Fiecare derivată parțială (peste Xși prin y) a unei funcții a două variabile este derivata obișnuită a unei funcții a unei variabile cu o valoare fixă ​​a celeilalte variabile:

(Unde y= const),

(Unde X= const).

Prin urmare, derivatele parțiale sunt calculate din formule și reguli pentru calcularea derivatelor funcțiilor unei variabile, în timp ce se consideră cealaltă variabilă ca o constantă (constant).

Dacă nu aveți nevoie de o analiză a exemplelor și de teoria minimă necesară pentru aceasta, dar aveți nevoie doar de o soluție la problema dvs., atunci treceți la calculator de derivate parțiale online .

Dacă este greu să vă concentrați pe urmărirea locului în care se află constanta în funcție, atunci puteți înlocui orice număr din schița de soluție a exemplului în loc de o variabilă cu o valoare fixă ​​- atunci puteți calcula rapid derivata parțială ca fiind obișnuită. derivată a unei funcții a unei variabile. Este necesar doar să nu uitați să returnați constanta (o variabilă cu o valoare fixă) la locul ei la terminare.

Proprietatea derivatelor parțiale descrisă mai sus rezultă din definiția derivatelor parțiale, care poate fi găsită în întrebările de examen. Prin urmare, pentru a vă familiariza cu definiția de mai jos, puteți deschide referința teoretică.

Conceptul de continuitate a unei funcții z= f(X, y) într-un punct este definit în mod similar cu acest concept pentru o funcție a unei variabile.

Funcţie z = f(X, y) se numeste continuu intr-un punct daca

Diferența (2) se numește increment total al funcției z(se obține prin incrementarea ambelor argumente).

Lasă funcția z= f(X, y) și punct

Dacă funcția se schimbă z apare atunci când doar unul dintre argumente se schimbă, de exemplu, X, cu o valoare fixă ​​a celuilalt argument y, atunci funcția va fi incrementată

numită increment parțial al funcției f(X, y) pe X.

Având în vedere schimbarea funcției zîn funcție de schimbarea doar a unuia dintre argumente, trecem de fapt la o funcție a unei variabile.

Dacă există o limită finită

atunci se numește derivată parțială a funcției f(X, y) prin argumentare Xși este notat cu unul dintre simboluri

(4)

Creșterea parțială este definită în mod similar z pe y:

și derivată parțială f(X, y) pe y:

(6)

Exemplul 1

Soluţie. Găsim derivata parțială față de variabila „x”:

(y fix);

Găsim derivata parțială față de variabila „y”:

(X fix).

După cum puteți vedea, nu contează în ce măsură variabila este fixă: în acest caz, este doar un număr care este un factor (ca și în cazul derivatei obișnuite) cu variabila prin care găsim parțialul. derivat. Dacă variabila fixă ​​nu este înmulțită cu variabila față de care găsim derivata parțială, atunci această constantă singură, indiferent în ce măsură, ca în cazul unei derivate obișnuite, dispare.

Exemplul 2 Dată o funcție

Găsiți derivate parțiale

(prin x) și (prin y) și calculați valorile lor la punctul DAR (1; 2).

Soluţie. La un fix y derivata primului termen se găsește ca derivată a funcției putere ( tabelul funcțiilor derivate ale unei variabile):

.

La un fix X derivata primului termen se găsește ca derivată a funcției exponențiale, iar al doilea - ca derivată a constantei:

Acum calculăm valorile acestor derivate parțiale la punctul DAR (1; 2):

Puteți verifica soluția problemelor cu derivate parțiale activate calculator de derivate parțiale online .

Exemplul 3 Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor

Soluţie. Într-un singur pas găsim

(y X, de parcă argumentul sinelui ar fi 5 X: la fel, 5 apare înaintea semnului funcției);

(X este fix și este în acest caz un factor la y).

Puteți verifica soluția problemelor cu derivate parțiale activate calculator de derivate parțiale online .

Derivatele parțiale ale unei funcții de trei sau mai multe variabile sunt definite în mod similar.

Dacă fiecare set de valori ( X; y; ...; t) variabile independente din mulţime D corespunde unei anumite valori u din multi E, apoi u se numeste functie de variabile X, y, ..., t si denota u= f(X, y, ..., t).

Pentru funcțiile a trei sau mai multe variabile, nu există o interpretare geometrică.

Derivatele parțiale ale unei funcții a mai multor variabile sunt, de asemenea, definite și calculate în ipoteza că numai una dintre variabilele independente se modifică, în timp ce celelalte sunt fixe.

