İnsan beyninin evrimi üç boyutlu uzayda gerçekleşti. Bu nedenle, boyutları üçten büyük olan uzayları hayal etmemiz zor. Aslında insan beyni üçten fazla boyutu olan geometrik nesneleri hayal edemez. Aynı zamanda, sadece üç boyutlu değil, aynı zamanda iki ve bir boyutlu geometrik nesneleri de kolayca hayal edebiliriz.

Tek boyutlu ve iki boyutlu uzaylar arasındaki fark ve analoji ile iki boyutlu ve üç boyutlu uzaylar arasındaki fark ve analoji, bizi daha yüksek boyutlu alanlardan ayıran gizem perdesini biraz açmamıza izin verir. Bu benzetmenin nasıl kullanıldığını anlamak için çok basit bir dört boyutlu nesneyi düşünün - bir hiperküp, yani dört boyutlu bir küp. Kesinlik için, diyelim ki belirli bir sorunu çözmek istiyoruz, yani dört boyutlu bir küpün kare yüzlerinin sayısını saymak. Aşağıdaki tüm değerlendirmeler, herhangi bir kanıt olmaksızın, tamamen benzetme yoluyla çok gevşek olacaktır.

Sıradan bir küpten bir hiperküpün nasıl inşa edildiğini anlamak için, önce sıradan bir kareden sıradan bir küpün nasıl inşa edildiğine bakmak gerekir. Bu materyalin sunumunun özgünlüğü için burada sıradan bir kare Alt Küp diyeceğiz (ve onu bir succubus ile karıştırmayacağız).

Bir alt küpten bir küp oluşturmak için, alt küpü üçüncü boyut yönünde alt küpün düzlemine dik bir yönde uzatmak gerekir. Aynı zamanda, küpün iki boyutlu bir yan yüzü olan ilk alt küpün her iki yanından bir alt küp büyüyecek ve bu, küpün üç boyutlu hacmini dört kenardan, her yöne iki dik olacak şekilde sınırlayacaktır. alt küpün düzlemi. Ve yeni üçüncü eksen boyunca, küpün üç boyutlu hacmini sınırlayan iki alt küp de var. Bu, alt küpümüzün orijinal olarak bulunduğu iki boyutlu yüz ve küp yapısının sonunda alt küpün geldiği küpün iki boyutlu yüzüdür.

Az önce okuduklarınız aşırı ayrıntılı ve birçok açıklama ile ortaya konmuştur. Ve gelişigüzel değil. Şimdi böyle bir hile yapacağız, önceki metindeki bazı kelimeleri resmi olarak şu şekilde değiştireceğiz:
küp -> hiperküp
alt küp -> küp
düzlem -> hacim
üçüncü -> dördüncü
2B -> 3B
dört -> altı
üç boyutlu -> dört boyutlu
iki -> üç
uçak -> uzay

Sonuç olarak, artık çok ayrıntılı görünmeyen aşağıdaki anlamlı metni elde ederiz.

Bir küpten hiperküp oluşturmak için, küpü dördüncü boyut yönünde küpün hacmine dik bir yönde germeniz gerekir. Aynı zamanda, hiperküpün yanal üç boyutlu yüzü olan orijinal küpün her iki yanından bir küp büyüyecek ve hiperküpün dört boyutlu hacmini altı kenardan, her yöne üç dik olacak şekilde sınırlayacaktır. küpün alanı. Ve yeni dördüncü eksen boyunca, hiperküpün dört boyutlu hacmini sınırlayan iki küp de var. Bu, küpümüzün orijinal olarak bulunduğu üç boyutlu yüz ve hiperküpün yapımının sonunda küpün geldiği hiperküpün üç boyutlu yüzüdür.

Hiperküpün yapısının doğru tanımını aldığımızdan neden bu kadar eminiz? Evet, çünkü sözcüklerin tam olarak aynı biçimsel yer değiştirmesiyle, bir karenin yapısının açıklamasından bir küpün yapısının bir tanımını elde ederiz. (Kendiniz kontrol edin.)

Şimdi, küpün her iki yanından başka bir üç boyutlu küpün büyümesi gerekiyorsa, ilk küpün her bir kenarından bir yüz büyümesi gerektiği açıktır. Toplamda, küpün 12 kenarı vardır; bu, üç boyutlu uzayın üç ekseni boyunca dört boyutlu hacmi sınırlayan bu 6 küp için ek 12 yeni yüz (alt küp) olacağı anlamına gelir. Ve bu dört boyutlu hacmi dördüncü eksen boyunca aşağıdan ve yukarıdan sınırlayan iki küp daha var. Bu küplerin her birinin 6 yüzü vardır.

Toplamda hiperküpün 12+6+6=24 kare yüzü olduğunu elde ederiz.

Aşağıdaki resim bir hiperküpün mantıksal yapısını göstermektedir. Bir hiperküpün üç boyutlu uzaya yansıması gibidir. Bu durumda, üç boyutlu bir kaburga çerçevesi elde edilir. Şekilde elbette bu çerçevenin bir düzleme izdüşümünü de görüyorsunuz.

Bu çerçevede, iç küp, deyim yerindeyse, yapının başladığı ve hiperküpün dört boyutlu hacmini alttan dördüncü eksen boyunca sınırlayan ilk küptür. Bu ilk küpü dördüncü boyut ekseni boyunca uzatıyoruz ve dış küpün içine giriyor. Dolayısıyla bu şekildeki dış ve iç küpler hiperküpü dördüncü boyut ekseni boyunca sınırlar.

