temu "Rješenje logaritamskih jednadžbi", koja se u potpunosti zasniva na proučavanju logaritamske funkcije i njenih svojstava.

Prilikom formiranja osnovnih matematičkih pojmova važno je kod učenika stvoriti ideju o svrsishodnosti uvođenja svakog od njih i mogućnosti njihove primjene. Za to je neophodno da se prilikom formulisanja definicije pojma, radeći na njegovoj logičkoj strukturi, razmotre pitanja o istoriji nastanka ovog pojma. Ovaj pristup će pomoći studentima da shvate da novi koncept služi kao generalizacija činjenica stvarnosti.

Istorijat nastanka logaritama je detaljno prikazan u radu od prošle godine.

Uzimajući u obzir važnost kontinuiteta u nastavi matematike u srednjoj stručnoj obrazovnoj ustanovi i na fakultetu i potrebu da se poštuju jedinstveni zahtjevi za učenike, smatram primjerenim korištenjem sljedeće metode za upoznavanje učenika sa rješenjem logaritamskih jednačina.

Jednačine koje sadrže varijablu pod znakom logaritma (posebno u osnovi logaritma) nazivaju se logaritamski. Razmotrimo logaritamske jednadžbe oblika:

Rješenje ovih jednačina zasniva se na sljedećoj teoremi.

Teorema 1. Jednačina je ekvivalentna sistemu

(2)

Za rješavanje jednačine (1) dovoljno je riješiti jednačinu

a njegova rješenja se zamjenjuju u sistem nejednačina

definiranje domene definicije jednačine (1).

Koreni jednačine (1) biće samo ona rešenja jednačine (3) koja zadovoljavaju sistem (4), tj. pripadaju domenu definicije jednačine (1).

Prilikom rješavanja logaritamskih jednadžbi može doći do proširenja domene definicije (sticanje stranih korijena) ili sužavanja (gubitak korijena). Dakle, zamjena korijena jednačine (3) u sistem (4), tj. potrebna je provjera rješenja.

Primjer 1: riješi jednačinu

Rješenje:

Oba značenja X zadovoljavaju uslove sistema.

odgovor:

Razmotrite jednadžbe oblika:

Njihovo rješenje se zasniva na sljedećoj teoremi

Teorema 2: Jednačina (5) je ekvivalentna sistemu

(6)

Korijeni jednadžbe (5) bit će samo oni korijeni jednačine koji

pripadaju domenu definicije datom uslovima .

Logaritamska jednadžba oblika (5) može se riješiti na različite načine. Razmotrimo glavne.

1. POTENTIFIKACIJA (primjenjujući svojstva logaritma).

Primjer 2: riješi jednačinu

Rješenje: Na osnovu teoreme 2, ova jednačina je ekvivalentna sistemu:

Rešimo jednačinu:

Samo jedan korijen zadovoljava sve uslove sistema. odgovor:

2. KORIŠĆENJE DEFINICIJE LOGARITMA .

Primjer 3: Nađi X, ako

Rješenje:

Značenje X= 3 pripada domenu jednačine. Odgovori X = 3

3. REDUKCIJA NA KVADRATNU JEDNAČINU.

Primjer 4: riješi jednačinu

Oba značenja X su korijeni jednadžbe.

odgovor:

4. LOGARIT.

Primjer 5: riješi jednačinu

Rješenje: Uzimamo logaritam obje strane jednačine u bazi 10 i primjenjujemo svojstvo "logaritma stepena".

Oba korijena pripadaju rasponu dopuštenih vrijednosti logaritamske funkcije.

odgovor: X = 0,1; X = 100

5. REDUKCIJA NA JEDNU OSNOVU.

Primjer 6: riješi jednačinu

Koristimo formulu i prijeđi u svim terminima na logaritam u bazi 2:

Tada će ova jednačina poprimiti oblik:

Budući da je , onda je ovo korijen jednadžbe.

odgovor: X = 16

6. UVOĐENJE POMOĆNE VARIJABLE.

Svi smo upoznati sa jednačinama. osnovna škola. Čak smo i tamo naučili rješavati najjednostavnije primjere, a mora se priznati da svoju primjenu nalaze i u višoj matematici. Sve je jednostavno sa jednadžbama, uključujući i kvadratne. Ako imate problema s ovom temom, toplo preporučujemo da je pokušate ponovo.

