PREDAVANJE br. 3. RAD. POWER. ENERGIJA

1. RAD I SNAGA U TRANSLACIONOM I ROTACIJOM KRETANJU

Prisilni rad je skalarna fizička veličina koja karakterizira mjeru djelovanja sile na materijalno tijelo. Rad sile ovisi o veličini sile, smjeru vektora sile i pomaku tačke primjene sile.

Ako je sila koja djeluje na tijelo konstantne veličine i smjera, i pomaka tijelo se odvija duž pravocrtne putanje (slika 1), tada se u ovom slučaju rad sile izračunava jednostavnom formulom:

gdje je ugao između vektora sile i vektora pomaka : .

U međunarodnom sistemu jedinica rad se mjeri u džulima:

Kao što se može vidjeti iz formule, rad sile može biti i pozitivan i negativan.

Ako je ugao između vektora sile i vektora pomaka oštar (slika 1), tada sila radi pozitivan rad:

Ako je ugao između vektora sile i vektora pomaka tup, tada sila radi negativan rad, u ovom slučaju kažemo da se rad vrši protiv sile:

Ako je vektor sile okomit na vektor pomaka i , tada u ovom slučaju sila ne radi:

U opštem slučaju, ako se vektor sile promeni u veličini ili smeru, a telo se kreće duž krivolinijske putanje (slika 2), uvodi se koncept elementarnog rada:

gdje je vektor elementarnog pomaka tijela, je ugao između vektora sile i vektora elementarnog pomaka, tj.: . Veličina elementarnog pomaka određena je činjenicom da sila koja djeluje na tijelo tijekom ovog pomaka ostaje konstantna i po veličini i po smjeru.

Ukupan rad sile na konačnom kretanju materijalnog tijela od tačke do tačke duž krivolinijske putanje jednak je zbiru elementarnih radova, odnosno integralu oblika:

Ako se tijelo kreće po zatvorenoj putanji pod djelovanjem sile, tada će se u ovom slučaju rad sile izračunati po formuli:

U prirodi postoje sile čiji je rad duž bilo koje zatvorene putanje uvijek (identično) jednak nuli, takve sile se nazivaju konzervativne ili potencijalne:

Primjeri konzervativnih sila su sila gravitacije, elastična sila, Kulonova sila i neke druge sile.

Sile čiji rad duž bilo koje zatvorene putanje nije identično nula nazivaju se nekonzervativne ili nepotencijalni:

Primjeri nekonzervativnih sila su sila trenja klizanja, sila otpora.

Da bi se okarakterisala stopa obavljanja posla, uvodi se koncept moći.

Prosječna snaga je skalarna fizička veličina jednaka odnosu rada obavljenog u određenom vremenskom periodu i vrijednosti ovog vremenskog perioda:

Ako smanjimo vremenski interval, tada će omjer težiti određenoj granici. Ova granica se naziva trenutna snaga sile:

Dakle, snaga sile je vremenski derivat rada sile.

Koristeći definiciju mehaničkog rada, možete dobiti prikladnu formulu za rješavanje problema:

gdje je ugao između smjera vektora sile i vektora brzine, tj. . Dakle, trenutna snaga koju razvija sila jednaka je skalarnom proizvodu vektora sile i vektora brzine kojim se kreće tačka primjene ove sile.

Jedinice snage u Međunarodnom sistemu jedinica - vati:

Razmotrite sada rotacijsko kretanje. Neka tijelo rotira u krugu polumjera pod djelovanjem sile koja je usmjerena okomito na putanju tijela (tj. okomito na kružnicu) u bilo kojoj tački (slika 3). U tom slučaju će sila i elementarni pomak tijela uvijek biti kolinearni, odnosno, ugao između ovih vektora uvijek će biti nula. Dakle, elementarni rad sile izražava se formulom:

S druge strane, iz geometrije znamo da je dužina luka kruga poluprečnika jednaka , gdje je ugao na koji počiva ovaj luk.

