Primjer. Snop neutrona od 1 eV pada na kristal. Braggove refleksije 1. reda se posmatraju na 11,8°. Kolika je udaljenost između ravni kristala?

Rješenje. Difrakcija niskoenergetskih elektrona slična je difrakciji X-zraka. Stanje

3. HEISENBERGOV PRINCIP NESIGURNOSTI

Od kvantna mehanika proizilazi da ne mogu sve fizičke veličine istovremeno imati tačne vrijednosti (princip nesigurnosti).

Princip nesigurnosti- fundamentalni stav kvantna teorija navodeći da dodatne fizičke veličine koje karakterišu sistem (na primjer, položaj i impuls) ne mogu istovremeno poprimiti tačne vrijednosti. On odražava dualnu korpuskularno-valnu prirodu čestica materije (elektrona, protona, itd.).

Heisenbergov princip nesigurnosti je zakon koji postavlja ograničenje na tačnost (skoro) istovremenih mjerenja varijabli stanja, kao što su položaj i impuls čestice. Određuje preciznu mjeru nesigurnosti dajući donju (ne-nultu) granicu proizvodu varijansi mjerenja.

Neizvjesnosti u vezi– fundamentalni odnosi kvantne mehanike, postavljanje granice tačnosti istovremenog određivanja kanonski konjugiranih dinamičkih varijabli koje karakterišu kvantni sistem: koordinata – zamah, akcija – ugao itd.

Ovo je jedan od osnovnih postulata kvantne mehanike, koji je ustanovio W. Heisenberg 1927. godine kada je analizirao misaoni eksperiment za mjerenje koordinata kvantnog objekta pomoću "gama mikroskopa".

Heisenbergov princip nesigurnosti postavlja ograničenje na istovremeno znanje o tome gdje se nešto nalazi i koliko se brzo kreće. Formalno, ovo je napisano

gdje su p x , x netačnosti u x-komponenti momenta i x koordinata, respektivno, dok je t životni vijek čestice, a E je nepreciznost u njenoj ukupna energija. Ove granice znanja nisu povezane sa ograničenjima mernih instrumenata. Osnovna ograničenja postoje čak i za idealne i apsolutno precizne instrumente.

Primjer. Zamislite elektron sa kinetička energija 5 eV. Njegova brzina

Netačnosti u istovremenom određivanju dodatnih veličina povezane su sa relacijom nesigurnosti, koja za nepreciznosti x ir x u određivanju koordinata i projekcije impulsa p na njega ima oblik nejednakosti:

Napomena 1. U nekim razmatranjima, „neizvesnost“ varijable se definiše kao najmanja širina opsega koji sadrži 50% vrednosti, što u slučaju normalna distribucija varijabli, dovodi za proizvod nesigurnosti do veće donje granice h/2π .

Napomena 2. Evo

X = (X − X) 2 1/ 2 , P= (P − P) 2 1/ 2 . (13)

To jest, u skladu sa probabilističkim tumačenjem kvantne mehanike, netačnosti položaja i momenta se shvataju kao srednja kvadratna odstupanja od ovih zapažanja.

Ova nejednakost daje nekoliko mogućnosti - stanje može biti takvo da se x može izmjeriti s velikom preciznošću, ali tada će se p znati samo približno, ili obrnuto, p može biti tačno određeno dok x nije. U svim ostalim stanjima, x i p se mogu mjeriti sa "razumnom" (ali ne proizvoljno visokom) preciznošću. AT Svakodnevni život obično ne vidimo nesigurnost jer je vrijednost h izuzetno mala.

Također je dokazao da se jednakost u (9) postiže samo za kvantna stanja opisano Gausovim talasnim paketima. E. Schrödinger je predložio više opšta formula za slučaj koreliranih stanja.

Napomena 1. Princip neizvjesnosti se ne primjenjuje samo na poziciju i moment. U svom opštem obliku, važi za svaki par konjugovane varijable. Uopšteno govoreći, i za razliku od slučaja položaja i momenta koji je gore razmotren, donja granica za proizvod nesigurnosti dvije spojene varijable ovisi o stanju sistema. Princip nesigurnosti tada postaje teorema u teoriji operatora.

Napomena 2. Heisenbergova relacija neizvjesnosti nužno vodi ka reviziji koncepta kauzalnosti. Koordinatu možemo odrediti sa apsolutnom preciznošću, ali u trenutku kada se to dogodi, impuls poprima potpuno proizvoljnu vrijednost, pozitivnu ili negativnu. To znači da se objekat čiju poziciju smo bili u mogućnosti izmjeriti apsolutno precizno odmah pomjeri koliko god želimo. Lokalizacija gubi smisao: koncepti koji čine samu osnovu klasične mehanike prolaze kroz duboke promjene u prelasku na kvantnu mehaniku.

Odnos nesigurnosti omogućava procjenu u kojoj se mjeri koncepti klasične mehanike mogu primijeniti na mikročestice. Pokazuje da je klasični koncept putanje neprimjenjiv na mikroobjekte, budući da se kretanje duž putanje u svakom trenutku karakterizira određenim vrijednostima koordinata i brzine.

Odnos nesigurnosti između dvije ortogonalne komponente operatora ukupnog ugaonog momenta čestice:

gdje su i, j,k različite, a J i označava ugaoni moment duž x i ose.

Odnos nesigurnosti između energije E i vremena t zahtijeva posebno razmatranje, jer razlikuje se po značenju od izraza (3). Poenta je da ne postoji operator koji predstavlja vrijeme, tako da vrijeme nije dinamička varijabla i treba ga tretirati kao parametar.

Za nestacionarna stanja sa karakterističnim širenjem energije E, vrijednost t u (16) treba shvatiti kao vremenski interval tokom kojeg se prosječne vrijednosti fizičkih veličina koje karakterišu sistem značajno mijenjaju (za vrijednost odgovarajuća disperzija). Neka je mikro-objekt nestabilan i t je njegov životni vijek. Energija mikro-objekta u datom stanju mora imati nesigurnost E. Ako je stanje stacionarno (t→ ), tada je energija mikro-objekta tačno određena

E=0.

