Kujdes aplikantët! Këtu janë analizuar disa detyra të provimit. Pjesa tjetër, më interesantet, janë në materialin tonë video falas. Shikoni dhe veproni!

Do të fillojmë me probleme të thjeshta dhe koncepte bazë të teorisë së probabilitetit.
E rastësishme Një ngjarje quhet një ngjarje që nuk mund të parashikohet me saktësi paraprakisht. Mund të ndodhë ose nuk mundet.
Ju fituat llotarinë - një ngjarje e rastësishme. Ju ftove miqtë për të festuar fitoren dhe gjatë rrugës për tek ju ata u mbërthyen në ashensor - gjithashtu një ngjarje e rastësishme. Vërtetë, mjeshtri ishte afër dhe liroi të gjithë kompaninë në dhjetë minuta - dhe kjo gjithashtu mund të konsiderohet një aksident i lumtur ...

Jeta jonë është plot ngjarje të rastësishme. Secila prej tyre mund të thuhet se ndodh me disa probabiliteti. Me shumë mundësi, ju jeni të njohur intuitivisht me këtë koncept. Tani do të japim një përkufizim matematikor të probabilitetit.

Le të fillojmë me shembullin më të thjeshtë. Ju jeni duke hedhur një monedhë. Kokat apo bishtat?

Një veprim i tillë, i cili mund të çojë në një nga disa rezultate, quhet në teorinë e probabilitetit provë.

Kokat dhe bishtat - dy të mundshme eksodi testet.

Shqiponja do të bjerë në një nga dy rastet e mundshme. Ata thonë se probabiliteti që kokat e monedhave janë të barabarta me .

Le të hedhim një zare. Mjeti ka gjashtë anë, kështu që ka gjashtë rezultate të mundshme.

Për shembull, keni marrë me mend se tre pikë do të bien jashtë. Ky është një rezultat nga gjashtë të mundshëm. Në teorinë e probabilitetit, do të quhet rezultat i favorshëm.

Probabiliteti për të marrë një trefish është (një rezultat i favorshëm nga gjashtë të mundshme).

Probabiliteti i një katër është gjithashtu

Por probabiliteti i shfaqjes së të shtatëve është zero. Në fund të fundit, nuk ka fytyrë me shtatë pika në kub.

Probabiliteti i një ngjarje është i barabartë me raportin e numrit të rezultateve të favorshme me numrin total të rezultateve.

Natyrisht, probabiliteti nuk mund të jetë më i madh se një.

Këtu është një shembull tjetër. Në një qese me mollë, nga të cilat janë të kuqe, pjesa tjetër janë jeshile. Mollët nuk ndryshojnë në formë dhe madhësi. Ju futni dorën në çantë dhe nxirrni një mollë rastësisht. Probabiliteti për të vizatuar një mollë të kuqe është , dhe një jeshile është .

Probabiliteti për të marrë një mollë të kuqe ose jeshile është.

Le të analizojmë problemet në teorinë e probabilitetit të përfshira në koleksionet për përgatitjen për provim.

. Në kompaninë e taksive ky moment makina falas: të kuqe, të verdhë dhe jeshile. Në një telefonatë, një nga makinat u largua, e cila ndodhi të ishte më afër klientit. Gjeni probabilitetin që të arrijë një taksi e verdhë.

Ka gjithsej makina, domethënë një në pesëmbëdhjetë do t'i vijë klientit. Janë nëntë të verdha, që do të thotë se probabiliteti i mbërritjes së një makine të verdhë është , domethënë.

. (Versioni demo) Në koleksionin e biletave për biologjinë e të gjitha biletave, në dy prej tyre ka një pyetje për kërpudhat. Në provim, studenti merr një biletë të zgjedhur rastësisht. Gjeni probabilitetin që kjo biletë të mos përfshijë pyetjen për kërpudhat.

Natyrisht, probabiliteti për të nxjerrë një biletë pa pyetur për kërpudhat është , domethënë .

. Komiteti prindëror bleu puzzles për dhurata për fëmijët në fund Viti shkollor, nga të cilat me foto artistë të famshëm dhe foto të kafshëve. Dhuratat shpërndahen në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që Vovochka të marrë enigmën e kafshëve.

Detyra zgjidhet në të njëjtën mënyrë.

Përgjigje:.

. Atletët marrin pjesë në kampionatin e gjimnastikës: nga Rusia, nga SHBA, pjesa tjetër - nga Kina. Radha në të cilën performojnë gjimnastët përcaktohet me short. Gjeni probabilitetin që atleti i fundit që do të konkurrojë është nga Kina.

Le të imagjinojmë që të gjithë atletët në të njëjtën kohë iu afruan kapelës dhe nxorrën copa letre me numra prej saj. Disa prej tyre do të marrin numrin e njëzetë. Probabiliteti që një atlet kinez ta tërheqë atë është i barabartë (pasi atletët janë nga Kina). Përgjigje:.

. Studentit iu kërkua të emëronte një numër nga deri në . Sa është probabiliteti që ai të emërojë një numër që është shumëfish i pesës?

Çdo të pestën një numër nga bashkësia e dhënë plotpjesëtohet me . Pra, probabiliteti është.

Hidhet një zare. Gjeni probabilitetin për të marrë një numër tek pikët.

Numrat tek; - madje. Probabiliteti i një numri tek pikash është .

Përgjigje:.

. Monedha hidhet tre herë. Sa është probabiliteti i dy kokave dhe një bishti?

Vini re se problemi mund të formulohet ndryshe: tre monedha hidhen në të njëjtën kohë. Nuk do të ndikojë në vendim.

Sa rezultate të mundshme mendoni se ka?

Ne hedhim një monedhë. Ky veprim ka dy rezultate të mundshme: kokat dhe bishtat

Dy monedha - tashmë katër rezultate:

Tre monedha? Kjo është e drejtë, rezultatet, pasi .

Dy koka dhe një bisht dalin tre herë nga tetë.

Përgjigje:.

. Në një eksperiment të rastësishëm, hidhen dy zare. Gjeni probabilitetin që shuma të bjerë pikë. Rrumbullakosni rezultatin në të qindtën më të afërt.

Hidhe ngordhin e parë - gjashtë rezultate. Dhe për secilën prej tyre, gjashtë të tjera janë të mundshme - kur të mbështjellim veglën e dytë.

Ne e kuptojmë atë këtë veprim- hedhja e dy zarave - numri i përgjithshëm i rezultateve të mundshme, pasi .

Tani për lajmet e mira:

Probabiliteti për të marrë tetë pikë është .

>. Qitësi godet objektivin me gjasë. Gjeni probabilitetin që ai të godasë objektivin katër herë radhazi.

Nëse probabiliteti i goditjes është i barabartë, atëherë probabiliteti për të humbur është . Ne argumentojmë në të njëjtën mënyrë si në problemin e mëparshëm. Probabiliteti i dy goditjeve radhazi është . Dhe probabiliteti i katër goditjeve me radhë është i barabartë me .

Probabiliteti: logjika e forcës brutale.

Ja një detyrë nga puna diagnostikuese, e cila shumëkujt iu duk e vështirë.

Petya kishte monedha rubla dhe monedha rubla në xhepin e tij. Petya, pa shikuar, zhvendosi disa monedha në një xhep tjetër. Gjeni probabilitetin që monedhat prej pesë rubla janë tani në xhepa të ndryshëm.

Ne e dimë se probabiliteti i një ngjarje është i barabartë me raportin e numrit të rezultateve të favorshme me numrin total të rezultateve. Por si të llogariten të gjitha këto rezultate?

Sigurisht, ju mund të shënoni monedhat me pesë rubla me numra dhe monedhat me dhjetë rubla me numra - dhe më pas të llogaritni në sa mënyra mund të zgjidhni tre elementë nga grupi.

