makalenin içeriği

KONİK BÖLÜMLER, bir dik dairesel koninin tepesinden geçmeyen bir düzlemle kesişmesiyle elde edilen düzlem eğrileri (Şekil 1). Analitik geometri açısından, bir konik bölüm, ikinci dereceden bir denklemi sağlayan noktaların geometrik yeridir. Son bölümde tartışılan dejenere durumlar dışında, konik kesitler elipsler, hiperboller veya parabollerdir.

Konik bölümler genellikle doğada ve teknolojide bulunur. Örneğin Güneş'in etrafında dönen gezegenlerin yörüngeleri elipstir. Daire, büyük eksenin küçük eksene eşit olduğu bir elipsin özel bir halidir. Bir parabolik ayna, eksenine paralel gelen tüm ışınların bir noktada (odak) birleşmesi özelliğine sahiptir. Bu, parabolik aynalar kullanan çoğu yansıtıcı teleskopta ve ayrıca radar antenlerinde ve parabolik reflektörlü özel mikrofonlarda kullanılır. Parabolik bir yansıtıcının odağına yerleştirilmiş bir ışık kaynağından paralel ışın demeti çıkar. Bu nedenle, güçlü spot ışıklarında ve araba farlarında parabolik aynalar kullanılır. Bir hiperbol, birçok önemli noktanın grafiğidir. fiziksel oranlarörneğin Boyle yasası (basınç ve hacmi birbirine bağlayan Ideal gaz) ve Ohm kanunu elektrik sabit voltajda direncin bir fonksiyonu olarak.

ERKEN TARİH

Konik bölümleri keşfeden kişi, Platon'un öğrencisi ve Büyük İskender'in öğretmeni olan Menechmus'tur (MÖ 4. yy). Menechmus, bir küpü ikiye katlama problemini çözmek için bir parabol ve bir ikizkenar hiperbol kullandı.

4. yüzyılın sonlarında Aristaeus ve Euclid tarafından yazılan konik kesitler üzerine risaleler. M.Ö., kayboldu, ancak onlardan gelen malzemeler ünlülere dahil edildi. konik bölümler Pergalı Apollonius (M.Ö. 260-170) günümüze kadar gelebilmiştir. Apollonius, koninin generatrisinin sekant düzleminin dik olması gerekliliğini terk etti ve eğim açısını değiştirerek, düz veya eğimli bir dairesel koniden tüm konik kesitleri elde etti. Apollonius'a borçluyuz modern isimler eğriler - elips, parabol ve hiperbol.

Apollonius, yapılarında iki tabakalı dairesel bir koni kullandı (Şekil 1'deki gibi), böylece ilk kez bir hiperbolün iki kollu bir eğri olduğu anlaşıldı. Apollonius zamanından beri konik kesitler, kesme düzleminin koninin generatrisine olan eğimine bağlı olarak üç tipe ayrılmıştır. Elips (Şekil 1, a) kesme düzlemi, koninin tüm generatrixlerini boşluğundan birinin noktalarında kestiğinde oluşur; parabol (Şekil 1, b) - kesme düzlemi koninin teğet düzlemlerinden birine paralel olduğunda; abartma (Şek. 1, içinde) - kesme düzlemi koninin her iki boşluğunu kestiğinde.

KONİK KESİT İNŞAATI

Eski Yunan matematikçiler, konik kesitleri düzlem ve konilerin kesişimi olarak incelerken, bunları bir düzlemdeki noktaların yörüngeleri olarak da değerlendirdiler. Bir elipsin, verilen iki noktaya olan uzaklıkların toplamı sabit olan noktaların yeri olarak tanımlanabileceği bulundu; parabol - belirli bir noktadan ve belirli bir çizgiden eşit uzaklıkta bulunan noktaların yeri olarak; hiperbol - noktaların yeri olarak, verilen iki noktaya olan uzaklık farkı sabittir.

Düzlem eğriler olarak konik bölümlerin bu tanımları, onları gerilmiş bir iplik kullanarak oluşturmanın bir yolunu da önerir.

Elips.

Belirli bir uzunluktaki bir ipliğin uçları noktalara sabitlenirse F 1 ve FŞekil 2'de (Şek. 2), sıkıca gerilmiş bir iplik boyunca kayan bir kalemin ucunun tarif ettiği eğri bir elips şekline sahiptir. puan F 1 ve F 2'ye elipsin odakları denir ve bölümler V 1 V 2 ve v 1 v 2 elipsin koordinat eksenleriyle kesişme noktaları arasında - büyük ve küçük eksenler. puanlar ise F 1 ve F 2 çakışıyor, sonra elips bir daireye dönüşüyor.

Hiperbol.

Bir hiperbol oluştururken, bir nokta P, bir kalemin ucu, noktalara takılan mandallar boyunca serbestçe kayan bir ipliğe sabitlenir F 1 ve FŞekil 2'de gösterildiği gibi. 3, a. Mesafeler, segmentin PF 2 segmentten daha uzun PF 1 mesafeden daha az sabit bir miktarda F 1 F 2. Bu durumda ipliğin bir ucu dübelin altından geçer. F 1 ve ipliğin her iki ucu mandalın üzerinden geçer F 2. (Kalem ucu iplik boyunca kaymamalıdır, bu nedenle ipliğe küçük bir ilmek yaparak ve ucu içine geçirerek sabitlemeniz gerekir.) Hiperbolün bir dalı ( PV 1 Q) çekiyoruz, ipliğin her zaman gergin kaldığından emin olarak ve ipliğin her iki ucunu noktayı geçecek şekilde aşağı doğru çekerek F 2 ve ne zaman nokta Pçizginin altında olacak F 1 F 2, ipliği her iki ucundan tutarak ve dikkatlice gevşetin (yani serbest bırakın). Hiperbolün ikinci dalı ( Pў V 2 Qў) mandalların rollerini daha önce değiştirmiş olarak çiziyoruz F 1 ve F 2 .

Hiperbolün dalları, dallar arasında kesişen iki düz çizgiye yaklaşır. Hiperbolün asimptotları olarak adlandırılan bu çizgiler, Şekil 2'de gösterildiği gibi oluşturulmuştur. 3, b. eğimler bu çizgiler ± ( v 1 v 2)/(V 1 V 2) nerede v 1 v 2 - segmente dik asimptotlar arasındaki açının bisektörünün bir segmenti F 1 F 2; çizgi segmenti v 1 v 2'ye hiperbolün eşlenik ekseni denir ve segment V 1 V 2 - enine ekseni. Asimptotlar, kenarları dört noktadan geçen bir dikdörtgenin köşegenleridir. v 1 , v 2 , V 1 , V 2 eksene paralel. Bu dikdörtgeni oluşturmak için noktaların konumunu belirtmeniz gerekir. v 1 ve v 2. Aynı mesafedeler, eşit

eksenlerin kesiştiği noktadan Ö. Bu formül, ayakları olan bir dik üçgenin oluşturulmasını içerir. Ov 1 ve V 2 Ö ve hipotenüs F 2 Ö.

Hiperbolün asimptotları birbirine dik ise, hiperbol ikizkenar olarak adlandırılır. Ortak asimptotlara sahip, ancak yeniden düzenlenmiş enine ve eşlenik eksenleri olan iki hiperbol, karşılıklı eşlenik olarak adlandırılır.

Parabol.

