3-MA'RUZA. ISH. KUCH. ENERGIYA

1. TARJIMA VA AYLANMA HARAKATDAGI ISH VA KUCH

Majburiy ish kuchning moddiy jismga ta'siri o'lchovini tavsiflovchi skalyar fizik kattalikdir. Kuchning ishi kuchning kattaligiga, kuch vektorining yo'nalishiga va kuch qo'llash nuqtasining siljishiga bog'liq.

Agar tanaga ta'sir etuvchi kuch kattaligi va yo'nalishi bo'yicha doimiy bo'lsa va siljish jism to'g'ri chiziqli traektoriya bo'ylab sodir bo'ladi (1-rasm), unda bu holda kuchning ishi oddiy formula bilan hisoblanadi:

kuch vektori bilan siljish vektori orasidagi burchak qayerda:.

Xalqaro birliklar tizimida ish joul bilan o'lchanadi:

Formuladan ko'rinib turibdiki, kuchning ishi ham ijobiy, ham salbiy bo'lishi mumkin.

Agar kuch vektori bilan siljish vektori orasidagi burchak o'tkir bo'lsa (1-rasm), unda kuch ijobiy ish qiladi:

Agar kuch vektori bilan siljish vektori orasidagi burchak o'tmas bo'lsa, u holda kuch manfiy ish qiladi, bu holda ish kuchga qarshi bajariladi deb aytamiz:

Agar kuch vektori siljish vektoriga perpendikulyar bo'lsa va , u holda bu holda kuch ish qilmaydi:

Umumiy holatda, agar kuch vektori kattaligi yoki yo'nalishi bo'yicha o'zgarsa va tana egri chiziqli traektoriya bo'ylab harakatlansa (2-rasm), elementar ish tushunchasi kiritiladi:

Bu erda tananing elementar siljish vektori, kuch vektori va elementar siljish vektori orasidagi burchak, ya'ni: . Elementar siljishning kattaligi shu bilan belgilanadiki, bu siljish paytida jismga ta'sir etuvchi kuch ham kattaligi, ham yo'nalishi bo'yicha doimiy bo'lib qoladi.

Moddiy jismning bir nuqtadan nuqtaga egri chiziqli traektoriya bo'ylab yakuniy harakati bo'yicha kuchning umumiy ishi elementar ishlarning yig'indisiga, ya'ni shaklning integraliga teng:

Agar tana kuch ta'sirida yopiq yo'l bo'ylab harakatlansa, bu holda kuchning ishi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Tabiatda har qanday yopiq traektoriya bo'ylab ishi har doim (bir xil) nolga teng bo'lgan kuchlar mavjud, bunday kuchlar konservativ yoki potentsial deb ataladi:

Konservativ kuchlarga misol sifatida tortishish kuchi, elastik kuch, Kulon kuchi va boshqa kuchlarni keltirish mumkin.

Har qanday yopiq traektoriya bo'ylab ishi nolga teng bo'lmagan kuchlar konservativ bo'lmagan yoki deyiladi. potentsial bo'lmagan:

Konservativ bo'lmagan kuchlarga sirpanish ishqalanish kuchi, qarshilik kuchi misol bo'ladi.

Ishni bajarish tezligini tavsiflash uchun kuch tushunchasi kiritiladi.

O'rtacha quvvat - bu ma'lum vaqt davomida bajarilgan ishning ushbu vaqt oralig'idagi qiymatiga nisbatiga teng bo'lgan skalyar jismoniy miqdor:

Agar biz vaqt oralig'ini kamaytirsak, u holda nisbat ma'lum bir chegaraga intiladi. Ushbu chegara kuchning oniy kuchi deb ataladi:

Shunday qilib, kuchning kuchi kuch tomonidan bajarilgan ishning vaqt hosilasidir.

Mexanik ish ta'rifidan foydalanib, siz muammolarni hal qilish uchun qulay formulani olishingiz mumkin:

bu erda kuch vektorining yo'nalishi va tezlik vektori orasidagi burchak, ya'ni. . Shunday qilib, kuch tomonidan ishlab chiqilgan lahzali quvvat kuch vektorining skalyar mahsulotiga va bu kuchning qo'llanilishi nuqtasi harakatlanadigan tezlik vektoriga teng.

Xalqaro birliklar tizimidagi quvvat bloklari - vatt:

Endi aylanish harakatini ko'rib chiqing. Jismning istalgan nuqtasida jismning traektoriyasiga perpendikulyar (ya'ni aylanaga perpendikulyar) yo'naltirilgan kuch ta'sirida radiusli aylana bo'ylab aylansin (3-rasm). Bunda jismning kuchi va elementar siljishi har doim kollinear bo'ladi, ya'ni bu vektorlar orasidagi burchak har doim nolga teng bo'ladi. Shuning uchun kuchning elementar ishi quyidagi formula bilan ifodalanadi:

Boshqa tomondan, biz geometriyadan bilamizki, radiusli aylananing yoyi uzunligi tengdir. , bu yoy joylashgan burchak qayerda.