Sidoqoftë, ekziston një zgjidhje më e lehtë:

Ne kodojmë monedhat me numra:, (këto janë pesë rubla), (këto janë dhjetë rubla). Gjendja e problemit tani mund të formulohet si më poshtë:

Janë gjashtë çipa të numëruara nga deri në . Në sa mënyra mund të shpërndahen në mënyrë të barabartë në dy xhepa, në mënyrë që çipat me numra të mos përfundojnë së bashku?

Le të shkruajmë atë që kemi në xhepin e parë.

Për ta bërë këtë, ne do të kompozojmë të gjitha kombinimet e mundshme nga grupi. Një grup prej tre çipash do të jetë një numër treshifror. Është e qartë se në kushtet tona dhe janë të njëjtat grup argumentesh. Për të mos humbur asgjë dhe për të mos përsëritur, ne renditim numrat përkatës treshifrorë në rend rritës:

Të gjitha! Ne kemi provuar të gjitha kombinimet e mundshme duke filluar me . Ne vazhdojmë:

rezultatet totale të mundshme.

Ne kemi një kusht - patate të skuqura me numra dhe nuk duhet të jemi bashkë. Kjo do të thotë, për shembull, që kombinimi nuk na përshtatet - do të thotë që patate të skuqura dhe të dyja përfunduan jo në xhepin e parë, por në xhepin e dytë. Rezultatet e favorshme për ne janë ato ku ka ose vetëm, ose vetëm. Këtu ata janë:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 - rezultate totale të favorshme.

Atëherë probabiliteti i kërkuar është .

Çfarë detyrash ju presin në provimin e matematikës?

Le të analizojmë një nga problemet më të vështira në teorinë e probabilitetit.

Për të hyrë në institutin për specialitetin "Gjuhësi", aplikanti Z. duhet të marrë të paktën 70 pikë në Provimin e Unifikuar të Shtetit në secilën nga tre lëndët - matematikë, gjuhë ruse dhe një gjuhë të huaj. Për t'u regjistruar në specialitetin "Tregti", duhet të shënoni të paktën 70 pikë në secilën nga tre lëndët - matematikë, gjuhë ruse dhe studime sociale.

Probabiliteti që aplikanti Z. të marrë të paktën 70 pikë në matematikë është 0,6, në gjuhën ruse - 0,8, në gjuhe e huaj- 0,7 dhe në studimet sociale - 0,5.
Gjeni probabilitetin që Z. do të jetë në gjendje të hyjë të paktën në një nga dy specialitetet e përmendura.

Vini re se problemi nuk shtron pyetjen nëse një aplikant me emrin Z. do të studiojë njëkohësisht edhe gjuhësi edhe tregti dhe do të marrë dy diploma. Këtu duhet të gjejmë probabilitetin që Z. do të jetë në gjendje të hyjë të paktën në një nga këto dy specialitete - domethënë, ai do të marrë numrin e kërkuar të pikëve.
Për të hyrë në të paktën një nga dy specialitetet, Z. duhet të marrë të paktën 70 pikë në matematikë. Dhe në rusisht. E megjithatë - shkenca sociale ose e huaj.
Probabiliteti për të shënuar 70 pikë në matematikë për të është 0.6.
Probabiliteti për të fituar pikë në matematikë dhe rusisht është 0.6 0.8.

Të merremi me studime të huaja dhe sociale. Opsionet janë të përshtatshme për ne kur aplikanti ka marrë pikë në studimet sociale, në një gjuhë të huaj ose në të dyja. Opsioni nuk është i përshtatshëm kur ai nuk ka marrë pikë as në gjuhë, as në "shoqëri". Kjo do të thotë se probabiliteti për të kaluar studimet sociale ose të huaja me të paktën 70 pikë është i barabartë me
1 – 0,5 0,3.
Si rezultat, probabiliteti i kalimit të matematikës, studimeve ruse dhe sociale ose të huaja është i barabartë me
0,6 0,8 (1 - 0,5 0,3) = 0,408. Kjo është përgjigja.

Plani për një punëtori për mësuesit e matematikës të institucionit arsimor të qytetit të Tulës me temën "Zgjidhja e detyrave të USE në matematikë nga seksionet: kombinatorika, teoria e probabilitetit. Metodat e mësimdhënies »

Shpenzimi i kohës: 12 00 ; 15 00

Vendndodhja: MBOU “Liceu nr.1”, salla. nr 8

I. Zgjidhja e problemit për probabilitetin

1. Zgjidhja e problemeve mbi përkufizimin klasik të probabilitetit

Ne, si mësues, tashmë e dimë se llojet kryesore të detyrave në USE në teorinë e probabilitetit bazohen në përkufizimin klasik të probabilitetit. Kujtoni çfarë quhet probabiliteti i një ngjarjeje?

Probabiliteti i një ngjarjejeështë raporti i numrit të rezultateve që favorizojnë një ngjarje të caktuar me numrin total të rezultateve.

Në shoqatën tonë shkencore dhe metodologjike të mësuesve të matematikës, është zhvilluar një skemë e përgjithshme për zgjidhjen e problemeve sipas probabilitetit. Unë do të doja ta paraqes atë në vëmendjen tuaj. Meqë ra fjala, ne ndamë përvojën tonë të punës dhe në materialet që i dhamë vëmendjen tuaj për një diskutim të përbashkët të zgjidhjes së problemeve, dhamë këtë skemë. Megjithatë, dua ta shpreh.

Sipas mendimit tonë, kjo skemë ndihmon për të vendosur shpejt në mënyrë logjike gjithçka në rafte, dhe pas kësaj detyra mund të zgjidhet shumë më lehtë si për mësuesin ashtu edhe për studentët.

Pra, dua të analizoj në detaje problemin e përmbajtjes së mëposhtme.

Doja të flisja me ju për të shpjeguar metodologjinë se si t'u përcillni djemve një zgjidhje të tillë, gjatë së cilës djemtë do ta kuptonin këtë detyrë tipike, dhe më vonë do t'i kuptonin vetë këto detyra.

Çfarë është një eksperiment i rastësishëm në këtë problem? Tani duhet të izolojmë ngjarjen elementare në këtë eksperiment. Cila është kjo ngjarje elementare? Le t'i rendisim ato.

Bëjnë pyetje?

Të nderuar kolegë, edhe ju padyshim që keni marrë parasysh problemet e probabilitetit me zare. Unë mendoj se duhet ta çmontojmë, sepse ka disa nuanca. Le ta analizojmë këtë problem sipas skemës që ju propozuam. Meqenëse ka një numër nga 1 në 6 në secilën faqe të kubit, ngjarjet elementare janë numrat 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ne zbuluam se numri i përgjithshëm i ngjarjeve elementare është 6. Le të përcaktojmë se cilat ngjarjet elementare favorizojnë ngjarjen. Vetëm dy ngjarje e favorizojnë këtë ngjarje - 5 dhe 6 (pasi rrjedh nga kushti që 5 dhe 6 pikë duhet të bien jashtë).

Shpjegoni se të gjitha ngjarjet elementare janë njëlloj të mundshme. Cilat do të jenë pyetjet në detyrë?

Si e kuptoni që monedha është simetrike? Le ta kuptojmë këtë, ndonjëherë disa fraza shkaktojnë keqkuptime. Le ta kuptojmë këtë problem konceptualisht. Le të merremi me ju në atë eksperiment, i cili është përshkruar, se cilat mund të jenë rezultatet elementare. E imagjinoni dot ku është shqiponja, ku është bishti? Cilat janë opsionet e rezultateve? A ka ngjarje të tjera? Sa është numri i përgjithshëm i ngjarjeve? Sipas problemit, dihet se kokat kanë rënë pikërisht një herë. Pra kjo ngjarjengjarje elementare nga këto katër OR dhe RO favorizojnë, kjo nuk mund të ndodhë tashmë dy herë. Ne përdorim formulën me të cilën gjendet probabiliteti i një ngjarjeje. Kujtoni se përgjigjet në Pjesën B duhet të jenë ose një numër i plotë ose një dhjetor.

