Conexiune diferențială completă cu derivate parțiale. Derivate și diferențiale. Sistematizăm reguli elementare aplicate
transcriere
1 PRELEGERE N Diferenţială totală, derivate parţiale şi diferenţiale de ordin superior Diferenţial total Diferenţiale parţiale Derivate parţiale de ordin superior Diferenţiale de ordin superior 4 Derivate ale funcţiilor complexe 4 Diferenţial total Diferenţiale parţiale Dacă funcţia z=f(,) este diferenţiabilă, atunci diferenţial total dz este egal cu dz=a +B () z z Notând că A=, B =, scriem formula () în următoarea formă z z dz= + () ; d= După aceea, formula diferenţialului total al funcţiei va lua forma z z dz= d + d () d + d n variabile, apoi du= d (d =) = Expresia d z=f (,)d (4) se numește diferența parțială a funcției z=f(,) față de variabilă; expresia d z=f (,)d (5) se numește diferența parțială a funcției z=f(,) față de variabila Din formulele (), (4) și (5) rezultă că diferența totală a o funcție este suma diferențelor sale parțiale: dz=d z+d z incrementul z= z z + + α (,) + β (,) diferă de partea sa liniară dz= z z + numai prin suma ultimilor termeni α + β, care la 0 și 0 sunt de ordin infinitezimal mai mare decât termenii părții liniare. Prin urmare, când dz 0, partea liniară a incrementului funcției diferențiabile se numește partea principală a incrementului funcției și formula aproximativă z se folosește dz, care va fi cu cât mai precis, cu atât valoarea absolută a incrementelor argumentelor este mai mică,97 Exemplu Calculați aproximativ arctan(),0
2 Soluție Luați în considerare funcția f(,)=arctg() Folosind formula f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0) + dz, obținem arctg(+) arctg() + [ arctg() ] + [ arctg()] sau + + arctg() arctg() () + () Fie =, =, apoi =-0,0, =0,0 Prin urmare, (0,0 0,0 arctg) arctg() + (0,0) 0,0 = arctan 0,0 = + 0,0 + () + () π = 0,05 0,0 0,75 4 Se poate arăta că eroarea rezultată din aplicarea formulei aproximative z dz nu depășește numărul = M (+), unde M cea mai mare valoare valori absolute ale derivatelor parțiale a doua f (,), f (,), f (,) când argumentele se schimbă de la la + și de la la + Derivate parțiale de ordin superior Dacă funcția u=f(, z) are într-un domeniu (deschis) D derivată parțială față de una dintre variabile, atunci derivata găsită, fiind ea însăși o funcție a lui, z, poate, la rândul său, la un moment dat (0, 0, z 0) să aibă derivate parțiale cu față de aceeași variabilă sau orice altă variabilă Pentru funcția originală u=f (, z) aceste derivate vor fi derivate parțiale de ordinul doi.Dacă prima derivată a fost luată, de exemplu, în raport cu, atunci derivata ei în raport cu , z se notează după cum urmează: 0, z0) = ; = ; = sau u, u, u z z z Derivatele ordinelor a treia, a patra și așa mai departe sunt definite în mod similar. Rețineți că derivata parțială de ordin superior, preluate diverse variabile, de exemplu, ; numită derivată parțială mixtă Exemplu u= 4 z, atunci, u =4 z ; u = 4z; u z = 4 z; u = z u=64z; uzz = 4; u = z u = z u z = 4 z; uz =8 z; uz =6 4 z; u z =6 4 z funcția f(,) este definită într-un domeniu (deschis) D,) în acest domeniu există derivate prime f și f, precum și derivate secundare mixte f și f și, în final,) aceste ultime derivate f și f, ca funcții ale lui u, sunt continue într-un anumit punct (0, 0) al regiunii D Atunci în acest punct f (0, 0)=f (0, 0) Demonstrație Luați în considerare expresia
3 f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 + f (0, 0) W=, unde, sunt diferite de zero, de exemplu, sunt pozitive și, în plus, sunt atât de mici încât D conține întregul dreptunghi [ 0, 0 +; 0, 0 +] 0 +) (, 0) ()= și deci continuu Cu această funcție f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0) f (0, 0) expresia W, care este egală cu W= poate fi rescrisă sub forma: ϕ (0 +) ϕ (0) W= deci: W=ϕ (0 + θ, 0 f (0 + θ, 0) (0 + θ)= (0<θ<) Пользуясь существованием второй производной f (,), снова применим формулу конечных приращений, на этот раз к функции от: f (0 +θ,) в промежутке [ 0, 0 +] Получим W=f (0 +θ, 0 +θ), (0<θ <) Но выражение W содержит и, с одной стороны, и и, с другой, одинаковым образом Поэтому, можно поменять их роли и, введя вспомогательную функцию: Ψ()= f (0 +,) f (0,), путем аналогичных рассуждений получить результат: W=f (0 +θ, 0 +θ) (0<θ, θ <) Из сопоставления () и (), находим f (0 +θ, 0 +θ)=f (0 +θ, 0 +θ) Устремив теперь и к нулю, перейдем в этом равенстве к пределу В силу ограниченности множителей θ, θ, θ, θ, аргументы и справа, и слева стремятся к 0, 0 А тогда, в силу (), получим: f (0, 0)=f (0, 0), что и требовалось доказать Таким образом, непрерывные смешанные производные f и f всегда равны Общая теорема о смешанных производных Пусть функция u=f(, n) от переменных определена в открытой n-мерной области D и имеет в этой области всевозможные частные производные до (n-)-го порядка включительно и смешанные производные n-го порядка, причем все эти производные непрерывны в D При этих условиях значение любой n-ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования Дифференциалы высших порядков Пусть в области D задана непрерывная функция u=f(, х), имеющая непрерывные частные производные первого порядка Тогда, du= d + d + + d
4 Vedem că du este și o funcție de, Dacă presupunem existența unor derivate parțiale continue de ordinul doi pentru u, atunci du va avea derivate parțiale continue de ordinul întâi și putem vorbi despre diferența totală a acestei diferențiale du , d(du), care se numește diferențială de ordinul doi (sau diferențială a doua) a lui u; se notează cu d u Subliniem că incrementele d, d, d sunt considerate constante și rămân aceleași la trecerea de la o diferență la alta (mai mult, d, d va fi zero) Deci, d u=d(du)=d (d + d + + d) = d() d + d() d + + d() d sau d u = (d + d + d + + d) d + + (d + d + = d + d + + d + dd + dd + + dd + + În mod similar, se definește diferența de ordinul trei d u și așa mai departe Dacă funcția u are derivate parțiale continue de toate ordinele până la și inclusiv al n-a, atunci existența a n-a diferenţială este garantată.Dar expresiile pentru ele devin din ce în ce mai complexe Putem simplifica notaţia Să scoatem „litera u” din expresia primei diferenţiale Apoi, notaţia va fi simbolică: du=(d + d + + d) u ; d u=(d + d + + d) u ; d n n u=(d + d + + d) u, care trebuie înțeles astfel: în primul rând, „polinomul” dintre paranteze este ridicat formal la o putere conform regulilor algebrei, atunci toți termenii rezultați sunt „înmulțiți” cu u (care se adaugă la n în numărătorii de la) , și numai după aceea toate simbolurile își returnează valoarea ca derivate și diferențiale u d) d u pe variabila t într-un anumit interval: =ϕ(t), =ψ(t), z=λ(t) Fie, în plus, ca t se modifică, punctele (, z) nu depășesc regiunea D Înlocuind valorile, și z în funcția u, obținem o funcție complexă: u=f(ϕ(t), ψ(t), λ(t)) Să presupunem că u are derivate parțiale continue u, u și u z în și z și că t, t și z t există Atunci este posibil să se demonstreze existența unei derivate a unei funcții complexe și să o calculeze. Dăm variabilei t un increment t , atunci, și z vor primi creșteri, respectiv, și z, funcția u va primi o creștere u Să reprezentăm incrementul funcției u sub forma: (asta se poate face, deoarece am presupus existența unor derivate parțiale continue u, u și u z) u=u +u +u z z+α +β +χ z, unde α, β, χ 0 at, z 0 Împărțim ambele parte a egalității pe t, obținem u z z = u + u + uz + α + β + χ t t t t t t t t 4
