KAPITULLI I.

KONCEPTET THEMELORE.

§ njëmbëdhjetë. KËNDËT E FUNDIT DHE VERTIKAL.

1. Qoshet ngjitur.

Nëse vazhdojmë anën e një cepi përtej kulmit të tij, do të marrim dy qoshe (Fig. 72): / Një diell dhe / SVD, në të cilën njëra anë BC është e zakonshme, dhe dy të tjerat AB dhe BD formojnë një vijë të drejtë.

Dy kënde që kanë një anë të përbashkët dhe dy të tjerët formojnë një vijë të drejtë quhen kënde ngjitur.

Këndet fqinje mund të përftohen edhe në këtë mënyrë: nëse vizatojmë një rreze nga një pikë në një vijë të drejtë (jo e shtrirë në një drejtëz të caktuar), atëherë marrim kënde ngjitur.
Për shembull, / ADF dhe / FDВ - qoshet ngjitur (Fig. 73).

Qoshet ngjitur mund të kenë një shumëllojshmëri të gjerë pozicionesh (Fig. 74).

Këndet fqinje shtohen në një kënd të drejtë, pra umma e dy këndeve ngjitur është 2d.

Prandaj, një kënd i drejtë mund të përkufizohet si një kënd i barabartë me këndin e tij ngjitur.

Duke ditur vlerën e njërit prej këndeve ngjitur, mund të gjejmë vlerën e këndit tjetër ngjitur.

Për shembull, nëse një nga këndet ngjitur është 3/5 d, atëherë këndi i dytë do të jetë i barabartë me:

2d- 3 / 5 d= l 2/5 d.

2. Kënde vertikale.

Nëse zgjerojmë brinjët e një këndi përtej kulmit të tij, marrim kënde vertikale. Në vizatimin 75, këndet EOF dhe AOC janë vertikale; këndet AOE dhe COF janë gjithashtu vertikale.

Dy kënde quhen vertikale nëse brinjët e njërit kënd janë zgjatime të brinjëve të këndit tjetër.

Le / 1 = 7 / 8 d(Fig. 76). Ngjitur me të / 2 do të jetë e barabartë me 2 d- 7 / 8 d, pra 1 1/8 d.

Në të njëjtën mënyrë, ju mund të llogaritni se çfarë janë të barabarta me / 3 dhe / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Fig. 77).

Ne e shohim atë / 1 = / 3 dhe / 2 = / 4.

Mund të zgjidhni disa probleme të tjera të njëjta dhe çdo herë të merrni të njëjtin rezultat: këndet vertikale janë të barabarta me njëri-tjetrin.

Megjithatë, për t'u siguruar që këndet vertikale të jenë gjithmonë të barabarta me njëri-tjetrin, nuk mjafton të merren parasysh shembuj individualë numerikë, pasi përfundimet e nxjerra nga shembuj të veçantë ndonjëherë mund të jenë të gabuara.

Është e nevojshme të verifikohet vlefshmëria e vetive të këndeve vertikale me arsyetim, me provë.

Prova mund të kryhet si më poshtë (Fig. 78):

/ një +/ c = 2d;
/ b +/ c = 2d;

(pasi shuma e këndeve ngjitur është 2 d).

/ një +/ c = / b +/ c

(pasi ana e majtë e kësaj barazie është e barabartë me 2 d, dhe ana e djathtë e saj është gjithashtu e barabartë me 2 d).

Kjo barazi përfshin të njëjtin kënd Me.

Nëse jemi nga vlera të barabarta zbres në mënyrë të barabartë, atëherë ajo do të mbetet e barabartë. Rezultati do të jetë: / a = / b, d.m.th., këndet vertikale janë të barabarta me njëri-tjetrin.

Kur shqyrtojmë çështjen e këndeve vertikale, fillimisht shpjeguam se cilat kënde quhen vertikale, d.m.th. përkufizim qoshet vertikale.

Pastaj bëmë një gjykim (pohim) për barazinë e këndeve vertikale dhe u bindëm për vlefshmërinë e këtij gjykimi me anë të provës. Gjykime të tilla, vlefshmëria e të cilave duhet të vërtetohet, quhen teorema. Kështu, në këtë pjesë kemi dhënë përkufizimin e këndeve vertikale, si dhe kemi deklaruar dhe vërtetuar një teoremë për vetinë e tyre.

