Kepler'in gezegensel hareket yasaları. Astronominin temelleri. Gök cisimlerinin hareketi. Kepler yasaları

Kepler yasaları

Atomlar ve temel parçacıklar dünyasında, yerçekimi kuvvetleri, parçacıklar arasındaki diğer kuvvet etkileşimi türleriyle karşılaştırıldığında ihmal edilebilir düzeydedir. Kütleleri binlerce kilogram olsa bile, etrafımızdaki çeşitli cisimler arasındaki yerçekimi etkileşimini gözlemlemek çok zordur. Ancak gezegenler, kuyruklu yıldızlar ve yıldızlar gibi "büyük" nesnelerin davranışını belirleyen yerçekimidir, hepimizi Dünya'da tutan yerçekimidir.

Dikilitaşın eski Mısır kökenli olduğuna gelince, "Sesostris'in oğlu Nuncoreus" için yaratılan Caligula'nın çağdaşı Romalı tarihçi Pliny'den öğreniyoruz. Heliopolis, elbette, eski Mısır güneş dininin kalbiydi ve eski Mısırlılar için, Aziz Petrus'un bugün Katolikler için sahip olduğu aynı güce sahipti.

Site daha sonra Katolik dünyasının merkezi olmak için restore edildi: Vatikan. Aziz Petrus Bazilikası MS 334'te Büyük Costantino tarafından başlatıldı, ancak ancak 16. yüzyılda mimar ve heykeltıraş Bramante, ardından Raffaello ve son olarak Michelangelo tarafından tamamlandı.

Yerçekimi, güneş sistemindeki gezegenlerin hareketini kontrol eder. Onsuz, güneş sistemini oluşturan gezegenler farklı yönlere dağılacak ve dünya uzayının uçsuz bucaksız genişliklerinde kaybolacaktı.

Gezegensel hareket kalıpları uzun zamandır insanların dikkatini çekmiştir. Gezegenlerin hareketinin ve güneş sisteminin yapısının incelenmesi, yerçekimi teorisinin yaratılmasına yol açtı - yasanın keşfi Yerçekimi.

Bazilika, antik Vatikan Caligula Sirki'nin üst kısmının ortasının üzerinde yer almaktadır. Bu arada, Caligula'nın dikilitaşı Bazilika'nın güney duvarının yakınında sona erdi ve 15. yüzyıldan önce kısmen çöp ve molozlarla kaplı küçük bir sokakta neredeyse unutuldu. Papa, Dikilitaşın kaidesinin İncil'de dört bronz heykel üzerinde durmasını istedi ve ucu, elinde altın bir haç bulunan devasa bir bronz İsa heykeli tarafından aşıldı.

Ama Papa Niccolò işi devreye alamadan öldü ve proje rafa kaldırıldı. Bernini, Aziz Petrus Meydanı'nın ve sütunlu yapılarının tasarımı üzerinde çalışmaya başladığında, Bazilika uzun zaman önce Bramante ve Michelangelo tarafından tamamlanmıştı. Her halükarda, Bernini daha sonra meydanı planlarken bu hatayı düzeltti ve meydanın doğu ve batı ekseninin tam doğuya hizalandığından emin oldu.

Dünyasal bir gözlemcinin bakış açısından, gezegenler çok karmaşık yörüngeler boyunca hareket eder (Şekil 1.24.1). Evrenin bir modelini yaratmaya yönelik ilk girişim yapıldı. Batlamyus(~ 140). Evrenin merkezine, Ptolemy, gezegenlerin ve yıldızların etrafında büyük ve küçük daireler halinde hareket ettiği Dünya'yı yuvarlak bir dansta olduğu gibi yerleştirdi.

