Evolucioni i trurit të njeriut u zhvillua në hapësirën tredimensionale. Prandaj, është e vështirë për ne të imagjinojmë hapësira me dimensione më të mëdha se tre. Në fakt, truri i njeriut nuk mund të imagjinojë objekte gjeometrike me më shumë se tre dimensione. Dhe në të njëjtën kohë, ne mund të imagjinojmë lehtësisht objekte gjeometrike me dimensione jo vetëm tre, por edhe me dimensione dy dhe një.

Dallimi dhe analogjia midis hapësirave njëdimensionale dhe dydimensionale dhe dallimi dhe analogjia midis hapësirave dydimensionale dhe tredimensionale na lejojnë të hapim pak ekranin e misterit që na rrethon nga hapësirat me dimensione më të larta. Për të kuptuar se si përdoret kjo analogji, merrni parasysh një objekt shumë të thjeshtë katër-dimensional - një hiperkub, domethënë një kub katërdimensional. Le të themi, për saktësi, ne duam të zgjidhim një problem specifik, domethënë, të numërojmë numrin e faqeve katrore të një kubi katërdimensional. I gjithë shqyrtimi më poshtë do të jetë shumë i lirë, pa asnjë provë, thjesht për analogji.

Për të kuptuar se si ndërtohet një hiperkub nga një kub i zakonshëm, së pari duhet parë se si ndërtohet një kub i zakonshëm nga një katror i zakonshëm. Për origjinalitetin e prezantimit të këtij materiali, ne këtu do ta quajmë një katror të zakonshëm SubCube (dhe nuk do ta ngatërrojmë atë me një succubus).

Për të ndërtuar një kub nga një nënkub, është e nevojshme të zgjerohet nënkubi në një drejtim pingul me rrafshin e nënkubit në drejtim të dimensionit të tretë. Në të njëjtën kohë, një nënkub do të rritet nga secila anë e nënkubit fillestar, i cili është një faqe anësore dydimensionale e kubit, e cila do të kufizojë vëllimin tredimensional të kubit nga katër anët, dy pingul në çdo drejtim në rrafshi i nënkubit. Dhe përgjatë boshtit të ri të tretë, ka edhe dy nënkube që kufizojnë vëllimin tredimensional të kubit. Kjo është fytyra dy-dimensionale ku fillimisht ishte vendosur nënkubi ynë dhe fytyra dydimensionale e kubit ku nënkubi erdhi në fund të konstruksionit të kubit.

Ajo që sapo keni lexuar është e paraqitur në detaje të tepruara dhe me shumë sqarime. Dhe jo rastësisht. Tani do të bëjmë një mashtrim të tillë, do të zëvendësojmë disa fjalë në tekstin e mëparshëm zyrtarisht në këtë mënyrë:
kubik -> hiperkub
nënkub -> kub
plan -> vëllim
tretë -> katërt
2D -> 3D
katër -> gjashtë
tredimensionale -> katërdimensionale
dy -> tre
plan -> hapësirë

Si rezultat, marrim tekstin e mëposhtëm kuptimplotë, i cili nuk duket më shumë i detajuar.

Për të ndërtuar një hiperkub nga një kub, duhet ta shtrini kubin në një drejtim pingul me vëllimin e kubit në drejtim të dimensionit të katërt. Në të njëjtën kohë, një kub do të rritet nga secila anë e kubit origjinal, që është faqja anësore tredimensionale e hiperkubit, e cila do të kufizojë vëllimin katërdimensional të hiperkubit nga gjashtë anët, tre pingul në çdo drejtim në hapësira e kubit. Dhe përgjatë boshtit të ri të katërt, ka edhe dy kube që kufizojnë vëllimin katërdimensional të hiperkubit. Kjo është fytyra tredimensionale ku fillimisht ishte vendosur kubi ynë dhe fytyra tredimensionale e hiperkubit, ku kubi erdhi në fund të ndërtimit të hiperkubit.

Pse jemi kaq të sigurt se kemi marrë përshkrimin e saktë të ndërtimit të hiperkubit? Po, sepse me të njëjtin zëvendësim formal të fjalëve marrim një përshkrim të ndërtimit të një kubi nga një përshkrim i ndërtimit të një katrori. (Shikoni vetë.)

Tani është e qartë se nëse një kub tjetër tredimensional duhet të rritet nga secila anë e kubit, atëherë një fytyrë duhet të rritet nga çdo skaj i kubit fillestar. Në total, kubi ka 12 skaje, që do të thotë se do të ketë edhe 12 fytyra të reja (nënkube) për ata 6 kube që kufizojnë vëllimin katërdimensional përgjatë tre akseve të hapësirës tredimensionale. Dhe ka edhe dy kube të tjerë që kufizojnë këtë vëllim katërdimensional nga poshtë dhe nga lart përgjatë boshtit të katërt. Secili prej këtyre kubeve ka 6 fytyra.

Në total marrim se hiperkubi ka 12+6+6=24 faqe katrore.

Fotografia e mëposhtme tregon strukturën logjike të një hiperkubi. Është si një projeksion i një hiperkubi në hapësirën tredimensionale. Në këtë rast, merret një kornizë tre-dimensionale e brinjëve. Në figurë, natyrisht, ju shihni projeksionin e kësaj kornize gjithashtu në një aeroplan.

