În plus față de caracteristicile de poziție - medie, valori tipice ale unei variabile aleatoare - sunt utilizate o serie de caracteristici, fiecare dintre acestea descriind una sau alta proprietate a distribuției. Așa-numitele momente sunt cel mai adesea folosite ca astfel de caracteristici.

Conceptul de moment este utilizat pe scară largă în mecanică pentru a descrie distribuția maselor (momente statice, momente de inerție etc.). Exact aceleași metode sunt folosite în teoria probabilității pentru a descrie proprietățile de bază ale distribuției unei variabile aleatoare. Cel mai adesea, în practică se folosesc două tipuri de momente: inițial și central.

Momentul inițial de ordinul al șlea al unei variabile aleatoare discontinue este suma formei:

. (5.7.1)

Evident, această definiție coincide cu definiția momentului inițial de ordin s în mecanică, dacă masele sunt concentrate în punctele de pe axa x.

Pentru o variabilă aleatoare continuă X, momentul inițial de ordinul al șlea este integrala

. (5.7.2)

Este ușor de verificat că caracteristica principală de poziție introdusă în nr. anterior este valorea estimata- nu este altceva decât primul moment inițial al variabilei aleatoare.

Folosind semnul așteptării, putem combina două formule (5.7.1) și (5.7.2) într-una singură. Într-adevăr, formulele (5.7.1) și (5.7.2) sunt complet similare ca structură cu formulele (5.6.1) și (5.6.2), cu diferența că în loc de și există, respectiv, și . Prin urmare, putem scrie o definiție generală a momentului inițial de ordinul al-lea, care este valabilă atât pentru discontinuu, cât și pentru cantități continue:

, (5.7.3)

acestea. momentul inițial de ordinul al treilea al unei variabile aleatoare este așteptarea matematică a gradului al treilea al acestei variabile aleatoare.

Înainte de a da definiția momentului central, introducem un nou concept de „variabilă aleatoare centrată”.

Să fie valoare aleatorie cu așteptări matematice. Variabila aleatoare centrată corespunzătoare valorii este abaterea variabilei aleatoare de la așteptarea sa matematică:

În cele ce urmează, vom fi de acord peste tot să desemnăm variabila aleatoare centrată corespunzătoare variabilei aleatoare date prin aceeași literă cu pictograma în partea de sus.

Este ușor de verificat că așteptarea matematică a unei variabile aleatoare centrate este egală cu zero. Într-adevăr, pentru o cantitate discontinuă

în mod similar pentru o cantitate continuă.

Centrarea unei variabile aleatoare, evident, echivalează cu mutarea originii în punctul de mijloc, „central”, a cărui abscisă este egală cu așteptarea matematică.

Momentele unei variabile aleatoare centrate se numesc momente centrale. Ele sunt analoge cu momentele legate de centrul de greutate din mecanică.

Astfel, momentul central de ordinul s al unei variabile aleatoare este așteptarea matematică a puterii a-lea a variabilei aleatoare centrate corespunzătoare:

, (5.7.6)

iar pentru continuu - integral

. (5.7.8)

În cele ce urmează, în cazurile în care nu există nicio îndoială asupra cărei variabile aleatoare îi aparține un moment dat, pentru concizie vom scrie simplu și în loc de și .

Evident, pentru orice variabilă aleatorie, momentul central de ordinul întâi este egal cu zero:

, (5.7.9)

întrucât așteptarea matematică a unei variabile aleatoare centrate este întotdeauna zero.

Să derivăm relații care leagă momentele centrale și inițiale ale diferitelor ordine. Vom efectua derivarea numai pentru marimi discontinue; este ușor de verificat că exact aceleași relații sunt valabile pentru mărimi continue, dacă înlocuim sumele finite cu integrale, iar probabilitățile cu elemente de probabilitate.

Luați în considerare al doilea punct central:

În mod similar, pentru al treilea moment central obținem:

Expresii pentru etc. poate fi obținut într-un mod similar.

Astfel, pentru momentele centrale ale oricărei variabile aleatoare, formulele sunt valabile:

(5.7.10)

În general, momentele pot fi considerate nu numai în raport cu originea (momentele inițiale) sau așteptările matematice (momentele centrale), ci și în raport cu un punct arbitrar:

. (5.7.11)

Totuși, momentele centrale au un avantaj față de toate celelalte: primul moment central, după cum am văzut, este întotdeauna egal cu zero, iar al doilea moment central care îl urmează, pentru acest cadru de referință, are o valoare minimă. Să demonstrăm. Pentru o variabilă aleatoare discontinuă la , formula (5.7.11) are forma:

. (5.7.12)

Să transformăm această expresie:

Evident, această valoare atinge minimul atunci când , i.e. când se ia momentul în raport cu punctul .

Dintre toate momentele, primul moment inițial (așteptarea) și al doilea moment central sunt cel mai adesea folosite ca caracteristici ale unei variabile aleatorii.