Obično se Ur(16) tumači kao nemogućnost preciznog određivanja energije kvantnog sistema (E = 0) za ograničen vremenski interval t. N. Bor je skrenuo pažnju na nemogućnost definisanja pojma monohromatskog talasa u ovog trenutka vrijeme. Drugo tumačenje je usko povezano sa konceptom kvazistacionarnog stanja. U ovom slučaju, E je nesigurnost vrijednosti koju energija E dobija, a koja se smatra dinamičkom karakteristikom kvantnog sistema koji se mijenja u vremenu, pri

- vremenski interval - karakterizira evoluciju E u intervalnoj vrijednosti E . Za pobuđene kvantne sisteme (na primjer, atom ili molekul), nesigurnost energije stanja E (prirodna širina nivoa) je direktno povezana sa životnim vijekom prema (16).

Razmotrite neke primjere primjene relacije nesigurnosti.

Primjer 1. Okrenimo se kvantiziranim energetskim nivoima atoma vodika prema Boru. Neka je elektron na nivou E 1 . Da bi prešao na nivo E 2, elektron mora da apsorbuje foton sa energijom (E 2 - E 1 ) i nijednu drugu. Postavlja se pitanje, kako elektron "odabire" željeni foton iz upadnog fotonskog fluksa? Uostalom, za to mora unaprijed posjetiti nivo E 2, odnosno "znati" E 2. Dobijamo zatvoreni logički krug.

Sada pitanje šta se prvo dešava - apsorpcija fotona ili tranzicija elektrona - gubi smisao. Ako prije i poslije interakcije sa zračenjem imamo vezan elektron s energijama E 1 i E 2, tada tokom zračenja postoji jedan kvant - mehanički sistem, koji uključuje i elektron i foton. Ovaj sistem postoji ograničeno vrijeme i, prema (7), ne može imati određenu energiju. Tokom interakcije elektrona sa fotonom, ne postoji ni elektron ni foton, ali postoji nešto ujedinjeno bez navođenja detalja.

Primjer 2. Zašto elektron, koji se kreće ubrzanom brzinom, ne zrači i ne pada na jezgro, anihilira? Pad elektrona na jezgro znači značajno smanjenje nesigurnosti njegovih koordinata, budući da je veličina atoma ≈10-8 cm, a veličina jezgra ≈10-12 cm. Stoga bi impuls trebao biti “zamućen”. Odnosno, kada elektron padne na jezgro, njegov impuls se mora povećati, što zahtijeva troškove energije. Proračuni pokazuju da je za takvu "lokalizaciju" elektrona potrebna energija reda energije veze nukleona.

Među fizičkim interpretacijama relacije neizvjesnosti mogu se izdvojiti tri nivoa, koji u engleskoj literaturi odgovaraju trima različitim terminima: nesigurnost, neodređenost, neodređenost. Relacije nesigurnosti se najčešće tumače kao ograničenje eksperimentalno ostvarljive tačnosti mjerenja karakteristika kvantnih objekata, zbog neadekvatnosti klasičnih uređaja za potrebe kvantnih mjerenja.

Heisenbergov omjer nesigurnosti je teorijska granica tačnosti bilo kojeg mjerenja. Istovremeno, ukazuje na granicu moguće upotrebe klasičnih koncepata za opisivanje događaja u mikrokosmosu. Bilo koja čestica (u opštem smislu, na primjer, koja nosi diskretnu električni naboj) ne može se istovremeno opisati kao "klasična tačkasta čestica" i kao talas. (Sama činjenica da bilo koji od ovih opisa može biti istinit, barem u nekim slučajevima, naziva se dualitet talas-čestica). Princip nesigurnosti, kako ga je prvobitno predložio Heisenberg, istinit je kada nijedan od ova dva opisa nije u potpunosti i isključivo prikladan.

Drugo tumačenje (neodređenost) dolazi iz premise da je relacija nesigurnosti posljedica svojstava kvantnih objekata koji su im inherentni, bez obzira na nesavršenost specifičnih implementacija eksperimentalnih objekata dizajniranih za mjerenje ovih svojstava. Takvo unutrašnje svojstvo je dualnost talasa i čestica kvantnih objekata, tj. neodvojiva kombinacija talasnih i korpuskularnih svojstava, podjednako neophodna za njihov kompletan opis. S ove tačke gledišta, analozi relacije nesigurnosti su dobro poznati, na primjer, u akustici i optici, mnogo prije stvaranja kvantne mehanike.

Druga interpretacija relacije nesigurnosti je mnogo šira i plodonosnija od prve, jer se ne radi o posebnom iskazu o granicama prefinjenosti karakteristika kvantnih objekata, već o opštem principu nesigurnosti. Ovaj princip je premisa statističke interpretacije kvantne mehanike i najvažniji primjer Bohrovog principa komplementarnosti (termin neodređenost se često koristi za ovo široko tumačenje relacije nesigurnosti). Sa stanovišta ovog opštijeg principa, odnos nesigurnosti se tumači kao način da se očuvaju klasični koncepti za opisivanje kvantnih sistema međusobnim ograničavanjem područja njihove zajedničke primenljivosti.