Dakle, možemo napisati sljedeći izraz za elementarni rad:

Lako je vidjeti da je u našem slučaju proizvod veličine sile na polumjer kružnice jednak veličini momenta sile u odnosu na os rotacije koja prolazi kroz centar kružnice:

Konačno, možemo zapisati izraz za elementarni rad:

Da bismo pronašli ukupan rad koji izvrši sila kada se tijelo rotira oko kružnice pod uglom, potrebno je integrirati gornji izraz:

Ako je moment sile konstantna vrijednost (što uopće nije potrebno), tada formula za rad sile pri rotacijskom kretanju poprima jednostavan oblik:

Koristeći dobijene formule, lako je vidjeti da je snaga pri rotacijskom kretanju jednaka umnošku momenta sile i ugaone brzine tačke primjene sile:

2. MEHANIČKA ENERGIJA

Koncept mehaničkog rada usko je povezan sa konceptom mehaničke energije. Energija je, kao što je poznato, jedinstvena kvantitativna mjera kretanja materije u svim manifestacijama ovog kretanja. A rad je mjera promjene u energiji sistema. Ako a mehanički sistem vrši pozitivan rad na vanjskim tijelima, tada energija sistema neminovno opada. U ovom slučaju kažemo da je rad obavljen zbog gubitka energije sistema i rad je obavljen unutrašnje sile sistemi:

To je

I obrnuto, ako vanjska tijela rade na mehaničkom sistemu, tada se njegova energija povećava:

To je

Mehanička energija je dva tipa - kinetička i potencijalna. Kinetička energija sistema je posledica mehaničkog kretanja ovog sistema, odnosno kinetička energija je mera mehaničkog kretanja ovog sistema.

Izvedemo formulu koja opisuje kinetičku energiju sistema pri kretanje napred. Neka sila konstantne veličine i smjera djeluje na tijelo.

Pod dejstvom ove sile, kao što je poznato, telo će se kretati pravolinijski i jednoliko ubrzano. Ubrzanje tijela određeno je drugim Newtonovim zakonom:

Neka je početna brzina tijela jednaka nuli, tada će nakon određenog vremena od početka kretanja brzina tijela biti jednaka , gdje je pomak tijela ili, što je isto, je pomak tačke primjene sile. Kretanje izražavamo brzinom, dobijamo: .

Sada možete napisati izraz za elementarni rad koji je sila izvršila pri pomicanju tijela na beskonačno malu udaljenost:

Gdje je ugao između vektora brzine i vektora , u translatornom kretanju ovaj ugao je uvijek jednak nuli stepeni, dakle .

Dakle, elementarni rad u translatornom kretanju izražava se formulom:

Da bi se pronašao ukupan rad koji izvrši sila pri ubrzanju tijela iz stanja mirovanja do određene brzine, potrebno je integrirati rezultirajući izraz od vrijednosti početne brzine do konačne vrijednosti brzine:

Kao što je gore spomenuto, ako rad obavlja vanjska sila, tada se energija sistema povećava, štaviše, rad vanjske sile je jednak promjeni kinetička energija sistema, odnosno:

Upoređujući dva izraza za istu količinu, možemo zaključiti da je kinetička energija tijela u njegovom drugom stanju:

Prema tome, kinetička energija u prvom stanju opisuje se sličnom formulom:

Ako tijelo miruje, tada je njegova kinetička energija identično jednaka nuli.

Općenito, kinetička energija tijela koje se kreće brzinom je:

Kao što se vidi iz dobijene formule, kinetička energija zavisi samo od mase tela (konstantna vrednost u klasičnoj fizici) i trenutne brzine tela, stoga je kinetička energija funkcija stanja sistema. i ne zavisi od toga kako je sistem došao u ovo stanje.

Provjerimo dimenziju rezultirajuće formule:

Budući da je brzina sistema različita inercijski sistemi referenca je drugačija, stoga kinetička energija sistema zavisi i od izbora referentnog okvira.

Ako je tijelo uključeno u rotacijsko kretanje, tada ima i kinetičku energiju. Dobijamo formulu za kinetičku energiju rotirajućeg tijela.

Neka materijalna tačka sa masom rotira oko kruga poluprečnika i ugaone brzine. Kao što znate, brzina linije materijalna tačka povezan je sa ugaonom brzinom sljedećom relacijom:

Zamijenimo ovaj omjer u formulu za kinetičku energiju, dobićemo:

,

gdje je moment inercije materijalne tačke oko ose rotacije.

Rezultirajuća formula za kinetičku energiju vrijedi ne samo za materijalnu tačku, već i za svaku rotirajuću apsolutno čvrsto telo, koji ima moment inercije oko ose rotacije.