Yer merkezli sistem Ptolemy 14 yüzyıldan fazla sürdü ve yalnızca 16. yüzyılın ortalarında değiştirildi. güneş merkezli Kopernik sistemi. Kopernik sisteminde gezegenlerin yörüngelerinin daha basit olduğu ortaya çıktı. Alman astronom I. Kepler 17. yüzyılın başında, Kopernik sistemine dayanarak, güneş sistemindeki gezegenlerin hareketinin üç ampirik yasasını formüle etti. Kepler, Danimarkalı astronom tarafından gezegenlerin hareketinin gözlemlerinin sonuçlarını kullandı. T. Brahe.

Bazilika ile meydanın dizilişleri arasındaki bu fark, bazilikaya önden bakıldığında açıkça görülmektedir. İki çeşme aynı görünebilir, ancak aslında 50 yıl arayla inşa edilmişlerdir. Dikilitaş daha sonra bir gnomon olarak kullanıldı. Öğle vakti gölgesinin üzerinde yuvarlanıyor farklı zaman yılın ayları oyulmuş beyaz mermer levhalarla zemine işaretlendi. Tapınakçılar, Vatikan gizemleri, Semboller, Kutsal mimari.

Bitmek bilmeyen merakımız, minik dostlarımızı arkadaş gibi tanımak, meşgul Newton ile konuşmanın dikkatini çekti ve beklentiyi yanıltmak için hikayedeki konuları derinleştirmek isteyen kuponlara ithafen bu uygulamayı yazdı.

Kepler'in birinci yasası (1609):

Tüm gezegenler, odaklarından birinde Güneş ile eliptik yörüngelerde hareket eder.

Şek. 1.24.2, kütlesi Güneş'in kütlesinden çok daha az olan gezegenin eliptik yörüngesini gösterir. Güneş, elipsin odaklarından birindedir. Güneşe en yakın nokta P yörünge denir günberi, nokta A, Güneşten en uzak günötesi. Günberi ve günberi arasındaki mesafe, elipsin ana eksenidir.

Batlamyus'tan sonraki on dört yüzyıl boyunca astronomi biliminin ilerleme kaydetmemesinin nedeni çeşitli nedenlerle bulunabilir. Her şeyden önce, Roma İmparatorluğu'nun çöküşü ve onu karakterize eden Batı ve Doğu Avrupa arasındaki açık bölünme: bu, Batı'nın Yunanlıların bilimsel bagajını neredeyse tamamen unutmasına katkıda bulundu. Dahası, Hıristiyanlığın yayılması onu İncil'i harfi harfine yorumlamaya yöneltti. Yaratılış kitapları, diğer halklardan ödünç alınan saf astronomik fikirleri içerir.

Bu tür açıklamalar, astronomi ile hiç ilgilenmemiş olan Yahudi halkı için özellikle tehlikeli değildi, ancak ciddi bir gerilemeye neden oldu ve bu bilimin Batı'daki gelişimini yavaşlattı. Aynı zamanda, Yunanlıların ilk büyük keşfi olan Dünya'nın küreselliğiyle alay etmenin zamanı geldi. Gerçek astronomik devrimi başlatmak için on altıncı yüzyılı beklemeliyiz. Nicolaus Copernicus'a genellikle bu tür çığır açan değişiklikler için itibar gösterilse de, onun pratikte Newtoncu dünya görüşüne yol açan uzun ve sancılı kültürel yenilenme sürecinin yalnızca başlatıcısı olduğu unutulmamalıdır.

Güneş sisteminin hemen hemen tüm gezegenleri (Plüton hariç) dairesele yakın yörüngelerde hareket eder.

Kepler'in ikinci yasası (1609):

Gezegenin yarıçap vektörü, eşit zaman aralıklarında eşit alanları tanımlar.

Pirinç. 1.24.3 Kepler'in 2. yasasını gösterir.