I logaritmi koje ste vjerovatno već položili. Ipak, smatramo važnim reći šta je to za one koji još ne znaju. Logaritam je jednak stepenu na koji se baza mora podići da bi se dobio broj desno od predznaka logaritma. Dajemo primjer na osnovu kojeg će vam sve postati jasno.

Ako povisite 3 na četvrti stepen, dobićete 81. Sada zamijenite brojeve po analogiji i konačno ćete shvatiti kako se logaritmi rješavaju. Sada ostaje samo kombinirati dva razmatrana koncepta. U početku se situacija čini izuzetno teškom, ali nakon detaljnijeg razmatranja, težina dolazi na svoje mjesto. Sigurni smo da nakon ovog kratkog članka nećete imati problema u ovom dijelu ispita.

Danas postoji mnogo načina za rješavanje takvih struktura. Govorit ćemo o najjednostavnijim, najefikasnijim i najprimjenjivijim u slučaju USE zadataka. Rješavanje logaritamskih jednadžbi trebalo bi početi s najjednostavnijim primjerom. Najjednostavnije logaritamske jednadžbe se sastoje od funkcije i jedne varijable u njoj.

Važno je napomenuti da je x unutar argumenta. A i b moraju biti brojevi. U ovom slučaju, možete jednostavno izraziti funkciju u smislu broja u stepenu. To izgleda ovako.

Naravno, rješavanje logaritamske jednadžbe na ovaj način će vas dovesti do tačnog odgovora. Ali problem velike većine studenata u ovom slučaju je što ne razumiju šta i odakle dolazi. Kao rezultat toga, morate podnijeti greške i ne dobiti željene bodove. Najuvredljivija greška bit će ako pomiješate slova na mjestima. Da biste na ovaj način riješili jednačinu, morate zapamtiti ovu standardnu ​​školsku formulu, jer ju je teško razumjeti.

Da biste to olakšali, možete pribjeći drugoj metodi - kanonskom obliku. Ideja je krajnje jednostavna. Ponovo obratite pažnju na zadatak. Zapamtite da je slovo a broj, a ne funkcija ili varijabla. A nije jednako jedan i veće je od nule. Nema ograničenja za b. Sada od svih formula, prisjećamo se jedne. B se može izraziti na sljedeći način.

Iz ovoga slijedi da se sve originalne jednadžbe sa logaritmima mogu predstaviti kao:

Sada možemo odbaciti logaritme. Rezultat je jednostavna konstrukcija, koju smo već ranije vidjeli.

Pogodnost ove formule leži u činjenici da se može koristiti u raznim slučajevima, a ne samo za najjednostavnije dizajne.

Ne brinite za OOF!

Mnogi iskusni matematičari će primijetiti da nismo obratili pažnju na domen definicije. Pravilo se svodi na činjenicu da je F(x) nužno veći od 0. Ne, nismo propustili ovaj trenutak. Sada govorimo o još jednoj ozbiljnoj prednosti kanonskog oblika.

Ovdje neće biti dodatnih korijena. Ako će se varijabla pojaviti samo na jednom mjestu, tada opseg nije neophodan. Pokreće se automatski. Da biste potvrdili ovu prosudbu, razmotrite rješavanje nekoliko jednostavnih primjera.

Kako riješiti logaritamske jednadžbe sa različitim bazama

To su već složene logaritamske jednadžbe, a pristup njihovom rješavanju trebao bi biti poseban. Ovdje je rijetko moguće ograničiti se na ozloglašeni kanonski oblik. Započnimo našu detaljnu priču. Imamo sledeću konstrukciju.

Obratite pažnju na razlomak. Sadrži logaritam. Ako to vidite u zadatku, vrijedi zapamtiti jedan zanimljiv trik.