Shfaq në tabelën e bardhë interaktive. Ne lexojmë detyrën. Cili është rezultati elementar në këtë përvojë? Sqaroni se çifti është i porositur - domethënë, numri ra në të parën dhe në të dytën. Në çdo detyrë ka raste kur ju duhet të zgjidhni metodat racionale, formon dhe prezanton zgjidhjen në formën e tabelave, diagrameve etj. Në këtë problem, është i përshtatshëm për të përdorur një tabelë të tillë. Unë ju jap një zgjidhje të gatshme, por gjatë zgjidhjes rezulton se në këtë problem është racionale të përdoret zgjidhja në formën e tabelës. Shpjegoni se çfarë do të thotë tabela. Ju e kuptoni pse kolonat thonë 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Le të vizatojmë një katror. Linjat korrespondojnë me rezultatet e rrotullimit të parë - janë gjashtë prej tyre, sepse kadaja ka gjashtë fytyra. Siç janë edhe kolonat. Në çdo qelizë shkruajmë shumën e pikave të rënë. Trego tabelën e plotësuar. Le të ngjyrosim qelizat ku shuma është e barabartë me tetë (siç kërkohet në kusht).

Unë besoj se problemi tjetër, pasi të analizojmë të mëparshmet, mund t'u jepet djemve për ta zgjidhur vetë.

Në problemet e mëposhtme, nuk ka nevojë të shënohen të gjitha rezultatet elementare. Mjafton vetëm të numërosh numrin e tyre.

(Pa zgjidhje) I dhashë djemve që ta zgjidhin këtë problem vetë. Algoritmi për zgjidhjen e problemit

1. Përcaktoni se çfarë është një eksperiment i rastësishëm dhe çfarë është një ngjarje e rastësishme.

2. Gjeni numrin e përgjithshëm të ngjarjeve elementare.

3. Numri i ngjarjeve që favorizojnë ngjarjen e gjejmë të specifikuar në gjendjen e problemit.

4. Gjeni probabilitetin e një ngjarjeje duke përdorur formulën.

Nxënësve mund t'u bëhet një pyetje, nëse 1000 bateri kanë dalë në shitje, dhe ndër to 6 janë me defekt, atëherë bateria e zgjedhur përcaktohet si? Çfarë është në detyrën tonë? Më pas, bëj një pyetje për gjetjen e asaj që përdoret këtu si numërdhe propozoj ta gjejnumri. Pastaj pyes, cila është ngjarja këtu? Sa akumulues favorizojnë përfundimin e ngjarjes? Më pas, duke përdorur formulën, ne llogarisim këtë probabilitet.

Këtu fëmijëve mund t'u ofrohet një zgjidhje e dytë. Le të diskutojmë se çfarë mund të jetë kjo metodë?

1. Çfarë ngjarje mund të konsiderohet tani?

2. Si të gjendet probabiliteti i një ngjarjeje të caktuar?

Fëmijëve duhet t'u tregohet për këto formula. Ata janë të radhës

Detyra e tetë mund t'u ofrohet fëmijëve vetë, pasi është e ngjashme me detyrën e gjashtë. Mund t'u ofrohet atyre si punë e pavarur, ose në një kartë në tabelë.

Ky problem mund të zgjidhet në lidhje me Olimpiadën që po zhvillohet aktualisht. Përkundër faktit se ngjarje të ndryshme marrin pjesë në detyra, megjithatë, detyrat janë tipike.

2. Rregullat dhe formulat më të thjeshta për llogaritjen e probabiliteteve (ngjarje të kundërta, shuma e ngjarjeve, prodhimi i ngjarjeve)

Kjo është një detyrë nga Përdorni koleksionin. Zgjidhjen e vendosim në tabelë. Çfarë pyetjesh duhet t'u bëjmë nxënësve për të analizuar këtë problem.

1. Sa mitralozë kishte? Pasi dy automate, atëherë ka tashmë dy ngjarje. Pyes fëmijët se cila do të jetë ngjarja? Cila do të jetë ngjarja e dytë?

2. është probabiliteti i ngjarjes. Nuk kemi nevojë ta llogarisim, pasi është dhënë në kusht. Sipas gjendjes së problemit, probabiliteti që “kafeja të mbarojë në të dyja makinat” është 0,12. Kishte një ngjarje A, kishte një ngjarje B. Dhe shfaqet një ngjarje e re? Unë u bëj fëmijëve pyetjen - çfarë? Kjo është një ngjarje kur të dy makinave shitëse u mbaron kafeja. Në këtë rast, në teorinë e probabilitetit, kjo është një ngjarje e re, e cila quhet kryqëzimi i dy ngjarjeve A dhe B dhe shënohet në këtë mënyrë.

Le të përdorim formulën e shtimit të probabilitetit. Formula është si më poshtë

Ne jua japim atë në materialin referues dhe djemtë mund ta japin këtë formulë. Kjo ju lejon të gjeni probabilitetin e shumës së ngjarjeve. Na pyetën probabilitetin e ngjarjes së kundërt, probabiliteti i së cilës gjendet me formulë.

Problemi 13 përdor konceptin e një produkti të ngjarjeve, formula për gjetjen e probabilitetit të së cilës është dhënë në Shtojcë.

3. Detyrat për përdorimin e pemës opsione

Sipas gjendjes së problemit, është e lehtë të hartoni një diagram dhe të gjeni probabilitetet e treguara.

Me ndihmën e çfarë materiali teorik keni analizuar zgjidhjen e problemeve të këtij lloji me nxënësit? A keni përdorur një pemë të mundësive apo keni përdorur metoda të tjera për zgjidhjen e problemeve të tilla? A e keni dhënë konceptin e grafikëve? Në klasën e pestë apo të gjashtë djemtë kanë probleme të tilla, analiza e të cilave jep konceptin e grafikëve.

Do të doja t'ju pyesja, a keni menduar ju dhe studentët tuaj të përdorni një pemë të mundësive gjatë zgjidhjes së problemeve të probabilitetit? Fakti është se jo vetëm që USE ka detyra të tilla, por janë shfaqur detyra mjaft komplekse, të cilat tani do t'i zgjidhim.

Le të diskutojmë me ju metodologjinë për zgjidhjen e problemeve të tilla - nëse përkon me metodologjinë time, siç u shpjegoj djemve, atëherë do të jetë më e lehtë për mua të punoj me ju, nëse jo, atëherë do t'ju ndihmoj të merreni me këtë problem.

Le të diskutojmë ngjarjet. Cilat ngjarje në problemin 17 mund të identifikohen?

Kur ndërtohet një pemë në një aeroplan, caktohet një pikë, e cila quhet rrënja e pemës. Më pas, ne fillojmë të shqyrtojmë ngjarjetdhe. Do të ndërtojmë një segment (në teorinë e probabilitetit quhet degë). Sipas kushtit shkruhet qe fabrika e pare prodhon 30% te celulareve te kesaj marke (cfare? Ky qe prodhojne ata), ndaj per momentin po pyes studentet sa eshte probabiliteti qe fabrika e pare te prodhoje telefona te kesaj marke. , ato që prodhojnë? Meqenëse ngjarja është lëshimi i telefonit në fabrikën e parë, probabiliteti i kësaj ngjarje është 30% ose 0.3. Telefonat e mbetur prodhohen në fabrikën e dytë - ne po ndërtojmë segmentin e dytë, dhe probabiliteti i kësaj ngjarje është 0.7.

U drejtohet nxënësve pyetja - çfarë lloj telefoni mund të prodhojë fabrika e parë? Me apo pa defekt. Sa është probabiliteti që telefoni i prodhuar nga fabrika e parë të ketë një defekt? Sipas kushtit thuhet se është e barabartë me 0.01. Pyetje: Sa është probabiliteti që telefoni i prodhuar nga fabrika e parë të mos ketë defekt? Meqenëse kjo ngjarje është e kundërt me atë të dhënë, probabiliteti i saj është i barabartë.

