Qëllimi i mësimit: të përsërisë njohuritë e nxënësve për logaritmin e një numri, vetitë e tij; mësoni si të zgjidhni ekuacionet logaritmike dhe t'i konsolidoni ato kur bëni ushtrime.

Detyrat:

Edukative: të përsërisë përkufizimin dhe vetitë themelore të logaritmeve, të jetë në gjendje t'i zbatojë ato në llogaritjen e logaritmeve, në zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike;

Zhvillimi: për të formuar aftësinë për zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike;

Edukative: për të kultivuar këmbënguljen, pavarësinë; ngjall interes për këtë temë

Lloji i mësimit: mësim mësimor material i ri.

Pajisjet teknike të nevojshme:kompjuter, projektor, ekran.

Struktura dhe rrjedha e mësimit:

1. Koha e organizimit.

mësues .

Përshëndetje, uluni! Sot, tema e mësimit tonë është "Zgjidhja e ekuacioneve logaritmike", në të cilën do të njihemi me mënyrat për t'i zgjidhur ato duke përdorur përkufizimin dhe vetitë e logaritmeve.(rrëshqitje numër 1)

1. punë gojore.

Konsolidimi i konceptit të logaritmit, përsëritja e vetive themelore të tij dhe vetive të funksionit logaritmik:

1. Ngrohja e teorisë:

1. Përcaktoni logaritmin.(rrëshqitje numër 2)

2. A është e mundur të gjendet logaritmi i ndonjë numri?

3. Cili numër mund të jetë në bazën e logaritmit?

4. Funksioni y=log 0.8 x rritet apo zvogëlohet Pse?

5. Çfarë vlerash mund të marrë një funksion logaritmik?

6. Cilat logaritme quhen dhjetore, natyrore?

7. Cilat janë vetitë kryesore të logaritmeve.(rrëshqitje numër 3)

8. A është e mundur kalimi nga një bazë e logaritmit në tjetrën? Si ta bëjmë atë?(rrëshqitje numër 4)

2. Punohet kartela (3-4 nxënës):

Numri i kartës 1: Llogaritni: a) log 6 4 + log 6 9 =

B) log 1/3 36 - log 1/3 12 =

Zgjidhja e ekuacionit: log 5 x \u003d 4 log 5 3 - 1/3 log 5 27

Karta numër 2:

Njehsoni: a) log211 - log244 =

B) log1/64 + log1/69 =

Zgjidhja e ekuacionit: log 7 x \u003d 2 regjistër 7 5 + 1/2 log 7 36 - 1/3 log 7 125.

Sondazhi i klasës frontale (ushtrime me gojë)

Llogaritni: (rrëshqitja numër 5)

Krahasoni numrat: (rrëshqitja numër 6)

1. log ½ e dhe log ½ π;
2. log 2 √5/2 dhe log 2 √3/2.

Gjeni shenjën e një shprehjeje log 0,8 3 log 6 2/3. (rrëshqitje numër 7)

1. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë:

Shtëpisë iu caktuan ushtrimet e mëposhtme: Nr. 327 (jo orë), 331 (jo orë), 333 (2) dhe 390 (6). Kontrolloni përgjigjet e këtyre detyrave dhe përgjigjuni pyetjeve të nxënësve.

1. Mësimi i materialit të ri:

Përkufizimi: Një ekuacion që përmban një ndryshore nën shenjën e logaritmit quhet ekuacion logaritmik.

Shembulli më i thjeshtë i një ekuacioni logaritmik është ekuacioni
log a x \u003d c (a\u003e 0, a ≠ 1)
Mënyrat për të zgjidhur ekuacionet logaritmike:(rrëshqitje numër 8)

1. Zgjidhja e ekuacioneve bazuar në përcaktimin e logaritmit.(rrëshqitje numër 9)

log a x = c (a > 0, a≠ 1) ka zgjidhjen x = a Me .

Bazuar në përkufizimin e logaritmit, zgjidhen ekuacionet në të cilat:

• duke pasur parasysh bazat dhe numrin, përcaktohet logaritmi,
• Duke pasur parasysh logaritmin dhe bazën, përcaktohet një numër
• baza përcaktohet nga numri i dhënë dhe logaritmi.

Shembuj:

log 2 128= x, log 16 x = ¾, log x 27= 3,

2 x \u003d 128, x \u003d 16 ¾, x 3 \u003d 27,

2 x \u003d 2 7, x \u003d 2 3, x 3 \u003d 3 3,

x \u003d 7. x = 8. x = 3.

a) regjistri 7 (3x-1)=2 (përgjigje: x=3 1/3)

b) regjistri 2 (7-8x)=2 (përgjigje: x=3/8).

1. metoda e fuqizimit.(rrëshqitja numër 10)

Me fuqizim nënkuptohet kalimi nga një barazi që përmban logaritme në një barazi që nuk i përmban ato, d.m.th.

Log a f(x) = log a g(x), pastaj f(x) = g(x), me kusht që f(x)>0, g(x)>0, a>0, a≠ 1.

Shembull:

Zgjidheni ekuacionin =

ODZ:

3x-1>0; x> 1/3

6x+8>0.

3x-1=6x+8

3x=9

x=-3

3 > 1/3 - e pasaktë

Përgjigje: Nuk ka zgjidhje.

lg (x 2 -2) \u003d lg x (përgjigje: x \u003d 2)

1. Ekuacionet e zgjidhura duke zbatuar identitetin logaritmik bazë.(rrëshqitje numër 11)

Shembull:

Zgjidheni ekuacionin=log 2 (6-x)

ODZ:

6-x>0;

x>0;

x≠1;

log 2 x 2 >0;

x 2 >0.

Zgjidhja e sistemit: (0;1)Ụ (1;6).

Regjistri 2 (6-x)

x 2 = 6 x

x 2 + x-6 = 0

x=-3 nuk i përket ODZ.

x=2 i përket ODZ-së.

Përgjigje: x=2

Me klasë zgjidhni ekuacionin e mëposhtëm:

= (përgjigje: x=1)

1. Metoda për reduktimin e logaritmeve në të njëjtën bazë.(rrëshqitje numër 12)

Shembull:

Zgjidheni ekuacionin log 16 x+ log 4 x+ log 2 x=7

ODZ: x>0

¼ log 2 x+½ log 2 x+ log 2 x=7

7/4 log 2 x=7

log 2 x=4

х=16 – i përket ODZ-së.

Përgjigje: x=16.

Zgjidhe ekuacionin e mëposhtëm me klasën:

3 (përgjigje: x=5/3)

1. Ekuacionet e zgjidhura duke zbatuar vetitë e logaritmit.(rrëshqitje numër 13)

Shembull:

Zgjidheni ekuacionin log 2 (x +1) - log 2 (x -2) = 2.

ODZ:

x+1>0;

x-2>0. x>1.

Ne përdorim formulën për transformimin e diferencës së logaritmeve të logaritmit të herësit, marrim log 2 = 2, prej nga vijon= 4.

Duke zgjidhur ekuacionin e fundit, gjejmë x \u003d 3, 3\u003e 1 - djathtas

Përgjigje: x = 3.