Elips ve hiperbolün odakları Apollonius tarafından biliniyordu, ancak görünüşe göre parabolün odağı ilk olarak bu eğriyi belirli bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların yeri olarak tanımlayan Pappus (3. yüzyılın 2. yarısı) tarafından kuruldu ( odak) ve yönetmen olarak adlandırılan belirli bir düz çizgi. Pappus tanımına dayanan gerilmiş bir iplik kullanarak bir parabol yapımı, Miletli Isidore (6. yüzyıl) tarafından önerildi. Cetveli, kenarı directrix ile çakışacak şekilde konumlandırın LLў (Şek. 4) ve ayağı bu kenara tutturun ACçizim üçgeni ABC. İpliğin bir ucunu bir uzunlukla sabitliyoruz AB tepede Büçgen ve diğeri parabolün odağında F. İpliği bir kalemin ucuyla çekerek ucu değişken bir noktada bastırın Pücretsiz paten için ABçizim üçgeni. Üçgen cetvel boyunca hareket ettikçe nokta P odaklı bir parabolün yayını tarif edecek F ve müdire LLў, ipliğin toplam uzunluğu şuna eşit olduğundan AB, ipliğin parçası üçgenin serbest ayağına bitişiktir ve bu nedenle ipliğin kalan parçası PF bacağın geri kalanına eşit olmalı AB, yani PA. Kesişim noktası V ekseni olan bir parabole, içinden geçen düz bir çizgi olan parabolün tepe noktası denir. F ve V, parabolün eksenidir. Odak noktasından eksene dik bir doğru çizilirse, bu doğrunun parabol tarafından kesilen parçasına odak parametresi denir. Bir elips ve bir hiperbol için odak parametresi benzer şekilde tanımlanır.

KONİK KESİTLERİN ÖZELLİKLERİ

Pappus tanımları.

Parabolün odağını oluşturmak Pappus'u genel olarak konik kesitlerin alternatif bir tanımını verme fikrine götürdü. İzin vermek F – verilen nokta(odak) ve L geçmeyen belirli bir düz çizgidir (directrix). F, ve D F ve DL- hareket noktasından uzaklık P Odaklanmak F ve yönetmenler L sırasıyla. Daha sonra, Papp'in gösterdiği gibi, konik kesitler noktaların yeri olarak tanımlanır. P, hangi oran için D F/DL negatif olmayan bir sabittir. Bu orana eksantriklik denir. e konik bölüm. saat e e > 1 bir hiperboldür; de e= 1 bir paraboldür. Eğer bir Füzerinde yatıyor L, o zaman yer, dejenere konik bölümler olan çizgiler (gerçek veya hayali) biçimine sahiptir.

Elips ve hiperbolün göze çarpan simetrisi, bu eğrilerin her birinin iki doğrultucu ve iki odak noktası olduğunu düşündürür ve bu durum 1604'te Kepler'i parabolün ikinci bir odağı ve ikinci bir doğrultusu -sonsuzda bir nokta- olduğu fikrine götürdü. dümdüz. Benzer şekilde daire, odakları merkezle çakışan ve doğrultuları sonsuzda olan bir elips olarak düşünülebilir. eksantriklik e bu durumda sıfırdır.

Dandelin'in tasarımı.

Aşağıdaki yapıyı öneren Belçikalı matematikçi ve mühendis J. Dandelin'in (1794-1847) onuruna Dandelin küreleri (toplar) olarak adlandırılan bir koni içine oyulmuş küreler kullanılarak bir konik bölümün odakları ve doğrultmacaları açıkça gösterilebilir. Konik bölüm bir düzlemin kesişmesiyle oluşturulsun p bir noktada tepesi olan iki boşluklu dik dairesel koni ile Ö. Bu koniye iki küre yazalım S 1 ve S 2 uçağa dokunan p noktalarda F 1 ve F 2 sırasıyla. Konik kısım bir elips ise (Şekil 5, a), o zaman her iki küre de aynı boşluğun içindedir: bir küre düzlemin üzerinde bulunur p ve diğeri onun altında. Koninin her bir generatrisi her iki küreye de dokunur ve temas noktalarının yeri iki daire şeklindedir. C 1 ve C 2 paralel düzlemlerde bulunur p 1 ve p 2. İzin vermek P bir konik bölüm üzerinde keyfi bir noktadır. düz çizelim PF 1 , PF 2 ve çizgiyi uzat PO. Bu çizgiler noktalardaki kürelere teğettir. F 1 , F 2 ve R 1 , R 2. Küreye bir noktadan çizilen tüm teğetler eşit olduğundan, PF 1 = halkla ilişkiler 1 ve PF 2 = halkla ilişkiler 2. Sonuç olarak, PF 1 + PF 2 = halkla ilişkiler 1 + halkla ilişkiler 2 = R 1 R 2. uçaklardan beri p 1 ve p 2 paralel, segment R 1 R 2 sabit uzunluktadır. Böylece, değer halkla ilişkiler 1 + halkla ilişkiler 2, tüm nokta konumları için aynıdır P ve nokta P uzaklıklarının toplamının bulunduğu noktaların yerine aittir. Pönceki F 1 ve F 2 sabittir. Bu nedenle, noktalar F 1 ve F 2 - eliptik bölümün odakları. Ek olarak, düzlemin hangi çizgide olduğu gösterilebilir. p uçağı geçer p 1 ve p 2 , oluşturulmuş elipsin doğrultmalarıdır. Eğer bir p koninin her iki boşluğunu da geçer (Şek. 5, b), sonra iki Dandelin küresi düzlemin aynı tarafında yer alır. p, koninin her boşluğunda bir küre. Bu durumda aradaki fark PF 1 ve PF 2 sabittir ve noktaların yeri P odakları olan bir hiperbol şeklindedir F 1 ve F 2 ve düz çizgiler - kesişme çizgileri pİle birlikte p 1 ve p 2 - yönetmen olarak. Şekilde gösterildiği gibi konik kısım bir parabol ise. 5, içinde, o zaman koniye yalnızca bir Dandelin küresi yazılabilir.

Diğer özellikler.

Konik bölümlerin özellikleri gerçekten tükenmezdir ve bunlardan herhangi biri belirleyici olarak alınabilir. önemli yer Matematiksel toplantı baba (yak. 300), geometriler Descartes (1637) ve Başlangıçlar Newton (1687), dört doğruya göre noktaların geometrik yeri problemiyle ilgilenir. Düzlemde dört düz çizgi verilirse L 1 , L 2 , L 3 ve L 4 (ikisi eşleşebilir) ve bir nokta P uzaklıkların ürünü olacak şekildedir Pönceki L 1 ve L 2, uzaklıkların çarpımı ile orantılıdır. Pönceki L 3 ve L 4 , sonra noktaların yeri P bir konik bölümdür. Apollonius ve Pappus'un dört doğruya göre noktaların yeri problemini çözemediklerine inanarak, bir çözüm elde etmek ve genelleştirmek için Descartes, analitik geometriyi yarattı.

ANALİTİK YAKLAŞIM

Cebirsel sınıflandırma.

Cebirsel terimlerle, konik kesitler, Kartezyen koordinatları ikinci dereceden bir denklemi sağlayan düzlem eğrileri olarak tanımlanabilir. Başka bir deyişle, tüm konik bölümlerin denklemi şu şekilde yazılabilir: Genel görünüm nasıl

tüm katsayılar olmadığında A, B ve C sıfıra eşittir. Eksenlerin paralel ötelenmesi ve döndürülmesi yardımıyla denklem (1) şu şekle indirgenebilir.

balta 2 + ile 2 + c = 0

piksel 2 + qy = 0.

