Ders #13

Başlık. Güç anı. Dönme ekseni olan bir cismin denge koşulu

Amaç: öğrencilere kuvvet momenti hakkında bilgi vermek, momentler kuralı: momentler kuralının sabit olmayan bir dönme eksenine sahip bir cisim için de geçerli olduğunu göstermek; Anlar kuralının günlük hayattaki anlamını açıklar.

Ders türü: birleşik.

Ders planı

Yeni materyal öğrenmek

Kuvvetin dönme ekseninden etki çizgisine bırakılan dikmenin uzunluğuna kuvvetin kolu denir.

Kuvvetin dönme hareketi, kuvvet modülü ile dönme ekseninden kuvvetin hareket hattına olan mesafenin çarpımı ile belirlenir.

Vücudun dönme eksenine göre kuvvet momenti, artı veya eksi işaretiyle alınan omzundaki kuvvet modülünün ürünü olarak adlandırılır:

M = ±Fl.

Kuvvet cismin saat yönünün tersine dönmesine neden oluyorsa anı pozitif, saat yönünde ise negatif olarak kabul edeceğiz. Yukarıda ele alınan örnekte, M1 = - F 1 l 1 , M 2 = F 2 l 2 , bu nedenle, iki kuvvetin etkisi altında bir eksene sabitlenmiş bir cismin denge koşulu şu şekilde yazılabilir:

M1 + M2 = 0.

3. İkinci denge koşulu (moment kuralı)

Sabit bir eksene sabitlenmiş bir cismin dengede olabilmesi için cisme uygulanan kuvvetlerin momentlerinin cebirsel toplamının sıfıra eşit olması gerekir:

M1 + M2 + M3 +... = 0.

Yeni materyalin sunumu sırasında öğrencilere soru

1. Vücudun durumuna mekanikte denge denir mi?

2. Denge mutlaka bir dinlenme hali anlamına mı gelir?

3. Bir cisim iki kuvvetin etkisi altında dengede olan bir eksene ne zaman sabitlenir?

4. Açık bir dönme ekseni olmadığında bir cismin denge koşullarını uygulamak mümkün müdür?

Derste çözülen görevler

1. 50 kg ağırlığındaki bir yük yatay çubuğa kaldırılmıştır (Şekil 4). AC = 40 cm, BC = 60 cm ise çubuğun destekler üzerindeki basınç kuvvetleri nedir? Çubuğun kütlesi ihmal edilebilir.

Çubuk dengede olduğundan,

mg + N 1 + N 2 \u003d 0.

Dolayısıyla N1 + N2 = mg. Dönme ekseninin C noktasından geçtiğini varsayarak, momentler kuralını uygulayalım. Sonra N 1 l 1 = N 2 l 2 (Şekil 5).

Elde ettiğimiz denklemlerden:

Sayısal verileri değiştirerek, N 1 \u003d 300 H, N 2 \u003d 200 H buluyoruz.

Cevap: 300 N; 200 N.

2. İki kabloya 1 m uzunluğunda bir hafif çubuk asılır, böylece kablo bağlantı noktaları çubuğun uçlarından 10 ve 20 cm mesafede bulunur. Çubuğun ortasına 21 kg'lık bir ağırlık asılmıştır. Kablolardaki gerilim kuvvetleri nelerdir? (Cevap: 88 R ve 120 R.)

3. İp cambazının üzerinde yürüdüğü ip, ip cambazının ağırlığından çok daha büyük bir kuvvete dayanmalıdır. Neden böyle bir sigorta gerekli?

Ev ödevi

1. 10.4 m uzunluğundaki bir kablonun uçları, birbirinden 10 m uzaklıkta bulunan iki direğe aynı yükseklikte bağlanır. İpin ortasına 10 kg'lık bir ağırlık asılır. İpin aynı kuvvetle gerilmesi için dikey bir ipe hangi ağırlık asılmalıdır?

2. Şekilde gösterilebilmesi için karşı ağırlığın kütlesi m ne olmalıdır. 6 Bariyerin kaldırılması ve indirilmesi kolay mıydı? Bariyerin ağırlığı 30 kg'dır.