Ako tijelo istovremeno sudjeluje u translacijskom i rotacijskom kretanju, tada je njegova kinetička energija zbir kinetičke energije translacijskog kretanja i kinetičke energije rotaciono kretanje:

Primjer je leteći projektil (metak) ispaljen iz pušaka. Zbog prisustva rotacijskog kretanja, kinetička energija, a time i ubojna snaga projektila, raste u odnosu na kinetičku energiju istog projektila ispaljenog iz glatkog oružja.

Potencijalna energija sistemi - energetski uslovljeni međusobnog dogovora tijela koja čine sistem i prirodu interakcije između njih.

Koncept potencijalne energije ima smisla samo za sisteme u kojima djeluju gore navedene konzervativne sile. Potencijalna energija u takvim sistemima jednaka je radu koji obavljaju unutrašnje (konzervativne) sile sistema kada se sistem kreće iz date pozicije u poziciju u kojoj je potencijalna energija sistema, po dogovoru, nula.

Dakle, ne postoji jedna univerzalna formula za izračunavanje potencijalne energije proizvoljnog sistema, ona se mora dobiti za svaki određeni sistem na određeni način.

Izvodimo formulu za potencijalnu energiju, na primjer, za tijelo podignuto iznad površine Zemlje. Prije svega, potrebno je dokazati da su sile koje djeluju u takvom sistemu konzervativne, te da koncept potencijalne energije zaista ima smisla. Dakle, između bilo kojeg tijela podignutog iznad površine Zemlje i Zemlje, sila gravitacije jednaka je , gdje je vektor ubrzanja slobodnog pada, koji je usmjeren vertikalno prema dolje prema centru Zemlje. Pronađimo kakav rad vrši sila gravitacije pri pomicanju tijela iz jedne tačke iznad površine Zemlje u drugu. Neka je prva tačka iznad Zemljine površine na visini, a druga tačka na visini, respektivno, i . Putanja tijela iz prvog stanja u drugo je prava.

Prije svega, napišimo izraz za elementarni rad koji vrši sila gravitacije sa beskonačno malim pomakom tijela:

Gdje je ugao između vektora elementarnog pomaka i vektora gravitacionog ubrzanja, i je beskonačno mali vertikalni pomak tijela.

Da bismo pronašli ukupan rad gravitacije pri kretanju tijela iz prvog stanja u drugo stanje, potrebno je integrirati izraz za elementarni rad:

Hajde da analiziramo rezultat - pun rad gravitacija je određena samo položajem tijela iznad nivoa tla i potpuno je neovisna o vrsti putanje tijela. Ova činjenica je dokaz da je gravitacija konzervativna sila, što znači da koncept potencijalne energije ima smisla za sistem "telo-Zemlja". Područje prostora u kojem djeluje konzervativna gravitacija se naziva potencijalno polje gravitacije.

Pošto rad obavlja unutrašnja sila sistema - sila gravitacije, energija sistema se smanjuje. Drugim rečima, rad se obavlja usled gubitka potencijalne energije sistema, tj

Upoređujući dva izraza za rad gravitacije, možemo zaključiti da je tijelo u prvom stanju, odnosno na visini iznad Zemlje, imalo potencijalnu energiju jednaku , u drugom stanju potencijalna energija tijela je, respektivno, . Potencijalna energija tijela na površini Zemlje je nula.

Dakle, u opštem slučaju, potencijalna energija tela podignutog na visinu iznad površine Zemlje jednaka je:

.

Kao što vidimo, potencijalna energija takođe zavisi samo od mase tela i njegove visine iznad površine Zemlje, odnosno potencijalna energija je funkcija stanja sistema i ne zavisi od toga kako je sistem došao do ovoj državi.

Slično razmišljanje dovodi nas do zaključka da je elastična sila opruge također konzervativna sila.

Elastična sila, kao što je poznato, opisuje se Hookeovim zakonom: ,

gdje je koeficijent krutosti opruge, karakteristika ove opruge koja ima dimenziju je deformacija opruge, odnosno promjena veličine opruge.

Znak minus u Hookeovom zakonu pokazuje da je smjer sile stvorene u deformiranoj oprugi uvijek suprotan od deformacije opruge. Zaista, ako je opruga rastegnuta, tada u njoj nastaje sila koja teži da vrati oprugu u prvobitno stanje, i obrnuto.

Dakle, elastično deformisana opruga ima rezervu potencijalne energije, odnosno može je izvršiti mehanički rad, tačnije, rad obavlja sila elastičnosti koja nastaje u oprugi.