İlk denklem denklem (1) ile elde edilir. B 2 № AC, ikinci - B 2 = AC. Denklemleri birinci forma indirgenmiş konik kesitlere merkezi denir. İkinci tip denklemlerle verilen konik bölümler q 0, merkezi olmayan olarak adlandırılır. Bu iki kategori içerisinde, katsayıların işaretlerine bağlı olarak dokuz farklı tipte konik kesit bulunmaktadır.

2831) ben a, b ve c aynı işarete sahipse, koordinatları denklemi sağlayacak hiçbir gerçek nokta yoktur. Böyle bir konik bölüme hayali elips (veya hayali bir daire varsa) denir. a = b).

2) Eğer a ve b bir işareti var ve c- tersi, o zaman konik bölüm bir elipstir (Şekil 1, a); de a = b- daire (Şek. 6, b).

3) Eğer a ve b farklı işaretlere sahipse, konik bölüm bir hiperboldür (Şekil 1, içinde).

4) Eğer a ve b farklı işaretlere sahip ve c= 0, o zaman konik bölüm kesişen iki düz çizgiden oluşur (Şekil 6, a).

5) Eğer a ve b bir işareti var ve c= 0 ise, denklemi sağlayan eğri üzerinde yalnızca bir gerçek nokta vardır ve konik bölüm iki hayali kesişen doğrudur. Bu durumda, bir noktaya daralmış bir elipsten de söz edilir. a = b, bir daire noktasına kadar daralmış (Şek. 6, b).

6) eğer a, veya b sıfıra eşittir ve kalan katsayılar farklı işaretlere sahiptir, o zaman konik bölüm iki paralel çizgiden oluşur.

7) eğer a, veya b sıfıra eşittir ve kalan katsayılar aynı işarete sahipse, denklemi sağlayan gerçek bir nokta yoktur. Bu durumda konik bölümün iki hayali paralel çizgiden oluştuğu söylenir.

8) eğer c= 0 ve ya a, veya b ayrıca sıfıra eşitse, konik bölüm iki gerçek çakışan çizgiden oluşur. (Denklem, herhangi bir konik bölümü tanımlamaz. a = b= 0, çünkü bu durumda orijinal denklem (1) ikinci dereceden değildir.)

9) İkinci tip denklemler, aşağıdaki durumlarda parabolleri tanımlar: p ve q sıfırdan farklıdır. Eğer bir p 0 ve q= 0, 8. maddeden eğriyi elde ederiz. Öte yandan, eğer, p= 0 ise, orijinal denklem (1) ikinci dereceden olmadığı için denklem herhangi bir konik bölümü tanımlamaz.

Konik kesitlerin denklemlerinin türetilmesi.

Herhangi bir konik bölüm, bir düzlemin ikinci dereceden bir yüzeyle kesiştiği bir eğri olarak da tanımlanabilir, yani. ikinci dereceden denklem tarafından verilen yüzey ile f (x, y, z) = 0. Görünüşe göre, konik bölümler ilk önce bu formda tanındı ve isimleri ( aşağıya bakınız) koni ile düzlemi geçerek elde edilmiş olmaları ile ilgilidir. z 2 = x 2 + y 2. İzin vermek ABCD- üstte dik açılı bir dik dairesel koninin tabanı (Şekil 7) V. Uçağa izin ver FDC kesişen generatrix VB noktada F, taban düz bir çizgide CD ve koninin yüzeyi - eğri boyunca DFPC, nerede P eğri üzerindeki herhangi bir noktadır. Segmentin ortasından çizin CD- puan E- doğrudan EF ve çap AB. nokta aracılığıyla P koniyi bir daire içinde kesen koninin tabanına paralel bir düzlem çizin RPS ve doğrudan EF noktada Q. O zamanlar QF ve QP apsis için sırasıyla alınabilir x ve koordine y puan P. Ortaya çıkan eğri bir parabol olacaktır.

Şekil l'de gösterilen yapı. 7, çıkış için kullanılabilir genel denklemler konik bölümler. Çapın herhangi bir noktasından daire ile kesişme noktasına geri yüklenen bir dik parçanın uzunluğunun karesi, her zaman çapın bölümlerinin uzunluklarının ürününe eşittir. Bu yüzden

y 2 = RQ H QS.

Bir parabol için, bir segment RQ sabit bir uzunluğa sahiptir (çünkü noktanın herhangi bir konumu için P bu segmente eşittir AE) ve segmentin uzunluğu QS orantılı x(ilişkiden QS/EB = QF/F.E.). Bu nedenle şu şekildedir:

nerede a – sabit faktör. Sayı a parabolün odak parametresinin uzunluğunu ifade eder.

Koninin tepesindeki açı dar ise, segment RQ kesmeye eşit değil AE; ama oran y 2 = RQ H QS formun bir denklemine eşdeğerdir

nerede a ve b sabitlerdir veya eksenleri denkleme kaydırdıktan sonra

bu bir elipsin denklemidir. Eksen ile elipsin kesişim noktaları x (x = a ve x = –a) ve elipsin eksen ile kesişme noktaları y (y = b ve y = –b) sırasıyla büyük ve küçük eksenleri tanımlar. Koninin tepe noktasındaki açı genişse, koninin ve düzlemin kesişme eğrisi bir hiperbol biçimindedir ve denklem aşağıdaki biçimi alır:

veya eksenleri hareket ettirdikten sonra,

Bu durumda eksen ile kesişme noktaları x, bağıntı tarafından verilen x 2 = a 2 , enine ekseni ve eksenle kesişme noktalarını tanımlayın y, bağıntı tarafından verilen y 2 = –b 2 çiftleşme eksenini tanımlayın. sabit ise a ve b(4a) denkleminde eşittir, o zaman hiperbol ikizkenar olarak adlandırılır. Eksenleri döndürerek denklemi forma indirgenir.

xy = k.

Şimdi (3), (2) ve (4) denklemlerinden Apollonius'un üç ana konik bölüme verdiği isimlerin anlamını anlayabiliriz. "Elips", "parabol" ve "hiperbol" terimleri, "eksik", "eşit" ve "üstün" anlamına gelen Yunanca kelimelerden gelir. (3), (2) ve (4) denklemlerinden, bir elips için y 2 b 2 / a) x, parabol için y 2 = (a) x ve hiperbol için y 2 > (2b 2 /a) x. Her durumda, parantez içine alınan değer, eğrinin odak parametresine eşittir.

Apollonius'un kendisi sadece üç genel tip konik bölümler (yukarıda listelenen 2, 3 ve 9 tipleri), ancak yaklaşımı, tüm gerçek ikinci dereceden eğrileri dikkate almamıza izin veren bir genellemeye izin verir. Kesme düzlemi koninin dairesel tabanına paralel seçilirse, kesit bir daire olacaktır. Kesme düzleminin koni ile tek bir ortak noktası varsa, yani tepe noktası, o zaman tip 5'in bir kesiti elde edilecektir; bir tepe noktası ve koniye bir teğet içeriyorsa, o zaman 8 tipi bir bölüm elde ederiz (Şekil 6, b); kesme düzlemi koninin iki jeneratörünü içeriyorsa, bölümde bir tip 4 eğrisi elde edilir (Şekil 6, a); tepe sonsuza aktarıldığında, koni bir silindire dönüşür ve eğer düzlem iki jeneratör içeriyorsa, o zaman tip 6'nın bir bölümü elde edilir.