Zgjidhini me klasën ekuacionet e mëposhtme:

a) log 5 (x + 1) + log 5 (x +5) = 1 (përgjigje: x=0).

b) log 9 (37-12x) log 7-2x 3 = 1,

37-12x >0, x

7-2x >0, x

7-2x≠ 1; x≠ 3; x≠ 3;

Regjistri 9 (37-12x) / regjistri 3 (7-2x) = 1,

½ log 3 (37-12x) = log 3 (7-2x),

Regjistri 3 (37-12x) = regjistri 3 (7-2x) 2,

37-12x \u003d 49 -28x + 4x 2,

4x 2 -16x +12 \u003d 0,

X 2 -4x +3 \u003d 0, D \u003d 19, x 1 \u003d 1, x 2 =3, 3 është një rrënjë e jashtme.

Përgjigje: x=1 është rrënja e ekuacionit.

C) lg (x 2 -6x + 9) - 2lg (x - 7) = lg9.

(x 2 -6x + 9) > 0, x ≠ 3,

X-7 >0; x>7; x>7.

Lg ((x-3)/(x-7)) 2 = lg9

((x-3)/(x-7)) 2 = 9,

(x-3) / (x-7) \u003d 3, (x-3) / (x-7) \u003d - 3,

x-3 \u003d 3x -21, x -3 \u003d - 3x +21,

x=9. x=6 - rrënjë e jashtme.

Kontrolli tregon rrënjën 9 të ekuacionit.

Përgjigje: 9

1. Ekuacionet zgjidhen duke futur një ndryshore të re.(rrëshqitje numër 14)

Shembull:

Zgjidhja e ekuacionit lg 2 x - 6lgx + 5 \u003d 0.

ODZ: x>0.

Le të lgx = p, pastaj p 2 -6p+5=0.

p 1 =1, p 2 =5.

Kthehu te zëvendësimi:

lgх = 1, lgх =5

x=10, 10>0 – e vërtetë x=100000, 100000>0 – e vërtetë

Përgjigje: 10, 100000

Zgjidhe ekuacionin e mëposhtëm me klasën:

Regjistri 6 2 x + log 6 x +14 \u003d (√16 - x 2) 2 + x 2,

16 - x 2 ≥0; - 4≤ x ≤ 4;

X>0, x>0, O.D.Z. [0.4).

Regjistri 6 2 x + log 6 x +14 \u003d 16 - x 2 + x 2,

Regjistri 6 2 x + log 6 x -2 = 0

Zëvendësoni regjistrin 6 x = t

T 2 + t -2 \u003d 0; D=9; t 1 \u003d 1, t 2 \u003d -2.

Ditari 6 x = 1, x = 6 është një rrënjë e jashtme.

Ditari 6 x=-2, x=1/36, kontrolli tregon se 1/36 është rrënja.

Përgjigje: 1/36.

1. Ekuacionet e zgjidhura me faktoring.(rrëshqitje numër 15)

Shembull:

Zgjidheni ekuacionin log 4 (2x-1) ∙ regjistri 4 x \u003d 2 regjistër 4 (2x-1)

ODZ:

2x-1>0;

X>0. x>½.

log 4 (2x-1)∙ log 4 x - 2 log 4 (2x-1)=0

log 4 (2x-1)∙(log 4 x-2)=0

log 4 (2x-1)=0 ose log 4 x-2=0

2x-1=1 log 4 x = 2

x=1 x=16

1;16 - i përkasin ODZ

Përgjigje: 1; 16

Zgjidhe ekuacionin e mëposhtëm me klasën:

log 3 x ∙log 3 (3x-2)= log 3 (3x-2) (përgjigje: x=1)

1. Metoda e marrjes së logaritmit të të dy pjesëve të ekuacionit.(rrëshqitje numër 16)

Shembull:

Zgjidh ekuacione

Merrni logaritmin e të dy anëve të ekuacionit në bazën 3.

Ne marrim log 3 = log 3 (3x)

marrim: log 3 x 2 log 3 x \u003d log 3 (3x),

2log 3 x log 3 x = log 3 3+ log 3 x,

2 regjistër 3 2 x \u003d regjistër 3 x +1,

2 log 3 2 x - log 3 x -1=0,

zëvendësoni log 3 x = p, x > 0

2 p 2 + p -2 \u003d 0; D=9; p 1 \u003d 1, p 2 \u003d -1/2

Regjistri 3 x = 1, x=3,

log 3 x \u003d -1 / 2, x \u003d 1 / √3.

Përgjigje: 3; 1/√3

Zgjidhe ekuacionin e mëposhtëm me klasën:

Regjistri 2 x - 1

x \u003d 64 (përgjigje: x \u003d 8; x \u003d 1/4)

1. Funksionalisht - metodë grafike. (rrëshqitje numër 17)

Shembull:

Zgjidh ekuacionet: log 3 x = 12 x.

Meqenëse funksioni y = log 3 x është në rritje, dhe funksioni y = 12-x zvogëlohet në (0; + ∞), atëherë ekuacioni i dhënë në këtë interval ka një rrënjë.

Le të ndërtojmë grafikët e dy funksioneve në një sistem koordinativ: y = log 3 x dhe y = 12 x.

Në x=10, ekuacioni i dhënë kthehet në barazinë numerike të saktë 1=1. Përgjigja është x=10.

Zgjidhe ekuacionin e mëposhtëm me klasën:

1-√x \u003d ln x (përgjigje: x \u003d 1).

1. Përmbledhje, reflektim (shpërndani rrathë mbi të cilët djemtë shënojnë gjendjen e tyre me një fotografi).(rrëshqitje numër 18,19)

Përcaktoni metodën për zgjidhjen e ekuacionit:

1. Detyrë shtëpie: 340 (1), 393 (1), 395 (1.3), 1357 (1.2), 337 (1), 338 (1), 339 (1)

Letërsia

1. Ryazanovsky, A.R. Matematika. Klasat 5 - 11: Materiale shtesë për mësimin e matematikës / A.R. Ryazanovsky, E.A. Zaitsev. - Botimi i dytë, stereotip. - M .: Bustard, 2002
2. Matematika. Shtojcë e gazetës “I Shtatori”. 1997. Nr. 1, 10, 46, 48; 1998. Nr 8, 16, 17, 20, 21, 47.
3. Skorkina, N.M. Format jo standarde të punës jashtëshkollore. Për shkollën e mesme dhe të mesme / N.M. Skorkin. - Volgograd: Mësues, 2004
4. Ziv, B.G., Goldich, V.A. Materiale didaktike mbi algjebrën dhe fillimet e analizës për klasën 10./B.G.Ziv, V.A.Goldich. - Botimi i 3-të, i korrigjuar. - Shën Petersburg: "CheRo-on-Neva", 2004
5. Algjebra dhe fillimet e analizës: Matematika për shkollat ​​teknike / ed. G.N. Yakovleva.-M.: Nauka, 1987

Pamja paraprake:

Për të përdorur pamjen paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari (llogari) Google dhe regjistrohuni: https://accounts.google.com

Titrat e rrëshqitjeve:

Metodat e zgjidhjes së ekuacioneve logaritmike Mësuesja e matematikës: Plotnikova T.V. MBOU "Shkolla e mesme nr. 1 e Suzdalit"

Përcaktimi Logaritmi i një numri pozitiv b në bazën a, ku a>0, a≠1, është një eksponent i tillë c, në të cilin duhet të ngrini ato merrni b.