Vrijednost potencijalne energije pohranjene u deformiranoj oprugi jednaka je:

Potencijalna energija nedeformisane opruge () identično je jednaka nuli.

Završeno mehanička energija sistem je jednak zbiru kinetičke i potencijalne energije: ili

Ako je mehanički sistem zatvoren i u sistemu djeluju samo konzervativne sile, onda ukupna mehanička energija cijelog sistema ostaje nepromijenjena za bilo kakve interakcije između tijela koja čine ovaj sistem. Ova izjava izražava suštinu zakona održanja mehaničke energije. Treba napomenuti da se energija svakog tijela sistema može mijenjati, samo ukupna mehanička energija cijelog sistema ostaje nepromijenjena.

Matematički, zakon održanja mehaničke energije može se napisati na nekoliko načina:

gdje su potencijalna i kinetička energija cijelog sistema prije interakcije, a potencijalna i kinetička energija cijelog sistema nakon interakcije.

Ako u sistemu djeluju nekonzervativne sile (sila trenja i sl.) ili sistem nije zatvoren, odnosno u njemu djeluju vanjske sile, tada ukupna mehanička energija u tom slučaju ne ostaje konstantna – zakon održanja energije je nije ispunjeno. U ovom slučaju, promjena ukupne mehaničke energije bit će jednaka radu koji su proizvele nekonzervativne sile ili vanjske sile tokom prelaska sistema iz jednog stanja u drugo.

Matematički, ova činjenica se piše na sljedeći način:

ili ,

gdje je količina toplote koja se oslobađa u sistemu.

Primjer interakcija u kojima je zadovoljen zakon održanja ukupne mehaničke energije sistema je apsolutno elastična udar ili sudar. Sudar (udar) je interakcija dva ili više tijela, koja traje vrlo kratko, kada se ta tijela približavaju na male udaljenosti. Apsolutno elastični udar - sudar tijela u kojem tijela ne rade deformisan (fo rma tijela se ne mijenja), a ukupna kinetička energija sistema tijela ostaje konstantna. At apsolutno elastična Uticaj, i zakon održanja mehaničke energije sistema i zakon održanja impulsa sistema su zadovoljeni.

Potpuno suprotno apsolutno elastična Udar je sudar tijela, u kojem se sudarajuća tijela spajaju i potom se kreću kao cjelina. Takva interakcija se naziva apsolutno neelastičnim udarom. U apsolutno neelastičnom udaru, sistemski zakon o očuvanju energije nije zadovoljen, ali sistemski zakon održanja momenta ostaje važeći.

3. PRIMJERI RJEŠAVANJA ZADATAKA NA TEMU "RAD, SNAGA, ENERGIJA"

ZADATAK br. 1. Projektil automatskog protuavionskog topa AZP-57, težine 2,8 kg, leti na visini od 1 km brzinom od 800 metara u sekundi i rotira se 500 okretaja u sekundi. Odrediti ukupnu mehaničku energiju projektila, smatrajući da je to kontinuirani homogeni cilindar.

Rješenje ovog zadatka počinjemo tako što upisujemo podatke u uslov zadatka vrijednosti pod naslovom "Dato", s obzirom da je kalibar projektila jednak njegovom prečniku.

DANO:

Nađi: E

Rješenje: kao što znate, ukupna mehanička energija sistema jednaka je zbiru potencijalne i kinetičke energije. U našem zadatku razmatra se sistem projektil-zemlja. Potencijalna energija projektila u ovom sistemu je . Kinetička energija projektila je zbir kinetičke energije njegovog translacionog kretanja i kinetičke energije njegovog rotacionog kretanja: . Kinetička energija translacionog kretanja može se odmah izračunati, pošto znamo sve potrebne veličine. Da bismo izračunali kinetičku energiju rotacionog kretanja, moramo znati moment inercije projektila i njegovu kutnu brzinu. Budući da se projektil smatra čvrstim homogenim cilindrom, njegov moment inercije će biti jednak . Ugaonu brzinu je također lako pronaći, jer znamo brzinu rotacije projektila: .

Tako će ukupna mehanička energija projektila u sistemu "projektil-zemlja" biti jednaka sledeći izraz: - dobili smo radnu formulu, jer ona odgovara na pitanje problema i uključuje samo poznate količine. Provjerimo dimenziju radne formule: - dimenzija je ispravna, tako da možete zamijeniti numeričke vrijednosti. .

