Sheshiështë një katërkëndësh i rregullt në të cilin të gjitha këndet dhe brinjët janë të barabarta me njëri-tjetrin.

Shumë shpesh, kjo shifër konsiderohet si një rast i veçantë ose. Diagonalet e një katrori janë të barabarta me njëra-tjetrën dhe përdoren në formulën për sipërfaqen e një katrori përmes diagonales.
Për të llogaritur sipërfaqen, merrni parasysh formulën për sipërfaqen e një katrori për sa i përket diagonaleve:

Kjo do të thotë, sipërfaqja e një katrori është e barabartë me katrorin e gjatësisë së diagonales të ndarë me dy. Duke pasur parasysh që brinjët e figurës janë të barabarta, ju mund të llogarisni gjatësinë e diagonales nga formula e sipërfaqes së një trekëndëshi kënddrejtë ose duke përdorur teoremën e Pitagorës.

Konsideroni një shembull të llogaritjes së sipërfaqes së një katrori përmes diagonales. Le të jepet një katror me diagonale d = 3 cm Duhet të llogaritet sipërfaqja e tij:

Duke përdorur këtë shembull të llogaritjes së sipërfaqes së një katrori përmes diagonaleve, morëm rezultatin 4.5 .

Sipërfaqja katrore në anën tjetër

Ju gjithashtu mund të gjeni sipërfaqen e një katërkëndëshi të rregullt pranë tij. Formula për sipërfaqen e një katrori është shumë e thjeshtë:

Meqenëse në shembullin e mëparshëm të llogaritjes së sipërfaqes së një katrori, ne llogaritëm vlerën sipas diametrit, tani le të përpiqemi të gjejmë gjatësinë e anës:
Zëvendësoni vlerën në shprehjen:
Gjatësia e faqes së katrorit do të jetë 2,1 cm.

Është shumë e lehtë të përdoret formula për sipërfaqen e një katrori të gdhendur në një rreth.

Diametri i rrethit të rrethuar do të jetë i barabartë me diametrin e katrorit. Meqenëse një katror konsiderohet një romb i rregullt, mund të përdorni formulën për llogaritjen e sipërfaqes së rombit. Është e barabartë me gjysmën e prodhimit të diagonaleve të saj. Diagonalet e katrorit janë të barabarta, kështu që formula do të duket si kjo:
Konsideroni një shembull të llogaritjes së sipërfaqes së një katrori të gdhendur në një rreth.

Jepet një katror i gdhendur në një rreth. Diagonalja e rrethit është d = 6 cm Gjeni sipërfaqen e katrorit.
Kujtojmë se diagonalja e një rrethi është e barabartë me diagonalen e një katrori. Ne zëvendësojmë vlerën në formulën për llogaritjen e sipërfaqes së një katrori përmes diagonaleve të tij:

Sipërfaqja e sheshit është 18

Sipërfaqja katrore përmes perimetrit

Në disa problema, perimetri i katrorit jepet nga kushtet dhe kërkohet llogaritja e sipërfaqes së tij. Formula për sipërfaqen e një katrori përmes perimetrit rrjedh nga vlera e perimetrit. Perimetërështë shuma e gjatësive të të gjitha anëve të figurës. Sepse në një katror me 4 anë të barabarta, atëherë do të jetë i barabartë Nga këtu gjejmë anën e figurës Sipërfaqja e katrorit sipas formulës së zakonshme konsiderohet si më poshtë:.
Konsideroni një shembull të llogaritjes së sipërfaqes së një katrori përmes perimetrit.

Kur kanë gjatësi të njëjta diagonalesh, brinjësh dhe këndesh të barabarta.

Vetitë katrore.