Ve bu iki küp arasında, ilk ikisi ile ortak yüzlerle temas halinde olan 6 yeni küp daha görünür. Bu altı küp, hiperküpümüzü üç boyutlu uzayın üç ekseni boyunca sınırlar. Görüldüğü gibi bu üç boyutlu çerçeve üzerinde sadece içte ve dışta olan ilk iki küple temas halinde değiller, hala birbirleriyle temas halindeler.

Doğrudan şekilde hesaplayabilir ve hiperküpün gerçekten 24 yüzü olduğundan emin olabilirsiniz. Ama işte soru geliyor. Bu 3B hiperküp çerçevesi, boşluksuz sekiz 3B küple doldurulur. Bir hiperküpün bu 3B projeksiyonundan gerçek bir hiperküp yapmak için, 8 küpün tümü 4B hacmi sınırlayacak şekilde bu çerçeveyi tersyüz etmek gerekir.

Bu böyle yapılır. Dört boyutlu uzayın bir sakinini ziyaret etmeye davet ediyoruz ve ondan bize yardım etmesini istiyoruz. Bu çerçevenin iç küpünü yakalar ve onu 3B alanımıza dik olan dördüncü boyuta kaydırır. Üç boyutlu uzayda bizler onu sanki tüm iç çerçeve kaybolmuş ve sadece dış küpün çerçevesi kalmış gibi algılarız.

Daha sonra, 4D asistanımız doğum hastanelerinde ağrısız bir doğum için yardım teklif ediyor, ancak hamile kadınlarımız bebeğin karınlarından kaybolup paralel bir 3D uzayda son bulma ihtimalinden korkuyorlar. Bu nedenle, dörtlü kibarca reddedilir.

Ve hiperküp çerçeve ters çevrildiğinde bazı küplerimizin çözülüp çözülmediğini merak ediyoruz. Sonuçta, hiperküpü çevreleyen bazı üç boyutlu küpler çerçevedeki komşularına dokunursa, dört boyutlu çerçeveyi ters çevirirse aynı yüzlere de dokunurlar mı?

Tekrar alt boyutlu uzaylarla analojiye dönelim. Hiperküp tel kafes görüntüsünü, 3D küpün aşağıdaki resimde gösterilen düzlem üzerine izdüşümü ile karşılaştırın.

İki boyutlu uzayın sakinleri bir düzlem üzerine bir küp izdüşüm çerçevesi inşa ettiler ve biz üç boyutlu sakinleri bu çerçeveyi tersyüz etmeye davet ettiler. İç karenin dört köşesini alıyoruz ve onları düzleme dik olarak hareket ettiriyoruz. Aynı zamanda, iki boyutlu sakinler tüm iç çerçevenin tamamen kaybolduğunu görürler ve sadece dış karenin çerçevesine sahiptirler. Böyle bir işlem ile kenarları ile temas halinde olan tüm kareler aynı kenarlarla eskisi gibi dokunmaya devam eder.

Bu nedenle, hiperküp çerçevesi ters çevrildiğinde de hiperküpün mantıksal şemasının ihlal edilmeyeceğini ve hiperküpün kare yüzlerinin sayısının artmayacağını ve 24'e eşit kalacağını umuyoruz. Bu, elbette, hiçbir kanıt yok, ama tamamen benzetme yoluyla bir tahmin.

Burada her şeyi okuduktan sonra, beş boyutlu bir küpün mantıksal çerçevesini kolayca çizebilir ve kaç tane köşe, kenar, yüz, küp ve hiperküp olduğunu hesaplayabilirsiniz. Hiç de zor değil.

Hiperküp ve Platonik Katılar

"Vektör" sisteminde kesilmiş bir ikosahedron ("futbol topu") simüle edin
her beşgenin altıgenlerle sınırlandığı yerde

kesik ikosahedron düzgün beşgen şeklinde yüzler oluşturmak için 12 köşe kesilerek elde edilebilir. Bu durumda, yeni polihedronun köşe sayısı 5 kat artar (12 × 5 = 60), 20 üçgen yüz düzgün altıgenlere dönüşür (toplamda yüzler 20+12=32 olur), a kenar sayısı 30+12×5=90 olur.

Vektör sisteminde kesilmiş bir ikosahedron oluşturma adımları

4 boyutlu uzayda rakamlar.

--à

--à ?

Örneğin, bir küp ve bir hiperküp verildi. Bir hiperküpte 24 yüz vardır. Bu, 4 boyutlu bir oktahedronun 24 köşesi olacağı anlamına gelir. Hayır olmasına rağmen, hiperküpün 8 küp yüzü vardır - her merkezde bir tepe noktası vardır. Bu, 4 boyutlu bir oktahedronun 8 köşesine daha kolay sahip olacağı anlamına gelir.

4 boyutlu oktahedron. Sekiz eşkenar ve eşit dörtyüzlüden oluşur,
her köşede dördü bağlı.

Pirinç. Bir simülasyon denemesi
"Vektör" sisteminde hiper top-hipersfer

Ön - arka yüzler - bozulma olmayan toplar. Diğer altı top - elipsoidler veya ikinci dereceden yüzeyler (jeneratörler olarak 4 kontur çizgisi aracılığıyla) veya yüzler (ilk olarak jeneratörler aracılığıyla tanımlanır) aracılığıyla belirtilebilir.