Shunday qilib, biz boshlang'ich ish uchun quyidagi ifodani yozishimiz mumkin:

Bizning holatimizda kuchning kattaligi va aylana radiusining mahsuloti aylananing markazidan o'tadigan aylanish o'qiga nisbatan kuch momentining kattaligiga teng ekanligini ko'rish oson:

Va nihoyat, biz boshlang'ich ish uchun ifodani yozishimiz mumkin:

Jism aylana bo'ylab burchak orqali aylanganda kuch tomonidan bajariladigan umumiy ishni topish uchun yuqoridagi ifodani integrallash kerak:

Agar kuch momenti doimiy qiymat bo'lsa (bu umuman kerak emas), u holda aylanish harakati paytida kuchning ish formulasi oddiy shaklni oladi:

Olingan formulalardan foydalanib, aylanish harakati paytida quvvat kuch momenti va kuch qo'llash nuqtasining burchak tezligining mahsulotiga teng ekanligini ko'rish oson:

2. MEXANIK ENERGIYA

Mexanik ish tushunchasi mexanik energiya tushunchasi bilan chambarchas bog'liq. Ma'lumki, energiya bu harakatning barcha ko'rinishlarida materiya harakatining yagona miqdoriy o'lchovidir. Ish esa tizim energiyasining o'zgarishining o'lchovidir. Agar a mexanik tizim tashqi jismlarda ijobiy ishlarni amalga oshiradi, keyin tizimning energiyasi muqarrar ravishda kamayadi. Bunday holda, tizimning energiyasini yo'qotish tufayli ish bajarildi va ish bajarildi deb aytamiz ichki kuchlar tizimlari:

Ya'ni

Va aksincha, agar tashqi jismlar mexanik tizimda ishlayotgan bo'lsa, unda uning energiyasi ortadi:

Ya'ni

Mexanik energiya ikki xil - kinetik va potensial. Tizimning kinetik energiyasi bu sistemaning mexanik harakati bilan bog'liq, ya'ni kinetik energiya bu tizimning mexanik harakatining o'lchovidir.

da sistemaning kinetik energiyasini tavsiflovchi formulani chiqaramiz oldinga harakat. Jismga kattaligi va yo'nalishi doimiy kuch ta'sir qilsin.

Ushbu kuch ta'sirida, ma'lumki, tana to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanadi va bir tekis tezlashadi. Jismning tezlanishi Nyutonning ikkinchi qonuni bilan aniqlanadi:

Jismning boshlang'ich tezligi nolga teng bo'lsin, keyin harakat boshidan ma'lum vaqt o'tgach, tananing tezligi ga teng bo'ladi, bu erda tananing siljishi yoki qaysi bir xil bo'ladi, kuch qo'llash nuqtasining siljishidir. Biz harakatni tezlik bilan ifodalaymiz, biz quyidagilarni olamiz: .

Endi siz tanani cheksiz kichik masofaga harakatlantirganda kuch bajargan elementar ish uchun ifoda yozishingiz mumkin:

Tezlik vektori va vektor orasidagi burchak qayerda, translatsiya harakatida bu burchak har doim nol darajaga teng, shuning uchun .

Shunday qilib, tarjima harakatida elementar ish quyidagi formula bilan ifodalanadi:

Tana tinch holatdan ma'lum bir tezlikka tezlashganda kuch bajaradigan umumiy ishni topish uchun natijada olingan ifodani boshlang'ich tezlik qiymatidan tezlikning yakuniy qiymatiga integratsiya qilish kerak:

Yuqorida aytib o'tilganidek, agar ish tashqi kuch tomonidan bajarilsa, u holda tizimning energiyasi ortadi, bundan tashqari, tashqi kuchning ishi o'zgarishga teng bo'ladi. kinetik energiya tizimlar, ya'ni:

Xuddi shu miqdor uchun ikkita ifodani taqqoslab, biz tananing ikkinchi holatidagi kinetik energiyasini quyidagicha xulosa qilishimiz mumkin:

Shunga ko'ra, birinchi holatdagi kinetik energiya shunga o'xshash formula bilan tavsiflanadi:

Agar tana tinch holatda bo'lsa, uning kinetik energiyasi xuddi shunday nolga teng.

Umuman olganda, tezlik bilan harakatlanuvchi jismning kinetik energiyasi:

Olingan formuladan ko'rinib turibdiki, kinetik energiya faqat tananing massasiga (klassik fizikada doimiy qiymat) va tananing oniy tezligiga bog'liq, shuning uchun kinetik energiya tizim holatining funktsiyasidir. va tizim qanday qilib bu holatga kelganiga bog'liq emas.

Olingan formulaning o'lchamini tekshiramiz:

Tizimning tezligi har xil bo'lgani uchun inertial tizimlar mos yozuvlar har xil, shuning uchun tizimning kinetik energiyasi ham mos yozuvlar ramkasini tanlashga bog'liq.

Agar tana aylanish harakatida ishtirok etsa, u ham kinetik energiyaga ega. Aylanuvchi jismning kinetik energiyasi uchun formulani olamiz.

Massasi bo'lgan moddiy nuqta radiusi va burchak tezligi bo'lgan doira atrofida aylansin. Ma'lumki, chiziq tezligi moddiy nuqta burchak tezligi bilan quyidagi bog'liqlik bilan bog'liq:

Ushbu nisbatni kinetik energiya formulasiga almashtiramiz, biz quyidagilarni olamiz:

,

qayerda moddiy nuqtaning aylanish o'qiga nisbatan inersiya momenti.