Relacija nesigurnosti igra veliku heurističku ulogu, budući da se mnogi rezultati problema koji se razmatraju u Kantovoj mehanici mogu dobiti i razumjeti na osnovu kombinacije zakona klasične mehanike sa relacijom nesigurnosti. Važan primjer je problem stabilnosti atoma. Razmotrimo ovaj problem za atom vodonika. Neka se elektron kreće oko jezgra (protona) po kružnoj orbiti radijusa r brzinom v. Prema Coulombovom zakonu, sila privlačenja elektrona na jezgro je e 2 /r 2 , gdje je e naboj elektrona, a centripetalno ubrzanje je v 2 /r . Prema drugom Newtonovom zakonu, mv 2 /r=e 2 /mv 2 (m-elektronska masa), tj. poluprečnik orbite r=e 2 /mv 2 može biti proizvoljno mali ako je v dovoljno veliko. Ali u kvantnoj mehanici, odnos nesigurnosti mora da važi. Ako dozvolimo nesigurnost brzine unutar v , tj. nesigurnost momenta unutar p=mv , tada je mvr ≥ ħ . Odavde možemo dobiti v ≤ e 2 /ħ i r ≥ ħ 2 /me 2 . Stoga je kretanje elektrona po orbiti sr ≤ a B =ħ 2 /me 2 ≈ 0,5 10-8 nemoguće, tj. elektron ne može pasti na jezgro - atom je stabilan. Količina B i je poluprečnik atoma vodika (Bohrov radijus). Ona odgovara maksimalnoj mogućoj energiji vezivanja atoma E 0 = -e 2 /2a B ≈ -13,6 eV, što određuje njegovu minimalnu energiju - energiju osnovnog stanja. Na osnovu poznate veličine atoma vodika, a =ħ 2 / me 2 , možemo procijeniti karakterističnu brzinu

Prema dualnoj korpuskularno-valnoj prirodi čestica materije, za opisivanje mikročestica koriste se ili valne ili korpuskularne reprezentacije. Stoga im je nemoguće pripisati sva svojstva čestica i sva svojstva valova. Naravno, potrebno je uvesti određena ograničenja u primjeni koncepata klasične mehanike na objekte mikrosvijeta.

U klasičnoj mehanici, država materijalna tačka(klasična čestica) se određuje postavljanjem vrijednosti koordinata, impulsa, energije itd. (navedene veličine se nazivaju dinamičke varijable). Strogo govoreći, navedene dinamičke varijable ne mogu se dodijeliti mikro-objektu. Međutim, informacije o mikročesticama dobijamo posmatrajući njihovu interakciju sa uređajima koji su makroskopska tela. Stoga se rezultati mjerenja nehotice izražavaju terminima razvijenim za karakterizaciju makrotijela, tj. kroz vrednosti dinamičke karakteristike. U skladu s tim, izmjerene vrijednosti dinamičkih varijabli dodijeljene su mikročesticama. Na primjer, govore o stanju elektrona u kojem ima tu i takvu energetsku vrijednost i tako dalje.

Talasna svojstva čestica i mogućnost specificiranja samo vjerovatnoće za česticu njen boravak u ovome tačke u prostoru dovode do toga da sami pojmovi koordinate čestice i njihovu brzinu (ili impuls) može se primijeniti u kvantnoj mehanici u ograničenoj mjeri. Uopšteno govoreći, u tome nema ničeg iznenađujućeg. U klasičnoj fizici, koncept koordinata u nekim slučajevima je također neprikladan za određivanje položaja objekta u prostoru. Na primjer, nema smisla reći da se elektromagnetski val nalazi u datoj tački u prostoru ili da je položaj prednjeg dijela valne površine na vodi karakteriziran koordinatama x, y, z.

Korpuskularno-talasna dualnost osobina čestica proučavanih u kvantnoj mehanici dovodi do činjenice da u velikom broju slučajeva ispostavilo se da je nemoguće , u klasičnom smislu, istovremeno karakteriziraju česticu po njenom položaju u prostoru (koordinate) i brzinu (ili zamah). Tako, na primjer, elektron (i bilo koja druga mikročestica) ne može istovremeno imati tačne vrijednosti koordinata x i komponente zamaha. Neizvjesnosti vrijednosti x i zadovoljiti relaciju:

Iz (4.2.1) slijedi da je manja nesigurnost jedne veličine ( x ili ), što je veća nesigurnost drugog. Možda takvo stanje u kojem jedna od njihovih varijabli ima tačnu vrijednost (), dok se druga varijabla ispostavi da je potpuno neodređena (- njena nesigurnost je jednaka beskonačnosti), i obrnuto. Na ovaj način, ne postoje stanja za mikročesticu,u kojoj bi njegove koordinate i impuls istovremeno imali tačne vrijednosti. To implicira stvarnu nemogućnost istovremenog mjerenja koordinata i impulsa mikro-objekta sa bilo kojom unaprijed određenom tačnošću.

Relacija slična (4.2.1) vrijedi za y i za z i , kao i za druge parove veličina (u klasičnoj mehanici takvi se parovi nazivaju kanonski konjugirani ). Označavanje kanonski konjugiranih veličina slovima A i B, možete napisati:

Relacija (4.2.2) se poziva odnos neizvjesnosti za količine A i B. Ovaj omjer je 1927. godine uveo Werner Heisenberg.

Tvrdnja da proizvod nesigurnosti vrijednosti dvije konjugirane varijable ne može biti manji od Planckove konstante kako bih,pozvao odnos Heisenbergove nesigurnosti .

Energija i vrijeme su kanonski konjugovane količine. Prema tome, za njih vrijedi i relacija nesigurnosti:

Ovaj odnos znači da određivanje energije sa tačnošću treba da traje vremenski interval jednak najmanje

Relacija nesigurnosti je dobijena uz istovremenu upotrebu klasičnih karakteristika kretanja čestice (koordinata, impuls) i prisustvo njenih valnih svojstava. Jer u klasičnoj mehanici pretpostavlja se da se mjerenje položaja i momenta može izvršiti sa bilo kojom tačnošću, tada odnos neizvesnosti je tako kvantno ograničenje primjenjivosti klasične mehanike na mikro-objekte.