Bir hiper küre "oluşturmak" için daha fazla püf noktası
- 4 boyutlu uzayda aynı "futbol topu"

Ek 2

Dışbükey çokyüzlüler için, 1752'de Leonhard Euler tarafından kanıtlanan ve Euler teoremi olarak adlandırılan, köşelerinin, kenarlarının ve yüzlerinin sayısıyla ilgili bir özellik vardır.

Formüle etmeden önce, bizim bildiğimiz çokyüzlüleri göz önünde bulundurun ve B'nin belirli bir polihedronun köşe sayısı, P - kenarları ve G - yüzleri olduğu aşağıdaki tabloyu doldurun:

Bu tablodan, seçilen tüm çokyüzlüler için B - P + T = 2 eşitliğinin geçerli olduğu doğrudan görülüyor.Bu eşitliğin sadece bu çokyüzlüler için değil, aynı zamanda keyfi bir dışbükey çokyüzlü için de geçerli olduğu ortaya çıkıyor.

Euler teoremi. Herhangi bir dışbükey çokyüzlü için eşitlik

V - R + G \u003d 2,

burada B köşe sayısı, P kenar sayısı ve G verilen çokyüzlü yüzün sayısıdır.

Kanıt. Bu eşitliği kanıtlamak için, elastik bir malzemeden yapılmış belirli bir çokyüzlü yüzeyi hayal edin. Yüzlerinden birini silelim (keselim) ve kalan yüzeyi bir düzlem üzerinde gerelim. Daha küçük çokgenlere bölünmüş (polihedronun kalan yüzlerinden oluşan) bir çokgen (çokyüzlü yüzün kenarlarından oluşur) elde ederiz.

Kenarları kırılmadığı sürece çokgenlerin deforme olabileceğini, büyütülebileceğini, küçültülebileceğini ve hatta kenarlarının bükülebileceğini unutmayın. Köşelerin, kenarların ve yüzlerin sayısı değişmez.

Bir çokgenin elde edilen daha küçük çokgenlere bölünmesinin eşitliği sağladığını kanıtlayalım.

(*) V - R + G "= 1,

nerede - toplam sayısı tepe noktaları, P toplam kenar sayısıdır ve Г "bölmeye dahil edilen çokgen sayısıdır. Г" = Г - 1 olduğu açıktır, burada Г verilen çokyüzlü yüzün sayısıdır.

Verilen bölümün bir çokgenine bir köşegen çizersek eşitliğin (*) değişmediğini ispatlayalım (Şekil 5, a). Nitekim böyle bir köşegen çizdikten sonra, yeni bölümün B köşeleri, P + 1 kenarları olacak ve çokgen sayısı bir artacaktır. Bu nedenle, bizde

V - (R + 1) + (G "+1) \u003d V - R + G" .

Bu özelliği kullanarak, gelen çokgenleri üçgenlere bölen köşegenler çiziyoruz ve ortaya çıkan bölme için eşitliğin (*) sağlandığını gösteriyoruz (Şekil 5, b). Bunu yapmak için, üçgen sayısını azaltarak dış kenarları sürekli olarak kaldıracağız. Bu durumda, iki durum mümkündür:

a) üçgeni çıkarmak için ABC bizim durumumuzda iki kaburganın çıkarılması gerekiyor AB ve M.Ö;

b) üçgeni çıkarmak içinMKNbizim durumumuzda bir kenarı çıkarmak gerekiyorMN.

Her iki durumda da eşitlik (*) değişmeyecektir. Örneğin, ilk durumda, üçgeni çıkardıktan sonra, grafik B - 1 köşelerinden, R - 2 kenarlarından ve G "- 1 poligonundan oluşacaktır:

(B - 1) - (P + 2) + (G "- 1) \u003d B - R + G".

İkinci durumu kendiniz düşünün.

Dolayısıyla bir üçgenin çıkarılması eşitliği (*) değiştirmez. Üçgenleri kaldırma işlemine devam ederek, sonunda tek bir üçgenden oluşan bir bölüme ulaşacağız. Böyle bir bölüm için, B \u003d 3, P \u003d 3, Г "= 1 ve dolayısıyla B - Р + Г" = 1. Bu nedenle, eşitlik (*), sonunda elde ettiğimiz orijinal bölüm için de geçerlidir. belirli bir çokgen bölümü için eşitlik (*) doğrudur. Böylece orijinal dışbükey çokyüzlü için B - P + G = 2 eşitliği doğrudur.

Euler bağıntısının tutmadığı bir çokyüzlü örneğiŞekil 6'da gösterilmiştir. Bu çokyüzlü, 16 köşe, 32 kenar ve 16 yüze sahiptir. Böylece, bu çokyüzlü için B - P + G = 0 eşitliği sağlanır.

Ek 3

Film Küp 2: Hiperküp "(İng. Küp 2: Hiperküp) - bir fantezi filmi," Küp "filminin devamı.

Sekiz yabancı küp şeklindeki odalarda uyanır. Odalar dört boyutlu bir hiperküpün içindedir. Odalar sürekli "kuantum ışınlama" ile hareket ediyor ve bir sonraki odaya tırmanırsanız, bir öncekine geri dönmeniz pek mümkün değil. Hiperküpte paralel dünyalar kesişir, bazı odalarda zaman farklı akar ve bazı odalar ölüm tuzaklarıdır.