3. Kütlesi 100 kg ve uzunluğu 3.5 m olan homojen bir kirişe, uçlardan birinden 1 m mesafede 70 kg'lık bir yük kaldırılır. Kiriş uçları destekler üzerinde uzanır. Desteklerin her biri üzerindeki baskı kuvveti?

Bu nedenle, önceki sonuç şu şekilde formüle edilebilir: maksimum statik sürtünme kuvvetinin modülü, destek reaksiyon kuvvetiyle orantılıdır:

Yunan harfi, sürtünme katsayısı adı verilen orantı katsayısını belirtir.

Deneyimler, kayma sürtünme kuvveti modülünün yanı sıra maksimum statik sürtünme kuvveti modülünün desteğin tepki kuvveti modülüyle orantılı olduğunu göstermektedir:

Statik sürtünme kuvvetinin maksimum değeri, kayma sürtünme kuvvetine yaklaşık olarak eşittir ve statik ve kayma sürtünme katsayıları da yaklaşık olarak eşittir.

Bir cisim yuvarlandığında da sürtünme kuvvetleri ortaya çıkar. Aynı yük ile yuvarlanan sürtünme kuvveti, kayma sürtünme kuvvetinden çok daha azdır. Bu nedenle teknolojide sürtünme kuvvetlerini azaltmak için tekerlekler, bilyalı ve makaralı rulmanlar kullanılmaktadır.

Statik. Vücutların dinamiklerdeki etkileşiminin ana işareti, ivmelerin ortaya çıkmasıdır. Bununla birlikte, birkaç farklı kuvvetin etki ettiği bir cismin hangi koşullar altında ivme ile hareket etmediğini bilmek çoğu zaman gereklidir. Topu bir ipe asın. Yerçekimi kuvveti topa etki eder, ancak Dünya'ya doğru hızlandırılmış harekete neden olmaz. Bu, mutlak değere eşit ve zıt yönde yönlendirilmiş elastik bir kuvvetin hareketi ile önlenir. Yerçekimi kuvveti ve esneklik kuvveti birbirini dengeler, bunların bileşkesi sıfırdır, dolayısıyla topun ivmesi de sıfırdır (Şekil 40).

Vücudun herhangi bir yerinde yerçekimi sonucunun geçtiği noktaya ağırlık merkezi denir (Şekil 41).

Pirinç. 40-41

Kuvvetler dengesinin koşullarını inceleyen mekaniğin bölümüne statik denir.

Dönmeyen cisimlerin dengesi. Bir cismin veya onun geri kalanının düzgün doğrusal öteleme hareketi, ancak cisme uygulanan tüm kuvvetlerin geometrik toplamı sıfıra eşitse mümkündür.

Dönmeyen bir cisim, cisme uygulanan kuvvetlerin geometrik toplamı sıfır ise dengededir.

Dönme eksenine sahip cisimlerin dengesi. AT Gündelik Yaşam ve teknoloji, genellikle ileriye doğru hareket edemeyen, ancak bir eksen etrafında dönebilen cisimler vardır. Bu tür gövdelere örnek olarak kapılar ve pencereler, araba tekerlekleri, salıncaklar vb. Kuvvet vektörü, dönme eksenini kesen düz bir çizgi üzerinde bulunuyorsa, bu kuvvet, dönme ekseninin yanından gelen elastik kuvvet tarafından dengelenir (Şekil 42).

Kuvvet vektörünün üzerinde bulunduğu düz çizgi dönme eksenini kesmiyorsa, bu kuvvet dönme ekseninin yanından gelen elastik kuvvet tarafından dengelenemez ve cisim eksen etrafında döner (Şekil 43).