Në të ardhmen, kur studiojmë gjeometrinë, vazhdimisht do të duhet të takohemi me përkufizime dhe vërtetime të teoremave.

3. Shuma e këndeve që kanë një kulm të përbashkët.

Në vizatimin 79 / 1, / 2, / 3 dhe / 4 janë të vendosura në të njëjtën anë të një vije të drejtë dhe kanë një kulm të përbashkët në këtë vijë të drejtë. Si përmbledhje, këto kënde përbëjnë një kënd të drejtë, d.m.th.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Në vizatimin 80 / 1, / 2, / 3, / 4 dhe / 5 kanë një majë të përbashkët. Shuma e këtyre këndeve është kënd i plotë, d.m.th. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Ushtrime.

1. Një nga këndet ngjitur është 0,72 d. Njehsoni këndin e formuar nga përgjysmuesit e këtyre këndeve fqinjë.

2. Vërtetoni se përgjysmorët e dy këndeve fqinjë formojnë një kënd të drejtë.

3. Vërtetoni se nëse dy kënde janë të barabartë, atëherë edhe këndet e tyre ngjitur janë të barabartë.

4. Sa çifte këndesh ngjitur janë në vizatimin 81?

5. A mundet një çift këndesh fqinjë të përbëhet nga dy kënde akute? nga dy qoshe të mpirë? nga kënde të drejta dhe të mprehta? nga një kënd i drejtë dhe i mprehtë?

6. Nëse njëri nga këndet ngjitur është i drejtë, atëherë çfarë mund të thuhet për vlerën e këndit ngjitur me të?

7. Nëse në kryqëzimin e dy drejtëzave ka një kënd të drejtë, atëherë çfarë mund të thuhet për madhësinë e tre këndeve të tjera?

Gjeometria është një shkencë shumë e shumëanshme. Zhvillon logjikën, imagjinatën dhe inteligjencën. Sigurisht, për shkak të kompleksitetit të tij dhe numrit të madh të teoremave dhe aksiomave, nxënësve të shkollës nuk u pëlqen gjithmonë. Për më tepër, ekziston nevoja për të provuar vazhdimisht përfundimet e tyre duke përdorur standarde dhe rregulla të pranuara përgjithësisht.

Këndet fqinje dhe vertikale janë pjesë përbërëse e gjeometrisë. Me siguri shumë nxënës thjesht i adhurojnë ata për arsye se vetitë e tyre janë të qarta dhe të lehta për t'u provuar.

Formimi i qosheve

Çdo kënd formohet nga kryqëzimi i dy drejtëzave ose nga tërheqja e dy rrezeve nga një pikë. Ato mund të quhen ose një shkronjë ose tre, të cilat caktojnë radhazi pikat e ndërtimit të këndit.

Këndet maten në gradë dhe mund (në varësi të vlerës së tyre) të quhen ndryshe. Pra, ekziston një kënd i drejtë, i mprehtë, i mpirë dhe i vendosur. Secili prej emrave korrespondon me një masë të caktuar të shkallës ose intervalin e tij.

Një kënd akut është një kënd, masa e të cilit nuk i kalon 90 gradë.

Një kënd i mpirë është një kënd më i madh se 90 gradë.

Një kënd quhet i drejtë kur masa e tij është 90.

Në rastin kur ajo formohet nga një vijë e drejtë e vazhdueshme dhe masa e shkallës së saj është 180, ajo quhet e vendosur.

Këndet që kanë një brinjë të përbashkët, brinja e dytë e të cilave vazhdon njëra-tjetrën quhen fqinj. Ato mund të jenë ose të mprehta ose të hapura. Prerja e vijës formon kënde ngjitur. Karakteristikat e tyre janë si më poshtë:

1. Shuma e këndeve të tilla do të jetë e barabartë me 180 gradë (ekziston një teoremë që e vërteton këtë). Prandaj, njëra prej tyre mund të llogaritet lehtësisht nëse dihet tjetra.
2. Nga pika e parë rezulton se këndet ngjitur nuk mund të formohen nga dy kënde të mpirë ose dy akute.

Falë këtyre vetive, gjithmonë mund të llogaritet masa e shkallës së një këndi duke pasur parasysh vlerën e një këndi tjetër, ose të paktën raportin ndërmjet tyre.