Al doilea moment central se numește varianța variabilei aleatoare. Având în vedere importanța extremă a acestei caracteristici, printre alte puncte, introducem o denumire specială pentru aceasta:

Conform definiţiei momentului central

, (5.7.13)

acestea. varianța unei variabile aleatoare X este așteptarea matematică a pătratului variabilei centrate corespunzătoare.

Înlocuind în expresia (5.7.13) valoarea expresiei sale, avem și:

. (5.7.14)

Pentru a calcula direct varianța, se folosesc următoarele formule:

, (5.7.15)

(5.7.16)

Respectiv pentru cantități discontinue și continue.

Dispersia unei variabile aleatoare este o caracteristică a dispersiei, dispersia valorilor unei variabile aleatoare în jurul așteptării sale matematice. Cuvântul „dispersie” în sine înseamnă „împrăștiere”.

Dacă ne întoarcem la interpretarea mecanică a distribuției, atunci dispersia nu este altceva decât momentul de inerție al unei distribuții de masă date relativ la centrul de greutate (așteptare matematică).

Varianta unei variabile aleatoare are dimensiunea pătratului variabilei aleatoare; Pentru o caracterizare vizuală a împrăștierii, este mai convenabil să se utilizeze o mărime a cărei dimensiune coincide cu cea a unei variabile aleatorii. Pentru a face acest lucru, luați rădăcina pătrată a dispersiei. Valoarea rezultată se numește abaterea standard (altfel - „standardul”) a unei variabile aleatoare. Abaterea pătratică medie va fi notată cu:

, (5.7.17)

Pentru a simplifica înregistrările, vom folosi adesea notația prescurtată pentru abaterea standard și varianța: și . În cazul în care nu există nicio îndoială la ce variabilă aleatoare se referă aceste caracteristici, uneori vom omite semnul x y și și vom scrie simplu și . Cuvintele „abatere standard” vor fi uneori prescurtate cu literele s.c.o.

În practică, este adesea folosită o formulă care exprimă varianța unei variabile aleatoare în termenii celui de-al doilea moment inițial al acesteia (al doilea dintre formulele (5.7.10)). În noua notație, va arăta astfel:

Așteptările matematice și varianța (sau abaterea standard) sunt caracteristicile cele mai frecvent utilizate ale unei variabile aleatorii. Ele caracterizează cele mai importante trăsături ale distribuției: poziția și gradul de dispersie a acesteia. Pentru o descriere mai detaliată a distribuției, se folosesc momente de ordin superior.

Cel de-al treilea moment central servește la caracterizarea asimetriei (sau „asimetriei”) distribuției. Dacă distribuția este simetrică față de așteptarea matematică (sau, în interpretarea mecanică, masa este distribuită simetric față de centrul de greutate), atunci toate momentele de ordin impar (dacă există) sunt egale cu zero. Într-adevăr, în total

cu o distribuție care este simetrică față de legea distribuției și impară, fiecărui termen pozitiv îi corespunde un termen negativ egal cu acesta în valoare absolută, astfel încât întreaga sumă este egală cu zero. Același lucru este, evident, valabil și pentru integrală

,

care este egal cu zero ca integrală în limitele simetrice ale unei funcții impare.

Prin urmare, este firesc să alegeți oricare dintre momentele impare ca o caracteristică a asimetriei distribuției. Cel mai simplu dintre acestea este al treilea moment central. Are dimensiunea unui cub al unei variabile aleatoare: pentru a obține o caracteristică adimensională, al treilea moment este împărțit la cubul abaterii standard. Valoarea rezultată se numește „coeficient de asimetrie” sau pur și simplu „asimetrie”; o vom nota:

Pe fig. 5.7.1 prezintă două distribuții deformate; una dintre ele (curba I) are o asimetrie pozitivă (); celălalt (curba II) este negativ ().

Al patrulea moment central servește la caracterizarea așa-numitei „răcire”, adică. distribuție cu vârf sau cu vârf plat. Aceste proprietăți de distribuție sunt descrise folosind așa-numita curtoză. Curtoza unei variabile aleatoare este cantitatea

Numărul 3 se scade din raport deoarece pentru o lege de distribuție normală foarte importantă și răspândită în natură (pe care o vom cunoaște în detaliu mai târziu). Astfel, pentru o distribuție normală, curtoza este zero; curbele care sunt mai ascuțite decât curbele normale au o curtoză pozitivă; curbele sunt mai mult plat - prin curtoză negativă.

Pe fig. 5.7.2 arată: distribuția normală (curba I), distribuția cu curtoză pozitivă (curba II) și distribuția cu curtoză negativă (curba III).

Pe lângă momentele inițiale și centrale discutate mai sus, în practică se folosesc uneori așa-numitele momente absolute (inițiale și centrale), definite prin formule

Evident, momentele absolute ale ordinelor par coincid cu momentele obișnuite.