Bir kuvvetin etkisi altında bir cismin bir eksen etrafında dönmesi, ikinci bir kuvvetin etkisiyle durdurulabilir. Deneyimler, eğer iki kuvvet ayrı ayrı cismin zıt yönlerde dönmesine neden oluyorsa, o zaman eşzamanlı hareketleriyle, koşul yerine getirilirse cismin dengede olduğunu gösterir:

kuvvet vektörlerinin ve (kuvvetlerin etki çizgilerinin) dönme eksenine uzandığı düz çizgilerden en kısa mesafeler nerede ve nerededir (Şekil 44). Mesafeye kuvvetin kolu denir ve kuvvet modülü ile kolun ürününe kuvvet momenti denir:

Pirinç. 42-43-44

Cismin eksen etrafında saat yönünde dönmesine neden olan kuvvetlerin momentlerine pozitif bir işaret ve saat yönünün tersine dönüşe neden olan kuvvetlerin momentlerine negatif bir işaret atanırsa, o zaman dönme ekseni olan cismin denge koşulu formüle edilebilir. moment kuralı olarak: sabit bir dönme eksenine sahip bir cisim, cisme bu eksen etrafında uygulanan tüm kuvvetlerin momentlerinin cebirsel toplamı sıfıra eşitse dengededir:

SI tork birimi, hareket çizgisi dönme ekseninden 1 m uzaklıkta olan 1 N'lik bir kuvvet momentidir. Bu birime Newton metre (Nm) denir.

Bir cismin dengesi için genel koşul.İki sonucu birleştirerek, vücudun dengesi için genel koşulu formüle edebiliriz: Bir cisim, kendisine uygulanan tüm kuvvetlerin vektörlerinin geometrik toplamı ve bu kuvvetlerin dönme ekseni etrafındaki momentlerinin cebirsel toplamı sıfıra eşitse dengededir.

Genel denge koşulu sağlandığında, vücut mutlaka dinlenme durumunda değildir. Newton'un ikinci yasasına göre, tüm kuvvetlerin bileşkesi sıfıra eşit olduğunda, cismin ivmesi sıfıra eşittir ve hareketsiz olabilir veya düzgün ve doğrusal hareket edebilir.

Kuvvetlerin momentlerinin cebirsel toplamının sıfıra eşit olması, bu durumda cismin mutlaka hareketsiz olduğu anlamına gelmez. Birkaç milyar yıl boyunca, Dünya'nın kendi ekseni etrafındaki dönüşü sabit bir periyotla devam eder, çünkü Dünya'ya diğer cisimlerden etki eden kuvvetlerin momentlerinin cebirsel toplamı çok küçüktür. Aynı nedenle, dönen bisiklet tekerleği sabit bir frekansta dönmeye devam eder ve sadece dış kuvvetler bu rotasyonu durdurun.

Denge türleri. Pratikte, sadece cisimler için denge koşulunun yerine getirilmesiyle değil, aynı zamanda dengenin stabilite olarak adlandırılan niteliksel özelliğiyle de önemli bir rol oynar. Üç tür vücut dengesi vardır: kararlı, kararsız ve kayıtsız. Küçük dış etkilerden sonra vücut orijinal denge durumuna geri dönerse, dengeye kararlı denir. Bu, cismin başlangıç ​​konumundan herhangi bir yönde hafif bir yer değiştirmesiyle, cisme etki eden kuvvetlerin bileşkesi sıfırdan farklı olursa ve denge konumuna yönlendirilirse olur. Kararlı dengede, örneğin, girintinin dibinde bir top bulunur (Şekil 45).

saat ileri hareket vücudun tüm noktaları aynı şekilde hareket eder. Bu nedenle, böyle bir hareket, vücudun bir noktasının - kütle merkezinin hareketi olarak düşünülebilir. Bu durumda, cismin tüm kütlesinin kütle merkezinde toplandığını ve cisme etki eden tüm kuvvetlerin bileşkesinin ona uygulandığını varsaymalıyız. Newton'un ikinci yasasından, kendisine uygulanan tüm kuvvetlerin geometrik toplamı - bu kuvvetlerin bileşkesi - sıfıra eşitse, bu noktanın ivmesinin sıfıra eşit olduğu sonucu çıkar. Bu, dönme olmadığında vücudun denge durumudur.