Të 4 brinjët e një katrori kanë të njëjtën gjatësi, d.m.th. anët e sheshit janë:

AB=BC=CD=AD

Anët e kundërta të një katrori janë paralele:

AB|| CD, para Krishtit|| pas Krishtit

Të gjitha diagonalet ndajnë këndin e sheshit në dy pjesë të barabarta, kështu që ato rezultojnë të jenë përgjysmuesit e qosheve të sheshit:

∆ABC = ∆ADC = ∆BAD = ∆BCD

∠ ACB=∠ ACD=∠ BDC=∠ BDA=∠ CAB=∠ CAD=∠ DBC=∠ DBA = 45°

Diagonalet e ndajnë sheshin në 4 trekëndësha identikë, përveç kësaj, trekëndëshat e marrë në të njëjtën kohë janë edhe dykëndësh edhe drejtkëndëshe:

∆AOB = ∆BOC = ∆COD = ∆DOA

Diagonalja e një katrori.

Diagonalja e një katroriështë çdo segment që lidh 2 kulmet e këndeve të kundërta të katrorit.

Diagonalja e çdo katrori është √2 herë brinja e këtij katrori.

Formulat për përcaktimin e gjatësisë së diagonales së një katrori:

1. Formula për diagonalen e një katrori për sa i përket brinjës së një katrori:

2. Formula e diagonales së një katrori për sa i përket sipërfaqes së një katrori:

3. Formula e diagonales së katrorit për nga perimetri i katrorit:

4. Shuma e këndeve të një katrori = 360°:

5. Diagonalet e një katrori me të njëjtën gjatësi:

6. Të gjitha diagonalet e katrorit e ndajnë katrorin në 2 figura identike që janë simetrike:

7. Këndi i kryqëzimit të diagonaleve të sheshit është 90 °, duke kryqëzuar njëra-tjetrën, diagonalet ndahen në dy pjesë të barabarta:

8. Formula për diagonalen e një katrori për sa i përket gjatësisë së segmentit l:

9. Formula për diagonalen e një katrori për sa i përket rrezes së rrethit të brendashkruar:

R- rrezja e rrethit të brendashkruar;

D- diametri i rrethit të brendashkruar;

dështë diagonalja e katrorit.

10. Formula për diagonalen e një katrori në terma të rrezes së rrethit të rrethuar:

R- rrezja e rrethit të rrethuar;

D- diametri i rrethit të rrethuar;

d- diagonale.

11. Formula për diagonalen e një katrori përmes një vije që del nga këndi në mes të faqes së katrorit:

C- një vijë që shkon nga këndi në mes të faqes së sheshit;

d- diagonale.

Rreth i brendashkruar në një katror- ky është një rreth ngjitur me mesin e anëve të sheshit dhe që ka një qendër në kryqëzimin e diagonaleve të sheshit.

Rrezja e rrethit të brendashkruar- ana e katrorit (gjysma).

Zona e një rrethi të gdhendur në një katror më pak se sipërfaqja e një katrori me π/4 herë.

Rreth i rrethuar rreth një katroriështë një rreth që kalon nëpër 4 kulme të katrorit dhe që ka një qendër në kryqëzimin e diagonaleve të katrorit.

Rrezja e një rrethi të gdhendur rreth katrore më e madhe se rrezja e rrethit të brendashkruar për √2 herë.

Rrezja e një rrethi të gdhendur rreth një katroriështë e barabartë me 1/2 e diagonales.

Zona e një rrethi të rrethuar rreth një katrori sipërfaqja më e madhe e të njëjtit katror është π/2 herë.

Shpesh, gjatë planifikimit të një peizazhi të vilës verore, bëhet e nevojshme "shtrydhja" e një ndërtese, për shembull, një hambar, një banjë ose një belveder, në një fragment të caktuar të sitit. Në të njëjtën kohë, është e nevojshme të përcaktohen me shumë saktësi dimensionet gjeometrike të strukturës së ardhshme, pasi në rast të një gabimi gjatë ndërtimit, do të duhet të përballeni me probleme të mëdha. Një problem i ngjashëm lind edhe gjatë planifikimit të hapësirës së brendshme të një ndërtese banimi. Prandaj, do të jetë e dobishme të dini se si të llogarisni anën e një katrori, duke ditur karakteristikat e tjera të një figure gjeometrike - zona, diagonale, perimetri.