Vetitë e logaritmeve log a 1 = 0 log a a = 1 log a (x y)= log a x + log a y 3

Formulat e transferimit bazë 4

Llogaritni: 5

Krahasoni 6

7 Përcaktoni shenjën e numrit:

Metodat bazë për zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike

1. Duke përdorur përkufizimin e logaritmit l og 2 128= x log x 27= 3 Zgjidh ekuacionet e mëposhtme: a) log 7 (3x-1)=2 b) log 2 (7-8x)=2 9

2. Metoda e fuqizimit Le të zgjidhim ekuacionin e mëposhtëm: lg (x 2 -2) = lg x 10 2

11 3. Ekuacionet e zgjidhura duke zbatuar identitetin bazë logaritmik Le të zgjidhim ekuacionin e mëposhtëm: 1

12 4 . Metoda për reduktimin e logaritmeve në të njëjtin log bazë 16 x + log 4 x + log 2 x = 7 Zgjidheni ekuacionin e mëposhtëm:

13 5. Ekuacionet e zgjidhura duke zbatuar vetitë e logaritmit log 2 (x +1) - log 2 (x -2) \u003d 2 Zgjidhim ekuacionet e mëposhtme: a) l og 5 (x +1) + log 5 ( x +5) \u003d 1 b) log 9 (37-12x) log 7-2x 3 \u003d 1 c) lg (x 2 -6x + 9) - 2lg (x - 7) \u003d lg9 0 1 9

6. Ekuacionet e zgjidhura duke futur një ndryshore të re l g 2 x - 6lgx +5 = 0 Zgjidhim ekuacionet e mëposhtme: log 6 2 x + log 6 x +14 = (√16 - x 2) 2 + x 2 14

15 7. Ekuacionet e zgjidhura me faktorizimin log 4 (2x-1)∙ log 4 x =2 log 4 (2x-1) Zgjidh ekuacionet e mëposhtme: log 3 x ∙ log 3 (3x-2)= log 3 ( 3x-2 ) 1

8. Metoda logaritmike Le të zgjidhim ekuacionin e mëposhtëm: 16

9. Funksionalisht - log i metodës grafike 3 x = 12-x Le të zgjidhim ekuacionin e mëposhtëm: 17 1

Përcaktoni metodën për zgjidhjen e ekuacionit: Ekuacioni: Metoda e zgjidhjes për përcaktimin e kalimit të logaritmit në një tjetër faktorizimi i bazës fuqizimi futja e një kalimi të ri variabli në një tjetër bazë përdorimi i vetive të logaritmit grafik 18

Po! Dhe kush doli me këto ekuacione logaritmike! Unë mund të bëj gjithçka!!! Keni nevojë për disa shembuj të tjerë? Reflektimi 19

Prezantimi

Rritja e ngarkesës mendore në orët e matematikës na bën të mendojmë se si të ruajmë interesin e nxënësve për materialin që studiohet, aktivitetin e tyre gjatë gjithë orës së mësimit. Në këtë drejtim, po bëhen kërkime për metoda të reja efektive të mësimdhënies dhe teknika të tilla metodologjike që do të aktivizonin mendimin e nxënësve, do t'i nxisnin ata të përvetësojnë në mënyrë të pavarur njohuritë.

Shfaqja e interesit për matematikën tek një numër i konsiderueshëm studentësh varet në një masë më të madhe nga metodologjia e mësimdhënies së saj, nga sa me shkathtësi do të ndërtohet puna edukative. Tërheqja në kohë e vëmendjes së studentëve për atë që po studion matematika vetitë e përgjithshme objektet dhe fenomenet e botës përreth, nuk merret me objekte, por me koncepte abstrakte, është e mundur të kuptohet se matematika nuk e prish lidhjen me realitetin, por, përkundrazi, bën të mundur studimin e tij më të thellë, nxjerrin përfundime teorike të përgjithësuara që përdoren gjerësisht në praktikë.

Pjesëmarrja në festivalin e ideve pedagogjike "Mësim i hapur" 2004-2005 Viti shkollor, kam prezantuar një orë mësimi-ligjëratë me temën “Funksioni logaritmik” (diploma nr. 204044). Unë mendoj se kjo metodë është më e suksesshme në këtë rast të veçantë. Si rezultat i studimit, studentët kanë një përmbledhje të detajuar dhe një skicë të shkurtër mbi temën, gjë që do ta bëjë më të lehtë për ta përgatitjen për mësimet e ardhshme. Në veçanti, në temën "Zgjidhja e ekuacioneve logaritmike", e cila bazohet plotësisht në studimin e funksionit logaritmik dhe vetive të tij.

Gjatë formimit të koncepteve themelore matematikore, është e rëndësishme të krijohet një ide midis studentëve për përshtatshmërinë e prezantimit të secilit prej tyre dhe mundësinë e zbatimit të tyre. Për këtë, është e nevojshme që gjatë formulimit të përkufizimit të një koncepti, duke punuar në strukturën e tij logjike, të merren parasysh pyetjet rreth historisë së shfaqjes së këtij koncepti. Kjo qasje do t'i ndihmojë studentët të kuptojnë se koncepti i ri shërben si një përgjithësim i fakteve të realitetit.

Historia e shfaqjes së logaritmeve është paraqitur në detaje në punimin e vitit të kaluar.

Duke marrë parasysh rëndësinë e vazhdimësisë në mësimdhënien e matematikës në një institucion arsimor të mesëm të specializuar dhe në një universitet dhe nevojën për të përmbushur kërkesat uniforme për studentët, e konsideroj të përshtatshme përdorimin e metodës së mëposhtme për njohjen e studentëve me zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike.

Ekuacionet që përmbajnë një ndryshore nën shenjën e logaritmit (në veçanti, në bazën e logaritmit) quhen logaritmike. Merrni parasysh ekuacionet logaritmike të formës:

Zgjidhja e këtyre ekuacioneve bazohet në teoremën e mëposhtme.

Teorema 1. Ekuacioni është i barabartë me sistemin

(2)

Për të zgjidhur ekuacionin (1), mjafton të zgjidhet ekuacioni

dhe zgjidhjet e tij zëvendësohen në sistemin e pabarazive

duke përcaktuar domenin e përkufizimit të ekuacionit (1).

Rrënjët e ekuacionit (1) do të jenë vetëm ato zgjidhje të ekuacionit (3) që kënaqin sistemin (4), d.m.th. i përkasin fushës së përkufizimit të ekuacionit (1).

Kur zgjidhen ekuacionet logaritmike, mund të ndodhë një zgjerim i fushës së përkufizimit (përvetësimi i rrënjëve të jashtme) ose ngushtimi (humbja e rrënjëve). Prandaj, zëvendësimi i rrënjëve të ekuacionit (3) në sistemin (4), d.m.th. kërkohet verifikimi i zgjidhjes.

Shembulli 1: zgjidhin ekuacionin

Zgjidhja:

Të dy kuptimet X plotësojnë kushtet e sistemit.