Në këtë kornizë, kubi i brendshëm është, si të thuash, kubi fillestar nga i cili filloi ndërtimi dhe që kufizon vëllimin katërdimensional të hiperkubit përgjatë boshtit të katërt nga fundi. Ne e shtrijmë këtë kub fillestar lart përgjatë boshtit të dimensionit të katërt dhe ai shkon në kubin e jashtëm. Pra, kubikët e jashtëm dhe të brendshëm nga kjo figurë kufizojnë hiperkubin përgjatë boshtit të dimensionit të katërt.

Dhe midis këtyre dy kubeve, duken edhe 6 kuba të rinj, të cilët janë në kontakt me dy të parët nga fytyrat e zakonshme. Këto gjashtë kube kufizojnë hiperkubin tonë përgjatë tre akseve të hapësirës tredimensionale. Siç mund ta shihni, ata nuk janë vetëm në kontakt me dy kubet e parë, të cilët janë të brendshëm dhe të jashtëm në këtë kornizë tredimensionale, por ato janë ende në kontakt me njëri-tjetrin.

Mund të llogarisni drejtpërdrejt në figurë dhe të siguroheni që hiperkubi ka vërtet 24 fytyra. Por këtu lind pyetja. Kjo kornizë hiperkube 3D është e mbushur me tetë kube 3D pa asnjë boshllëk. Për të bërë një hiperkub të vërtetë nga ky projeksion 3D i një hiperkubi, është e nevojshme ta ktheni këtë kornizë brenda jashtë në mënyrë që të 8 kubet të kufizojnë volumin 4D.

Bëhet kështu. Ftojmë një banor të hapësirës katërdimensionale ta vizitojë dhe t'i kërkojmë të na ndihmojë. Ai kap kubin e brendshëm të këtij kuadri dhe e zhvendos atë drejt dimensionit të katërt, i cili është pingul me hapësirën tonë 3D. Ne në hapësirën tonë tredimensionale e perceptojmë atë sikur e gjithë korniza e brendshme të ishte zhdukur dhe të kishte mbetur vetëm korniza e kubit të jashtëm.

Më pas, asistentja jonë 4D ofron të ndihmojë në maternitete për një lindje pa dhimbje, por gratë tona shtatzëna janë të tmerruara nga perspektiva që fëmija thjesht të zhduket nga barku dhe të përfundojë në një hapësirë ​​paralele 3D. Prandaj, e katërta refuzohet me mirësjellje.

Dhe ne po pyesim veten nëse disa nga kubet tanë u ngecën kur korniza e hiperkubit u kthye nga brenda. Në fund të fundit, nëse disa kube tredimensionale që rrethojnë hiperkubin prekin fqinjët e tyre në kornizë, a do të prekin gjithashtu të njëjtat fytyra nëse ai katërdimensional e kthen kornizën nga brenda.

Le t'i drejtohemi përsëri analogjisë me hapësirat me dimension më të ulët. Krahasoni imazhin e kornizës së hiperkubit me projeksionin e kubit 3D në rrafshin e paraqitur në figurën e mëposhtme.

Banorët e hapësirës dydimensionale ndërtuan në një rrafsh një kornizë të një projeksioni kubi mbi një aeroplan dhe na ftuan ne, banorët tredimensionale, ta kthejmë këtë kornizë nga brenda. Marrim katër kulmet e katrorit të brendshëm dhe i lëvizim pingul me rrafshin. Në të njëjtën kohë, banorët dydimensionale shohin zhdukjen e plotë të të gjithë kornizës së brendshme, dhe ata kanë vetëm kornizën e sheshit të jashtëm. Me një operacion të tillë, të gjithë katrorët që ishin në kontakt me skajet e tyre vazhdojnë të preken si më parë me të njëjtat skaje.

Prandaj, shpresojmë që skema logjike e hiperkubit gjithashtu nuk do të shkelet kur korniza e hiperkubit të kthehet nga brenda dhe numri i faqeve katrore të hiperkubit nuk do të rritet dhe do të mbetet i barabartë me 24. Kjo, natyrisht, është asnjë provë fare, por thjesht një supozim për analogji.

Pas gjithçkaje që lexohet këtu, mund të vizatoni lehtësisht kornizën logjike të një kubi pesë-dimensional dhe të llogarisni sa kulme, skaje, faqe, kube dhe hiperkuba ka. Nuk është aspak e vështirë.

Lëndët e ngurta hiperkube dhe platonike

Simuloni një ikozaedron të cunguar ("top futbolli") në sistemin "Vector"
ku çdo pesëkëndësh kufizohet me gjashtëkëndësha

Ikozaedron i cunguar mund të merret duke prerë 12 kulme për të formuar faqe në formën e pesëkëndëshave të rregullt. Në këtë rast, numri i kulmeve të poliedronit të ri rritet me 5 herë (12 × 5 = 60), 20 faqe trekëndore kthehen në gjashtëkëndësha të rregullt (në total fytyrat bëhen 20+12=32), a numri i skajeve rritet në 30+12×5=90.

Hapat për ndërtimin e një ikozaedroni të cunguar në sistemin Vector

Figurat në hapësirë ​​4-dimensionale.

--à

--à ?

Për shembull, jepet një kub dhe një hiperkub. Ka 24 fytyra në një hiperkub. Kjo do të thotë që një tetëkëndor 4-dimensional do të ketë 24 kulme. Edhe pse jo, hiperkubi ka 8 fytyra kubesh - në secilën qendër është një kulm. Kjo do të thotë që një tetëkëndor 4-dimensional do të ketë 8 kulme të atij një më të lehtë.