Problem je riješen, ali treba napomenuti da je kinetička energija rotacijskog kretanja projektila u ovom slučaju mnogo manja od kinetičke energije njegovog translacijskog kretanja. Rotacija projektila daje stabilnost projektilu, povećavajući preciznost pogotka. U ovom problemu, mora se podsjetiti da rotacijsko i translacijsko kretanje projektila ni na koji način nisu međusobno povezane i da se odvijaju nezavisno jedno od drugog.

Problem broj 2. Čvrsti cilindar težine 400 grama kotrlja se bez klizanja po horizontalnoj površini. Linearna brzina ose cilindra je 1 metar u sekundi. Odrediti ukupnu kinetičku energiju cilindra.

DANO:

NALAZ: K

RJEŠENJE: Ovaj problem je vrlo sličan prethodnom problemu. Budući da je cilindar uključen u dva kretanja istovremeno, njegova kinetička energija će biti jednaka zbroju kinetičke energije translacijskog kretanja i kinetičke energije rotacionog kretanja, ali ta kretanja nisu nezavisna, linearna brzina cilindra osa će odrediti i kutnu brzinu rotacije cilindra prema formuli. Nadalje, moment inercije cilindra se smatra poznatim: . U ovoj fazi kadeti će sigurno imati poteškoća, jer stanje problema ne govori ništa o polumjeru cilindra. Stoga je preporučljivo da nastavnik još jednom istakne važnost rješavanja zadatka u općem abecednom obliku, pa će se prilikom zamjene navedenih izraza u formulu za kinetičku energiju polumjer smanjiti i neće biti prisutan u konačnoj formuli : - dobili smo radnu formulu, ona sadrži samo količine navedene u uslovu zadatka: masu i brzinu. Dimenzija radne formule je očigledna i ne zahtijeva provjeru. Numerička vrijednost kinetičke energije je: .

Zadatak broj 3. Kinetička energija rotacionog zamajca je 1 kilodžul. Pod djelovanjem konstantnog momenta kočenja, zamašnjak se počeo ravnomjerno okretati i nakon 80 okretaja zaustavio se. Odredite moment sile kočenja.

Poznate veličine zapisujemo pod naslovom „Dato“, vodeći računa da u konačnom stanju sistem miruje, što znači da mu je energija u tom stanju jednaka nuli.

DANO:

Nađi: M

Rješenje: da bismo pronašli moment sile kočenja, potrebno je zapisati formulu za izračunavanje rada pri rotacionom kretanju: - ovdje smo uzeli u obzir činjenicu da se rad obavlja ravnomjerno. Kutni pomak se može izračunati znajući da dimenzija odgovara stvarnosti, stoga je moguće zamijeniti numeričke vrijednosti poznatih veličina: . Znak minus u rezultatu označava da posao obavlja tijelo, nasuprot zamašnjaka spoljna sila, što rezultira time da se energija zamašnjaka smanjuje na nulu.

Zadatak broj 4 Zamašnjak se okreće prema zakonu izraženom jednačinom , gdje je A = 2 rad, B = 16 rad / s, C \u003d -2 rad / s 2. Moment inercije zamašnjaka 50 kgm 2 . Pronađite kinetičku energiju zamašnjaka i njegovu snagu 3 sekunde nakon početka kretanja.

Dato:

Nađi: K, N

Rješenje: prvo nalazimo kinetičku energiju rotacijskog kretanja zamašnjaka, kao što znate, jednaka je . Pronalazimo kutnu brzinu zamašnjaka kao prvi izvod kutnog pomaka: , dobijeni izraz zamjenjujemo u formulu za kinetičku energiju zamašnjaka, dobivamo:

- sve količine uključene u ovu formulu poznate su nam iz uslova zadatka. Provjerimo dimenziju rezultirajuće formule: - dimenzija je ispravna, zamjenjujemo numeričke vrijednosti poznatih veličina : . Kutno ubrzanje se može naći kao derivacija ugaone brzine u odnosu na vrijeme: . Sve ove izraze zamjenjujemo u formulu koju smo dobili gore za snagu sile:

Ovo je radna formula, ona odgovara na pitanje problema i uključuje samo količine poznate iz stanja problema. Provjerimo dimenziju ove formule: - dimenzija radne formule odgovara dimenziji snage, što znači da je radna formula ispravna, stoga možemo preći na izračunavanje numeričke vrijednosti ove veličine: .