Kënde vertikale

Këndet, brinjët e të cilëve janë vazhdimësi e njëra-tjetrës quhen vertikale. Çdo varietet i tyre mund të veprojë si një palë e tillë. Këndet vertikale janë gjithmonë të barabarta me njëri-tjetrin.

Ato formohen kur linjat kryqëzohen. Së bashku me ta, qoshet ngjitur janë gjithmonë të pranishëm. Një kënd mund të jetë ngjitur për njërin dhe vertikal për tjetrin.

Kur kaloni një vijë arbitrare, merren parasysh edhe disa lloje të tjera këndesh. Një vijë e tillë quhet sekant dhe formon këndet përkatëse, të njëanshme dhe të kryqëzuara. Ata janë të barabartë me njëri-tjetrin. Ato mund të shihen në dritën e vetive që kanë këndet vertikale dhe ato ngjitur.

Kështu, tema e qosheve duket të jetë mjaft e thjeshtë dhe e kuptueshme. Të gjitha pronat e tyre janë të lehta për t'u mbajtur mend dhe provuar. Zgjidhja e problemave nuk është e vështirë për sa kohë që këndet korrespondojnë me një vlerë numerike. Tashmë më tej, kur të fillojë studimi i mëkatit dhe kosit, do t'ju duhet të mësoni përmendësh shumë formula komplekse, përfundimet dhe pasojat e tyre. Deri atëherë, ju thjesht mund të shijoni enigma të lehta në të cilat ju duhet të gjeni qoshet ngjitur.

Këndet në të cilat njëra anë është e përbashkët, dhe anët e tjera shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë (në figurë, këndet 1 dhe 2 janë ngjitur). Oriz. te Art. Këndet ngjitur... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

KËNDET AFRIJ- kënde që kanë një kulm të përbashkët dhe një anë të përbashkët, dhe dy brinjë të tjera të tyre shtrihen në të njëjtën drejtëz ... Enciklopedia e Madhe Politeknike

Shikoni këndin... Fjalori i madh enciklopedik

KËNDËT E FUNDIT, dy kënde shuma e të cilëve është 180°. Secili prej këtyre qosheve plotëson tjetrin në një kënd të plotë... Fjalor enciklopedik shkencor dhe teknik

Shihni kënd. * * * KËNDET FUNJË KËNDET FUNJË, shih Këndi (shih KËNDI)… fjalor enciklopedik

- (Këndet ngjitur) ato që kanë një kulm të përbashkët dhe një brinjë të përbashkët. Kryesisht, ky emër i referohet këndeve të tilla S., nga të cilat dy anët e tjera shtrihen në drejtime të kundërta të një vije të drejtë të tërhequr përmes kulmit ... Fjalor Enciklopedik F.A. Brockhaus dhe I.A. Efron

Shikoni këndin... Shkenca natyrore. fjalor enciklopedik

Dy linjat kryqëzohen, duke krijuar një palë kënde vertikale. Njëra palë përbëhet nga këndet A dhe B, tjetra nga C dhe D. Në gjeometri, dy kënde quhen vertikale nëse krijohen nga kryqëzimi i dy ... Wikipedia

Një çift këndesh plotësues që plotësojnë njëri-tjetrin deri në 90 gradë Një kënd plotësues është një çift këndesh që plotësojnë njëri-tjetrin deri në 90 gradë. Nëse dy kënde plotësuese janë ngjitur (d.m.th., ata kanë një kulm të përbashkët dhe ndahen vetëm ... ... Wikipedia

Një çift këndesh plotësues që plotësojnë njëri-tjetrin deri në 90 gradë Këndet plotësuese janë një çift këndesh që plotësojnë njëri-tjetrin deri në 90 gradë. Nëse dy kënde shtesë janë c ... Wikipedia

libra

• Në prova në gjeometri, Fetisov A.I. Një herë, në fillim Viti shkollor Më duhej të dëgjoja një bisedë mes dy vajzave. Më i madhi prej tyre u zhvendos në klasën e gjashtë, më i riu - në të pestën. Vajzat ndanë përshtypjet e tyre për mësimet, ...
• Gjeometria. klasa e 7-të. Fletore komplekse për kontrollin e njohurive, I. S. Markova, S. P. Babenko. Manuali paraqet materialet kontrolluese dhe matëse (KMI) në gjeometri për kryerjen e kontrollit aktual, tematik dhe përfundimtar të cilësisë së njohurive të nxënësve të klasës së 7-të. Përmbajtja e udhëzuesit…

Dy kënde quhen fqinj nëse kanë një anë të përbashkët dhe anët e tjera të këtyre këndeve janë rreze plotësuese. Në figurën 20, këndet AOB dhe BOC janë ngjitur.