Šta to znači? Svaki logaritam se može izraziti kao količnik dva logaritma sa pogodnom bazom. I ova formula ima poseban slučaj, što je primjenjivo u ovom primjeru (što znači ako je c=b).

Upravo to vidimo u našem primjeru. Na ovaj način.

U stvari, okrenuli su razlomak i dobili zgodniji izraz. Zapamtite ovaj algoritam!

Sada nam je potrebno da logaritamska jednadžba ne sadrži različite baze. Predstavimo bazu kao razlomak.

U matematici postoji pravilo na osnovu kojeg se stepen može izvući iz baze. Ispada sljedeća konstrukcija.

Čini se, šta nas sada sprečava da svoj izraz pretvorimo u kanonski oblik i elementarno ga riješimo? Nije tako jednostavno. Prije logaritma ne bi trebalo biti razlomaka. Popravimo ovu situaciju! Razlomak je dozvoljeno uzeti kao stepen.

Odnosno.

Ako su baze iste, možemo ukloniti logaritme i izjednačiti same izraze. Tako će situacija postati mnogo puta lakša nego što je bila. Biće elementarna jednačina koju je svako od nas znao da reši još u 8. ili čak 7. razredu. Možete sami da izvršite proračune.

Dobili smo jedini pravi korijen ove logaritamske jednadžbe. Primjeri rješavanja logaritamske jednadžbe su prilično jednostavni, zar ne? Sada ćete moći samostalno da se nosite i sa najtežim zadacima za pripremu i polaganje ispita.

Šta je rezultat?

U slučaju bilo koje logaritamske jednačine, polazimo od jednog vrlo važnog pravila. Potrebno je djelovati tako da se izraz dovede u najjednostavniji oblik. U tom slučaju ćete imati više šansi ne samo da ispravno riješite problem, već i da to učinite na najjednostavniji i najlogičniji način. Tako matematičari uvijek rade.

Izričito ne preporučujemo da tražite teške puteve, posebno u ovom slučaju. Zapamtite nekoliko jednostavnih pravila koja će vam omogućiti da transformišete bilo koji izraz. Na primjer, dovedite dva ili tri logaritma na istu bazu, ili uzmite potenciju iz baze i pobijedite na njoj.

Također je vrijedno zapamtiti da u rješavanju logaritamskih jednadžbi morate stalno trenirati. Postepeno ćete prelaziti na sve složenije strukture, a to će vas dovesti do samouvjerenog rješavanja svih opcija za probleme na ispitu. Pripremite se za ispite unaprijed i sretno!

Ovaj članak sadrži sistematski prikaz metoda za rješavanje logaritamskih jednačina s jednom promjenljivom. To će pomoći nastavniku, prvenstveno u didaktičkom smislu: odabir vježbi omogućava vam da kreirate individualne zadatke za učenike, uzimajući u obzir njihove mogućnosti. Ove vježbe se mogu koristiti za lekciju generalizacije i za pripremu za ispit.
Kratke teorijske informacije i rješavanje problema omogućavaju studentima da samostalno razvijaju vještine i sposobnosti rješavanja logaritamskih jednačina.

Rješenje logaritamskih jednadžbi.

Logaritamske jednačine – jednadžbe koje sadrže nepoznatu pod znakom logaritam. Prilikom rješavanja logaritamskih jednadžbi često se koriste teorijske informacije:

Obično rješavanje logaritamskih jednadžbi počinje definicijom ODZ-a. U logaritamskim jednadžbama preporučuje se da se svi logaritmi konvertuju tako da im baze budu jednake. Tada se jednačine ili izražavaju u vidu jednog logaritma, koji je označen novom varijablom, ili se jednačina pretvara u oblik pogodan za potenciranje.
Transformacije logaritamskih izraza ne bi trebale dovesti do sužavanja ODZ-a, ali ako primijenjena metoda rješenja sužava ODZ, oslobađajući od razmatranja pojedine brojeve, onda se ovi brojevi na kraju zadatka moraju provjeriti zamjenom u izvornoj jednadžbi, jer pri sužavanju ODZ-a moguć je gubitak korijena.