Relacija nesigurnosti pokazuje u kojoj mjeri je moguće koristiti koncepte klasične mehanike u odnosu na mikročestice, a posebno, s kojim stepenom tačnosti se može govoriti o putanjama mikročestica. Kretanje duž putanje karakteriziraju dobro definirane vrijednosti koordinata i brzine u svakom trenutku vremena. Zamjenom u (4.2.1) umjesto proizvoda , dobijamo relaciju:

Iz ove relacije proizilazi da što je veća masa čestice, što je manja nesigurnost njegovih koordinata i brzine,prema tome, koncept trajektorije se može primijeniti na ovu česticu s većom preciznošću. Tako, na primjer, već za česticu prašine mase kg i linearnih dimenzija m, čija je koordinata određena s točnošću od 0,01 njene veličine (m), nesigurnost brzine, prema (4.2.4) ,

one. neće uticati na sve brzine kojima se čestica prašine može kretati.

Na ovaj način, za makroskopske tijela, njihova valna svojstva ne igraju nikakvu ulogu; koordinate i brzine se mogu izmjeriti prilično precizno. To znači da se zakoni klasične mehanike mogu koristiti za opisivanje kretanja makrotijela sa apsolutnom sigurnošću.

Pretpostavimo da se snop elektrona kreće duž ose x sa brzinom m/s, utvrđenom sa tačnošću od 0,01% (m/s). Kolika je tačnost određivanja koordinata elektrona?

Prema formuli (4.2.4) dobijamo:

.

Dakle, položaj elektrona se može odrediti sa tačnošću od hiljaditih delova milimetra. Takva tačnost je dovoljna da se može govoriti o kretanju elektrona duž određene putanje, drugim riječima, da se opiše njihovo kretanje zakonima klasične mehanike.

Primijenimo odnos nesigurnosti na elektron koji se kreće u atomu vodika. Pretpostavimo da je nesigurnost elektronske koordinate m (po redu dimenzija samog atoma), tada, prema (4.2.4),

.

Koristeći zakone klasične fizike, može se pokazati da kada se elektron kreće oko jezgra po kružnoj orbiti polumjera približno m, njegova brzina je m/s. Na ovaj način, nesigurnost brzine je nekoliko puta veća od same brzine. Očigledno je da se u ovom slučaju ne može govoriti o kretanju elektrona u atomu duž određene putanje. Drugim riječima, zakoni klasične fizike ne mogu se koristiti za opisivanje kretanja elektrona u atomu.

Otkriće Wernera Heisenberga principa nesigurnosti, koje je napravio 1927. godine, postalo je jedno od najvažnijih naučnih dostignuća koje je odigralo fundamentalnu ulogu u razvoju kvantne mehanike, a potom uticalo na razvoj svih modernih prirodnih nauka.

Tradicionalno proučavanje svemira polazilo je od premise da ako se svi materijalni objekti koje možemo promatrati ponašaju na određeni način, onda se i svi ostali koje ne možemo spoznati uz pomoć osjeta također moraju ponašati na isti način. Ako postoji neka perturbacija u ovom ponašanju, onda se to kvalifikuje kao paradoks i izaziva zbunjenost. Takva je bila reakcija prirodnih naučnika kada su prodrli u mikrokosmos i naišli na pojave koje se ne uklapaju u tradicionalni model pogleda na svijet. Ovaj fenomen se posebno jasno manifestovao u oblasti gde su se smatrali predmeti koji su po veličini neuporedivi sa onima kojima su se naučnici ranije bavili. Princip je, naime, dao odgovor na pitanje po čemu se mikrosvijet razlikuje od svijeta koji nam je poznat.

Njutnovska fizika je praktično ignorisala takav fenomen kao što je uticaj alata znanja na sam objekat znanja, utičući na njega.Početkom 1920-ih, Werner Heisenberg je pokrenuo ovaj problem i došao do formule koja opisuje stepen uticaja metoda mjerenja svojstava objekta na samom objektu. Kao rezultat, otkriven je Heisenbergov princip nesigurnosti. Dobio je matematički odraz u teoriji relacije nesigurnosti. Kategorija "neizvjesnost" u ovom konceptu značila je da istraživač ne zna tačno lokaciju čestice koja se proučava. U svom praktičnom značenju, principi Heisenbergove nesigurnosti navode da što su karakteristike tačnije, instrument se koristi za mjerenje fizička svojstva Objektiv, to će se postići manja nesigurnost naših ideja o ovim svojstvima. Na primjer, Heisenbergov princip nesigurnosti, kada se koristio u proučavanju mikrokosmosa, omogućio je izvođenje zaključaka o "nultoj" nesigurnosti, kada je utjecaj instrumenta na objekt koji se proučava bio zanemarljiv.

U daljnjim istraživanjima utvrđeno je da Heisenbergov princip nesigurnosti povezuje svoj sadržaj ne samo sa prostornim koordinatama i brzinom. Ovdje se to samo jasnije pokazuje. Zapravo, njegov uticaj je prisutan u svim dijelovima sistema koji proučavamo. Ovaj zaključak nam omogućava da damo nekoliko primjedbi u vezi s djelovanjem Heisenbergovog principa. Prvo, ovaj princip pretpostavlja da je nemoguće uspostaviti iste točne prostorne parametre objekata. Drugo, ovo svojstvo je objektivno i ne zavisi od osobe koja vrši merenja.

Ovi zaključci postali su snažan poticaj za razvoj teorija upravljanja u različitim područjima ljudske djelatnosti, gdje je ozloglašeni "ljudski faktor" obično glavni. Ovo je pokazalo društveni značaj Heisenbergovog otkrića.

Savremene naučne i skoro naučne rasprave o principima neizvjesnosti sugeriraju da ako je, kažu, uloga osobe u poznavanju mikrosvijeta ograničena, a ona ne može aktivno utjecati na to, onda to nije dokaz da je ljudska svijest povezana na neki način sa „višim umom“?“ (teorija „nove ere“). Ove zaključke nije moguće prepoznati kao ozbiljne jer u početku pogrešno tumače sam princip. Prema Heisenbergu, glavna stvar u njegovom otkriću nije činjenica prisustva osobe, već činjenica utjecaja alata na predmet istraživanja.