Resmin konusu, bazı karakterlerin görüntülerine de yansıyan ilk bölümün hikayesini büyük ölçüde tekrarlıyor. Hiperküpün odalarında ölür Nobel ödüllü Hiperküpün imhasının tam zamanını hesaplayan Rosenzweig.

eleştiri

İlk bölümde bir labirentte hapsedilen insanlar birbirlerine yardım etmeye çalıştıysa, bu filmde her erkek kendi başınadır. Filmin bu bölümünü bir öncekiyle mantıksal olarak birleştirmeyen birçok ekstra özel efekt (bunlar da tuzaktır) vardır. Yani Cube 2 filminin 2000 değil 2020-2030 geleceğinin bir tür labirenti olduğu ortaya çıktı. İlk bölümde teorik olarak bir kişi tarafından her türlü tuzak oluşturulabilir. İkinci bölümde, bu tuzaklar "Sanal Gerçeklik" olarak adlandırılan bir tür bilgisayarın programıdır.

geometride hiperküp- bu n bir karenin boyutlu analojisi ( n= 2) ve küp ( n= 3). Bu, şeklin zıt kenarlarında bulunan ve birbirine dik açılarla bağlanan paralel çizgi gruplarından oluşan kapalı bir dışbükey şekildir.

Bu rakam olarak da bilinir teserakt(tesseract). Küp kareye göre olduğu gibi tesseract küp için. Daha resmi olarak, bir tesseract, sınırı sekiz kübik hücreden oluşan düzenli bir dışbükey dört boyutlu politop (politop) olarak tanımlanabilir.

Oxford İngilizce Sözlüğü'ne göre, "tesseract" kelimesi 1888'de Charles Howard Hinton tarafından icat edildi ve A New Era of Thought adlı kitabında kullanıldı. Yunanca "τεσσερες ακτινες" ("dört ışın") kelimesinden türetilen kelime, dört koordinat ekseni şeklindedir. Ayrıca bazı kaynaklarda aynı rakama tetraküp(tetraküp).

n-boyutlu hiperküp de denir n-küp.

Bir nokta, 0 boyutunda bir hiperküptür. Bir noktayı uzunluk birimiyle kaydırırsanız, birim uzunlukta bir segment elde edersiniz - boyut 1 hiperküp. parçanın yönüne göre, bir küp elde edersiniz - 2 boyutlu bir hiperküp. Kareyi karenin düzlemine dik yönde bir uzunluk birimi kadar kaydırarak, bir küp elde edilir - 3 boyutlu bir hiperküp. Bu işlem herhangi bir sayıda boyuta genellenebilir. Örneğin, bir küpü dördüncü boyutta bir uzunluk birimi kadar kaydırırsanız, bir tesseract elde edersiniz.

Hiperküp ailesi, herhangi bir boyutta temsil edilebilen birkaç düzenli çokyüzlüden biridir.

Hiperküp öğeleri

boyut hiperküp n 2 tane var n"kenarlar" (tek boyutlu çizginin 2 noktası vardır; iki boyutlu kare - 4 kenar; üç boyutlu küp - 6 yüz; dört boyutlu mozaik - 8 hücre). Hiperküpün köşe (nokta) sayısı 2'dir. n(örneğin, bir küp için - 2 3 köşe).

Miktar m-sınırdaki boyutlu hiperküpler n-küp eşittir

Örneğin, bir hiperküpün sınırında 8 küp, 24 kare, 32 kenar ve 16 köşe vardır.

Düzlem projeksiyonu

Bir hiperküpün oluşumu şu şekilde temsil edilebilir:

• AB doğru parçası oluşturmak için iki A ve B noktası bağlanabilir.
• İki paralel parça AB ve CD bir kare ABCD oluşturacak şekilde bağlanabilir.
• ABCDEFGH küpünü oluşturmak için iki paralel kare ABCD ve EFGH birleştirilebilir.
• İki paralel küp ABCDEFGH ve IJKLMNOP bir hiperküp ABCDEFGHIJKLMNOP oluşturmak için bağlanabilir.

İkinci yapıyı hayal etmek kolay değildir, ancak iki veya üç boyuta yansımasını tasvir etmek mümkündür. Ayrıca, bir 2B düzlem üzerine projeksiyonlar, yansıtılan köşelerin konumlarını yeniden düzenleyerek daha faydalı olabilir. Bu durumda, artık tesseract içindeki öğelerin uzamsal ilişkilerini yansıtmayan, ancak aşağıdaki örneklerde olduğu gibi tepe bağlantılarının yapısını gösteren görüntüler elde edilebilir.