Exemplul 4 Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor

.

Soluţie. yși z fix:

Xși z fix:

Xși y fix:

Găsiți singur derivate parțiale și apoi vedeți soluții

Exemplul 5

Exemplul 6 Găsiți derivate parțiale ale unei funcții.

Derivata parțială a unei funcții a mai multor variabile are același lucru sens mecanic ca derivată a unei funcții a unei variabile, este rata cu care funcția se modifică în raport cu o modificare a unuia dintre argumente.

Exemplul 8 cantitatea de curgere P pasagerii căi ferate poate fi exprimat ca o funcție

Unde P- numărul de pasageri, N- numărul de rezidenți ai punctelor corespunzătoare, R- distanta dintre puncte.

Derivată parțială a unei funcții P pe R egal cu

arată că scăderea fluxului de pasageri este invers proporțională cu pătratul distanței dintre punctele corespunzătoare pentru același număr de locuitori în puncte.

Derivată parțială P pe N egal cu

arată că creșterea fluxului de pasageri este proporțională cu dublul numărului de locuitori aşezări cu aceeași distanță între puncte.

Puteți verifica soluția problemelor cu derivate parțiale activate calculator de derivate parțiale online .

Diferenţial complet

Produsul derivatei parțiale și incrementul variabilei independente corespunzătoare se numește diferențială parțială. Diferențele parțiale se notează după cum urmează:

Suma diferenţialelor parţiale pentru toate variabilele independente dă diferenţialul total. Pentru o funcție a două variabile independente, diferența totală este exprimată prin egalitate

(7)

Exemplul 9 Găsiți diferența completă a unei funcții

Soluţie. Rezultatul utilizării formulei (7):

O funcție care are o diferență totală în fiecare punct al unui domeniu se numește diferențiabilă în acel domeniu.

Găsiți singur diferența totală și apoi vedeți soluția

La fel ca și în cazul unei funcții a unei variabile, diferențiabilitatea unei funcții într-o anumită regiune implică continuitatea acesteia în această regiune, dar nu invers.

Să formulăm fără dovezi o condiție suficientă pentru derivabilitatea unei funcții.

Teorema. Dacă funcţia z= f(X, y) are derivate parțiale continue

într-o regiune dată, atunci este diferențiabilă în această regiune și diferența sa este exprimată prin formula (7).

Se poate arăta că, la fel ca în cazul unei funcții a unei variabile, diferența funcției este partea liniară principală a incrementului funcției, deci în cazul unei funcții de mai multe variabile, diferența totală este principala, liniară în raport cu incrementele variabilelor independente, parte din incrementul total al funcției.

Pentru o funcție de două variabile, incrementul total al funcției are forma

(8)

unde α și β sunt infinitezimale pentru și .

Derivate parțiale de ordin superior

Derivate parțiale și funcții f(X, y) sunt ele însele unele funcții ale acelorași variabile și, la rândul lor, pot avea derivate față de diferite variabile, care sunt numite derivate parțiale de ordin superior.

Luați în considerare o funcție a două variabile z=f(x, y)și creșterea sa totală la punct M 0 (x 0 , y 0)

Δ z \u003d f (x 0 + Δ x, y 0 + Δ y) - f (x 0, y 0).

Definiție. Dacă există numere Pși Q astfel încât incrementul total poate fi reprezentat ca

Δz = PΔx + QΔy + ε Δρ,

unde si ε→ 0 la Δρ→ 0 , apoi expresia PΔx + QΔy se numește diferența totală a funcției z=f(x,y) la punct M0 (x0,y0).

În acest caz, incrementul complet al funcției constă din două părți: prima parte PΔx + QΔy este liniară în raport cu Δxși Δy, al doilea este un ordin superior infinitezimal în comparație cu .

Diferenţialul total al unei funcţii z=f(x,y) notat cu dz, acesta este

dz = PΔx+QΔy.

O funcție care are o diferență totală într-un punct dat se numește diferențiabilă în acel punct.

Teorema. În cazul în care un u=f(M) diferentiabil la un punct M0, atunci este continuă în ea.

cometariu. Continuitatea unei funcții a două variabile nu implică diferențiabilitatea acesteia.

Exemplu. continuu in (0,0) , dar nu are derivată parțială - nu există. În mod similar, nu există o derivată parțială în ceea ce privește y. Prin urmare, funcția nu este diferențiabilă.