Olingan kinetik energiya formulasi nafaqat moddiy nuqta uchun, balki har qanday mutlaq aylanish uchun ham amal qiladi qattiq tana, bu aylanish o'qiga nisbatan inersiya momentiga ega.

Agar jism bir vaqtning o'zida translatsiya va aylanish harakatida ishtirok etsa, u holda uning kinetik energiyasi translatsiya harakatining kinetik energiyasi va kinetik energiya yig'indisidir. aylanish harakati:

Misol tariqasida miltiqli quroldan otilgan uchuvchi snaryad (o'q)ni keltirish mumkin. Aylanish harakati mavjudligi sababli, snaryadning kinetik energiyasi va demak, o'ldiradigan kuchi silliq nayli quroldan otilgan bir xil snaryadning kinetik energiyasiga nisbatan ortadi.

Potensial energiya tizimlar - energiya bilan shartlangan o'zaro tartibga solish sistemani tashkil etuvchi jismlar va ular orasidagi o'zaro ta'sir xarakteri.

Potensial energiya tushunchasi faqat yuqorida aytib o'tilgan konservativ kuchlar harakat qiladigan tizimlar uchun ma'noga ega. Bunday tizimlardagi potentsial energiya, tizim ma'lum bir pozitsiyadan tizimning potentsial energiyasi, kelishuv bo'yicha, nolga teng bo'lgan holatga o'tganda, tizimning ichki (konservativ) kuchlari bajargan ishiga teng.

Shunday qilib, ixtiyoriy tizimning potentsial energiyasini hisoblash uchun yagona universal formula yo'q, uni har bir aniq tizim uchun ma'lum bir tarzda olish kerak.

Biz potentsial energiya formulasini olamiz, masalan, Yer yuzasidan ko'tarilgan jism uchun. Avvalo, bunday tizimda harakat qiluvchi kuchlar konservativ ekanligini va potentsial energiya tushunchasi haqiqatan ham mantiqiy ekanligini isbotlash kerak. Shunday qilib, Yer yuzasidan ko'tarilgan har qanday jism va Yer o'rtasida ga teng tortishish kuchi, bu erda Erning markaziga vertikal pastga yo'naltirilgan erkin tushish tezlanish vektori. Jismni Yer yuzasidan bir nuqtadan ikkinchi nuqtaga ko‘chirishda tortishish kuchi qanday ishni bajarishini topamiz. Birinchi nuqta Yer yuzasidan balandlikda, ikkinchi nuqta esa mos ravishda balandlikda bo'lsin va . Tananing birinchi holatdan ikkinchi holatgacha bo'lgan traektori chiziqdir.

Avvalo, jismning cheksiz kichik siljishi bilan tortishish kuchi bajargan elementar ishning ifodasini yozamiz:

Elementar siljish vektori va tortishish tezlanish vektori orasidagi burchak qayerda, va jismning cheksiz kichik vertikal siljishidir.

Jismni birinchi holatdan ikkinchi holatga o'tkazishda umumiy tortishish ishini topish uchun elementar ish uchun ifodani birlashtirish kerak:

Keling, natijani tahlil qilaylik - to'liq ish tortishish faqat er sathidan tananing pozitsiyasi bilan belgilanadi va tananing traektoriyasining turidan butunlay mustaqildir. Bu fakt tortishishning konservativ kuch ekanligidan dalolat beradi, ya'ni potentsial energiya tushunchasi "tana-Yer" tizimi uchun ma'noga ega.Konservativ tortishish ta'sir qiladigan fazo mintaqasi deyiladi. potentsial maydon tortishish kuchi.

Ish tizimning ichki kuchi - tortishish kuchi bilan bajarilganligi sababli, tizimning energiyasi kamayadi. Boshqacha qilib aytganda, ish tizimning potentsial energiyasini yo'qotish tufayli amalga oshiriladi, ya'ni

Gravitatsiya ishi uchun ikkita ifodani taqqoslab, biz birinchi holatda, ya'ni Yerdan balandlikda bo'lgan jismning potentsial energiyasiga teng bo'lgan degan xulosaga kelishimiz mumkin. , ikkinchi holatda tananing potentsial energiyasi mos ravishda, . Yer yuzasidagi jismning potentsial energiyasi nolga teng.

Shunday qilib, umumiy holatda, Yer yuzasidan balandlikka ko'tarilgan jismning potentsial energiyasi quyidagilarga teng:

.

Ko'rib turganimizdek, potentsial energiya ham faqat tananing massasiga va uning Yer yuzasidan balandligiga bog'liq, ya'ni potentsial energiya tizim holatining funktsiyasi bo'lib, tizim qanday paydo bo'lganiga bog'liq emas. bu davlat.

Xuddi shunday mulohazalar bizni bahorning elastik kuchi ham konservativ kuch degan xulosaga olib keladi.

Elastik kuch, ma'lumki, Guk qonuni bilan tavsiflanadi: ,

prujinaning qattiqlik koeffitsienti qayerda, o'lchamga ega bo'lgan bu kamonning xarakteristikasi , buloqning deformatsiyasi, ya'ni bahorning o'lchamining o'zgarishi.

Guk qonunidagi minus belgisi deformatsiyalangan prujinada hosil bo'ladigan kuchning yo'nalishi har doim prujinaning deformatsiyasiga qarama-qarshi ekanligini ko'rsatadi. Haqiqatan ham, agar buloq cho'zilsa, unda bahorni asl holatiga qaytarishga intiladigan kuch paydo bo'ladi va aksincha.