Shuma e këndeve ngjitur është 180°

Teorema 1. Shuma e këndeve ngjitur është 180°.

Dëshmi. Trau OB (shih Fig. 1) kalon midis anëve të këndit të zhvilluar. Kjo është arsyeja pse ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.

Nga teorema 1 rrjedh se nëse dy kënde janë të barabartë, atëherë këndet ngjitur me to janë të barabartë.

Këndet vertikale janë të barabarta

Dy kënde quhen vertikale nëse brinjët e njërit kënd janë rreze plotësuese të brinjëve të tjetrit. Këndet AOB dhe COD, BOD dhe AOC, të formuara në kryqëzimin e dy vijave të drejta, janë vertikale (Fig. 2).

Teorema 2. Këndet vertikale janë të barabarta.

Dëshmi. Konsideroni këndet vertikale AOB dhe COD (shih Fig. 2). Këndi BOD është ngjitur me secilin nga këndet AOB dhe COD. Nga teorema 1, ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Prandaj konkludojmë se ∠ AOB = ∠ COD.

Përfundim 1. Një kënd ngjitur me një kënd të drejtë është një kënd i drejtë.

Konsideroni dy drejtëza të kryqëzuara AC dhe BD (Fig. 3). Ata formojnë katër qoshe. Nëse njëri prej tyre është i drejtë (këndi 1 në figurën 3), atëherë këndet e tjera janë gjithashtu të drejta (këndet 1 dhe 2, 1 dhe 4 janë ngjitur, këndet 1 dhe 3 janë vertikalë). Në këtë rast, thuhet se këto drejtëza priten në kënde të drejta dhe quhen pingule (ose reciprokisht pingul). Perpendikulariteti i drejtëzave AC dhe BD shënohet si më poshtë: AC ⊥ BD.

Përgjysmues pingul i një segmenti është një drejtëz pingul me këtë segment dhe që kalon nga mesi i tij.

AN - pingul me vijën

Konsideroni një drejtëz a dhe një pikë A që nuk shtrihen mbi të (Fig. 4). Lidhni pikën A me një segment në pikën H me një drejtëz a. Një segment AH quhet pingul i tërhequr nga pika A në drejtëzën a nëse drejtëzat AN dhe a janë pingule. Pika H quhet baza e pingules.

Vizatim katror

Teorema e mëposhtme është e vërtetë.

Teorema 3. Nga çdo pikë që nuk shtrihet në një drejtëz, mund të vizatohet një pingul me këtë drejtëz dhe për më tepër, vetëm një.

Për të vizatuar një pingul nga një pikë në një vijë të drejtë në vizatim, përdoret një katror vizatimor (Fig. 5).

Koment. Deklarata e teoremës zakonisht përbëhet nga dy pjesë. Një pjesë flet për atë që jepet. Kjo pjesë quhet kushti i teoremës. Pjesa tjetër flet për atë që duhet të vërtetohet. Kjo pjesë quhet përfundimi i teoremës. Për shembull, kushti i Teoremës 2 është kënde vertikale; përfundim - këto kënde janë të barabarta.

Çdo teoremë mund të shprehet në detaje me fjalë, në mënyrë që gjendja e saj të fillojë me fjalën "nëse", dhe përfundimi me fjalën "atëherë". Për shembull, Teorema 2 mund të shprehet në detaje si më poshtë: "Nëse dy kënde janë vertikale, atëherë ato janë të barabarta".

Shembulli 1 Një nga këndet ngjitur është 44°. Me çfarë barazohet tjetri?

Zgjidhje. Shënoni masën e shkallës së një këndi tjetër me x, pastaj sipas teoremës 1.
44° + x = 180°.
Duke zgjidhur ekuacionin që rezulton, gjejmë se x \u003d 136 °. Prandaj, këndi tjetër është 136°.

Shembulli 2 Le të jetë këndi COD në figurën 21 45°. Cilat janë këndet AOB dhe AOC?

Zgjidhje. Këndet COD dhe AOB janë vertikale, prandaj sipas teoremës 1.2 janë të barabartë, d.m.th., ∠ AOB = 45°. Këndi AOC është ngjitur me këndin COD, pra, nga teorema 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Shembulli 3 Gjeni kënde ngjitur nëse njëri prej tyre është 3 herë tjetri.