Dintre momentele absolute, primul moment central absolut este cel mai des folosit.

, (5.7.21)

numită abaterea medie aritmetică. Împreună cu dispersia și abaterea standard, abaterea medie aritmetică este uneori utilizată ca caracteristică de dispersie.

Așteptările matematice, modul, mediana, momentele inițiale și centrale și, în special, varianța, abaterea standard, asimetria și curtosis sunt caracteristicile numerice cele mai frecvent utilizate ale variabilelor aleatoare. În multe probleme practice, o caracterizare completă a unei variabile aleatoare - legea distribuției - fie nu este necesară, fie nu poate fi obținută. În aceste cazuri, ele sunt limitate la o descriere aproximativă a unei variabile aleatoare cu ajutor. Caracteristici numerice, fiecare dintre acestea exprimând o proprietate caracteristică a distribuției.

Foarte des, caracteristicile numerice sunt folosite pentru a aproxima înlocuirea unei distribuții cu alta și, de obicei, încearcă să facă această înlocuire astfel încât mai multe puncte importante să rămână neschimbate.

Exemplul 1. Se efectuează un experiment, în urma căruia poate apărea sau nu un eveniment, a cărui probabilitate este egală cu . Se consideră o variabilă aleatoare - numărul de apariții ale unui eveniment (variabilă aleatoare caracteristică a unui eveniment). Determinați-i caracteristicile: așteptare matematică, varianță, abatere standard.

Soluţie. Seria de distribuție a cantităților are forma:

unde este probabilitatea ca evenimentul să nu se producă.

Conform formulei (5.6.1) găsim așteptarea matematică a valorii:

Dispersia valorii este determinată de formula (5.7.15):

(Invităm cititorul să obțină același rezultat exprimând varianța în termenii celui de-al doilea moment inițial).

Exemplul 2. Trei focuri independente sunt trase în țintă; probabilitatea de a lovi fiecare lovitură este de 0,4. variabila aleatoare este numărul de accesări. Determinați caracteristicile mărimii - așteptare matematică, dispersie, s.c.o., asimetrie.

Soluţie. Seria de distribuție a cantităților are forma:

Calculăm caracteristicile numerice ale cantității:

Rețineți că aceleași caracteristici ar putea fi calculate mult mai simplu folosind teoreme pe caracteristici numerice funcții (vezi capitolul 10).

Definiție.Dispersare (împrăștiere) Variabila aleatoare discretă se numește așteptarea matematică a abaterii pătrate a variabilei aleatoare de la așteptarea sa matematică:

Exemplu. Pentru exemplul de mai sus, găsim

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare sunt:

Valori posibile ale abaterii pătrate:

; ;

Dispersia este:

Cu toate acestea, în practică, această metodă de calcul a varianței este incomod, deoarece duce la calcule greoaie pentru un număr mare de valori ale unei variabile aleatorii. Prin urmare, se folosește o altă metodă.

Calculul variației

Teorema. Varianta este egală cu diferența dintre așteptările matematice ale pătratului variabilei aleatoare X și pătratul așteptărilor sale matematice:

Dovada.Ținând cont de faptul că așteptarea matematică și pătratul așteptării matematice sunt valori constante, putem scrie:

Să aplicăm această formulă la exemplul de mai sus:

Proprietăți de dispersie

1) Dispersie valoare constantă este egal cu zero:

2) Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul:

.

3) Varianța sumei a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestor variabile:

4) Varianta diferenței a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestor variabile:

Valabilitatea acestei egalități rezultă din proprietatea 2.

Teorema. Varianța numărului de apariții ale evenimentului A în n încercări independente, în fiecare dintre ele probabilitatea de apariție a evenimentului este constantă, este egală cu produsul dintre numărul de încercări cu probabilitatea de apariție și probabilitatea evenimentului. neapărând în fiecare proces:

Exemplu. Fabrica produce 96% din produsele de clasa întâi și 4% din produsele de clasa a doua. 1000 de articole sunt alese la întâmplare. Lăsa X- numarul de produse de clasa I din acest esantion. Găsiți legea distribuției, așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare.

Astfel, legea distribuției poate fi considerată binomială.

Exemplu. Aflați varianța unei variabile aleatoare discrete X– numărul de apariții ale evenimentului DARîn două încercări independente, dacă probabilitățile de apariție a acestui eveniment în fiecare proces sunt egale și se știe că

pentru că valoare aleatorie X distribuite conform legii binomiale, atunci

Exemplu. Testele independente sunt efectuate cu aceeași probabilitate de apariție a evenimentului DAR la fiecare test. Găsiți probabilitatea ca un eveniment să se producă DAR dacă varianța numărului de apariții ale evenimentului în trei încercări independente este de 0,63.