Përgjigje:

Merrni parasysh ekuacionet e formës:

Zgjidhja e tyre bazohet në teoremën e mëposhtme

Teorema 2: Ekuacioni (5) është ekuivalent me sistemin

(6)

Rrënjët e ekuacionit (5) do të jenë vetëm ato rrënjë të ekuacionit që

i përkasin fushës së përkufizimit të dhënë nga kushtet .

Një ekuacion logaritmik i formës (5) mund të zgjidhet në mënyra të ndryshme. Le të shqyrtojmë ato kryesore.

1. POTENTIFIKIMI (duke zbatuar vetitë e logaritmit).

Shembulli 2: zgjidhin ekuacionin

Zgjidhja: Në bazë të teoremës 2, ky ekuacion është ekuivalent me sistemin:

Le të zgjidhim ekuacionin:

Vetëm një rrënjë i plotëson të gjitha kushtet e sistemit. Përgjigje:

2. PËRDORIMI I PËRKUFIZIMIT TË LOGARITMIT .

Shembulli 3: Gjej X, nëse

Zgjidhja:

Kuptimi X= 3 i përket fushës së ekuacionit. Përgjigju X = 3

3. REDUKTIMI NË EKUACION KUADRATIK.

Shembulli 4: zgjidhin ekuacionin

Të dy kuptimet X janë rrënjët e ekuacionit.

Përgjigje:

4. LOGARITH.

Shembulli 5: zgjidhin ekuacionin

Zgjidhja: Marrim logaritmin e të dy anëve të ekuacionit në bazën 10 dhe zbatojmë vetinë "logaritmi i shkallës".

Të dy rrënjët i përkasin diapazonit të vlerave të lejuara të funksionit logaritmik.

Përgjigje: X = 0,1; X = 100

5. REDUKSIMI NË NJË BAZË.

Shembulli 6: zgjidhin ekuacionin

Le të përdorim formulën dhe kaloni në të gjitha termat në logaritmin në bazën 2:

Atëherë ky ekuacion do të marrë formën:

Meqenëse , atëherë kjo është rrënja e ekuacionit.

Përgjigje: X = 16

6. HYRJA E NDRYSHOREVE NDIHMESE.

Të gjithë jemi të njohur me ekuacionet. Shkolla fillore. Edhe aty mësuam të zgjidhim shembujt më të thjeshtë dhe duhet pranuar se e gjejnë zbatimin e tyre edhe në matematikën e lartë. Gjithçka është e thjeshtë me ekuacionet, duke përfshirë ato katrore. Nëse keni probleme me këtë temë, ju rekomandojmë fuqimisht ta riprovoni.

Logaritmet ju ndoshta keni kaluar tashmë gjithashtu. Megjithatë, ne e konsiderojmë të rëndësishme të tregojmë se çfarë është për ata që nuk e dinë ende. Logaritmi barazohet me fuqinë në të cilën baza duhet të ngrihet për të marrë numrin në të djathtë të shenjës së logaritmit. Le të japim një shembull, në bazë të të cilit, gjithçka do të bëhet e qartë për ju.

Nëse ngreni 3 në fuqinë e katërt, merrni 81. Tani zëvendësoni numrat me analogji dhe më në fund do të kuptoni se si zgjidhen logaritmet. Tani mbetet vetëm për të kombinuar dy konceptet e konsideruara. Fillimisht, situata duket jashtëzakonisht e vështirë, por me një ekzaminim më të afërt, pesha bie në vend. Jemi të sigurt që pas këtij shkrimi të shkurtër nuk do të keni asnjë problem në këtë pjesë të provimit.

Sot, ka shumë mënyra për të zgjidhur struktura të tilla. Ne do të flasim për më të thjeshtat, më efektivet dhe më të zbatueshmet në rastin e detyrave USE. Zgjidhja e ekuacioneve logaritmike duhet të fillojë me shembullin më të thjeshtë. Ekuacionet më të thjeshta logaritmike përbëhen nga një funksion dhe një ndryshore në të.

Është e rëndësishme të theksohet se x është brenda argumentit. A dhe b duhet të jenë numra. Në këtë rast, ju thjesht mund ta shprehni funksionin në terma të një numri në një fuqi. Duket kështu.

Sigurisht, zgjidhja e një ekuacioni logaritmik në këtë mënyrë do t'ju çojë në përgjigjen e saktë. Por problemi i shumicës dërrmuese të studentëve në këtë rast është se ata nuk e kuptojnë se çfarë dhe nga vjen. Si rezultat, ju duhet të duroni gabimet dhe të mos merrni pikët e dëshiruara. Gabimi më fyes do të jetë nëse i përzieni shkronjat në vende. Për të zgjidhur ekuacionin në këtë mënyrë, duhet të mësoni përmendësh këtë formulë standarde të shkollës, sepse është e vështirë për ta kuptuar atë.

Për ta bërë më të lehtë, mund të drejtoheni në një metodë tjetër - formën kanonike. Ideja është jashtëzakonisht e thjeshtë. Kushtojini vëmendje detyrës përsëri. Mos harroni se shkronja a është një numër, jo një funksion ose një ndryshore. A nuk është e barabartë me një dhe është më e madhe se zero. Nuk ka kufizime për b. Tani nga të gjitha formulat, kujtojmë një. B mund të shprehet si më poshtë.

Nga kjo rrjedh se të gjitha ekuacionet origjinale me logaritme mund të përfaqësohen si:

Tani mund të hedhim poshtë logaritmet. Rezultati është një ndërtim i thjeshtë, të cilin e kemi parë tashmë më herët.

Komoditeti i kësaj formule qëndron në faktin se ajo mund të përdoret në një sërë rastesh, dhe jo vetëm për dizajnet më të thjeshta.

Mos u shqetësoni për OOF!

Shumë matematikanë me përvojë do të vërejnë se ne nuk i kemi kushtuar vëmendje fushës së përkufizimit. Rregulli bazohet në faktin se F(x) është domosdoshmërisht më i madh se 0. Jo, nuk e kemi humbur këtë moment. Tani po flasim për një avantazh tjetër serioz të formës kanonike.

Këtu nuk do të ketë rrënjë shtesë. Nëse ndryshorja do të shfaqet vetëm në një vend, atëherë shtrirja nuk është e nevojshme. Ai funksionon automatikisht. Për të verifikuar këtë gjykim, merrni parasysh zgjidhjen e disa shembujve të thjeshtë.

Si të zgjidhim ekuacionet logaritmike me baza të ndryshme

Këto janë tashmë ekuacione logaritmike komplekse dhe qasja ndaj zgjidhjes së tyre duhet të jetë e veçantë. Këtu rrallë është e mundur të kufizohemi në formën famëkeqe kanonike. Le të fillojmë historinë tonë të detajuar. Kemi konstruksionin e mëposhtëm.

Vëreni thyesën. Ai përmban logaritmin. Nëse e shihni këtë në detyrë, ia vlen të mbani mend një truk interesant.

Çfarë do të thotë? Çdo logaritëm mund të shprehet si një herës i dy logaritmeve me një bazë të përshtatshme. Dhe kjo formulë ka rast i veçantë, e cila është e zbatueshme me këtë shembull (që do të thotë nëse c=b).

Kjo është pikërisht ajo që shohim në shembullin tonë. Në këtë mënyrë.

Në fakt, ata e kthyen fraksionin dhe morën një shprehje më të përshtatshme. Mos harroni këtë algoritëm!