Analizirajmo rezultat, znak minus označava da je zamašnjak usporen i radi protiv vanjskih sila.

3.4. mehanička energija

3.4.1. Kinetička energija

Kinetička energija kretanje napred tijelo je određeno formulom

gdje je m masa tijela u pokretu; v je modul njegove brzine.

Za izračunavanje kinetičke energije za vrijeme translacijskog kretanja tijela postoji još jedna formula:

gdje je P = mv modul zamaha tijela koje se kreće.

Kinetička energija rotaciono kretanje tijelo je određeno formulom

W k = m ω 2 R 2 2 ,

gdje je m masa tijela u pokretu; ω je vrijednost ugaone brzine (ciklička frekvencija); R je polumjer kružnice po kojoj se tijelo kreće.

Za izračunavanje kinetičke energije tokom rotacionog kretanja tijela postoji još jedna formula:

W k = 2 m π 2 ν 2 R 2 ,

gdje je ν frekvencija rotacije tijela.

Prilikom rješavanja zadataka za izračunavanje kinetičke energije sistema tijela, korisno je zapamtiti da se ona sastoji od kinetičke energije svakog od tijela:

W k sys = W k 1 + W k 2 + ... + W k N ,

gdje su W k 1 , W k 2 , ..., W kN kinetičke energije svakog tijela.

Prilikom rješavanja zadataka za izračunavanje kinetičke energije rotacijskog kretanja, sljedeće formule mogu biti korisne:

• odnos između linearne v i ugaone brzine ω:

v = ωR ,

gdje je R polumjer kružnice po kojoj se tijelo kreće;

• odnos između cikličke frekvencije ω i frekvencije ν:

• odnos između ciklične frekvencije ω (ili frekvencije ν) i perioda rotacije tijela oko obima T:

ωT = 2π ili ν = 1 T .

Primjer 24. Koordinata tijela koje se kreće duž ose Ox ovisi o vremenu prema zakonu x (t) = 8,0 - 2,0t + t 2, gdje je koordinata data u metrima, vrijeme je u sekundama. Odrediti promjenu kinetičke energije tijela od početka treće do kraja četvrte sekunde kretanja. Tjelesna težina je 3,0 kg.

Rješenje. Kinetička energija tijela određena je formulama:

W k 1 \u003d m v 2 (t 1) 2;

W k 2 \u003d m v 2 (t 2) 2,

gdje je v (t 1) modul brzine tijela na početku treće sekunde; v (t 2) - modul brzine tijela na kraju četvrte sekunde.

Jednačina kretanja tijela

x (t) = 8,0 − 2,0 t + t2

omogućava vam da postavite zakon promjene projekcije brzine na os Ox tokom vremena u obliku:

v x (t) = v 0 x + a x t ,

gdje je v 0 x \u003d -2,0 m / s projekcija početne brzine na os Ox; a x = = 2,0 m/s 2 - projekcija ubrzanja na navedenu osu.

Dakle, zavisnost projekcije brzine o vremenu, napisana eksplicitno

v x (t) = − 2,0 + 2,0 t ,

omogućava da se dobiju odgovarajuće projekcije brzine:

• na početku treće sekunde kretanja (t 1 \u003d 2 s)

v x (t 1) = - 2,0 + 2,0 t 1 = - 2,0 + 2,0 ⋅ 2 = 2,0 m / s;

• na kraju četvrte sekunde kretanja (t 2 \u003d 4 s)

v x (t 2) \u003d - 2,0 + 2,0 t 2 \u003d - 2,0 + 2,0 ⋅ 4 = 6,0 m / s.

Vrijednosti kinetičke energije tijela u naznačenim vremenima:

• na početku treće sekunde kretanja (t 1 \u003d 2 s)

W k 1 = 3,0 ⋅ (2,0) 2 2 = 6,0 J,

• na kraju četvrte sekunde kretanja (t 2 \u003d 4 s)

W k 2 = 3,0 ⋅ (6,0) 2 2 = 54 J.

Željena razlika u kinetičkim energijama je

Δ W k \u003d W k ​​2 - W k 1 = 54 - 6,0 \u003d 48 J.

Tako se kinetička energija tijela u navedenom vremenskom intervalu povećala za 48 J.