Conform formulei de dispersie a legii binomiale, obținem:

;

Exemplu. Este testat un dispozitiv format din patru dispozitive care funcționează independent. Probabilitățile de defecțiune ale fiecăruia dintre dispozitive sunt, respectiv, egale ; ; . Găsiți așteptările și variația matematică a numărului de dispozitive defectate.

Luând numărul de dispozitive eșuate ca variabilă aleatorie, vedem că această variabilă aleatoare poate lua valorile 0, 1, 2, 3 sau 4.

Pentru a elabora o lege de distribuție pentru această variabilă aleatoare, este necesar să se determine probabilitățile corespunzătoare. Să acceptăm.

1) Niciun dispozitiv nu a eșuat:

2) Unul dintre dispozitive a eșuat.

Așteptările matematice arată în ce punct sunt grupate valorile unei variabile aleatorii. De asemenea, este necesar să se poată măsura variabilitatea unei variabile aleatoare în raport cu așteptarea matematică. Cele de mai sus arată că M[(X- A) 2 ] atinge un minim A la a = M(X). Prin urmare, este firesc să luăm ca indicator al variabilității unei variabile aleatoare cu precizie M[(X-M(X)) 2].

Definiția 5. Varianta unei variabile aleatoare X numit un număr

Să stabilim o serie de proprietăți ale dispersiei unei variabile aleatoare, care sunt utilizate constant în metodele decizionale probabilistic-statistice.

Afirmația 8. Lăsa X- valoare aleatorie, Ași b- unele numere Y = topor + b. Apoi D(Y) = A 2 D(X).

După cum rezultă din afirmațiile 3 și 5, M(Y) = a.m(X) + b. prin urmare , D(Y) = M[(Y - M(Y)) 2 ] = M[(topor + b - a.m(X) - b) 2 ] = M[ A 2 (X - M(X)) 2 ]. Deoarece factorul constant poate fi scos din semnul sumei, atunci M[ A 2 (X - M(X)) 2 ] = A 2 M[(X - M(X)) 2 ] = A 2 D(X).

Declarația 8 arată, în special, cum se modifică varianța rezultatului observațiilor odată cu modificarea punctului de referință și a unității de măsură. Oferă o regulă pentru transformarea formulelor de calcul în tranziția la alte valori ale parametrilor de schimbare și scară.

Afirmația 9. Dacă variabile aleatorii Xși La sunt independente, apoi varianța sumei lor X+Y este egală cu suma varianțelor: D(X+ Y) = D(X) + D(Y).

Pentru a demonstra acest lucru, folosim identitatea

(X + Y - (M (X) + M (Y)) 2 \u003d (X - M (X)) 2

+ 2(X–M(X))(U–M(U)) + (U–M(U)) 2 ,

care rezultă din binecunoscuta formulă de algebră elementară (A+ b) 2 = A 2 + 2 ab + b 2 la înlocuire A = X- M(X) și b = Y- M(Y). Din afirmațiile 3 și 5 și din definiția varianței rezultă că

D(X+ Y) = D(X) + D(Y) + 2 M((X-M(X))(Y-M(Y))).

Conform Propoziției 6, independența lui X și Y implică independența X-M(X) și La-M(La). Afirmația 7 implică faptul că

M((X–M(X))(Y–M(Y)))=M(X–M(X))M(U–M(U)).

Pentru că M(X–M(X))= 0 (vezi enunțul 3), atunci partea dreaptă a ultimei egalități este egală cu 0, de unde, ținând cont de cele două egalități anterioare, urmează concluzia enunțului 9.

Afirmația 10. Lăsa X 1 , X 2 ,…, X k sunt variabile aleatoare independente pe perechi (de ex. X iși Xj sunt independente dacă ). Lăsa Y k- suma lor, Y k = X 1 + X 2 +…+ X k. Atunci așteptările matematice ale sumei sunt egale cu suma așteptărilor matematice ale termenilor, M(Y k) = M(X 1 )+ M(X 2 )+…+M(X k), varianța sumei este egală cu suma varianțelor termenilor, D(Y k) = D(X 1 )+ D(X 2 )+…+ D(X k).

Relațiile formulate în Enunțul 10 sunt principalele în studiul caracteristicilor eșantionului, întrucât rezultatele observațiilor sau măsurătorilor incluse într-un eșantion sunt de obicei considerate în statistica matematică, teoria deciziei și econometrie ca realizări ale variabilelor aleatoare independente.

Pentru orice set de variabile numerice aleatoare (nu numai cele independente), așteptările matematice ale sumei lor este egală cu suma așteptărilor lor matematice. Această afirmație este o generalizare a Propoziției 5. O demonstrație riguroasă este ușor de realizat prin metoda inducției matematice.

La derivarea formulei pentru varianță D(Y k) folosim următoarea proprietate a simbolului de însumare:

Sa punem un i = X i – M(X i), primim

Să folosim acum faptul că așteptările matematice ale sumei sunt egale cu suma așteptărilor matematice:

După cum se arată în demonstrația enunțului 9, rezultă din independența pe perechi a variabilelor aleatoare considerate că pentru . În consecință, numai termenii cu i= j, și sunt egali D(X i).