Shunday qilib, elastik deformatsiyalangan prujina potentsial energiya zahirasiga ega, ya'ni u bir qismini bajara oladi mexanik ish, aniqrog'i, ish bahorda paydo bo'ladigan elastik kuch bilan amalga oshiriladi.

Deformatsiyalangan buloqda saqlanadigan potentsial energiyaning qiymati quyidagilarga teng:

Deformatsiyalanmagan prujinaning potentsial energiyasi () xuddi shunday nolga teng.

Bajarildi mexanik energiya tizim kinetik va potentsial energiya yig'indisiga teng: yoki

Agar mexanik tizim yopiq bo'lsa va tizimda faqat konservativ kuchlar harakat qilsa, u holda butun tizimning umumiy mexanik energiyasi ushbu tizimni tashkil etuvchi jismlar o'rtasidagi har qanday o'zaro ta'sir uchun o'zgarishsiz qoladi. Bu gap mexanik energiyaning saqlanish qonunining mohiyatini ifodalaydi. Shuni ta'kidlash kerakki, tizimning har bir tanasining energiyasi o'zgarishi mumkin, faqat butun tizimning umumiy mexanik energiyasi o'zgarishsiz qoladi.

Matematik jihatdan mexanik energiyaning saqlanish qonunini bir necha usul bilan yozish mumkin:

o'zaro ta'sirdan oldingi butun tizimning potentsial va kinetik energiyalari va o'zaro ta'sirdan keyingi butun tizimning potentsial va kinetik energiyalari bu erda.

Agar tizimda konservativ bo'lmagan kuchlar (ishqalanish kuchi va boshqalar) ta'sir etsa yoki tizim yopiq bo'lmasa, ya'ni unda tashqi kuchlar ta'sir qilsa, bu holda umumiy mexanik energiya o'zgarmas bo'lib qolmaydi - energiya saqlanish qonuni bajarilmagan. Bunday holda, umumiy mexanik energiyaning o'zgarishi tizimning bir holatdan ikkinchi holatga o'tishida konservativ bo'lmagan kuchlar yoki tashqi kuchlar tomonidan ishlab chiqarilgan ish bilan teng bo'ladi.

Matematik jihatdan bu fakt quyidagicha yoziladi:

yoki,

sistemada chiqarilgan issiqlik miqdori qayerda.

Tizimning umumiy mexanik energiyasining saqlanish qonuni bajariladigan o'zaro ta'sirlarga misol. mutlaqo elastik zarba yoki to'qnashuv. To'qnashuv (zarba) - bu ikki yoki undan ortiq jismlarning o'zaro ta'siri, bu jismlar kichik masofalarga yaqinlashganda juda qisqa vaqt davom etadi. Mutlaq elastik ta'sir - jismlar bo'lmagan jismlarning to'qnashuvi deformatsiyalangan (fo jismlarning rmasi o'zgarmaydi) va jismlar tizimining umumiy kinetik energiyasi doimiy bo'lib qoladi. Da mutlaqo elastik ta'sir qilishda sistemaning mexanik energiyasining saqlanish qonuni ham, tizim impulsining saqlanish qonuni ham qondiriladi.

To'liq teskari mutlaqo elastik zarba jismlarning to'qnashuvi bo'lib, unda to'qnashuvchi jismlar birlashtirilib, keyinchalik bir butun bo'lib harakatlanadi. Bunday o'zaro ta'sir mutlaqo noelastik ta'sir deb ataladi. Mutlaqo noelastik ta'sirda tizimning energiyani tejash qonuni bajarilmaydi, lekin tizimning impulsning saqlanish qonuni o'z kuchida qoladi.

3. “MEHN, KUCH, ENERGIYA” MAVZUDAGI MAMALALARNI YECHISH NAMALLARI.

Vazifa No 1. Og'irligi 2,8 kg bo'lgan AZP-57 avtomat zenit o'qotar raketasi 1 km balandlikda sekundiga 800 metr tezlikda uchadi va sekundiga 500 aylanish tezligida aylanadi. Snaryadning uzluksiz bir jinsli silindr ekanligini hisobga olib, uning umumiy mexanik energiyasini toping.

Bu masalani yechishda snaryadning kalibri uning diametriga teng ekanligini inobatga olgan holda, “Berilgan” sarlavhasi ostidagi qiymat masalasi shartidagi ma’lumotlarni yozishdan boshlaymiz.

BERILGAN:

Toping: E

Yechish: ma'lumki, tizimning umumiy mexanik energiyasi potensial va kinetik energiya yig'indisiga teng. Bizning muammomizda snaryad-yer tizimi ko'rib chiqiladi. Bu sistemadagi snaryadning potensial energiyasi . Snaryadning kinetik energiyasi uning tarjima harakatining kinetik energiyasi va aylanish harakatining kinetik energiyasining yig'indisidir: . Tarjima harakatining kinetik energiyasini darhol hisoblash mumkin, chunki biz barcha kerakli miqdorlarni bilamiz. Aylanma harakatning kinetik energiyasini hisoblash uchun biz snaryadning inersiya momentini va uning burchak tezligini bilishimiz kerak. Snaryad qattiq bir jinsli tsilindr sifatida qabul qilinganligi sababli, uning inertsiya momenti teng bo'ladi. . Burchak tezligini ham topish oson, chunki biz snaryadning aylanish tezligini bilamiz: .