5 Să lăsăm acum incrementul t să se apropie de zero: atunci, z va tinde spre zero, deoarece funcțiile, z ale lui t sunt continue (am presupus existența derivatelor t, t, z t) și, prin urmare, α, β, χ de asemenea, tind la zero În limita se obține u t =u t +u t +u z z t () Vedem că în baza ipotezelor făcute, derivata funcției complexe există într-adevăr , z în mai multe variabile t: =ϕ(t, v), = ψ(t, v), z=χ(t, v) Pe lângă existența și continuitatea derivatelor parțiale ale funcției f(, z), presupunem aici existența unor derivate de funcții, z față de t și v Aceasta cazul nu diferă semnificativ de cel deja luat în considerare, deoarece la calcularea derivatei parțiale a unei funcții de două variabile, fixăm una dintre variabile și rămânem cu o funcție a unei singure variabile, formula () va fi cea același z și () trebuie rescrise ca: = + + (a) t t t z t z = + + (b) v v v z v Exemplu u= ; =ϕ(t)=t; =ψ(t)=cos t u t = - t + ln t = - t- ln sint 5
Funcții ale mai multor variabile În multe întrebări de geometrie a științelor naturii și a altor discipline, trebuie să se ocupe de funcții a două trei sau mai multe variabile Exemple: Aria unui triunghi S a h unde a este baza
13. Derivate parțiale ale ordinelor superioare Fie = au și definite pe D O. Funcțiile și sunt numite și derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții sau derivate parțiale primare ale unei funcții. si in general
Aplicație Definiția derivatei Fie și valorile argumentului, și f) și f) - ((valorile corespunzătoare ale funcției f () Diferența se numește increment al argumentului, iar diferența este incrementul funcției pe interval,
Exercițiu practic DIFERENȚIAREA UNEI FUNCȚII COMPLEXE ȘI IMPLICITE Diferențierea unei funcții complexe Diferențierea unei funcții implicite dată de o ecuație Sisteme de date implicite și parametrice
FUNCȚIILE MULTIPLE VARIABILE Funcțiile unei variabile independente nu acoperă toate dependențele care există în natură. Prin urmare, este firesc să extindem binecunoscutul concept de dependență funcțională și să introducem
6 Funcții implicite 6.1 Definiții, context
1. Concepte de bază. Funcțiile mai multor variabile. Vom studia funcția mai multor variabile folosind exemple de funcții a două și trei variabile, deoarece toate aceste definiții și rezultatele obținute
2.2.7. Aplicarea diferenţialului la calcule aproximative. Diferenţialul funcţiei y = depinde de x şi este partea principală a incrementului x. Puteți folosi și formula: dy d Apoi eroarea absolută:
Cursul 9. Derivate și diferențiale de ordin superior, proprietățile lor. Punctele extreme ale funcției. teoremele lui Fermat și Rolle. Fie funcția y diferențiabilă pe un anumit interval [b]. În acest caz, derivatul său
5 Punctul în care nu există F F F sau cel puțin una dintre aceste derivate se numește punct singular al suprafeței.Într-un astfel de punct, suprafața poate să nu aibă un plan tangent Definiție Normală la suprafață
INTEGRALA DEFINITA. Sume integrale și integrală definită Fie o funcție y = f () definită pe segmentul [, b ], unde< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных
ECUAȚII DIFERENȚIALE ORDINARE DE ORDINUL I. Concepte de bază O ecuație diferențială este o ecuație în care o funcție necunoscută intră sub semnul derivat sau diferențial.
6. Diferenţialul unei funcţii 1. Definiţie şi semnificaţie geometrică DEFINIŢIE. O functie y = f(x) se numeste diferentiabila intr-un punct x 0 daca incrementul ei in acest punct poate fi scris ca suma unui liniar
Prelegeri Capitolul Funcțiile mai multor variabile Concepte de bază Unele funcții ale mai multor variabile sunt bine cunoscute Să dăm câteva exemple Pentru a calcula aria unui triunghi, se cunoaște formula lui Heron S
~ 1 ~ FUNCȚIA MULTIPLE VARIABILE 3 Funcția a două variabile, domeniul de definire, modalități de specificare și semnificație geometrică. Definiție: z f, se numește funcție a două variabile, dacă fiecare pereche de valori,
Ecuații diferențiale de ordinul întâi rezolvate în raport cu derivata Teorema existenței și unicității pentru o soluție În cazul general, o ecuație diferențială de ordinul întâi are forma F ()
Cursul 3 Extremul unei funcții a mai multor variabile Fie definită o funcție a mai multor variabile u = f (x, x) în domeniul D, iar punctul x (x, x) = aparține acestui domeniu Funcția u = f ( x, x) are
Modul Subiect Secvențe de funcții și serii Proprietăți de convergență uniformă a secvențelor și a seriilor Serii de putere Curs Definiții de secvențe de funcții și serii uniform
9 Derivată și diferențială 91 Formule de bază și definiții pentru rezolvarea problemelor Definiție Fie funcția y f () este definită pe o f (Δ) f () Δy vecinătate a punctului Limită de relație pentru Δ Δ Δ, dacă
1 Tema 1. Ecuații diferențiale de ordinul întâi 1.0. Definiții și teoreme de bază Ecuație diferențială de ordinul întâi: variabilă independentă; y = y() este funcția dorită; y = y () derivata sa.
Cursul 8 Diferențierea unei funcții complexe Considerăm o funcție complexă t t t f unde ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t t
UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE STAT DE AVIIAȚIE CIVILĂ MOSCOVA V.M. Lyubimov, E.A. Jukova, V.A. Uhova, Yu.A. Şurinov
II ECUAȚII DIFERENȚIALE Ecuații diferențiale de ordinul întâi Definiție Relațiile în care variabilele necunoscute și funcțiile lor sunt sub semnul derivat sau diferențial se numesc
6 Probleme care duc la conceptul de derivată Fiți un punct material să se miște în linie dreaptă într-o direcție conform legii s f (t), unde t este timpul și s este calea parcursă de punctul în timp t Rețineți un anumit moment
Cursul 3. Integrală nedefinită. Antiderivată și integrală nedefinită În calculul diferențial se rezolvă problema: pentru o funcție dată f () găsiți derivata (sau diferențiala). Calcul integral
1 Cursul 7 Derivate și diferențiale de ordin superior Rezumat: Se introduce conceptul de funcție diferențiabilă, se dă o interpretare geometrică a primei diferențiale și se demonstrează invarianța acesteia
Funcții ale mai multor argumente Conceptul de funcție pentru fiecare element x din mulțimea X conform unei legi y \u003d f (x) este asociat cu o singură valoare a variabilei y din mulțimea Y la fiecare pereche de numere
Compilat de VPBelkin 1 Curs 1 Funcția mai multor variabile 1 Concepte de bază Dependența \u003d f (1, n) a unei variabile de variabilele 1, n se numește funcție a n argumente 1, n În cele ce urmează, vom lua în considerare
ECUATII DIFERENTIALE Concepte generale Ecuatiile diferentiale au aplicatii numeroase si foarte diverse in mecanica, fizica, astronomie, tehnologie si in alte ramuri ale matematicii superioare (de exemplu,
I Definirea unei funcții a mai multor variabile Domeniul de definiție Când studiem mai multe fenomene, trebuie să ne ocupăm de funcții a două sau mai multe variabile independente, de exemplu temperatura corpului la un moment dat.