1. Jednačine oblika je izraz koji sadrži nepoznati broj i broj .

1) koristiti definiciju logaritma: ;
2) provjerite ili pronađite raspon važećih vrijednosti za nepoznati broj i odaberite odgovarajuće korijene (rješenja).
Ako a) .

2. Jednačine prvog stepena s obzirom na logaritam, u čijem se rješavanju koriste svojstva logaritama.

Da biste riješili ove jednačine, trebate:

1) koristeći svojstva logaritama, transformisati jednačinu;
2) rešiti dobijenu jednačinu;
3) provjerite ili pronađite raspon prihvatljivih vrijednosti za nepoznati broj i odaberite korijene (rješenja) koji im odgovaraju.
).

3. Jednačina drugog i višeg stepena u odnosu na logaritam.

Da biste riješili ove jednačine, trebate:

1. napraviti promjenu varijable;
2. riješiti rezultirajuću jednačinu;
3. izvršiti obrnutu zamenu;
4. riješiti rezultirajuću jednačinu;
5. provjerite ili pronađite raspon prihvatljivih vrijednosti za nepoznati broj i odaberite korijene (rješenja) koji im odgovaraju.

4. Jednačine koje sadrže nepoznatu u bazi i u eksponentu.

Da biste riješili ove jednačine, trebate:

1. uzeti logaritam jednačine;
2. riješiti rezultirajuću jednačinu;
3. provjerite ili pronađite raspon prihvatljivih vrijednosti ​​​za nepoznati broj i odaberite odgovarajuće
   korijeni (rješenja).

5. Jednačine koje nemaju rješenje.

1. Za rješavanje takvih jednadžbi potrebno je pronaći ODZ jednačinu.
2. Analizirajte lijevu i desnu stranu jednačine.
3. Izvucite odgovarajuće zaključke.

Originalna jednačina je ekvivalentna sistemu:

Dokažite da jednačina nema rješenja.

ODZ jednadžba je definirana nejednakošću x ≥ 0. Na ODZ-u imamo

Zbir pozitivnog i nenegativnog broja nije jednak nuli, tako da originalna jednadžba nema rješenja.

Odgovor: Ne postoje rješenja.

Samo jedan korijen x \u003d 0 spada u ODZ. Odgovor: 0.

Hajde da napravimo zamenu.

Pronađeni korijeni pripadaju ODZ-u.

ODZ jednadžba je skup svih pozitivnih brojeva.

Zbog

Ove jednadžbe se rješavaju na sličan način:

Zadaci za samostalno rješavanje:

Korištene knjige.

1. Bechetnov V.M. Matematika. Moskovski Demijurg 1994
2. Borodulya I.T. Eksponencijalne i logaritamske funkcije. (zadaci i vježbe). Moskva "Prosvjeta" 1984
3. Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Zadaci iz matematike. Jednačine i nejednačine. Moskva "Nauka" 1987
4. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebarski trener. Moskva "Ileksa" 2007
5. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemi u algebri i principi analize. Moskva "Prosvjeta" 2003

osnovna svojstva.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

iste osnove

log6 4 + log6 9.

Sada da malo zakomplikujemo zadatak.

Primjeri rješavanja logaritama

Šta ako postoji stepen u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x >

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Prelazak na novu osnovu

Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Vidi također:

Osnovna svojstva logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je 2,7 i dva puta je godina rođenja Lava Tolstoja.

Osnovna svojstva logaritama

Znajući ovo pravilo, znat ćete i tačnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

Primjeri za logaritme

Uzmite logaritam izraza

Primjer 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Po svojstvima 3,5 računamo

2.

3.

Primjer 2 Pronađite x ako

Primjer 3. Neka je data vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi, kao i svaki broj, mogu se sabirati, oduzimati i pretvarati na sve moguće načine. Ali pošto logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju osnovna svojstva.