Eğik bir açıdan bakıldığında, daire bir elips gibi görünür. Arşimet tarafından bilinen daire ve elips arasındaki ilişki, daire X 2 + Y 2 = a 2 ikame kullanarak X = x, Y = (a/b) y elipse dönüştürmek, denklem tarafından verilen(3 A). dönüşüm X = x, Y = (ben/b) y, nerede i 2 = –1, daire denklemini (4a) şeklinde yazmamızı sağlar. Bu, bir hiperbolün hayali bir küçük ekseni olan bir elips olarak görülebileceğini veya tersine, bir elipsin hayali bir eşlenik ekseni olan bir hiperbol olarak görülebileceğini gösterir.

Bir dairenin koordinatları arasındaki ilişki x 2 + y 2 = a 2 ve elips ( x 2 /a 2) + (y 2 /b 2) = 1 doğrudan Arşimet formülüne götürür A = ab elipsin alanı için. Kepler yaklaşık formülü biliyordu p(a + b) bir daireye yakın bir elipsin çevresi için, ancak kesin ifade sadece 18. yüzyılda elde edildi. eliptik integrallerin tanıtılmasından sonra. Arşimet'in gösterdiği gibi, bir parabolik parçanın alanı, yazılı bir üçgenin alanının üçte dördü kadardır, ancak bir parabol yayının uzunluğu ancak 17. yüzyıldan sonra hesaplanabilir. diferansiyel hesap icat edildi.

PROJEKTİF YAKLAŞIM

Projektif geometri, perspektifin inşasıyla yakından ilgilidir. Saydam bir kağıda bir daire çizer ve bir ışık kaynağının altına yerleştirirseniz, bu daire aşağıdaki düzleme yansıtılacaktır. Bu durumda, ışık kaynağı doğrudan dairenin merkezinin üzerinde bulunuyorsa ve düzlem ile saydam tabaka paralel ise, o zaman izdüşüm de bir daire olacaktır (Şekil 8). Işık kaynağının konumuna kaybolma noktası denir. Harf ile işaretlenmiştir V. Eğer bir V dairenin merkezinin üzerinde yer almazsa veya düzlem kağıda paralel değilse, dairenin izdüşümü elips şeklini alır. Düzlemin daha da büyük bir eğimi ile elipsin ana ekseni (dairenin izdüşümü) uzar ve elips yavaş yavaş bir parabole dönüşür; düz bir çizgiye paralel bir düzlemde başkan yardımcısı, izdüşüm bir parabol gibi görünüyor; daha da büyük bir eğimle, projeksiyon hiperbolün dallarından birinin şeklini alır.

Orijinal daire üzerindeki her nokta, izdüşümdeki bir noktaya karşılık gelir. İzdüşüm bir parabol veya hiperbol şeklindeyse, o noktaya karşılık gelen noktanın olduğunu söylerler. P, sonsuzda veya sonsuzda.

Gördüğümüz gibi, uygun bir kaçış noktası seçimiyle, bir daire çeşitli boyutlarda ve çeşitli eksantrikliklerde elipslere yansıtılabilir ve ana eksenlerin uzunlukları, yansıtılan dairenin çapıyla doğrudan ilişkili değildir. Bu nedenle, projektif geometri, kendi başına mesafeler veya uzunluklarla ilgilenmez, görevi, projeksiyon altında korunan uzunlukların oranını incelemektir. Bu ilişki aşağıdaki yapı kullanılarak bulunabilir. herhangi bir noktadan P düzlem herhangi bir daireye iki teğet çizer ve temas noktalarını düz bir çizgi ile bağlarız p. Noktadan bir doğru daha geçsin P, çemberi noktalarda keser C 1 ve C 2, ancak düz çizgi p- noktada Q(Şek. 9). Planimetri bunu kanıtlıyor bilgisayar 1 /bilgisayar 2 = –kalite kontrol 1 /kalite kontrol 2. (Eksi işareti, segmentin yönü nedeniyle oluşur. kalite kontrol 1 diğer bölümlerin yönlerine zıttır.) Başka bir deyişle, noktalar P ve Q segmenti bölmek C 1 C 2 aynı açıdan harici ve dahili olarak; ayrıca dört parçanın harmonik oranının - 1 olduğunu söylerler. Daire bir konik bölüme yansıtılırsa ve karşılık gelen noktalar için aynı gösterimler tutulursa, harmonik oran ( bilgisayar 1)(kalite kontrol 2)/(bilgisayar 2)(kalite kontrol 1) eşit kalacak - 1. Puan Pçizginin direği denir p bir konik bölüm ve düz bir çizgi ile ilgili olarak p- kutup noktası P konik bölüm ile ilgili olarak.

ne zaman nokta P bir konik bölüme yaklaştığında, kutup bir teğet konumunu alma eğilimindedir; eğer nokta P konik bölüm üzerinde uzanır, daha sonra kutup noktası, konik bölüme teğet ile çakışır. P. Eğer nokta P konik bölümün içinde bulunursa, kutupları aşağıdaki gibi oluşturulabilir. noktayı geçelim P bir konik bölümü iki noktada kesen herhangi bir düz çizgi; kesişme noktalarında konik bölüme teğet çizin; bu teğetlerin bir noktada kesiştiğini varsayalım P bir . noktayı geçelim P konik bölümü diğer iki noktada kesen başka bir düz çizgi; bu yeni noktalarda konik bölüme teğetlerin şu noktada kesiştiğini varsayalım. P 2 (Şek. 10). Noktalardan geçen çizgi P 1 ve P 2 ve istenen kutup var p. Eğer nokta P merkeze yaklaşıyor Ö merkezi konik bölüm, ardından kutup p uzaklaşır Ö. ne zaman nokta P ile çakışır Ö, sonra kutupları düz düzlemde sonsuzda veya idealde olur.

ÖZEL BİNALAR

Gökbilimciler için özellikle ilgi çekici olan, bir pusula ve cetvel kullanarak bir elipsin noktalarının aşağıdaki basit yapısıdır. Bir noktadan rastgele bir çizgi geçsin Ö(Şek. 11, a), noktalarda kesişir Q ve R bir noktada ortalanmış iki eşmerkezli daire Ö ve yarıçaplar b ve a, nerede b a. noktayı geçelim Q yatay çizgi ve R- dikey bir çizgi ve kesişme noktalarını belirtir P P düz dönerken OQR noktanın etrafında Ö bir elips olacaktır. Köşe fçizgi arasında OQR ve ana eksene eksantrik açı denir ve oluşturulan elips uygun bir şekilde parametrik denklemlerle belirtilir. x = açünkü f, y = b günah f. parametre hariç f, denklemi (3a) elde ederiz.

Bir hiperbol için yapı büyük ölçüde benzerdir. Bir noktadan geçen rastgele çizgi Ö, iki çemberden birini bir noktada keser R(Şek. 11, b). Diyeceğim şey şu ki R bir daire ve bitiş noktasına S başka bir dairenin yatay çapı, kesişen teğetler çiziyoruz işletim sistemi noktada T ve VEYA- noktada Q. Dikey çizginin noktadan geçmesine izin verin T ve noktadan geçen yatay bir çizgi Q, bir noktada kesişmek P. Daha sonra noktaların yeri P segmenti döndürürken VEYA etrafında Ö parametrik denklemler tarafından verilen bir hiperbol olacak x = a saniye f, y = b tg f, nerede f- eksantrik açı. Bu denklemler Fransız matematikçi A. Legendre (1752-1833) tarafından elde edildi. Parametreyi hariç tutarak f, denklem (4a) elde ederiz.