Cursul 8 Teoremele lui Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange si L'Hospital
SA Lavrenchenko wwwlawrencenkoru Cursul 4 Diferențierea funcțiilor complexe Diferențierea implicită Reamintim regula de diferențiere pentru funcțiile unei variabile, numită și regula lanțului (vezi
Secțiune Calcul diferențial al funcțiilor uneia și mai multor variabile Funcția argument real Numere reale Numerele întregi pozitive se numesc numere naturale Adăugați la numerele naturale
Atelier: „Diferențiabilitate și diferențială a unei funcții” Dacă funcția y f () are o derivată finită într-un punct, atunci incrementul funcției în acest punct poate fi reprezentat ca: y (,) f () () (), unde () la
Curs Ecuații diferențiale de ordinul al treilea Principalele tipuri de ecuații diferențiale de ordinul al treilea și soluția lor Ecuațiile diferențiale sunt unul dintre cele mai comune mijloace de matematică
TEMA 1 FUNCȚIA DERIVATĂ FUNȚIA DIFERENȚIALĂ PROGRAMUL ÎNTREBĂRI: 11 Conexiune funcțională Limită funcție 1 Derivată funcție 1 Semnificația fizică și geometrică mecanică a derivatei 14 De bază
M I N I S T E R S T O E D U R A O V A N I A I A N A U K I R O S S I O Y F E D E R A T I O INSTITUȚIE DE ÎNVĂȚĂMÂNT AUTONOM DE STAT FEDERAL DE ÎNVĂȚĂMÂNT SUPERIOR „Cercetare Națională
DISCIPLINĂ Curs „Matematică superioară”, semestru Forma de studiu prin corespondență TEMA Matrix Algebra
V.V. Zhuk, A.M. Kamachkin Diferențiabilitatea funcțiilor mai multor variabile. Diferențiabilitatea unei funcții într-un punct. Condiții suficiente de diferențiabilitate în ceea ce privește derivatele parțiale. Diferențierea complexă
Capitolul 4 Limita unei funcţii 4 1 CONCEPTUL DE LIMITE A UNEI FUNCŢII Acest capitol se concentrează pe conceptul de limită a unei funcţii. S-a definit care este limita unei funcții la infinit și apoi limita într-un punct, limite
PRELARE 23 TRANSFORMĂRI CANONICE. TEOREMA LUI LIOUVILLE PRIVIND CONSERVAREA VOLUMULUI FAZELOR. FUNCȚIA GENERATORĂ A TRANSFORMĂRII LIBERE Continuăm să studiem transformările canonice. Să ne amintim mai întâi principalul
Departamentul de Matematică și Informatică Analiză matematică Complex educațional și metodologic pentru studenții HPE care studiază cu utilizarea tehnologiilor la distanță Modulul 3 Calcul diferențial al funcțiilor unui
55 este la o valoare infinitezimală de ordin mai mare a micșorării în comparație cu ρ n (,), unde ρ () + (), atunci poate fi reprezentat în forma Peano n R, ρ Exemplu Scrieți formula Taylor pentru n cu
Subiect Integrală definită Integrală definită Probleme care duc la conceptul de integrală definită Problema calculării ariei unui trapez curbiliniu În sistemul de coordonate Oxy, este dat un trapez curbiliniu,
5 Seria de puteri 5 Seria de puteri: definiție, domeniul de convergență Seria de funcții de forma (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) numerele se numesc serii de puteri Numere
Seria numerică Secvența numerică Opr O secvență numerică este o funcție numerică definită pe mulțimea numerelor naturale x - un membru comun al șirului x =, x =, x =, x =,
Ecuații diferențiale curs 4 Ecuații în diferențiale totale. Factorul integrator Lector Anna Igorevna Sherstneva 9. Ecuații în diferențiale totale Ecuația d + d = 14 se numește ecuație
Facultatea de Metalurgie Departamentul de Matematică Superioară
Analiza matematică Secțiunea: Funcția mai multor variabile Tema: Diferențiabilitatea FNP (sfârșit. Derivate parțiale și diferențiale ale FNP complexe. Diferențierea funcțiilor implicite Lector Rozhkova S.V.
(Teorema lui Fermat - teorema lui Darboux - teorema lui Rolle - teorema lui Lagrange teorema valorii medii - interpretarea geometrică a teoremei valorii medii - teorema lui Cauchy - formula de increment finit - regula lui L'Hopital
Capitolul 4 Teoreme fundamentale ale calculului diferenţial Dezvăluirea incertitudinilor Teoreme fundamentale ale calculului diferenţial Teorema lui Fermat (Pierre Fermat (6-665) matematician francez) Dacă funcţia y f
CURTEA 7 CALCULUL DIFERENȚIAL AL O FUNCȚIE A UNEI VARIABILE 1 Conceptul de derivată a unei funcții
Ministerul Educației al Republicii Belarus Subiectul Universității Tehnologice de Stat din Vitebsk. „Rânduri” Catedra de Matematică Teoretică și Aplicată. dezvoltat de Conf. univ. E.B. Dunina. Principal
Cursul 3 Seria Taylor și Maclaurin Aplicarea serii de puteri Extinderea funcțiilor în serii de puteri Seria Taylor și Maclaurin Pentru aplicații, este important să puteți extinde o funcție dată într-o serie de puteri, acele funcții
58 Integrală determinată Fie dată pe interval funcția () Vom considera funcția continuă, deși acest lucru nu este necesar. Alegem numere arbitrare pe interval, 3, n-, îndeplinind condiția:
Ecuații diferențiale de ordin superior. Konev V.V. Planuri de prelegere. Cuprins 1. Concepte de bază 1 2. Ecuații care permit reducerea ordinului 2 3. Ecuații diferențiale liniare de ordin superior
Curs 20 TEOREMA PRIVIND DERIVATA UNEI FUNCȚII COMPLEXE. Fie y = f(u) și u= u(x). Obținem o funcție y în funcție de argumentul x: y = f(u(x)). Ultima funcție se numește funcție a unei funcții sau funcție complexă.