Kepler'in ikinci yasası şuna eşittir: açısal momentumun korunumu yasası. Şek. 1.24.3, cismin momentum vektörünü ve bileşenlerini ve yarıçap vektörü tarafından kısa sürede süpürülen alanı gösterir Δ t, yaklaşık olarak tabanı olan bir üçgenin alanına eşittir rΔθ ve yükseklik r:

Güneş merkezli Kopernik modeli, yıldızların konumlarını tahmin etmek için hesaplamalarda gerçekten büyük bir basitleştirme yapmadı. Copernicus'un reddetmesinin temel nedenlerinden biri, eşiti ortadan kaldırma arzusuydu, yani hızı dairenin merkezine göre eşit olmayan, ancak farklı bir noktada açıkça eşit olan dairesel bir hareketin varlığıydı. Platonik dikte ile çelişiyor. Tüm fenomenleri denklemlere başvurmadan açıklamak için, yine de eksantrik küreleri ve dış döngüleri tanıtması gerekiyordu, bu nedenle Kopernik sistemi bugün bilinen eliyosentrik sistem değil.

Burada açısal hızdır ( bkz. §1.6).

açısal momentum L mutlak değerde vektörlerin modüllerinin ürününe eşittir ve

Bu nedenle, eğer Kepler'in ikinci yasasına göre, o zaman açısal momentum L hareket ederken aynı kalır.

Özellikle, gezegenin günberi ve günötesindeki hızları yarıçap vektörleri tarafından dik olarak yönlendirildiğinden, açısal momentumun korunumu yasasından şu sonuç çıkar:

Gezegenlerin eliptik hareketleri hala dairesel hareketlerin bileşimi olarak yorumlanıyordu. Bu eski "önyargı"nın üstesinden ancak Kepler'in ampirik yasaları ile gelindi. Copernicus'un çalışmasının gerçek devrimci yönü, ondan sonra birçok bilim insanının modelin fiziksel gerçekliğine inanmaya başlamasıdır.

Şimdi Kopernik'in dayandığı sabit noktaların neler olduğuna daha yakından bakalım: 1 - Tüm gök yörüngeleri için tek bir merkez yoktur. 2 - Dünyanın merkezi, Evrenin merkezi değil, yalnızca ağır cisimlerin ağırlık merkezi ve ay yörüngesidir3. Dünyanın merkezi Güneş'e yakın olduğundan, tüm yörüngeler "ortada" olan Güneş'i "çevreler". 4 - Güneş'in Dünya'ya uzaklığı, sabit yıldızların uzaklığına göre çok küçüktür. 5 - Sahip olunan her motosiklet sabit yıldızlar, onlardan geliyor, ama Dünya'dan.

Kepler'in üçüncü yasası, güneş sistemindeki tüm gezegenler için %1'den daha iyi bir doğrulukla geçerlidir.

Şek. 1.24.4, biri yarıçaplı dairesel olan iki yörüngeyi gösterir R ve diğeri büyük bir yarım eksene sahip eliptiktir a. Üçüncü yasa, eğer R = a, o zaman bu yörüngelerdeki cisimlerin dönüş periyotları aynıdır.

Kepler yasaları gezegenlerin hareketini anlamada en önemli adım olmasına rağmen, bunlar hala astronomik gözlemlerden elde edilen ampirik kurallar olarak kaldılar. Kepler yasalarının teorik bir gerekçeye ihtiyacı vardı. Bu yönde kararlı bir adım atıldı Isaac Newton 1682'de kim keşfetti yerçekimi kanunu:

Böylece Dünya kendi ekseni etrafında tam bir dönüş yaparken, gök kubbe veya son gök hareketsiz kalır. 6 - Bize Güneş'e ait gibi görünen hareketler, diğer gezegenler gibi Dünya ve Güneş'in etrafında döndüğü yörünge ile ilişkilidir. 7 - Gezegenlerin geriye ve doğrudan hareketine onlardan değil, Dünya neden olur. Dünyanın tek bir hareketi, göklerdeki bu kadar çok düzensizliği açıklamaya yeter.