N. Copernicus (1473-1543) tarafından belirtildiği gibi bir elips, episiklik bir hareket kullanılarak oluşturulabilir. Bir daire, çapının iki katı olan başka bir dairenin içinde kaymadan yuvarlanırsa, her nokta P, daha küçük bir daire üzerinde değil, ona göre sabitlenmiş bir elipsi tanımlayacaktır. Eğer nokta P küçük daire üzerindeyse, bu noktanın yörüngesi dejenere bir elips durumudur - daha büyük dairenin çapı. 5. yüzyılda Proclus tarafından daha da basit bir elips yapısı önerildi. biterse A ve B düz çizgi parçası AB iki sabit kesişen düz çizgi boyunca (örneğin, koordinat eksenleri boyunca), ardından her bir iç nokta boyunca belirli bir uzunluktaki kaymanın P segment bir elipsi tanımlayacaktır; Hollandalı matematikçi F. van Schoten (1615-1660), kesişen doğrular düzlemindeki, kayan parçaya göre sabitlenmiş herhangi bir noktanın da bir elips tanımlayacağını gösterdi.

B. Pascal (1623-1662), 16 yaşında, şu anda ünlü olan Pascal teoremini formüle etti, şöyle diyor: herhangi bir konik bölümde yazılı bir altıgenin karşıt kenarlarının üç kesişme noktası bir düz çizgi üzerinde uzanır. Pascal bu teoremden 400'den fazla sonuç çıkardı.

İkinci dereceden yüzeyler dikdörtgen bir koordinat sisteminde ikinci dereceden cebirsel denklemlerle belirlenen yüzeylerdir.

1. Elipsoid.

Bir elipsoid, bazı dikdörtgen koordinat sistemlerinde denklem tarafından tanımlanan bir yüzeydir.:

Denklem (1) denir kanonik denklem elipsoid.

Elipsoidin geometrik görünümünü ayarlayın. Bunu yapmak için, düzleme paralel düzlemler tarafından verilen elipsoidin bölümlerini düşünün. Oksi. Bu düzlemlerin her biri, formun bir denklemi ile tanımlanır. z=h, nerede h- herhangi bir sayı ve bölümde elde edilen çizgi iki denklemle belirlenir

(2)

Çeşitli değerler için denklemleri (2) inceleyelim h .

> c(c>0), sonra denklem (2) ayrıca hayali bir elips, yani düzlemin kesişme noktalarını tanımlar. z=h verilen elipsoid ile mevcut değil. , sonra ve çizgi (2) noktalara dejenere olur (0; 0; + c) ve (0; 0; - c) (uçaklar elipsoide dokunur). , o zaman denklemler (2) şu şekilde temsil edilebilir:

uçak nereden geliyor z=h yarım eksenli bir elips boyunca elipsoidi keser

ve . Düşerken, değerleri artar ve onlara ulaşır. en yüksek değerler at , yani koordinat düzlemine göre elipsoid bölümünde oksi yarım eksenli en büyük elips ortaya çıkıyor ve .

Verilen yüzey koordinat düzlemlerine paralel düzlemlerle kesiştiğinde benzer bir resim elde edilir. öküz ve Oyz.

Böylece ele alınan kesitler, elipsoidi kapalı oval bir yüzey olarak göstermeyi mümkün kılmaktadır (Şekil 156). Miktarları a, b, c aranan aks milleri elipsoid. Ne zaman a=b=c elipsoid küreinci.

2. Tek bant hiperboloid.

Tek şeritli hiperboloid, bazı dikdörtgen koordinat sistemlerinde denklemle tanımlanan bir yüzeydir. (3)

Denklem (3), tek bantlı bir hiperboloidin kanonik denklemi olarak adlandırılır.

Yüzey tipini (3) ayarlayın. Bunu yapmak için, kesiti koordinat düzlemlerine göre düşünün. oksi (y=0)veÖküz(x=0). Sırasıyla denklemleri elde ederiz

ve

Şimdi verilen hiperboloidin bölümlerini koordinat düzlemine paralel z=h düzlemleriyle düşünün. oksi. Kesitte elde edilen çizgi denklemlerle belirlenir.

veya (4)

buradan z=h düzleminin yarım eksenli bir elips boyunca hiperboloidi kestiği sonucu çıkar.

ve ,

h=0'da en düşük değerlerine ulaşma, yani Bu hiperboloidin kesitinde, Oxy koordinat ekseni, a*=a ve b*=b yarım eksenli en küçük elipsi üretir. Sonsuz bir artışla

a* ve b* miktarları sonsuza kadar artar.

Böylece, ele alınan bölümler, tek şeritli bir hiperboloidi, Oxy düzleminden uzaklaştıkça (her iki tarafta) sonsuzca genişleyen sonsuz bir tüp olarak tasvir etmeyi mümkün kılar.

a, b, c niceliklerine tek şeritli hiperboloidin yarı eksenleri denir.

3. İki tabakalı hiperboloid.

İki yapraklı hiperboloid, bazı dikdörtgen koordinat sistemlerinde denklem tarafından tanımlanan bir yüzeydir.

Denklem (5), iki yapraklı bir hiperboloidin kanonik denklemi olarak adlandırılır.

Yüzeyin (5) geometrik formunu oluşturalım. Bunu yapmak için, bölümlerini Oxy ve Oyz koordinat düzlemlerine göre düşünün. Sırasıyla denklemleri elde ederiz

ve

bundan, bölümlerde hiperbollerin elde edildiğini takip eder.

Şimdi verilen hiperboloidin Oxy koordinat düzlemine paralel z=h düzlemleri tarafından kesitlerini düşünün. Kesitte elde edilen çizgi denklemlerle belirlenir.

veya (6)

bunu takip eden

>c (c>0) z=h düzlemi hiperboloidi yarım eksenli bir elips boyunca keser ve . Değer arttıkça a* ve b* de artar. Denklemler (6) sadece iki noktanın koordinatlarıyla sağlanır: (0; 0; + c) ve (0; 0; - c) (düzlemler verilen yüzeye dokunur). denklemler (6) hayali bir elips tanımlar, yani. verilen hiperboloid ile z=h düzleminin kesişme noktası yoktur.

a, b ve c niceliğine iki tabakalı hiperboloidin yarı eksenleri denir.

4. Eliptik paraboloid.

Bir eliptik paraboloid, bazı dikdörtgen koordinat sistemlerinde denklem tarafından tanımlanan bir yüzeydir.

(7)

burada p>0 ve q>0.

Denklem (7), eliptik bir paraboloidin kanonik denklemi olarak adlandırılır.

Oxy ve Oyz koordinat düzlemleri ile verilen yüzeyin bölümlerini düşünün. Sırasıyla denklemleri elde ederiz

ve

bundan, kesitlerde, Oz ekseni etrafında simetrik, köşeleri orijinde olan parabollerin elde edildiğini takip eder. (sekiz)

için bunu takip eder. h arttıkça a ve b de artar; h=0 için elips bir noktaya dejenere olur (z=0 düzlemi verilen hiperboloide dokunur). H için<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

Böylece, ele alınan bölümler, eliptik bir paraboloidi sonsuz dışbükey bir kase şeklinde tasvir etmeyi mümkün kılar.

(0;0;0) noktasına paraboloidin tepe noktası denir; p ve q sayıları onun parametreleridir.

p=q durumunda, denklem (8) Oz ekseninde ortalanmış bir daireyi tanımlar, yani. Eliptik bir paraboloid, bir parabolün kendi ekseni etrafında dönmesiyle oluşan bir yüzey olarak görülebilir (dönüş paraboloidi).

5. Hiperbolik paraboloid.

Hiperbolik bir paraboloid, bazı dikdörtgen koordinat sistemlerinde denklem tarafından tanımlanan bir yüzeydir.