Ova pravila moraju biti poznata – nijedan ozbiljan logaritamski problem ne može se riješiti bez njih. Osim toga, vrlo ih je malo - sve se može naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma sa istom osnovom: logax i logay. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Dakle, zbir logaritama je jednak logaritmu proizvoda, a razlika je logaritam količnika. Imajte na umu: ključna stvar ovdje je - iste osnove. Ako su osnove različite, ova pravila ne funkcionišu!

Ove formule će pomoći u izračunavanju logaritamskog izraza čak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju "Šta je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Pošto su baze logaritama iste, koristimo formulu sume:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi su sastavljeni od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Na osnovu ove činjenice, mnogi test papiri. Da, kontrola - slični izrazi u punoj ozbiljnosti (ponekad - bez izmjena) se nude na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu proračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primjenjivati ​​sve formule ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto, tj. možete unijeti brojeve ispred znaka logaritma u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Oslobodimo se stepena u argumentu prema prvoj formuli:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je imenilac logaritam čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem.

Formule logaritama. Logaritmi su primjeri rješenja.

Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili su u obliku stepeni i izvadili indikatore - dobili su razlomak od tri sprata.

Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac imaju isti broj: log2 7. Pošto je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojilac, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prelazak na novu osnovu

Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su baze različite? Šta ako nisu tačne snage istog broja?

Formule za prelazak na novu bazu dolaze u pomoć. Formuliramo ih u obliku teoreme:

Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobijamo:

Iz druge formule proizilazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam je u nazivniku.

Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.

Međutim, postoje zadaci koji se nikako ne mogu riješiti osim prelaskom na novu osnovu. Razmotrimo nekoliko od ovih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma tačni eksponenti. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Hajde da to zapišemo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno prikazati broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju, formule će nam pomoći:

U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Zaista, šta će se dogoditi ako se broj b podigne na takav stepen da broj b na ovaj stepen daje broj a? Tako je: ovo je isti broj a. Pažljivo pročitajte ovaj odlomak još jednom - mnogi ljudi ga "zakače".

Kao i nove formule osnovne konverzije, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - upravo je izvadio kvadrat iz baze i argument logaritma. S obzirom na pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:

Ako neko nije upoznat, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja je teško nazvati svojstvima – radije, to su posljedice iz definicije logaritma. Stalno se nalaze u problemima i, iznenađujuće, stvaraju probleme čak i "naprednim" učenicima.

1. logaa = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a iz same te baze jednak je jedan.
2. loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Zato što je a0 = 1 direktna posljedica definicije.

To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.

Vidi također:

Logaritam broja b prema bazi a označava izraz. Izračunati logaritam znači pronaći takav stepen x () pri kojem je jednakost tačna

Osnovna svojstva logaritma

Navedena svojstva moraju biti poznata, jer se na njihovoj osnovi gotovo svi problemi i primjeri rješavaju na osnovu logaritama. Preostala egzotična svojstva mogu se izvesti matematičkim manipulacijama ovim formulama

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Prilikom izračunavanja formule za zbir i razliku logaritama (3.4) se često susreću. Ostali su donekle složeni, ali su u nizu zadataka neophodni za pojednostavljenje složenih izraza i izračunavanje njihovih vrijednosti.

Uobičajeni slučajevi logaritama

Neki od uobičajenih logaritama su oni u kojima je baza čak deset, eksponencijalna ili dvojka.
Logaritam baznih deset se obično naziva logaritam baznih deset i jednostavno se označava lg(x).

Iz zapisnika se vidi da osnove nisu upisane u zapisnik. Na primjer

Prirodni logaritam je logaritam čija je osnova eksponent (označen ln(x)).

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je 2,7 i dva puta je godina rođenja Lava Tolstoja. Znajući ovo pravilo, znat ćete i tačnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

I još jedan važan logaritam osnove dva je

Derivat logaritma funkcije jednak je jedinici podijeljenom promjenljivom

Integralni ili antiderivativni logaritam je određen zavisnošću

Navedeni materijal vam je dovoljan za rješavanje široke klase zadataka vezanih za logaritme i logaritme. Radi razumijevanja materijala, navest ću samo nekoliko uobičajenih primjera iz školski program i univerzitete.