Bu ön aksiyomlardan, Kopernik'in eski kozmolojiden kopuşunun beklendiği kadar net olmadığını hemen görüyoruz. Kopernik kozmosunun merkezi, Güneş'in merkezinde değil, Güneş'in merkezine yakındır. Tam olarak Güneş için eksantrik olan Dünya yörüngesinin merkezinde bulunur.

nerede M ve m güneşin ve gezegenin kütleleridir, r- aralarındaki mesafe, G\u003d 6.67 10 -11 N m 2 / kg 2 - yerçekimi sabiti. Newton, yerçekimi kuvvetlerinin yalnızca güneş sistemindeki gezegenlerin hareketini belirlemediğini; Evrenin herhangi bir cismi arasında hareket ederler. Özellikle, Dünya yüzeyine yakın cisimlere etki eden yerçekimi kuvvetinin yerçekimi doğası olduğu zaten söylenmiştir.

Gördüğünüz gibi, hareketler her zaman dairesel ve tekdüzedir. Copernicus, Dünya ve Ay dışında her zaman episitleri kullanır. Dünya, Güneş'in etrafında dönerken gösterilmiştir, ancak gerçekte, aşağıdaki şekilde görüleceği gibi, yörüngesinin merkezi yıldıza yakındır. Ay onların etrafında dönüyor ve ikisinin de destanı yok. Sabit yıldızların konumları ölçekli değildir, aslında çok daha uzak bir mesafeye yerleştirilmelidirler. Bir sonraki şekil, Dünya'nın Mars'ın hareketine olan hareketini ifade eder. İçinde Dünya'nın, Güneş'in merkeziyle çakışmayan bir nokta merkezli bir iç daire içinde dolaştığı iyi bilinmektedir.

Dairesel yörüngeler için Kepler'in birinci ve ikinci yasaları otomatik olarak geçerlidir ve üçüncü yasa şunu belirtir: T 2 ~ R 3 , burada T dolaşım periyodudur, R yörüngenin yarıçapıdır. Buradan yerçekimi kuvvetinin mesafeye bağımlılığını elde etmek mümkündür. Gezegen dairesel bir yörünge boyunca hareket ettiğinde, gezegenin ve Güneş'in yerçekimi etkileşimi nedeniyle ortaya çıkan bir kuvvet üzerinde hareket eder:

Bu nokta sistemin asıl merkezidir ve adını Mean Sun'dan alır. Güneş, bunun yerine Mars'ın inişinin merkezidir. Şekil, Copernicus'un bahsettiği başka bir ayrıcalığı açıkça göstermektedir: Dünya ile aynı fikirdedir: Diğer gezegenlerin aksine, bir episiklodan yoksundur. Copernicus, Dünya'yı ortak bir gezegenin rütbesine bile düşürmez.

Dünya ve Ay'ın dış döngüleri yoktur. Sonuç olarak, Kopernik teorisinin cesur bir yenilik ile geçmişin tekno-kültürel çantası arasında bir sentez olduğunu söyleyebiliriz. Bununla birlikte, Güneş'i "neredeyse" sistemin merkezine yerleştirmek, gezegen havasındaki bariz düzensizliklerin açıklamasını büyük ölçüde kolaylaştırmayı mümkün kıldı. Ancak Batlamyus ile olan ilişki, Aristotelesçi yapılarla açık bir bağlantı göstermektedir. Kepler, Kopernik'in Ptolemy'den daha iyi bir doğa yorumcusu olacağını söylemeliydi.

Eğer bir T 2 ~ R 3 , o zaman

Yerçekimi kuvvetlerinin korunumu özelliği ( bkz. §1.10) kavramı tanıtmamıza izin verir potansiyel enerji . Evrensel yerçekimi kuvvetleri için sonsuz uzak bir noktadan potansiyel enerjiyi saymak uygundur.