(9)

Tanım 1. Konik bir yüzey veya M 0 noktasında tepesi olan bir koni, her biri M 0 noktasından ve γ çizgisinin bir noktasından geçen tüm düz çizgilerden oluşan bir yüzeydir. M 0 noktasına koninin tepesi, γ çizgisine kılavuz denir. Koninin tepe noktasından geçen ve üzerinde uzanan çizgilere koninin üreteçleri denir.

Teorem. Kanonik denklemli 2. dereceden yüzey

bir elips tarafından yönlendirilen, orijinde bir tepe noktası olan bir konidir

Kanıt.

M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) α yüzeyinin orijinden farklı bir noktası olsun; ?=OM 1 bir doğru, M (x; y; z) ?'ye ait. beri | | , o zaman, öyle ki

Koordinatları x 1 olduğundan; y1; z 1 denklemi (1) karşılar. (3) koşulları dikkate alındığında, t≠ 0. Denklemin her iki tarafını da t2≠ 0, m=OM 1 düz çizgisinin keyfi bir M (x; y; z) noktasının koordinatlarının (1) denklemini sağladığını elde ederiz. Aynı zamanda O(0,0,0) noktasının koordinatları ile de sağlanır.

Böylece, m=OM 1 doğrusundaki herhangi bir M (x; y; z) noktası, (1) denklemi ile α yüzeyi üzerinde bulunur, yani OM 1 = m doğrusu, α yüzeyinin doğrusal bir generatrisidir.

Şimdi denklem ile Oksi düzlemine paralel bir düzlem tarafından α yüzeyinin bir bölümünü ele alalım. z=c≠ 0:

Bu bölüm yarım eksenli bir elipstir. a ve b. Bu nedenle, bu elips ile kesişir. Tanım 1'e göre, yüzey α, tepe noktası olan bir konidir. Ö(0,0,0) (Tüm m doğruları orijinden geçer); bu koninin jeneratörleri düz çizgilerdir m, kılavuz yukarıda belirtilen elipstir.

Teorem kanıtlanmıştır.

Tanım 2. Kanonik denklem (1) ile ikinci dereceden bir yüzeye, ikinci dereceden bir koni denir.

2. Derece Koni Özellikleri.

1º(1) denklemli koni, tüm koordinat düzlemlerine, tüm koordinat eksenlerine ve orijine göre simetriktir (çünkü tüm değişkenler denklem (1)'de ikinci derecede yer alır).

2º Tüm koordinat eksenleri, koni (1) ile tek ortak noktaya sahiptir - aynı anda hem tepe noktası hem de merkez görevi gören orijin

3º Düzlemlerle bir koninin (1) kesiti öküz ve Oyz- orijinde kesişen düz çizgi çiftleri; uçak oksi- nokta Ö(0,0,0).

4º Koninin (1), koordinat düzlemlerine paralel olan, ancak onlarla çakışmayan düzlemler tarafından kesitleri, ya elips ya da hiperboldür.

5º Eğer bir a = b, o zaman bu elipsler dairelerdir ve koninin kendisi bir devrim yüzeyidir. Bu durumda dairesel koni olarak adlandırılır.

tanım 3: konik kesit, dairesel bir koninin tepe noktasından geçmeyen rastgele bir düzlemle kesiştiği bir çizgidir. Böylece, kurallı bölümler elips, hiperbol ve paraboldür.

"Düz" grafikler yerine, en yaygın uzamsal yüzeyleri ele alacağız ve ayrıca bunları elle nasıl doğru bir şekilde oluşturacağımızı öğreneceğiz. Bir süredir 3D çizimler oluşturmak için yazılım araçları arıyordum ve birkaç iyi uygulama buldum, ancak tüm kullanım kolaylığına rağmen, bu programlar önemli bir pratik sorunu iyi çözmüyor. Gerçek şu ki, öngörülebilir tarihsel gelecekte, öğrenciler hala kalemli bir cetvelle silahlanacaklar ve hatta yüksek kaliteli bir "makine" çizimine sahip olsalar bile, birçoğu onu kareli kağıda doğru bir şekilde aktaramayacak. Bu nedenle, eğitim kılavuzunda manuel yapım tekniğine özel önem verilir ve sayfadaki çizimlerin önemli bir kısmı el yapımı bir üründür.

Bu referans materyalin analoglardan farkı nedir?

İyi bir pratik deneyime sahip olarak, yüksek matematiğin gerçek problemlerinde en çok hangi yüzeylerin ele alındığını çok iyi biliyorum ve umarım bu makale, bagajınızı ilgili bilgi ve uygulamalı becerilerle hızlı bir şekilde doldurmanıza yardımcı olur, bu da %90-95 vakadır yeterli olmalıdır.

Şu anda bilmeniz gerekenler nelerdir?

En temel:

İlk önce, yetenekli olmalısın doğru inşa etmek uzaysal Kartezyen koordinat sistemi (yazının başına bakın Fonksiyonların grafikleri ve özellikleri ) .

Bu makaleyi okuduktan sonra ne kazanacaksınız?

Şişe Dersin materyallerine hakim olduktan sonra, işlevine ve / veya denklemine göre yüzey türünü nasıl hızlı bir şekilde belirleyeceğinizi, uzayda nasıl bulunduğunu hayal etmeyi ve elbette çizimler yapmayı öğreneceksiniz. İlk okumadan itibaren her şey kafanıza uymuyorsa sorun değil - daha sonra istediğiniz zaman istediğiniz paragrafa dönebilirsiniz.

Bilgi herkesin elindedir - gelişimi için herhangi bir süper bilgiye, özel sanatsal yeteneğe ve mekansal vizyona ihtiyacınız yoktur.

Başlamak!

Uygulamada, uzamsal yüzey genellikle verilir iki değişkenli fonksiyon veya formun bir denklemi (sağ tarafın sabiti çoğunlukla sıfıra veya bire eşittir). İlk atama matematiksel analiz için daha tipik, ikincisi - analitik geometri . Denklem, özünde, dolaylı olarak verilmiş tipik durumlarda kolayca forma indirgenebilen 2 değişkenli fonksiyon. Size en basit c örneğini hatırlatıyorum:

– düzlem denklemi tür.

düzlem fonksiyonudur açıkça .

Onunla başlayalım:

Ortak Düzlem Denklemleri

Düzlemlerin dikdörtgen bir koordinat sisteminde düzenlenmesi için tipik seçenekler, makalenin en başında ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. düzlem denklemi . Yine de, pratik için büyük önem taşıyan denklemler üzerinde bir kez daha duracağız.

Her şeyden önce, koordinat düzlemlerine paralel olan düzlemlerin denklemlerini tam olarak tanımalısınız. Düzlem parçaları, standart olarak, son iki durumda paralelkenar gibi görünen dikdörtgenler olarak tasvir edilir. Varsayılan olarak, herhangi bir boyutu seçebilirsiniz (elbette makul sınırlar dahilinde), ancak koordinat ekseninin düzlemi "delediği" noktanın simetri merkezi olması istenir:


Açıkçası, bazı yerlerde koordinat eksenleri noktalı bir çizgi ile gösterilmeliydi, ancak karışıklığı önlemek için bu nüansı ihmal edeceğiz.

– (soldaki çizim) eşitsizlik, düzlemin kendisi hariç, bizden en uzaktaki yarı-uzayı tanımlar;

– (orta çizim) eşitsizlik, düzlem de dahil olmak üzere sağ yarı uzayı tanımlar;

– (sağdaki çizim) bir çift eşitsizlik, her iki düzlem de dahil olmak üzere düzlemler arasında yer alan bir "katman" belirtir.