Diferențierea unei funcții implicite Luați în considerare funcția (,) = C (C = const) Această ecuație definește o funcție implicită () Să presupunem că am rezolvat această ecuație și am găsit o expresie explicită = () Acum putem
Institutul de Aviație din Moscova (Universitatea Națională de Cercetare) Departamentul de Matematică Superioară Limite Derivate Funcții ale mai multor variabile Orientări și opțiuni de control
LUCRĂRI DE LABORATOR 7 FUNCȚII GENERALIZATE I. CONCEPTE ȘI TEOREME DE BAZĂ Se notează cu D mulțimea tuturor funcțiilor finite infinit derivabile ale unei variabile reale. aceasta
Capitolul 3. Investigarea funcţiilor cu ajutorul derivatelor 3.1. Extreme și monotonitate Se consideră o funcție y = f () definită pe un interval I R. Se spune că are un maxim local în punctul
Universitatea Tehnică de Stat din Moscova numită după N.E. Bauman Facultatea de Științe Fundamentale Departamentul de Modelare Matematică А.Н. Kanatnikov,
Orientări și variante ale RGR pe tema Funcția mai multor variabile pentru studenții specialității Design. Dacă cantitatea este determinată în mod unic prin stabilirea valorilor cantităților și independent unele de altele,
Universitatea Tehnică de Stat din Moscova numită după N.E. Bauman Facultatea de Științe Fundamentale Departamentul de Modelare Matematică А.Н. Kanatnikov, A.P. Kryshenko
INSTRUCȚIUNI METODOLOGICE PENTRU SARCINI DE CALCUL LA CURSUL DE MATEMATICĂ SUPERIOR „SERIA DE ECUAȚII DIFERENȚIALE ORDINARE INTEGRALE DUBLE” PARTEA III SERIE TEMATICĂ Cuprins Serie Seria numerică Convergență și divergență
Limita functiei. Definirea limitei secvenței numerice. O secvență numerică infinită (sau pur și simplu o secvență numerică) este o funcție f f (, definită pe mulțimea tuturor
Curs 19 DERIVATIVUL ŞI APLICAŢIILE EI. DEFINIȚIA DERIVATULUI. Să avem o funcție y=f(x) definită pe un anumit interval. Pentru fiecare valoare a argumentului x din acest interval, funcția y=f(x)
Calcul diferenţial al funcţiilor mai multor variabile Funcţiile mai multor variabile O mărime se numeşte funcţie a variabilelor n dacă fiecărui punct M n aparţinând unei mulţimi X este atribuit
PRELARE N 7 .Puterea
Cursul 3 Teorema de existență și unicitate pentru o soluție a unei ecuații scalare Enunțul problemei Rezultatul principal Să considerăm problema Cauchy d f () d =, () =
Agenția Federală pentru Educație Universitatea de Stat de Geodezie și Cartografie din Moscova (MIIGAiK) INSTRUCȚIUNI METODOLOGICE ȘI SARCINI PENTRU MUNCĂ INDEPENDENTĂ la cursul MATEMATICĂ SUPERIORĂ
Fiecare derivată parțială (peste Xși prin y) a unei funcții a două variabile este derivata obișnuită a unei funcții a unei variabile cu o valoare fixă a celeilalte variabile:
(Unde y= const),
(Unde X= const).
Prin urmare, derivatele parțiale sunt calculate din formule și reguli pentru calcularea derivatelor funcțiilor unei variabile, în timp ce se consideră cealaltă variabilă ca o constantă (constant).
Dacă nu aveți nevoie de o analiză a exemplelor și de teoria minimă necesară pentru aceasta, dar aveți nevoie doar de o soluție la problema dvs., atunci treceți la calculator de derivate parțiale online .
Dacă este greu să vă concentrați pe urmărirea locului în care se află constanta în funcție, atunci puteți înlocui orice număr din schița de soluție a exemplului în loc de o variabilă cu o valoare fixă - atunci puteți calcula rapid derivata parțială ca fiind obișnuită. derivată a unei funcții a unei variabile. Este necesar doar să nu uitați să returnați constanta (o variabilă cu o valoare fixă) la locul ei la terminare.
Proprietatea derivatelor parțiale descrisă mai sus rezultă din definiția derivatelor parțiale, care poate fi găsită în întrebările de examen. Prin urmare, pentru a vă familiariza cu definiția de mai jos, puteți deschide referința teoretică.
Conceptul de continuitate a unei funcții z= f(X, y) într-un punct este definit în mod similar cu acest concept pentru o funcție a unei variabile.
Funcţie z = f(X, y) se numeste continuu intr-un punct daca
Diferența (2) se numește increment total al funcției z(se obține prin incrementarea ambelor argumente).
Lasă funcția z= f(X, y) și punct
Dacă funcția se schimbă z apare atunci când doar unul dintre argumente se schimbă, de exemplu, X, cu o valoare fixă a celuilalt argument y, atunci funcția va fi incrementată
numită increment parțial al funcției f(X, y) pe X.
Având în vedere schimbarea funcției zîn funcție de schimbarea doar a unuia dintre argumente, trecem de fapt la o funcție a unei variabile.
Dacă există o limită finită
atunci se numește derivată parțială a funcției f(X, y) prin argumentare Xși este notat cu unul dintre simboluri
(4)
Creșterea parțială este definită în mod similar z pe y:
și derivată parțială f(X, y) pe y:
(6)
Exemplul 1
Soluţie. Găsim derivata parțială față de variabila „x”:
(y fix);
Găsim derivata parțială față de variabila „y”:
(X fix).
După cum puteți vedea, nu contează în ce măsură variabila este fixă: în acest caz, este doar un număr care este un factor (ca și în cazul derivatei obișnuite) cu variabila prin care găsim parțialul. derivat. Dacă variabila fixă nu este înmulțită cu variabila față de care găsim derivata parțială, atunci această constantă singură, indiferent în ce măsură, ca în cazul unei derivate obișnuite, dispare.
Exemplul 2 Dată o funcție
Găsiți derivate parțiale
(prin x) și (prin y) și calculați valorile lor la punctul DAR (1; 2).
Soluţie. La un fix y derivata primului termen se găsește ca derivată a funcției putere ( tabelul funcțiilor derivate ale unei variabile):
.
La un fix X derivata primului termen se găsește ca derivată a funcției exponențiale, iar al doilea - ca derivată a constantei:
Acum calculăm valorile acestor derivate parțiale la punctul DAR (1; 2):
Puteți verifica soluția problemelor cu derivate parțiale activate calculator de derivate parțiale online .
Exemplul 3 Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor
Soluţie. Într-un singur pas găsim
(y X, de parcă argumentul sinelui ar fi 5 X: la fel, 5 apare înaintea semnului funcției);
(X este fix și este în acest caz un factor la y).
Puteți verifica soluția problemelor cu derivate parțiale activate calculator de derivate parțiale online .
Derivatele parțiale ale unei funcții de trei sau mai multe variabile sunt definite în mod similar.
Dacă fiecare set de valori ( X; y; ...; t) variabile independente din mulţime D corespunde unei anumite valori u din multi E, apoi u se numeste functie de variabile X, y, ..., t si denota u= f(X, y, ..., t).
Pentru funcțiile a trei sau mai multe variabile, nu există o interpretare geometrică.
Derivatele parțiale ale unei funcții a mai multor variabile sunt, de asemenea, definite și calculate în ipoteza că numai una dintre variabilele independente se modifică, în timp ce celelalte sunt fixe.
Exemplul 4 Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor
.
Soluţie. yși z fix:
Xși z fix:
Xși y fix:
Găsiți singur derivate parțiale și apoi vedeți soluții
Exemplul 5
Exemplul 6 Găsiți derivate parțiale ale unei funcții.
Derivata parțială a unei funcții a mai multor variabile are același lucru sens mecanic ca derivată a unei funcții a unei variabile, este rata cu care funcția se modifică în raport cu o modificare a unuia dintre argumente.
Exemplul 8 cantitatea de curgere P călătorii feroviari pot fi exprimați ca o funcție
Unde P- numărul de pasageri, N- numărul de rezidenți ai punctelor corespunzătoare, R- distanta dintre puncte.
Derivată parțială a unei funcții P pe R egal cu
arată că scăderea fluxului de pasageri este invers proporțională cu pătratul distanței dintre punctele corespunzătoare pentru același număr de locuitori în puncte.
Derivată parțială P pe N egal cu
arată că creșterea fluxului de pasageri este proporțională cu dublul numărului de locuitori ai așezărilor cu aceeași distanță între puncte.
Puteți verifica soluția problemelor cu derivate parțiale activate calculator de derivate parțiale online .