Teleskopik çağın başlangıcından kısa bir süre önce, Danimarkalı gökbilimci Tycho Brahe, çıplak gözle yapılan astronomik gözlemlerde emsalsiz bir doğruluk düzeyine ulaştı. Gerçekten bilim yaptı astronomik gözlem mutlak hayatın kuralı. Kopernik'in "neredeyse" heliolating sistemini terk etmesine ve yine durağan bir Dünya olarak görmesine rağmen, onun katkısı, daha sonra Kepler'in ampirik teorisi Galileo'nun gözlemleri sayesinde tam olarak anlaşılacak olan gerçeğe ulaşmanın vazgeçilmez faktörlerinden biriydi. kanunlar ve daha sonra klasik mekaniği başlatan Newton'un dahiyane sentezi ile.

Bir kütle kütlesinin potansiyel enerjisim , uzaklıkta bulunanr hareketsiz bir kütle kütlesindenM , kütleyi hareket ettirirken yerçekimi kuvvetlerinin işine eşittirm belirli bir noktadan sonsuza

Yerçekimi alanındaki bir cismin potansiyel enerjisini hesaplamak için matematiksel prosedür, küçük yer değiştirmeler üzerinde yapılan işin toplanmasından oluşur (Şekil 1.24.5).

Dünya yine uzayın merkezindedir ve Ay ve Güneş dairesel yörüngelerde dönerler. Merkür, Venüs, Mars, Jüpiter ve Satürn güneşin etrafında dolaşır, ayrıca sabit yıldızlar. Model, eski ve yeni fikirleri uzlaştırma girişimi olarak görülebilir. Üstelik Tycho, bir fikri olsa da, Ptolemy ve Copernicus'unki gibi eksiksiz bir gezegen teorisine sahip olana kadar sistemini asla geliştirmedi. Ancak, Ay ve Güneş onların etraflarında doğrudan dönse de, diğer gezegenler Güneş'in ve onunla birlikte Dünya'nın etrafında dönerler.

Evrensel yerçekimi yasası sadece yontulmuş kütleler için değil, aynı zamanda küresel simetrik cisimler. Küçük bir yer değiştirmede yerçekimi kuvvetinin işi:

Δ'deki limitte r i→ 0, bu toplam bir integrale gider. Potansiyel enerji için yapılan hesaplamalar sonucunda ifade elde edilir.

Enerjinin korunumu yasasına göre, yerçekimi alanındaki bir cismin toplam enerjisi değişmeden kalır.

Güneş'in yörüngesi, dev dış döngülerin sapması ve gezegen yörüngeleri haline gelir. Fikirlerine rağmen, Brae'nin güneş merkezli modelin başarısına katkısı son derece önemliydi. Kepler'in keşiflerine ek olarak, gerçek bir yörüngeyi temsil eden gezegenlerin üzerinde durduğu katı toplar kavramını tamamen yok etti. Aslında, onun modelinde, Güneş'in yörüngesi, Merkür, Venüs ve Mars'ın yörüngeleriyle kesişir; bu tür gezegenler hareketlerinde eski ve daha önce hiç şüphe edilmeyen kristal toplar tarafından hareket ettirilseydi imkansız olurdu.

Üstelik, durağan olsa bile, bu rolü esas olarak Güneş üstlendiğinden, Dünya artık tüm evrenin gerçek dönme merkezi değildir. Alman Johannes Kepler bir matematikçi, gözlükçü, astronom ve beğenilen bir müzisyendi. Gezegenlerin hareketini tanımlayan ünlü üç ampirik yasayı formüle etmek için bilim tarihine girdi. Bununla birlikte, önemli nedenlerle, Kepler yasaları yalnızca gezegenlerin Güneş etrafındaki hareketinin bir tanımını verir, bize gezegenlerin neden bu şekilde hareket ettiğine dair hiçbir gösterge vermezler.

Toplam enerji pozitif ve negatif olabilir ve ayrıca sıfıra eşit olabilir. İşaret tam Enerji bir gök cismi hareketinin doğasını belirler (Şekil 1.24.6).

saat E = E 1 < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние r > r maks. Bu durumda gök cismi hareket eder. eliptik yörünge(güneş sisteminin gezegenleri, kuyruklu yıldızlar).