Kërkohet për të gjetur probabilitetin që telefoni të jetë me defekt. Mund të jetë nga fabrika e parë, ose mund të jetë nga e dyta. Pastaj ne përdorim formulën për mbledhjen e probabiliteteve dhe marrim se i gjithë probabiliteti është shuma e probabiliteteve që telefoni të jetë me defekt nga fabrika e parë dhe që telefoni të jetë me defekt nga fabrika e dytë. Probabiliteti që telefoni të ketë një defekt dhe të jetë prodhuar në fabrikën e parë gjendet nga formula për produktin e probabiliteteve, e cila jepet në shtojcë.

4. Një nga detyrat më të vështira nga banka USE për probabilitetin

Le të analizojmë, për shembull, nr. 320199 nga Banka e Detyrave FIPI. Kjo është një nga detyrat më të vështira në B6.

Për të hyrë në institutin për specialitetin "Gjuhësi", aplikanti Z. duhet të marrë të paktën 70 pikë në Provimin e Unifikuar të Shtetit në secilën nga tre lëndët - matematikë, gjuhë ruse dhe një gjuhë të huaj. Për të hyrë në specialitetin "Tregti", duhet të shënoni të paktën 70 pikë në secilën nga tre lëndët - matematikë, gjuhë ruse dhe studime sociale.

Probabiliteti që aplikanti Z. të marrë të paktën 70 pikë në matematikë është 0,6, në rusisht - 0,8, në një gjuhë të huaj - 0,7 dhe në studime sociale - 0,5.

Gjeni probabilitetin që Z. do të jetë në gjendje të hyjë të paktën në një nga dy specialitetet e përmendura.

Vini re se problemi nuk shtron pyetjen nëse një aplikant me emrin Z. do të studiojë njëkohësisht edhe gjuhësi edhe tregti dhe do të marrë dy diploma. Këtu duhet të gjejmë probabilitetin që Z. do të jetë në gjendje të hyjë të paktën në një nga këto dy specialitete - domethënë, ai do të marrë numrin e kërkuar të pikëve.

Për të hyrë në të paktën një nga dy specialitetet, Z. duhet të marrë të paktën 70 pikë në matematikë. Dhe në rusisht. E megjithatë - shkenca sociale ose e huaj.

Probabiliteti për të shënuar 70 pikë në matematikë për të është 0.6.

Probabiliteti për të fituar pikë në matematikë dhe rusisht është i barabartë.

Të merremi me studime të huaja dhe sociale. Opsionet janë të përshtatshme për ne kur aplikanti ka marrë pikë në studimet sociale, në një gjuhë të huaj ose në të dyja. Opsioni nuk është i përshtatshëm kur ai nuk ka marrë pikë as në gjuhë, as në "shoqëri". Kjo do të thotë se probabiliteti për të kaluar studimet sociale ose të huaja është të paktën 70 pikë. Si rezultat, probabiliteti i kalimit të matematikës, studimeve ruse dhe sociale ose të huaja është i barabartë me

Kjo është përgjigja.

II . Zgjidhja e problemeve të kombinuara

1. Numri i kombinimeve dhe faktorialeve

Le të analizojmë shkurtimisht materialin teorik.

Shprehjen ! lexohet si "en-faktorial" dhe tregon prodhimin e të gjithë numrave natyrorë nga 1 nën përfshirëse:n ! = 1 2 3 ...n .

Përveç kësaj, në matematikë, sipas definicionit, konsiderohet se 0! = 1. Një shprehje e tillë është e rrallë, por përsëri shfaqet në problemet në teorinë e probabilitetit.

Përkufizimi

Le të ketë objekte (lapsa, ëmbëlsira, çfarëdo) nga të cilat kërkohet të zgjidhni saktësisht objekte të ndryshme. Atëherë thirret numri i opsioneve për një zgjedhje të tillënumri i kombinimeve nga elementet. Ky numër tregohet dhe llogaritet sipas një formule të veçantë.

Emërtimi

Çfarë na jep kjo formulë? Në fakt, pothuajse asnjë detyrë serioze nuk mund të zgjidhet pa të.

Për një kuptim më të mirë, le të analizojmë disa probleme të thjeshta kombinuese:

Një detyrë

Baristi ka 6 lloje të çajit jeshil. Për ceremoninë e çajit kërkohen saktësisht 3 lloje të ndryshme çaji jeshil. Në sa mënyra mund të kryejë një banakier një porosi?

Zgjidhje

Gjithçka është e thjeshtë këtu: kan = 6 varietete për të zgjedhurk = 3 varietete. Numri i kombinimeve mund të gjendet me formulën:

Përgjigju

Zëvendësoni në formulë. Ne nuk mund t'i zgjidhim të gjitha detyrat, por kemi shkruar detyra tipike, ato janë paraqitur në vëmendjen tuaj.

Një detyrë

Në një grup prej 20 studentësh, duhet të zgjidhen 2 përfaqësues për të folur në konferencë. Në sa mënyra mund të bëhet kjo?

Zgjidhje

Përsëri, gjithçka që kemin = 20 studentë, por ju duhet të zgjidhnik = 2 studentë. Gjetja e numrit të kombinimeve:

Ju lutemi vini re se faktorët e përfshirë në faktorë të ndryshëm janë shënuar me të kuqe. Këta shumëzues mund të reduktohen pa dhimbje dhe në këtë mënyrë të zvogëlojnë ndjeshëm sasinë totale të llogaritjeve.

Përgjigju

190

Një detyrë

Në magazinë janë sjellë 17 serverë me defekte të ndryshme, të cilët kushtojnë 2 herë më lirë se serverët normalë. Drejtori bleu 14 serverë të tillë për shkollën dhe shpenzoi paratë e kursyera në shumën prej 200,000 rubla për blerjen e pajisjeve të tjera. Në sa mënyra mund të zgjedhë një drejtor serverë me defekt?

Zgjidhje

Ka mjaft të dhëna shtesë në detyrë, të cilat mund të jenë konfuze. Faktet më të rëndësishme: gjithçka ështën = 17 serverë, dhe drejtori ka nevojëk = 14 serverë. Ne numërojmë numrin e kombinimeve:

Ngjyra e kuqe përsëri tregon shumëzuesit që po pakësohen. Në total, dolën 680 kombinime. Në përgjithësi, drejtori ka shumë për të zgjedhur.

Përgjigju

680

Kjo detyrë është kapriçioze, pasi ka të dhëna shtesë në këtë detyrë. Ata çojnë shumë studentë në rrugë të gabuar. Në total ishin 17 serverë dhe drejtori duhej të zgjidhte 14. Duke zëvendësuar në formulë, marrim 680 kombinime.

2. Ligji i shumëzimit

Përkufizimi

ligji i shumëzimit në kombinatorikë: shumëzohet numri i kombinimeve (mënyrave, kombinimeve) në grupe të pavarura.

Me fjalë të tjera, le të ketëA mënyrat për të kryer një veprim dheB mënyra për të kryer një veprim tjetër. Rruga edhe këto veprime janë të pavarura, d.m.th. nuk kanë lidhje në asnjë mënyrë. Pastaj mund të gjeni numrin e mënyrave për të kryer veprimin e parë dhe të dytë me formulën:C = A · B .

Një detyrë

Petya ka 4 monedha nga 1 rubla secila dhe 2 monedha nga 10 rubla secila. Petya, pa parë, nxori nga xhepi 1 monedhë me vlerë nominale 1 rubla dhe 1 monedhë tjetër me vlerë nominale 10 rubla për të blerë një stilolaps për 11 rubla. Në sa mënyra mund t'i zgjedhë ai këto monedha?