Heisenbergovi principi su daleko jedan od najčešće korištenih metodoloških alata koji se koriste u raznim oblastima znanje.

Elementi kvantne mehanike

Korpuskularno-talasni dualizam svojstava čestica materije.

§1 De Broljevi talasi

Godine 1924 Louis de Broglie (francuski fizičar) došao je do zaključka da dualnost svjetlosti treba proširiti na čestice materije - elektrone. De Broljeva hipoteza je da je elektron, čija su korpuskularna svojstva (naboj, masa) proučavana dugo vremena, takođe ima svojstva talasa, one. ponaša se kao talas pod određenim uslovima.

Kvantitativni odnosi koji povezuju korpuskularna i valna svojstva čestica su isti kao i za fotone.

De Broglieova ideja je bila da ovaj odnos ima univerzalni karakter, koji važi za sve talasne procese. Svaka čestica sa impulsom p odgovara talasu čija se dužina izračunava de Broglieovom formulom.

- de Broljov talas

str = mvje impuls čestice,hje Plankova konstanta.

Waves de Broglie, koji se ponekad nazivaju elektronskim talasima, nisu elektromagnetni.

Godine 1927. Davisson i Germer (američki fizičar) potvrdili su de Broglieovu hipotezu pronalaženjem difrakcije elektrona na kristalu nikla. Difrakcijski maksimumi su odgovarali Wulff-Braggs formuli 2 dsinj= n l , a ispostavilo se da je Braggova talasna dužina tačno jednaka .

Daljnja potvrda de Broglieove hipoteze u eksperimentima L.S. Tartakovski i G. Thomson, koji su posmatrali uzorak difrakcije tokom prolaska snopa brzih elektrona ( E » 50 keV) kroz foliju od raznih metala. Tada je otkrivena difrakcija neutrona, protona, atomskih zraka i molekularnih zraka. Pojavile su se nove metode za proučavanje materije - neutronska difrakcija i difrakcija elektrona, a nastala je i elektronska optika.

Makrotijela također moraju imati sva svojstva (m = 1 kg, dakle l = 6. 6 2 1 0 - 3 1 m - neprimetno savremenim metodama- dakle, makrotela se smatraju samo korpuskulima).

§2 Svojstva de Broljevih talasa

• Neka čestica masemkrećući se brzinomv. Onda fazna brzina de Broljevi talasi

.

Jer c > v, onda fazna brzina talasa de Brolja više od brzine svetlosti u vakuumu (v f može biti više i može biti manje od c, za razliku od grupe).

grupna brzina

• prema tome, grupna brzina de Broljevih talasa jednaka je brzini čestice.

Za foton

one. grupna brzina jednaka brzini svjetlosti.

§3 Hajzenbergova relacija nesigurnosti

Mikročestice se u nekim slučajevima manifestuju kao talasi, u drugim kao čestice. Na njih ne važe zakoni klasične fizike čestica i talasa. AT kvantna fizika dokazano je da se koncept putanje ne može primijeniti na mikročesticu, ali se može reći da se čestica nalazi u datom volumenu prostora s određenom vjerovatnoćom R. Smanjivanjem volumena smanjit ćemo vjerovatnoću detekcije čestice u njemu. Probabilistički opis putanja (ili pozicija) čestice dovodi do činjenice da se impuls i, posljedično, brzina čestice mogu odrediti sa određenom točnošću.

Dalje, ne može se govoriti o talasnoj dužini u datoj tački u prostoru, pa iz toga sledi da ako precizno postavimo X koordinatu, onda ne možemo ništa reći o impulsu čestice, jer . Samo gledam u dugi deo D C možemo odrediti impuls čestice. Više D C , tačnije D Ri obrnuto, što je manje D C , veća je nesigurnost u pronalaženju D R.

Heisenbergova relacija nesigurnosti postavlja granicu u istovremenom određivanju tačnosti kanonski konjugirane količine, koji uključuju poziciju i zamah, energiju i vrijeme.

Heisenbergova relacija nesigurnosti: proizvod nesigurnosti vrijednosti dvije konjugirane veličine ne može biti manji od Planckove konstante po redu veličineh

(ponekad zapisano)

Na ovaj način. za mikročesticu, ne postoje stanja u kojima bi njena koordinata i impuls imali obe tačne vrednosti. Što je manja nesigurnost jedne veličine, veća je nesigurnost druge.

Odnos nesigurnosti je kvantno ograničenje primenljivost klasične mehanike na mikro objekte.

dakle, što višem, što je manja nesigurnost u određivanju koordinata i brzine. Atm\u003d 10 -12 kg,? = 10 -6 i Δ x= 1% ?, Δ v = 6,62 10 -14 m/s, tj. neće uticati na sve brzine kojima se čestice prašine mogu kretati, tj. za makrotela njihova talasna svojstva ne igraju nikakvu ulogu.

Neka se elektron kreće u atomu vodika. Recimo Δx» 1 0 -10 m (reda veličine atoma, tj. elektron pripada datom atomu). Onda

Δ v= 7,27 1 0 6 gospođa. Prema klasičnoj mehanici, kada se kreće duž radijusar » 0. 5 1 0 - 1 0 m v= 2,3 10 -6 m/s. One. nesigurnost brzine je za red veličine veća od veličine brzine, stoga je nemoguće primijeniti zakone klasične mehanike na mikrokosmos.

Iz relacije proizilazi da je sistem sa vijekom trajanja D t, ne može se okarakterizirati određenom energetskom vrijednošću. Rasprostranjenost energije se povećava sa smanjenjem srednjeg vijeka trajanja. Stoga, frekvencija emitovanog fotona također mora imati nesigurnost D n = D E/ h, tj. spektralne linije će imati određenu širinu n±D E/ h, bit će zamućena. Mjerenjem širine spektralna linija moguće je procijeniti vremenski poredak postojanja atoma u pobuđenom stanju.