Kendi kendine egzersiz için:

örnek 1

Uçaklarla sınırlanmış bir gövde çizin
Verilen cismi tanımlayan bir eşitsizlikler sistemi oluşturun.

Eski bir tanıdık kaleminizin altından çıkmalı küboid. Görünmez kenarların ve yüzlerin noktalı bir çizgi ile çizilmesi gerektiğini unutmayın. Dersin sonunda bitmiş çizim.

Lütfen, İHMAL ETMEYİNçok basit görünseler bile öğrenme görevleri. Aksi takdirde, bir kez kaçırdıkları, iki kez kaçırdıkları ve ardından gerçek bir örnekte üç boyutlu bir çizimi öğütmek için bir saat harcadıkları ortaya çıkabilir. Ayrıca mekanik çalışma, materyali çok daha verimli bir şekilde öğrenmenize ve zeka geliştirmenize yardımcı olacaktır! Anaokulunda ve ilkokulda çocukların parmakların ince motor becerileri için çizim, modelleme, tasarımcılar ve diğer görevlerle yüklenmesi tesadüf değildir. Ara verdiğim için beni bağışlayın ama gelişim psikolojisi üzerine iki defterim kaybolmamalı =)

Aşağıdaki düzlem grubuna geleneksel olarak "doğru oranlar" adı verilecektir - bunlar koordinat eksenlerinden geçen düzlemlerdir:

2) formun denklemi eksenden geçen bir düzlemi tanımlar;

3) formun denklemi eksenden geçen bir düzlemi tanımlar.

Resmi işaret açık olmasına rağmen (denklemde hangi değişken eksik - düzlem o eksenden geçiyor), meydana gelen olayların özünü anlamak her zaman yararlıdır:

Örnek 2

Uçak Yap

İnşa etmenin en iyi yolu nedir? Aşağıdaki algoritmayı öneriyorum:

İlk olarak, denklemi “y”nin alabileceği açıkça görüldüğü biçimde yeniden yazıyoruz. hiç değerler. Değeri sabitliyoruz, yani koordinat düzlemini dikkate alacağız. denklem seti uzaysal çizgi verilen koordinat düzleminde uzanır. Bu çizgiyi çizimin üzerine çizelim. Doğru orijinden geçer, bu yüzden onu inşa etmek için bir nokta bulmak yeterlidir. İzin vermek . Bir noktayı bir kenara koyun ve bir çizgi çizin.

Şimdi düzlem denklemine dönelim. "y" aldığından beri hiç değerler, daha sonra düzlemde oluşturulan düz çizgi sürekli olarak sola ve sağa “kopyalanır”. Eksenden geçen uçağımız bu şekilde oluşuyor. Çizimi tamamlamak için düz çizginin soluna ve sağına iki paralel çizgi ayırdık ve sembolik paralelkenarı enine yatay bölümlerle “kapattık”:

Koşul ek kısıtlamalar getirmediğinden, uçağın parçası biraz daha küçük veya biraz daha büyük olarak gösterilebilir.

Bir kez daha, örneği kullanarak uzamsal doğrusal eşitsizliğin anlamını tekrarlıyoruz. Tanımladığı yarım uzay nasıl belirlenir? bir nokta alalım sahiplenilmemişörneğin, bize en yakın yarı uzaydan bir nokta ve koordinatlarını eşitsizliğe ikame eder:

Alınan doğru eşitsizlik, bu, eşitsizliğin alt (düzlem 'e göre) yarı uzayı tanımladığı, düzlemin kendisinin çözüme dahil edilmediği anlamına gelir.

Örnek 3

Uçak İnşa Et
a) ;
b) .

Bunlar kendi kendini inşa etme görevleridir, zorluk durumunda benzer akıl yürütmeyi kullanın. Dersin sonunda kısa talimatlar ve çizimler.

Pratikte eksene paralel düzlemler özellikle yaygındır. Özel bir durum, düzlem eksenden geçtiğinde, sadece "b" paragrafındaydı ve şimdi daha genel bir sorunu analiz edeceğiz:

Örnek 4

Uçak Yap

Çözüm: "z" değişkeni denkleme açıkça katılmaz, bu da düzlemin uygulama eksenine paralel olduğu anlamına gelir. Önceki örneklerdekiyle aynı tekniği kullanalım.

Düzlem denklemini formda yeniden yazalım "Z"nin alabileceği açıktır hiç değerler. Düzeltelim ve "yerel" düzlemde her zamanki "düz" düz çizgiyi çizelim. İnşa etmek için referans noktaları almak uygundur.

"Z" aldığından beri tüm değerleri, daha sonra oluşturulan düz çizgi sürekli olarak yukarı ve aşağı "çarpılır", böylece istenen düzlemi oluşturur . Dikkatlice makul boyutta bir paralelkenar çizin:

Hazır.

Segmentlerde bir düzlemin denklemi

Uygulanan en önemli çeşittir. Eğer bir tüm oranlar düzlemin genel denklemi sıfırdan farklı, o zaman olarak temsil edilebilir , denir segmentlerde düzlem denklemi. Açıkçası, düzlem koordinat eksenlerini noktalarda kesişir ve böyle bir denklemin en büyük avantajı çizim kolaylığıdır:

Örnek 5

Uçak Yap

Çözüm: önce düzlemin denklemini segmentler halinde oluşturuyoruz. Serbest terimi sağa atın ve her iki parçayı da 12'ye bölün:

Hayır, bu bir yazım hatası değil ve her şey uzayda oluyor! Önerilen yüzeyi, son zamanlarda uçaklar için kullanılan aynı yöntemle inceliyoruz. Denklemi formda yeniden yazıyoruz , bundan "Z"nin aldığı sonuç hiç değerler. Düzlemde bir elips sabitliyoruz ve oluşturuyoruz. "Z" aldığından beri tüm değerler, daha sonra oluşturulan elips sürekli olarak yukarı ve aşağı "kopyalanır". yüzeyde olduğunu anlamak kolaydır. sonsuz:

Bu yüzeye denir eliptik silindir. Bir elips (herhangi bir yükseklikte) denir kılavuz elipsin her noktasından geçen paralel çizgilere silindir denir. üreten silindir (kelimenin tam anlamıyla onu oluşturur). eksen simetri ekseni yüzey (ama bunun bir parçası değil!).

Belirli bir yüzeye ait herhangi bir noktanın koordinatları mutlaka denklemi sağlar .

mekansal eşitsizlik, silindirik yüzeyin kendisi de dahil olmak üzere sonsuz "borunun" "iç"ini tanımlar ve buna göre zıt eşitsizlik silindirin dışındaki noktalar kümesini tanımlar.

Pratik problemlerde en popüler durum şudur: kılavuz silindir daire :

Örnek 8

Denklemde verilen yüzeyi oluşturun

Sonsuz bir "boru" tasvir etmek imkansızdır, bu nedenle sanat kural olarak "kesme" ile sınırlıdır.

İlk olarak, düzlemde bir yarıçap dairesi ve ardından yukarıda ve aşağıda birkaç daire daha oluşturmak uygundur. Ortaya çıkan daireler ( kılavuzlar silindir) dört paralel düz çizgiyle ( üreten silindir):

Görünmez çizgiler için noktalı çizgiler kullanmayı unutmayın.

Verilen bir silindire ait herhangi bir noktanın koordinatları denklemi sağlar . Kesinlikle "boru"nun içinde kalan herhangi bir noktanın koordinatları eşitsizliği sağlar. ve eşitsizlik dış parçanın bir takım noktalarını tanımlar. Daha iyi bir anlayış için, uzayda birkaç özel noktayı göz önünde bulundurmanızı ve kendiniz görmenizi tavsiye ederim.