Zgjidhje

Pra, së pari Petya merrk = 1 monedhë ngan = 4 monedha të disponueshme me vlerë nominale 1 rubla. Numri i mënyrave për ta bërë këtë ështëC 4 1 = ... = 4.

Pastaj Petya fut përsëri në xhepin e tij dhe e nxjerr jashtëk = 1 monedhë ngan = 2 monedha të disponueshme me vlerë nominale 10 rubla. Këtu është numri i kombinimeveC 2 1 = ... = 2.

Meqenëse këto veprime janë të pavarura, numri i përgjithshëm i opsioneve ështëC = 4 2 = 8.

Përgjigju

Një detyrë

Në një kosh ka 8 topa të bardhë dhe 12 të zinj. Në sa mënyra mund të merrni 2 topa të bardhë dhe 2 topa të zinj nga kjo kosh?

Zgjidhje

Gjithsej në karrocën = 8 topa të bardhë për të zgjedhurk = 2 topa. Mund të bëhetC 8 2 = ... = 28 mënyra të ndryshme.

Përveç kësaj, shporta përmbann = 12 topa të zinj për të zgjedhur përsërik = 2 topa. Numri i mënyrave për ta bërë këtë ështëC 12 2 = ... = 66.

Meqenëse zgjedhja e topit të bardhë dhe zgjedhja e atij të zi janë ngjarje të pavarura, numri i përgjithshëm i kombinimeve llogaritet sipas ligjit të shumëzimit:C = 28 66 = 1848. Siç mund ta shihni, mund të ketë mjaft opsione.

Përgjigju

1848

Ligji i shumëzimit tregon se në sa mënyra mund të kryeni një veprim kompleks që përbëhet nga dy ose më shumë të thjeshta - me kusht që të jenë të gjithë të pavarur.

3. Ligji i shtimit

Nëse ligji i shumëzimit vepron në ngjarje "të izoluara" që nuk varen nga njëra-tjetra, atëherë në ligjin e mbledhjes është e kundërta. Ai merret me ngjarje reciproke ekskluzive që nuk ndodhin kurrë në të njëjtën kohë.

Për shembull, "Pjetri nxori 1 monedhë nga xhepi i tij" dhe "Pjetri nuk nxori asnjë monedhë nga xhepi i tij" janë ngjarje reciproke ekskluzive, pasi është e pamundur të nxirret një monedhë pa nxjerrë asnjë.

Në mënyrë të ngjashme, ngjarjet "Topi i zgjedhur rastësisht - i bardhë" dhe "Topi i zgjedhur rastësisht - i zi" janë gjithashtu reciprokisht ekskluzive.

Përkufizimi

Ligji shtesë në kombinatorikë: nëse mund të kryhen dy veprime që përjashtojnë njëra-tjetrënA dheB mënyrat, përkatësisht, këto ngjarje mund të kombinohen. Kjo do të gjenerojë një ngjarje të re që mund të ekzekutohetX = A + B mënyrat.

Me fjalë të tjera, kur kombinohen veprime reciproke ekskluzive (ngjarje, opsione), shtohet numri i kombinimeve të tyre.

Mund të themi se ligji i mbledhjes është një "OR" logjik në kombinatorikë, kur na përshtatet ndonjë prej opsioneve reciprokisht ekskluzive. Anasjelltas, ligji i shumëzimit është një "DHE" logjike, në të cilën ne jemi të interesuar në ekzekutimin e njëkohshëm të veprimit të parë dhe të dytë.

Një detyrë

Ka 9 topa të zinj dhe 7 topa të kuq në një kosh. Djali nxjerr 2 topa të së njëjtës ngjyrë. Në sa mënyra mund ta bëjë këtë?

Zgjidhje

Nëse topat janë me të njëjtën ngjyrë, atëherë ka pak opsione: të dyja janë ose të zeza ose të kuqe. Natyrisht, këto opsione janë reciprokisht ekskluzive.

Në rastin e parë, djali duhet të zgjedhëk = 2 topa të zinj ngan = 9 në dispozicion. Numri i mënyrave për ta bërë këtë ështëC 9 2 = ... = 36.

Në mënyrë të ngjashme, në rastin e dytë ne zgjedhimk = 2 topa të kuq ngan = 7 të mundshme. Numri i mënyrave ështëC 7 2 = ... = 21.

Mbetet për të gjetur numrin total të mënyrave. Meqenëse variantet me topa të zinj dhe të kuq përjashtojnë njëra-tjetrën, sipas ligjit të mbledhjes kemi:X = 36 + 21 = 57.

Përgjigju57

Një detyrë

Tezga shet 15 trëndafila dhe 18 tulipanë. Një nxënës i klasës së 9-të dëshiron të blejë 3 lule për shokun e klasës dhe të gjitha lulet duhet të jenë të njëjta. Në sa mënyra mund të bëjë një buqetë të tillë?

Zgjidhje

Sipas kushtit, të gjitha lulet duhet të jenë të njëjta. Pra, ne do të blejmë ose 3 trëndafila ose 3 tulipanë. Gjithsesi,k = 3.

Në rastin e trëndafilave, do t'ju duhet të zgjidhnin = 15 opsione, pra numri i kombinimeve ështëC 15 3 = ... = 455. Për tulipanëtn = 18, dhe numri i kombinimeve -C 18 3 = ... = 816.

Meqenëse trëndafilat dhe tulipanët janë opsione ekskluzive reciproke, ne punojmë sipas ligjit të shtimit. Merrni numrin total të opsioneveX = 455 + 816 = 1271. Kjo është përgjigja.

Përgjigju

1271

Kushtet dhe kufizimet shtesë

Shumë shpesh në tekstin e problemit ka kushte shtesë që vendosin kufizime të rëndësishme në kombinimet e interesit për ne. Krahasoni dy fjali:

Ka një set me 5 stilolapsa me ngjyra të ndryshme. Në sa mënyra mund të zgjidhen dorezat me 3 goditje?

Ka një set me 5 stilolapsa me ngjyra të ndryshme. Në sa mënyra mund të zgjidhen dorezat me 3 goditje nëse njëra prej tyre duhet të jetë e kuqe?

Në rastin e parë, ne kemi të drejtë të marrim çdo ngjyrë që na pëlqen - nuk ka kufizime shtesë. Në rastin e dytë, gjithçka është më e ndërlikuar, pasi duhet të zgjedhim një dorezë të kuqe (supozohet se është në grupin origjinal).

Natyrisht, çdo kufizim zvogëlon në mënyrë drastike numrin e përgjithshëm të opsioneve. Pra, si e gjeni numrin e kombinimeve në këtë rast? Vetëm mbani mend rregullin e mëposhtëm:

Le të ketë një grup tën elemente për të zgjedhurk elementet. Me futjen e kufizimeve shtesë për numrinn dhek ulet me të njëjtën sasi.

Me fjalë të tjera, nëse duhet të zgjidhni 3 nga 5 stilolapsa, dhe njëri prej tyre duhet të jetë i kuq, atëherë do t'ju duhet të zgjidhni ngan = 5 − 1 = 4 elemente ngak = 3 − 1 = 2 elemente. Kështu, në vend tëC 5 3 duhet të merren parasyshC 4 2 .

Tani le të shohim se si funksionon ky rregull në shembuj specifik:

Një detyrë

Në një grup prej 20 studentësh, duke përfshirë 2 studentë të shkëlqyer, ju duhet të zgjidhni 4 persona për të marrë pjesë në konferencë. Në sa mënyra mund të zgjidhen këta katër nëse studentët e shkëlqyer duhet të shkojnë në konferencë?

Zgjidhje

Pra, ekziston një grup in = 20 studentë. Por ju vetëm duhet të zgjidhnik = 4 prej tyre. Nëse nuk kishte kufizime shtesë, atëherë numri i opsioneve ishte i barabartë me numrin e kombinimeveC 20 4 .