§4 Talasna funkcija i njeno fizičko značenje

Difrakcijski uzorak koji se promatra za mikročestice karakterizira nejednaka distribucija tokova mikročestica u različitim smjerovima - postoje minimumi i maksimumi u drugim smjerovima. Prisustvo maksimuma u dijagramu difrakcije znači da su de Broglieovi valovi raspoređeni u ovim smjerovima s najvećim intenzitetom. A intenzitet će biti maksimalan ako se širi u ovom pravcu maksimalan brojčestice. One. Difrakcijski obrazac za mikročestice je manifestacija statističke (vjerovatne) pravilnosti u raspodjeli čestica: gdje je intenzitet de Broglieovog vala maksimalan, čestica je više.

Razmatraju se De Broljevi talasi u kvantnoj mehanici kao talasi vjerovatnoća, one. vjerovatnoća pronalaska čestice u različitim tačkama u prostoru varira u skladu sa talasnim zakonom (tj.~ e - iωt). Ali za neke tačke u prostoru, ova verovatnoća će biti negativna (tj. čestica ne pada u ovo područje). M. Born (njemački fizičar) sugerirao je da se ne mijenja sama vjerovatnoća prema talasnom zakonu, i amplituda vjerovatnoće, koja se još naziva i valna funkcija ili y -funkcija (psi - funkcija).

Valna funkcija je funkcija koordinata i vremena.

Kvadrat modula psi-funkcije određuje vjerovatnoću da će čestica naći će se u okviru opsega dV - nije sama psi-funkcija ono što ima fizičko značenje, već kvadrat njenog modula.

Ψ * - kompleksno konjugirana funkcija Ψ

(z= a + ib, z * = a- ib, z * - kompleksni konjugat)

Ako je čestica u konačnom volumenuV, tada je mogućnost otkrivanja u ovom volumenu jednaka 1, (određeni događaj)

R= 1

U kvantnoj mehanici se pretpostavlja daΨ i AΨ, gdje je A = konst, opisuju isto stanje čestice. shodno tome,

Stanje normalizacije

integral over , znači da se izračunava preko beskonačnog volumena (prostora).

y - funkcija bi trebala biti

1) konačni (jer R ne može biti više od 1)

2) nedvosmislen (nemoguće je detektovati česticu u nepromenjenim uslovima sa verovatnoćom od 0,01 i 0,9, na primer, pošto verovatnoća mora biti nedvosmislena).

• kontinuirano (proizlazi iz kontinuiteta prostora. Uvijek postoji šansa da se čestica nađe u različitim tačkama u prostoru, ali za različite tačke bit će drugačije)
• Talasna funkcija zadovoljava princip superpozicije: ako sistem može biti u različitim stanjima opisanim valnim funkcijama y 1 , y 2 ... y n , onda može biti u državi y , opisan linearnom kombinacijom ovih funkcija:

Sa n(n =1,2...) - bilo koji brojevi.

Koristeći valnu funkciju, prosječne vrijednosti bilo koje fizička količinačestice

§5 Schrödingerova jednačina

Schrödingerova jednačina, kao i druge osnovne jednačine fizike (Njutnove, Maksvelove jednačine), nije izvedena, već se postulira. Treba je posmatrati kao početnu osnovnu pretpostavku, čiju valjanost dokazuje činjenica da se sve posledice koje iz nje proizilaze tačno slažu sa eksperimentalnim podacima.

(1)

Vremenska Schrödingerova jednadžba.

Nabla - Laplace operater

Potencijalna funkcija čestice u polju sila,

Ψ(y, z, t ) - željena funkcija

Ako je polje sile u kojem se čestica kreće stacionarno (tj. ne mijenja se tokom vremena), tada funkcijaUne zavisi od vremena i ima smisla potencijalna energija. U ovom slučaju, rješenje Schrödingerove jednadžbe (tj. Ψ je funkcija) može se predstaviti kao proizvod dva faktora - jedan ovisi samo o koordinatama, drugi samo o vremenu:

(2)

E- ukupna energijačestica, što je konstantno u slučaju stacionarnog polja.

Zamjena (2) ® (1):

(3)

Schrödingerova jednadžba za stacionarna stanja.

Dostupan beskonačno mnogorješenja. Nametanjem graničnih uslova biraju se rješenja koja imaju fizičko značenje.

Granični uslovi:

Valne funkcije moraju biti redovno, tj.

1) konačni;

2) nedvosmislen;

3) kontinuirano.

Zovu se rješenja koja zadovoljavaju Schrödingerovu jednačinu vlastiti funkcije, i energetske vrijednosti koje im odgovaraju - energetske vlastite vrijednosti. Skup svojstvenih vrijednosti se zove spektra količine. Ako a E nuzima diskretne vrijednosti, tada spektar - diskretno, ako je kontinuirano - čvrsta ili kontinuirana.

§ 6 Kretanje slobodne čestice

Čestica se naziva slobodnom ako se na nju ne djeluje. polja sila, tj.U= 0.

Schrödingerova jednačina za stacionarna stanja u ovom slučaju je:

Njegovo rješenje: Ψ( x)=ALI e ikx, gdje ALI = konst, k= konst

I vlastite vrijednosti energije:

Jer kmože uzeti bilo koju vrijednost, onda, prema tome, E uzima bilo koju vrijednost, tj. energije spektar će biti kontinuiran.

Temporalna valna funkcija

(- talasna jednačina)

one. predstavlja ravan jednobojni de Broljevi talas.

§7 Čestica u „potencijalnoj bušotini“ pravougaonog oblika.

Kvantizacija energije .

Nađimo vlastite vrijednosti energije i odgovarajuće vlastite funkcije za česticu koja se nalazi u beskonačno duboki jednodimenzionalni potencijalni bunar. Pretpostavimo da se čestica može kretati samo duž ose x . Neka kretanje bude ograničeno zidovima neprobojnim za česticux= 0, i x=?. Potencijalna energijaU izgleda kao:

Schrödingerova jednadžba za stacionarna stanja za jednodimenzionalni problem

Čestica ne može izaći izvan potencijalne bušotine, pa je vjerovatnoća da se čestica nađe izvan bunara 0. Dakle, Ψ izvan bunara je također 0. Iz uslova kontinuiteta slijedi da je Ψ = 0 i na granicama bunara, tj.