Birinci Kanun: Bir gezegenin Güneş'in etrafında döndüğü yörünge, Güneş'in iki ışıktan birini işgal ettiği bir elipstir. İkinci Kanun: Güneş'in merkezini gezegenin merkezine bağlayan vektör ışını, eşit zamanlarda eşit alanlarda döner. Bu, gezegenin Güneş'e en yakın olduğu zaman, uzakta olduğu zamandan daha hızlı hareket ettiği anlamına gelir.

Üçüncü Kanun: Küp Oranı büyük yarım yörünge ekseni ve dönüş periyodunun karesi tüm gezegenler için geçerli bir sabittir. Bu yasa çok önemlidir: Aslında, gezegenlerin Güneş etrafındaki dönüş sürelerini ölçmek çok kolaydır, bu nedenle bir gezegenin Güneş'e olan mesafesini bilmek, diğer tüm gezegenlerin Güneş'ten olan mesafelerini hemen hesaplamak için yeterlidir. gezegenler.

saat E = E 2 = 0 cisim sonsuza kadar hareket edebilir. Cismin sonsuzdaki hızı sıfır olacaktır. Vücut birlikte hareket eder parabolik yörünge.

saat E = E boyunca 3 > 0 hareket oluşur hiperbolik yörünge. Vücut, bir kinetik enerji kaynağına sahip olarak sonsuza doğru hareket eder.

Kepler yasaları yalnızca gezegenlerin ve diğer gezegenlerin hareketine uygulanmaz. gök cisimleri güneş sisteminde değil, aynı zamanda yapay Dünya uydularının ve uzay araçlarının hareketine de. Bu durumda, ağırlık merkezi Dünya'dır.

İlk kozmik hız uydunun Dünya yüzeyine yakın dairesel bir yörüngedeki hızıdır.

buradan

ikinci kozmik hız rapor edilecek minimum hız denir uzay gemisi dünyanın yüzeyinde, böylece dünyanın yerçekimini aşarak Güneş'in yapay bir uydusuna (yapay gezegen) dönüşür. Bu durumda, gemi parabolik bir yörünge boyunca Dünya'dan uzaklaşacaktır.

buradan

Pirinç. 1.24.7 kozmik hızları gösterir. Uzay aracının hızı υ 1 = 7.9·10 3 m/s ise ve Dünya yüzeyine paralel yönlendiriliyorsa, uzay aracı Dünya'nın üzerinde alçak bir irtifada dairesel bir yörüngede hareket edecektir. υ 1'i aşan fakat υ 2 = 11.2·10 3 m/s'den küçük ilk hızlarda, geminin yörüngesi elips şeklinde olacaktır. υ 2'lik bir başlangıç hızında, gemi bir parabol boyunca ve daha da yüksek bir başlangıç hızında bir hiperbol boyunca hareket edecektir.

Kozmik cisimlerin hareketi insan tarafından çok uzun zamandır gözlemlenmiştir. Ayrıca Antik Yunan Güneş sistemindeki gezegenlerin güneş etrafındaki hareketinin modelleri icat edildi. Bu modeller çok karmaşıktı, gezegenlerin gökyüzündeki görünür hareketi çok karmaşık çizgilerle tanımlandığından, bunlara epicycles deniyordu. Evreni tanımlamaya yönelik ilk girişim, MS 2. yüzyılda antik Yunanistan'da Ptolemy tarafından yapılmıştır (Şekil 1).

Pirinç. 1. K. Ptolemy'nin yer merkezli modeli ()

Dünya'yı Evrenin merkezine yerleştirmeyi önerdi ve gezegenlerin hareketleri, Ptolemy'nin episiklleri olarak adlandırılan büyük ve küçük daireler tarafından tanımlandı.