İlk çizim, prensipte iki küpün birleştirilmesiyle bir tesseratın nasıl oluşturulduğunu göstermektedir. Bu şema, iki kareden bir küp oluşturma şemasına benzer. İkinci diyagram, tesseratın tüm kenarlarının aynı uzunluğa sahip olduğunu göstermektedir. Bu şema ayrıca birbirine bağlı küpleri aramaya zorlanır. Üçüncü diyagramda, tesseract'ın köşeleri, alt noktaya göre yüzler boyunca mesafelere göre yerleştirilmiştir. Bu şema ilginçtir, çünkü paralel hesaplamanın düzenlenmesinde işlemcileri birbirine bağlayan ağ topolojisi için temel şema olarak kullanılır: herhangi iki düğüm arasındaki mesafe 4 kenar uzunluğunu aşmaz ve yükü dengelemenin birçok farklı yolu vardır.

sanatta hiperküp

Hiperküp, bilimkurguda 1940'tan beri, Robert Heinlein'in "Teal Olan Ev" ("Ve Çarpık Bir Ev İnşa Etti") hikayesinde, bir tesseract şeklinde inşa edilmiş bir evi anlattığından beri ortaya çıktı. Hikayede, bu Ayrıca, bu ev katlanır, dört boyutlu bir tesseract'a dönüşür. Bundan sonra, hiperküp birçok kitap ve romanda yer alır.

Küp 2: Hiperküp, bir hiperküp ağında kapana kısılmış yaklaşık sekiz kişidir.

Salvador Dali'nin 1954 tarihli Çarmıha Gerilme (Corpus Hypercubus) adlı tablosu, İsa'nın bir tesseract taramasında çarmıha gerildiğini tasvir ediyor. Bu tablo New York'taki Museum of Art'ta (Metropolitan Museum of Art) görülebilir.

Çözüm

Hiperküp, örneğinde dördüncü boyutun tüm karmaşıklığını ve olağandışılığını görebileceğiniz en basit dört boyutlu nesnelerden biridir. Ve üç boyutta imkansız görünen, dörtte mümkündür, örneğin imkansız rakamlar. Böylece, örneğin, dört boyutta imkansız bir üçgenin çubukları dik açılarda bağlanacaktır. Ve bu şekil, tüm bakış açılarından böyle görünecek ve üç boyutlu uzayda imkansız üçgenin uygulamalarından farklı olarak bozulmayacaktır (bkz.

Görüntü, dört boyutlu bir küpün üç boyutlu bir uzaya izdüşümüdür (perspektif).

Oxford Sözlüğüne göre, "tesseract" kelimesi 1888'de Charles Howard Hinton (1853-1907) tarafından A New Age of Thought adlı kitabında kullanılmış ve kullanılmıştır. Daha sonra, bazı insanlar aynı şekle "tetracube" adını verdiler.

Geometri

Öklidyen dört boyutlu uzayda sıradan bir tesseract, noktaların dışbükey gövdesi (±1, ±1, ±1, ±1) olarak tanımlanır. Başka bir deyişle, aşağıdaki küme olarak temsil edilebilir:

Tesseract, tesseract ile kesişimi üç boyutlu yüzlerini (sıradan küpler olan) tanımlayan sekiz hiperdüzlem ile sınırlıdır. Her bir paralel olmayan 3B yüz çifti, 2B yüzler (kareler) oluşturmak için kesişir ve bu böyle devam eder. Son olarak, bir tesseract'ın 8 3B yüzü, 24 2B, 32 kenarı ve 16 köşesi vardır.

Popüler Açıklama

Üç boyutlu uzaydan çıkmadan hiperküpün nasıl görüneceğini hayal etmeye çalışalım.

Tek boyutlu "uzayda" - bir çizgide - L uzunluğunda bir AB segmenti seçiyoruz. AB'den L mesafesindeki iki boyutlu bir düzlemde, ona paralel bir DC segmenti çizer ve uçlarını bağlarız. ABCD karesini alın. Bu işlemi bir düzlemle tekrarlayarak, üç boyutlu bir ABCDHEFG küpü elde ederiz. Ve küpü dördüncü boyutta (ilk üçe dik) L mesafesi kadar kaydırarak, ABCDEFGHIJKLMNOP hiperküpünü elde ederiz.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Build_tesseract.PNG

Tek boyutlu AB parçası, iki boyutlu ABCD karesinin bir kenarı olarak hizmet eder, kare, sırayla dört boyutlu hiperküpün kenarı olacak olan ABCDHEFG küpünün kenarıdır. Düz bir doğru parçasının iki sınır noktası vardır, bir karenin dört köşesi ve bir küpün sekiz köşesi vardır. Böylece, dört boyutlu bir hiperküpte 16 köşe olacaktır: orijinal küpün 8 köşesi ve dördüncü boyutta kaydırılan 8 köşe. 32 kenarı vardır - 12'si orijinal küpün ilk ve son konumlarını verir ve 8 kenar daha dördüncü boyuta taşınan sekiz köşesini "çizir". Aynı mantık hiperküpün yüzleri için de yapılabilir. İki boyutlu uzayda, birdir (karenin kendisi), küpün 6 ​​tanesi vardır (hareket ettirilen kareden iki yüz ve dört tane daha kenarlarını tanımlayacaktır). Dört boyutlu bir hiperküpün 24 kare yüzü vardır - iki konumda orijinal küpün 12 karesi ve on iki kenarından 12 kare.

Benzer şekilde, hiperküpler için akıl yürütmeye devam edebiliriz. daha fazla ancak dört boyutlu bir hiperküpün bizler, üç boyutlu uzayın sakinleri için nasıl görüneceğini görmek çok daha ilginç. Bunun için zaten bilinen analoji yöntemini kullanalım.