Megjithatë, na u dha një kusht shtesë: 2 studentë ekselentë duhet të jenë në mesin e këtyre katërve. Kështu, sipas rregullit të mësipërm, i zvogëlojmë numratn dhek nga 2. Kemi:

Përgjigju

153

Një detyrë

Petya ka 8 monedha në xhep, nga të cilat 6 janë monedha rubla dhe 2 janë monedha 10 rubla. Petya zhvendos rreth tre monedha në një xhep tjetër. Në sa mënyra mund ta bëjë këtë Petya nëse dihet që të dy monedhat prej 10 rubla përfunduan në një xhep tjetër?

Zgjidhje

Pra kan = 8 monedha. Petya ndërronk = 3 monedha, nga të cilat 2 janë dhjetë rubla. Rezulton se nga 3 monedha që do të transferohen, 2 janë tashmë fikse, kështu që numratn dhek duhet të reduktohet me 2. Kemi:

Përgjigju

III . Zgjidhja e problemeve të kombinuara për përdorimin e formulave të kombinatorikës dhe teorisë së probabilitetit

Një detyrë

Petya kishte në xhepin e tij 4 monedha rubla dhe 2 monedha 2 rubla. Petya, pa shikuar, futi rreth tre monedha në një xhep tjetër. Gjeni probabilitetin që të dy monedhat me dy rubla të jenë në të njëjtin xhep.

Zgjidhje

Supozoni se të dy monedhat me dy rubla përfunduan me të vërtetë në të njëjtin xhep, atëherë 2 opsione janë të mundshme: ose Petya nuk i zhvendosi fare, ose ai i zhvendosi të dyja menjëherë.

Në rastin e parë, kur monedhat me dy rubla nuk u transferuan, do të duhej të transferoheshin monedha 3 rubla. Meqenëse ka 4 monedha të tilla në total, numri i mënyrave për ta bërë këtë është i barabartë me numrin e kombinimeve 4 me 3:C 4 3 .

Në rastin e dytë, kur të dy monedhat me dy rubla janë transferuar, do të duhet të transferohet edhe një monedhë rubla. Duhet të zgjidhet nga 4 ekzistuese, dhe numri i mënyrave për ta bërë këtë është i barabartë me numrin e kombinimeve nga 4 në 1:C 4 1 .

Tani le të gjejmë numrin total të mënyrave për të zhvendosur monedhat. Meqenëse ka 4 + 2 = 6 monedha në total, dhe vetëm 3 prej tyre duhet të zgjidhen, numri i përgjithshëm i opsioneve është i barabartë me numrin e kombinimeve nga 6 në 3:C 6 3 .

Mbetet për të gjetur probabilitetin:

Përgjigju

0,4

Shfaq në tabelën e bardhë interaktive. Kushtojini vëmendje faktit që, sipas gjendjes së problemit, Petya, pa shikuar, zhvendosi tre monedha në një xhep. Duke iu përgjigjur kësaj pyetjeje, mund të supozojmë se dy monedha me dy rubla mbetën vërtet në një xhep. Referojuni formulës për shtimin e probabiliteteve. Trego përsëri formulën.

Një detyrë

Petya kishte në xhep 2 monedha 5 rubla dhe 4 monedha 10 rubla. Petya, pa shikuar, futi rreth 3 monedha në një xhep tjetër. Gjeni probabilitetin që monedhat prej pesë rubla janë tani në xhepa të ndryshëm.

Zgjidhje

Në mënyrë që monedhat prej pesë rubla të shtrihen në xhepa të ndryshëm, duhet të zhvendosni vetëm njërën prej tyre. Numri i mënyrave për ta bërë këtë është i barabartë me numrin e kombinimeve 2 me 1:C 2 1 .

Meqenëse Petya transferoi 3 monedha në total, ai do të duhet të transferojë edhe 2 monedha të tjera me nga 10 rubla secila. Petya ka 4 monedha të tilla, kështu që numri i mënyrave është i barabartë me numrin e kombinimeve nga 4 në 2:C 4 2 .

Mbetet për të gjetur se sa opsione ka për të zhvendosur 3 monedha nga 6 në dispozicion. Ky numër, si në problemin e mëparshëm, është i barabartë me numrin e kombinimeve nga 6 në 3:C 6 3 .

Gjetja e probabilitetit:

Në hapin e fundit, ne shumëzuam numrin e mënyrave për të zgjedhur monedhat me dy rubla dhe numrin e mënyrave për të zgjedhur monedhat me dhjetë rubla, pasi këto ngjarje janë të pavarura.

Përgjigju

0,6

Pra, problemet me monedhat kanë formulën e tyre të probabilitetit. Është aq e thjeshtë dhe e rëndësishme sa mund të formulohet si një teoremë.

Teorema

Le të hidhet monedhan një herë. Atëherë probabiliteti që kokat do të ulen saktësishtk kohët mund të gjenden duke përdorur formulën:

KuC n k - numri i kombinimeve tën elementet ngak , e cila llogaritet me formulën:

Kështu, për të zgjidhur problemin me monedha, nevojiten dy numra: numri i hedhjeve dhe numri i kokave. Më shpesh, këta numra jepen drejtpërdrejt në tekstin e problemit. Për më tepër, nuk ka rëndësi se çfarë saktësisht duhet numëruar: bishtat apo shqiponjat. Përgjigja do të jetë e njëjtë.

Në pamje të parë, teorema duket shumë e rëndë. Por ia vlen pak praktikë - dhe nuk dëshironi të ktheheni në algoritmin standard të përshkruar më sipër.

Monedha hidhet katër herë. Gjeni probabilitetin që kokat të ngrihen saktësisht tre herë.

Zgjidhje

Sipas gjendjes së problemit, numri i përgjithshëm i gjuajtjeve ishten = 4. Numri i kërkuar i kokave:k = 3. Zëvendësuesn dhek në formulën:

Me të njëjtin sukses, mund të numëroni numrin e bishtave:k = 4 − 3 = 1. Përgjigja do të jetë e njëjtë.

Përgjigju

0,25

Një detyrë [ Fletore pune“Përdorimi 2012 në matematikë. Detyrat B6»]

Monedha hidhet tre herë. Gjeni probabilitetin që të mos dalë kurrë lart.

Zgjidhje

Duke i shkruar përsëri numratn dhek . Meqenëse monedha është hedhur 3 herë,n = 3. Dhe meqenëse nuk duhet të ketë bishta,k = 0. Mbetet për të zëvendësuar numratn dhek në formulën:

Më lejoni t'ju kujtoj se 0! = 1 sipas përkufizimit. Kjo është arsyeja pseC 3 0 = 1.

Përgjigju

0,125

Detyrë [provim provues në matematikë 2012. Irkutsk]

Në një eksperiment të rastësishëm, një monedhë simetrike hidhet 4 herë. Gjeni probabilitetin që kokat të dalin më shumë herë se bishtat.

Zgjidhje

Në mënyrë që të ketë më shumë koka se bishta, ato duhet të bien ose 3 herë (atëherë do të ketë 1 bisht) ose 4 (atëherë nuk do të ketë fare bisht). Le të gjejmë probabilitetin e secilës prej këtyre ngjarjeve.

Lefq 1 - probabiliteti që kokat të bien 3 herë. Pastajn = 4, k = 3. Kemi:

Tani le të gjejmëfq 2 - probabiliteti që kokat të bien të gjitha 4 herë. Në këtë rastn = 4, k = 4. Kemi:

Për të marrë përgjigjen, mbetet të shtohen probabilitetetfq 1 dhefq 2 . Mbani mend: ju mund të shtoni vetëm probabilitete për ngjarje ekskluzive reciproke. Ne kemi:

fq = fq 1 + fq 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Përgjigju

0,3125

Për të kursyer kohën tuaj kur përgatiteni me djemtë për Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe GIA, ne kemi paraqitur zgjidhje për shumë detyra të tjera që mund të zgjidhni dhe zgjidhni me djemtë.