Primjer 25. Tijelo se kreće u ravnini xOy duž putanje oblika x 2 + y 2 \u003d 25 pod djelovanjem centripetalne sile, čija je vrijednost 50 N. Masa tijela je 2,0 kg. Koordinate x i y su u metrima. Pronađite kinetičku energiju tijela.

Rješenje. Putanja kretanja tela je kružnica poluprečnika 5,0 m. Prema uslovu zadatka na telo deluje samo jedna sila usmerena ka centru ove kružnice.

Modul navedene sile je konstantna vrijednost, dakle, tijelo ima konstantno centripetalno ubrzanje, koje ne utječe na veličinu brzine tijela; dakle, tijelo se kreće u krug konstantnom brzinom.

Slika ilustruje ovu okolnost.

Veličina centripetalne sile određena je formulom

F c. c \u003d m v 2 R,

gdje je m - tjelesna težina; v je modul brzine tijela; R je polumjer kružnice po kojoj se tijelo kreće.

Izraz za kinetičku energiju tijela ima oblik:

Odnos jednačina

F c. sa W k = m v 2 R 2 m v 2 = 2 R

omogućava vam da dobijete formulu za izračunavanje željene kinetičke energije:

Kinetička energija mehaničkog sistema je energija mehaničkog kretanja ovog sistema.

Snaga F , djelujući na tijelo u mirovanju i izazivajući njegovo kretanje, vrši rad, a energija tijela u pokretu povećava se za količinu utrošenog rada. Tako rad dA snagu F na putu koji je tijelo prešlo za vrijeme povećanja brzine od 0 do  , ide na povećanje kinetičke energije dE to tijelo, tj.

Koristeći drugi Newtonov zakon i množenje pomakom dr , dobijamo:

Od tada

Dakle, tijelo mase m , krećući se brzinom  , ima kinetičku energiju

Potencijalna energija- mehanička energija sistema tijela, određena njihovim međusobnim rasporedom i prirodom sila interakcije između njih.

Prilikom pomicanja tijela iz jednog položaja u drugi rad koji vrše djelujuće sile pri pomicanju tijela iz jednog položaja u drugi ne ovisi o putanji po kojoj se ovo kretanje dogodilo, već ovisi samo o početnom i konačnom položaju. Takva polja se nazivaju potencijal, a sile koje djeluju u njima su konzervativan.

Rad konzervativnih sila na zatvorenoj putanji je nula. Ova izjava je ilustrovana na sl. 2.1.

Svojstvo konzervativnosti posjeduju sila gravitacije i sila elastičnosti. Za ove sile možemo uvesti koncept potencijalne energije.

Rad konzervativne snage A 12a= A 12b. Rad na zatvorenom putu A = A 12a+ A 21b= A 12a- A 12b = 0.

Tijelo, koje se nalazi u potencijalnom polju sila, ima potencijalnu energijuE P . Rad konzervativnih sila sa elementarnom (beskonačno malom) promjenom konfiguracija sistema je jednaka prirastu potencijalne energije, uzetoj sa predznakomminus, jer se rad obavlja zbog gubitka potencijalne energije:

Posao dA izraženo kao skalarni proizvod sile F kretati se dr a izraz (2.2) se može zapisati kao

Dakle, ako je funkcija poznata E P (r ), tada se iz formule (2.3) može naći sila F modulom i smjerom.

Potencijalna energija se može odrediti iz (2.3) kao

gdje C je konstanta integracije.

Ako se tijelo kreće blizu površine Zemlje, tada na njega djeluje sila gravitacije koja je konstantne veličine i smjera. Rad ove sile zavisi samo od vertikalnog pomeranja tela. Na bilo kojoj dionici puta, rad gravitacije se može zapisati u projekcijama vektora pomaka na osuOY:

gdje je projekcija gravitacije,Δ S y je projekcija vektora pomaka. Ako se tijelo pomaknulo iz tačke koja se nalazi na visinih 1 , do tačke na visinih 2 od početka koordinatne ose OY (pirinač. 2.2.),sila gravitacije je izvršila posao:

Ovaj rad je jednak promjeni neke fizičke veličine uzete sa suprotnim predznakom. Ova fizička veličina se zove potencijalna energija tela u polju gravitacije

E str = mgh .

To je jednako radu gravitacije kada se tijelo spusti na nulti nivo.

Rad gravitacije jednak je promjeni potencijalne energije tijela, uzete sa suprotnim predznakom.