Proprietățile fundamentale ale unor astfel de caracteristici ale variabilelor aleatoare, cum ar fi așteptarea matematică și varianța obținute în afirmațiile 8-10, sunt utilizate în mod constant în aproape toate modelele probabilistic-statistice ale fenomenelor și proceselor reale.

Exemplul 9 Luați în considerare un eveniment DARși o variabilă aleatoare X astfel încât , dacă , și altfel, i.e. dacă . Să arătăm asta M(X) = P(A),D(X) = P(A)( 1 – P(A)).

Să folosim formula (5) pentru așteptarea matematică. Valoare aleatoare X ia două valori - 0 și 1, valoarea 1 cu probabilitate P(A)și valoarea 0 cu probabilitatea 1 – P(A), prin urmare M(X) = 1x P(A) + 0X ( 1- P(A)) = P(A).În mod similar (X – M(X)) 2 = (1 – P(A)) 2 cu probabilitate P(A)și (X – M(X)) 2 = (0 – P(A)) 2 cu probabilitatea 1 - P(A), prin urmare D(A) = ( 1 – P(A)) 2 P(A) + (P(A)) 2 ( 1 – P(A)) . Scotând factorul comun, înțelegem asta D(A) = P(A)( 1 – P(A)).

Exemplul 10 Considera k teste independente, în fiecare dintre acestea un eveniment DAR poate veni sau nu. Introducem variabile aleatoare X 1 , X 2 ,…, X k după cum urmează: = 1 dacă în i al-lea eveniment de testare DAR a avut loc și = 0 în caz contrar. Apoi variabilele aleatoare X 1 , X 2 ,…, X k sunt independente perechi (vezi Exemplul 7). După cum se arată în exemplul 9, M(X i) = p, D(X i) = p( 1 – p) , Unde p = P(A). Uneori R numită „probabilitatea de succes” – dacă apariţia unui eveniment DAR privit drept „succes”.

dispersie (difuzarea) unei variabile aleatoare este așteptarea matematică a abaterii pătrate a unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică:

Pentru a calcula varianța, puteți utiliza o formulă ușor modificată

deoarece M(X), 2 și
sunt valori constante. În acest fel,

4.2.2. Proprietăți de dispersie

Proprietatea 1. Dispersia unei valori constante este zero. Într-adevăr, prin definiție

Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul acestuia.

Dovada

Centrat o variabilă aleatoare este abaterea unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice:

Valoarea centrată are două proprietăți care sunt convenabile pentru transformare:

Proprietatea 3. Dacă variabilele aleatoare X și Y independent, atunci

Dovada. Denota
. Apoi.

În al doilea termen, datorită independenței variabilelor aleatoare și proprietăților variabilelor aleatoare centrate

Exemplul 4.5.În cazul în care un Ași b sunt constante, atunci D (AX+b)= D(AX)+D(b)=
.

4.2.3. Deviație standard

Dispersia, ca caracteristică a răspândirii unei variabile aleatoare, are un dezavantaj. Dacă, de exemplu, X– eroarea de măsurare are dimensiunea MM, atunci varianța are dimensiunea
. Prin urmare, adesea se preferă să se folosească o altă caracteristică de împrăștiere - deviație standard , care este egală cu rădăcina pătrată a varianței

Abaterea standard are aceeași dimensiune ca și variabila aleatoare în sine.

Exemplul 4.6. Variația numărului de apariție a unui eveniment în schema de studii independente

Produs nîncercări independente și probabilitatea ca un eveniment să apară în fiecare proces este R. Exprimăm, ca și până acum, numărul de apariție a evenimentului X prin numărul de apariții a evenimentului în experimente individuale:

Deoarece experimentele sunt independente, variabilele aleatoare asociate cu experimentele independent. Și în virtutea independenței avem

Dar fiecare dintre variabilele aleatoare are o lege de distribuție (exemplul 3.2)

și
(exemplul 4.4). Prin urmare, prin definiția varianței:

Unde q=1- p.

Ca urmare, avem
,

Abaterea standard a numărului de apariții ale unui eveniment în n experimente independente
.

4.3. Momente de variabile aleatorii

Pe lângă cele deja luate în considerare, variabilele aleatoare au multe alte caracteristici numerice.

Moment de pornire k X (
) se numește așteptarea matematică k puterea acestei variabile aleatoare.

Punctul central k- variabilă aleatoare de ordinul al-lea X se numește așteptare k a-a putere a mărimii centrate corespunzătoare.

Este ușor de observat că momentul central de ordinul întâi este întotdeauna egal cu zero, momentul central de ordinul doi este egal cu dispersia, deoarece .