Tetëkëndësh 4-dimensionale. Ai përbëhet nga tetë tetraedra barabrinjës dhe të barabartë,
të lidhura katër në çdo kulm.

Oriz. Një përpjekje për të simuluar
hiperball-hipersferë në sistemin "Vektor".

Fytyrat e përparme - të pasme - topa pa shtrembërim. Gjashtë topa të tjerë - mund të specifikohen përmes elipsoideve ose sipërfaqeve kuadratike (përmes 4 vijave konturore si gjeneratorë) ose përmes faqeve (përcaktuar së pari përmes gjeneratorëve).

Më shumë truke për të "ndërtuar" një hipersferë
- i njëjti "top futbolli" në hapësirën 4-dimensionale

Shtojca 2

Për poliedrat konvekse, ekziston një veti që lidhet me numrin e kulmeve, skajeve dhe faqeve të saj, e vërtetuar në 1752 nga Leonhard Euler dhe e quajtur teorema e Euler-it.

Para se ta formuloni atë, merrni parasysh shumëfaqëshin e njohur për ne dhe plotësoni tabelën e mëposhtme, në të cilën B është numri i kulmeve, P - skajet dhe G - faqet e një poliedri të caktuar:

Nga kjo tabelë shihet drejtpërdrejt se për të gjitha poliedrat e zgjedhur vlen barazia B - P + T = 2. Rezulton se kjo barazi është e vërtetë jo vetëm për këto poliedra, por edhe për një shumëkëndësh konveks arbitrar.

Teorema e Euler-it. Për çdo shumëfaqësh konveks, barazia

V - R + G \u003d 2,

ku B është numri i kulmeve, P është numri i skajeve dhe G është numri i faqeve të shumëfaqëshit të dhënë.

Dëshmi. Për të vërtetuar këtë barazi, imagjinoni sipërfaqen e një poliedri të caktuar të bërë nga një material elastik. Le të fshijmë (prejmë) njërën nga fytyrat e saj dhe të shtrijmë sipërfaqen e mbetur në një plan. Marrim një shumëkëndësh (të formuar nga skajet e faqes së hequr të shumëkëndëshit), të ndarë në shumëkëndësha më të vegjël (të formuar nga faqet e mbetura të shumëkëndëshit).

Vini re se shumëkëndëshat mund të deformohen, zmadhohen, zvogëlohen apo edhe përkulen anët e tyre, për sa kohë që anët nuk thyhen. Numri i kulmeve, skajeve dhe fytyrave nuk do të ndryshojë.

Le të vërtetojmë se ndarja rezultuese e një shumëkëndëshi në shumëkëndësha më të vegjël plotëson barazinë

(*) V - R + G "= 1,

ku ne - numri total kulme, P është numri total i skajeve, dhe Г "është numri i shumëkëndëshave të përfshirë në ndarje. Është e qartë se Г" = Г - 1, ku Г është numri i faqeve të shumëkëndëshit të dhënë.

Le të vërtetojmë se barazia (*) nuk ndryshon nëse vizatojmë një diagonale në ndonjë shumëkëndësh të ndarjes së dhënë (Fig. 5, a). Në të vërtetë, pas vizatimit të një diagonaleje të tillë, ndarja e re do të ketë kulme B, skaje P + 1 dhe numri i shumëkëndëshave do të rritet me një. Prandaj, ne kemi

V - (R + 1) + (G "+1) \u003d V - R + G" .

Duke përdorur këtë veti, vizatojmë diagonale që ndajnë shumëkëndëshat në trekëndësha dhe për ndarjen që rezulton tregojmë se barazia (*) është e plotësuar (Fig. 5, b). Për ta bërë këtë, ne do të heqim vazhdimisht skajet e jashtme, duke zvogëluar numrin e trekëndëshave. Në këtë rast, dy raste janë të mundshme:

a) për të hequr trekëndëshin ABC kërkohet heqja e dy brinjëve, në rastin tonë AB dhe para Krishtit;

b) për të hequr trekëndëshinMKNkërkohet të hiqet një skaj, në rastin tonëMN.

Në të dyja rastet, barazia (*) nuk do të ndryshojë. Për shembull, në rastin e parë, pas heqjes së trekëndëshit, grafiku do të përbëhet nga kulme B - 1, R - 2 skaje dhe G "- 1 poligon:

(B - 1) - (P + 2) + (G "- 1) \u003d B - R + G".

Konsideroni rastin e dytë për veten tuaj.

Kështu, heqja e një trekëndëshi nuk ndryshon barazinë (*). Duke vazhduar këtë proces të heqjes së trekëndëshave, përfundimisht do të arrijmë në një ndarje të përbërë nga një trekëndësh i vetëm. Për një ndarje të tillë, B \u003d 3, P \u003d 3, Г "= 1 dhe, për rrjedhojë, B - Р + Г" = 1. Prandaj, barazia (*) vlen edhe për ndarjen origjinale, nga e cila më në fund marrim që për një ndarje të caktuar të poligonit barazia (*) është e vërtetë. Kështu, për poliedrin origjinal konveks, barazia B - P + G = 2 është e vërtetë.

Një shembull i një poliedri për të cilin relacioni i Euler-it nuk vlen është treguar në figurën 6. Ky poliedron ka 16 kulme, 32 skaje dhe 16 faqe. Kështu, për këtë shumëfaqësh plotësohet barazia B - P + G = 0.

Shtojca 3

Filmi Cube 2: Hypercube "(eng. Cube 2: Hypercube) - një film fantazi, një vazhdim i filmit "Cube".