Si të gjeni anën e një katrori nëse dihet vetëm sipërfaqja e tij?

Mënyra më e lehtë për të llogaritur madhësinë e një katrori është nëse dihet sipërfaqja e tij. Një nevojë e tillë haset shpesh kur ndërtohet ose shtrohet një kopsht. Për shembull, nëse keni nevojë të përcaktoni madhësinë e serrës së ardhshme, e cila duhet të zërë një numër të caktuar metrash katrorë. Llogaritje të ngjashme duhet të kryhen edhe kur është e nevojshme të kufizohet një hapësirë ​​e vetme e katit të parë ose të dytë, duke theksuar në të një dhomë katrore për një dhomë gjumi, kuzhinë, dhomë të gjallë ose, në fund, një banjë. Në të njëjtën kohë, ekzistojnë kode ndërtimi, sipas të cilave sipërfaqja e ambienteve funksionale nuk duhet të jetë më e vogël se vlera të caktuara.

Siç e dini, sipërfaqja e një drejtkëndëshi përcaktohet duke shumëzuar anët e tij. Një katror është një drejtkëndësh i rregullt, anët e të cilit janë të barabarta, prandaj, për të llogaritur sipërfaqen e tij, njëra nga anët duhet të ngrihet në fuqinë e dytë. Kështu, për të gjetur anën e një katrori me një zonë të njohur, duhet të nxirrni rrënjën katrore prej saj. Për shembull, nëse planifikohet të ndërtohet një ndërtesë katrore me sipërfaqe 16 metra katrorë. m., atëherë secila anë duhet të jetë 4 m. Nëse zgjidhja e rrënjës katrore nuk përshtatet në një vlerë të plotë (për shembull, sipërfaqja është 17,5 sq. m.), atëherë mund të përdorni një kalkulator të rregullt për të llogaritur. Gjendet në telefonat celularë modernë ose ndër aplikacionet e sistemit operativ Windows.

Si të gjejmë brinjën e një katrori nëse dihet perimetri?

Një detyrë e tillë mund të përballet nga një banor i verës, për shembull, kur përcakton madhësinë e një sere ose sere. Perimetri në raste të tilla përcaktohet në bazë të sasisë së materialeve të ndërtimit në dispozicion. Nëse në të njëjtën kohë është e gabuar të vendosni anën e strukturës, atëherë patjetër që do të hasni në probleme. Nëse dimensionet janë shumë të vogla, kjo do të sjellë humbje të zonës së përdorshme. Dhe nëse i kushtoni shumë rëndësi planit, atëherë nuk do të ketë materiale të mjaftueshme, do t'ju duhet t'i blini ato përveç kësaj, dhe këto janë kosto dhe telashe shtesë.

Kur dihet perimetri i katrorit, atëherë për të llogaritur gjatësinë e anës së tij, mjafton të pjesëtohet vlera numerike e perimetrit me numrin e brinjëve, pra me 4. Për shembull, një kopshtar ka 40 m një kënd metalik në dispozicion të tij, i cili përdoret gjatë ndërtimit të serrës si kornizë për ngjitjen e fletëve plastike. Pastaj ju duhet ta ndani këtë numër me 2, sepse do të ketë dy udhëzues - sipër dhe poshtë. Kështu, perimetri i serrës së ardhshme është 20 m, që do të thotë se ana e saj duhet të jetë 5 m.

Si të gjeni brinjën e një katrori nëse dihet vetëm diagonalja?