Teorema [condiție necesară pentru diferențiere]. În cazul în care un z=f(x,y) diferentiabil la un punct M0, atunci are derivate parțiale în raport cu Xși y, și

f′ x (x 0 ,y 0) = P, f′ y (x 0 , y 0) = Q.

cometariu. Diferențiabilitatea nu rezultă din existența derivatelor parțiale. Exemplu:

Avem , dar funcția nu este continuă, deci nu este diferențiabilă.

Teoremă [condiție suficientă pentru diferențiere]. Dacă primele derivate parțiale ale funcțiilor z=f(x,y) sunt definite într-o vecinătate a punctului M0 (x0,y0)și continuu la punct M0, apoi funcţie dată are o diferență totală în acel moment.

cometariu. Avem

Δ z \u003d f′ x (x 0, y 0)Δ x + f′ y (x 0, y 0)Δ y + ε Δρ,

Unde ε→ 0 la Δρ→ 0 . Prin urmare,

f(x 0 +Δ x,y 0 +Δ y) - f(x 0 ,y 0) ≈ f′ x (x 0 ,y 0)Δ x + f′ y (x 0 ,y 0)Δ y

f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) ≈ f(x 0 ,y 0) + f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y.

Această formulă este utilizată în calcule aproximative.

La fix Δxși Δy diferenţialul total este o funcţie a variabilelor Xși y:

Sa punem dx=Δx, dy=Δyși numiți aceste mărimi diferențiale ale variabilelor independente.

Apoi obținem formula

adică diferenţialul total al funcţiei este egală cu suma produse ale primelor derivate parțiale și diferențiale corespunzătoare ale argumentelor.

Diferenţialul total al unei funcţii de trei variabile este definit şi exprimat în mod similar. În cazul în care un u=f(x, y, z) si sunt numere P, Q, R astfel încât

Δu = PΔx+QΔy+RΔz+εΔρ, ε→ 0 la δρ→ 0 ,

atunci diferența totală este expresia

du = PΔx+QΔy+RΔz.

Dacă primele derivate parțiale ale acestei funcții sunt continue, atunci

Unde dx=Δx, dz=Δz, dz=Δz.

Definiție. Diferenţialul total de ordinul doi al unei anumite funcţii este diferenţialul total al diferenţialului său total.

În cazul în care un z=f(x,y), dz=z′ x dx+z′ y dy, apoi

Plan tangent și normal de suprafață

Luați în considerare suprafața S, dat de ecuație

z=f(x, y).

Lăsa f(x, y) are derivate parțiale într-un anumit domeniu. Considera M 0 (x 0 , y 0).

- pantă tangentă în punct M0 la secțiunea suprafeței de către plan y=y0, adică la linie z=f(x,y 0). Tangenta la aceasta dreapta este:

z-z 0 \u003d f′ x (x 0, y 0) (x-x 0), y=y 0.

În mod similar, o secțiune cu un avion x=x0 dă ecuația

z-z 0 =f′ y (x 0 , y 0)(y-y 0), x=x 0.

Planul care conține ambele drepte are ecuația

z-z 0 \u003d f′ x (x 0, y 0)(x-x 0)+f′ y (x 0, y 0)(y-y 0)

și se numește plan tangent la suprafață S la punct P 0 (x 0 , y 0 , z 0).

Rețineți că ecuația planului tangent poate fi rescrisă ca

z-z 0 =df.

În acest fel, sens geometric diferenţial total: diferenţial într-un punct M0 pentru increment (x-x 0 , y-y 0) este incrementul punctului de aplicare al planului tangent la suprafață z=f(x,y) la punct (x0, y0) pentru aceleași incremente.

Planul tangent are un vector normal în punct (x0, y0, z0) - \vec(n)=(f′ x (x 0 , y 0), f′ y (x 0 , y 0), -1). Linie care trece printr-un punct P0și având un vector de direcție \vec(n), se numește normală la suprafață z=f(x,y)în acest moment. Ecuațiile ei sunt:

Diferențierea funcțiilor complexe

Să fie dată o funcție diferențiabilă z=F(v, w), ale căror argumente sunt funcții diferențiabile ale variabilelor Xși y:

v=v(x, y), w=w(x, y).

Dacă în acelaşi timp funcţia

z=F(v(x, y), w(x, y))=\Phi(x, y)

are sens, atunci se numește o funcție complexă a Xși y.