Shunday qilib, "snaryad-yer" tizimidagi snaryadning umumiy mexanik energiyasi teng bo'ladi quyidagi ifoda: - biz ishchi formulani oldik, chunki u muammoning savoliga javob beradi va u faqat ma'lum miqdorlarni o'z ichiga oladi. Ishchi formulaning o'lchamini tekshiramiz: - o'lcham to'g'ri, shuning uchun siz raqamli qiymatlarni almashtirishingiz mumkin. .

Muammo hal qilindi, lekin shuni ta'kidlash kerakki, bu holda snaryadning aylanish harakatining kinetik energiyasi uning tarjima harakatining kinetik energiyasidan ancha past. Snaryadning aylanishi snaryadga barqarorlikni beradi, zarbaning aniqligini oshiradi. Bu masalada shuni eslatib o'tish kerakki, snaryadning aylanish va translatsiya harakati hech qanday tarzda bir-biri bilan bog'liq emas va bir-biridan mustaqil ravishda sodir bo'ladi.

Muammo raqami 2. Og'irligi 400 gramm bo'lgan qattiq silindr gorizontal yuzada sirpanmasdan aylanadi. Silindr o'qining chiziqli tezligi sekundiga 1 metrni tashkil qiladi. Tsilindrning umumiy kinetik energiyasini aniqlang.

BERILGAN:

TOPING: K

YECHIM: Bu muammo oldingi muammoga juda o‘xshaydi. Silindr bir vaqtning o'zida ikkita harakatda ishtirok etganligi sababli uning kinetik energiyasi translatsiya harakatining kinetik energiyasi va aylanish harakatining kinetik energiyasi yig'indisiga teng bo'ladi.Lekin bu harakatlar mustaqil emas, silindrning chiziqli tezligi. eksa, shuningdek, formula bo'yicha silindrning aylanish burchak tezligini aniqlaydi. Keyinchalik, silindrning inersiya momenti ma'lum deb hisoblanadi: . Ushbu bosqichda kursantlar qiyinchiliklarga duch kelishlari aniq, chunki muammoning holati silindrning radiusi haqida hech narsa aytmaydi. Shuning uchun o’qituvchi masalani umumiy alifbo tartibida yechish muhimligini yana bir bor ta’kidlab o’tishi maqsadga muvofiqdir, shuning uchun yuqoridagi ifodalarni kinetik energiya formulasiga almashtirganda radius kamayadi va yakuniy formulada mavjud bo’lmaydi. : - biz ishchi formulani oldik, u faqat masala shartida ko'rsatilgan miqdorlarni o'z ichiga oladi: massa va tezlik. Ishchi formulaning o'lchami aniq va tekshirishni talab qilmaydi. Kinetik energiyaning raqamli qiymati: .

Vazifa raqami 3. Aylanadigan volanning kinetik energiyasi 1 Kilojoul. Doimiy tormoz momenti ta'sirida volan bir tekis aylana boshladi va 80 aylanishni amalga oshirib, to'xtadi. Tormoz kuchi momentini aniqlang.

Oxirgi holatda sistema tinch holatda bo‘lishini, ya’ni uning bu holatdagi energiyasi nolga teng bo‘lishini hisobga olib, ma’lum miqdorlarni “Bergan” sarlavhasi ostida yozamiz.

BERILGAN:

Toping: M

Yechish: tormoz kuchi momentini topish uchun aylanma harakat paytidagi ishni hisoblash formulasini yozishimiz kerak: - bu yerda ishning bir tekis bajarilishini hisobga oldik. O'lchamning haqiqatga mos kelishini bilgan holda burchak almashinuvini hisoblash mumkin, shuning uchun ma'lum miqdorlarning raqamli qiymatlarini almashtirish mumkin: . Natijadagi minus belgisi ishning tanasi tomonidan amalga oshirilganligini bildiradi, volan qarshi tashqi kuch, natijada volanning energiyasi nolga kamayadi.

4-masala Volan tenglama bilan ifodalangan qonunga muvofiq aylanadi , bu erda A \u003d 2 rad, B \u003d 16 rad / s, C \u003d -2 rad / s 2. Volanning inertsiya momenti 50 kgm 2 . Harakat boshlanganidan 3 sekund o'tgandan keyin volanning kinetik energiyasini va uning kuchini toping.

Berilgan:

Toping: K, N

Yechish: avval volanning aylanish harakatining kinetik energiyasini topamiz, ma'lumki, u ga teng. Biz volanning burchak tezligini burchak siljishining birinchi hosilasi sifatida topamiz: , hosil bo'lgan ifodani volanning kinetik energiyasi formulasiga almashtiramiz, biz olamiz:

- bu formulaga kiritilgan barcha miqdorlar bizga masala shartidan ma'lum. Olingan formulaning o'lchamini tekshiramiz: - o'lcham to'g'ri, biz ma'lum miqdorlarning raqamli qiymatlarini almashtiramiz : . Burchak tezlanishini burchak tezligining vaqtga nisbatan hosilasi sifatida topish mumkin: . Biz ushbu barcha ifodalarni yuqorida olingan formulaga kuch kuchiga almashtiramiz:

Bu ishchi formula bo'lib, u masala savoliga javob beradi va u faqat muammoning holatidan ma'lum bo'lgan miqdorlarni o'z ichiga oladi. Bu formulaning o'lchamini tekshirib ko'ramiz: - ishchi formulaning o'lchami quvvat o'lchamiga mos keladi, ya'ni ishchi formula to'g'ri, shuning uchun biz ushbu miqdorning son qiymatini hisoblashga o'tishimiz mumkin: .