Örnek 9

Bir yüzey oluşturun ve bir düzlem üzerindeki izdüşümünü bulun

Denklemi formda yeniden yazıyoruz bundan "x" alır hiç değerler. Düzlemde düzeltelim ve çizelim daire – başlangıç ​​noktasında ortalanmış, birim yarıçap. "x" sürekli aldığından tüm değerleri, daha sonra oluşturulan daire, simetri ekseni olan dairesel bir silindir oluşturur. Başka bir daire çiz kılavuz silindir) ve bunları dikkatlice düz çizgilerle bağlayın ( üreten silindir). Bazı yerlerde bindirmeler ortaya çıktı, ancak ne yapmalı, böyle bir eğim:

Bu sefer kendimi boşluktaki silindirin bir parçasıyla sınırladım ve bu tesadüf değil. Uygulamada, genellikle yüzeyin sadece küçük bir parçasını tasvir etmek gerekir.

Burada, bu arada, 6 jeneratör ortaya çıktı - iki ek düz çizgi, yüzeyi sol üst ve sağ alt köşelerden "kapatır".

Şimdi silindirin düzlem üzerindeki izdüşümünü ele alalım. Birçok okuyucu bir projeksiyonun ne olduğunu anlıyor, ancak yine de beş dakikalık bir beden eğitimi daha harcayalım. Lütfen ayağa kalkın ve eksenin ucu alnınıza dik görünecek şekilde başınızı çizimin üzerine eğin. Silindirin bu açıdan görünüşü, düzlem üzerindeki izdüşümüdür. Ama düz çizgilerin kendileri de dahil olmak üzere düz çizgiler arasına alınmış sonsuz bir şerit gibi görünüyor. Bu projeksiyon tam olarak alan adı fonksiyonlar (silindirin üst "oluğu") (alt "oluk").

Bu arada diğer koordinat düzlemlerine yapılan projeksiyonlarla durumu netleştirelim. Güneş ışınlarının uç tarafından ve eksen boyunca silindir üzerinde parlamasına izin verin. Bir silindirin bir düzlem üzerindeki gölgesi (izdüşüm) benzer bir sonsuz şerittir - düz çizgilerle ( - herhangi biri) sınırlanan düzlemin bir parçası, düz çizgiler de dahil.

Ancak uçaktaki izdüşüm biraz farklıdır. Silindire eksenin ucundan bakarsanız, birim yarıçaplı bir daireye yansıtılır. ile inşaata başladık.

Örnek 10

Bir yüzey oluşturun ve projeksiyonlarını koordinat düzlemlerinde bulun

Bu bağımsız karar verme görevidir. Koşul çok net değilse, her iki tarafı da kareleyin ve sonucu analiz edin; işlevin tam olarak silindirin hangi bölümünü belirlediğini öğrenin. Yukarıda defalarca kullanılmış olan yapım tekniğini kullanın. Dersin sonunda kısa çözüm, çizim ve yorumlar.

Eliptik ve diğer silindirik yüzeyler koordinat eksenlerine göre kaydırılabilir, örneğin:

(hakkında bir makalenin tanıdık gerekçesiyle 2. sipariş satırları ) - eksene paralel bir noktadan geçen simetri doğrusuna sahip birim yarıçaplı bir silindir. Bununla birlikte, pratikte, bu tür silindirler oldukça nadir görülür ve koordinat eksenlerine göre silindirik bir yüzey “eğik” ile karşılaşmak kesinlikle inanılmazdır.

parabolik silindirler

Adından da anlaşılacağı gibi, kılavuz böyle bir silindir parabol .

Örnek 11

Bir yüzey oluşturun ve onun izdüşümlerini koordinat düzlemlerinde bulun.

Bu örneğe dayanamadım =)

Çözüm: Gidilen yolu takip ediyoruz. Denklemi "Z"nin herhangi bir değeri alabileceği şekilde yeniden yazalım. Önemsiz referans noktalarını önceden işaretlemiş olarak, düzlem üzerinde sıradan bir parabol oluşturalım ve sabitleyelim. "Z" aldığından beri tüm değerleri, daha sonra oluşturulan parabol sürekli olarak yukarı ve aşağı sonsuza "kopyalanır". Aynı parabolü bir yükseklikte (düzlemde) bir kenara koyduk ve bunları dikkatlice paralel çizgilerle birleştirdik ( silindir jeneratörleri):

hatırlatırım faydalı teknik: Başlangıçta çizimin kalitesine güven yoksa, önce çizgileri bir kalemle ince ve ince bir şekilde çizmek daha iyidir. Sonra eskizin kalitesini değerlendiririz, yüzeyin gözlerimizden gizlendiği alanları buluruz ve ancak o zaman kaleme baskı uygularız.

Projeksiyonlar.

1) Bir silindirin düzlem üzerine izdüşümü bir paraboldür. Bu durumda hakkında konuşmanın imkansız olduğuna dikkat edilmelidir. iki değişkenli bir fonksiyonun tanım alanları - çünkü silindir denklemi fonksiyonel forma indirgenemez.

2) Silindirin düzleme izdüşümü, eksen dahil bir yarım düzlemdir.

3) Ve son olarak, silindirin düzlem üzerine izdüşümü tüm düzlemdir.

Örnek 12

Parabolik silindirler oluşturun:

a) kendimizi yakın yarı-uzayda yüzeyin bir parçası ile sınırlandırmak;

b) arada

Zorluk durumunda, acelemiz yok ve önceki örneklerle analoji yaparak tartışıyoruz, neyse ki teknoloji iyice çalıştı. Yüzeylerin biraz sakar olması kritik değildir - temel resmi doğru bir şekilde görüntülemek önemlidir. Ben kendim özellikle çizgilerin güzelliği ile uğraşmıyorum, eğer tolere edilebilir bir “C sınıfı” çizim alırsam, genellikle tekrar yapmıyorum. Örnek çözümde, bu arada, çizimin kalitesini artırmak için bir teknik daha kullanıldı ;-)

hiperbolik silindirler

kılavuzlar bu tür silindirler abartma. Gözlemlerime göre bu yüzey türü önceki türlerden çok daha nadirdir, bu yüzden kendimi hiperbolik bir silindirin tek bir şematik çizimiyle sınırlayacağım:

Buradaki akıl yürütme ilkesi tamamen aynıdır - olağan okul abartması düzlemden sürekli olarak yukarı ve aşağı sonsuza "çarpılır".

Dikkate alınan silindirler sözde aittir 2. dereceden yüzeyler ve şimdi bu grubun diğer temsilcileriyle tanışmaya devam edeceğiz:

Elipsoid. Küre ve top

Dikdörtgen bir koordinat sistemindeki bir elipsoidin kanonik denklemi şu şekildedir: , pozitif sayılar nerede ( aks milleri elipsoid), genel durumda farklı. elipsoid denir yüzey, ve gövde bu yüzeyle sınırlıdır. Pek çok kişinin tahmin ettiği gibi, beden eşitsizlik tarafından verilir. ve herhangi bir iç noktanın (aynı zamanda herhangi bir yüzey noktasının) koordinatları bu eşitsizliği zorunlu olarak karşılar. Tasarım, koordinat eksenlerine ve koordinat düzlemlerine göre simetriktir:

"Elipsoid" teriminin kökeni de açıktır: yüzey koordinat düzlemleri tarafından "kesilirse", o zaman bölümlerde üç farklı olacaktır (genel durumda)