Momentul central de ordinul al treilea oferă o idee despre asimetria distribuției unei variabile aleatoare. Momentele de ordine mai mari decât secunda sunt folosite relativ rar, așa că ne vom limita doar la conceptele lor.

4.4. Exemple de găsire a legilor de distribuție

Luați în considerare exemple de găsire a legilor de distribuție a variabilelor aleatoare și a caracteristicilor lor numerice.

Exemplul 4.7.

Compilați legea de distribuție pentru numărul de lovituri pe țintă cu trei lovituri la țintă, dacă probabilitatea de a lovi cu fiecare lovitură este 0,4. Găsiți funcția integrală F(X) pentru distribuția rezultată a unei variabile aleatoare discrete Xși desenați graficul acestuia. Găsiți așteptările matematice M(X) , dispersie D(X) și abaterea standard
(X) variabilă aleatorie X.

Soluţie

1) Variabilă aleatorie discretă X- numărul de lovituri pe țintă cu trei lovituri - poate lua patru valori: 0, 1, 2, 3 . Probabilitatea ca ea să accepte fiecare dintre ele o găsim prin formula Bernoulli pentru: n=3,p=0,4,q=1- p=0,6 și m=0, 1, 2, 3:

Obțineți probabilitățile valorilor posibile X:;

Să compunem legea de distribuție dorită a unei variabile aleatoare X:

Control: 0,216+0,432+0,288+0,064=1.

Să construim un poligon de distribuție al variabilei aleatoare obținute X. Pentru a face acest lucru, într-un sistem de coordonate dreptunghiular, marcați punctele (0; 0,216), (1; 0,432), (2; 0,288), (3; 0,064). Să conectăm aceste puncte cu segmente de linie, linia întreruptă rezultată este poligonul de distribuție dorit (Fig. 4.1).

2) Dacă x 0, atunci F(X)=0. Într-adevăr, pentru valori mai mici decât zero, valoarea X nu acceptă. Prin urmare, pentru toți X0 , folosind definiția F(X), primim F(X)=P(X< X) =0 (ca probabilitate a unui eveniment imposibil).

Daca 0 , apoi F(X) =0,216. Într-adevăr, în acest caz F(X)=P(X< X) = =P(- < X 0)+ P(0< X< X) =0,216+0=0,216.

Dacă luăm, de exemplu, X=0,2, atunci F(0,2)=P(X<0,2) . Dar probabilitatea unui eveniment X<0,2 равна 0,216, так как случайная величинаX doar într-un caz ia o valoare mai mică de 0,2 și anume 0 cu o probabilitate de 0,216.

Daca 1 , apoi

Într-adevăr, X poate lua valoarea 0 cu o probabilitate de 0,216 și valoarea 1 cu o probabilitate de 0,432; prin urmare, una dintre aceste valori, indiferent care, X poate accepta (conform teoremei de adunare a probabilităților de evenimente incompatibile) cu o probabilitate de 0,648.

Daca 2 , apoi, argumentând în mod similar, obținem F(X)=0,216+0,432 + + 0,288=0,936. Într-adevăr, să lăsăm, de exemplu, X=3. Apoi F(3)=P(X<3) exprimă probabilitatea unui eveniment X<3 – стрелок сделает меньше трех попаданий, т.е. ноль, один или два. Применяя теорему сложения вероятностей, получим указанное значение функцииF(X).

În cazul în care un X>3, atunci F(X)=0,216+0,432+0,288+0,064=1. Într-adevăr, evenimentul X
este de încredere și probabilitatea sa este egală cu unu și X>3 - imposibil. Dat fiind

F(X)=P(X< X) =P(X 3) + P(3< X< X) , obținem rezultatul indicat.

Deci, se obține funcția de distribuție integrală dorită a variabilei aleatoare X:

F(X) =

al cărui grafic este prezentat în fig. 4.2.

3) Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete sunt egale cu suma produselor tuturor valorilor posibile X pe probabilitățile lor:

M(X)=0=1,2.

Adică, în medie, există o lovitură la țintă cu trei lovituri.

Varianta poate fi calculată din definiția varianței D(X)= M(X- M(X)) sau folosiți formula D(X)= M(X
, ceea ce duce mai repede la obiectiv.

Să scriem legea distribuției unei variabile aleatoare X :

Găsiți așteptările matematice pentru X:

M(X ) = 04
= 2,16.

Să calculăm varianța dorită:

D(X) = M(X ) – (M(X)) = 2,16 – (1,2)= 0,72.

Abaterea pătratică medie este găsită prin formulă

(X) =
= 0,848.

Interval ( M- ; M+ ) = (1,2-0,85; 1,2+0,85) = (0,35; 2,05) - intervalul celor mai probabile valori ale variabilei aleatoare X, valorile 1 și 2 se încadrează în el.

Exemplul 4.8.