Natijani tahlil qilaylik, minus belgisi volanning sekinlashishini ko'rsatadi va u tashqi kuchlarga qarshi ishlaydi.

3.4. mexanik energiya

3.4.1. Kinetik energiya

Kinetik energiya oldinga harakat tanasi formula bilan aniqlanadi

bu erda m - harakatlanuvchi jismning massasi; v - uning tezligi moduli.

Jismning translatsiya harakati paytida kinetik energiyani hisoblash uchun boshqa formula mavjud:

bu yerda P = mv - harakatlanuvchi jismning impuls moduli.

Kinetik energiya aylanish harakati tanasi formula bilan aniqlanadi

W k = m ō 2 R 2 2,

bu erda m - harakatlanuvchi jismning massasi; ō - burchak tezligining qiymati (tsiklik chastotasi); R - jism harakatlanadigan aylana radiusi.

Jismning aylanish harakati paytida kinetik energiyani hisoblash uchun yana bir formula mavjud:

W k = 2 m p 2 n 2 R 2,

bu erda n - tananing aylanish chastotasi.

Jismlar tizimining kinetik energiyasini hisoblash masalalarini yechishda, u jismlarning har birining kinetik energiyalaridan iborat ekanligini yodda tutish kerak:

W k sys = W k 1 + W k 2 + ... + W k N,

bu yerda W k 1, W k 2, ..., W kN har bir jismning kinetik energiyalari.

Aylanma harakatning kinetik energiyasini hisoblash uchun muammolarni hal qilishda quyidagi formulalar foydali bo'lishi mumkin:

• chiziqli v va burchak tezliklari o'rtasidagi bog'liqlik ō:

v = ōR,

bu yerda R - jism harakatlanadigan aylana radiusi;

• siklik chastota ō va chastota n o'rtasidagi bog'liqlik:

• siklik chastotasi ō (yoki chastota n) va tananing T aylana bo'ylab aylanish davri o'rtasidagi bog'liqlik:

ōT = 2p yoki n = 1 T.

24-misol. O'q bo'ylab harakatlanuvchi jismning koordinatasi x (t) \u003d 8,0 - 2,0t + t 2 qonuniga muvofiq vaqtga bog'liq, bu erda koordinata metrda, vaqt soniyalarda. Harakatning uchinchi sekundining boshidan to to'rtinchi sekundining oxirigacha tananing kinetik energiyasining o'zgarishini aniqlang. Tana vazni 3,0 kg.

Yechim. Jismning kinetik energiyasi quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:

W k 1 \u003d m v 2 (t 1) 2;

W k 2 \u003d m v 2 (t 2) 2,

bu erda v (t 1) - uchinchi soniya boshidagi tananing tezligi moduli; v (t 2) - to'rtinchi soniya oxirida tana tezligi moduli.

Tana harakati tenglamasi

x (t) = 8,0 - 2,0 t + t2

Ox o'qi bo'yicha tezlik proyeksiyasining vaqt o'tishi bilan o'zgarish qonunini quyidagi shaklda o'rnatishga imkon beradi:

v x (t) = v 0 x + a x t,

bu erda v 0 x \u003d -2,0 m / s - Ox o'qi bo'yicha dastlabki tezlikning proektsiyasi; a x = = 2,0 m/s 2 - belgilangan o'q bo'yicha tezlanish proyeksiyasi.

Shunday qilib, tezlik proyeksiyasining vaqtga bog'liqligi, aniq yozilgan

v x (t) = - 2,0 + 2,0 t,

mos keladigan tezlik proyeksiyalarini olish imkonini beradi:

• harakatning uchinchi soniyasining boshida (t 1 \u003d 2 s)

v x (t 1) \u003d - 2,0 + 2,0 t 1 \u003d - 2,0 + 2,0 ⋅ 2 \u003d 2,0 m/s;

• harakatning to'rtinchi soniyasining oxirida (t 2 \u003d 4 s)

v x (t 2) \u003d - 2,0 + 2,0 t 2 \u003d - 2,0 + 2,0 ⋅ 4 \u003d 6,0 ​​m/s.

Belgilangan vaqtlarda tananing kinetik energiyasining qiymatlari:

• harakatning uchinchi soniyasining boshida (t 1 \u003d 2 s)

W k 1 \u003d 3,0 ⋅ (2,0) 2 2 \u003d 6,0 ​​J,

• harakatning to'rtinchi soniyasining oxirida (t 2 \u003d 4 s)

W k 2 \u003d 3,0 ⋅ (6,0) 2 2 \u003d 54 J.

Kinetik energiyalarda kerakli farq

D W k \u003d W k ​​2 - W k 1 \u003d 54 - 6,0 \u003d 48 J.

Shunday qilib, belgilangan vaqt oralig'ida tananing kinetik energiyasi 48 J ga oshdi.