Tesseract açılımı

ABCDHEFG tel küpünü alıp tek gözle yüzünün yanından bakalım. Düzlemde (yakın ve uzak yüzleri) dört çizgi - yan kenarlarla birbirine bağlanmış iki kare göreceğiz ve çizebiliriz. Benzer şekilde, üç boyutlu uzayda dört boyutlu bir hiperküp, birbirine yerleştirilmiş ve sekiz kenarla birbirine bağlanmış iki kübik "kutu" gibi görünecektir. Bu durumda, "kutuların" kendileri - üç boyutlu yüzler - "bizim" uzayımıza yansıtılacak ve onları birleştiren çizgiler dördüncü boyutta uzayacaktır. Ayrıca bir küpü projeksiyonda değil, uzamsal bir görüntüde hayal etmeye çalışabilirsiniz.

Üç boyutlu bir küp, bir yüzün uzunluğu kadar kaydırılan bir kare tarafından oluşturulduğu gibi, dördüncü boyuta kaydırılan bir küp bir hiperküp oluşturacaktır. Gelecekte oldukça karmaşık bir figür gibi görünecek olan sekiz küple sınırlıdır. “Bizim” uzayda kalan kısmı düz çizgilerle çizilir ve hiper uzaya giren kısmı kesiklidir. Dört boyutlu hiperküpün kendisi sonsuz sayıda küpten oluşur, tıpkı üç boyutlu bir küpün sonsuz sayıda düz kareye "kesilebilmesi" gibi.

Üç boyutlu bir küpün altı yüzünü keserek, onu düz bir şekle - bir ağa ayırabilirsiniz. Orijinal yüzün her iki tarafında bir kare artı bir tane daha olacak - bunun karşısındaki yüz. Dört boyutlu bir hiperküpün üç boyutlu gelişimi, orijinal küpten, ondan "büyüyen" altı küpten ve bir tane daha - son "köprü" den oluşacaktır.

Tesseract'ın özellikleri, özelliklerin bir uzantısıdır. geometrik şekiller dört boyutlu bir uzaya daha düşük boyut.

projeksiyonlar

iki boyutlu uzaya

Bu yapıyı hayal etmek zordur, ancak bir tesseratı 2B veya 3B alanlara yansıtmak mümkündür. Ek olarak, bir düzlem üzerine izdüşüm, hiperküpün köşelerinin konumunun anlaşılmasını kolaylaştırır. Bu şekilde, tesseract içindeki uzamsal ilişkileri artık yansıtmayan, ancak aşağıdaki örneklerde olduğu gibi köşe bağlantı yapısını gösteren görüntüler elde edilebilir:


üç boyutlu uzaya

Tesseract'ın üç boyutlu uzaya izdüşümü, karşılık gelen köşeleri segmentlerle birbirine bağlanan iki iç içe üç boyutlu küptür. 3B uzayda iç ve dış küplerin boyutları farklıdır, ancak 4B uzayda eşit küplerdir. Tesseract'ın tüm küplerinin eşitliğini anlamak için, tesseract'ın dönen bir modeli oluşturuldu.

Tesseract'ın kenarları boyunca altı kesik piramit, eşit altı küpün görüntüleridir.
stereo çifti

Bir tesseratın stereo çifti, üç boyutlu uzaya iki projeksiyon olarak tasvir edilmiştir. Tesseract'ın bu tasviri, derinliği dördüncü bir boyut olarak temsil etmek üzere tasarlanmıştır. Stereo çifti, her göz bu görüntülerden yalnızca birini görecek şekilde izlenir, tesseratın derinliğini yeniden üreten stereoskopik bir resim ortaya çıkar.

Tesseract açılımı

Bir tesseratın yüzeyi sekiz küp halinde açılabilir (bir küpün yüzeyinin altı kareye açılmasına benzer şekilde). Tesseract'ın 261 farklı açılımı vardır. Bir tesseratın açılımları, bağlantılı köşeleri grafikte çizerek hesaplanabilir.

Sanatta Tesseract

Edwine A. Abbott'ın Yeni Ovası'nda hiperküp anlatıcıdır.
The Adventures of Jimmy Neutron'un bir bölümünde: "Boy Genius", Jimmy, Heinlein'ın 1963 Glory Road filmindeki katlama kutusuna benzeyen dört boyutlu bir hiperküp icat eder.
Robert E. Heinlein en az üç bilim kurgu hikayesinde hiperküplerden bahsetti. The House of Four Dimensions'da (The House That Teel Building) (1940), bir evi bir tesseratın açılımı olarak tanımladı.
Heinlein'ın romanı Glory Road'da, içleri dışından daha büyük olan aşırı büyüklükte tabaklar tarif edilir.
Henry Kuttner'ın kısa öyküsü "Mimsy Were the Borogoves", yapı olarak tesseract'a benzer şekilde, uzak gelecekten gelen çocuklar için eğitici bir oyuncağı anlatıyor.
Alex Garland'ın (1999) romanında, "tesseract" terimi, hiperküpün kendisinden ziyade dört boyutlu bir hiperküpün üç boyutlu açılımı için kullanılır. Bu, biliş sisteminin kavranabilir olandan daha geniş olması gerektiğini göstermek için tasarlanmış bir metafordur.
Küp 2: Hiperküp'ün konusu, bir "hiperküp" veya birbirine bağlı küpler ağında kapana kısılmış sekiz yabancıya odaklanıyor.
TV dizisi Andromeda, bir komplo cihazı olarak tesseract üreteçlerini kullanıyor. Öncelikle uzayı ve zamanı kontrol etmeye yöneliktirler.
Salvador Dali'nin "Çarmıha Gerilme" (Corpus Hypercubus) tablosu (1954)
Nextwave çizgi romanı, 5 tesseract bölgesi içeren bir aracı tasvir ediyor.
Voivod Nothingface albümündeki şarkılardan birinin adı "In my hypercube".
Anthony Pierce'in Route Cube adlı romanında, IDA'nın yörünge uydularından birine, 3 boyuta sıkıştırılmış bir tesseract denir.
"Okul" dizisinde Kara delikÜçüncü sezonda “” “Tesseract” bölümü var. Lucas gizli düğmeye basar ve okul matematiksel bir tesseract gibi şekillenmeye başlar.
"Tesseract" terimi ve ondan türetilen "tesse" terimi Madeleine L'Engle'nin "Zamanın Kırışıklığı" adlı öyküsünde bulunur.