Este dată funcția de distribuție diferențială (funcția de densitate) a unei variabile aleatoare continue X:

f(X) =

1) Definiți un parametru constant A.

2) Găsiți funcția integrală F(X) .

3) Trasează grafice de funcții f(X) și F(X) .

4) Găsiți două moduri de probabilități P(0,5< X 1,5) și P(1,5< X<3,5) .

5). Găsiți așteptările matematice M(X), dispersie D(X)și abaterea standard
variabilă aleatorie X.

Soluţie

1) Funcție diferențială după proprietate f(X) trebuie să îndeplinească condiția
.

Să calculăm această integrală improprie pentru funcția dată f(X) :

Înlocuind acest rezultat în partea stângă a egalității, obținem asta A=1. In conditia pentru f(X) modifica parametrul A pe 1:

2) A găsi F(X) utilizați formula

.

Dacă x
, apoi
, Prin urmare,

Daca 1
apoi

Dacă x>2 atunci

Deci, funcția integrală dorită F(X) se pare ca:

3) Să construim grafice ale funcțiilor f(X) și F(X) (fig. 4.3 și 4.4).

4) Probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare într-un interval dat (A,b) calculate prin formula
, dacă funcția este cunoscută f(X), iar conform formulei P(A < X < b) = F(b) – F(A), dacă funcția este cunoscută F(X).

Sa gasim
folosind două formule și comparați rezultatele. După condiție a=0,5;b=1,5; funcţie f(X) specificate la paragraful 1). Prin urmare, probabilitatea dorită conform formulei este:

Aceeași probabilitate poate fi calculată prin formula b) prin creșterea obținută la punctul 2). funcţie integrală F(X) pe acest interval:

pentru că F(0,5)=0.

În mod similar, găsim

deoarece F(3,5)=1.

5) Pentru a afla așteptările matematice M(X) utilizați formula
Funcţie f(X) dat în decizia de la paragraful 1), este egal cu zero în afara intervalului (1,2]:

Dispersia unei variabile aleatoare continue D(X) este definit de egalitate

, sau egalitatea echivalentă

.

Pentru găsirea D(X) folosim ultima formulă și luăm în considerare că toate valorile posibile f(X) aparțin intervalului (1,2]:

Deviație standard
=
=0,276.

Intervalul celor mai probabile valori ale unei variabile aleatorii X egală

(M-
,M+
) = (1,58-0,28; 1,58+0,28) = (1,3; 1,86).

Așteptările matematice arată în jurul cărei măsură numerică sunt grupate valorile variabilei aleatoare. Cu toate acestea, este, de asemenea, necesar să se poată măsura variabilitatea (variabilitatea) unei variabile aleatoare în raport cu așteptarea matematică. Un astfel de indicator al variabilității este așteptarea matematică a pătratului diferenței dintre variabila aleatoare și așteptarea ei matematică, și anume M [(X - M [X]) 2].

Definiție. varianța unei variabile aleatoare x este numărul 14 DX] = M [(XM [X]) 2], (3.30)

sau DX] = ±f(x t) o(*,-M[X]) 2.

În figura 3.26 sunt prezentate formule de calcul a distribuției - probabilitate statistică fx;) - precum și indicatori: așteptare matematică M [X](celula E9) și varianța D [X] (celula G9).

14 Ne propunem să comparăm această definiție cu definiția varianței eșantionului

Orez. 3.26. Formule pentru calcularea m [x] și 0 [X] Tabelul din fig. 3.27 prezintă rezultatele calculării așteptării matematice m [x]și dispersie 0 [X] conform exemplului 3.14, precum și histograma distribuției m [x]= 4,00 (celula E9) și varianța 0 [X] = 1,00 (celula B9).

Așteptările matematice arată că valoarea variabilei aleatoare X grupate în jurul valorii de 4,00, al căror număr este de 50% din total. Cu toate acestea, alte date pot fi grupate în jurul aceleiași valori.

Orez. 3.27. Tabel și histograma distribuției cu A / [X] = 4,00 și £> [X] = 1,00

Din fig. 3.28 se poate observa că pentru așteptarea matematică [x] = 4,00, dispersia £> [X] = 2,32 este de două ori mai mare decât conform datelor din fig. 3.28. 3.27. Histograma corespunzătoare indică, de asemenea, o variabilitate semnificativă.

Orez. 3.28. Tabel și histograma distribuției cu M[X]=4,00 și £>[X]=2,32

Ne propunem să comparăm tabelele și graficele din Fig. 3.27 și 3.28 și trageți concluzii. Proprietăți dispersie variabile aleatoare care sunt utilizate constant în metodele statistice probabilistice:

o dacă X- variabilă aleatoare, a și b - unele numere, B = ax + b, apoi

D= a 2 D[X] (3,31)

(aceasta înseamnă că numărul a ca parametru de scară afectează semnificativ varianța, în timp ce numărul b - parametrul de schimbare nu afectează valoarea varianței);

o dacă X 1, X 2, X n sunt variabile aleatoare independente pe perechi (adică X t și X sunt independente pentru i Ф j), atunci varianța sumei este egală cu suma varianțelor

D = D + D + ... + D . (3,32)

Relația dintre așteptări (3.25) și varianță (3.32) este importantă în studiul proprietăților eșantionului, deoarece rezultatele observațiilor sau măsurătorilor eșantionului sunt luate în considerare în statistici matematice, ca realizări ale variabilelor aleatoare independente.