Misol 25. Tana xOy tekisligida x 2 + y 2 \u003d 25 ko'rinishdagi traektoriya bo'ylab markazga tortish kuchi ta'sirida harakat qiladi, uning qiymati 50 N. Tananing massasi 2,0 kg. X va y koordinatalari metrda. Tananing kinetik energiyasini toping.

Yechim. Tananing harakat traektoriyasi radiusi 5,0 m bo'lgan aylana bo'lib, masalaning shartiga ko'ra, jismga faqat bitta kuch ta'sir qiladi, bu doira markaziga yo'naltiriladi.

Ushbu kuchning moduli doimiy qiymat, shuning uchun tananing doimiy markazlashtirilgan tezlashuvi bor, bu tananing tezligining kattaligiga ta'sir qilmaydi; shuning uchun tana doimiy tezlik bilan aylana bo'ylab harakat qiladi.

Rasmda bu holat ko'rsatilgan.

Markazga tortish kuchining kattaligi formula bilan aniqlanadi

F c. c \u003d m v 2 R,

bu erda m - tana vazni; v - tananing tezligi moduli; R - jism harakatlanadigan aylana radiusi.

Tananing kinetik energiyasini ifodalash quyidagi shaklga ega:

Tenglamalar munosabati

F c. W k = m v 2 R 2 m v 2 = 2 R bilan

kerakli kinetik energiyani hisoblash uchun formulani olish imkonini beradi:

Kinetik energiya mexanik tizim - bu tizimning mexanik harakatining energiyasi.

Kuch F , dam olayotgan jismga ta'sir qilib, uning harakatiga sabab bo'ladi, ish qiladi va harakatlanuvchi jismning energiyasi sarflangan ish miqdoriga ko'payadi. Shunday qilib, ish dA kuch F 0 dan tezlikni oshirish paytida tananing bosib o'tgan yo'lida  , kinetik energiyani oshirish uchun ketadi dE uchun tana, ya'ni.

Nyutonning ikkinchi qonunidan foydalanish va siljish bilan ko'paytirish dr , biz olamiz:

O'shandan beri

Shunday qilib, massa tanasi m tezlikda harakat qilish  , kinetik energiyaga ega

Potensial energiya- jismlar tizimining mexanik energiyasi, ularning o'zaro joylashishi va ular orasidagi o'zaro ta'sir kuchlarining tabiati bilan belgilanadi.

Jismni bir holatdan ikkinchi holatga o'tkazishda jismni bir holatdan ikkinchi holatga o'tkazishda ta'sir etuvchi kuchlar bajaradigan ish bu harakat sodir bo'lgan traektoriyaga bog'liq emas, balki faqat boshlang'ich va oxirgi pozitsiyalarga bog'liq. Bunday maydonlar deyiladi salohiyat, va ularda harakat qiluvchi kuchlar konservativ.

Konservativ kuchlarning yopiq traektoriyadagi ishi nolga teng. Ushbu bayonot rasmda ko'rsatilgan. 2.1.

Konservatizm xususiyati tortishish kuchi va elastiklik kuchiga ega. Ushbu kuchlar uchun biz potentsial energiya tushunchasini kiritishimiz mumkin.

Konservativ kuchning ishi A 12a= A 12b. Yopiq yo'lda ishlang A = A 12a+ A 21b= A 12a- A 12b = 0.

Tana potentsial kuchlar maydonida bo'lib, potentsial energiyaga egaE P . Konservativ kuchlarning elementar (cheksiz kichik) o'zgarishi bilan ishitizimning figurasi belgi bilan olingan potentsial energiyaning o'sishiga tengminus, chunki ish potentsial energiyani yo'qotish tufayli amalga oshiriladi:

Ish dA kuchning skalyar mahsuloti sifatida ifodalanadi F harakatlanmoq dr va ifoda (2.2) quyidagicha yozilishi mumkin

Shuning uchun, agar funktsiya ma'lum bo'lsa E P (r ), keyin (2.3) formuladan kuchni topishimiz mumkin F modul va yo'nalish.

Potensial energiyani (2.3) dan quyidagicha aniqlash mumkin

qayerda C integratsiya konstantasi hisoblanadi.

Agar jism Yer yuzasiga yaqin joyda harakatlansa, u holda unga kattaligi va yo'nalishi doimiy bo'lgan tortishish kuchi ta'sir qiladi. Bu kuchning ishi faqat tananing vertikal siljishiga bog'liq. Yo'lning istalgan qismida tortishish ishi o'qga siljish vektorining proyeksiyalarida yozilishi mumkin.OY:

tortishish proyeksiyasi qayerda,Δ S y siljish vektor proyeksiyasidir. Agar tana balandlikda joylashgan nuqtadan harakat qilgan bo'lsah 1 , balandlikdagi nuqtagah 2 koordinata o'qining kelib chiqishidan OY (guruch. 2.2.),tortishish kuchi ish qildi:

Bu ish qarama-qarshi belgi bilan olingan ba'zi bir jismoniy miqdorning o'zgarishiga teng. Bu jismoniy miqdor deyiladi potentsial energiya tortishish sohasidagi jismlar

E p = mgh .

Bu tanani nol darajaga tushirganda tortishish kuchi bilan bajarilgan ish bilan teng.

Gravitatsiya ishi qarama-qarshi belgi bilan olingan tananing potentsial energiyasining o'zgarishiga teng.