Tetë të huaj zgjohen në dhoma në formë kubi. Dhomat janë brenda një hiperkubi katërdimensional. Dhomat lëvizin vazhdimisht nga "teleportimi kuantik", dhe nëse ngjiteni në dhomën tjetër, atëherë nuk ka gjasa të ktheheni në atë të mëparshme. Botët paralele kryqëzohen në hiperkub, koha rrjedh ndryshe në disa dhoma dhe disa dhoma janë kurthe vdekjeje.

Komploti i figurës përsërit në masë të madhe historinë e pjesës së parë, e cila pasqyrohet edhe në imazhet e disa personazheve. Në dhomat e hiperkubit vdes laureat i Nobelit Rosenzweig, i cili llogariti kohën e saktë të shkatërrimit të hiperkubit.

Kritika

Nëse në pjesën e parë njerëzit e burgosur në një labirint u përpoqën të ndihmonin njëri-tjetrin, në këtë film çdo njeri është për vete. Ka shumë efekte speciale shtesë (janë edhe kurthe) që nuk e lidhin logjikisht këtë pjesë të filmit me atë të mëparshmen. Domethënë, rezulton se filmi Cube 2 është një lloj labirinti i së ardhmes 2020-2030, por jo i vitit 2000. Në pjesën e parë, të gjitha llojet e kurtheve teorikisht mund të krijohen nga një person. Në pjesën e dytë, këto kurthe janë një program i një lloj kompjuteri, i ashtuquajturi "Realiteti Virtual".

Në gjeometri hiperkub- kjo është n- analogjia dimensionale e një katrori ( n= 2) dhe kub ( n= 3). Kjo është një figurë konvekse e mbyllur, e përbërë nga grupe vijash paralele të vendosura në skajet e kundërta të figurës dhe të lidhura me njëra-tjetrën në kënde të drejta.

Kjo shifër njihet edhe si teserakt(teserakt). Teserakti është për kubin ashtu siç është kubi për katrorin. Më formalisht, një teserakt mund të përshkruhet si një politop i rregullt konveks katër-dimensional (politop) kufiri i të cilit përbëhet nga tetë qeliza kubike.

Sipas Oxford English Dictionary, fjala "tesseract" u krijua në 1888 nga Charles Howard Hinton dhe u përdor në librin e tij "A New Era of Thought". Fjala u formua nga greqishtja "τεσσερες ακτινες" ("katër rreze"), është në formën e katër boshteve koordinative. Përveç kësaj, në disa burime, e njëjta figurë quhej tetrakub(tetrakub).

n-quhet edhe hiperkubi dimensional n-kub.

Një pikë është një hiperkub me dimension 0. Nëse zhvendosni një pikë me një njësi gjatësie, ju merrni një segment të gjatësisë njësi - një hiperkub me dimensionin 1. Më tej, nëse zhvendosni një segment me një njësi gjatësi në një drejtim pingul në drejtimin e segmentit, ju merrni një kub - një hiperkub me dimension 2. Duke zhvendosur katrorin me një njësi gjatësi në drejtim pingul me rrafshin e katrorit, fitohet një kub - një hiperkub i dimensionit 3. Ky proces mund të përgjithësohet në çdo numër dimensionesh. Për shembull, nëse zhvendosni një kub me një njësi gjatësie në dimensionin e katërt, ju merrni një teserakt.

Familja e hiperkubeve është një nga të paktat poliedra të rregullta që mund të përfaqësohen në çdo dimension.

Elementet hiperkube

Dimensioni i hiperkubit n ka 2 n"anët" (vija njëdimensionale ka 2 pika; katror dydimensional - 4 anët; kub tredimensional - 6 fytyra; teserakt katërdimensional - 8 qeliza). Numri i kulmeve (pikave) të hiperkubit është 2 n(për shembull, për një kub - 2 3 kulme).

sasi m-hiperkubet dimensionale në kufi n-kubi është i barabartë

Për shembull, në kufirin e një hiperkubi ka 8 kube, 24 katrorë, 32 skaje dhe 16 kulme.

Projeksion në plan

Formimi i një hiperkubi mund të përfaqësohet në mënyrën e mëposhtme:

• Dy pika A dhe B mund të lidhen për të formuar segmentin e linjës AB.
• Dy segmente paralele AB dhe CD mund të lidhen për të formuar një ABCD katror.
• Dy katrorë paralelë ABCD dhe EFGH mund të bashkohen për të formuar kubin ABCDEFGH.
• Dy kube paralele ABCDEFGH dhe IJKLMNOP mund të lidhen për të formuar një hiperkub ABCDEFGHIJKLMNOP.

Struktura e fundit nuk është e lehtë të imagjinohet, por është e mundur të përshkruhet projeksioni i saj në dy ose tre dimensione. Për më tepër, projeksionet në një plan 2D mund të jenë më të dobishme duke rirregulluar pozicionet e kulmeve të projektuara. Në këtë rast, mund të merren imazhe që nuk pasqyrojnë më marrëdhëniet hapësinore të elementeve brenda teseraktit, por ilustrojnë strukturën e lidhjeve kulmore, si në shembujt e mëposhtëm.