Ψ(0) = Ψ(?) = 0

Unutar jame (0 £ x£l) U= 0 i Schrödingerovu jednačinu.

ulazak dobijamo

Zajednička odluka

U klasičnoj mehanici, svaka čestica se kreće duž određene putanje, tako da su u svakom trenutku njen položaj i impuls tačno fiksirani. Mikročestice se zbog svojih valnih svojstava značajno razlikuju od klasičnih čestica. Jedna od glavnih razlika je u tome što je nemoguće govoriti o kretanju mikročestice duž određene tratorije i pogrešno je govoriti o istovremenim točnim vrijednostima njene koordinate i momenta. Ovo sledi iz korpuskularno-talasnog dualizma. Dakle, koncept "talasne dužine u datoj tački" je lišen fizičkog čula, a budući da je impuls izražen u vidu talasne dužine, sledi da mikročestica sa određenim impulsom ima potpuno neodređenu koordinatu. I obrnuto, ako je mikročestica u stanju s točnom vrijednošću koordinate, tada je njen impuls potpuno neodređen.

V. Heisenberg, uzimajući u obzir valna svojstva mikročestica iu vezi sa valna svojstva ograničenja njihovog ponašanja, došli su 1927. do zaključka da je nemoguće istovremeno okarakterizirati objekt mikrosvijeta sa bilo kakvom unaprijed određenom tačnošću i koordinatom i zamahom. Prema Heisenbergova relacija nesigurnosti, mikročestica (mikroobjekat) ne može istovremeno imati određenu koordinatu (x, y, z), i određenu odgovarajuću projekciju momenta (p x, p y, p z), a nesigurnosti ovih veličina zadovoljavaju uslove

tj. proizvod nesigurnosti koordinate i odgovarajuće projekcije momenta ne može biti manji od vrijednosti reda h.

Treba napomenuti da nejednakost (224) nije tačna. Formula se često navodi u literaturi . Slična je (224), ali na njenoj desnoj strani stoji - Plankova konstanta "sa linijom", nazvana redukovana Plankova konstanta. Ne postoji kontradikcija između ova dva oblika zapisa: oba su važeća samo po redu veličine i oba su pogodna za kvalitativne procjene. Precizniji izraz je:

Ovdje zagrade označavaju varijansu A.

U priručniku iz fizike, ovaj odnos nesigurnosti je dat kao:

Iz relacije nesigurnosti (225) slijedi da, na primjer, ako je mikročestica u stanju sa tačnom vrijednošću koordinate (Dx = 0), tada se u tom stanju odgovarajuća projekcija njenog momenta pokazuje potpuno neodređenom (Dp -> ¥), i obrnuto. Dakle, za mikročesticu ne postoje stanja u kojima bi njene koordinate i impuls imali obje tačne vrijednosti. To implicira stvarnu nemogućnost istovremenog mjerenja koordinata i impulsa mikro-objekta sa bilo kojom unaprijed određenom tačnošću.

Princip nesigurnosti čini više od jednostavnog nametanja ograničenja mogućim rezultatima mjerenja. Ima dublje značenje i otkriva nam nova unutrašnja svojstva samog objekta mikrosvijeta: elektron ne može istovremeno imati određene vrijednosti projekcija momenta i koordinata u jednom smjeru. Ovaj zaključak vrijedi, naravno, ne samo za elektron, već i za svaku česticu lokaliziranu na atomskoj skali (po redu angstroma) i čija je masa uporediva s masom atoma.

U kvantnoj teoriji razmatra se i odnos nesigurnosti za energiju W i vrijeme t. Nesigurnosti ovih veličina zadovoljavaju uslov:

gdje je nesigurnost energije određenog stanja sistema, vremenski interval tokom kojeg ono postoji. Sistem. Imajući prosečan životni vek, ne može se okarakterisati određenom vrednošću energije; širenje energije se povećava sa smanjenjem srednjeg vijeka trajanja. Iz relacije (226) također slijedi da frekvencija emitiranog fotona također mora imati nesigurnost, tj. linije spektra moraju biti okarakterisane frekvencijom.

Iskustvo zaista pokazuje da su sve spektralne linije zamućene; Mjerenjem širine spektralne linije može se procijeniti vremenski poredak postojanja atoma u pobuđenom stanju.

Bilješka

Difrakcijski fenomeni se najjasnije manifestiraju kada su dimenzije prepreke na kojoj su valovi srazmjerne talasnoj dužini. Ovo se odnosi na talase bilo koje fizičke prirode, a posebno na elektronske talase. Za de Broglieove talase, prirodna difrakciona rešetka je uređena kristalna struktura sa prostornim periodom veličine atoma (približno 0,1 nm). Prepreka takvih dimenzija (na primjer, rupa u neprozirnom ekranu) ne može se stvoriti umjetno, ali se mentalni eksperimenti mogu izvesti kako bi se razumjela priroda de Broljevih valova.

Razmotrimo, na primjer, difrakciju elektrona na jednom prorezu širine D (slika 77). Grafikon sa desne strane prikazuje distribuciju elektrona na fotografskoj ploči. Više od 85% svih elektrona koji prolaze kroz prorez će pasti u centralni difrakcijski maksimum. Ugaona poluširina θ 1 ovog maksimuma nalazi se iz uslova

D sin θ 1 = λ.

Ova formula odgovara teoriji valova.