Un alt indicator al variabilității este strâns legat de varianța unei variabile aleatoare - abaterea standard.

Definiție. Abaterea standard a unei variabile aleatoare x este un număr integral

SD [X]= +VD[X]. (3,33)

Asa de, deviație standard legate clar de dispersie.

În teoria și practica cercetării statistice, un rol important joacă și funcțiile speciale - așa-numitele momente (inițiale și centrale), care sunt caracteristice ale variabilelor aleatoare.

Definiție. Momentul inițial de ordinul k al variabilei aleatoare X așteptarea matematică a puterii k a acestei mărimi se numește:

~ K=M. 15 (3.34)

Definiție. Momentul central de ordinul k al variabilei aleatoare X se numește așteptarea matematică a k-lea grad de abatere a acestei valori x de la așteptarea ei matematică:

m = m k, unde a = M[X].

Pentru a desemna momentul variabilelor aleatoare, folosim aceleași litere ca și pentru momentul seriei variaționale, dar cu un semn suplimentar ~ („tilde”).

Formule pentru calcularea momentelor discrete (care iau valorile X iar cu probabilitate p) și continuă (cu densitate de probabilitate / x)) aleatorie

valorile sunt date în tabel. 3.4.

Tabelul 3.4

Formule pentru calcularea momentelor variabilelor aleatoare

În ceea ce privește șirurile variaționale, momentele variabilelor aleatoare discrete au o semnificație similară:

Primul moment de pornire(¿= 1) variabilă aleatoare Heh a ei așteptări matematice:

~ 1 = M [X] = s. (3.36)

Al doilea moment central(¿= 2) determină varianța 0 [X] a variabilei aleatoare x:

W d(chi - a) 2 g. u \u003d TsH] \u003d (T 2. (3.37)

Al treilea moment central(¿= 3) caracterizează asimetria distribuției variabilei aleatoare x:

P

Coeficient de asimetrie iar distribuția variabilei aleatoare x are forma:

G \u003d ~ X (chi "a) 3 R și = A. (3,38)

Al patrulea moment central(¿= 4) caracterizează abruptul distribuţiei variabilei aleatoare.

Pe baza unei comparații a valorilor momentelor teoretice și ale eșantionului, sunt estimați parametrii distribuțiilor variabilelor aleatoare (a se vedea, de exemplu, secțiunile 4 și 5).

După cum sa menționat mai sus, în statistica matematică sunt utilizate două linii paralele de indicatori: prima este legată de practică (aceștia sunt indicatori eșantion), a doua se bazează pe teorie (aceștia sunt indicatori ai unui model probabilistic). Raportul dintre acești indicatori este prezentat în tabel. 3.5.

Tabelul 3.5

Corelația dintre indicatorii eșantionului empiric și modelul probabilistic

Tabelul 3.5 a continuat

Deci, scopul statisticii descriptive este de a transforma un set de date empirice eșantion într-un sistem de indicatori - așa-numitele statistici legate de obiecte din viața reală. Deci, psihologii, profesorii și alți specialiști lucrează în sfera reală, ale cărei obiecte sunt indivizi, grupuri de indivizi, echipe, ale căror caracteristici sunt indicatori empilici. Cu toate acestea, scopul principal al studiului este obținerea de noi cunoștințe, iar cunoștințele există într-o formă ideală sub forma caracteristicilor modelelor teoretice. Aceasta ridică problema unei tranziții corecte de la indicatorii empiric ai obiectelor reale la indicatorii unui model teoretic. Această tranziție necesită o analiză atât a abordărilor metodologice generale, cât și a fundamentelor matematice riguroase. Posibilitatea fundamentală aici este deschisă de legea numerelor mari, a cărei fundamentare teoretică a fost oferită de Jacob Bernoulli (1654-1705), Pafnuty Lvovich Cebyshev (1821-1894) și alți matematicieni ai secolului al XIX-lea.

Întrebare. O sarcină.

1. Extindeți conceptul de variabilă aleatoare.

2. Care este diferența dintre variabilele aleatoare discrete și continue?

3. Din ce elemente constă spațiul de probabilitate?

4. Cum se construiește distribuția unei variabile aleatoare discrete?

5. Cum sunt legate funcția de densitate A (x) și funcția de distribuție B (x)?

6. Oferiți o interpretare geometrică a integralei B(co) = | L(x) cx = 1.