Diferenţial complet
Produsul derivatei parțiale și incrementul variabilei independente corespunzătoare se numește diferențială parțială. Diferențele parțiale se notează după cum urmează:
Suma diferenţialelor parţiale pentru toate variabilele independente dă diferenţialul total. Pentru o funcție a două variabile independente, diferența totală este exprimată prin egalitate
(7)
Exemplul 9 Găsiți diferența completă a unei funcții
Soluţie. Rezultatul utilizării formulei (7):
O funcție care are o diferență totală în fiecare punct al unui domeniu se numește diferențiabilă în acel domeniu.
Găsiți singur diferența totală și apoi vedeți soluția
La fel ca și în cazul unei funcții a unei variabile, diferențiabilitatea unei funcții într-o anumită regiune implică continuitatea acesteia în această regiune, dar nu invers.
Să formulăm fără dovezi o condiție suficientă pentru derivabilitatea unei funcții.
Teorema. Dacă funcţia z= f(X, y) are derivate parțiale continue
într-o regiune dată, atunci este diferențiabilă în această regiune și diferența sa este exprimată prin formula (7).
Se poate demonstra că, la fel ca în cazul unei funcții a unei variabile, diferența funcției este partea liniară principală a incrementului funcției, deci în cazul unei funcții de mai multe variabile, diferența totală este principala, liniară în raport cu incrementele variabilelor independente, parte din incrementul total al funcției.
Pentru o funcție de două variabile, incrementul total al funcției are forma
(8)
unde α și β sunt infinitezimale pentru și .
Derivate parțiale de ordin superior
Derivate parțiale și funcții f(X, y) sunt ele însele unele funcții ale acelorași variabile și, la rândul lor, pot avea derivate față de diferite variabile, care sunt numite derivate parțiale de ordin superior.
Derivate parțiale ale funcțiilor a două variabile.
Concept și exemple de soluții
În această lecție, vom continua cunoașterea funcției a două variabile și vom lua în considerare, probabil, cea mai comună sarcină tematică - găsirea derivate parțiale de ordinul întâi și al doilea, precum și diferența totală a funcției. Studenții cu fracțiune de normă, de regulă, se confruntă cu derivate parțiale în anul 1 în semestrul 2. Mai mult decât atât, conform observațiilor mele, sarcina de a găsi derivate parțiale se regăsește aproape întotdeauna în examen.
Pentru a studia eficient următorul material, tu necesar să poată găsi mai mult sau mai puțin cu încredere derivatele „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile. Puteți învăța cum să gestionați corect derivatele în lecții Cum să găsesc derivatul?și Derivată a unei funcții complexe. De asemenea, avem nevoie de un tabel de derivate ale funcțiilor elementare și reguli de diferențiere, este cel mai convenabil dacă este la îndemână în formă tipărită. Puteți găsi material de referință pe pagină Formule și tabele matematice.
Să repetăm rapid conceptul de funcție a două variabile, voi încerca să mă limitez la minim. O funcție a două variabile este de obicei scrisă ca , variabilele fiind numite variabile independente sau argumente.
Exemplu: - o funcţie a două variabile.
Uneori se folosește notația. Există, de asemenea, sarcini în care litera este folosită în loc de scrisoare.
Din punct de vedere geometric, o funcție a două variabile este cel mai adesea o suprafață a spațiului tridimensional (plan, cilindru, bilă, paraboloid, hiperboloid etc.). Dar, de fapt, aceasta este deja mai mult geometrie analitică și avem analiza matematică pe ordinea de zi, pe care profesorul meu universitar nu m-a lăsat niciodată să le opresc este „calul” meu.
Ne întoarcem la problema găsirii derivatelor parțiale de ordinul întâi și al doilea. Am niște vești bune pentru cei dintre voi care au băut câteva căni de cafea și sunt în chef de material neînchipuit de dificil: derivatele parțiale sunt aproape aceleași cu derivatele „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile.
Pentru derivatele parțiale sunt valabile toate regulile de diferențiere și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare. Există doar câteva mici diferențe pe care le vom cunoaște chiar acum:
... da, apropo, pentru acest subiect am creat carte mica pdf, care vă va permite să vă „umpleți mâna” în doar câteva ore. Dar, folosind site-ul, veți obține, desigur, și rezultatul - poate puțin mai lent:
Exemplul 1
Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi și al doilea ale unei funcții
În primul rând, găsim derivatele parțiale de ordinul întâi. Sunt doi dintre ei.
Notaţie:
sau - derivată parțială față de "x"
sau - derivată parțială în raport cu „y”
Sa incepem cu . Când găsim derivata parțială față de „x”, atunci variabila este considerată o constantă (număr constant).
Comentarii cu privire la acțiunile întreprinse:
(1) Primul lucru pe care îl facem atunci când găsim derivata parțială este să concluzionam toate funcţionează între paranteze sub liniuţă cu indice.
Atenție importantă! Indicele NU PIERD pe parcursul soluției. În acest caz, dacă desenați o „lovitură” undeva fără, atunci profesorul, cel puțin, o poate pune lângă sarcină (mușcă imediat o parte din scor pentru neatenție).
(2) Folosiți regulile de diferențiere 
, . Pentru un exemplu simplu ca acesta, ambele reguli pot fi aplicate în același pas. Atenție la primul termen: de când este considerată o constantă și orice constantă poate fi scoasă din semnul derivatei, apoi o scoatem din paranteze. Adică, în această situație, nu este mai bun decât un număr obișnuit. Acum să ne uităm la al treilea termen: aici, dimpotrivă, nu este nimic de scos. Deoarece este o constantă, este și o constantă și, în acest sens, nu este mai bună decât ultimul termen - „șapte”.
(3) Folosim derivate tabulare și .
(4) Simplificăm sau, după cum îmi place să spun, „combinăm” răspunsul.
Acum . Când găsim derivata parțială față de „y”, atunci variabilaconsiderată o constantă (număr constant).
(1) Folosim aceleași reguli de diferențiere 
, . În primul termen scoatem constanta dincolo de semnul derivatei, în al doilea termen nu se poate scoate nimic pentru că este deja o constantă.
(2) Folosim tabelul derivatelor funcțiilor elementare. Schimbați mental în tabel toate „X” cu „Y”. Adică, acest tabel este la fel de valabil pentru (și într-adevăr pentru aproape orice literă). În special, formulele pe care le folosim arată astfel: și .
Care este sensul derivatelor parțiale?
La baza lor, derivatele parțiale de ordinul 1 se aseamănă derivat „obișnuit”.:
- aceasta este funcții, care caracterizează rata de schimbare funcţionează în direcţia axelor şi respectiv. Deci, de exemplu, funcția 
caracterizează abruptul „urcărurilor” și „pârtilor” suprafeteîn direcția axei absciselor, iar funcția ne vorbește despre „relieful” aceleiași suprafețe în direcția axei ordonatelor.
! Notă : aici se referă la direcții care sunt paralele axele de coordonate.
Pentru o mai bună înțelegere, să luăm în considerare un punct specific al planului și să calculăm valoarea funcției („înălțime”) în el:
- și acum imaginați-vă că sunteți aici (la suprafață).
Calculăm derivata parțială în raport cu „x” la un punct dat:
Semnul negativ al derivatului „X” ne vorbește despre Descendentă funcţionează într-un punct în direcţia axei x. Cu alte cuvinte, dacă facem un mic-mic (infinitezimal) pas spre vârful axei (paralel cu această axă), apoi coborâți panta suprafeței.
Acum aflăm natura „terenului” în direcția axei y:
Derivata față de „y” este pozitivă, prin urmare, într-un punct de-a lungul axei, funcția crește. Dacă este destul de simplu, atunci aici așteptăm o urcare în urcare.