Sa korpuskularne tačke gledišta, možemo pretpostaviti da tokom leta kroz prorez, elektron dobija dodatni impuls u okomitom pravcu. Zanemarujući 15% elektrona koji padaju na fotografsku ploču izvan centralnog maksimuma, možemo pretpostaviti da je maksimalna vrijednost p y poprečnog momenta jednaka

gdje je p apsolutni impuls elektrona, jednak, prema de Broglieu, h / λ. Vrijednost p se ne mijenja kada elektron prođe kroz prazninu, jer valna dužina λ ostaje nepromijenjena. Iz ovih odnosa proizilazi

Kvantna mehanika daje izuzetno duboko značenje ovom naizgled jednostavnom odnosu, koji je posljedica valnih svojstava mikročestice. Prolazak elektrona kroz prorez je eksperiment u kojem se y - koordinata elektrona - određuje sa tačnošću od Δy = D. Vrijednost Δy naziva se nesigurnost mjerenja koordinata. Istovremeno, tačnost određivanja y, komponente impulsa elektrona u trenutku prolaska kroz prorez, jednaka je p y ili čak i veća ako se uzmu u obzir bočni maksimumi difrakcionog uzorka. Ova veličina se naziva nesigurnost projekcije momenta i označava se Δp y . Dakle, veličine Δy i Δp y su povezane relacijom

Δy Δp y ≥ h,

koja se zove Heisenbergova relacija nesigurnosti. Veličine Δy i Δp y moraju se shvatiti u smislu da mikročestice, u principu, nemaju ni tačnu vrijednost koordinate ni odgovarajuću projekciju momenta. Odnos nesigurnosti nije povezan sa nesavršenošću instrumenata koji se koriste za istovremeno merenje položaja i impulsa mikročestice. To je manifestacija dualne korpuskularno-valne prirode materijalnih mikro-objekata. Odnos nesigurnosti omogućava procjenu u kojoj se mjeri koncepti klasične mehanike mogu primijeniti na mikročestice. To posebno pokazuje da je klasični koncept putanje neprimjenjiv na mikroobjekte, budući da je kretanje duž putanje u svakom trenutku karakterizirano određenim vrijednostima koordinata i brzine. U osnovi je nemoguće naznačiti putanju duž koje se određeni elektron kretao nakon prolaska kroz prorez i do fotografske ploče u razmatranom misaonom eksperimentu.

Razmotrimo još jedan misaoni eksperiment - difrakciju snopa elektrona na dva proreza (slika 78). Šema ovog eksperimenta poklapa se sa shemom Youngovog eksperimenta optičke interferencije.

Analiza ovog eksperimenta nam omogućava da ilustrujemo logičke poteškoće koje se javljaju u kvantnoj teoriji. Isti problemi nastaju kada se Youngovo optičko iskustvo objašnjava u smislu koncepta fotona.

Ako se u eksperimentu za promatranje difrakcije elektrona na dva proreza jedan od proreza zatvori, tada će interferencijske ivice nestati, a fotografska ploča će zabilježiti raspodjelu elektrona difrakiranih na jednom prorezu (slika 77). U ovom slučaju, svi elektroni koji stignu do fotografske ploče prolaze kroz jedini otvoreni prorez. Ako su oba proreza otvorena, tada se pojavljuju interferencijske ivice i onda se postavlja pitanje, kroz koji od proreza leti jedan ili drugi elektron?

Psihološki je vrlo teško pomiriti se sa činjenicom da na ovo pitanje može postojati samo jedan odgovor: elektron leti kroz oba proreza. Mi intuitivno zamišljamo tok mikročestica kao usmjereno kretanje malih kuglica i primjenjujemo zakone klasične fizike da opišemo to kretanje. Ali elektron (i bilo koja druga mikročestica) ima ne samo korpuskularnu, već i valna svojstva. Lako je zamisliti kako elektromagnetski svjetlosni val prolazi kroz dva proreza u Youngovom optičkom eksperimentu, budući da val nije lokaliziran u prostoru. Ali ako prihvatimo koncept fotona, onda moramo priznati da svaki foton također nije lokaliziran. Nemoguće je naznačiti kroz koji od proreza je foton proleteo, kao što je nemoguće pratiti putanju fotona do fotografske ploče i naznačiti tačku u koju će pasti. Iskustvo pokazuje da čak i u slučaju kada fotoni jedan po jedan lete kroz interferometar, i dalje se javlja interferencijski obrazac nakon prolaska velikog broja nezavisnih fotona. Stoga se u kvantnoj fizici zaključuje: foton interferira sam sa sobom.

Sve navedeno vrijedi i za eksperiment difrakcije elektrona na dva proreza. Cijeli skup poznatih eksperimentalnih činjenica može se objasniti ako pretpostavimo da de Broglieov val svakog pojedinačnog elektrona prolazi istovremeno kroz obje rupe, zbog čega dolazi do interferencije. Jedan tok elektrona takođe stvara smetnje tokom dugotrajnog izlaganja, tj. elektron, kao i foton, interferira sam sa sobom.

Pojasnimo da relacija nesigurnosti zaista slijedi iz valnih svojstava mikročestica. Neka tok elektrona prođe kroz uski prorez širine Dx, koji se nalazi okomito na smjer njihovog kretanja (slika 77). Pošto elektroni imaju valna svojstva, kada prođu kroz prorez, čija je veličina uporediva sa de Broglievom talasnom dužinom elektrona, uočava se difrakcija. Difrakcijski uzorak uočen na ekranu (E) karakterizira glavni maksimum koji se nalazi simetrično u odnosu na os Y, i sekundarni maksimumi sa obe strane glavnog (ne uzimaju se u obzir, jer glavni deo intenziteta pada na glavni maksimum).

Prije prolaska kroz prorez, elektroni su se kretali duž Z ose , dakle, komponenta impulsa p y =0 , pa je D p y =0 , i koordinata yčestica je potpuno neodređeno. U trenutku kada elektroni prolaze kroz prorez, njihov položaj je u smjeru ose Y se određuje do širine utora, tj. sa tačnošću od Dy . U istom trenutku, zbog difrakcije, elektroni odstupe od prvobitnog smjera i kretat će se unutar kuta 2j (j je ugao koji odgovara prvom minimumu difrakcije).