Ilustrimi i parë tregon se si një teserakt formohet në parim duke bashkuar dy kube. Kjo skemë është e ngjashme me skemën për krijimin e një kubi nga dy katrorë. Diagrami i dytë tregon se të gjitha skajet e teseraktit kanë të njëjtën gjatësi. Kjo skemë është gjithashtu e detyruar të kërkojë kube të lidhur me njëri-tjetrin. Në diagramin e tretë, kulmet e teseraktit janë të vendosura në përputhje me distancat përgjatë fytyrave në lidhje me pikën e poshtme. Kjo skemë është interesante sepse përdoret si skema bazë për topologjinë e rrjetit të lidhjes së procesorëve në organizimin e llogaritjeve paralele: distanca midis çdo dy nyjesh nuk i kalon 4 gjatësitë e skajeve dhe ka shumë mënyra të ndryshme për të balancuar ngarkesën.

Hiperkubi në art

Hiperkubi është shfaqur në trillimet shkencore që nga viti 1940, kur Robert Heinlein, në tregimin "The House That Teal Built" ("Dhe ai ndërtoi një shtëpi të shtrembër"), përshkroi një shtëpi të ndërtuar në formën e një teserakti të shpalosur. Në tregim, kjo Më tej, kjo shtëpi është palosur, duke u kthyer në një teserakt katërdimensional. Pas kësaj, hiperkubi shfaqet në shumë libra dhe romane.

Kubi 2: Hiperkubi është rreth tetë njerëz të bllokuar në një rrjet hiperkubash.

Piktura Kryqëzimi (Corpus Hypercubus), 1954 nga Salvador Dali përshkruan Jezusin të kryqëzuar në një skanim teserakt. Kjo pikturë mund të shihet në Muzeun e Artit (Muzeu Metropolitan i Artit) në Nju Jork.

konkluzioni

Hiperkubi është një nga objektet më të thjeshta katër-dimensionale, në shembullin e të cilit mund të shihni gjithë kompleksitetin dhe pazakontësinë e dimensionit të katërt. Dhe ajo që duket e pamundur në tre dimensione është e mundur në katër, për shembull, figura të pamundura. Kështu, për shembull, shufrat e një trekëndëshi të pamundur në katër dimensione do të lidhen në kënde të drejta. Dhe kjo figurë do të duket kështu nga të gjitha këndvështrimet dhe nuk do të shtrembërohet, ndryshe nga zbatimet e trekëndëshit të pamundur në hapësirën tredimensionale (shih Fig.

Imazhi është një projeksion (perspektivë) e një kubi katër-dimensionale në një hapësirë ​​tre-dimensionale.

Sipas Fjalorit të Oksfordit, fjala "tesseract" u krijua dhe u përdor në 1888 nga Charles Howard Hinton (1853-1907) në librin e tij "A New Age of Thought". Më vonë, disa njerëz e quajtën të njëjtën figurë "tetrakub".

Gjeometria

Një teserakt i zakonshëm në hapësirën katërdimensionale Euklidiane përkufizohet si trupi konveks i pikave (±1, ±1, ±1, ±1). Me fjalë të tjera, mund të përfaqësohet si grupi i mëposhtëm:

Teserakti është i kufizuar nga tetë hiperplane, kryqëzimi i të cilëve me vetë teseraktin përcakton fytyrat e tij tredimensionale (që janë kube të zakonshëm). Çdo çift fytyrash 3D jo-paralele kryqëzohen për të formuar fytyra (katrore) 2D e kështu me radhë. Së fundi, një teserakt ka 8 fytyra 3D, 24 2D, 32 skaje dhe 16 kulme.

Përshkrimi popullor

Le të përpiqemi të imagjinojmë se si do të duket hiperkubi pa lënë hapësirën tredimensionale.

Në "hapësirën" njëdimensionale - në një vijë - ne zgjedhim një segment AB me gjatësi L. Në një plan dy-dimensional në një distancë L nga AB, ne tërheqim një segment DC paralel me të dhe lidhim skajet e tyre. Merrni katrorin ABCD. Duke e përsëritur këtë operacion me një aeroplan, marrim një kub tredimensional ABCDHEFG. Dhe duke e zhvendosur kubin në dimensionin e katërt (pingul me tre të parat) me një distancë L, marrim hiperkubin ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Build_tesseract.PNG

Segmenti njëdimensional AB shërben si anë e katrorit dydimensional ABCD, katrori është ana e kubit ABCDHEFG, i cili, nga ana tjetër, do të jetë ana e hiperkubit katërdimensional. Një segment me vijë të drejtë ka dy pika kufitare, një katror ka katër kulme dhe një kub ka tetë. Kështu, në një hiperkub katërdimensional, do të ketë 16 kulme: 8 kulme të kubit origjinal dhe 8 kulme të zhvendosura në dimensionin e katërt. Ai ka 32 skaj - 12 secila japin pozicionet fillestare dhe përfundimtare të kubit origjinal, dhe 8 skaje të tjera "vizatojnë" tetë nga kulmet e tij që kanë lëvizur në dimensionin e katërt. I njëjti arsyetim mund të bëhet edhe për fytyrat e hiperkubit. Në hapësirën dy-dimensionale, është një (vetë katrori), kubi ka 6 prej tyre (dy fytyra nga katrori i zhvendosur dhe katër të tjera do të përshkruajnë anët e tij). Një hiperkub katërdimensional ka 24 fytyra katrore - 12 katrorë të kubit origjinal në dy pozicione dhe 12 katrorë nga dymbëdhjetë skajet e tij.