În plus, derivata parțială la un punct caracterizează rata de schimbare funcţionează în direcţia relevantă. Cu cât valoarea rezultată este mai mare modulo- cu cât suprafața este mai abruptă și invers, cu cât este mai aproape de zero, cu atât suprafața este mai plată. Deci, în exemplul nostru, „panta” în direcția axei absciselor este mai abruptă decât „muntele” în direcția axei ordonatelor.
Dar acelea erau două căi private. Este destul de clar că din punctul în care ne aflăm, (și în general din orice punct al suprafeței date) ne putem deplasa într-o altă direcție. Astfel, există un interes în alcătuirea unei „hărți de navigație” generale care să ne spună despre „peisajul” suprafeței. dacă este posibilîn fiecare punct domeniul de aplicare al acestei funcțiiîn toate modurile disponibile. Voi vorbi despre acest lucru și despre alte lucruri interesante într-una din lecțiile următoare, dar, deocamdată, să revenim la partea tehnică a problemei.
Sistematizăm regulile elementare aplicate:
1) Când diferențiem prin , atunci variabila este considerată o constantă.
2) Când diferenţierea se realizează conform, atunci este considerată o constantă.
3) Regulile și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare sunt valabile și aplicabile pentru orice variabilă (sau oricare alta) față de care se realizează diferențierea.
Pasul doi. Găsim derivate parțiale de ordinul doi. Sunt patru.
Notaţie:
sau - a doua derivată în raport cu "x"
sau - a doua derivată în raport cu „y”
sau - amestecat derivată „x cu y”
sau - amestecat derivată „Y cu X”
Nu există probleme cu derivata a doua. In termeni simpli, a doua derivată este derivata primei derivate.
Pentru comoditate, voi rescrie derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite: 
Mai întâi găsim derivatele mixte:
După cum puteți vedea, totul este simplu: luăm derivata parțială și o diferențiem din nou, dar în acest caz, deja prin „y”.
În mod similar:
În exemple practice, vă puteți concentra pe următoarea egalitate:
Astfel, prin derivate mixte de ordinul doi, este foarte convenabil să verificăm dacă am găsit corect derivatele parțiale de ordinul întâi.
Găsim derivata a doua în raport cu „x”.
Fără invenții, luăm 
și diferențiază-l cu „X” din nou:
În mod similar:
Trebuie remarcat faptul că atunci când găsiți, trebuie să arătați atenție sporită, deoarece nu există egalități miraculoase care să le testeze.
Derivatele secunde găsesc, de asemenea, o largă aplicație practică, în special, sunt utilizate în problema găsirii extremele unei funcţii a două variabile. Dar totul are timpul lui:
Exemplul 2
Calculați derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției în punctul . Găsiți derivate de ordinul doi.
Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (răspunsuri la sfârșitul lecției). Dacă aveți dificultăți în a diferenția rădăcinile, reveniți la lecție Cum să găsesc derivatul?În general, destul de curând veți învăța cum să găsiți derivate similare din mers.
Ne umplem mâna cu exemple mai complexe:
Exemplul 3
Verifică asta . Scrieți diferența totală de ordinul întâi.
Rezolvare: Găsim derivate parțiale de ordinul întâi: 
Atenție la indice: lângă „x” nu este interzis să scrieți între paranteze că este o constantă. Acest marcaj poate fi foarte util pentru începători pentru a facilita navigarea prin soluție.
Comentarii suplimentare:
(1) Scoatem toate constantele din afara semnului derivatei. În acest caz, și , și, prin urmare, produsul lor este considerat un număr constant.
(2) Nu uitați cum să diferențiați corect rădăcinile.
(1) Luăm toate constantele din semnul derivatei, în acest caz constanta este .
(2) Sub prim, avem produsul a două funcții, prin urmare, trebuie să folosim regula de diferențiere a produsului 
.
(3) Nu uitați că este o funcție complexă (deși cea mai simplă dintre cele complexe). Folosim regula corespunzătoare: 
.
Acum găsim derivate mixte de ordinul doi:
Aceasta înseamnă că toate calculele sunt corecte.
Să scriem diferența totală. În contextul sarcinii luate în considerare, nu are sens să spunem care este diferența totală a unei funcții a două variabile. Este important ca această diferență să fie scrisă foarte des în probleme practice.
Diferenţial total de prim ordin funcțiile a două variabile are forma: 
În acest caz:
Adică, în formulă trebuie doar să înlocuiți prostesc derivatele parțiale de prim ordin deja găsite. Pictograme diferențiale și în această situație și în situații similare, dacă este posibil, este mai bine să scrieți în numărătoare:
Și la cererea repetată a cititorilor, diferenţial complet de ordinul doi.
Arata cam asa:
Găsiți cu ATENȚIE derivatele „cu o singură literă” de ordinul 2: 
și notează „monstrul”, „atașând” cu grijă pătratele, produsul și fără a uita să dublezi derivatul mixt: 
Este în regulă dacă ceva părea dificil, poți oricând să revii la derivate mai târziu, după ce ai luat tehnica de diferențiere:
Exemplul 4
Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții 
. Verifică asta . Scrieți diferența totală de ordinul întâi.
Luați în considerare o serie de exemple cu funcții complexe:
Exemplul 5
Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale funcției.
Soluţie: 
Exemplul 6
Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții 
.
Notați diferența totală.
Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (răspuns la sfârșitul lecției). Nu voi posta soluția completă pentru că este destul de simplă.
Destul de des, toate regulile de mai sus sunt aplicate în combinație.
Exemplul 7
Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții 
.
(1) Folosim regula diferențierii sumei
(2) Primul termen în acest caz este considerat o constantă, deoarece în expresie nu există nimic care să depindă de „x” - doar „y”. Știi, este întotdeauna frumos când o fracție poate fi transformată în zero). Pentru al doilea termen, aplicăm regula de diferențiere a produsului. Apropo, în acest sens, nimic nu s-ar schimba dacă s-ar da în schimb o funcție – este important că aici produsul a două funcții, Fiecare dintre ele depinde de "X", și, prin urmare, trebuie să utilizați regula de diferențiere a produsului. Pentru al treilea termen, aplicăm regula de diferențiere a unei funcții complexe.
(1) Primul termen atât în numărător, cât și în numitor conține un „y”, prin urmare, trebuie să utilizați regula pentru diferențierea coeficientului: 
. Al doilea termen depinde DOAR de „x”, ceea ce înseamnă că este considerat o constantă și se transformă în zero. Pentru al treilea termen, folosim regula de diferențiere a unei funcții complexe.
Pentru acei cititori care au ajuns cu curaj aproape până la sfârșitul lecției, vă voi spune o veche anecdotă a lui Mehmatov pentru detenție:
Odată a apărut un derivat malefic în spațiul funcțiilor și cum a mers să diferențieze pe toată lumea. Toate funcțiile se împrăștie în toate direcțiile, nimeni nu vrea să se întoarcă! Și o singură funcție nu scapă nicăieri. Derivatul o abordează și întreabă:
— De ce nu fugi de mine?
- Ha. Dar nu-mi pasă, pentru că sunt „e la puterea lui x”, iar tu nu-mi poți face nimic!
La care derivatul malefic cu un zâmbet insidios îi răspunde:
- Aici greșești, te voi diferenția prin „y”, așa că fii zero pentru tine.
Cine a înțeles gluma, a stăpânit derivatele, cel puțin pentru „troika”).
Exemplul 8
Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții 
.
Acesta este un exemplu de do-it-yourself. O soluție completă și un model de proiect al problemei sunt la sfârșitul lecției.
Ei bine, asta e aproape tot. În cele din urmă, nu pot să nu le rog matematicienilor cu încă un exemplu. Nici măcar nu e vorba de amatori, fiecare are un alt nivel de pregătire matematică – sunt oameni (și nu atât de rari) cărora le place să concureze cu sarcini mai dificile. Deși, ultimul exemplu din această lecție nu este atât de complicat, ci greoi din punct de vedere al calculelor.