Teorema. Derivate parțiale z′ x, z'y functie complexa există și sunt exprimate prin formule

În cazul în care un vși w- funcţii diferenţiabile ale unei variabile t, acesta este

v=v(t), w=w(t),

iar funcția are sens

z=F(v(t), w(t))=f(t),

atunci derivata sa este exprimată prin formula

Această derivată se numește derivată totală.

Dacă este dată o funcţie derivabilă

u=F(ξ, η, ζ),

ale căror argumente ξ=ξ(t), η=η(t), ζ=ζ(t)- funcţii diferenţiabile ale unei variabile tși funcția

u=F(ξ(t), η(t), ζ(t))

După cum puteți vedea, pentru a găsi diferența, trebuie să înmulțiți derivata cu dx. Acest lucru vă permite să scrieți imediat tabelul corespunzător pentru diferențe din tabelul de formule pentru derivate.

Diferenţial total pentru o funcţie a două variabile:

Diferenţiala totală pentru o funcţie de trei variabile este egală cu suma diferenţialelor parţiale: d f(x,y,z)=d x f(x,y,z)dx+d y f(x,y,z)dy+d z f(x) ,y,z)dz

Definiție . O funcție y=f(x) se numește diferențiabilă într-un punct x 0 dacă incrementul ei în acest punct poate fi reprezentat ca ∆y=A∆x + α(∆x)∆x, unde A este o constantă și α(∆ x) este infinit mic ca ∆x → 0.
Cerința ca o funcție să fie diferențiabilă într-un punct este echivalentă cu existența unei derivate în acest punct și A=f’(x 0).

Fie f(x) diferențiabilă într-un punct x 0 și f „(x 0)≠0 , atunci ∆y=f'(x 0)∆x + α∆x, unde α= α(∆x) →0 ca ∆x → 0. Mărimea ∆y și fiecare termen din partea dreaptă sunt valori infinitezimale ca ∆x→0. Să le comparăm: , adică α(∆x)∆x este de ordin infinitezimal superior f’(x 0)∆x.
, adică ∆y~f’(x 0)∆x. Prin urmare, f’(x 0)∆x este partea principală și în același timp liniară în raport cu ∆x parte a incrementului ∆y (mijloace liniară care conține ∆x până la primul grad). Acest termen se numește diferența funcției y \u003d f (x) în punctul x 0 și este notat dy (x 0) sau df (x 0). Deci, pentru x arbitrar
dy=f′(x)∆x. (unu)
Fie dx=∆x, atunci
dy=f′(x)dx. (2)

Exemplu. Găsiți derivate și diferențiale ale acestor funcții.
a) y=4tg2x
Soluţie:

diferenţial:
b)
Soluţie:

diferenţial:
c) y=arcsin 2 (lnx)
Soluţie:

diferenţial:
G)
Soluţie:
=
diferenţial:

Exemplu. Pentru funcția y=x 3 găsiți o expresie pentru ∆y și dy pentru unele valori ale lui x și ∆x.
Soluţie. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 dy=3x 2 ∆x (am luat partea liniară principală a lui ∆y în raport cu ∆x). În acest caz, α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3 .

Derivate parțiale ale funcțiilor a două variabile.
Concept și exemple de soluții

În această lecție, vom continua cunoașterea funcției a două variabile și vom lua în considerare, probabil, cea mai comună sarcină tematică - găsirea derivate parțiale de ordinul întâi și al doilea, precum și diferența totală a funcției. Studenții cu fracțiune de normă, de regulă, se confruntă cu derivate parțiale în anul 1 în semestrul 2. Mai mult decât atât, conform observațiilor mele, sarcina de a găsi derivate parțiale se regăsește aproape întotdeauna în examen.

Pentru a studia eficient următorul material, tu necesar să poată găsi mai mult sau mai puțin cu încredere derivatele „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile. Puteți învăța cum să gestionați corect derivatele în lecții Cum să găsesc derivatul?și Derivată a unei funcții compuse. Avem nevoie și de un tabel derivat functii elementareși reguli de diferențiere, este cel mai convenabil dacă este la îndemână în formă tipărită. Puteți găsi material de referință pe pagină Formule și tabele matematice.

Să repetăm ​​rapid conceptul de funcție a două variabile, voi încerca să mă limitez la minim. O funcție a două variabile este de obicei scrisă ca , variabilele fiind numite variabile independente sau argumente.

Exemplu: - o funcţie a două variabile.

Uneori se folosește notația. Există, de asemenea, sarcini în care litera este folosită în loc de scrisoare.