Tani na duhet që ekuacioni logaritmik të mos përmbajë baza të ndryshme. Le të paraqesim bazën si një thyesë.

Në matematikë, ekziston një rregull, në bazë të të cilit, ju mund të hiqni gradën nga baza. Rezulton ndërtimi i mëposhtëm.

Duket se tani çfarë na pengon ta kthejmë shprehjen tonë në një formë kanonike dhe ta zgjidhim atë në mënyrë elementare? Jo aq e thjeshtë. Nuk duhet të ketë thyesa para logaritmit. Le ta rregullojmë këtë situatë! Një fraksion lejohet të nxirret si shkallë.

Përkatësisht.

Nëse bazat janë të njëjta, ne mund të heqim logaritmet dhe të barazojmë vetë shprehjet. Kështu që situata do të bëhet shumë herë më e lehtë se sa ishte. Do të ketë një ekuacion elementar që secili prej nesh dinte ta zgjidhte në klasën e 8-të apo edhe të 7-të. Llogaritjet mund t'i bëni vetë.

Ne morëm rrënjën e vetme të vërtetë të këtij ekuacioni logaritmik. Shembujt e zgjidhjes së një ekuacioni logaritmik janë mjaft të thjeshtë, apo jo? Tani do të jeni në gjendje të merreni në mënyrë të pavarur edhe me detyrat më të vështira për përgatitjen dhe kalimin e provimit.

Cili është rezultati?

Në rastin e çdo ekuacioni logaritmik, ne vazhdojmë nga një rregull shumë i rëndësishëm. Është e nevojshme të veprohet në atë mënyrë që të sjellë shprehjen në formën më të thjeshtë. Në këtë rast, do të keni më shumë shanse jo vetëm për ta zgjidhur problemin në mënyrë korrekte, por edhe për ta bërë atë në mënyrën më të thjeshtë dhe më logjike. Kështu punojnë gjithmonë matematikanët.

Ne nuk ju rekomandojmë fuqimisht që të kërkoni shtigje të vështira, veçanërisht në këtë rast. Mos harroni disa rregulla të thjeshta që do t'ju lejojnë të transformoni çdo shprehje. Për shembull, sillni dy ose tre logaritme në të njëjtën bazë, ose merrni një fuqi nga baza dhe fitoni mbi të.

Vlen gjithashtu të kujtohet se në zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike ju duhet të stërviteni vazhdimisht. Gradualisht, do të kaloni në struktura gjithnjë e më komplekse dhe kjo do t'ju çojë të zgjidhni me besim të gjitha opsionet për problemet në provim. Përgatituni paraprakisht për provimet tuaja dhe fat të mirë!

Ky artikull përmban një prezantim sistematik të metodave për zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike me një ndryshore. Kjo do ta ndihmojë mësuesin, kryesisht në kuptimin didaktik: zgjedhja e ushtrimeve ju lejon të krijoni detyra individuale për studentët, duke marrë parasysh aftësitë e tyre. Këto ushtrime mund të përdoren për një mësim përgjithësim dhe për përgatitjen për provim.
Informacioni i shkurtër teorik dhe zgjidhja e problemeve i lejojnë studentët të zhvillojnë në mënyrë të pavarur aftësitë dhe aftësitë për të zgjidhur ekuacionet logaritmike.

Zgjidhja e ekuacioneve logaritmike.

Ekuacionet logaritmike – ekuacionet që përmbajnë të panjohurën nën shenjë logaritmi. Kur zgjidhen ekuacionet logaritmike, shpesh përdoret informacioni teorik:

Zakonisht, zgjidhja e ekuacioneve logaritmike fillon me përcaktimin e ODZ. Në ekuacionet logaritmike, rekomandohet që të gjitha logaritmet të konvertohen në mënyrë që bazat e tyre të jenë të barabarta. Pastaj ekuacionet shprehen ose në terma të një logaritmi të vetëm, i cili shënohet me një ndryshore të re, ose ekuacioni shndërrohet në një formë të përshtatshme për fuqizim.
Transformimet e shprehjeve logaritmike nuk duhet të çojnë në një ngushtim të ODZ, por nëse metoda e aplikuar e zgjidhjes ngushton ODZ, duke i liruar numrat individualë nga shqyrtimi, atëherë këta numra në fund të problemit duhet të kontrollohen me zëvendësim në ekuacionin origjinal. sepse kur ngushtohet ODZ, humbja e rrënjëve është e mundur.

1. Ekuacionet e formësështë një shprehje që përmban një numër të panjohur dhe numrin .

1) përdorni përkufizimin e logaritmit: ;
2) bëni një kontroll ose gjeni gamën e vlerave të vlefshme për numër i panjohur dhe zgjidhni rrënjët (zgjidhjet) përkatëse.
Nese nje ) .

2. Ekuacionet e shkallës së parë në lidhje me logaritmin, në zgjidhjen e të cilave përdoren vetitë e logaritmeve.

Për të zgjidhur këto ekuacione, ju duhet:

1) duke përdorur vetitë e logaritmeve, transformoni ekuacionin;
2) zgjidhni ekuacionin që rezulton;
3) kontrolloni ose gjeni gamën e vlerave të pranueshme për një numër të panjohur dhe zgjidhni rrënjët (zgjidhjet) që korrespondojnë me to.
).

3. Ekuacioni i shkallës së dytë dhe më të lartë në raport me logaritmin.

Për të zgjidhur këto ekuacione, ju duhet:

1. të bëjë një ndryshim të ndryshores;
2. të zgjidhë ekuacionin që rezulton;
3. bëni një zëvendësim të kundërt;
4. të zgjidhë ekuacionin që rezulton;
5. kontrolloni ose gjeni gamën e vlerave të pranueshme për një numër të panjohur dhe zgjidhni rrënjët (zgjidhjet) që korrespondojnë me to.

4. Ekuacionet që përmbajnë të panjohurën në bazë dhe në eksponent.

Për të zgjidhur këto ekuacione, ju duhet:

1. merr logaritmin e ekuacionit;
2. të zgjidhë ekuacionin që rezulton;
3. bëni një kontroll ose gjeni gamën e vlerave të pranueshme për një numër të panjohur dhe zgjidhni ato përkatëse
   rrënjët (zgjidhjet).

5. Ekuacione që nuk kanë zgjidhje.

1. Për të zgjidhur ekuacione të tilla, është e nevojshme të gjendet ekuacioni ODZ.
2. Analizoni anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit.
3. Nxirrni përfundimet e duhura.

Ekuacioni origjinal është i barabartë me sistemin:

Vërtetoni se ekuacioni nuk ka zgjidhje.

Ekuacioni ODZ përcaktohet nga pabarazia x ≥ 0. Në ODZ kemi

Shuma e një numri pozitiv dhe një numri jonegativ nuk është e barabartë me zero, kështu që ekuacioni origjinal nuk ka zgjidhje.

Përgjigje: Nuk ka zgjidhje.

Vetëm një rrënjë x \u003d 0 bie në ODZ. Përgjigja: 0.

Le të bëjmë një zëvendësim.

Rrënjët e gjetura i përkasin ODZ-së.

Ekuacioni ODZ është bashkësia e të gjithë numrave pozitivë.