Primjeri za logaritme

Uzmite logaritam izraza

Primjer 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Po svojstvima 3,5 računamo

2.
Po svojstvu razlike logaritama imamo

3.
Koristeći svojstva 3.5 nalazimo

Po izgledu složeni izraz korištenje niza pravila je pojednostavljeno u formu

Pronalaženje vrijednosti logaritma

Primjer 2 Pronađite x ako

Rješenje. Za proračun primjenjujemo svojstva 5 i 13 do posljednjeg člana

Zamijenite u zapisniku i žalite

Pošto su baze jednake, izjednačavamo izraze

Logaritmi. Prvi nivo.

Neka je data vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Rješenje: Uzmite logaritam varijable da napišete logaritam kroz zbir članova

Ovo je tek početak upoznavanja sa logaritmima i njihovim svojstvima. Vježbajte proračune, obogatite svoje praktične vještine - uskoro će vam trebati stečeno znanje za rješavanje logaritamskih jednačina. Nakon što smo proučili osnovne metode za rješavanje takvih jednadžbi, proširit ćemo vaše znanje za još jednu jednako važnu temu - logaritamske nejednačine ...

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi, kao i svaki broj, mogu se sabirati, oduzimati i pretvarati na sve moguće načine. Ali pošto logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju osnovna svojstva.

Ova pravila moraju biti poznata – nijedan ozbiljan logaritamski problem ne može se riješiti bez njih. Osim toga, vrlo ih je malo - sve se može naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma sa istom osnovom: logax i logay. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Dakle, zbir logaritama je jednak logaritmu proizvoda, a razlika je logaritam količnika. Imajte na umu: ključna stvar ovdje je - iste osnove. Ako su osnove različite, ova pravila ne funkcionišu!

Ove formule će pomoći u izračunavanju logaritamskog izraza čak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju "Šta je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log6 4 + log6 9.

Pošto su baze logaritama iste, koristimo formulu sume:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi su sastavljeni od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Mnogi testovi su zasnovani na ovoj činjenici. Da, kontrola - slični izrazi u punoj ozbiljnosti (ponekad - bez izmjena) se nude na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Sada da malo zakomplikujemo zadatak. Šta ako postoji stepen u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu proračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primjenjivati ​​sve formule ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto, tj. možete unijeti brojeve ispred znaka logaritma u sam logaritam.

Kako riješiti logaritme

To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Oslobodimo se stepena u argumentu prema prvoj formuli:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je imenilac logaritam čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem. Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili su u obliku stepeni i izvadili indikatore - dobili su razlomak od tri sprata.

Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac imaju isti broj: log2 7. Pošto je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojilac, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prelazak na novu osnovu

Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su baze različite? Šta ako nisu tačne snage istog broja?

Formule za prelazak na novu bazu dolaze u pomoć. Formuliramo ih u obliku teoreme:

Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobijamo:

Iz druge formule proizilazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam je u nazivniku.

Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.

Međutim, postoje zadaci koji se nikako ne mogu riješiti osim prelaskom na novu osnovu. Razmotrimo nekoliko od ovih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma tačni eksponenti. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Hajde da to zapišemo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno prikazati broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju, formule će nam pomoći:

U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Zaista, šta će se dogoditi ako se broj b podigne na takav stepen da broj b na ovaj stepen daje broj a? Tako je: ovo je isti broj a. Pažljivo pročitajte ovaj odlomak još jednom - mnogi ljudi ga "zakače".

Kao i nove formule osnovne konverzije, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - upravo je izvadio kvadrat iz baze i argument logaritma. S obzirom na pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:

Ako neko nije upoznat, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja je teško nazvati svojstvima – radije, to su posljedice iz definicije logaritma. Stalno se nalaze u problemima i, iznenađujuće, stvaraju probleme čak i "naprednim" učenicima.

1. logaa = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a iz same te baze jednak je jedan.
2. loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Zato što je a0 = 1 direktna posljedica definicije.

To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.