A = –(E p2- E p1).

Elastik deformatsiyalangan jismning (bahor) potensial energiyasi topilsin. KuchElastiklik deformatsiyaga mutanosib:

qayerda F masalan - elastik kuchning o'qqa proyeksiyasi X,

k - elastiklik koeffitsienti (bahor uchun - qattiqlik),

minus belgisi shuni bildiradiF masalan tomonga qaratilganqarama-qarshi deformatsiya x.

Nyutonning uchinchi qonuniga ko'ra, deformatsiya qiluvchi kuch yn kuchiga mutlaq qiymatda tengpürüzlülük va unga qarama-qarshi yo'naltirilgan, ya'ni.

boshlang'ich ish dA , kuch bilan F x cheksiz kichik deformatsiyada dx , ga teng:

to'liq ish

.

bahorning potentsial energiyasini oshirish uchun ketadi. Shunday qilib, elastik deformatsiyalangan jismning potentsial energiyasi:

Tizimning umumiy mexanik energiyasi:

bular. kinetik va potensial energiyalar yig‘indisiga teng.

Ixtiyoriy mexanik tizim zarralardan iborat bo'lsin;

- vazn, - tezlik - ulardan biri. Keyin:

qiymat

kinetik energiya deb ataladi -bu zarracha va

-

ko'rib chiqilayotgan mexanik tizimning kinetik energiyasi.

Barcha nuqtalarning bir xil tezligi tufayli

tarjima harakatlanuvchi jismning kinetik energiyasi formula bilan aniqlanadi

, qayerda

uning massasi va - tezlik moduli.

Aylanadigan tana uchun:

aylanma harakatlanuvchi jismning kinetik energiyasi formula bilan aniqlanadi

30.20, qayerda

- tananing aylanish o'qiga nisbatan inersiya momenti va uning burchak tezligidir.

30,6*. Sferik harakatlanuvchi jismning kinetik energiyasini hisoblash formulasi

Mayli sharsimon harakat markazidir va

- tana bilan bog'langan koordinatalar tizimi; bundan tashqari, uning o'qlari tananing inertsiyasining asosiy o'qlari hisoblanadi.

Umumiy formulada -

-

ifodalash jismning burchak tezligi va geometrik xususiyatlari orqali:

Chunki

, unda indekslarni almashtirish usuli bilan biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

Lekin

, ya'ni. vektor o'ziga skalyar tarzda ko'paytiriladi. Ortogonal vektorlarning skalyar ko'paytmalari nolga teng ekanligini hisobga olamiz va biz quyidagilarni olamiz:

Kvadratlashganda, o'rta atamalar turli koordinatalarning juft ko'paytmalarini o'z ichiga oladi. Formulaga almashtirilganda ( a) ular markazdan qochma inersiya momentlarini beradi. Qabul qilingan o'qlar asosiydir va shuning uchun tananing barcha markazdan qochma inertsiya momentlari nolga teng. Shunday qilib, dan faqat kvadratlar yig'indisi saqlanishi kerak:

Formulaga almashtirilgandan so'ng ( a) ifodalar ( b), biz olamiz:

Qavslar ichidagi ifodalar natijasida eksenel momentlar inertsiya -

. Shunday qilib chiqadi

Sferik harakatlanuvchi jismning kinetik energiyasini hisoblash formulasi:

30,7*. Erkin va tekis harakatlanuvchi jismlarning kinetik energiyasini hisoblash formulalari

Qo'shish qonunidan, tezlikdan foydalanish -bu zarracha ikki komponentning yig'indisi bilan ifodalanadi -

, qayerda

- markaz-massali sanoq sistemasining tezligi (inertialga nisbatan);

- tezlik -markaz-massa tizimiga nisbatan zarracha.

Oldingi ikkita kichik bo'limdan ko'rinib turibdiki, birinchi ikkita komponent (

) ifodalar ( b) almashtirishda ichida umumiy formula kinetik energiyani hisoblash uchun ular umumiy kinetik energiyaning tarjima va sferik komponentlarini beradi -

, , qayerda

- tana massasi;

- tananing asosiy markaziy inersiya o'qlariga nisbatan inersiya momentlari;

- jismning sferik harakatidagi burchak tezligining markaz-massa mos yozuvlar tizimiga nisbatan proyeksiyalari.

Ifodaning uchinchi komponenti nima ekanligini aniqlang ( b) almashtirishda kinetik energiyani hisoblashning umumiy formulasiga.-

massa markazi = tushunchasi asosida

Erkin harakatlanuvchi jismning kinetik energiyasini ikki shartning yig'indisi sifatida hisoblash mumkin - translatsiya harakatining kinetik energiyasi (tananing massa markazi tezligida harakatlanadigan va uning massasiga ega bo'lgan moddiy nuqta uchun hisoblangan) va jismning sferik harakatida markaz-massa mos yozuvlar tizimiga nisbatan kinetik energiyasi:

.

Natijani mustaqil ravishda olishni taklif qilamiz:

tekis harakatlanuvchi jismning kinetik energiyasini ikki shartning yig'indisi sifatida hisoblash mumkin - uning massa markazi tezligi bilan tarjima harakatining kinetik energiyasi va markaz-massaga nisbatan bu jismning aylanish harakatidagi kinetik energiya. Malumot tizimi:

.