Materialet e GIA, Provimi i Unifikuar Shtetëror i viteve të ndryshme, tekste dhe faqe.

IV. Materiali referues

Paraqitur deri më sot në bankën e hapur të problemeve të USE në matematikë (mathege.ru), zgjidhja e të cilave bazohet në vetëm një formulë, e cila është një përkufizim klasik i probabilitetit.

Mënyra më e lehtë për të kuptuar formulën është me shembuj.
Shembulli 1 Në kosh ka 9 topa të kuq dhe 3 blu. Topat ndryshojnë vetëm në ngjyrë. Në mënyrë të rastësishme (pa kërkuar) marrim njërën prej tyre. Sa është probabiliteti që topi i zgjedhur në këtë mënyrë të jetë blu?

Komentoni. Në problemet në teorinë e probabilitetit, ndodh diçka (në këtë rast, veprimi ynë i tërheqjes së topit) që mund të ketë një rezultat tjetër - një rezultat. Duhet të theksohet se rezultati mund të shihet në mënyra të ndryshme. “E kemi nxjerrë topin” është edhe rezultat. “E kemi nxjerrë topin blu” është rezultati. "Ne e tërhoqëm këtë top të veçantë nga të gjithë topat e mundshëm" - kjo pamje më pak e përgjithësuar e rezultatit quhet rezultati elementar. Janë rezultatet elementare që nënkuptohen në formulën për llogaritjen e probabilitetit.

Zgjidhje. Tani ne llogarisim probabilitetin e zgjedhjes së një topi blu.
Ngjarja A: "topi i zgjedhur doli të jetë blu"
Numri total të gjitha rezultatet e mundshme: 9+3=12 (numri i të gjithë topave që mund të vizatojmë)
Numri i rezultateve të favorshme për ngjarjen A: 3 (numri i rezultateve të tilla në të cilat ndodhi ngjarja A - domethënë numri i topave blu)
P(A)=3/12=1/4=0.25
Përgjigje: 0.25

Le të llogarisim për të njëjtin problem probabilitetin e zgjedhjes së një topi të kuq.
Numri i përgjithshëm i rezultateve të mundshme do të mbetet i njëjtë, 12. Numri i rezultateve të favorshme: 9. Probabiliteti i dëshiruar: 9/12=3/4=0,75

Probabiliteti i çdo ngjarjeje qëndron gjithmonë midis 0 dhe 1.
Ndonjëherë në të folurit e përditshëm (por jo në teorinë e probabilitetit!) probabiliteti i ngjarjeve vlerësohet si përqindje. Kalimi ndërmjet vlerësimit matematik dhe atij bisedor bëhet duke shumëzuar (ose pjesëtuar) me 100%.
Kështu që,
Në këtë rast, probabiliteti është zero për ngjarje që nuk mund të ndodhin - e pamundur. Për shembull, në shembullin tonë, kjo do të ishte probabiliteti për të nxjerrë një top të gjelbër nga koshi. (Numri i rezultateve të favorshme është 0, P(A)=0/12=0 nëse numërohet sipas formulës)
Probabiliteti 1 ka ngjarje që absolutisht do të ndodhin, pa opsione. Për shembull, probabiliteti që "topi i zgjedhur të jetë i kuq ose blu" është për problemin tonë. (Numri i rezultateve të favorshme: 12, P(A)=12/12=1)

Ne kemi parë një shembull klasik që ilustron përkufizimin e probabilitetit. Të gjitha problemet e ngjashme të USE në teorinë e probabilitetit zgjidhen duke përdorur këtë formulë.
Në vend të topave të kuq dhe blu, mund të ketë mollë dhe dardha, djem dhe vajza, bileta të mësuara dhe të pamësuara, bileta që përmbajnë dhe nuk përmbajnë një pyetje për një temë të caktuar (prototipe , ), çanta me defekt dhe me cilësi të lartë ose pompa kopshti (prototipe , ) - parimi mbetet i njëjtë.

Ato ndryshojnë pak në formulimin e problemit të teorisë së probabilitetit USE, ku duhet të llogaritni probabilitetin që një ngjarje të ndodhë në një ditë të caktuar. ( , ) Si në detyrat e mëparshme, ju duhet të përcaktoni se cili është një rezultat elementar dhe më pas të aplikoni të njëjtën formulë.

Shembulli 2 Konferenca zgjat tre ditë. Ditën e parë dhe të dytë, nga 15 folës, në ditën e tretë - 20. Sa është probabiliteti që raporti i profesor M. të bjerë në ditën e tretë, nëse radha e raporteve përcaktohet me short?

Cili është rezultati elementar këtu? - Caktimi i raportit të një profesori në një nga të gjithë numrat serialë të mundshëm për një fjalim. Në short marrin pjesë 15+15+20=50 persona. Kështu, raporti i profesor M. mund të marrë një nga 50 numrat. Kjo do të thotë se ka vetëm 50 rezultate elementare.
Cilat janë rezultatet e favorshme? - Ato në të cilat rezulton se profesori do të flasë ditën e tretë. Kjo është, 20 numrat e fundit.
Sipas formulës, probabiliteti P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Përgjigje: 0.4

Hedhja e shortit këtu është vendosja e një korrespondence të rastësishme midis njerëzve dhe vendeve të porositura. Në Shembullin 2, përputhja u konsiderua për sa i përket vendeve që mund të merrte një person i caktuar. Ju mund t'i qaseni të njëjtës situatë nga ana tjetër: cili nga njerëzit me çfarë probabiliteti mund të arrijë në një vend të caktuar (prototipet , , , ):

Shembulli 3 Në short marrin pjesë 5 gjermanë, 8 francezë dhe 3 estonezë. Sa është probabiliteti që i pari (/i dyti/i shtati/i fundit - nuk ka rëndësi) të jetë francez.

Numri i rezultateve elementare është numri i të gjithë njerëzve të mundshëm që mund të arrinin në një vend të caktuar me short. 5+8+3=16 persona.
Rezultatet e favorshme - francezët. 8 persona.
Probabiliteti i dëshiruar: 8/16=1/2=0,5
Përgjigje: 0.5

Prototipi është paksa i ndryshëm. Ka detyra rreth monedhave () dhe zareve () që janë disi më kreative. Zgjidhjet për këto probleme mund të gjenden në faqet e prototipit.

Këtu janë disa shembuj të hedhjes së monedhës ose hedhjes së zareve.

Shembulli 4 Kur hedhim një monedhë, sa është probabiliteti për të marrë bisht?
Rezultatet 2 - kokat ose bishtat. (Besohet se monedha nuk bie kurrë në buzë) Rezultat i favorshëm - bishta, 1.
Probabiliteti 1/2=0,5
Përgjigje: 0.5.

Shembulli 5 Po sikur të hedhim një monedhë dy herë? Sa është probabiliteti që të dalë në krye të dyja herët?
Gjëja kryesore është të përcaktojmë se cilat rezultate elementare do të marrim parasysh kur hedhim dy monedha. Pas hedhjes së dy monedhave, mund të ndodhë një nga rezultatet e mëposhtme:
1) PP - të dyja herë doli me bisht
2) PO - bishtat për herë të parë, kokat për herë të dytë
3) OP - herën e parë kokat, herën e dytë bishtat
4) OO - kryet lart të dyja herët
Nuk ka opsione të tjera. Kjo do të thotë se ka 4 rezultate elementare. Vetëm i pari është i favorshëm, 1.
Probabiliteti: 1/4=0,25
Përgjigje: 0.25

Sa është probabiliteti që dy hedhje të një monedhe të bien në bisht një herë?
Numri i rezultateve elementare është i njëjtë, 4. Rezultatet e favorshme janë rezultati i dytë dhe i tretë, 2.
Probabiliteti për të marrë një bisht: 2/4=0.5

Në probleme të tilla, një formulë tjetër mund të jetë e dobishme.
Nëse me një hedhje të një monedhe kemi 2 rezultate të mundshme, atëherë për dy hedhje rezultatesh do të ketë 2 2=2 2 =4 (si në shembullin 5), për tre hedhje 2 2 2=2 3 =8, për katër : 2·2·2·2=2 4 =16, … për N gjuajtje të rezultateve të mundshme do të ketë 2·2·...·2=2 N .