Sepse

Këto ekuacione zgjidhen në mënyrë të ngjashme:

Detyrat për zgjidhje të pavarur:

Libra të përdorur.

1. Bechetnov V.M. Matematika. Demiurgu i Moskës 1994
2. Borodulya I.T. Funksionet eksponenciale dhe logaritmike. (detyrat dhe ushtrimet). Moskë "Iluminizmi" 1984
3. Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Detyrat në matematikë. Ekuacionet dhe pabarazitë. Moska "Shkenca" 1987
4. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Trajnues algjebrik. Moskë "Ileksa" 2007
5. Saakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleme në Algjebër dhe Parimet e Analizës. Moskë "Iluminizmi" 2003

vetitë themelore.

1. logax + logaj = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

baza të njëjta

log6 4 + log6 9.

Tani le ta komplikojmë pak detyrën.

Shembuj të zgjidhjes së logaritmeve

Po sikur të ketë një shkallë në bazën ose argumentin e logaritmit? Atëherë eksponenti i kësaj shkalle mund të hiqet nga shenja e logaritmit sipas rregullave të mëposhtme:

Natyrisht, të gjitha këto rregulla kanë kuptim nëse respektohet logaritmi ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Një detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes:

Kalimi në një themel të ri

Le të jepet logaksi i logaritmit. Atëherë për çdo numër c të tillë që c > 0 dhe c ≠ 1, barazia është e vërtetë:

Një detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes:

Shiko gjithashtu:

Vetitë themelore të logaritmit

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponenti është 2.718281828…. Për të kujtuar eksponentin, mund të studioni rregullin: eksponenti është 2.7 dhe dyfishi i vitit të lindjes së Leo Tolstoit.

Vetitë themelore të logaritmeve

Duke ditur këtë rregull, do të dini vlerën e saktë të eksponentit dhe datën e lindjes së Leo Tolstoit.

Shembuj për logaritmet

Merrni logaritmin e shprehjeve

Shembulli 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Nga vetitë 3,5 llogarisim

2.

3.

Shembulli 2 Gjeni x nëse

Shembulli 3. Le të jepet vlera e logaritmeve

Llogarit log(x) nëse

Vetitë themelore të logaritmeve

Logaritmet, si çdo numër, mund të shtohen, zbriten dhe konvertohen në çdo mënyrë të mundshme. Por meqenëse logaritmet nuk janë numra krejt të zakonshëm, këtu ka rregulla, të cilat thirren vetitë themelore.

Këto rregulla duhet të dihen - asnjë problem serioz logaritmik nuk mund të zgjidhet pa to. Për më tepër, ka shumë pak prej tyre - gjithçka mund të mësohet brenda një dite. Pra, le të fillojmë.

Mbledhja dhe zbritja e logaritmeve

Konsideroni dy logaritme me të njëjtën bazë: logax dhe logaj. Pastaj ato mund të shtohen dhe zbriten, dhe:

1. logax + logaj = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Pra, shuma e logaritmeve është e barabartë me logaritmin e produktit, dhe ndryshimi është logaritmi i herësit. Ju lutemi vini re: pika kryesore këtu është - baza të njëjta. Nëse bazat janë të ndryshme, këto rregulla nuk funksionojnë!

Këto formula do të ndihmojnë në llogaritjen e shprehjes logaritmike edhe kur pjesët e saj individuale nuk merren parasysh (shihni mësimin "Çfarë është logaritmi"). Hidhini një sy shembujve dhe shikoni:

Meqenëse bazat e logaritmeve janë të njëjta, ne përdorim formulën e shumës:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Një detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log2 48 − log2 3.

Bazat janë të njëjta, ne përdorim formulën e ndryshimit:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Një detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log3 135 − log3 5.

Përsëri, bazat janë të njëjta, kështu që kemi:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Siç mund ta shihni, shprehjet origjinale përbëhen nga logaritme "të këqija", të cilat nuk konsiderohen veçmas. Por pas transformimeve dalin numra mjaft normalë. Bazuar në këtë fakt, shumë letrat e testimit. Po, kontrolli - shprehje të ngjashme me gjithë seriozitetin (nganjëherë - praktikisht pa ndryshime) ofrohen në provim.

Heqja e eksponentit nga logaritmi

Është e lehtë të shihet se rregulli i fundit ndjek dy të parat e tyre. Por është më mirë ta mbani mend gjithsesi - në disa raste do të zvogëlojë ndjeshëm sasinë e llogaritjeve.

Natyrisht, të gjitha këto rregulla kanë kuptim nëse respektohet logaritmi ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dhe një gjë tjetër: mësoni të zbatoni të gjitha formulat jo vetëm nga e majta në të djathtë, por edhe anasjelltas, d.m.th. mund të futni numrat para shenjës së logaritmit në vetë logaritmin. Kjo është ajo që kërkohet më shpesh.

Një detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log7 496.

Le të heqim qafe shkallën në argument sipas formulës së parë:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Një detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes:

Vini re se emëruesi është një logaritëm baza dhe argumenti i të cilit janë fuqi të sakta: 16 = 24; 49 = 72. Kemi:

Mendoj se shembulli i fundit ka nevojë për sqarim. Ku kanë shkuar logaritmet? Deri në momentin e fundit, ne punojmë vetëm me emëruesin.

Formulat e logaritmeve. Logaritmet janë shembuj zgjidhjesh.

Ata paraqitën bazën dhe argumentin e logaritmit që qëndron atje në formën e shkallëve dhe nxorën treguesit - morën një fraksion "trekatësh".

Tani le të shohim fraksionin kryesor. Numëruesi dhe emëruesi kanë të njëjtin numër: log2 7. Meqenëse log2 7 ≠ 0, ne mund ta zvogëlojmë thyesën - 2/4 do të mbetet në emërues. Sipas rregullave të aritmetikës, katër mund të transferohen në numërues, gjë që u bë. Rezultati është përgjigja: 2.

Kalimi në një themel të ri

Duke folur për rregullat e mbledhjes dhe zbritjes së logaritmeve, theksova veçanërisht se ato punojnë vetëm me të njëjtat baza. Po sikur bazat të jenë të ndryshme? Po sikur të mos jenë fuqi të sakta të të njëjtit numër?

Formulat për kalimin në një bazë të re vijnë në shpëtim. Ne i formulojmë ato në formën e një teoreme:

Le të jepet logaksi i logaritmit. Atëherë për çdo numër c të tillë që c > 0 dhe c ≠ 1, barazia është e vërtetë:

Në veçanti, nëse vendosim c = x, marrim:

Nga formula e dytë rezulton se është e mundur të ndërrohet baza dhe argumenti i logaritmit, por në këtë rast e gjithë shprehja është "përmbysur", d.m.th. logaritmi është në emërues.

Këto formula rrallë gjenden në shprehjet e zakonshme numerike. Është e mundur të vlerësohet se sa të përshtatshëm janë ato vetëm kur zgjidhen ekuacionet logaritmike dhe pabarazitë.

Megjithatë, ka detyra që nuk mund të zgjidhen fare, përveçse duke kaluar në një themel të ri. Le të shqyrtojmë disa nga këto:

Një detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log5 16 log2 25.