Zgjidhje. Shënoni masën e shkallës së këndit më të vogël me x. Atëherë masa e shkallës së këndit më të madh do të jetë Zx. Meqenëse shuma e këndeve ngjitur është 180° (teorema 1), atëherë x + 3x = 180°, prej nga x = 45°.
Pra, këndet ngjitur janë 45° dhe 135°.

Shembulli 4 Shuma e dy këndeve vertikale është 100°. Gjeni vlerën e secilit prej katër këndeve.

Zgjidhje. Le të korrespondojë me kushtin e problemit figura 2. Këndet vertikale COD me AOB janë të barabarta (teorema 2), që do të thotë se edhe masat e shkallës së tyre janë të barabarta. Prandaj, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (shuma e tyre është 100° sipas kushtit). Këndi BOD (gjithashtu këndi AOC) është ngjitur me këndin COD, dhe, për rrjedhojë, nga teorema 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Pyetja 1. Cilat kënde quhen fqinjë?
Përgjigju. Dy kënde quhen fqinj nëse kanë njërën anë të përbashkët dhe anët e tjera të këtyre këndeve janë gjysmëdrejtëza plotësuese.
Në figurën 31, qoshet (a 1 b) dhe (a 2 b) janë ngjitur. Ata kanë një anë të përbashkët b, dhe anët a 1 dhe a 2 janë gjysmë vija shtesë.

Pyetja 2. Vërtetoni se shuma e këndeve ngjitur është 180°.
Përgjigju. Teorema 2.1. Shuma e këndeve ngjitur është 180°.
Dëshmi. Le të jepen këndit (a 1 b) dhe këndit (a 2 b) kënde ngjitur (shih Fig. 31). Trau b kalon midis brinjëve a 1 dhe a 2 të këndit të zhvilluar. Prandaj, shuma e këndeve (a 1 b) dhe (a 2 b) është e barabartë me këndin e zhvilluar, pra 180 °. Q.E.D.

Pyetja 3. Vërtetoni se nëse dy kënde janë të barabartë, atëherë edhe këndet ngjitur me to janë të barabartë.
Përgjigju.

Nga teorema 2.1 Nga kjo rrjedh se nëse dy kënde janë të barabarta, atëherë këndet ngjitur me to janë të barabartë.
Le të themi se këndet (a 1 b) dhe (c 1 d) janë të barabarta. Duhet të vërtetojmë se këndet (a 2 b) dhe (c 2 d) janë gjithashtu të barabartë.
Shuma e këndeve ngjitur është 180°. Nga kjo rrjedh se a 1 b + a 2 b = 180° dhe c 1 d + c 2 d = 180°. Prandaj, një 2 b \u003d 180 ° - a 1 b dhe c 2 d \u003d 180 ° - c 1 d. Meqenëse këndet (a 1 b) dhe (c 1 d) janë të barabarta, marrim se a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b \u003d c 2 d. Nga vetia e kalueshmërisë së shenjës së barabartë, rezulton se a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Pyetja 4. Cili kënd quhet i drejtë (akut, i mpirë)?
Përgjigju. Një kënd i barabartë me 90° quhet kënd i drejtë.
Një kënd më i vogël se 90° quhet kënd akut.
Një kënd më i madh se 90° dhe më i vogël se 180° quhet kënd i mpirë.

Pyetja 5. Vërtetoni se një kënd ngjitur me një kënd të drejtë është një kënd i drejtë.
Përgjigju. Nga teorema mbi shumën e këndeve fqinjë del se këndi ngjitur me një kënd të drejtë është një kënd i drejtë: x + 90° = 180°, x= 180° - 90°, x = 90°.

Pyetja 6. Cilat janë këndet vertikale?
Përgjigju. Dy kënde quhen vertikale nëse brinjët e njërit kënd janë gjysmëdrejtëza plotësuese të brinjëve të tjetrit.

Pyetja 7. Vërtetoni se këndet vertikale janë të barabarta.
Përgjigju. Teorema 2.2. Këndet vertikale janë të barabarta.
Dëshmi. Le të jepen (a 1 b 1) dhe (a 2 b 2) kënde vertikale (Fig. 34). Këndi (a 1 b 2) është ngjitur me këndin (a 1 b 1) dhe me këndin (a 2 b 2). Nga këtu, me teoremën mbi shumën e këndeve ngjitur, arrijmë në përfundimin se secili nga këndet (a 1 b 1) dhe (a 2 b 2) plotëson këndin (a 1 b 2) deri në 180 °, d.m.th. këndet (a 1 b 1) dhe (a 2 b 2) janë të barabarta. Q.E.D.