Pra, mund të gjeni probabilitetin për të marrë 5 bishta nga 5 hedhje monedhash.
Numri i përgjithshëm i rezultateve elementare: 2 5 =32.
Rezultate të favorshme: 1. (RRRRRR - të gjitha 5 herë bishtat)
Probabiliteti: 1/32=0,03125

E njëjta gjë vlen edhe për zarin. Me një gjuajtje janë 6 rezultate të mundshme Pra, për dy gjuajtje: 6 6=36, për tre 6 6 6=216, etj.

Shembulli 6 Hedhim një zare. Sa është probabiliteti për të marrë një numër çift?

Rezultatet totale: 6, sipas numrit të fytyrave.
E favorshme: 3 rezultate. (2, 4, 6)
Probabiliteti: 3/6=0,5

Shembulli 7 Hidhni dy zare. Sa është probabiliteti që totali të jetë 10? (rrumbullakosni në të qindtat)

Ekzistojnë 6 rezultate të mundshme për një vdekje. Prandaj, për dy, sipas rregullit të mësipërm, 6·6=36.
Cilat rezultate do të jenë të favorshme që gjithsej 10 të bien jashtë?
10 duhet të zbërthehet në shumën e dy numrave nga 1 në 6. Kjo mund të bëhet në dy mënyra: 10=6+4 dhe 10=5+5. Pra, për kubet, opsionet janë të mundshme:
(6 në të parën dhe 4 në të dytën)
(4 në të parën dhe 6 në të dytën)
(5 në të parën dhe 5 në të dytën)
Në total, 3 opsione. Probabiliteti i dëshiruar: 3/36=1/12=0,08
Përgjigje: 0.08

Llojet e tjera të problemeve B6 do të diskutohen në një nga artikujt e mëposhtëm "Si të zgjidhim".

Probabiliteti i një ngjarjeje $A$ është raporti i numrit të rezultateve të favorshme për $A$ me numrin e të gjitha rezultateve po aq të mundshme

$P(A)=(m)/(n)$, ku $n$ është numri total i rezultateve të mundshme dhe $m$ është numri i rezultateve që favorizojnë $A$.

Probabiliteti i një ngjarje është një numër nga segmenti $$

Kompania e taksive ka në dispozicion 50 dollarë makina. 35$ prej tyre janë të zeza, pjesa tjetër janë të verdha. Gjeni probabilitetin që një makinë e verdhë të arrijë në një telefonatë të rastësishme.

Gjeni numrin e makinave të verdha:

Gjithsej ka makina 50$, pra një në pesëdhjetë do të vijë në thirrje. Ka 15$ makina të verdha, prandaj probabiliteti i mbërritjes së një makine të verdhë është $(15)/(50)=(3)/(10)=0.3$

Përgjigje: 0,3$

Ngjarje të kundërta

Dy ngjarje quhen të kundërta nëse në një gjykim të caktuar janë të papajtueshme dhe njëra prej tyre ndodh domosdoshmërisht. Probabilitetet e ngjarjeve të kundërta mblidhen deri në 1. Një ngjarje e kundërt me ngjarjen $A$ shkruhet $((A))↖(-)$.

$P(A)+P((A))↖(-)=1$

Ngjarjet e pavarura

Dy ngjarje $A$ dhe $B$ thuhet se janë të pavarura nëse probabiliteti i ndodhjes së secilës prej tyre nuk varet nga fakti nëse ngjarja tjetër ka ndodhur apo jo. Përndryshe, ngjarjet quhen të varura.

Probabiliteti i prodhimit të dy ngjarjeve të pavarura $A$ dhe $B$ është i barabartë me produktin e këtyre probabiliteteve:

$P(A B)=P(A) P(B)$

Ivan Ivanovich bleu dy bileta të ndryshme llotarie. Probabiliteti që bileta e parë e lotarisë të fitojë është 0,15$. Probabiliteti që bileta e dytë e lotarisë të fitojë është 0,12 dollarë. Ivan Ivanovich merr pjesë në të dyja shortet. Duke supozuar se barazimet zhvillohen në mënyrë të pavarur nga njëra-tjetra, gjeni probabilitetin që Ivan Ivanovich të fitojë në të dyja barazimet.

Probabiliteti $P(A)$ - fiton biletën e parë.

Probabiliteti $P(B)$ - fiton biletën e dytë.

Ngjarjet $A$ dhe $B$ janë ngjarje të pavarura. Kjo do të thotë, për të gjetur probabilitetin që të dy ngjarjet të ndodhin, ju duhet të gjeni produktin e probabiliteteve

$P(A B)=P(A) P(B)$

$P=0,15 0,12=0,018$

Përgjigje: 0,018 dollarë

Ngjarje të papajtueshme

Dy ngjarje $A$ dhe $B$ thuhet se janë të papajtueshme nëse nuk ka rezultate që favorizojnë ngjarjen $A$ dhe $B$. (Ngjarjet që nuk mund të ndodhin në të njëjtën kohë)

Probabiliteti i shumës së dy ngjarjeve të papajtueshme $A$ dhe $B$ është i barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve:

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

Në provimin e algjebrës, studenti merr një pyetje nga të gjitha provimet. Probabiliteti që kjo është një pyetje në temë " Ekuacionet kuadratike", është e barabartë me 0,3$. Probabiliteti që kjo është një pyetje e Ekuacioneve Irracionale është 0,18 $. Nuk ka pyetje që lidhen me këto dy tema në të njëjtën kohë. Gjeni probabilitetin që studenti të marrë një pyetje në një nga këto dy tema në provim.

Këto ngjarje quhen të papajtueshme, pasi studenti do të marrë një pyetje OSE në temën "Ekuacionet katërkëndore", OSE në temën "Ekuacionet irracionale". Temat nuk mund të kapen në të njëjtën kohë. Probabiliteti i shumës së dy ngjarjeve të papajtueshme $A$ dhe $B$ është i barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve:

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

$P \u003d 0,3 + 0,18 \u003d 0,48 $

Përgjigje: 0,48 dollarë

Ngjarje të përbashkëta

Dy ngjarje quhen të përbashkëta nëse ndodhja e njërës prej tyre nuk përjashton ndodhjen e tjetrës në të njëjtin gjykim. Përndryshe, ngjarjet quhen të papajtueshme.

Probabiliteti i shumës së dy ngjarjeve të përbashkëta $A$ dhe $B$ është e barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve minus probabilitetin e produktit të tyre:

$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B)$

Në hollin e kinemasë ka dy aparate kafeje identike. Probabiliteti që aparatit t'i mbarojë kafeja deri në fund të ditës është 0,6 dollarë. Probabiliteti që të dy makinave të mbarojnë kafe është 0,32 $. Gjeni probabilitetin që të paktën njërës nga makinat shitëse t'i mbarojë kafeja deri në fund të ditës.

Le të shënojmë ngjarjet, le të:

$A$ = kafeja do të përfundojë në makinën e parë,

$B$ = kafeja do të përfundojë në makinën e dytë.

$A B =$ kafeja do të mbarojë në të dy makinat shitëse,

Kafja $A + B =$ do të mbarojë në të paktën një makinë shitëse.

Sipas konventës, $P(A) = P(B) = 0.6; P(A B) = 0,32 $.

Ngjarjet $A$ dhe $B$ janë të përbashkëta, probabiliteti i shumës së dy ngjarjeve të përbashkëta është i barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve, reduktuar nga probabiliteti i produktit të tyre:

$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$