A = –(E p2- E p1).

Nađimo potencijalnu energiju elastično deformiranog tijela (opruge). Snagaelastičnost je proporcionalna deformaciji:

gdje F ex - projekcija elastične sile na osu X,

k - koeficijent elastičnosti (za oprugu - krutost),

znak minus to ukazujeF ex usmerena u stranusuprotna deformacija x.

Prema trećem Newtonovom zakonu, deformirajuća sila je po apsolutnoj vrijednosti jednaka sili ynhrapavosti i usmjerena je suprotno njoj, tj.

elementarni rad dA , silom F x pri beskonačno maloj deformaciji dx , je jednako:

kompletan posao

.

ide na povećanje potencijalne energije opruge. Dakle, potencijalna energija elastično deformisanog tijela:

Ukupna mehanička energija sistema:

one. jednak je zbiru kinetičke i potencijalne energije.

Neka se proizvoljni mehanički sistem sastoji od čestica;

- težina, - brzina - jedan od njih. onda:

vrijednost

zove se kinetička energija -ta čestica, i

-

kinetička energija razmatranog mehaničkog sistema.

Zbog iste brzine svih tačaka

kinetička energija translacijskog tijela određena je formulom

, gdje

je njegova masa, i - modul brzine.

Za rotirajuće tijelo:

kinetička energija rotacijskog tijela određena je formulom

30.20, Gdje

- moment inercije tijela oko ose rotacije i je njegova ugaona brzina.

30,6*. Formula za izračunavanje kinetičke energije sferno pokretnog tijela

Neka je centar sfernog kretanja, i

- koordinatni sistem povezan sa tijelom; štaviše, njegove ose su glavne ose inercije tela.

U opštoj formuli -

-

express kroz ugaonu brzinu i geometrijske karakteristike tijela:

Jer

, tada metodom permutacije indeksa imamo:

Ali

, tj. vektor se skalarno množi sam sa sobom. Uzimamo u obzir da su skalarni proizvodi ortogonalnih vektora jednaki nuli i dobijamo:

Prilikom kvadriranja, srednji članovi će sadržavati parne proizvode različitih koordinata. Prilikom zamjene u formulu ( a) oni će dati centrifugalne momente inercije. Pretpostavljene ose su glavne i stoga su svi centrifugalni momenti inercije tijela jednaki nuli. Dakle od treba zadržati samo zbir kvadrata:

Nakon zamjene u formulu ( a) izrazi ( b), dobijamo:

Izrazi u zagradama rezultiraju aksijalni momenti inercija -

. Tako ispada

formula za izračunavanje kinetičke energije sferno pokretnog tijela:

30,7*. Formule za izračunavanje kinetičke energije slobodno i ravnih tijela koja se kreću

Koristeći zakon sabiranja, brzina - ta čestica je predstavljena zbirom dvije komponente -

, gdje

- brzina referentnog sistema centra mase (u odnosu na inercijalni);

- brzina -ta čestica u odnosu na sistem centar-mase.

Iz prethodna dva pododjeljka može se vidjeti da prve dvije komponente (

) izrazi ( b) prilikom zamjene in opšta formula za izračunavanje kinetičke energije, oni će dati translacijsku i sfernu komponentu ukupne kinetičke energije -

, , gdje

- tjelesna masa;

- momenti inercije tijela u odnosu na njegove glavne centralne osi inercije;

- projekcije ugaone brzine tela u njegovom sfernom kretanju u odnosu na referentni sistem centar-mase.

Saznajte koja je treća komponenta izraza ( b) prilikom zamjene u opštu formulu za izračunavanje kinetičke energije.-

na osnovu koncepta centra mase =

kinetička energija tijela koje se slobodno kreće može se izračunati kao zbir dva člana - kinetičke energije translacijskog kretanja (izračunato kao za materijalnu tačku koja se kreće brzinom centra mase tijela i posjeduje njegovu masu) i kinetička energija tijela u njegovom sfernom kretanju u odnosu na referentni sistem centra mase:

.

Predlažemo da sami dobijete rezultat:

kinetička energija tijela koje se kreće u ravnini može se izračunati kao zbir dva člana - kinetičke energije njegovog translacijskog kretanja brzinom centra mase i kinetičke energije pri rotacijskom kretanju ovog tijela u odnosu na centar mase referentni sistem:

.