Dönme yokluğunda cismin dengede olabilmesi için cisme uygulanan kuvvetlerin bileşkesinin sıfıra eşit olması gerekir.

Ancak kuvvetlerin geometrik toplamı sıfıra eşitse, bu kuvvetlerin vektörlerinin herhangi bir eksen üzerindeki izdüşümlerinin toplamı da sıfıra eşittir. Bu nedenle, vücudun denge durumu aşağıdaki gibi formüle edilebilir:

Dönme yokluğunda cismin dengede olabilmesi için cisme herhangi bir eksende uygulanan kuvvetlerin izdüşümlerinin toplamının sıfıra eşit olması gerekir.

Dengede, örneğin, Şekil 155'te olduğu gibi iki eşit kuvvetler aynı düz çizgi boyunca hareket eder, ancak zıt yönlere yönlendirilir.

Bir denge durumu mutlaka bir dinlenme durumu değildir. Newton'un ikinci yasasına göre, bir cisme uygulanan tüm kuvvetlerin bileşkesi sıfıra eşitse, cisim düz bir çizgide ve düzgün bir şekilde hareket edebilir. Bu hareketle birlikte vücut da bir denge halindedir. Örneğin, bir paraşütçü sabit bir hızla düşmeye başladıktan sonra denge halindedir.

Şekil 155'te cisme bir noktada kuvvet uygulanmamaktadır. Ama önemli olanın kuvvetin uygulama noktası değil, hareket ettiği düz çizgi olduğunu daha önce görmüştük. Kuvvetin uygulama noktasının etki çizgisi boyunca aktarılması, cismin hareketinde veya denge durumunda hiçbir şeyi değiştirmez. Örneğin, Şekil 156, a'da gösterildiği gibi arabayı çekmek yerine itmeye başlarlarsa hiçbir şeyin değişmeyeceği açıktır (Şekil 156, b).

Vücuda uygulanan kuvvetlerin bileşkesi sıfıra eşit değilse, o zaman cismin denge durumunda olması için, bileşiğe modülünde eşit, ancak bunun tersi olan ek bir kuvvet uygulanmalıdır. yönünde.

Bunu deneyimle açıklayalım. Çerçeve çerçevesinin üst traversinin iki noktasına takın.

nanometre 1 ve 2 (Şekil 157). O noktasındaki dişler yardımıyla yükü sabitliyoruz. Üç kuvvetin etkisi altında O noktası dengede olacaktır. Şimdi iki dinamometrenin yanından O noktasına etki eden kuvvetleri tek bir kuvvetle değiştirelim. Bunu yapmak için başka bir dinamometre 3'ü O noktasına takın ve yukarı çekin. Dinamometre 1 ve 2'nin okları ölçekte sıfıra ayarlandığında, O noktasına sadece iki kuvvet etki edecektir. Bunlardan biri - bu dinamometre tarafından ölçülen dinamometre 3'ün yayının elastik kuvveti - kuvvetlerin bileşkesidir.Yükün yerçekimi kuvveti mutlak değerde bu bileşiğe eşittir ve ters yönde yönlendirilir. Bu nedenle O noktası dengededir.

Bir örnek daha düşünelim. Nehrin akıntısından ve kıyıdan esen rüzgardan etkilenen kayık nasıl dengede tutulur (Fig. 158)? Rüzgar ve su akışının neden olduğu kuvvetlerin bileşkesini bulun. Bunu yapmak için paralelkenar kuralını kullanırız. Paralelkenarın köşegeni büyüklüğü verir ve

Pirinç. 157 (bkz. tarama)

bileşiğin yönü Teknenin dengede olması için bu bileşiğe eşit, ancak ters yönde yönlendirilmiş bir dengeleme kuvveti uygulanmalıdır. Böyle bir kuvvet, örneğin, bir ucu teknenin pruvasına, diğer ucu ise kıyıya bağlanan bir ipin çekme kuvveti olabilir. Örneğin, akan suyun bir tekneye etki ettiği kuvvet 150 N ve rüzgar basıncı kuvveti 100 N ise, bu iki birbirine dik kuvvetin bileşkesi Pisagor teoremi kullanılarak hesaplanabilir:

Bu nedenle tekne, en az 180 N'lik bir gerilime dayanabilecek bir halatla desteklenebilir.