Ky është opsioni më i vështirë, megjithëse në këtë rast llogaritjet nuk janë veçanërisht të vështira. Këtu vjen në ndihmë teorema e Pitagorës, sipas së cilës hipotenuza në katror është e barabartë me shumën e këmbëve, gjithashtu në katror. Për më tepër, diagonalja e një katrori me dy brinjë të ngjitura nuk është gjë tjetër veçse një trekëndësh kënddrejtë. Për më tepër, meqenëse anët janë të barabarta, figura është ende izoscele. Dhe kjo do të thotë që formula e Pitagorës fiton një formulim tjetër: diagonalja e ngritur në fuqinë e dytë rezulton të jetë e barabartë me katrorin e anës shumëzuar me 2. Nga kjo rrjedh se për të përcaktuar anën e katrorit, së pari duhet të ngrini diagonalen e saj me fuqinë e dytë, pastaj ndajeni me 2 dhe më pas llogarisni rrënjën katrore të kësaj vlere.

Për shembull, nëse diagonalja e strukturës së propozuar është planifikuar të jetë 10 m, atëherë, duke e ngritur atë në fuqinë e dytë, marrim 100, ndajmë me 2 dhe llogarisim rrënjën katrore nga rezultati. Si rezultat, faqja e sheshit përcaktohet si 7.07 m.

Këshilla të dobishme

Për llogaritjet praktike të gjatësisë së brinjëve të një katrori, mund të përdorni ndihmën e mjeteve të tilla si kalkulatori i integruar në motorin e kërkimit Google. Për ta bërë këtë, thjesht futni faqen e specifikuar dhe vendosni mbishkrimin e mëposhtëm në fushën e kërkimit: "rrënja e ((D në katror) / 2)". Në vend të simbolit "D", natyrisht, ju duhet të zëvendësoni vlerën e gjatësisë së diagonales. Nga rruga, Google lejon përdorimin e karaktereve ^ ose sqrt për të treguar përkatësisht përmasat ose llogaritjet rrënjësore. Pra, nëse është më i përshtatshëm për dikë, atëherë mund të zëvendësoni shprehjen e mëparshme me hyrjen: "sqrt (D ^ 2/2)".

Kursi video "Merr një A" përfshin të gjitha temat e nevojshme për kalimin me sukses të provimit në matematikë me 60-65 pikë. Plotësisht të gjitha detyrat 1-13 të Profilit PËRDORIMI në matematikë. Gjithashtu i përshtatshëm për kalimin e Përdorimit Bazë në matematikë. Nëse doni ta kaloni provimin me 90-100 pikë, duhet ta zgjidhni pjesën 1 në 30 minuta dhe pa gabime!

Kurs përgatitor për provimin për klasat 10-11, si dhe për mësuesit. Gjithçka që ju nevojitet për të zgjidhur pjesën 1 të provimit në matematikë (12 detyrat e para) dhe problemin 13 (trigonometri). Dhe kjo është më shumë se 70 pikë në Provimin e Unifikuar të Shtetit, dhe as një student me qindra pikë dhe as një humanist nuk mund të bëjë pa to.

E gjithë teoria e nevojshme. Zgjidhje të shpejta, kurthe dhe sekrete të provimit. Të gjitha detyrat përkatëse të pjesës 1 nga detyrat e Bankës së FIPI janë analizuar. Kursi përputhet plotësisht me kërkesat e USE-2018.

Kursi përmban 5 tema të mëdha, 2.5 orë secila. Çdo temë jepet nga e para, thjeshtë dhe qartë.

Qindra detyra provimi. Problemet e tekstit dhe teoria e probabilitetit. Algoritme të thjeshta dhe të lehta për t'u mbajtur mend për zgjidhjen e problemeve. Gjeometria. Teori, material referues, analiza e të gjitha llojeve të detyrave USE. Stereometria. Truket dinake për zgjidhjen, fletët e dobishme të mashtrimit, zhvillimi i imagjinatës hapësinore. Trigonometria nga e para - në detyrën 13. Të kuptuarit në vend të grumbullimit. Shpjegimi vizual i koncepteve komplekse. Algjebër. Rrënjët, fuqitë dhe logaritmet, funksioni dhe derivati. Baza për zgjidhjen e problemeve komplekse të pjesës së dytë të provimit.