Në mënyrë të ngjashme, ne mund të vazhdojmë arsyetimin për hiperkubet më shumë dimensionet, por është shumë më interesante të shihet se si do të duket një hiperkub katërdimensional për ne, banorët e hapësirës tredimensionale. Le të përdorim për këtë metodën tashmë të njohur të analogjive.

Tesseract që shpaloset

Le të marrim kubin e telit ABCDHEFG dhe ta shikojmë me një sy nga ana e fytyrës. Ne do të shohim dhe mund të vizatojmë dy katrorë në aeroplan (fytyrat e tij të afërta dhe të largëta), të lidhura me katër vija - skajet anësore. Në mënyrë të ngjashme, një hiperkub katër-dimensional në hapësirën tre-dimensionale do të duket si dy "kuti" kubike të futura në njëra-tjetrën dhe të lidhura me tetë skaje. Në këtë rast, vetë "kutitë" - fytyrat tredimensionale - do të projektohen në hapësirën "tonë" dhe linjat që i lidhin do të shtrihen në dimensionin e katërt. Ju gjithashtu mund të përpiqeni të imagjinoni një kub jo në projeksion, por në një imazh hapësinor.

Ashtu si një kub tredimensional formohet nga një katror i zhvendosur nga gjatësia e një fytyre, një kub i zhvendosur në dimensionin e katërt do të formojë një hiperkub. Ai është i kufizuar nga tetë kube, të cilët në të ardhmen do të duken si një figurë mjaft komplekse. Pjesa e saj, e cila mbeti në hapësirën "tonë", vizatohet me vija të forta dhe pjesa që hyri në hiperhapësirë ​​është e thyer. Vetë hiperkubi katërdimensional përbëhet nga një numër i pafund kubesh, ashtu si një kub tredimensional mund të "prehet" në një numër të pafund katrorësh të sheshtë.

Duke prerë gjashtë fytyrat e një kubi tredimensional, mund ta zbërtheni në një figurë të sheshtë - një rrjetë. Do të ketë një katror në secilën anë të fytyrës origjinale, plus një tjetër - fytyrën përballë saj. Një zhvillim tre-dimensional i një hiperkubi katërdimensional do të përbëhet nga kubi origjinal, gjashtë kube që "rriten" prej tij, plus një tjetër - "hiperfaqja" përfundimtare.

Vetitë e teseraktit janë një zgjatim i vetive forma gjeometrike dimension më të ulët në një hapësirë ​​katër-dimensionale.

projeksionet

në hapësirë ​​dydimensionale

Kjo strukturë është e vështirë të imagjinohet, por është e mundur të projektohet një teserakt në hapësira 2D ose 3D. Për më tepër, projeksioni në një rrafsh e bën të lehtë të kuptosh vendndodhjen e kulmeve të hiperkubit. Në këtë mënyrë, mund të merren imazhe që nuk pasqyrojnë më marrëdhëniet hapësinore brenda teseraktit, por që ilustrojnë strukturën e lidhjes kulmore, si në shembujt e mëposhtëm:


në hapësirën tredimensionale

Projeksioni i teseraktit në hapësirën tredimensionale është dy kube tredimensionale të mbivendosur, kulmet përkatëse të të cilave lidhen me segmente. Kubikët e brendshëm dhe të jashtëm kanë madhësi të ndryshme në hapësirën 3D, por janë kube të barabartë në hapësirën 4D. Për të kuptuar barazinë e të gjithë kubeve të teseraktit, u krijua një model rrotullues i teseraktit.

Gjashtë piramida të cunguara përgjatë skajeve të teseraktit janë imazhe të gjashtë kubeve të barabarta.
palë stereo

Një stereopair i një teserakti përshkruhet si dy projeksione në hapësirën tredimensionale. Ky përshkrim i teseraktit u krijua për të përfaqësuar thellësinë si një dimension të katërt. Çifti stereo shikohet në mënyrë që çdo sy të shohë vetëm një nga këto imazhe, lind një pamje stereoskopike që riprodhon thellësinë e teseraktit.

Tesseract që shpaloset

Sipërfaqja e një teserakti mund të shpaloset në tetë kube (ngjashëm me mënyrën se si sipërfaqja e një kubi mund të shpaloset në gjashtë katrorë). Janë 261 shpalosje të ndryshme të teseraktit. Shpalosjet e një teserakti mund të llogariten duke vizatuar qoshet e lidhura në grafik.