16. yüzyıla kadar Kopernik, Ptolemy'nin dünya merkezli modelini güneş merkezli bir modelle değiştirmeyi önermedi. Yani, Güneş'i Evrenin merkezine yerleştirin ve tüm gezegenlerin ve Dünya'nın onlarla birlikte Güneş'in etrafında hareket ettiğini varsayalım (Şekil 2).

Pirinç. 2. güneş merkezli model N. Kopernik ()

17. yüzyılın başında, Danimarkalı gökbilimci Tycho Brahe tarafından alınan çok miktarda astronomik bilgiyi işleyen Alman gökbilimci Johannes Kepler, o zamandan beri Kepler yasaları olarak adlandırılan kendi ampirik yasalarını önerdi.

tüm gezegenler Güneş Sistemi elips adı verilen bazı eğriler boyunca hareket edin. Bir elips, ikinci dereceden eğri olarak adlandırılan en basit matematiksel eğrilerden biridir. Orta Çağ'da bunlara konik kavşaklar deniyordu - belirli bir düzlemde bir koni veya silindiri geçerseniz, güneş sisteminin gezegenlerinin hareket ettiği eğriyi elde ederiz.

Pirinç. 3. Gezegensel hareketin eğrisi ()

Bu eğri (Şekil 3) odak olarak adlandırılan iki vurgulanmış noktaya sahiptir. Elipsin her noktası için, ondan odaklara olan mesafelerin toplamı aynıdır. Bu odaklardan birinde Güneş'in merkezi (F), eğrinin Güneş'e en yakın noktasına (P) günberi, en uzak noktasına (A) günötesi denir. Periheliondan elipsin merkezine olan mesafeye yarı büyük eksen denir ve elipsin merkezinden elipse olan dikey mesafeye elipsin küçük yarı ekseni denir.

Gezegen elips boyunca hareket ederken, Güneş'in merkezini bu gezegene bağlayan yarıçap vektörü belirli bir alanı tanımlar. Örneğin, gezegenin bir noktadan diğerine hareket ettiği ∆t süresi boyunca, yarıçap vektörü belirli bir ∆S alanını tanımladı.

Pirinç. 4. Kepler'in ikinci yasası ()

Kepler'in ikinci yasası şöyle der: aynı zaman aralıkları için gezegenlerin yarıçap vektörleri aynı alanları tanımlar.

Şekil 4, ∆Θ açısını gösterir, bu, yarıçap vektörünün bir süre ∆t dönme açısı ve yörüngeye teğet olarak yönlendirilen gezegenin momentumu () iki bileşene ayrılır - yarıçap vektörü boyunca momentum bileşeni () ve momentum bileşeni, yarıçap vektörüne (⊥) dik yönde.

Kepler'in ikinci yasasına bağlı hesaplamalar yapalım. Kepler'in eşit alanların eşit aralıklarla kapsandığını söylemesi, bu niceliklerin oranının sabit olduğu anlamına gelir. Bu miktarların oranına genellikle sektörel hız denir, bu yarıçap vektörünün konumundaki değişim oranıdır. ∆t zamanında yarıçap vektörü tarafından süpürülen ∆S alanı nedir? Bu, yüksekliği yaklaşık olarak yarıçap vektörüne eşit ve tabanı yaklaşık olarak r ∆ω olan bir üçgenin alanıdır, bu ifadeyi kullanarak ∆S değerini taban başına yüksekliğin ½'si olarak yazıp bölüyoruz. ∆t ile şu ifadeyi elde ederiz:

Bu açı değişim hızı, yani açısal hızdır.

Son sonuç:

Güneş'in merkezine olan uzaklığın karesi, hareketin açısal hızı ile çarpılır. şu an zaman sabit bir değerdir.

Ancak r 2 ω ifadesini m cismin kütlesiyle çarparsak, yarıçap vektörünün uzunluğunun ve yarıçap vektörüne çapraz yöndeki momentumun ürünü olarak temsil edilebilecek bir değer elde ederiz:

Yarıçap vektörünün ve momentumun dikey bileşeninin çarpımına eşit olan bu değere momentum momenti denir.