Din punct de vedere geometric, o funcție a două variabile este cel mai adesea o suprafață a spațiului tridimensional (un plan, un cilindru, o bilă, un paraboloid, un hiperboloid etc.). Dar, de fapt, aceasta este deja mai mult geometrie analitică și avem analiza matematică pe ordinea de zi, pe care profesorul meu universitar nu m-a lăsat niciodată să le opresc este „calul” meu.

Ne întoarcem la problema găsirii derivatelor parțiale de ordinul întâi și al doilea. Am niște vești bune pentru cei dintre voi care au băut câteva căni de cafea și sunt în chef de material neînchipuit de dificil: derivatele parțiale sunt aproape aceleași cu derivatele „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile.

Pentru derivatele parțiale sunt valabile toate regulile de diferențiere și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare. Există doar câteva mici diferențe pe care le vom cunoaște chiar acum:

... da, apropo, pentru acest subiect am creat carte mica pdf, care vă va permite să vă „umpleți mâna” în doar câteva ore. Dar, folosind site-ul, veți obține, desigur, și rezultatul - poate puțin mai lent:

Exemplul 1

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi și al doilea ale unei funcții

În primul rând, găsim derivatele parțiale de ordinul întâi. Sunt doi dintre ei.

Notaţie:
sau - derivată parțială față de "x"
sau - derivată parțială în raport cu „y”

Sa incepem cu . Când găsim derivata parțială față de „x”, atunci variabila este considerată o constantă (număr constant).

Comentarii cu privire la acțiunile întreprinse:

(1) Primul lucru pe care îl facem atunci când găsim derivata parțială este să concluzionam toate funcţionează între paranteze sub liniuţă cu indice.

Atenție importantă! Indicele NU PIERD pe parcursul soluției. În acest caz, dacă desenați o „lovitură” undeva fără, atunci profesorul, cel puțin, o poate pune lângă sarcină (mușcă imediat o parte din scor pentru neatenție).

(2) Folosiți regulile de diferențiere , . Pentru un exemplu simplu ca acesta, ambele reguli pot fi aplicate în același pas. Atenție la primul termen: de când este considerată o constantă și orice constantă poate fi scoasă din semnul derivatei, apoi o scoatem din paranteze. Adică, în această situație, nu este mai bun decât un număr obișnuit. Acum să ne uităm la al treilea termen: aici, dimpotrivă, nu este nimic de scos. Deoarece este o constantă, este și o constantă și, în acest sens, nu este mai bună decât ultimul termen - „șapte”.

(3) Folosim derivate tabulare și .

(4) Simplificăm sau, după cum îmi place să spun, „combinăm” răspunsul.

Acum . Când găsim derivata parțială față de „y”, atunci variabilaconsiderată o constantă (număr constant).

(1) Folosim aceleași reguli de diferențiere , . În primul termen scoatem constanta dincolo de semnul derivatei, în al doilea termen nu se poate scoate nimic pentru că este deja o constantă.

(2) Folosim tabelul derivatelor funcțiilor elementare. Schimbați mental în tabel toate „X” cu „Y”. Adică, acest tabel este la fel de valabil pentru (și într-adevăr pentru aproape orice literă). În special, formulele pe care le folosim arată astfel: și .

Care este sensul derivatelor parțiale?

La baza lor, derivatele parțiale de ordinul 1 se aseamănă derivat „obișnuit”.:

- aceasta este funcții, care caracterizează rata de schimbare funcţionează în direcţia axelor şi respectiv. Deci, de exemplu, funcția caracterizează abruptul „urcărurilor” și „pârtilor” suprafeteîn direcția axei absciselor, iar funcția ne vorbește despre „relieful” aceleiași suprafețe în direcția axei ordonatelor.

! Notă : aici se referă la direcții care sunt paralele axele de coordonate.

Pentru o mai bună înțelegere, să luăm în considerare un punct specific al planului și să calculăm valoarea funcției („înălțime”) în el:
- și acum imaginați-vă că sunteți aici (la suprafață).

Calculăm derivata parțială în raport cu „x” la un punct dat:

Semnul negativ al derivatului „X” ne vorbește despre Descendentă funcţionează într-un punct în direcţia axei x. Cu alte cuvinte, dacă facem un mic-mic (infinitezimal) pas spre vârful axei (paralel cu această axă), apoi coborâți panta suprafeței.

Acum aflăm natura „terenului” în direcția axei y:

Derivata față de „y” este pozitivă, prin urmare, într-un punct de-a lungul axei, funcția crește. Dacă este destul de simplu, atunci aici așteptăm o urcare în urcare.