Shpesh në gjeometri është e nevojshme të gjendet gjatësia e brinjës së një katrori, ndërsa parametrat e tij janë të njohur: perimetri, sipërfaqja, gjatësia e diagonales.

Një katror është një romb ose drejtkëndësh, brinjët e të cilit janë të barabarta me njëra-tjetrën. Qoshet e sheshit janë gjithashtu të barabartë me njëri-tjetrin dhe kanë 90 ° secili. Konsideroni se si të gjeni anën e një katrori duke pasur parasysh një nga parametrat e mësipërm.

Gjetja e brinjës së katrorit sipas perimetrit të tij

Në këtë rast, për të gjetur gjatësinë e anës së sheshit, është e nevojshme të ndani vlerën e perimetrit të katrorit me 4 (pasi sheshi ka 4 anë të barabarta me njëra-tjetrën): z \u003d P / 4, ku z është gjatësia e brinjës së katrorit; P është perimetri i katrorit.

Njësia matëse për njërën anë të katrorit do të jetë e njëjta njësi për gjatësi si perimetri i tij. Për shembull, nëse perimetri i një katrori jepet në milimetra, atëherë gjatësia e brinjës së tij do të jetë gjithashtu në milimetra.

Për shembull: Perimetri i një katrori është 40 metra. Kur zgjidhim këtë problem, marrim: z \u003d 40/4 \u003d 10. Gjatësia e anës së sheshit është 10 metra.

Gjetja e brinjës së një katrori duke pasur parasysh sipërfaqen e tij

Në këtë rast, për të gjetur gjatësinë e anës, është e nevojshme të nxirret rrënja katrore e vlerës së sipërfaqes (pasi sipërfaqja e katrorit është e barabartë me katrorin e anës së tij): z \u003d vS, ku z është gjatësia e brinjës së katrorit; S është sipërfaqja e sheshit.

Njësia për njërën anë të një katrori do të jetë e njëjta njësi për gjatësinë si sipërfaqja e tij. Për shembull, nëse sipërfaqja e një katrori jepet në milimetra katrorë, gjatësia e anës së tij do të jetë thjesht në milimetra.

Për shembull: Sipërfaqja e një katrori është 16 metra katrorë. Kur zgjidhim këtë problem, marrim: z = v9 = 3. Gjatësia e brinjës së katrorit është 4 metra.

Gjetja e brinjës së katrorit nga diagonalja e tij

Në këtë rast, gjatësia e anës së katrorit do të jetë e barabartë me gjatësinë e diagonales së katrorit të ndarë me rrënjën katrore prej 2 (për teoremën e Pitagorës, pasi anët ngjitur të katrorit dhe diagonalja e tij formojnë një izosceles trekëndësh kënddrejtë). Për të gjetur anën e një katrori në mënyrë diagonale, ju nevojiten: z \u003d d / v2 (pasi z 2 + z 2 \u003d d 2), ku: z është gjatësia e anës së katrorit; d është gjatësia e diagonales së katrorit.

Njësia për njërën anë të katrorit do të jetë e njëjta njësi gjatësi si diagonalja e tij. Për shembull, nëse diagonalja e një katrori jepet në milimetra, atëherë edhe gjatësia e brinjës së tij do të jetë në milimetra.

Për shembull: Jepet një diagonale katrore prej 20 metrash. Kur zgjidhim këtë problem, marrim: z = 20/v2, që është afërsisht e barabartë me 20/1.4142. Gjatësia e faqes së sheshit është 20/v2 metra, ose afërsisht 14.142 metra.

Tani ju e dini se si të gjeni gjatësinë anësore të një katrori duke pasur parasysh perimetrin, sipërfaqen ose gjatësinë diagonale të tij.