Vini re se argumentet e të dy logaritmave janë eksponentë të saktë. Le të nxjerrim treguesit: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Tani le të kthejmë logaritmin e dytë:

Meqenëse produkti nuk ndryshon nga ndërrimi i faktorëve, ne shumëzuam me qetësi katër dhe dy, dhe më pas kuptuam logaritmet.

Një detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log9 100 lg 3.

Baza dhe argumenti i logaritmit të parë janë fuqi të sakta. Le ta shkruajmë dhe të heqim qafe treguesit:

Tani le të heqim qafe logaritmin dhjetor duke kaluar në një bazë të re:

Identiteti bazë logaritmik

Shpesh në procesin e zgjidhjes kërkohet të paraqitet një numër si logaritëm në një bazë të caktuar. Në këtë rast, formulat do të na ndihmojnë:

Në rastin e parë, numri n bëhet eksponent në argument. Numri n mund të jetë absolutisht çdo gjë, sepse është vetëm vlera e logaritmit.

Formula e dytë është në fakt një përkufizim i parafrazuar. Quhet kështu:

Në të vërtetë, çfarë do të ndodhë nëse numri b ngrihet në një shkallë të tillë që numri b në këtë shkallë të japë numrin a? Është e drejtë: ky është i njëjti numër a. Lexoni përsëri këtë paragraf me kujdes - shumë njerëz "varen" në të.

Ashtu si formulat e reja të konvertimit të bazës, identiteti logaritmik bazë është ndonjëherë e vetmja zgjidhje e mundshme.

Një detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes:

Vini re se log25 64 = log5 8 - sapo nxori katrorin nga baza dhe argumentin e logaritmit. Duke pasur parasysh rregullat për shumëzimin e fuqive me të njëjtën bazë, marrim:

Nëse dikush nuk është në dijeni, kjo ishte një detyrë e vërtetë nga Provimi i Unifikuar i Shtetit 🙂

Njësia logaritmike dhe zero logaritmike

Si përfundim, do të jap dy identitete që është e vështirë të quhen veti - përkundrazi, këto janë pasoja nga përkufizimi i logaritmit. Gjenden vazhdimisht në probleme dhe çuditërisht krijojnë probleme edhe për nxënësit “të avancuar”.

1. logaa = 1 është. Mbani mend një herë e përgjithmonë: logaritmi për çdo bazë a nga vetë ajo bazë është i barabartë me një.
2. Loga 1 = 0 është. Baza a mund të jetë çdo gjë, por nëse argumenti është një, logaritmi është zero! Sepse a0 = 1 është një pasojë e drejtpërdrejtë e përkufizimit.

Këto janë të gjitha pronat. Sigurohuni që të praktikoni zbatimin e tyre! Shkarkoni fletën e mashtrimit në fillim të mësimit, printojeni dhe zgjidhni problemet.

Shiko gjithashtu:

Logaritmi i numrit b në bazën a tregon shprehjen. Të llogaritësh logaritmin do të thotë të gjesh një fuqi të tillë x () në të cilën barazia është e vërtetë

Vetitë themelore të logaritmit

Vetitë e mësipërme duhet të dihen, pasi, në bazë të tyre, pothuajse të gjitha problemet dhe shembujt zgjidhen në bazë të logaritmeve. Vetitë ekzotike të mbetura mund të nxirren nga manipulimet matematikore me këto formula

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Gjatë llogaritjes së formulave për shumën dhe diferencën e logaritmeve (3.4) hasen mjaft shpesh. Pjesa tjetër është disi komplekse, por në një numër detyrash ato janë të domosdoshme për thjeshtimin e shprehjeve komplekse dhe llogaritjen e vlerave të tyre.

Rastet e zakonshme të logaritmeve

Disa nga logaritmet e zakonshme janë ato në të cilat baza është edhe dhjetë, eksponenciale ose deuce.
Logaritmi i bazës dhjetë zakonisht quhet logaritmi i bazës dhjetë dhe shënohet thjesht lg(x).

Nga procesverbali shihet se bazat nuk janë të shkruara në procesverbal. Për shembull

Logaritmi natyror është logaritmi, baza e të cilit është eksponenti (shënohet ln(x)).

Eksponenti është 2.718281828…. Për të kujtuar eksponentin, mund të studioni rregullin: eksponenti është 2.7 dhe dyfishi i vitit të lindjes së Leo Tolstoit. Duke ditur këtë rregull, do të dini vlerën e saktë të eksponentit dhe datën e lindjes së Leo Tolstoit.

Dhe një tjetër logaritëm i rëndësishëm me bazë dy është

Derivati ​​i logaritmit të funksionit është i barabartë me një pjesëtuar me variablin

Logaritmi integral ose antiderivativ përcaktohet nga varësia

Materiali i mësipërm është i mjaftueshëm që ju të zgjidhni një klasë të gjerë problemesh që lidhen me logaritmet dhe logaritmet. Për hir të kuptimit të materialit, unë do të jap vetëm disa shembuj të zakonshëm nga kurrikula shkollore dhe universitetet.

Shembuj për logaritmet

Merrni logaritmin e shprehjeve

Shembulli 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Nga vetitë 3,5 llogarisim

2.
Nga vetia diferencë e logaritmeve, kemi

3.
Duke përdorur vetitë 3.5 gjejmë

Nga pamja shprehje komplekse duke përdorur një sërë rregullash thjeshtohet në formë

Gjetja e vlerave të logaritmit

Shembulli 2 Gjeni x nëse

Zgjidhje. Për llogaritjen aplikojmë vetitë 5 dhe 13 deri në afatin e fundit

Zëvendësoni në procesverbal dhe mbani zi

Meqenëse bazat janë të barabarta, ne i barazojmë shprehjet

Logaritmet. Niveli i parë.

Le të jepet vlera e logaritmeve

Llogarit log(x) nëse

Zgjidhje: Merrni logaritmin e ndryshores për të shkruar logaritmin përmes shumës së termave

Ky është vetëm fillimi i njohjes me logaritmet dhe vetitë e tyre. Praktikoni llogaritjet, pasuroni aftësitë tuaja praktike - së shpejti do t'ju nevojiten njohuritë e fituara për të zgjidhur ekuacionet logaritmike. Pasi të kemi studiuar metodat themelore për zgjidhjen e ekuacioneve të tilla, ne do të zgjerojmë njohuritë tuaja për një temë tjetër po aq të rëndësishme - pabarazitë logaritmike ...

Vetitë themelore të logaritmeve

Logaritmet, si çdo numër, mund të shtohen, zbriten dhe konvertohen në çdo mënyrë të mundshme. Por meqenëse logaritmet nuk janë numra krejt të zakonshëm, këtu ka rregulla, të cilat thirren vetitë themelore.

Këto rregulla duhet të dihen - asnjë problem serioz logaritmik nuk mund të zgjidhet pa to. Për më tepër, ka shumë pak prej tyre - gjithçka mund të mësohet brenda një dite. Pra, le të fillojmë.

Mbledhja dhe zbritja e logaritmeve

Konsideroni dy logaritme me të njëjtën bazë: logax dhe logaj. Pastaj ato mund të shtohen dhe zbriten, dhe:

1. logax + logaj = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Pra, shuma e logaritmeve është e barabartë me logaritmin e produktit, dhe ndryshimi është logaritmi i herësit. Ju lutemi vini re: pika kryesore këtu është - baza të njëjta. Nëse bazat janë të ndryshme, këto rregulla nuk funksionojnë!