Bir görev. 100 kg ağırlığındaki bir yük bir enine kiriş ve bir payandadan oluşan bir brakete (Şekil 159, a) asılmıştır.Eğer varsa, kirişte ve dikmede oluşan elastik kuvvetleri belirleyin.

Çözüm. Her şeyden önce, braketin parçalarına etki eden kuvvetlerin kökeninin ne olduğunu bulalım.

Yerçekimi etkisi altında yük dikey olarak aşağı doğru düşmeye başlar. Aynı zamanda kirişin B ucunu da taşır. Sonuç olarak kirişin ve kolun deforme olduğu açıktır: kiriş uzar ve kol sıkıştırılır (Şekil 159, a). Braketin deforme olmuş kısımlarında, deformasyona zıt yönde yönlendirilen elastik kuvvetler ortaya çıkar. Bu kuvvetler belirlenmelidir. Şekil 159'da vektör, sıkıştırılmış bir durumdaki elastik kuvveti göstermektedir.

jib ve vektör, gerilmiş bir kirişteki elastik kuvvettir. Bu kuvvetler, yükün asılı olduğu B noktasına etki eder.

Kiriş ve payandadaki deformasyonlar, kuvvetlerin bileşkesi olana kadar artacak ve yerçekimi kuvvetini dengeleyecek ve B noktası dengede olacaktır. Bu nedenle, B noktasına uygulanan üç kuvvetin bileşkesi: yerçekimi kuvveti ve kuvvet sıfıra eşittir:

Bu kuvvetlerin herhangi bir eksen üzerindeki izdüşümlerinin toplamı da sıfıra eşittir.

X eksenini yatay olarak sağa (Şekil 159, b) ve dikey ekseni yukarı yönlendirelim. Kuvvet dikey olarak yönlendirilir, bu nedenle X ekseni üzerindeki izdüşümü sıfırdır. Kuvvetin X ekseni üzerindeki izdüşümü, bir işaretle alınan vektörün modülüne eşittir.Kuvvetin X ekseni üzerindeki izdüşümü . Sonra yazabilirsiniz:

Eksen üzerindeki tüm kuvvetlerin izdüşümlerini aynı şekilde buluyoruz. Kuvvetin izdüşümü sıfırdır, kuvvetin izdüşümü sıfırdır ve kuvvetin izdüşümü Bu nedenledir.

(1) ve (2) denklemlerinden kuvvetleri bulmak kolaydır ve

Değeri doğrudan denklem (2)'den buluyoruz:

Bu değeri denklem (1) ile değiştirerek şunu elde ederiz:

30°'ye eşittir.

3. 3 kg ağırlığındaki bir top, düz bir duvara bağlı bir ipe asılmaktadır (Şek. 161). İp üzerindeki gerilimi ve duvardaki basıncı belirleyin. İplik duvarla 15°'lik bir açı oluşturur,

4. 20 m uzunluğundaki bir kablonun ortasından kütleli bir lamba sarkıtılarak kablonun 5 cm sarkması sonucu kabloda oluşan elastik kuvvetleri belirleyin.

5. 30 kg kütleli bir kutu eğimli bir düzlem üzerinde durmaktadır. Kutunun eğik bir düzlemde sürtünme katsayısı 0,2 ise kutu aşağı kayar mı? Eğik düzlemin uzunluğu 6 m, yüksekliği 2 m'dir.

6. Anten direği (Şekil 162), direk ile 30 ° açı oluşturan bir AB adam çizgisi ile sabitlenmiştir. Antenin direğe B noktasında etki ettiği kuvvet (anten gerilimi) 1000 N'dir. Direği sıkıştıran kuvvet ve adama etki eden kuvvet nedir?