În plus, derivata parțială la un punct caracterizează rata de schimbare funcţionează în direcţia relevantă. Cu cât valoarea rezultată este mai mare modulo- cu cât suprafața este mai abruptă și invers, cu cât este mai aproape de zero, cu atât suprafața este mai plată. Deci, în exemplul nostru, „panta” în direcția axei absciselor este mai abruptă decât „muntele” în direcția axei ordonatelor.

Dar acelea erau două căi private. Este destul de clar că din punctul în care ne aflăm, (și în general din orice punct al suprafeței date) ne putem deplasa într-o altă direcție. Astfel, există un interes în alcătuirea unei „hărți de navigație” generale care să ne spună despre „peisajul” suprafeței. dacă este posibilîn fiecare punct domeniul de aplicare al acestei funcțiiîn toate modurile disponibile. Voi vorbi despre acest lucru și despre alte lucruri interesante într-una din lecțiile următoare, dar, deocamdată, să revenim la partea tehnică a problemei.

Sistematizăm regulile elementare aplicate:

1) Când diferențiem prin , atunci variabila este considerată o constantă.

2) Când diferenţierea se realizează conform, atunci este considerată o constantă.

3) Regulile și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare sunt valabile și aplicabile pentru orice variabilă (sau oricare alta) față de care se realizează diferențierea.

Pasul doi. Găsim derivate parțiale de ordinul doi. Sunt patru.

Notaţie:
sau - a doua derivată în raport cu „x”
sau - a doua derivată în raport cu „y”
sau - amestecat derivată „x cu y”
sau - amestecat derivată „Y cu X”

Nu există probleme cu derivata a doua. vorbind limbaj simplu, a doua derivată este derivata primei derivate.

Pentru comoditate, voi rescrie derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite:

Mai întâi găsim derivatele mixte:

După cum puteți vedea, totul este simplu: luăm derivata parțială și o diferențiem din nou, dar în acest caz, deja prin „y”.

În mod similar:

În exemple practice, vă puteți concentra pe următoarea egalitate:

Astfel, prin derivate mixte de ordinul doi, este foarte convenabil să verificăm dacă am găsit corect derivatele parțiale de ordinul întâi.

Găsim derivata a doua în raport cu „x”.
Fără invenții, luăm și diferențiază-l cu „X” din nou:

În mod similar:

Trebuie remarcat faptul că atunci când găsiți, trebuie să arătați atenție sporită, deoarece nu există egalități miraculoase care să le testeze.

Derivatele secunde găsesc, de asemenea, o largă aplicație practică, în special, sunt utilizate în problema găsirii extremele unei funcţii a două variabile. Dar totul are timpul lui:

Exemplul 2

Calculați derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției în punctul . Găsiți derivate de ordinul doi.

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (răspunsuri la sfârșitul lecției). Dacă aveți dificultăți în a diferenția rădăcinile, reveniți la lecție Cum să găsesc derivatul?În general, destul de curând veți învăța cum să găsiți derivate similare din mers.

Ne umplem mâna cu exemple mai complexe:

Exemplul 3

Verifică asta . Scrieți diferența totală de ordinul întâi.

Rezolvare: Găsim derivate parțiale de ordinul întâi:

Atenție la indice: lângă „x” nu este interzis să scrieți între paranteze că este o constantă. Acest marcaj poate fi foarte util pentru începători pentru a facilita navigarea prin soluție.

Comentarii suplimentare:

(1) Scoatem toate constantele din afara semnului derivatei. În acest caz, și , și, prin urmare, produsul lor este considerat un număr constant.

(2) Nu uitați cum să diferențiați corect rădăcinile.

(1) Luăm toate constantele din semnul derivatei, în acest caz constanta este .

(2) Sub prim, avem produsul a două funcții, prin urmare, trebuie să folosim regula de diferențiere a produsului .

(3) Nu uitați că este o funcție complexă (deși cea mai simplă dintre cele complexe). Folosim regula corespunzătoare: .

Acum găsim derivate mixte de ordinul doi:

Aceasta înseamnă că toate calculele sunt corecte.

Să scriem diferența totală. În contextul sarcinii luate în considerare, nu are sens să spunem care este diferența totală a unei funcții a două variabile. Este important ca această diferență să fie scrisă foarte des în probleme practice.