Pyetja 8. Vërtetoni se nëse në kryqëzimin e dy drejtëzave njëri nga këndet është kënd i drejtë, atëherë edhe tre këndet e tjerë janë të drejtë.
Përgjigju. Supozojmë se drejtëzat AB dhe CD kryqëzohen me njëra-tjetrën në pikën O. Supozojmë se këndi AOD është 90°. Meqenëse shuma e këndeve ngjitur është 180°, marrim se AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Këndi COB është vertikal me këndin AOD, kështu që ato janë të barabarta. Kjo është, këndi COB = 90°. COA është vertikale me BOD, kështu që ato janë të barabarta. Domethënë, këndi BOD = 90°. Kështu, të gjitha këndet janë të barabarta me 90 °, domethënë ato janë të gjitha në rregull. Q.E.D.

Pyetja 9. Cilat drejtëza quhen pingule? Cila shenjë përdoret për të treguar pingulitetin e vijave?
Përgjigju. Dy drejtëza quhen pingule nëse priten në një kënd të drejtë.
Perpendikulariteti i vijave shënohet me \(\perp\). Hyrja \(a\perp b\) lexon: "Rreshti a është pingul me vijën b".

Pyetja 10. Vërtetoni se përmes çdo pike të drejtëzës mund të vizatoni një drejtëz pingul me të, dhe vetëm një.
Përgjigju. Teorema 2.3. Përmes çdo rreshti, mund të vizatoni një vijë pingul me të, dhe vetëm një.
Dëshmi. Le të jetë a një vijë e dhënë dhe A - pikë e dhënë Tek ajo. Shënoni me a 1 një nga gjysmëdrejtëzat me drejtëzën a me pikën e fillimit A (Fig. 38). Lini mënjanë nga gjysmëvija a 1 këndin (a 1 b 1) të barabartë me 90 °. Atëherë vija që përmban rreze b 1 do të jetë pingul me drejtëzën a.

Supozojmë se ka një drejtëz tjetër që gjithashtu kalon nëpër pikën A dhe është pingul me drejtëzën a. Shënoni me c 1 gjysmëdrejtëzën e kësaj drejtëze që shtrihet në të njëjtin gjysmërrafsh me rreze b 1 .
Këndet (a 1 b 1) dhe (a 1 c 1), të barabarta me 90° secila, janë vendosur në një gjysmë rrafsh nga gjysmëdrejtëza a 1 . Por nga gjysmëvija a 1, vetëm një kënd i barabartë me 90 ° mund të lihet mënjanë në këtë gjysmë rrafsh. Prandaj, nuk mund të ketë një drejtëz tjetër që kalon nga pika A dhe pingul me drejtëzën a. Teorema është vërtetuar.

Pyetja 11.Çfarë është një pingul me një vijë?
Përgjigju. Një pingul me një vijë të caktuar është një segment drejtëz pingul me atë të dhënë, i cili ka një nga skajet e tij në pikën e tyre të kryqëzimit. Ky fund i segmentit quhet bazë pingul.

Pyetja 12. Shpjegoni se çfarë është prova me kontradiktë.
Përgjigju. Metoda e provës që kemi përdorur në Teoremën 2.3 quhet vërtetim me kontradiktë. Kjo mënyrë vërtetimi konsiston në atë që së pari bëjmë një supozim të kundërt me atë që thuhet nga teorema. Më pas, duke arsyetuar, duke u mbështetur në aksiomat dhe teoremat e vërtetuara, arrijmë në një përfundim që bie ndesh ose me kushtin e teoremës, ose me njërën nga aksiomat, ose me teoremën e provuar më parë. Mbi këtë bazë, arrijmë në përfundimin se supozimi ynë ishte i gabuar, që do të thotë se pohimi i teoremës është i vërtetë.

Pyetja 13.Çfarë është një përgjysmues këndi?
Përgjigju. Përgjysmuesja e një këndi është një rreze që vjen nga kulmi i këndit, kalon midis anëve të tij dhe e ndan këndin në gjysmë.