Lucrare practică №2
„Diferenţial de funcţii”
Scopul lecției: Învață să rezolvi exemple și probleme pe o anumită temă.
Întrebări de teorie (nivel inițial):
1. Utilizarea derivatelor pentru studiul funcțiilor până la extrem.
2. Diferenţialul unei funcţii, sensul ei geometric şi fizic.
3. Diferenţial total al unei funcţii de mai multe variabile.
4. Starea corpului în funcție de multe variabile.
5. Calcule aproximative.
6. Găsirea derivatelor parțiale și a diferenţialului total.
7. Exemple de utilizare a acestor concepte în farmacocinetică, microbiologie etc.
(autoformare)
1. răspunde la întrebări pe tema lecției;
2. rezolva exemple.
Exemple
Găsiți diferențele următoarelor funcții:
| 1) | 2)  | 3)  |
4)  | 5)  | 6) |
7)  | 8) | 9)  |
10)  | 11) | 12)  |
13)  | 14)  | 15) |
16)  | 17) | 18)  |
19)  | 20)  |
Utilizarea derivatelor pentru studiul funcțiilor
Condiția ca funcția y = f(x) să crească pe segmentul [a, b]
Condiția ca funcția y=f(x) să scadă pe segmentul [a, b]
Condiția pentru funcția maximă y=f(x) la x= a
f"(a)=0 și f""(a)<0
Dacă pentru x \u003d a derivatele f "(a) \u003d 0 și f "(a) \u003d 0, atunci este necesar să se investigheze f "(x) în vecinătatea punctului x \u003d a. Funcția y \u003d f (x) pentru x \u003d a are un maxim, dacă la trecerea prin punctul x \u003d și derivata f "(x) își schimbă semnul de la "+" la "-", în cazul unui minim - de la „-” la „+” Dacă f „(x) nu își schimbă semnul la trecerea prin punctul x = a, atunci în acest moment funcția nu are nicio extremă
Diferenţial de funcţie.
Diferenţialul unei variabile independente este egal cu incrementul acesteia:
Diferenţialul funcţiei y=f(x)
Diferenţialul sumei (diferenţei) a două funcţii y=u±v
Diferenţialul produsului a două funcţii y=uv
Diferenţialul coeficient a două funcţii y=u/v
dy=(vdu-udv)/v 2
Creșterea funcției
Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) ≈ dy ≈ f "(x) Δx
unde Δx: este incrementul argumentului.
Calculul aproximativ al valorii funcției:
f(x + Δx) ≈ f(x) + f „(x) Δx
Aplicarea diferenţialului în calcule aproximative
Diferenţialul este utilizat pentru a calcula erorile absolute şi relative în măsurători indirecte u = f(x, y, z.). Eroarea absolută a rezultatului măsurării
du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…
Eroarea relativă a rezultatului măsurării
du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u
FUNCȚIE DIFERENȚIALĂ.
Diferența de funcție ca parte principală a incrementului de funcție
și. Conceptul de diferenţial al unei funcţii este strâns legat de conceptul de derivată. Lasă funcția f(x) continuu pentru valori date Xși are o derivată 
D f/Dx = f¢(x) + a(Dx), de unde creste functia Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, Unde a(Dx)® 0 la Dx® 0. Să definim ordinea infinitezimalului f¢(x)Dx Dx.:
Prin urmare, infinitezimal f¢(x)Dxși Dx au același ordin de mărime, adică f¢(x)Dx = O.
Să definim ordinea infinitezimalului a(Dх)Dхîn raport cu infinitezimalul Dx:
Prin urmare, infinitezimalul a(Dх)Dх are un ordin mai mare de micime decât infinitezimalul Dx, acesta este a(Dx)Dx = o.
Astfel, un increment infinitezimal Df funcția diferențiabilă poate fi reprezentată sub forma a doi termeni: un infinitezimal f¢(x)Dx de aceeași ordin de micime cu Dxși infinitezimal a(Dх)Dх ordin mai mare al micimii comparativ cu infinitezimal Dx. Asta înseamnă că în egalitate Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx la Dx® 0 al doilea termen tinde spre zero „mai rapid” decât primul, adică. a(Dx)Dx = o.
Primul termen f¢(x)Dx, liniară în raport cu Dx, numit diferenţial de funcţie f(x) la punct X si denota dy sau df(a se citi „de joc” sau „de ef”). Asa de,
dy = df = f¢(x)Dx.
Sensul analitic al diferenţialului constă în faptul că diferența unei funcții este partea principală a incrementului funcției Df, liniar în raport cu incrementul argumentului Dx. Diferenţialul unei funcţii diferă de incrementul unei funcţii cu unul infinitezimal de ordin mai mare al micşorării decât Dx. Într-adevăr, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx sau Df = df + a(Dx)Dx . Argument diferential dx egal cu incrementul acesteia Dx: dx=Dx.
Exemplu. Calculați valoarea diferenţialului unei funcţii f(x) = x 3 + 2x, când X variază de la 1 la 1,1.
Soluţie. Să găsim o expresie generală pentru diferența acestei funcții:
Înlocuirea valorilor dx=Dx=1,1–1= 0,1și x=1în ultima formulă, obținem valoarea dorită a diferenţialului: df½ x=1; = 0,5.
DERIVATE PARȚIALE ȘI DIFERENȚIALE.
Derivate parțiale de ordinul întâi. Derivata parțială de ordinul întâi a funcției z = f(x,y ) prin argumentare X la punctul luat în considerare (X y) numită limită
dacă există.
Derivată parțială a unei funcții z = f(x, y) prin argumentare X notat cu unul dintre următoarele simboluri:
În mod similar, derivata parțială cu privire la la notat și definit prin formula:
Deoarece derivata parțială este derivata obișnuită a unei funcții a unui argument, nu este dificil să o calculăm. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați toate regulile de diferențiere avute în vedere până acum, ținând cont în fiecare caz care dintre argumente este luat ca „număr constant” și care servește ca „variabilă de diferențiere”.
Cometariu. Pentru a găsi derivata parțială, de exemplu, în raport cu argumentul x – df/dx, este suficient să găsim derivata obișnuită a funcției f(x,y), presupunând că acesta din urmă este o funcție a unui argument X, A la- permanentă; a găsi df/dy- viceversa.
Exemplu. Găsiți valorile derivatelor parțiale ale unei funcții f(x,y) = 2x2 + y2 la punct P(1;2).
Soluţie. Socoteală f(x,y) funcție cu un singur argument X iar folosind regulile de diferențiere, găsim
La punctul P(1;2) valoare derivată
Considerând f(x; y) în funcție de un argument y, găsim
La punctul P(1;2) valoare derivată
SARCINA PENTRU MUNCA INDEPENDENTĂ A ELEVULUI:
Găsiți diferențele următoarelor funcții:
Rezolvați următoarele sarcini:
1. Cu cât va scădea aria unui pătrat cu latura x = 10 cm dacă latura se reduce cu 0,01 cm?
2. Ecuația mișcării corpului este dată: y=t 3 /2+2t 2 , unde s se exprimă în metri, t este în secunde. Aflați traseul s parcurs de corp în t=1,92 s de la începutul mișcării.
LITERATURĂ
1. Lobotskaya N.L. Fundamentele Matematicii Superioare - M .: „Școala Superior”, 1978.C198-226.
2. Bailey N. Matematică în biologie și medicină. Pe. din engleza. M.: Mir, 1970.
3. Remizov A.N., Isakova N.Kh., Maksina L.G. Culegere de probleme de fizică medicală și biologică - M .: „Școala superioară”, 1987. C16-20.