Diferenţial total de prim ordin funcțiile a două variabile are forma:

În acest caz:

Adică, în formulă trebuie doar să înlocuiți prostesc derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite. Pictogramele diferențiale în această situație și în situații similare, dacă este posibil, sunt cel mai bine scrise cu numărători:

Și la cererea repetată a cititorilor, diferenţial complet de ordinul doi.

Arata cam asa:

Găsiți cu ATENȚIE derivatele „cu o singură literă” de ordinul 2:

și notează „monstrul”, „atașând” cu grijă pătratele, produsul și fără a uita să dublezi derivatul mixt:

Este în regulă dacă ceva părea dificil, poți oricând să revii la derivate mai târziu, după ce ai luat tehnica de diferențiere:

Exemplul 4

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții . Verifică asta . Scrieți diferența totală de ordinul întâi.

Luați în considerare o serie de exemple cu funcții complexe:

Exemplul 5

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale funcției.

Soluţie:

Exemplul 6

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .
Notați diferența totală.

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (răspuns la sfârșitul lecției). Nu voi posta soluția completă pentru că este destul de simplă.

Destul de des, toate regulile de mai sus sunt aplicate în combinație.

Exemplul 7

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .

(1) Folosim regula diferențierii sumei

(2) Primul termen în acest caz este considerat o constantă, deoarece în expresie nu există nimic care să depindă de „x” - doar „y”. Știi, este întotdeauna frumos când o fracție poate fi transformată în zero). Pentru al doilea termen, aplicăm regula de diferențiere a produsului. Apropo, în acest sens, nimic nu s-ar schimba dacă s-ar da în schimb o funcție – este important că aici produsul a două funcții, Fiecare dintre ele depinde de "X", și, prin urmare, trebuie să utilizați regula de diferențiere a produsului. Pentru al treilea termen, aplicăm regula de diferențiere a unei funcții complexe.

(1) Primul termen atât în ​​numărător, cât și în numitor conține un „y”, prin urmare, trebuie să utilizați regula pentru diferențierea coeficientului: . Al doilea termen depinde DOAR de „x”, ceea ce înseamnă că este considerat o constantă și se transformă în zero. Pentru al treilea termen, folosim regula de diferențiere a unei funcții complexe.

Pentru acei cititori care au ajuns cu curaj aproape până la sfârșitul lecției, vă voi spune o veche anecdotă a lui Mehmatov pentru detenție:

Odată a apărut un derivat malefic în spațiul funcțiilor și cum a mers să diferențieze pe toată lumea. Toate funcțiile se împrăștie în toate direcțiile, nimeni nu vrea să se întoarcă! Și o singură funcție nu scapă nicăieri. Derivatul o abordează și întreabă:

— De ce nu fugi de mine?

- Ha. Dar nu-mi pasă, pentru că sunt „e la puterea lui x”, iar tu nu-mi poți face nimic!

La care derivatul malefic cu un zâmbet insidios îi răspunde:

- Aici greșești, te voi diferenția prin „y”, așa că fii zero pentru tine.

Cine a înțeles gluma, a stăpânit derivatele, cel puțin pentru „troika”).

Exemplul 8

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. O soluție completă și un model de proiect al problemei sunt la sfârșitul lecției.

Ei bine, asta e aproape tot. În cele din urmă, nu pot să nu le rog matematicienilor cu încă un exemplu. Nici măcar nu e vorba de amatori, fiecare are un alt nivel de pregătire matematică – sunt oameni (și nu atât de rari) cărora le place să concureze cu sarcini mai dificile. Deși, ultimul exemplu din această lecție nu este atât de complicat, ci greoi din punct de vedere al calculelor.

Ieșire colecție:

LA DIFERENȚIALUL DE ORDIN A DOUA

Lovkov Ivan Iurievici

student la Moscova universitate de stat tehnologia Informatiei, inginerie radio și electronică, Federația Rusă, Serpuhov

E- Poștă: alkasardancer@ hoinar. ro

Taperechkina Vera Alekseevna

cand. Fiz.-Matematică. Științe, profesor asociat, Universitatea de Stat de Tehnologii Informaționale din Moscova, Inginerie Radio și Electronică, Federația Rusă, Serpukhov

DESPRE DIFERENȚIALUL DE ORDINA A DOUA

Lovkov Ivan

student la Universitatea de Stat de Tehnologii Informaționale, Inginerie Radio și Electronică din Moscova, Rusia, Serpuhov

Vera Taperechkina

candidat la științe fizice și matematice, profesor asociat la Universitatea de Stat de Tehnologii Informaționale, Inginerie Radio și Electronică din Moscova, Rusia, Serpuhov

ADNOTARE

Lucrarea are în vedere metode de găsire a derivatelor și diferențialelor de ordinul întâi și al doilea pentru funcții complexe a două variabile.