Çok boyutlu uzaylarla ilgili öğretiler 19. yüzyılın ortalarında ortaya çıkmaya başladı. Bilim kurgu, bilim adamlarından dört boyutlu uzay fikrini ödünç aldı. Eserlerinde dünyaya dördüncü boyutun inanılmaz harikalarını anlattılar.

Eserlerinin kahramanları, dört boyutlu uzayın özelliklerini kullanarak, yumurtanın içindekileri kabuğa zarar vermeden yiyebiliyor, şişenin mantarını açmadan bir içki içebiliyordu. Kaçıranlar hazineyi dördüncü boyut aracılığıyla kasadan aldılar. Cerrahlar, hastanın vücudundaki dokuları kesmeden iç organlarda operasyonlar gerçekleştirdi.

teserakt

Geometride hiperküp, bir karenin (n = 2) ve bir küpün (n = 3) n boyutlu bir analojisidir. Her zamanki 3 boyutlu küpümüzün dört boyutlu analoğu, tesseract olarak bilinir. Küp kareye göre olduğu gibi tesseract küp için. Daha resmi olarak, bir tesseract, sınırı sekiz kübik hücreden oluşan düzenli bir dışbükey dört boyutlu çokyüzlü olarak tanımlanabilir.

Üç boyutlu uzaydan çıkmadan hiperküpün nasıl görüneceğini hayal etmeye çalışalım.
Tek boyutlu "uzayda" - bir çizgide - L uzunluğunda bir AB segmenti seçiyoruz. AB'den L mesafesindeki iki boyutlu bir düzlemde, ona paralel bir DC segmenti çizer ve uçlarını bağlarız. Kare bir CDBA alacaksınız. Bu işlemi bir düzlemle tekrarlayarak, üç boyutlu bir CDBAGHFE küpü elde ederiz. Ve küpü dördüncü boyutta (ilk üçe dik) bir L mesafesi kadar kaydırarak, CDBAGHFEKLJIOPNM hiperküpünü elde ederiz.

Benzer şekilde, daha fazla sayıda boyuta sahip hiperküpler için akıl yürütmeye devam edebiliriz, ancak dört boyutlu bir hiperküpün biz, üç boyutlu uzayın sakinleri için nasıl görüneceğini görmek çok daha ilginç.

ABCDHEFG tel küpünü alıp tek gözle yüzünün yanından bakalım. Düzlemde (yakın ve uzak yüzleri) dört çizgi - yan kenarlarla birbirine bağlanmış iki kare göreceğiz ve çizebiliriz. Benzer şekilde, üç boyutlu uzayda dört boyutlu bir hiperküp, birbirine yerleştirilmiş ve sekiz kenarla birbirine bağlanmış iki kübik "kutu" gibi görünecektir. Bu durumda, "kutuların" kendileri - üç boyutlu yüzler - "bizim" uzayımıza yansıtılacak ve onları birleştiren çizgiler dördüncü eksen yönünde uzanacaktır. Ayrıca bir küpü projeksiyonda değil, uzamsal bir görüntüde hayal etmeye çalışabilirsiniz.

Üç boyutlu bir küp, bir yüzün uzunluğu kadar kaydırılan bir kare tarafından oluşturulduğu gibi, dördüncü boyuta kaydırılan bir küp bir hiperküp oluşturacaktır. Gelecekte oldukça karmaşık bir figür gibi görünecek olan sekiz küple sınırlıdır. Üç boyutlu bir küpün sonsuz sayıda düz kareye "kesilmesi" gibi, dört boyutlu hiperküpün kendisi de sonsuz sayıda kübe bölünebilir.

Üç boyutlu bir küpün altı yüzünü keserek, onu düz bir şekle - bir ağa ayırabilirsiniz. Orijinal yüzün her iki tarafında bir kare artı bir tane daha olacak - bunun karşısındaki yüz. Dört boyutlu bir hiperküpün üç boyutlu gelişimi, orijinal küpten, ondan "büyüyen" altı küpten ve bir tane daha - son "hiperyüz"den oluşacaktır.

Tesseract o kadar ilginç bir figür ki, defalarca yazarların ve film yapımcılarının dikkatini çekti.
Robert E. Heinlein birkaç kez hiperküplerden bahsetti. The House That Teal Building'de (1940), bir tesseract'ın açılımı olarak inşa edilmiş bir evi tanımladı ve daha sonra bir deprem nedeniyle dördüncü boyutta "oluştu" ve "gerçek" bir tesseract oldu. Heinlein'ın Glory Road adlı romanında, içi dışından daha büyük olan hiperboyutlu bir kutu tarif edilir.