Teserakt në art

Në Rrafshin e Ri të Edwine A. Abbott-it, hiperkubi është transmetuesi.
Në një episod të The Adventures of Jimmy Neutron: "Boy Genius", Jimmy shpik një hiperkub katërdimensional identik me kutinë e palosshme nga Heinlein's Glory Road 1963.
Robert E. Heinlein ka përmendur hiperkubet në të paktën tre histori fantashkencë. Në Shtëpinë e Katër Dimensioneve (Shtëpia që Ndërtoi Teel) (1940), ai përshkroi një shtëpi të ndërtuar si një shpalosje e një teserakti.
Në romanin Glory Road të Heinlein-it, përshkruhen enët me përmasa të mëdha që ishin më të mëdha nga brenda sesa jashtë.
Tregimi i shkurtër i Henry Kuttner "Mimsy Were the Borogoves" përshkruan një lodër edukative për fëmijët nga e ardhmja e largët, e ngjashme në strukturë me teseraktin.
Në romanin e Alex Garland (1999), termi "tesseract" përdoret për shpalosjen tre-dimensionale të një hiperkubi katërdimensional, në vend të vetë hiperkubit. Kjo është një metaforë e krijuar për të treguar se sistemi njohës duhet të jetë më i gjerë se ai i njohshëm.
Komploti i Kubit 2: Hiperkubi përqendrohet në tetë të huaj të bllokuar në një "hiperkub", ose një rrjet kubesh të lidhur.
Seriali televiziv Andromeda përdor gjeneratorë teserakte si një pajisje konspirative. Ato kanë për qëllim kryesisht të kontrollojnë hapësirën dhe kohën.
Piktura "Kryqëzimi" (Corpus Hypercubus) nga Salvador Dali (1954)
Libri komik Nextwave përshkruan një automjet që përfshin 5 zona teserakte.
Në albumin Voivod Nothingface, njëra prej këngëve quhet "Në hiperkubin tim".
Në romanin Route Cube të Anthony Pierce, një nga hënat orbitale të IDA quhet një teserakt që është ngjeshur në 3 dimensione.
Në serialin "Shkolla" Vrimë e zezë"" në sezonin e tretë ka një episod "Tesseract". Lucas shtyp butonin e fshehtë dhe shkolla fillon të marrë formë si një teserakt matematikor.
Termi "tesseract" dhe termi "tesse" që rrjedh prej tij gjendet në tregimin e Madeleine L'Engle "Wrinkle of Time"

Mësimet për hapësirat shumëdimensionale filluan të shfaqen në mesin e shekullit të 19-të. Fiksi shkencor huazoi idenë e hapësirës katërdimensionale nga shkencëtarët. Në veprat e tyre, ata i treguan botës për mrekullitë e mahnitshme të dimensionit të katërt.

Heronjtë e veprave të tyre, duke përdorur vetitë e hapësirës katërdimensionale, mund të hanin përmbajtjen e vezës pa dëmtuar lëvozhgën, të pinin një pije pa hapur tapën e shishes. Rrëmbyesit e morën thesarin nga kasaforta përmes dimensionit të katërt. Kirurgët kryenin operacione në organet e brendshme pa prerë indet e trupit të pacientit.

teserakt

Në gjeometri, një hiperkub është një analogji n-dimensionale e një katrori (n = 2) dhe një kubi (n = 3). Analogu katërdimensional i kubit tonë të zakonshëm 3-dimensional njihet si teserakt. Teserakti është për kubin ashtu siç është kubi për katrorin. Më formalisht, një teserakt mund të përshkruhet si një shumëfaqësh i rregullt konveks katër-dimensional, kufiri i të cilit përbëhet nga tetë qeliza kubike.

Le të përpiqemi të imagjinojmë se si do të duket hiperkubi pa lënë hapësirën tredimensionale.
Në "hapësirën" njëdimensionale - në një vijë - ne zgjedhim një segment AB me gjatësi L. Në një plan dy-dimensional në një distancë L nga AB, ne tërheqim një segment DC paralel me të dhe lidhim skajet e tyre. Ju do të merrni një CDBA katrore. Duke e përsëritur këtë operacion me një aeroplan, marrim një kub tredimensional CDBAGHFE. Dhe duke e zhvendosur kubin në dimensionin e katërt ( pingul me tre të parat) me një distancë L, marrim hiperkubin CDBAGHFEKLJIOPNM.

Në mënyrë të ngjashme, ne mund të vazhdojmë arsyetimin për hiperkubet me një numër më të madh dimensionesh, por është shumë më interesante të shohim se si do të duket një hiperkub katërdimensional për ne, banorët e hapësirës tredimensionale.

Le të marrim kubin e telit ABCDHEFG dhe ta shikojmë me një sy nga ana e fytyrës. Ne do të shohim dhe mund të vizatojmë dy katrorë në aeroplan (fytyrat e tij të afërta dhe të largëta), të lidhura me katër vija - skajet anësore. Në mënyrë të ngjashme, një hiperkub katër-dimensional në hapësirën tre-dimensionale do të duket si dy "kuti" kubike të futura në njëra-tjetrën dhe të lidhura me tetë skaje. Në këtë rast, vetë "kutitë" - fytyrat tredimensionale - do të projektohen në hapësirën "tonë", dhe linjat që i lidhin do të shtrihen në drejtim të boshtit të katërt. Ju gjithashtu mund të përpiqeni të imagjinoni një kub jo në projeksion, por në një imazh hapësinor.

Ashtu si një kub tredimensional formohet nga një katror i zhvendosur nga gjatësia e një fytyre, një kub i zhvendosur në dimensionin e katërt do të formojë një hiperkub. Ai është i kufizuar nga tetë kube, të cilët në të ardhmen do të duken si një figurë mjaft komplekse. Vetë hiperkubi katërdimensional mund të ndahet në një numër të pafund kubesh, ashtu si një kub tredimensional mund të "prehet" në një numër të pafund katrorësh të sheshtë.

Duke prerë gjashtë fytyrat e një kubi tredimensional, mund ta zbërtheni në një figurë të sheshtë - një rrjetë. Do të ketë një katror në secilën anë të fytyrës origjinale, plus një tjetër - fytyrën përballë saj. Një zhvillim tre-dimensional i një hiperkubi katër-dimensional do të përbëhet nga kubi origjinal, gjashtë kube që "rriten" prej tij, plus një tjetër - "hiperfaqja" përfundimtare.