ABSTRACT

Metode de calcul derivate și diferențiale prima și a doua pentru funcții compuse a două variabile.

Cuvinte cheie: derivate parțiale; diferenţial.

Cuvinte cheie: derivate parțiale; diferenţial.

1. Introducere.

Să formulăm câteva fapte din teoria funcțiilor mai multor variabile, de care vom avea nevoie mai jos.

Definiție: O funcție z=f(u, v) se numește diferențiabilă într-un punct (u, v) dacă incrementul ei Δz poate fi reprezentat ca:

Partea liniară a incrementului se numește diferența totală și se notează dz.

Teoremă (condiție suficientă pentru derivabilitate) cf.

Dacă într-o vecinătate a lui m.(u, v) există derivate parțiale continue și , atunci funcția f(u, v) este diferențiabilă în acest punct și

(du=Δu, dv=Δv). (unu)

Definiție: A doua diferență a funcției z=f(u, v) la un punct dat (u, v) este prima diferențială a primei diferențiale a funcției f(u, v), adică.

Din definiția celei de-a doua diferențe z=f(u, v), unde u și v sunt variabile independente, rezultă

Astfel, formula este valabilă:

La derivarea formulei a fost utilizată teorema Schwartz privind egalitatea derivatelor mixte. Această egalitate este valabilă cu condiția ca sunt definite într-o vecinătate de m.(u, v) și continue în m.(u, v). vedea

Formula de aflare a diferenţialului a 2-a se poate scrie simbolic sub următoarea formă: – pătrarea formală a parantezei cu înmulţirea formală ulterioară în dreapta cu f(x y) dă formula obţinută anterior . În mod similar, formula pentru a treia diferenţială este valabilă:

Și în general vorbind:

Unde ridicarea formală la puterea a n-a se realizează conform formulei binomiale a lui Newton:

;

Rețineți că prima diferență a unei funcții a două variabile are proprietatea de invarianță de formă. Adică, dacă u și v sunt variabile independente, atunci pentru funcția z=f(u, v), conform (1)

Fie acum u=u(x y), v=v(x y), atunci z=f(u(x y), v(x y)), x și y sunt variabile independente, atunci

Folosind formule binecunoscute pentru derivata unei funcții complexe:

Apoi din (3) și (4) obținem:

În acest fel,

(5)

Unde - prima diferenţială a funcţiei u, - prima diferenţială a funcţiei v.

Comparând (1) și (5), vedem că formula formală pentru dz este păstrată, dar dacă în (1) du=Δu, dv=Δv sunt incremente ale variabilelor independente, atunci în (5) du și dv sunt diferențiale ale funcțiile u și v.

2. A doua diferență a unei funcții compuse a două variabile.

În primul rând, arătăm că a doua diferenţială nu are proprietatea de invarianţă a formei.

Fie z=z(u, v) în cazul variabilelor independente u și v, a doua diferență se găsește prin formula (2)

Fie acum u=u(x y), v=v(x y), z=z(u(x y), v(x y)), unde x și y sunt variabile independente. Apoi

.

Deci, în sfârșit am primit:

Formulele (2) și (6) nu coincid ca formă, prin urmare, a doua diferență nu are proprietatea de invarianță.

Anterior, formulele derivate parțiale de ordinul I au fost derivate pentru o funcție complexă z=f(u, v), unde u=u(x y), v=v(x y), unde x și y sunt variabile independente, vezi .

Obținem formule pentru calcularea derivatelor parțiale și o diferență de ordinul doi pentru funcția z=f(u, v), u=u(x y), v=v(x y), unde x și y sunt variabile independente.

Pentru funcțiile u(x y), v(x y) ale variabilelor independente x, y avem formulele:

Să înlocuim formulele (8) în (6).

Astfel, am obținut o formulă pentru diferența de ordinul doi a unei funcții complexe a două variabile.

Comparând coeficienții derivatelor parțiale de ordinul doi ale unei funcții complexe a două variabile din (2) și (9), obținem formulele:

Exemplu 1 cm

Fie z=f(u, v), u=xy, v=. Găsiți a doua diferență.

Soluție: calculați derivate parțiale:

, , , ,

, ,