Henry Kuttner'ın "All Borog's Tenals" adlı öyküsü, yapı olarak bir tesserata benzeyen, uzak gelecekten gelen çocuklar için eğitici bir oyuncağı anlatıyor.

Küp 2: Hiperküp'ün konusu, bir "hiperküp" veya birbirine bağlı küpler ağında kapana kısılmış sekiz yabancıya odaklanıyor.

paralel bir dünya

Matematiksel soyutlamalar varoluş kavramını hayata geçirdi paralel dünyalar. Bunlar, bizimkiyle aynı anda var olan, ancak ondan bağımsız olarak var olan gerçekliklerdir. Paralel dünyanın farklı boyutları olabilir: küçük bir coğrafi alandan tüm evrene. Paralel bir dünyada olaylar kendi yollarıyla gerçekleşir, hem bireysel ayrıntılarda hem de hemen hemen her şeyde bizim dünyamızdan farklı olabilir. Aynı zamanda, paralel dünyanın fiziksel yasaları, Evrenimizin yasalarına mutlaka benzemez.

Bu konu bilimkurgu yazarları için verimli bir zemindir.

Salvador Dali'nin Haç Üzerindeki Çarmıha Gerilme adlı tablosu bir tesseratı tasvir eder. "Çarmıha Gerilme veya Hiperkübik Vücut" - İspanyol sanatçı Salvador Dali'nin 1954'te yazdığı bir tablo. Tesseract'ın gelişimi üzerine çarmıha gerilmiş İsa Mesih'i tasvir eder. Resim New York Metropolitan Museum of Art'ta muhafaza edilmektedir.

Her şey 1895'te HG Wells'in "Duvardaki Kapı" hikayesiyle fantezi için paralel dünyaların varlığını keşfetmesiyle başladı. 1923'te Wells, paralel dünyalar fikrine geri döndü ve bunlardan birine "İnsanlar Tanrılar Gibidir" romanının karakterlerinin gittiği ütopik bir ülke yerleştirdi.

Roman farkedilmeden gitmedi. 1926'da G. Dent'in "Ülkenin İmparatoru" adlı öyküsü ortaya çıktı. Dent'in öyküsünde ilk kez, tarihi gerçek ülkelerin tarihinden farklı gidebilecek ülkeler (dünyalar) olabileceği fikri ortaya çıktı. Ve dünyalar, bunlar bizimkinden daha az gerçek değil.

1944'te Jorge Luis Borges, Kurgusal Hikayeler adlı kitabında "Yolları Çatallanan Bahçe" adlı kısa öyküsünü yayınladı. Burada zamanın dallanması fikri nihayet son derece net bir şekilde ifade edildi.
Yukarıda listelenen eserlerin ortaya çıkmasına rağmen, birçok dünya fikri, ancak XX yüzyılın kırklı yıllarının sonunda, yaklaşık olarak aynı zamanda fizikte benzer bir fikrin ortaya çıktığı zaman, bilim kurguda ciddi bir şekilde gelişmeye başladı.

Bilim kurguda yeni bir yönün öncülerinden biri, "Tek Yönlü Sokak" (1954) hikayesinde dünyalar arasında yalnızca bir yönde hareket edebileceğinizi - kendi dünyanızdan paralel bir dünyaya geçebileceğinizi öne süren John Bixby idi. , geri dönmeyeceksin, ama bir dünyadan diğerine geçeceksin. Bununla birlikte, kendi dünyanıza dönüş de dışlanmaz - bunun için dünyalar sisteminin kapalı olması gerekir.

Clifford Simak'ın Ring Around the Sun (1982) adlı romanı, her biri kendi dünyasında var olan, ancak aynı yörüngede bulunan Dünya'nın sayısız gezegenini anlatıyor ve bu dünyalar ve bu gezegenler, birbirinden yalnızca hafif (bir mikrosaniye) kayma ile farklılık gösteriyor. zamanında. Romanın kahramanı tarafından ziyaret edilen çok sayıda Dünya, tek bir dünya sistemi oluşturur.

Dünyaların dallanmasına meraklı bir bakış, Alfred Bester tarafından "Muhammed'i Öldüren Adam" (1958) hikayesinde ifade edildi. Hikayenin kahramanı, "Geçmişi değiştirmek, onu yalnızca kendiniz için değiştirirsiniz" iddiasında bulundu. Başka bir deyişle, geçmişi değiştirdikten sonra, yalnızca değişikliği yapan karakter için bu değişikliğin var olduğu bir tarih dalı ortaya çıkar.

Strugatsky kardeşlerin "Pazartesi Cumartesi başlar" (1962) hikayesinde, karakterlerin farklı varyantlar bilim kurgu yazarları tarafından tanımlanan gelecek - bilim kurguda zaten var olan geçmişin çeşitli versiyonlarına yapılan yolculukların aksine.

Ancak, dünyaların paralelliği temasını işleyen tüm eserlerin basit bir listesi bile çok fazla zaman alacaktır. Ve bilim kurgu yazarları, kural olarak, çok boyutluluğun varsayımını bilimsel olarak doğrulamasalar da, bir konuda haklılar - bu, var olma hakkına sahip bir hipotez.
Tesseract'ın dördüncü boyutu hala ziyaret etmemizi bekliyor.

Victor Savinov