Conceptul de funcție a două variabile
Valoare z numit funcţia a două variabile independente xși y, dacă fiecare pereche de valori admisibile ale acestor mărimi, conform unei anumite legi, corespunde unei valori bine definite a mărimii z. Variabile independente Xși y numit argumente funcții.
O astfel de dependență funcțională este notă analitic
Z = f (x, y),(1)
Valori ale argumentelor x și y care corespund valorilor reale ale funcției z, considerată admisibilăși se numește mulțimea tuturor perechilor admisibile de valori x și y domeniul definirii funcţiile a două variabile.
Pentru o funcție a mai multor variabile, spre deosebire de o funcție a unei variabile, conceptele sale creșteri parțiale pentru fiecare dintre argumente și concept increment complet.
Increment parțial Δ x z a funcției z=f (x,y) prin argument x este incrementul pe care îl primește această funcție dacă argumentul său x este incrementat Δx cu acelasi y:
Δxz = f (x + Δx, y) -f (x, y), (2)
Incrementul parțial Δ y z al funcției z= f (x, y) față de argumentul y este incrementul pe care îl primește această funcție dacă argumentul său y primește un increment Δy cu x neschimbat:
Δy z= f (x, y + Δy) – f (x, y) , (3)
Increment complet Δz funcții z= f (x, y) prin argumente Xși y se numește increment pe care o primește o funcție dacă ambele argumente ale sale sunt incrementate:
Δz= f (x+Δx, y+Δy) – f (x, y) , (4)
Pentru incremente suficient de mici Δxși Δy argumente ale funcției
există o egalitate aproximativă:
∆z ∆xz + ∆yz , (5)
și cu cât este mai precis, cu atât mai puțin Δxși Δy.
Derivate parțiale ale funcțiilor a două variabile
Derivata parțială a funcției z=f (x, y) față de argumentul x în punctul (x, y) se numește limita raportului de creștere parțial ∆xz această funcție la incrementul corespunzător Δx argumentul x când se străduiește Δx la 0 și cu condiția ca această limită să existe:
, (6)
Derivata funcției este definită în mod similar z=f (x, y) prin argumentare y:
În plus față de notația indicată, derivatele parțiale ale funcțiilor sunt de asemenea notate cu , z΄x, f΄x (x, y); , z΄ y , f΄ y (x, y).
Sensul principal al derivatei parțiale este următorul: derivata parțială a unei funcții a mai multor variabile în raport cu oricare dintre argumentele sale caracterizează rata de modificare a acestei funcție atunci când acest argument se modifică.
Când se calculează derivata parțială a unei funcții a mai multor variabile în raport cu orice argument, toate celelalte argumente ale acestei funcții sunt considerate constante.
Exemplul 1. Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor
f (x, y)= x 2 + y 3
Soluţie. Când se află derivata parțială a acestei funcții în raport cu argumentul x, argumentul y este considerat o valoare constantă:
;
La găsirea derivatei parțiale în raport cu argumentul y, argumentul x este considerat o valoare constantă:
.
Diferențiale parțiale și totale ale unei funcții a mai multor variabile
Diferenţialul parţial al unei funcţii a mai multor variabile în raport cu care-fie din argumentele sale este produsul derivatei parțiale a acestei funcții față de argumentul dat și diferenţialul acestui argument:
dxz= ,(7)
dyz= (8)
Aici d x zși d y z-diferențiale parțiale ale unei funcții z= f (x, y) prin argumente Xși y.în care
dx= ∆x; dy=Δy, (9)
diferenţial complet O funcție a mai multor variabile se numește suma diferențialelor sale parțiale:
dz= d x z + d y z, (10)
Exemplul 2 Aflați diferențele parțiale și totale ale funcției f (x, y)= x 2 + y 3 .
Deoarece derivatele parțiale ale acestei funcții se găsesc în Exemplul 1, obținem
dxz= 2xdx; d y z= 3y 2 dy;
dz= 2xdx + 3y 2dy
Diferența parțială a unei funcții a mai multor variabile în raport cu fiecare dintre argumentele sale este partea principală a incrementului parțial corespunzător al funcției.
Ca urmare, se poate scrie:
∆xz dxz, ∆yz d yz, (11)
Sensul analitic al diferenţialului total este că diferenţialul total al unei funcţii de mai multe variabile este partea principală a incrementului total al acestei funcţii..
Astfel, există o egalitate aproximativă
∆zdz, (12)
Utilizarea formulei (12) se bazează pe utilizarea diferenţialului total în calcule aproximative.
Imaginați-vă o creștere Δz la fel de
f (x + Δx; y + Δy) – f (x, y)
și diferența totală în formă
Apoi obținem:
f (x + Δx, y + Δy) – f (x, y) 
,
, (13)
3. Scopul elevilor la lecție:
Studentul trebuie sa stie:
1. Definirea unei funcţii a două variabile.
2. Conceptul de increment parțial și total al unei funcții a două variabile.
3. Determinarea derivatei parțiale a unei funcții de mai multe variabile.
4. Sensul fizic al derivatei parțiale a unei funcții a mai multor variabile în raport cu oricare dintre argumentele sale.
5. Determinarea diferenţialului parţial al unei funcţii de mai multe variabile.
6. Determinarea diferenţialului total al unei funcţii de mai multe variabile.
7. Sensul analitic al diferenţialului total.
Studentul trebuie să fie capabil să:
1. Găsiți incremente private și totale ale unei funcții a două variabile.
2. Calculați derivate parțiale ale unei funcții de mai multe variabile.
3. Găsiți diferențiale parțiale și totale ale unei funcții a mai multor variabile.
4. Aplicați diferența totală a unei funcții a mai multor variabile în calcule aproximative.
Partea teoretică:
1. Conceptul de funcție a mai multor variabile.
2. Funcția a două variabile. Incrementul parțial și total al unei funcții a două variabile.
3. Derivată parțială a unei funcții a mai multor variabile.
4. Diferențiale parțiale ale unei funcții de mai multe variabile.
5. Diferenţial total al unei funcţii de mai multe variabile.
6. Aplicarea diferenţialului total al unei funcţii a mai multor variabile în calcule aproximative.
Partea practica:
1.Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor:
1) 
; 4) 
;
2) z \u003d e xy + 2 x; 5) z= 2tg xx y;
3) z \u003d x 2 sin 2 y; 6) 
.
4. Definiți derivata parțială a unei funcții în raport cu un argument dat.
5. Ce se numește diferența parțială și totală a unei funcții a două variabile? Cum sunt ele legate?
6. Lista de întrebări pentru a verifica nivelul final de cunoștințe:
1. În cazul general al unei funcții arbitrare a mai multor variabile, este incrementul ei total egal cu suma tuturor incrementelor parțiale?
2. Care este semnificația principală a derivatei parțiale a unei funcții de mai multe variabile în raport cu oricare dintre argumentele acesteia?
3. Care este sensul analitic al diferenţialului total?
7. Cronologia lecției:
1. Moment organizatoric - 5 minute.
2. Analiza temei - 20 min.
3. Rezolvarea de exemple și probleme - 40 min.
4. Controlul curent al cunoștințelor -30 min.
5. Rezumatul lecției - 5 min.
8. Lista literaturii educaționale pentru lecție:
1. Morozov Yu.V. Fundamente ale matematicii si statisticii superioare. M., „Medicina”, 2004, §§ 4.1–4.5.
2. Pavlushkov I.V. et al. Fundamentele matematicii superioare şi statisticii matematice. M., „GEOTAR-Media”, 2006, § 3.3.