Këto formula do të ndihmojnë në llogaritjen e shprehjes logaritmike edhe kur pjesët e saj individuale nuk merren parasysh (shihni mësimin "Çfarë është logaritmi"). Hidhini një sy shembujve dhe shikoni:

Një detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log6 4 + log6 9.

Meqenëse bazat e logaritmeve janë të njëjta, ne përdorim formulën e shumës:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Një detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log2 48 − log2 3.

Bazat janë të njëjta, ne përdorim formulën e ndryshimit:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Një detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log3 135 − log3 5.

Përsëri, bazat janë të njëjta, kështu që kemi:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Siç mund ta shihni, shprehjet origjinale përbëhen nga logaritme "të këqija", të cilat nuk konsiderohen veçmas. Por pas transformimeve dalin numra mjaft normalë. Shumë teste bazohen në këtë fakt. Po, kontrolli - shprehje të ngjashme me gjithë seriozitetin (nganjëherë - praktikisht pa ndryshime) ofrohen në provim.

Heqja e eksponentit nga logaritmi

Tani le ta komplikojmë pak detyrën. Po sikur të ketë një shkallë në bazën ose argumentin e logaritmit? Atëherë eksponenti i kësaj shkalle mund të hiqet nga shenja e logaritmit sipas rregullave të mëposhtme:

Është e lehtë të shihet se rregulli i fundit ndjek dy të parat e tyre. Por është më mirë ta mbani mend gjithsesi - në disa raste do të zvogëlojë ndjeshëm sasinë e llogaritjeve.

Natyrisht, të gjitha këto rregulla kanë kuptim nëse respektohet logaritmi ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dhe një gjë tjetër: mësoni të zbatoni të gjitha formulat jo vetëm nga e majta në të djathtë, por edhe anasjelltas, d.m.th. mund të futni numrat para shenjës së logaritmit në vetë logaritmin.

Si të zgjidhni logaritmet

Kjo është ajo që kërkohet më shpesh.

Një detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log7 496.

Le të heqim qafe shkallën në argument sipas formulës së parë:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Një detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes:

Vini re se emëruesi është një logaritëm baza dhe argumenti i të cilit janë fuqi të sakta: 16 = 24; 49 = 72. Kemi:

Mendoj se shembulli i fundit ka nevojë për sqarim. Ku kanë shkuar logaritmet? Deri në momentin e fundit, ne punojmë vetëm me emëruesin. Ata paraqitën bazën dhe argumentin e logaritmit që qëndron atje në formën e shkallëve dhe nxorën treguesit - morën një fraksion "trekatësh".

Tani le të shohim fraksionin kryesor. Numëruesi dhe emëruesi kanë të njëjtin numër: log2 7. Meqenëse log2 7 ≠ 0, ne mund ta zvogëlojmë thyesën - 2/4 do të mbetet në emërues. Sipas rregullave të aritmetikës, katër mund të transferohen në numërues, gjë që u bë. Rezultati është përgjigja: 2.

Kalimi në një themel të ri

Duke folur për rregullat e mbledhjes dhe zbritjes së logaritmeve, theksova veçanërisht se ato punojnë vetëm me të njëjtat baza. Po sikur bazat të jenë të ndryshme? Po sikur të mos jenë fuqi të sakta të të njëjtit numër?

Formulat për kalimin në një bazë të re vijnë në shpëtim. Ne i formulojmë ato në formën e një teoreme:

Le të jepet logaksi i logaritmit. Atëherë për çdo numër c të tillë që c > 0 dhe c ≠ 1, barazia është e vërtetë:

Në veçanti, nëse vendosim c = x, marrim:

Nga formula e dytë rezulton se është e mundur të ndërrohet baza dhe argumenti i logaritmit, por në këtë rast e gjithë shprehja është "përmbysur", d.m.th. logaritmi është në emërues.

Këto formula rrallë gjenden në shprehjet e zakonshme numerike. Është e mundur të vlerësohet se sa të përshtatshëm janë ato vetëm kur zgjidhen ekuacionet logaritmike dhe pabarazitë.

Megjithatë, ka detyra që nuk mund të zgjidhen fare, përveçse duke kaluar në një themel të ri. Le të shqyrtojmë disa nga këto:

Një detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log5 16 log2 25.

Vini re se argumentet e të dy logaritmave janë eksponentë të saktë. Le të nxjerrim treguesit: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Tani le të kthejmë logaritmin e dytë:

Meqenëse produkti nuk ndryshon nga ndërrimi i faktorëve, ne shumëzuam me qetësi katër dhe dy, dhe më pas kuptuam logaritmet.

Një detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log9 100 lg 3.

Baza dhe argumenti i logaritmit të parë janë fuqi të sakta. Le ta shkruajmë dhe të heqim qafe treguesit:

Tani le të heqim qafe logaritmin dhjetor duke kaluar në një bazë të re:

Identiteti bazë logaritmik

Shpesh në procesin e zgjidhjes kërkohet të paraqitet një numër si logaritëm në një bazë të caktuar. Në këtë rast, formulat do të na ndihmojnë:

Në rastin e parë, numri n bëhet eksponent në argument. Numri n mund të jetë absolutisht çdo gjë, sepse është vetëm vlera e logaritmit.

Formula e dytë është në fakt një përkufizim i parafrazuar. Quhet kështu:

Në të vërtetë, çfarë do të ndodhë nëse numri b ngrihet në një shkallë të tillë që numri b në këtë shkallë të japë numrin a? Është e drejtë: ky është i njëjti numër a. Lexoni përsëri këtë paragraf me kujdes - shumë njerëz "varen" në të.

Ashtu si formulat e reja të konvertimit të bazës, identiteti logaritmik bazë është ndonjëherë e vetmja zgjidhje e mundshme.

Një detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes:

Vini re se log25 64 = log5 8 - sapo nxori katrorin nga baza dhe argumentin e logaritmit. Duke pasur parasysh rregullat për shumëzimin e fuqive me të njëjtën bazë, marrim:

Nëse dikush nuk është në dijeni, kjo ishte një detyrë e vërtetë nga Provimi i Unifikuar i Shtetit 🙂

Njësia logaritmike dhe zero logaritmike

Si përfundim, do të jap dy identitete që është e vështirë të quhen veti - përkundrazi, këto janë pasoja nga përkufizimi i logaritmit. Gjenden vazhdimisht në probleme dhe çuditërisht krijojnë probleme edhe për nxënësit “të avancuar”.

1. logaa = 1 është. Mbani mend një herë e përgjithmonë: logaritmi për çdo bazë a nga vetë ajo bazë është i barabartë me një.
2. Loga 1 = 0 është. Baza a mund të jetë çdo gjë, por nëse argumenti është një, logaritmi është zero! Sepse a0 = 1 është një pasojë e drejtpërdrejtë e përkufizimit.

Këto janë të gjitha pronat. Sigurohuni që të praktikoni zbatimin e tyre! Shkarkoni fletën e mashtrimit në fillim të mësimit, printojeni dhe zgjidhni problemet.