Tesseract është një figurë kaq interesante saqë ka tërhequr vazhdimisht vëmendjen e shkrimtarëve dhe kineastëve.
Robert E. Heinlein përmendi hiperkubet disa herë. Në "Shtëpia që ndërtoi teal" (1940), ai përshkroi një shtëpi të ndërtuar si një shpalosje e një teserakti, dhe më pas, për shkak të një tërmeti, "u formua" në dimensionin e katërt dhe u bë një teserakt "i vërtetë". Në romanin Rruga e Lavdisë nga Heinlein, përshkruhet një kuti hiperdimensionale që ishte më e madhe nga brenda sesa nga jashtë.

Historia e Henry Kuttner "All Borog's Tenals" përshkruan një lodër edukative për fëmijët nga e ardhmja e largët, e ngjashme në strukturë me një teserakt.

Komploti i Kubit 2: Hiperkubi përqendrohet në tetë të huaj të bllokuar në një "hiperkub", ose një rrjet kubesh të lidhur.

Një botë paralele

Abstraksionet matematikore sollën në jetë nocionin e ekzistencës botëve paralele. Këto janë realitete që ekzistojnë njëkohësisht me tonin, por të pavarur prej tij. Bota paralele mund të ketë madhësi të ndryshme: nga një zonë e vogël gjeografike në të gjithë universin. Në një botë paralele, ngjarjet zhvillohen në mënyrën e tyre, ajo mund të ndryshojë nga bota jonë, si në detaje individuale ashtu edhe në pothuajse gjithçka. Në të njëjtën kohë, ligjet fizike të botës paralele nuk janë domosdoshmërisht të ngjashme me ligjet e Universit tonë.

Kjo temë është terren pjellor për shkrimtarët e trillimeve shkencore.

Kryqëzimi në Kryq nga Salvador Dali përshkruan një teserakt. "Kryqëzimi ose trupi hiperkubik" - një pikturë e artistit spanjoll Salvador Dali, e shkruar në 1954. Përshkruan Jezu Krishtin e kryqëzuar në zhvillimin e teseraktit. Piktura ruhet në Muzeun Metropolitan të Artit në Nju Jork.

Gjithçka filloi në 1895, kur HG Wells zbuloi ekzistencën e botëve paralele për fantazi me tregimin "Dera në mur". Në vitin 1923, Wells iu kthye idesë së botëve paralele dhe vendosi në njërën prej tyre një vend utopik ku shkojnë personazhet e romanit "Njerëzit janë si perënditë".

Romani nuk kaloi pa u vënë re. Në vitin 1926 u shfaq tregimi i G. Dent "Perandori i vendit" Nëse "". Në tregimin e Dent, për herë të parë, lindi ideja se mund të kishte vende (botë) historia e të cilave mund të shkonte ndryshe nga historia e vendeve reale. në botën tonë dhe botët këto nuk janë më pak reale se tonat.

Në vitin 1944, Jorge Luis Borges botoi tregimin "Kopshti i shtigjeve të forta" në librin e tij "Tregime të trilluara". Këtu më në fund u shpreh me qartësinë më të madhe ideja e degëzimit të kohës.
Megjithë shfaqjen e veprave të listuara më sipër, ideja e shumë botëve filloi të zhvillohej seriozisht në trillimet shkencore vetëm në fund të viteve dyzet të shekullit XX, afërsisht në të njëjtën kohë kur një ide e ngjashme lindi në fizikë.

Një nga pionierët e një drejtimi të ri në fantashkencë ishte John Bixby, i cili sugjeroi në tregimin "One-Way Street" (1954) që midis botëve mund të lëvizësh vetëm në një drejtim - duke kaluar nga bota juaj në një paralele. , nuk do të ktheheni, por do të lëvizni nga një botë në tjetrën. Sidoqoftë, kthimi në botën tuaj gjithashtu nuk përjashtohet - për këtë është e nevojshme që sistemi i botëve të mbyllet.

Romani i Clifford Simak-ut Ring Around the Sun (1982) përshkruan shumë planetë të Tokës, secili ekzistues në botën e vet, por në të njëjtën orbitë, dhe këto botë dhe këta planetë ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm me një zhvendosje të lehtë (me një mikrosekondë). në kohë. Toka të shumta të vizituara nga heroi i romanit formojnë një sistem të vetëm botësh.

Një vështrim kureshtar në degëzimin e botëve u shpreh nga Alfred Bester në tregimin "Njeriu që vrau Muhamedin" (1958). "Duke ndryshuar të kaluarën," pohoi heroi i tregimit, "ju e ndryshoni atë vetëm për veten tuaj." Me fjalë të tjera, pas ndryshimit të së kaluarës, lind një degë e historisë, në të cilën vetëm për personazhin që ka bërë ndryshimin, ky ndryshim ekziston.

Në tregimin e vëllezërve Strugatsky "E hëna fillon të shtunën" (1962), udhëtimet e personazheve për në variante të ndryshme e ardhmja e përshkruar nga shkrimtarët e trillimeve shkencore - në kontrast me udhëtimet në versione të ndryshme të së kaluarës që ekzistonin tashmë në fantashkencë.

Megjithatë, edhe një numërim i thjeshtë i të gjitha veprave që trajtojnë temën e paralelizmit të botëve do të merrte shumë kohë. Dhe megjithëse shkrimtarët e trillimeve shkencore, si rregull, nuk e vërtetojnë shkencërisht postulatin e shumëdimensionalitetit, ata kanë të drejtë në një gjë - kjo është një hipotezë që ka të drejtë të ekzistojë.
Dimensioni i katërt i teseraktit është ende duke pritur për ta vizituar.

Viktor Savinov