Kepler'in ikinci yasası, yerçekimi alanındaki momentum momentinin korunan bir nicelik olduğu ifadesidir. Bu, basit ama çok önemli bir ifadeyi ima eder: en az ve en büyük mesafe Güneş'in merkezine, yani günötesi ve günberi, hız yarıçap vektörüne dik olarak yönlendirilir, dolayısıyla yarıçap vektörünün çarpımı ve bir noktadaki hız, başka bir noktada bu ürüne eşittir.

Kepler'in üçüncü yasası, bir gezegenin Güneş etrafındaki dönüş süresinin karesinin, yarı ana eksenin küpüne oranının, güneş sistemindeki tüm gezegenler için aynı değer olduğunu belirtir.

Pirinç. 5. Gezegenlerin keyfi yörüngeleri ()

Şekil 5, iki rastgele gezegen yörüngesini göstermektedir. Biri yarı eksen uzunluğuna (a) sahip açık bir elips biçimine sahiptir, ikincisi yarıçapı (R) olan bir daire biçimine, bu yörüngelerden herhangi biri boyunca dönüş süresine, yani dönüş periyoduna sahiptir. , yarı eksen uzunluğu veya yarıçapı ile ilişkilidir. Ve elips bir daireye dönüşürse, o zaman yarı ana eksen bu dairenin yarıçapı olur. Kepler'in üçüncü yasası, yarı ana eksenin uzunluğunun dairenin yarıçapına eşit olması durumunda, gezegenlerin Güneş etrafındaki dönüş periyotlarının aynı olacağını belirtir.

Bir daire durumunda, bu oran Newton'un ikinci kanunu ve bir daire içindeki bir cismin hareket kanunu kullanılarak hesaplanabilir, bu sabit 4π 2 bölü evrensel yerçekimi sabiti (G) ve Güneş'in kütlesi ( M).

Böylece, Newton'un yaptığı gibi yerçekimi etkileşimlerini genelleştirirsek ve tüm cisimlerin yerçekimi etkileşimine katıldığını varsayarsak, Kepler yasalarının uyduların Dünya etrafındaki hareketine, uyduların herhangi bir başka gezegen etrafındaki hareketine kadar genişletilebileceği görülebilir. , ve hatta uyduların Ay'ın ayın merkezi etrafındaki hareketine. Bu formülün sadece sağ tarafında M harfi uyduları çeken cismin kütlesini ifade edecektir. Belirli bir uzay nesnesinin tüm uyduları, dönüş periyodunun (T 2) karesinin yarı ana eksenin (a 3) küpüne oranı aynı olacaktır. Bu yasa genel olarak Evrendeki tüm cisimlere ve hatta Galaksimizi oluşturan yıldızlara kadar genişletilebilir.

20. yüzyılın ikinci yarısında Galaksimizin merkezine yeterince uzak olan bazı yıldızların bu Kepler yasasına uymadığı fark edildi. Bu, yerçekiminin Galaksimizin boyutunda nasıl çalıştığı hakkında her şeyi bilmediğimiz anlamına gelir. Uzak yıldızların neden Kepler'in üçüncü yasasının gerektirdiğinden daha hızlı hareket ettiğinin olası bir açıklaması, galaksinin tüm kütlesini görmememizdir. Bunun önemli bir kısmı, cihazlarımız tarafından gözlemlenmeyen, elektromanyetik olarak etkileşime girmeyen, ışık yaymayan veya absorbe etmeyen, sadece yerçekimi etkileşimine katılan bir maddeden oluşabilir. Böyle bir maddeye gizli kütle veya karanlık madde adı verildi. Karanlık madde sorunu, 21. yüzyılın fiziğinin temel sorunlarından biridir.

Bir sonraki dersin konusu: sistemler maddi noktalar, kütle merkezi, kütle merkezinin hareket yasası.

bibliyografya